the orie des jeux

8/13/2019 The Orie Des Jeux

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Introduction la Thorie des JeuxSebastien Konieczny

[email protected]

CRIL-CNRS

Universite dArtois - Lens

Introductiona la Theorie des Jeux p.1/77


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Thorie des Jeux

DfinitionLa theorie des jeux permet une analyse formelle des problemesposes par linteraction strategique dun groupe dagents rationnels pour-suivant des buts qui leur sont propres.



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Thorie des Jeux


groupe

interaction

stratgique

rationnels



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Thorie des Jeux


groupe

interaction

stratgique

rationnels

Normatif vs Descriptif



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A quoi sert la thorie des jeux ?

Jeux de socit (checs, dames, go, ...), Jeux de cartes (bridge, poker, ...)

Dois-je travailler ou faire semblant ? Est-ce que jcoute de la musique ce soir ?

Enchres, vote

Comportement animal

Stratgies militaires/conomiques

Partages de ressource (marchandage)

Est-ce quune entreprise doit exploiter ses salaris ?

Est-ce quune entreprise doit entrer sur un march ou pas ? Faut-il contrler les dclarations dimpots sur le revenu ?

...



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Un peu dhistoire...

Cournot (1838), Borel (1921)

Zermelo (1913) Von Neumann (1928)

Theory of Games and Economic Behaviour, Von Neumann etMorgenstern (1944)

Nash (1950) Selten (1965), Harsanyi (1967)



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Bibliographie

M. Yildizoglu. Introduction a la theorie des jeux. Dunod. 2003.

D. Kreps. Theorie des jeux et modelisationeconomique. Dunod. 1990. D. Luce, H. Raiffa. Games and Decision. Wiley. 1957.

P. K. Dutta. Strategies and Games. MIT Press. 1999.

D. Fudenberg, J. Tirole. Game Theory. MIT Press. 1991.

J. Von Neumann, O. Morgenstern. Theory of Game and Economic Be-havior. Princeton University Press. 1944.



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Terminologie - Une petite taxonomie...

Jeux somme nulle (strictement comptitifs) / Jeux somme non-nulle

Jeux information complte / Jeux information incomplte Jeux information parfaite / Jeux information imparfaite

Jeux coopratifs / Jeux non-coopratifs

Jeux 2 joueurs / Jeux njoueurs



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Plan du cours

Introduction - Formalisation dun jeu - Jeu sous forme normale - Jeusous forme extensive - Stratgie

Concepts de solution - Stratgies dominantes

Equilibre de Nash - Critre de Pareto - Niveau de scurit - Stratgiesmixtes

Rsolution par chainage arrire - Menaces crdibles - Equilibresparfaits en sous-jeux

Jeux somme nulle

Jeux rpts - Dilemme itr du prisonnier

Jeux information incomplte

Jeux coopratifs - Marchandage



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Formalisation dun Jeu

Quest-ce quun jeu ?

Qui?Joueurs Quoi?Coups (actions/choix) - Stratgies

Quand?Droulement du jeu

Combien?Que rapporte chaque issue aux diffrents joueurs ?Autres informations importantes:

Information

Rptition



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Jeux sous forme stratgique - Exemple

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0



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Utilit

Une hypothse de base de la thorie des jeux est de considrer que lesagents sont rationnels, cest--dire quils tentent darriver la situation

lameilleurepour eux. On appelleUtilitela mesure de chaque situation aux yeux de lagent.

LUtilitenest ni une mesure du gain matriel, montaire, etc. mais unemesuresubjectivedu contentement de lagent.



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Utilit

Une hypothse de base de la thorie des jeux est de considrer que lesagents sont rationnels, cest--dire quils tentent darriver la situation

lameilleurepour eux. On appelleUtilitela mesure de chaque situation aux yeux de lagent.

LUtilitenest ni une mesure du gain matriel, montaire, etc. mais unemesuresubjectivedu contentement de lagent.

Utiliser une fonction dutilit pour dfinir les prfrences de lagent nesuppose pas que lagent utilise cette fonction, mais quil raisonne con-formment un ensemble de conditions de rationalit. Von Neuman etMorgenstern (1944), Savage (1954).



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Jeux sous forme stratgique

Un jeu sous forme stratgique est dfini par :

un ensembleN ={1, . . . , n}de joueurs pour chaque joueuriun ensemble de stratgiesSi ={s1, . . . , sni}

pour chaque joueur iune fonction de valuation i : S1 . . . Sn IR,qui chaque ensemble de stratgies associe les gains du joueuri.

Notations :

On noterasun profil de stratgies{s1, . . . , sn}oi si Si.

On notesile profilsdes stratgies autres que celles du joueur i:si ={s1, . . . , si1, si+1, . . . , sn}.

On noteSlespace des stratgies, ie : S=ni=1Si



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Jeux sous forme extensive - Exemple

1

2 2

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

s t u v



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Jeux sous forme extensive

Un jeu sous forme extensive est dfini par :

un ensembleN ={1, . . . , n}de joueurs un arbre fini compos de :

un ensemble de noeuds{A , B , C , . . .}reprsentant les coups

un ensemble de branches{x , y , z , . . .}reprsentant les alternatives

chaque coup une fonction de nommage qui indique chaque noeud quel est le

joueur qui doit jouer

une fonction de valuation qui associe chaque noeud terminal un

vecteur de nombres reprsentant les gains de chacun des joueurs une partition des noeuds en un ensemble densembles dinformations

reprsentant les croyances (imparfaites) des joueurs



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Jeux sous forme extensive - Ensemble dinformations

Joueur 1

A

Joueur 2B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

s t u v



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A

B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

s t u v



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A

B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

u vu v



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A

B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

u vu v

Ensembles dinformation : {A}et{B, C}

Coups simultans Incertitude (croyances)



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Relation entre formes stratgique et extensive

A chaque jeu sous forme extensive correspond un jeu sous formestratgique dans lequel les joueurs choisissent simultanment les

stratgies quils mettront en oeuvre. En revanche, un jeu sous forme stratgique peut correspondre

plusieurs jeux sous forme extensive diffrents.



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A chaque jeu sous forme extensive correspond un jeu sous formestratgique dans lequel les joueurs choisissent simultanment les

stratgies quils mettront en oeuvre. En revanche, un jeu sous forme stratgique peut correspondre

plusieurs jeux sous forme extensive diffrents.

Unestratgieest la spcification complte du comportement dunjoueur dans nimporte quelle situation (dans un jeu sous formeextensive cela signifie donc pour chaque ensemble dinformation ocest ce joueur de jouer).

Algorithme



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Stratgie

Une strategie pure du joueur i est un plan daction qui prescrit uneaction de ce joueur pour chaque fois quil est susceptible de jouer. On

note par Si lensemble des stratgies pures du joueur iet par si unestratgie pure de ce joueur.



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Forme stratgique :

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0



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Forme stratgique :

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0

Forme extensive :

A

B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

u v u v



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Forme stratgique :

Joueur 2

Joueur 1s1 s2 s3 s4

x 4,2 4,2 3,1 3,1y 2,5 9,0 2,5 9,0

Forme extensive :

A

B C

(4,2) (3,1) (2,5) (9,0)

x y

u v u v

s1: u si x, u si y s2: u si x, v si y

s3: v si x, u si y s4: v si x, v si y



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Elimination de stratgies domines

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0



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Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0



29/162


Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0



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Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0

Une stratgiesiest (strictement) domine pour le joueur isi il existeune stratgiesi telle que pour tous les profilssi

i(si

, si)> i(si, si)



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Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,2 3,1y 2,5 9,0

Une stratgiesiest faiblement domine pour le joueurisi il existe unestratgie si telle que pour tous les profils si

i(si

, si) i(si, si)



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Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,6 7,1 4,8y 5,1 8,2 6,1

z 6,0 6,2 3,2



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Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,6 7,1 4,8y 5,1 8,2 6,1

z 6,0 6,2 3,2



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Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,6 7,1 4,8y 5,1 8,2 6,1

z 6,0 6,2 3,2



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Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,6 7,1 4,8y 5,1 8,2 6,1

z 6,0 6,2 3,2



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Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,6 7,1 4,8y 5,1 8,2 6,1

z 6,0 6,2 3,3



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Un jeu est dit rsolvable par limination itrative des stratgiesdomines, si on obtient un unique profil en liminant successivement

des stratgies (strictement) domines. Les profils obtenus aprs limination itrative des stratgies

(strictement) domines (EISD) ne dpendent pas de lordre choisi pourllimination des stratgies.

Par contre, on peut obtenir des profils diffrents lorsque lon choisit desordres diffrents pour llimination itrative de stratgies faiblementdomines (EISfD).

Les rsultats obtenus par EISD sont donc plus robustes que ceux

obtenus par EISfD. Problme majeur de cette mthode: tous les jeux ne sont pas rsolvable

par EISD !



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0

z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



42/162

Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0



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Equilibre de Nash

Joueur 2

Joueur 1

u v wx 3,0 0,2 0,3y 2,0 1,1 2,0z 0,3 0,2 3,0

La notion dequilibre de Nashest une situation telle quaucun joueurna intrt dvier (seul) de la situation obtenue.

Un equilibre de Nashest un profil de stratgies s

={s

1, . . . , s

n}telque pour tout joueuri, pour toute stratgies Si:

i(s

1, s

i)i(s, si)



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Equilibre de Nash et fonction de meilleure rponse

La fonction de meilleure rponse du joueuriest la fonctionBiquiassocie chaque combinaison de stratgies des autres joueurs siles

stratgies du joueuriqui maximise son utilit:

Bi(si) ={siSit.q. i(si, si) i(s

i, si)pour touts

i Si}



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Equilibre de Nash et fonction de meilleure rponse

La fonction de meilleure rponse du joueuriest la fonctionBiquiassocie chaque combinaison de stratgies des autres joueurs siles

stratgies du joueuriqui maximise son utilit:

Bi(si) ={siSit.q. i(si, si) i(s

i, si)pour touts

i Si}

Un quilibre de Nash est un profils tel que la stratgie du joueur iestune meilleure rponse:

si Bi(s

i)pour touti N


E ilib d N h P i


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Equilibre de Nash: Proprits

Un profil (unique) obtenu par limination itrative de stratgies(strictement) domines (EISD) est un quilibre de Nash (et cest le seul

quilibre du jeu).


E ilib d N h P it


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quilibre du jeu). Un jeu (en stratgies pures) peut avoir plusieurs quilibres de Nash,

mais il peut aussi nen avoir aucun !


E ilib d N h P it


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Question: comment choisir un quilibre particulier lorsquil y en a

plusieurs ?


E ilib d N h P it


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plusieurs ? Deux quilibres de Nashs = (si , s

i)et s = (si , s

i)sontinterchangeablessi pour touti (si , s

i)et(s

i , s

i)sont aussi desquilibres de Nash.


Eq ilibre de Nash: Proprits


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plusieurs ? Deux quilibres de Nashs = (si , s

i)et s = (si , s

i)sontinterchangeablessi pour touti (si , s

i)et(s

i , s

i)sont aussi desquilibres de Nash.

Deux quilibres de Nashs ets sontquivalentssi ils donnent la mmeutilit tous les joueurs, i.e. pour touti N i(s) =i(s).


Critre de Pareto


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Critre de Pareto

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,4 3,1y 2,3 7,5


Critre de Pareto


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Critre de Pareto

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,4 3,1y 2,3 7,5

Un profils domineun profils au sens de Paretosi il est au moins aussibon pour tous les joueurs et sisest strictement meilleur pour au moinslun dentre eux, i.e. pour tout si set si s

on a si si et il existe

sj set s

j s

tel quesj > s

j .


Critre de Pareto


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Critre de Pareto

Joueur 2

Joueur 1u v

x 4,4 3,1y 2,3 7,5

Un profils domineun profils au sens de Paretosi il est au moins aussibon pour tous les joueurs et sisest strictement meilleur pour au moinslun dentre eux, i.e. pour tout si set si s

on a si si et il existe

sj set s

j s

tel quesj > s

j .

Un profil s domine strictement un profil s au sens de Pareto si seststrictement meilleur pour tous les joueurs, i.e. pour tout si set si s

on asi > si.


Critre de Pareto vs niveau de scurit


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Joueur 2

Joueur 1u v

x 9,9 0,8y 8,0 7,7




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Joueur 2

Joueur 1u v

x 9,9 0,8y 8,0 7,7

On dfinit leniveau de securite dune strategiesipour le joueur icomme le gain minimum que peut apporter cette stratgie quel que soitle choix des autres joueurs, soit

minsi i(si, si)

On dfinit leniveau de securite dun joueuricomme le niveau de scu-rit maximal des stratgies dei.


Points focaux


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Points focaux

Le problme pos par la multiplicit dquilibres de Nash est unproblme de coordination.

Pour certains jeux, certains quilibres semblent plus vidents quedautres aux joueurs. Cela est du certaines conventions sociales. Cesquilibres de Nash obtenus partir de ces conventions sont appelspoints focaux.


La guerre des sexes


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La guerre des sexes

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2


La guerre des sexes


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La guerre des sexes

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2

Sur cet exemple le niveau de scurit des deux joueurs est 0.


La guerre des sexes


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g

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2

Sur cet exemple le niveau de scurit des deux joueurs est 0.

Supposons que le joueur 1 joue alatoirementfetcavec uneprobabilit de1/2

1(, f) = 1/2 2 + 1/2 0 = 1

1(, c) = 1/2 0 + 1/2 1 = 1/2



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Stratgies pures - Stratgies mixtes


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g p g

Les stratgies que nous avons dfinies et utilises pour le moment sontdesstrategies pures, cest--dire les options qui se prsentent aux

joueurs. Unestrategie mixteiest une distribution de probabilit sur

lensemble des stratgies pures.

Lensemble des stratgies mixtes dun joueur ise notei.

Lensemble des stratgies pures utilises (i.e. dont la probabilit nestpas nulle) par une stratgie mixte iest appel lesupportde lastratgie mixte.

Notonspi(sk)la probabilit associe skpari, lutilit dun profil de

stratgies mixtesest dfinie par :

i() =XsS

(nY

j=1

pj(sj))i(s)


Stratgie


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g

Une strategie pure du joueur i est un plan daction qui prescrit uneaction de ce joueur pour chaque fois quil est susceptible de jouer. Onnote par Si lensemble des stratgies pures du joueur iet par si unestratgie pure de ce joueur.


Stratgie


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g


Unestrategie mixtedu joueur iest une distribution de probabilits pidfinie sur lensemble des stratgies pures du joueur i. On note ilensemble des stratgies mixtes du joueur i et par i une stratgiemixte de ce joueur.


Stratgie


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Unestrategie mixtedu joueur iest une distribution de probabilits pidfinie sur lensemble des stratgies pures du joueur i. On note ilensemble des stratgies mixtes du joueur i et par i une stratgiemixte de ce joueur.

Une strategie localedu joueur ien un ensemble dinformation Aestune distribution de probabilits sur lensemble des actions disponiblesen cet ensemble dinformation. On noteiAlensemble des stratgieslocales du joueuripour lensemble dinformationAetiAune stratgie

locale de ce joueur en A. Unestrategie comportementaledu joueuriest un vecteur de strat-

gies locales de ce joueur, contenant une stratgie locale par ensembledinformation de ce joueur. On noteilensemble des stratgies com-

portementales du joueuri, etiune stratgie comportementale de cejoueur.


Equilibres de Nash en stratgies mixtes


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DfinitionUn quilibre de Nash en stratgies mixtes est un profil de stratgiesmixtes tel que pour toutiet touti i

i(

i,

i)i(i,

i)




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i(

i,

i)i(i,

i)

Thorme. est un quilibre de Nash si et seulement si pour tout iet toutsi Si

i(i, i) i(si, i)




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i(

i,

i)i(i,

i)

Thorme. est un quilibre de Nash si et seulement si pour tout iet toutsi Si

i(i, i) i(si, i)

Thorme.[Nash, 1950]Tout jeu sous forme strategique a un equilibre deNash en strategies mixtes.


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

f c

f 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Soitxla probabilit avec laquelle le joueur 1 joue f, pour quelx

maximise-t-il son niveau de scurit ?


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

f c

f 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x


maximise-t-il son niveau de scurit ?1(, f) = x 2 + (1 x) 0 = 2x

1(, c) = x 0 + (1 x) 1 = 1 x


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

f c

f 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x


maximise-t-il son niveau de scurit ?1(, f) = x 2 + (1 x) 0 = 2x

1(, c) = x 0 + (1 x) 1 = 1 x

maxx

min(2x, 1 x) = 1/3


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

f c

f 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Soitxla probabilit avec laquelle le joueur 1 joue f, pour quelxmaximise-t-il son niveau de scurit ?

1(, f) = x 2 + (1 x) 0 = 2x

1(, c) = x 0 + (1 x) 1 = 1 x

maxx

min(2x, 1 x) = 1/3

Le niveau de scurit du joueur 1 est donc de2/3.


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

f c

f 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Soitxla probabilit avec laquelle le joueur 1 joue f, pour quelxmaximise-t-il son niveau de scurit ?

1(, f) = x 2 + (1 x) 0 = 2x

1(, c) = x 0 + (1 x) 1 = 1 x

maxx

min(2x, 1 x) = 1/3

Le niveau de scurit du joueur 1 est donc de2/3.

Que se passe-t-il si le joueur 2 est averti que le joueur 1 va jouer cettestratgie ?Introductiona la Theorie des Jeux p.33/77

Reprsentation graphique du jeu


75/162

0

1

2

1/3 2/3 1

1

x

2x




76/162

0

1

2

1/3 2/3 1

1

x

1 x




77/162

0

1

2

1/3 2/3 1

1

x

2x

1 x


La guerre des sexes


78/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0c 0,0 1,2

Soit y la probabilit avec laquelle le joueur 2 joue f, quelle est la meilleure

rponse du joueur 1 ?


La guerre des sexes


79/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0c 0,0 1,2


rponse du joueur 1 ?1(f, ) = y 2 + (1 y) 0 = 2y1(c, ) = y 0 + (1 y) 1 = 1 y


La guerre des sexes


80/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0c 0,0 1,2


rponse du joueur 1 ?1(f, ) = y 2 + (1 y) 0 = 2y1(c, ) = y 0 + (1 y) 1 = 1 y

Donc:

Si2y >1 y(y >1/3), la meilleure rponse du joueur 1 est de jouer f Si2y


81/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Soit x la probabilit avec laquelle le joueur 1 joue f, quelle est la meilleure

rponse du joueur 2 ?


La guerre des sexes


82/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Soit x la probabilit avec laquelle le joueur 1 joue f, quelle est la meilleure

rponse du joueur 2 ?2(, f) = x 1 + (1 x) 0 = x

2(, c) = x 0 + (1 x) 2 = 2(1 x)



83/162

La guerre des sexes


84/162

Joueur 2

Joueur 1

y 1 y

f cf 2,1 0,0 xc 0,0 1,2 1 x

Les gains des deux joueurs avec un profil en stratgie mixte sont donc:

1() = x y 2 +x (1 y) 0 + (1 x) y 0 + (1 x) (1 y) 1

= 3xy x y+ 1

2() = x y 1 +x (1 y) 0 + (1 x) y 0 + (1 x) (1 y) 2

= 3xy 2x 2y+ 2


La guerre des sexes


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Joueur 2

Joueur 1

1/3 2/3

f cf 2,1 0,0 2/3c 0,0 1,2 1/3


1() = 3xy x y+ 12() = 3xy 2x 2y+ 2

Le profil = (, )est donc un quili-bre de Nash en stratgie mixte.


La guerre des sexes


86/162

Joueur 2

Joueur 1

1/3 2/3

f cf 2,1 0,0 2/3c 0,0 1,2 1/3


1() = 3xy x y+ 12() = 3xy 2x 2y+ 2

Le profil = (, )est donc un quili-bre de Nash en stratgie mixte.

Les gains des deux joueurs avec

sont :1() = 3.2/3.1/3 2/3 1/3 + 1= 2/3

2() = 3.2/3.1/3 2.2/3 2.1/3 + 2

= 2/3




87/162

1/3 2/3 1

1/3

2/3

1

0

y

x

joueur1




88/162

1/3 2/3 1

1/3

2/3

1

0

y

x

joueur1

joueur2


Reprsentation graphique du jeuy


89/162

1/3 2/3 1

1/3

2/3

1

0x

joueur1

joueur2


Coopration - Itration - Corrlation


90/162

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2

Que se passe-t-il si les 2 joueurs peuvent communiquer avant dejouer ?




91/162

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2

Que se passe-t-il si les 2 joueurs peuvent communiquer avant dejouer ?1 =2 = 1/2 2 + 1/2 1 = 3/2




92/162

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2


Lorsque tous les joueurs peuvent observer un mme vnement

alatoire, ils peuvent alors saccorder sur desquilibres corrls Une stratgie corrle est une distribution de probabilits sur les

profils possibles.




93/162

Joueur 2

Joueur 1f c

f 2,1 0,0c 0,0 1,2


Lorsque tous les joueurs peuvent observer un mme vnement

alatoire, ils peuvent alors saccorder sur desquilibres corrls Une stratgie corrle est une distribution de probabilits sur les

profils possibles.

Que se passe-t-il si la partie est joue plusieurs fois ?


Itration: Le dilemme des prisonniers...


94/162

Deux personnes arrtes ensemble en possession darmes feu sontsouponns dun dlit fait en commun. Les policiers les sparent et disent chacun :

Si un des deux avoue et que lautre navoue rien, le premier est libr,et le second emprisonn (5 ans);

Si les deux avouent, les deux iront en prison (4 ans);

Si aucun des deux navoue, les deux seront seront librs assez vite (2ans).

Vous tes un des deux prisonniers, que faites-vous ?


[DIP] Le dilemme des prisonniers


95/162

Joueur 2

Joueur 1C D

C 3,3 0,5D 5,0 1,1


[DIP] Le dilemme itr...


96/162

Vous navez pas vraiment les mmes gots que votre voisin en matire demusique. Il lui arrive souvent dcouter sa musique fond. De mme ilvous arrive (en reprsailles) de mettre votre musique un volume plus queraisonnable. Ce qui a pour consquences que le lendemain il recommence nouveau. En dehors de ces priodes agites, vous apprciez les priodes oaucun de vous ne gne lautre.Supposons que lon pondre votre satisfaction :

Vous avez une satisfaction de 5 couter votre musique un volumeimportant.

La satisfaction est de 0lorsque votre voisin met sa musique fond.

Une soire calme, sans musique vous apporte une satisfaction de 3.

Le fait dcouter simultanment votre musique mle celle du voisin,donne une satisfaction de 1.

Vous savez ce que votre voisin a eu comme comportement les joursprcdents, que faites-vous aujourdhui?Introductiona la Theorie des Jeux p.42/77

[DIP] Le dilemme . . .


97/162

Introduction par FLOODet DRESHER la RAND Corp. en 1952

Jeu somme non-nulle

2 joueurs jouent simultanment 2 choix de jeux :

COOPERER, i.e. tre gentil, on notera C TRAHIR, i.e. tre mchant, on notera D

Les gains des joueurs, notsS,P,Ret T, sont fonction de leur choixde jeu avec :

S < P < R < T(0)


[DIP] Le dilemme itr . . .


98/162

Les joueurs se rencontrent plusieurs fois

chaque itration les joueurs ont connaissance des coups prcdents

Ils ne connaissent pas le terme du jeu Le gain dun joueur est le cumul de ses gains dans chaque rencontre

Pour favoriser la coopration on ajoute la contrainte :

S+T


99/162

Dilemme... S < P < R < T

...itr S+T


100/162

Deux pays doivent-ils lever des taxes douanires sur les produitsimports de lautre pays.

Deux entreprises concurrentes doivent-elles essayer de sentendrepour se partag un march ou se faire concurrence ?

Deux espces vivant sur un mme territoire doivent-elles cohabiter ouse disputer la nourriture disponible ?


[DIP] Les stratgies


101/162

Quelques exemples :

gentille

mchante

per_CCD

rancunire

lunatique

majoritaire_gentille

majoritaire_mchante

donnant_donnant



102/162

[DIP] Quelle est la meilleurestratgie ?


103/162

qui batte toutes les autres :




104/162

qui batte toutes les autres :mchante, car gnralisation du dilemme non itr




105/162


qui fasse le meilleur score possible face toutes les autres :



106/162



107/162


qui fasse le meilleur score possible face toutes les autres :aucune, car meilleure contre mchanteet contre rancunireest impossible

Problme de dfinition du critre dvaluation des stratgies




108/162

Sur des confrontations de 100 parties :

Le gain maximal est de 500 points

Le gain minimal est de 0 pointCest ce quobtiennent MCHANTEet GENTILLElune contre lautre.




109/162

Sur des confrontations de 100 parties :

Le gain maximal est de 500 points

Le gain minimal est de 0 pointCest ce quobtiennent MCHANTEet GENTILLElune contre lautre.Mais...

2 gentilles entre elles obtiennent chacune 300 points

2 mchantes entre elles obtiennent chacune 100 points

Chaque stratgie est bonne (au sens du meilleur score) face certaineset mauvaises face dautres car elle ne sait pas qui elle a affaire.


[DIP] Les tournois


110/162

Plusieurs stratgies se rencontrent 2 2, comme pour un tournoi sportif

Le gain dune stratgie est le cumul de ses scores face chaqueadversaire

Toutes les parties ont la mme longueur (mme nombre ditrations),mais les stratgies ne la connaissent pas et ne peuvent pas le savoir


[DIP] Exemples (tournoi)


111/162

gentille mchante per_CCD rancunire

gentille 30 50 36 30

mchante 0 10 3 9per_CCD 21 38 24 33

rancunire 30 14 13 30

Score 81 112 76 102

Classement

8>>>>>:

1 mchante2 rancunire

3 gentille4 per_CCD



112/162

[DIP] Un tournoi

gentille rancunire majoritaire mchante


113/162

gentille

mchante

lunatique donnant_donnant

rancunire

per_DDC

per_CCD majoritaire_gentille

majoritaire_mchante

mfiante

sondeur donnant_donnant_dur

Scores :

donnant_donnant : 42

majoritaire_gentille : 19rancunire : 4sondeur : 1lunatique : 0

mchante : 0



114/162

[DIP] donnant-donnant : une bonne stratgie

Au premier coup je coopre (C) ensuite si mon adversaire a coopr (C) au


115/162

Au premier coup je coopre (C), ensuite si mon adversaire a coopr (C) aucoup prcdent, je coopre (C), sil a trahi (D), je trahis (D).

donnant-donnant ne gagne jamais contre personne !





116/162


donnant-donnant ne gagne jamais contre personne ! Au mieux elle fait le mme score.





117/162


donnant-donnant ne gagne jamais contre personne ! Au mieux elle fait le mme score.

Mais, au pire elle ne perd que 5 points quel que soit ladversaire et lalongueur de la partie !


[DIP] volution cologique

Simulation de lvolution naturelle :


118/162

Simulation de l volution naturelle :

Chaque stratgie est reprsente par une population deNentits On effectue un tournoi entre toutes les entits

Les entits de faibles stratgies (au sens du classement dans letournoi) sont dfavorises, celles stratgie forte sont favorises

La favorisation est ralise par une redistribution proportionnelle de lapopulation

Ce cycle est rpt jusqu stabilisation de la population


[DIP] Exemples (volution)

400


119/162

0

50

100

150

200

250

300

350

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

spitefulall_call_d

per_ccd


[DIP] Une morale trs morale...

Critres de qualit pour une stratgie (en volution) : [Axelrod,81]


120/162

C s q a p s a g ( ) [ , ]

Gentillesse

Ractivit Pardon

Simplicit





121/162

q p g ( ) [ , ]

Gentillesse

Ractivit Pardon

Simplicit

Les bonnes stratgies au dilemme le sont aussi dans les variantes du

dilemme (asynchrone, avec renoncement, bruits, . . . )





122/162

q p g ( ) [ ]

Gentillesse

Ractivit Pardon

Simplicit

Les bonnes stratgies au dilemme le sont aussi dans les variantes du

dilemme (asynchrone, avec renoncement, bruits, . . . )Pour plus de dtails sur le dilemme itr des prisonniers :

http://www.lifl.fr/IPD



123/162

Jeux rpts

Soit un jeuG={S, {i}i=1,...,n}, oSest lensemble (fini) des profils


124/162

de stratgies etiest la fonction dutilit du joueur i.

On note(G, T)le jeu rpt obtenu en jouant Tfois le jeu de base G.

Lorsque le jeu est rpt un nombre infini de fois, on note(G, )le jeucorrespondant.

On peut galement distinguer les jeux rpts un nombre fini, mais

indfini de fois: chaque tour, il y a une probabilit 1 qque le jeusarrte.


Jeux rpts

Soit un jeuG={S, {i}i=1,...,n}, oSest lensemble (fini) des profils


125/162

de stratgies etiest la fonction dutilit du joueur i.

On note(G, T)le jeu rpt obtenu en jouant Tfois le jeu de base G.

Lorsque le jeu est rpt un nombre infini de fois, on note(G, )le jeucorrespondant.

On peut galement distinguer les jeux rpts un nombre fini, mais

indfini de fois: chaque tour, il y a une probabilit 1 qque le jeusarrte.

Facteur dactualisation : Lorsquun jeu est rpt, il se peut que lesgains obtenus litration courantetsoient plus/moins importants auxyeux de lagent que les gains litration suivante t+1. Pour modlisercela on peut utiliser un facteur dactualisation.

t =t+1

Le facteur dactualisation=t/t+1reprsente donc lattrait du joueurpour les gains actuels. Introduction a la Theorie des Jeux p.59/77


126/162


127/162

Jeux rpts: Thorme Folk

Lutilit dun joueur dans un jeu rpt est donc:


128/162

i(G, T) = Tt=0

ti(t)

Pour pouvoir comparer le gain dans le cas du jeu rpt celui du jeude base, on utilise la moyenne des gains du joueur: i(G, T)/T

Siti(t) =, alorsi(G, ) = 11





129/162

i(G, T) = Tt=0

ti(t)



Thorme Folk: Soit un jeu rpt(G, )avec un facteurdactualisationsuffisamment proche de 1 et = (1, . . . , 2)unvecteur de gains ralisable de ce jeu, alors il existe un quilibre deNash du jeu rpt qui donnecomme vecteur de gains.





130/162

i(G, T) = Tt=0

ti(t)




Lquilibre de Nash en question est un quilibre de Nash parfait ensous-jeux (voir plus loin). Notion de menace crdible.





131/162

i(G, T) = Tt=0

ti(t)




Lquilibre de Nash en question est un quilibre de Nash parfait ensous-jeux (voir plus loin). Notion de menace crdible.

Ce rsultat signifie que lensemble des quilibres de Nash dun jeurpt est immense: quasiment toute squence (finie) de jeu correspond un quilibre de Nash.


Jeux deux joueurs Somme nulle

Rle central le plus simple


132/162

le plus simple pas de notion de majorit pas de coalition



133/162




134/162


Strictement Comptitif Les joueurs ont des prfrences strictement opposes

Pour tout profil de stratgiess, on a1(s) +2(s) = 0





135/162


Strictement Comptitif Les joueurs ont des prfrences strictement opposes

Pour tout profil de stratgiess, on a1

(s) +2

(s) = 0 Exemples :

Jeux de plateau (echecs, dames,. . .) Guerre

. . .



136/162

Jeux deux joueurs somme nulle - Exemple

Joueur 2


137/162

Joueur 1

y1 y2 y3 y4

x1 18 3 0 2x2 0 3 8 20x3 5 4 5 5

x4 9 3 0 20



Joueur 2


138/162

Joueur 1

y1 y2 y3 y4

x1 18 3 0 2x2 0 3 8 20x3 5 4 5 5

x4 9 3 0 20 Le joueur 1 tente de maximiser son niveau de scurit

vx = maxi(minj(xi, yj))

Le joueur 2 tente de minimiser le niveau de scurit du joueur 1 vy = minj(maxi(xi, yj))



Joueur 2


139/162

Joueur 1

y1 y2 y3 y4

x1 18 3 0 2x2 0 3 8 20x3 5 4 5 5

x4 9 3 0 20 Le joueur 1 tente de maximiser son niveau de scurit

vx = maxi(minj(xi, yj))

Le joueur 2 tente de minimiser le niveau de scurit du joueur 1 vy = minj(maxi(xi, yj))

Si vx = vy = v, alors tout couple de stratgies (xi, yi), xi garantissantv au joueur 1 et yi garantissant v au joueur 2 forment un quilibre de

Nash et sont des stratgies respectivement maximin et minimax pourles joueurs 1 et 2. Introduction a la Theorie des Jeux p.62/77


13

1

2

3 (3,2,9)z

w x x w


140/162

(3,2,9)

(3,0,0) 2 (1,0,3) (3,2,2) (2,3,1) (5,5,5)

(4,2,4) (2,3,1)

x y u y y u

w u



13

1

2

3 (3,2,9)z

w x x w


141/162

( , , )

(3,0,0) 2 (1,0,3) (3,2,2) (2,3,1) (5,5,5)

(4,2,4) (2,3,1)

x y u y y u

w u

Rcurrence rebours (backward induction)

On commence par chercher les choix optimaux la dernirepriode (noeuds terminaux).

On remonte larbre de noeud en noeud, en cherchant chaquenoeud le choix optimal, une fois quon a pris en compte les choix

optimaux pour chaque noeud fils.Introductiona la Theorie des Jeux p.63/77


Tout jeu (fini) sous forme extensive a information parfaite a un

equilibre de Nash en strategies pures (equilibre obtenable par

` b ) (Z l (1953) K h (1953))


142/162

recurrence a rebours).(Zermelo (1953), Kuhn (1953))


Forme extensive - Sous-jeu

1


143/162

(2,2)2

(3,1)1

(2,-2) (-2,2) (-2,2) (2,-2)

x y

u v

r s2

w zw

z



1


144/162

(2,2)2

(3,1)1

(0,0)

x y

u v



1


145/162

(2,2)2

(3,1)1

(0,0)

x y

u v

Un sous-jeudun jeu sous forme extensive est un jeu compos dun noeud(qui est un ensemble dinformation singleton), de tous les noeuds successeursde ce noeud, de tous les arcs reliant ces noeuds, et des utilits associes tous les noeuds terminaux successeurs.



146/162

Forme extensive - Menaces non crdibles

1 Joueur 2


147/162

(2,2)2

(3,1) (0,0)

x y

u v Joueur 1u v

x 2,2 2,2y 3,1 0,0

lquilibre de Nash xv nest pas crdible car il repose sur la menacenon-crdible du joueur 2 de jouerv.


Equilibre parfait en sous-jeux

Un quilibre de Nash dun jeu sous forme extensive est un equilibreparfait en sous-jeuxsi toute restriction du profil de stratgies un sous-jeu est un quilibre de Nash pour ce sous-jeu


148/162

jeu est un quilibre de Nash pour ce sous jeu.


Equilibre parfait en sous-jeux

Un quilibre de Nash dun jeu sous forme extensive est un equilibreparfait en sous-jeuxsi toute restriction du profil de stratgies un sous-jeu est un quilibre de Nash pour ce sous-jeu


149/162

jeu est un quilibre de Nash pour ce sous jeu.

Pour les jeux informations parfaites, la notion dquilibre parfait ensous-jeux concide avec la notion de rcurrence rebours.


Promesse non crdible

(2,-1)1

Exploiter 2


150/162

1

(1,1)2

(0,0)

Daccord pour travailler

Pas daccord pour travailler

Ne pas exploiter 2


Promesse non crdible

(2,-1)1

Exploiter 2


151/162

1

(1,1)2

(0,0)

Daccord pour travailler

Pas daccord pour travailler

Ne pas exploiter 2

Rputation


Le mille-pattes - Limites de la rcurrence rebours

1 2 1 1 2 1 2(100 100)


152/162

. . . (100,100)

(1,1) (0,3) (2,2) (98,98) (97,100) (99,99) (98,101)

RD rd RD RD rd RD rd


Limites de la rcurrence rebours

Un jeu de partage : Les joueurs 1 et 2 doivent se partager 10 euros. Le joueur1 choisit dabord un partage quelconque. Le joueur 2 peut accepter ou refuser. Si

le joueur 2 refuse, il fait une proposition pour partager 1 euro. Le joueur 1 peut


153/162

accepter ou refuser. Si le jouer 1 refuse les deux joueurs ne gagnent rien.


Limites de la rcurrence rebours

Un jeu de partage : Les joueurs 1 et 2 doivent se partager 10 euros. Le joueur1 choisit dabord un partage quelconque. Le joueur 2 peut accepter ou refuser. Si

le joueur 2 refuse, il fait une proposition pour partager 1 euro. Le joueur 1 peut


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accepter ou refuser. Si le jouer 1 refuse les deux joueurs ne gagnent rien.

Ecrire ce jeu sous forme extensive en ne considrant que les partages(5,5) et (8.5,1.5) pour 1 et le partage (0.5,0.5) pour 2.


Jeux coopratifs 2 joueurs

Dans les jeux coopratifs on autorise la communication et les accordsentre joueurs avant la partie.

Tous les messages formuls par un joueur sont transmis sans


155/162

g p j

modification lautre joueur. Tous les accords entre joueurs seront respects. Lvaluation des situations par un joueur nest pas perturbe par les

ngociations prliminaires.

Guerre des sexes


Jeu de marchandage - Ensemble de ngociation

L ensemble de negociation dun jeu de marchandage est lensemble desissues :

ralisables


156/162

appartenant lespace de marchandage efficientes

telles quaucune autre issue ne donne plus un joueur et autant lautre (non pareto-domine)

individuellement rationnelles chaque joueur gagne au moins autant que le gain quil est sur

dobtenir si il ny a pas daccord.


Jeu de Marchandage - Solution de Nash

Invariance a lechelle dutiliteSi[R1, (u1, v

1)]et[R2, (u

2, v

2)]sont deux versions du mme jeu demarchandage, ie si ils ne diffrent que sur les units et lorigine desf ti d tilit l l d l ti F ([R ( )]) t


157/162

fonctions dutilits, alors les deux solutionsF([R1, (u1

, v1

)])etF([R2, (u

2, v

2)])doivent tre les mmes au changement dchelle prs.

Pareto optimaliteLa solution du jeu de marchandage(u0, v0)doit satisfaire les propritssuivantes :

u0u etv0 v

(u0, v0)est un point deR

il ny a pas de (u, v)dansR(diffrent de(u0, v0)) tel queu u0etvv0.



Independance des alternatives non disponiblesSoient deux jeux de marchandage avec le mme point de status quo ettels que les issues du premier sont incluses dans les issues du second.


158/162

Si la solution du second jeu est ralisable dans le premier jeu, alors cedoit tre aussi la solution du premier jeu : SiR1R2etF([R2, (u, v)])R1, alors

F([R1, (u, v)]) =F([R2, (u

, v)])

SymetrieSi un jeu de marchandage a les proprits suivantes : u =v

(u, v)Rimplique(v, u) R

(u0, v0) =F([R, (u

, v

)])Alors

u0 =v0



Soit un jeu de marchandage[R, (u, v)], procdons comme suit :

Changeons lorigine des utilits des joueurs pour que le point(u, v)soit transform en (0 0) Soit [R (0 0)] le jeu correspondant


159/162

soit transform en(0, 0). Soit[R , (0, 0)]le jeu correspondant.

Dans R trouver (lunique) point (u0, v

0)(u

0 > 0et v

0 > 0) tel que u

0v

0

est le maximum de tous les produits uv avec (u, v)dans R (u > 0 etv >0).

Le point (u0, v0) est la solution de Nash du jeu [R, (0, 0)]. La solution deNash de[R, (u, v)]est obtenu en inversant la transformation dutilit.



Soit un jeu de marchandage[R, (u, v)], procdons comme suit :

Changeons lorigine des utilits des joueurs pour que le point(u, v)soit transform en (0 0) Soit [R (0 0)] le jeu correspondant


160/162

soit transform en(0, 0). Soit[R , (0, 0)]le jeu correspondant.

Dans R trouver (lunique) point (u0, v

0)(u

0 > 0et v

0 > 0) tel que u

0v

0

est le maximum de tous les produits uv avec (u, v)dans R (u > 0 etv >0).

Le point (u0, v0) est la solution de Nash du jeu [R, (0, 0)]. La solution deNash de[R, (u, v)]est obtenu en inversant la transformation dutilit.

Thorme. Lunique solution qui verifie les 4 proprietes desirees est la

solution de Nash.(Nash (1950))


Jeux contre la nature

Si on considre un jeu deux joueurs dont un des deux joueurs est lanature, on fait de la dcision dans le risque ou dans lincertain.

En ce sens la thorie de la dcision peut tre vue comme un cas partic-


161/162

ulier de la thorie des jeux.


Conclusion

Jeux coopratifs

Jeux information incomplte

Rationalit limite


162/162


the orie des jeux

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