UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

MEacuteMOIRE

PREacuteSENTEacute

COMME EXIGENCE PARTIELLE

DE LA MAIcircTRISE EN MATHEacuteMATIQUES

PAR

WALID MATHLOUTHI

JANVIER 2007

UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL Service des bibliothegraveques

A verfissement

La diffusion de ce meacutemoire se fait dans le respect des droits de son auteur qui a signeacute le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supeacuterieurs (SDU-522 - Reacutev01-2006) Cette autorisation stipule que laquoconformeacutement agrave larticle 11 du Regraveglement no 8 des eacutetudes de cycles supeacuterieurs [lauteur] concegravede agrave lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal une licence non exclusive dutilisation et de publication de la totaliteacute ou dune partie importante de [son] travail de recherche pour des fins peacutedagogiques et non commerciales Plus preacuteciseacutement [lauteur] autorise lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal agrave reproduire diffuser precircter distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche agrave des fins non commerciales sur quelque support que ce soit y compris lInternet Cette licence et cette autorisation nentraicircnent pas une renonciation de [la] part [de lauteur] agrave [ses] droits moraux ni agrave [ses] droits de proprieacuteteacute intellectuelle Sauf entente contraire [lauteur] conserve la liberteacute de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possegravede un exemplaireraquo

Agrave ma chegravere grand megravere

Agrave mes chers parents

Agrave mes fregraveres et mes soeurs

Agrave toute ma famille

Agrave tous mes amis

Agrave toutes les personnes qui mont soutenu

REMERCIEMENTS

Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche

Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail

Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute

agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma

offert tou t le long de ma maicirctrise

Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron

le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de

reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres

Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement

soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures

Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal

Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute

TABLE DES MATIEgraveRES

LISTE DES FIGURES VI

REacuteSUMEacute IX

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4

11 Analyse convexe 4

12 Transformation de Legendre 7

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11

13 Ineacutegaliteacute de Young 24

CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26

21 Eacutequations fondamentales 28

22 Potentiels thermodynamiques 29

221 Fonction eacutenergie libre 29

222 Fonction enthalpie 30

223 Fonction enthalpie libre 31

224 Fonction grand potentiel 32

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41

CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43

31 Graphes simples graphes connexes 43

32 Espegraveces 44

33 Seacuteries formelles associeacutees 45

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50

35 Graphes irreacuteductibles 56

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

UNIVERSITEacute DU QUEacuteBEC Agrave MONTREacuteAL Service des bibliothegraveques

A verfissement

La diffusion de ce meacutemoire se fait dans le respect des droits de son auteur qui a signeacute le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supeacuterieurs (SDU-522 - Reacutev01-2006) Cette autorisation stipule que laquoconformeacutement agrave larticle 11 du Regraveglement no 8 des eacutetudes de cycles supeacuterieurs [lauteur] concegravede agrave lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal une licence non exclusive dutilisation et de publication de la totaliteacute ou dune partie importante de [son] travail de recherche pour des fins peacutedagogiques et non commerciales Plus preacuteciseacutement [lauteur] autorise lUniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal agrave reproduire diffuser precircter distribuer ou vendre des copies de [son] travail de recherche agrave des fins non commerciales sur quelque support que ce soit y compris lInternet Cette licence et cette autorisation nentraicircnent pas une renonciation de [la] part [de lauteur] agrave [ses] droits moraux ni agrave [ses] droits de proprieacuteteacute intellectuelle Sauf entente contraire [lauteur] conserve la liberteacute de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possegravede un exemplaireraquo

Agrave ma chegravere grand megravere

Agrave mes chers parents

Agrave mes fregraveres et mes soeurs

Agrave toute ma famille

Agrave tous mes amis

Agrave toutes les personnes qui mont soutenu

REMERCIEMENTS

Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche

Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail

Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute

agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma

offert tou t le long de ma maicirctrise

Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron

le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de

reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres

Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement

soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures

Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal

Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute

TABLE DES MATIEgraveRES

LISTE DES FIGURES VI

REacuteSUMEacute IX

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4

11 Analyse convexe 4

12 Transformation de Legendre 7

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11

13 Ineacutegaliteacute de Young 24

CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26

21 Eacutequations fondamentales 28

22 Potentiels thermodynamiques 29

221 Fonction eacutenergie libre 29

222 Fonction enthalpie 30

223 Fonction enthalpie libre 31

224 Fonction grand potentiel 32

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41

CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43

31 Graphes simples graphes connexes 43

32 Espegraveces 44

33 Seacuteries formelles associeacutees 45

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50

35 Graphes irreacuteductibles 56

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

Agrave ma chegravere grand megravere

Agrave mes chers parents

Agrave mes fregraveres et mes soeurs

Agrave toute ma famille

Agrave tous mes amis

Agrave toutes les personnes qui mont soutenu

REMERCIEMENTS

Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche

Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail

Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute

agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma

offert tou t le long de ma maicirctrise

Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron

le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de

reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres

Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement

soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures

Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal

Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute

TABLE DES MATIEgraveRES

LISTE DES FIGURES VI

REacuteSUMEacute IX

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4

11 Analyse convexe 4

12 Transformation de Legendre 7

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11

13 Ineacutegaliteacute de Young 24

CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26

21 Eacutequations fondamentales 28

22 Potentiels thermodynamiques 29

221 Fonction eacutenergie libre 29

222 Fonction enthalpie 30

223 Fonction enthalpie libre 31

224 Fonction grand potentiel 32

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41

CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43

31 Graphes simples graphes connexes 43

32 Espegraveces 44

33 Seacuteries formelles associeacutees 45

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50

35 Graphes irreacuteductibles 56

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

REMERCIEMENTS

Je tiens agrave adresser mes remerciements les plus sincegraveres agrave mon directeur de recherche

Monsieur le professeur Pierre Leroux qui ma donneacute lopportuniteacute de reacutealiser ce travail

Sa rigueur scientifique ses bons conseils ses encouragements ont grandement contribueacute

agrave finaliser ce travail Je tiens eacutegalement agrave le remercier du soutien financier quil ma

offert tou t le long de ma maicirctrise

Je suis tregraves sensible agrave lhonneur que mont fait Messieurs le professeur Franccedilois Bergeron

le professeur Christophe Reutenauer et le professeur Gilbert Labelle en acceptant de

reacuteviser mon meacutemoire Quils trouvent ici mes remerciements les plus sincegraveres

Je voudrais aussi remercier mes parents ma famille et mes amis qui mont grandement

soutenu et encourageacute constament agrave reacutealiser mes recircves daccomplir mes eacutetudes supeacuterieures

Ma reconnaissance seacutetend au personnel de luniversiteacute du Queacutebec agrave Montreacuteal

Enfin je remercie tous ceux qui mont soutenu et encourageacute

TABLE DES MATIEgraveRES

LISTE DES FIGURES VI

REacuteSUMEacute IX

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4

11 Analyse convexe 4

12 Transformation de Legendre 7

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11

13 Ineacutegaliteacute de Young 24

CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26

21 Eacutequations fondamentales 28

22 Potentiels thermodynamiques 29

221 Fonction eacutenergie libre 29

222 Fonction enthalpie 30

223 Fonction enthalpie libre 31

224 Fonction grand potentiel 32

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41

CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43

31 Graphes simples graphes connexes 43

32 Espegraveces 44

33 Seacuteries formelles associeacutees 45

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50

35 Graphes irreacuteductibles 56

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

TABLE DES MATIEgraveRES

LISTE DES FIGURES VI

REacuteSUMEacute IX

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE 4

11 Analyse convexe 4

12 Transformation de Legendre 7

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques 11

13 Ineacutegaliteacute de Young 24

CHAPITRE II TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE 26

21 Eacutequations fondamentales 28

22 Potentiels thermodynamiques 29

221 Fonction eacutenergie libre 29

222 Fonction enthalpie 30

223 Fonction enthalpie libre 31

224 Fonction grand potentiel 32

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait 33

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques 36

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques 41

CHAPITRE III THEacuteORlE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES 43

31 Graphes simples graphes connexes 43

32 Espegraveces 44

33 Seacuteries formelles associeacutees 45

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes) 50

35 Graphes irreacuteductibles 56

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

v

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures 68

CHAPITRE IV TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES ESPEgraveCES 72

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte 72

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapport agrave une sorte 74

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) 75

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet 77

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z) 79

45 Geacuteneacuteralisation 82

CONCLUSION 94

BIBLIOGRAPHIE 95

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

LISTE DES FIGURES

11 Transformeacutee de Legendre 9 (P) = sup (px - f (x)) 9 xEIR

12 Un ressort 20

21 La fonction ltp (r) 33

31 Un graphe simple connexe 44

32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes 47

33 Trois exemples de graphes inseacuteparables 47

34 Un arbre 48

35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres 50

36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le bc-arbre bc(g) 51

37 Ck = E (B (CEuml)) 52

38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes 54

39 C - CB = NB (CEuml) 57

310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles 58

311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM)) 58

312 CMb (X) = Mmiddot (X E (bCMb (X))) 59

313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes 60

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

VII

314 CAb = M (X E (bCMb)) 61

315 CITb = b (CMbf 62

316 Un M-graphe avec pieds 62

317-zM(XE(Z))=M-(XE(Z)) 63

318 QM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT)) 64

319 AM (X T) = bT + bM- (XE (AM (X T))) 66

320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds 67

321 QA(XT) =M(XE(AM)) 68

322 QIT (X T) = lAM (AM - bT) 69

323 Une G-arborescence 70

41 AM (XT) =bT+bXE(AM(XT)) 78

42 A(XT) = bT+bXE~dA(XT)) 79

43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g7[ 83

44 Une Note 83

45 a) Un ltN-graphe g b) le multigraphe induit g7[ 84

46 ltiv=N-(XmiddotE(ltiv)) 85

47 ltivb(X) = N- (X E (bltivdX))) 86

48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes 87

49 Une note avec pieds 88

410 QN (X T) = bE2 (T) + ltNb (XE (bT)) 90

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

viii

411 AN (XT) = bT+bNmiddot (XE (AN (XT))) 91

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

REacuteSUMEacute

La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions convexes deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces de Bashynach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement la transformashytion de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes essentielles de cette transformation

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous deacuteshyfinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de leacutenergie interne

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les Cs-graphes ie les graphegt connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inseacuteparables B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes connexes dont toutfgt les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes-connexes)

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte En effet Pierre Leroux a eacuteteacute le premier agrave relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espegravecegt de structures) Il a deacutemontreacute (Leroux 2003) que les CM-graphes sont lieacutees au M-graphes par transformation de Legendre Dans ce meacutemoire on montre par une construction originale que lespegravece M des graphes irreacuteductiblec peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N[O] =0

Mots cleacutes Fonctions convexes ensembles convexes transformation de Legendre potenshytiels thermodynamiques eacutenergie interne fonction de partition graphes isthme bloc motte graphes inseacuteparables graphes irreacuteductibles espegravece de structures note

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

x

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

INTRODUCTION

La transformation de Legendre est dabord deacutefinie pour les fonctions convexes Deux

fonctions deacuterivables et convexes f et 9 sont relieacutees par la transformation de Legendre si et

seulement si df = (dg)[-l) Autrement dit f et 9 sont telles que lune est la transformeacutee

de Legendre de lautre si et seulement si leurs deacuteriveacutees premiegraveres sont telles que lune

est la fonction inverse de lautre Par conseacutequent la transformation de Legendre est

clairement une involution Mentionnons quune fonction et sa transformeacutee de Legendre

nont pas neacutecessairement le mecircme domaine En effet les fonctions reacuteelles dune variable

reacuteelle x x gt-------t exp (x) et x gt-------t x ln (x) - x sont telles que lune est la transformeacutee de

Legendre de lautre mais leurs domaines sont differents

Le nom transformation de Legendre provient du matheacutematicien franccedilais Adrien-Marie

Legendre (1752-1833) Il fit dimportantes contributions aux statistiques agrave la theacuteorie des

nombres aux algegravebres abstraites et agrave lanalyse

La transformation de Legendre envoie des fonctions deacutefinies sur un espace vectoriel agrave

des fonctions deacutefinies sur lespace vectoriel dual Elle est relieacutee agrave la dualiteacute projective

aux coordonneacutees tangentielles en geacuteometrie algeacutebrique et agrave la construction des espaces

de Banach duaux en analyse On lutilise aussi en meacutecanique statistique pour deacutefinir des

potentiels thermodynamiques agrave partir des fonctions de variables deacutetat Plus preacuteciseacutement

la transformation de Legendre permet de transformer une fonction deacutetat dun systegraveme

en une autre fonction deacutetat mieux adapteacutee agrave un problegraveme particulier Par exemple la

fonction deacutetat eacutenergie interne dun systegraveme thermodynamique qui est une fonction des

variables extensives entropie volume et nombre de moles a une transformeacutee de Legendre

par rapport au volume lenthalpie qui est une nouvelle fonction dont les variables sont

lentropie le nombre de moles et la pression Notons aussi que leacutenergie libre lenthalpie

libre et le grand potentiel sont obtenues comme des transformeacutees de Legendre de la

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

2

fonction eacutenergie interne

La transformation de Legendre est le thegraveme principal de ce travail Notre eacutetude sappuie

essentiellement sur les quatre reacutefeacuterences suivantes Mathematical Methods of Classical

Mechanics (Arnold 74) pour le chapitre un Thermodynamique (Hulin 89) pour le

chapitre 2 Theacuteorie des espegraveces et combinatoire des structures arborescentes Il (Bergeron

Labelle Leroux 94) pour le chapitre trois et lexposeacute de Pierre Leroux agrave Bertinoro au

seacuteminaire lotharingien de combinatoire intituleacute Note on Legendre transform and lineshy

irreducible graphs (Leroux 03) pour le chapitre quatre

Le chapitre un se veut un reacutesumeacute des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations

Dans le chapitre deux nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique

Les variables intensives les variables extensives leacutenergie interne lentropie Ensuite nous

deacutefinissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformeacutees de Legendre de

leacutenergie interne Agrave la fin de ce chapitre nous donnons la fonction de partition et la

fonction de partition grand canonique dun gaz imparfait ainsi que le lien entre eux et

les potentiels thermodynamiques

Dans le chapitre trois nous rappelons des reacutesultats fondamentaux de la theacuteorie des

espegraveces de structures Mentionnons en particulier le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les

arbres et pour les graphes ainsi que les eacutequations fonctionnelles fondamentales pour les

Cs-graphes ie les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe de graphes

inseacuteparables (2-sommets connexes) B ainsi que pour les CM-graphes ie les graphes

connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) M Ensuite nous donnons la deacutefinition de lespegravece pondeacutereacutee gM (X T) des

graphes connexes agrave deux sortes avec pieds ougrave M est une classe de graphes irreacuteductibles

ainsi que le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les gM (X T)-graphes Agrave la fin de ce chapitre

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

3

nous rappelons quelques notions sur linversion des espegraveces ainsi que le theacuteoregraveme des

espegraveces implicites

Dans le chapitre quatre nous donnons la deacutefinition de la transformation de Legendre

pour les espegraveces de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes par rapport agrave une sorte

Ensuite nous montrons que les CM-graphes sont lieacutees aux M-graphes par transformation

de Legendre Finalement nous montrons par une construction originale que lespegravece

M de graphes irreacuteductibles utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece gM (X T) peut ecirctre

remplaceacutee par une espegravece N quelconque avec N [0] = O

Via la theacuteorie de Mayer le logarithme ln (Zgr (V T z)) ougrave Zgr (V T z) deacutesigne la disshy

tribution grand-canonique est eacutegale agrave la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle de lespegravece des

graphes connexes pondeacutereacutes En appliquant la transformation de Legendre agrave lespegravece des

graphes connexes on obtient lespegravece des graphes irreacuteductibles qui correspond agrave un poshy

tentiel thermodynamique mieux adapteacute au systegraveme particulier (Vasiliev 98)

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

CHAPITRE l

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN ANALYSE

Dans ce chapitre nous preacutesentons des reacutesultats connus agrave propos de la transformation

de Legendre en analyse Nous donnons plusieurs exemples afin dillustrer les proprieacuteteacutes

essentielles de cette transformation Les fonctions convexes trouvent une place preacutepondeacuteshy

rante dans la premiegravere partie (Berkovitz 2002) Finalement nous mentionnons lineacutegaliteacute

de Young qui sert agrave obtenir certaines estimations (Arnold 1974)

11 Analyse convexe

Deacutefinition 11

Un ensmble U de IRn est dit convexe si et seulement si pour tout x YEU et pour tout

t E [01] tx + (1 - t) YEU

Deacutefinition 12

Une fonction f deacutefinie sur un ensemble ouvert convexe U de IRn et agrave valeurs dans IR est

dite convexe si et seulement si pour tous les couples (x y) EUx U et pour tout tE [01]

on a lineacutegaliteacute de convexiteacute suivante

f (tx + (1 - t) y) ~ tf (x) + (1 - t) f (y) (11 )

Si lineacutegaliteacute de convexiteacute est stricte alors f est dite strictement convexe

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

5

Exemple 11

La fonction x t-+ IIx Il est convexe sur ]Rn ougrave 11middot11 deacutesigne une norme sur ]Rn En effet

pour tout t E [011 et pour tout (x y) E ]Rn X ]Rn on a

Iltx + (1 - t)Y11 lt Iltxll + 11(1- t)Y11 (dapregraves lineacutegaliteacute triangulaire)

= t Ilxll + (1 - t) Ilyll

Theacuteoregraveme 11

Soit f une fonction de classe Cl sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f est convexe

sur U si et seulement si

f(x)f(y)+(Vf(y) x-y) (12)

pour tout x YEU et elle strictement convexe si et seulement si

f(xraquof(y)+(Vf(y) x-y) (13)

st (y)

~(y) pour tout x yEU Ougrave (- ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn et Vf (y) =

-st (y) deacutenote le gradient de f Voir (Berkovitz 2002)

Theacuteoregraveme 12

Soit f une fonction de classe C 2 sur un ensemble ouvert convexe U de ]Rn ie f est une

fonction deux fois deacuterivable dont les deacuteriveacutees partielles sont continues sur U Alors f

est convexe sur U si et seulement si sa matrice hessienne

~(x) XI X2 (x) ~ XI Xn (x)~ 1

amp (x)~ XI (x) ~(x) X2X2 XnV 2 f(x) = (14)

~(x)~ n (x) amp (x) n

XI X X2 X n

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

6

est semi-deacutefinie positive pour tout x E U Si 72f est deacutefinie positive pour tout x E U

alors f est strictement convexe Voir (Berkovitz 2002)

Puisque f est de classe C2 sur U alors a6xj (x) = aj2Ji (x) pour tout x E U Cela

i x

implique que 72f est une matrice symeacutetrique

Rappelons quune matrice A est semi-deacutefinie positive si et seulement si elle possegravede un

mineur principal dordre r (ougrave r = rang (A) lt ordre (A)) dont les mineurs principaux

croissants ont tous un deacuteterminant positif et elle est deacutefinie positive si et seulement si

les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont positifs

Exemple 12

f IR x IR ------ IR

(XIX2) I-------t xf+xY+X~+XIX2

est strictement convexe sur IR x R En effet

a Xl Xl~ (x) ~ X2 (x)72f(x) ( )~ X2 (x) a X2 (x)Xl ~

(12xy + 2

~)1

12xy + 2 1 est deacutefinie positive car Pl = 12xy + 2 gt 0 pout tout Xl E IR et P2 =

1 2

24xy + 2 gt 0 pout tout Xl E R

Remarque 11

i) Si f J ------ IR une fonction de classe Cl sur un intervalle J de IR Alors f est convexe

si et seulement si l est croissante sur J et elle est strictement convexe si et seulement

si f est strictement croissante sur J

ii) Si f J ------ IR une fonction de classe C2 sur un intervalle J de R Alors f est convexe

si et seulement si 1 2 0 et elle est strictement convexe si et seulement si f gt O

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

7

12 Transformation de Legendre

Deacutefinition 13

Soit f ]Rn ~ ]R une fonction convexe sur ]Rn Sa transformeacutee de Legendre est la fonction

convexe 9 ]Rn ~ ]R deacutefinie par

g (P) = sup ((P x) - f (x)) (15) xEIR

ougrave ( ) deacutenote le produit scalaire dans ]Rn

Proposition 11

9 est une fonction convexe sur ]Rn En effet soit p q E ]Rn et t E [01] on a alors

9 (tq + (1 - t) p) sup ((tq + (1 - t)p x) - f (x))xElRn

sup ((tq _ x) + ((1 - t) p x) - f (x)) xEIR

suP (t (q x) + (1 - t) (p x) - f (x)) xEIR

sup (t ((q x) - f (x)) + (1 - t) ((p x) - f (x))) xEIR

lt t sup ((q x) - f (x)) + (1 - t) sup ((p x) - f (x)) xEIR xEIR

tg(q)+(l-t)g(p)

Remarque 12

Soit f ]Rn ~ IR une fonction convexe de classe Cl _Alors la fonction x 1---+ (p x) - f (x)

atteint son supremum sur ]Rn en un point unique x (p) E ]Rn Ainsi

[7 ((p x) - f (x))]x=x(p) = 01

implique

[7 ((P x))lx=x(p) = [7 (j (x))]x=x(p)

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

8

implique

[1 (tPiXi)] = [1 (f (X))]x=x(p) =1 x=x(p)

implique

P = [1f (X)]x=x(p) (16)

Par conseacutequent

9 (p) sup (P X) - f (X)) xElRn

(p X(p)) -f(x(p)) (17)

~(x) Pl

~(X) P2 On a que 1f (X) = et si P = alors

t (x) Pn

Pl = ~ (x (p))

P2 = ~ (x (p)) (18)

Pn = t (x (P))

Remarque 13

Prenons le cas ougrave n = 1 Si x E ]R et f IR --+ IR une fonction convexe de classe Cl sur

IR sa transformeacutee de Legendre est la fonction 9 de variable P deacutefinie comme suit

9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

qui repreacutesente la distance maximale entre la courbe de f et la droite deacutequation y = px

en direction verticale On peut examiner la figure 11 ci dessous 9 est la transformeacutee de

Legendre de la fonction f par rapport agrave x donc 9 (p) = pX (p) - f (x (p)) ougrave le point

x (p) est deacutefini par la condition extreacutemale lx (px - f (x)) = 0 cest agrave dire fi (x (p)) = p

Puisque f est convexe le point x (p) est unique

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411

9

y j(x)

x

Figure 11 Transformeacutee de Legendre 9 (p) = sup (px - f (x)) xEIR

Exemple 13

2Soit f (x) = x Alors l (x) = 2x On a l (x (p)) = p implique x (p) = ~ Ainsi

9 (p) px (p) - x2 (p) P p2

p- - shy2 4

p2

4

Exemple 14

Plus geacuteneacuteralement soit f (x) = m2 mE ]0 +00[ Alors f 1

(x) = mx On a

10

l (x (p)) = p implique x (p) = fiuml Ainsi

mx2 (P)g (p) = px (p) - _----=

2

p2 _ mi-z2

m 2 p2 p2

= --shym 2m p2

2m

Exemple 15

Soit f (x) = ~x2 + bx + c avec a E [0 +oo[ et b C E IR Alors l (x) = ax + b On a

l (x (p)) = p implique x (p) = ~ - ~ Ainsi

g (p) px (p) - f (x (p))

p(~-~)-f(~-~) 2 2

p2 _ bp _ ~ (p2 + b _ 2Pb) + bp _ b + C

a a 2 a2 a2 a2 a a

1 2 b 3 b2

2a p + ~p - 2~ + C

1 2 b 2ac - 3b2

2a P + ~p+ 2a

Remarque 14

Si f [ ----- IR une fonction convexe de classe Cl sur un intervalle [ de IR alors sa

transformeacutee de Legendre est la fonction g [----- IR donneacutee par

g (p) = sup (px - f (x)) xEI

Exemple 16

Soi t f (x) = 1 - cos (x) une fonction deacutefinie sur lintervalle [- ~ ~] On a que f (x) est

une fonction convexe sur [-~] En effet

l (x) = sin (x)

11

implique

f (x) = cos (x) 2 0 sur [-~~]

Soit 9 (p) la transformeacutee de Legendre de f (x) alors

9 (p) sup (px - f (x)) XE[-~Al

px (p) - f (x (p))

Puisque l (x) = sin (x) On a l (x (p)) = p implique x (p) = arcsin (p) Ainsi

g(p) = parcsin(p) - f(arcsin(p))

= parcsin(p) - (l-cos(arcsin(p)))

= p arcsin (P) + cos (arcsin (p)) - 1

parcsin (p) + JI - p2 - 1

l = domaine(g) = [-11]

121 Transformation de Legendre des formes quadratiques

Exemple 11

Soit f (X) = ~XT AX une forme quadratique deacutefinie positive dordre n ie f (X) gt 0

pour tout X E IRn OlRn ougrave A est une matrice symeacutetrique deacutefinie positive dordre n

On a

3t(X)

3iuml(X)Vf (X)

-If (X) AX

12

En effet

f(X) = ~XTAX 2 1 n 2 L aijXiXj (ougrave aij sont les entreacutees de la matrice A avec aij = aji)

ij=1

~ (taixi+ 2 ~ aiXiX) (e A est une matdee symeacutetique a ~ a

1 ( allxy + a22x~ + + annx + 2al2xlx2 + 2al3Xlx3 + + 2alnxlXn+ )

2 2a23x2x3 + + 2a2nX2Xn + + 2a(n_l)nXn _IXn

implique

st (X)

3 (X)V f (X)

-t (X)

~ (2allXI + 2a12x2 + 2al3x3 + + 2alnXn)

i (2a22x 2 + 2a12xI + 2a23x3 + + 2a2nXn)

AX

Puisque la matrice A est deacutefinie positive alors f est en fonction convexe car sa matrice

13

hessienne est eacutegale agrave A

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X E Rn

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

= y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave T deacutesigne la transposition et X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

Vf(X(Y)) =AX(Y)

ce qui implique

Par conseacutequent

9 (Y) = y T X (Y) - f (X (Y))

= y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y)

= y TA-1y _ ~ (A-1y)T AA-1y 2

yTA-1y _ ~yT (A-1)T Y 2

= yTA-1y _ ~yT (AT) -1 Y 2

yTA-1y _ ~yT A-1y 2

~yT A-1y2

Exemple 18

Soit f (X) = ~XT AX + XTV + a ougrave A est deacutefinie positive dordre n V E ]Rn et a E IR

14

On a alors

V f (X) V (~XT AX +XTV +a)

V (~XT AX) + V (XTV + a)

AX +v

Soit 9 (Y) la transformeacutee de Legendre de la fonction f pour la variable X

9 (Y) sup ((Y X) - f (X)) XEIRn

(YX(Y))-f(X(Y))

y T X (Y) - f (X (Y))

ougrave X (Y) veacuterifie leacutegaliteacute suivante

V f (X (Y)) = AX (Y) + V

implique

Par conseacutequent

g(Y) yTX(Y)-f(X(Y))

y TX (Y) - ~XT (Y) AX (Y) - X T (Y) V - a

y TA-1(Y - V) - ~ (A-1(Y - V))T AA-1(Y - V) - (Y - vf (A-1)T V - a 2

y TA-1(Y - V) - ~ (Y - vf A-1(Y - V) - VTA-1(Y - V) - a 2

1(Y - vf A-1(Y - V) - - (Y - vf A-1(Y - V) - a

2 1 T 12 (Y - V) A - (Y - V) - a

15

Exemple 19

( Soit f (X) = -XTAX une forme quadratique deacutefinie positive dordre 3 avec A =

~1 ~1 ~4) A est deacutefinie pnsitive cac Pl ~ 1gt 0 P2 ~ det (~1 ~1) ~ 2 gt

2 -4 Il

oet PF det ( ~1 ~ ~) ~ 10 gt 0

f(X) = ~XTAX 2

( ~1 -1

~4 )( = ~ ( Xl X2 X3) 3 )

-4 11 X3

1 ( 2 2 2)= 2 Xl - 2XIX2 + 4XIX3 + 3x2 - 8X2X3 + llx3

Soit g (Y) la transformeacutee de Legendre de f (X) par rapport agrave X dapregraves ce qui preacutecegravede

on en deacuteduit

g(Y)

17

Y3 ) 11 30 (

-2

Notation

Notons par 12 (1) (P) = g (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f

Remarque 15

Soit f IRn ---- IR une fonction deacuterivable convexe On note par g la transformeacutee de

16

Legendre de la fonction f (XI X2 xn ) pour les variables XI et X2

PIXI (p) + P2 X2 (p) - f (x (P)) (19)

Xl (p)

X2 (p)

ougrave x(p) = X3 est deacutetermineacute par les relations suivantes

af af Pl = -a (X (p)) et P2 = -a (X (p)) (LlO)

Xl X2

Exemple 110

Soit la fonction

f JR3 ---+JR

f est strictement convexe En effet

est deacutefinie positive car les deacuteterminants de tous ses mineurs principaux croissants sont

positifs Soit 9 sa transformeacutee de Legendre pour les variables Xl et X2 alors

sup (PIXI + P2x2 - f (Xl X2 X3)) xEIR3

PIXI (p) + P2X2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

17

Xl (p) ) OUgrave X (p) = (p) est deacutetermineacute par les relations suivantes

(

Pl ocircocircf (X (p)) Xl

2XI (p) + 2X2 (p) + 4X3

et

f P2 ocircocirc (X (p))

x2

2XI (p) + 6X2 (p) + x3

implique 3 1 11

Xl (p) = -Pl - -P2 - -X3 4 4 4

et 113

X2 (p) = --Pl + -P2 + -X3middot 444

Par conseacutequent

PIXI (p) +P2 x 2 (p) - f (Xl (p) X2 (p) X3)

PIXI (p) +P2 X2 (p) - xi (p) - 2XI (p) X2 (p) - 4XI (p) X3 - 3x~ (p)

-X2 (p) X3 - 7x~

3 2 1 2 1 11 3 15 2 SPI + SP2 - 4PIP2 - 4 PIX3 + 4P2 X3 - 8 X3

Lemme 11

Soit 9 (p) = c (f) (p) la transformeacutee de Legendre de la fonction f ougrave f est une fonction

convexe de classe Cl sur IR Alors ~ (p) = X (p) ougrave X (p) est la solution de leacutequationP = (x (p)) (Arnold 1974)

18

Preuve

Soit 9 la transformeacutee de Legendre de f par rapport agrave x alors 9 (p) = px (p) - f (x (p))

ougrave x (p) est deacutefini par p = fx (x (p)) Donc

dx df dxdg (p) p dp (p) + x (p) - dx (x (p)) dp (p)dp fdx (d )x (p) + dp (p) P - dx (x (p))

x (p) (111)

o

Par conseacutequent si 9 (p) = c (1) (P) alors

d dp (x (P))

d~ (x (~ (x (P))) )

dx (df ) d2f dx

dp dx (x (p)) dx2 (x (p)) dp (p)

dx d2f dx dp (p) dx 2 (x (p)) dp (p)

( (p)r (x (p))

gt 0 car f est convexe

ce qui prouve encore que 9 est convexe sur llt

On peut montrer maintenant que la transformation de Legendre est involutive

Theacuteorecircme 13

La transformation de Legendre est involutive Cest-agrave-dire si 9 est la transformeacutee de

Legendre de f alors f est la transformeacutee de Legendre de g ie

c (c (1)) (x) = f (x) (112)

(Arnold 1974)

19

Preuve

Arnold a donneacute une preuve geacuteomeacutetrique baseacutee sur le fait que si g (P) = 12 (f) (p) alors

la droite deacutequation y = xp - g (P) de pente p est tangente au graphique de f Puisque

f est convexe alors toutes les tangentes sont au dessous de la courbe de f Si on fixe

x = Xo alors la valeur maximale de Xop - g (p) comme fonction en pest f (xo) En effet

pour x = Xo

g (p) sup (pxo - f (xo)) xEIR

= pXo - f (xo)

implique

f (xo) = pXo - g (p)

Donc

12 (12 (f)) (xo) 12 (g)(xo)

sup (xop - g (p)) pEIR

f (xo)

On peut aussi deacutemontrer le theacuteoregraveme 11 algeacutebriquement en utilisant le lemme 11 On

a g (p) = 12 (f) (p) et nous calculons

12 (12 (f))(x) = 12 (g)(x)

xp (x) - g (p (x))

ougrave p(x) est deacutefini par x = (~) (p(x))

Supposons que g (P) = py (P) - f (y (p)) ougrave y (P) est deacutefinie par p = (tx) (y (p))

Dapregraves le lemme 11 on a (~) (P) = y (p) ce qui implique

20

x ( ~) (p (x))

y(p(x))

et

L(L(J)) (x) L(g) (x)

xp(x) - 9 (p (x))

y (p (x)) p (x) - [p (x) y (p (x)) - f (y (p (x)))1

xp (x) - p (x) x + f (x)

f (x)

Exemple 111

Prenons un exemple simplifieacute pour quon comprenne bien le principe de la transformation

de Legendre Soit E (x) le potentiel eacutelastique dun ressort

E (x) = 2k (x - xo)

2

ougrave k gt 0 est la constante de raideur propre au ressort Xo est la position de lextreacutemiteacute

du ressort agrave leacutequilibre et x est la position de lextreacutemiteacute du ressort agrave un instant t

quelconque Voir la figure 12

E est une fonction strictement convexe de x En effet

E (x) = 2k (x - xo)

2

I~ o Xo x

Figure 12 Un ressort

---------------------

21

implique

d~~X) = k (x - xQ)

implique

kgt 0

dougrave E est strictement convexe

E (x) conduit agrave un eacutequilibre stable en x = XQ autour duquel le systegraveme oscille de faccedilon

harmonique On cherche un nouveau potentiel 9 (T) qui contient la mecircme information

que E (x) T est la variable conjugueacutee de E (x) cest-agrave-dire la force de rappel de ce

systegraveme eacutelastique elle est donneacutee par

T = _ dE(x) dx

Pour y arriver on a linteacuterecirct dutiliser la transformeacutee de Legendre Soit 9 la transformeacutee

de Legendre de E pour la variable -x alors

9 (T) sup (-Tx - E (x)) xEIR

-Tx (T) - E (x (T))

On a

dET -- (x(T))

dx -k (x (T) - XQ)

implique T

x(T) = -k +xQ

Et de lagrave on obtient le potentiel rechercheacute par simple changement de variable

9 (T) -Tx (T) - E (x (T))

= - T ( - ~ + xQ) - ~ ( - ~ + XQ - XQr T2 2k - TXQ

22

Ce nouveau potentiel contient la mecircme information que E (x) car on na pas perdu

linformation sur la position deacutequilibre qui est en xo en plus on peut en deacuteduire x et

E En effet par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la

fonction 9 pour la variable - T)

E(x) = sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

ougrave

dgx -- (T(x))

dT

d(T2 (x) )-- -- -T(x)xo

dT 2k

-(TiX ) - xo)

implique

T(x) = -k(x - xo)

et par la transformation de Legendre inverse (transformeacutee de Legendre de la fonction 9

pour la variable -x)

E(x) sup(-xT-g(T)) TER

= -xT(x)-g(T(x))

23

Et de lagrave on retrouve le potentiel eacutelastique initial E

E(x) -xT(x)-g(T(x))

T2 (x)xk(x - xo) -~ +T(x)xo

k 2 (x - XO)2xk(x-xo)- 2k -k(x-xo)xo

2 k (x - XO)2k (X - Xo ) - ------- shy

2

2k (x - xo)

2

Intuitivement on serait tenteacute dinverser simplement T = - dfkx) pour obtenir x (T) et

lintroduire dans E (x) On obtient alors le potentiel

E (T) = ~ ( -~ + Xo - Xoy kT2

2 k 2

T2

2k

qui est indeacutependante de xo On a donc perdu linformation sur la position deacutequilibre et

la transformation de Legendre permet deacuteviter ce type de problegraveme

Remarque 16

La transformation de Legendre nest palt une transformation lineacuteaire ie si fI (x) et 12 (x)

sont deux fonctions convexes alors fI (x) + 12 (x) est une fonction convexe (la somme de

deux fonctions convexe est convexe) et on a en geacuteneacuteral

e (fI + 12) Ie (fI) +e (12)middot (113)

Exemple 112

Soit fI (x) = x2 sa transformeacutee de Legendre est la fonction gl (p) = p24 (dapregraves

lexemple 21) et soit 12 (x) = x22 sa transformeacutee de Legendre est la fonction

24

92 (p) = p22 (dapregraves lexemple 22 en posant m = 1) On a

91 (p) + 92 (p)

Dautre part soit la fonction f (x) = fI (x) +h (x) = x2+ x22 = 3x22 sa transformeacutee

de Legendre est la fonction 9 (p) = p232 = p26 (dapregraves lexemple 22 en posant

m = 3) 91 (p) + 92 (p) = 3p24 -1 9 (p) = p26 implique

L (fI + h) -1 L (fI) + L (f2)

dougrave la transformation de Legendre nest pas une transformation lineacuteaire

13 Ineacutegaliteacute de Young

On dit que f et 9 sont duales dans le sens de Young si 9 (p) = L (f) (p) et on sait dapregraves

le theacuteoregraveme 21 que f (p) = L (g) (p) On a donc la proposition suivante

Proposition 12 (Ineacutegaliteacute de Young)

Soient f et 9 deux fonctions convexes et duales dans le sens de Young alors

px 5 f (x) + 9 (p) (114)

Preuve

La preuve de cette proposition se base sur la deacutefinition car

9 (p) L (f) (p)

sup(px-f(x)) xEIR

gt px - f (x) pour tout x E IR

Par conseacutequent

g(p)+f(x) 2 px

25

Ce reacutesultat est tregraves geacuteneacuteral et peut ecirctre utiliseacute pour montrer certaines estimations

Exemple 113

Si f (x) = x22 alors g (p) = p22 dapregraves lexemple 14 en posant m = 1 On a alors

px ~ x22 + p22

CHAPITRE II

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique a deacutebuteacute au 18egraveme siegravecle par leacutetude des proprieacuteteacutes df-s fluides

parfaits agrave leacutequilibre en particulier des gaz Les notions cleacutes sont alors celles de granshy

deurs thermodynamiques extensives ou intensives relieacutees par une eacutequation deacutetat Notre

objectif dans ce chapitre est dobtenir agrave partir de leacutequation fondamentale de leacutenergie

interne dautres eacutequations fondamentales avec dautres variables Nous lobtiendrons

par transformation de Legendre Notons que la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce

chapitre proviennent de (Vauclair 93) (Stauffer et Stanley 98) et (Leroux 04)

Grandeurs intensives et grandeurs extensives

) Une grandeur extensive associeacute agrave un systegraveme est une grandeur proportionnelle agrave la

quantiteacute de matiegravere contenue dans ce systegraveme cest agrave dire additive et agrave valeur positive

Une grandeur est additive si la valeur dans le systegraveme Eu E est eacutegale agrave la somme de ses

valeurs dans le systegraveme E et E agrave condition que E et E soient disjoints et initialement

en eacutequilibre Par exemples la masse m le volume V lenthalpie H sont des grandeurs

extensives

bull ) Une grandeur intensive est une grandeur indeacutependante de la quantiteacute de matiegravere

consideacutereacutee Elle est deacutefinie en chaque point dun systegraveme Par exemples La pression p

la tempeacuterature T sont des grandeurs intensives

27

Variables deacutetat et fonctions deacutetat

Les variables deacutetat sont des grandeurs extensives indeacutependantes dont la connaissance

suffit pour deacutefinir leacutetat macroscopique du systegraveme Les grandeurs deacutetat non choisies

comme variables deacutetat constituent les fonctions deacutetat elles se deacuteduisent des variables

deacutetat par des eacutequations deacutetat

Deacutefinition 21 (Eacutenergie)

Pour tout systegraveme fermeacute on peut deacutefinir une fonction des variables deacutetat extensive

appeleacutee eacutenergie E qui est conservative cest-agrave-dire qui reste constante en toutes cirshy

constances lorsque le systegraveme neacutechange pas deacutenergie avec le milieu exteacuterieur

Deacutefinition 22 (Fonction eacutenergie interne)

Leacutenergie totale eacutetant deacutefinie par la quantiteacute qui est conservative dans toute eacutevolution

dun systegraveme on deacutefinit leacutenergie interne par la grandeur U intrinsegravequement acsocieacutee

au systegraveme consideacutereacute telle que

ougrave Ec est leacutenergie cineacutetique macroscopique et Ep est leacutenergie potentielle associeacutee aux

forces exteacuterieures Notons que pour les systegravemes macroscopiquement au repos (Ec = 0)

et non soumis agrave un champs exteacuterieur (Ep = 0) leacutenergie totale E se reacuteduit agrave leacutenergie

interne U Notons que leacutenergie interne U est une fonction convexe pour toutes les

variables

Deacutefinition 23 (Fonction entropie)

Pour tout systegraveme fermeacute il existe une fonction deacutetat extensive appeleacutee entropie S qui

est non conservative On cherche une fonction S des variables U V N qui satisfait la

relation suivante

S=S(UVN)

ougrave U est leacutenergie interne V est le volume et N est le nombre de moles Cette relation

28

sappelle leacutequation fondamentale de lentropie

Leacutequation fondamentale agrave lentropie peut ecirctre inverseacutee en

U = U (S V N)

qui est leacutequation fondamentale agrave leacutenergie interne

21 Eacutequations fondamentales

Consideacuterant U (S V N) nous pouvons eacutecrire

au au au dU = as dS + av dV + aNdN

ou encore en introduisant une simple notation des deacuteriveacutees partielles

dU = TdS - pdV + J-LdN

implique

au au T(S VN) as (S V N) p (S V N) = - av (S V N)

au et J-L(S VN) aN (S VN)

on appelle J-L le potentiel chimique qui est de caractegravere intensif

Par suite 1 P J-L

dS = -dU+ -dV - -dN T TT

implique

1 as p as J-L asT = au (U V N) T = av (U V N) T = aN (U V N)

Ainsi les variables intensives T p J-L peuvent ecirctre deacutetermineacutees comme fonctions de vashy

riables extensives suivant que le systegraveme est deacutecrit par lune ou lautre des deux eacutequations

29

fondamentales agrave leacutenergie interne ou agrave lentropie

T = T(U VN) ou T = T(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

p = p(U VN) ou p = p(S VN)

De telles eacutequations constituent par deacutefinition des eacutequations deacutetat du systegraveme

De T = T (S V N) on deacuteduit

S = S (T V N)

22 Potentiels thermodynamiques

221 Fonction eacutenergie libre

On appelle fonction eacutenergie libre ou fonction de Helmholtz du nom du physicien alleshy

mand H Helmholtz la fonction deacutetat F des variables T V N deacutefinie par la relation

-F (T V N) = sup (TS - U (S V N)) s

ie -F est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable S Ainsi

F(T VN) - sup (TS - U (S V N)) s

- (TS (T V N) - U (S (T V N) V N))

U (S (T V N) V N) - TS (T V N)

ougrave S (T V N) repreacutesente la solution de leacutequation

au T = as (S (T V N) V N)

De la relation

dU = TdS - pdV + pdN

30

on deacuteduit immeacutediatement

dF = dU - d(TS)

-SdT - pdV + pdN

implique

ocircF ocircF ocircF S = - ocircT (T V N) p = - ocircV (T V N) p = ocircN (T V N)

La transformation de Legendre eacutetant involutive on a alors

U(SVN) sup (TS + F (T V N)) T

-ST (S V N) + F (T (S V N) V N)

ougrave T (S V N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircF S = - ocircT (T (S V N) V N)

222 Fonction enthalpie

Par deacutefinition lenthalpie H est une nouvelle fonction deacutetat extensive des variables S

p N et sexprimant en joule elle est deacutefinie par la relation suivante

-H (Sp N) = sup (pV - U (S V N)) v

ie -H est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour la variable V Ainsi

H (SpN) - sup(pV - U (S VN)) v

pV (Sp N) + U (S V (Sp N) N)

ougrave V (S p N) repreacutesente la solution de leacutequation

ocircU p= -OcircV (SV(SpN)N)

31

Ainsi

dH dU+d(pV)

dU +pdV + Vdp

TdS - pdV + fldN + pdV + V dp

TdS + fldN + Vdp

par conseacutequent

aH aH aH T = as (Sp N) V = ap (Sp N) et fl = aN (Sp N)

223 Fonction enthalpie libre

On appelle fonction enthalpie libre G ou fonction de Gibbs du nom du chimiste ameacuteshy

ricain JGibbs la fonction deacutetat des variables T p N deacutefinie par la relation

-G(Tp N) = sup (TS + pV - U (S V N)) sv

ie -G est la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et V Ainsi

G(TpN) - sup (TS + pV - U (S V N)) sv

-TS (TpN) + pV (TpN) + U (S (TpN) V (Tp N) N)

ougrave V (T p N) et S (T p N) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au p = - av (S (Tp N) V (Tp N) N) et T = as (S (Tp N) V (Tp N) N)

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dG de lenthalpie libre

32

dG d(-TS +pV + U)

dU - d(TS) + d(pV)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT + Vdp + pdV

JLdN + Vdp - SdT

par conseacutequent

aG aG aG S = - acircT (T p N) V = ap (T p N) et JL = aN (T p N)

224 Fonction grand potentiel

On appelle fonction grand potentiel W la fonction deacutetat des variables T V JL deacutefinie

par la relation

-w (T V JL) = sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

ie - West la transformeacutee de Legendre de leacutenergie U pour les variables S et N Ainsi

- sup (TS + JLN - U (S V N)) SN

-TS (T V JL) - JLN (T V JL) + U (S (T V JL) V N (T VJL))

ougrave N (T V JL) et S (T V JL) repreacutesentent les solutions des eacutequations suivantes

au au JL = aN (S (T V JL) V N (T V JL)) et T = as (S (T V JL) V N (T V JL))

On en deacuteduit donc la diffeacuterentielle dw de grand potentiel

dw d(-TS - JLN + U)

dU - d(TS) - d(JLN)

TdS - pdV + JLdN - TdS - SdT - JLdN - NdJL

-pdV - SdT - NdJL

33

T T

Figure 21 La fonction cp (r)

par conseacutequent

23 Fonction de partition et eacutequation deacutetat pour un gaz imparfait

Consideacuterons un gaz formeacute de N particules interagissant deux agrave deux agrave linteacuterieur dune

reacutegion V de dimension 3 incluse dans ]R3 Les positions des particules sont donneacutees par

les vecteurs xr X2 XiV Le Hamiltonien du systeacuteme est deacutefini par

N (--+2 )H = L ~n +u(X1) + L cp(IX1- Xjl)

i=l liltjN

ougrave Pi est le vecteur quantiteacute de mouvement et ~ est leacutenergie cineacutetique de la i egraveme

particule u (X1) est leacutenergie potentielle agrave la position X1 due aux forces exteacuterieures

1X1- Xjl = rij est la distance entre les particules X1 et Xj La fonction cp deacutecrit lintershy

action entre les moleacutecules comme le montre la figure 21

La fonction de partition Z (V N T) est deacutefinie par

Z (V N T) = N~3N Jexp (-3H) df

34

ougrave h est la constante de Planck fJ = 1kT T est la tempeacuterature en degreacutes Kelvin k est

la costante de Boltzmann et r lespace deacutetat xtx2 XiVPi]52 pV de dimension

6N A fin de simplifier le calcul de la fonction de partition Z (V N T) on suppose

que leacutenergie potentielle u (Xi) est neacutegligeable ou nulle De plus linteacutegrale des eacutenergies

cineacutetiques se ramegravene agrave un produit dinteacutegrales Gaussiennes II sensuit que Z (V N T)

peut ecirctre donneacutee sous la forme

Z (V N T) = N~3N 1middot1 exp (-fJ L P (IXi - Xjl)) dxt dXiV v v iltj

1 ougrave Agrave = h (27rmkT)-iuml

Matheacutematiquement la fonction geacuteneacuteratrice des fonctions de partition est appeleacutee la

distribution grand-canonique On la note

Zgr (V T z) = L00

Z (V T n) (Agrave3zf n=O

ougrave la variable z est appeleacutee la fugaciteacute ou lactiviteacute Tous les paramegravetres macroscopiques

du systegraveme peuvent ecirctre deacutecrits en terme de cette fonction Par exemple la pression p

le nombre moyen de particules N et la densiteacute p sont deacutefinis par

- a N pV=kTlogZgr(VTz) N=zazlogZgr(VTz) etp= V

Exemple 21 (gaz parfait)

Un gaz parfait est un gaz ideacuteal composeacute de N particules qui ninteragissent pas les

unes avec les autres La fonction P deacutecrit linteraction entre les moleacutecules est nulle par

35

conseacutequent la fonction de partition devient

Z(VNT) = N~3N r r exp (-6IO(it -xm) dX dxV Jv Jv tlt)

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jvexp(O)dXl dxN

1 r r ~ ~ Ngt3N Jv Jv dXl dxN

VN Ngt3N

27rm) 3j VN( h6 N

3N 27rmkT) T VN

( h N

ainsi

00

Zgr (V Tz) 2Z(VTn) (gt3zr n=O

00 vn 3L gt3n (gt zr

n=Ucirc n

f(Vzt n=Ucirc n exp (Vz)

Donc le nombre moyen de particules N est

ocircN z ocircz log Zgr (V T z)

ocirc zocircz log exp (Vz)

ocirc zocircz(Vz)

zV

Par conseacutequent

36

pV kT log Zgr (V T z)

kT log exp (Vz)

= kTVz

= NkT

Cette eacutequation sappelle eacutequation deacutetat dun gaz parfait monoconstituants

24 Fonction de partition et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

fonction de partition Ainsi par deacutefinition la fonction eacutenergie interne est donneacutee par

leacutequation suivante

1 acircZU --shy

Z acirc(3 acircln (Z)

acirc(3

Comme (3 = k~ on en deacuteduit acirc 2 acirc

acirc(3 = -kT acircT

ce qui permet deacutecrire leacutequation de la fonction eacutenergie sous la forme

U = kT2 acirc ln (Z)acircT

Par deacutefinition la fonction entropie est donneacutee par la relation suivante

1 S = rU + k ln (Z)

37

Ce qui implique

~kT2ocircln (Z) k 1 (Z)S T ocircT + n

kT ocirc ln (Z) + k ln (Z) ocircT

k (T81~Z) + In(Z))

Ocirc (TIn (Z))k 8T

Par deacutefinition la fonction eacutenergie libre

F= U -TS

peut ecirctre reeacutecrite sous la forme

F U - T (~U + k ln (Z) )

-kTln(Z)

Ainsi

Ainsi on trouve la pression

ocircF p

OcircV 8ln (Z)

kT ocircV

On en deacuteduit donc la fonction enthalpie

H pV+U

VkT 8 ln (Z) _ kT2Ocirc ln (Z) 8V ocircT

kT (V 8In (Z) _ TOcirclll(Z)) ocircV ocircT

~ (VOcircln(Z) _TOcircln(Z)) f3 ocircV ocircT

38

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

F+pV

-kTln(Z) + VkT81~~Z)

kT (vacircl~~Z) -ln(Z))

~ (vacircl~~Z) -ln(Z))

On a

F = -kTln (Z)

En diffeacuterentiant cette eacutequation on obtient

dF = -d (kTln (Z))

En eacutevaluant le second membre

-d(kTln (Z)) = -k (acirc (Tr(Z))) dT _ kT (81~~Z)) dV _ kT (acircl~Z)) dN

et faisan t appel agrave la relation connue

dF = -SdT - pdV + JLdN

on retrouve la pression et lentropie en identifiant terme agrave terme les deux expressions

pour dF

Nous obtenons de plus le potentiel chimique

On en deacuteduit finalement la fonction grand potentiel

li = TS--LN +U

T (~U + k ln (Z)) + (ocirc I~~Z)) + U

= 2U kTI (Z) N (ocircln(Z))+ n + (3 ocircN

2kT2ocircln (Z)= kTI (Z) kTN (ocircln(Z))ocircT + n + ocircN

kT (2T ocircln (Z) 1 (Z) NOcircln(Z))ocircT + n + ocircN

= ~ (2TOcircI~Z) +ln(Z)+Nocircl~~Z))

Exemple 22 (cas dun gaz parfait)

Prenons un gaz parfait composeacute de N particules la fonction de partition Z est donneacutee

par N = (27fm) 31 V

Z h3 N

implique

InZ ~ ln (C~) f ~)

~ ln (C~) f) +In V N -InN

= 3 ln (2~) + N ln V - ln N

3N 3N(27fm)= Tin -h- - T ln 3 + Nln(V) -InN

= N(~ ln (2~m) - ~ ln (3 + ln V) - ln N

Dapregraves la formule de Stirling on a lestimeacute asymptotique

InN c= Nln(N) - N

40

Par conseacutequent

InZ N(~ln(2m) -~lnjJ+lnV) -Nln(N)+N

N (~ ln (2m) - ~ ln 13 + ln V - ln N + 1)

N (ln (~) + ~ ln Cm) -~ ln 13 + 1) Agrave partir de lexpression de ln Z nous pouvons calculer toutes les quantiteacutes thermodyshy

namiques dun gaz parfait En effet soit U leacutenergie interne dun gaz parfait alors

aln (Z)U

ajJ 3N

213 ~NkT2

On a aussi

kTaln(Z)p av NkT V

on retrouve donc lequation deacutetat dun gaz parfait

pV = NkT

Lentropie dun gaz parfait est donneacutee par

s

41

L

Enfin le potentiel chimique est donneacute par

-kT (OcircI~Z))

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13 + 1) - kTN ( - ~ )

- kT (In (~) + ~ ln (2m) - ~ ln 13)

25 Distribution grand-canonique et potentiels thermodynamiques

Certaines fonctions thermodynamiques peuvent sexprimer simplement par rapport agrave la

distribution grand canonique (voir page 34) Ainsi par deacutefinition la fonction entropie

est donneacutee par leacutequation suivante

U LNS = k ln (Zgr (V T z)) + T - T

ie

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

Le membre de gauche nest autre que le grand potentiel Ill Par conseacutequent

III =-kTln(Zgr(VTz))

On a que

ocirclll ocirc III ocirc III S = - ocircT (T VL) p = - OcircV (T VL) N = - ocircL (T VL)

Ce qui implique

s = ocirc(kTln (Zgr (V T z))) = kT ocirc ln (Zgr (V T z)) N = kTocircln (Zgr (V T z)) ocircT P OcircV OcircL

qui permet de calculer leacutenergie interne U En effet

U - TS - LN = -kTln (Zgr (V T z))

42

entraicircne que

U -kTln(Zgr(VTz))+TS+J1-N

-kTI (Z (VT )) T 8 (kTln( Zgr(VTz))) kT8In(Zgr(VTz)) n gr z + 8T + J1- 8J1shy

kT28ln (Zgr (V T z)) kT 8ln (Zgr (V T z)) 8T + J1- 8J1-

Ainsi la fonction eacutenergie libre prend la forme

F U-TS

kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz))) 8T + J1- 8J1- 8T

kTJ1- 8ln (Z~~T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

La fonction enthalpie est donneacutee par

H pV+U

kTV8ln(Zgr (V T z)) kT28In(Zgr(VTz)) kT 8In(Zg(VTz)) 8V + 8T + J1- 8J1-

Nous obtenons de plus la fonction enthalpie libre

G U -TS+pV

28ln(Zgr (V T z)) kT 8In(Zgr(VTz)) _T 8 (kTln( Zgr(VTz)))Tk 8T + J1- 8J1- 8T

VkT8 ln (Zgr (V T z)) + 8V

kTJ1- 8ln (Zg~~VT z)) + VkT 8ln (Zg~~ T z)) _ kTln (Zgr (V T z))

CHAPITRE III

THEacuteORIE DES ESPEgraveCES ET GRAPHES IRREacuteDUCTIBLES

Dans ce chapitre nous preacutesentons les notions de theacuteorie des espegraveces qui nous seront

utiles pour lapplication de la transformation de Legendre Nous deacutefinissons les concepts

despegravece et de seacuterie formelles associeacutees On donne ensuite le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les arbres et pour les graphes Ensuite on deacutefinit des classes de graphes particushy

liers comme les graphes connexes inseacuteparables (2-connexes) et irreacuteductibles (2-arecirctes

connexes) ainsi que plusieurs relations fonctionnelles qui lient ces espegraveces entre elles

Notons quagrave moins davis contraire la plupart des reacutesultats eacutenonceacutes dans ce chapitre

proviennent de (Bergeron Labelle et Leroux 94)

31 Graphes simples graphes connexes

Deacutefinition 31

Un graphe simple 9 est formeacute de deux ensembles un ensemble fini non-vide U appeleacute

lensemble des sommets de g et un ensemble A de paires de sommets appeleacute lensemble

des arecirctes de g On a donc A ccedil P2 (U) On eacutecrit souvent 9 = (U A) = (U (g) A (g))

Soit 9 = (U A) un graphe simple et x E U un sommet Le degreacute de x deacutenoteacute d (x) est

le nombre darecirctes de 9 incidentes agrave x soit

d(x) = Ia E A tel que xE a1 = Iy EU tel que xy E AImiddot

Lorsque d (x) = 0 on dit que le sommet x est isoleacute

44

y b

a x

c

Figure 31 Un graphe simple connexe

Dans un graphe simple 9 = (U A) une chaicircne c est une seacutequence finie de sommets

XQ Xl X m telle que pour tout 0 S i lt m Xi Xi+d E A On eacutecrit c = [XQ Xl Xml

Lentier m sappelle la longueur de la chaicircne et on eacutecrit m = l (c) Les sommets XQ et

X m sont appeleacutes les extreacutemiteacutes initiale et finale de c respectivement Lorsque XQ = X m

on dit que la chaicircne est fermeacutee et on lappelle un cycle en XQ Une chaicircne simple est une

chaicircne sans reacutepeacutetition darecircte et un cycle simple est une chaine fermeacutee simple

Un graphe simple 9 est dit connexe si pour tout x y sommets de g il existe une chaicircne

de X agrave y On appelle arbre tout graphe simple connexe sans cycle simple

Un seacuteparateur dun graphe simple connexe 9 = (U A) est un ensemble B darecirctes tel que

le graphe simple (U A - B) soit non-connexe mais pour tout b E B (U A - (B - b))

soit connexe Si a est un seacuteparateur de g alors larecircte a est appeleacutee un isthme (ou un

pont) de g

Exemple 31

Soit 9 le graphe de la figure 31 Alors b c est un seacuteparateur a b ne lest pas et

larecircte a est un isthme

32 Espegraveces

Deacutefinition 32

Une espegravece de structures est un foncteur

F la ---+ lE

45

ougrave lB euroBt la cateacutegorie des ensembles finis et bijections et lE est la cateacutegorie des ensembles

finis et fonctions

Si U est un ensemble fini et (J U ---t V est une bijection lensemble F [U] est appeleacute

lensemble des F-structures sur lensemble sous-jacent U et la fonction F [(J] F [U] ---t

F [V] est appelleacutee fonction de transport de F-structures le long de la bijection (J Cette

application doit satisfaire les conditions de fonctorialiteacute suivantes

a) pour toutes bijections (J U ---t V et T V ---t W on a

b) pour la bijection identiteacute Idu U ---t U on a

33 Seacuteries formelles associeacutees

Il Ya trois seacuteries principales associeacutees agrave une espegravece F

1) La seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle F (x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

xn

F(x) = L IF [n]I (31) n

n~O

ougrave IF [nJi est le nombre de F-structures construites sur lensemble ln] = l 2 n

2) La seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie F(x) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

F (x) = L Fnxn (32) n~O

ougrave Fn est le nombre de types disomorphie de F-structures dordre n

3) La seacuterie indicatrice des cycles ZF (Xl X2 X3 ) associeacutee agrave F est la seacuterie formelle

(33)

46

OUgrave Sn deacutesigne le groupe des permutations de [nI (ie Sn = S ln)) fixF [a] est le nombre

de F-structures sur [n]laisseacutees fixes par a et aj est le nombre de cycles de a de longueur

j

Les opeacuterations combinatoires deacutefinies sur les espegraveces de structures sont les suivantes

laddition (+) la multiplication (-) la substitution (0) la deacuterivation () et le pointage

(e) Ces opeacuterations permettent de combiner entre elles des espegraveces de structures pour

en produire dautres Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Un isomorphisme entre deux espegraveces de structures F et C (F ~ C) est la donneacutee dune

famille de bijections au F [U] -----+ C rU] qui satisfait agrave la condition de naturaliteacute

suivante pour toute bijection a U -----+ Ventre ensembles finis le diagramme suivant

est commutatif

FIU] ~ C[U]

Flu] l l Glui (34)

FIV] ~ C[VI

Le concept disomorphisme est compatible avec le pacsage aux seacuteries au sens ougrave

F(x)=C(x)

F~C~ F(x)=G(x) (35)

ZF(XX2X3 ) = ZG(XX2X3)

Exemple 32

Puisque tout graphe simple sur un ensemble fini U est la reacuteunion disjointe de graphes

simples connexes on a leacutequation combinatoire suivante

9 = E(C)

ougrave 9 deacutesigne lespegravece des graphes simples C lespegravece des graphes connexes et E lespegravece

des ensembles Voir la figure 32 Ainsi on a les relations suivantes

9 (x) = exp (C (x))

47

3

~

( -

Figure 32 Un graphe simple 9 avec ses composantes connexes

Figure 33 Trois exemples de graphes inseacuteparables

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle et

Q(x) = ZE(C(X)C(x2) )

exp (~~ecirc (Xk))

pour la seacuterie geacuteneacuteratrice des types disomorphie

Un point darticulation dun graphe connexe est un sommet du graphe dont lextraction

fait perdre la connexiteacute Un graphe inseacuteparable (ou encore 2-connexe) est un graphe

connexe sans point darticulation (ce qui exclut le graphe reacuteduit agrave un point)

Exemple 33

Dans le graphe simple de la figure 31 le sommet x est un point darticulation mais y

ne lest pas La figure 33 illustre trois types de graphes inseacuteparables

48

3 4

3 2

3 4 f 4

centre

Figure 34 Un arbre

Deacutefinition 33

Soit a = (8 A) un arbre avec 8 = ensemble de sommets et A = ensemble darecircte

Lexcentriciteacute dun sommet 8 E 8 est la distance maximale de ce sommet agrave tout autre

sommet de 8 On note e (8) lexcentriciteacute de sommet 8 on a alors

e (8) = max (d (8 t))tES

Le centre de a est le sous arbre de a engendreacute par les sommets dexcentriciteacute minimum

Il est facile de se convaincre que le centre dun arbre est soit un sommet unique soit

une paire de sommets adjacents (une arecircte) Pour deacuteterminer le centre dun arbre on

procegravede par un effeuillage Voir la figure 34

Theacuteoregraveme 31 (Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres)

Soit a lespegravece des arbres alors on a leacutequation combinatoire suivante

(36)

ougrave les exposants - et - deacutesignent le pointage en un sommet en une arecircte et en une

arecircte ayant elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes soit en un sommet soit en

une arecircte Dans le membre de droite le terme a peut ecirctre identifieacute aux arbres qui ont

49

eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique en leur centre que ce soit un sommet ou une arecircte

Il reste donc agrave trouver un isomorphisme naturel entre lespegravece des arbres pointeacutes en un

sommet ou en une arecircte distincts du centre et les arbres pointeacutes en une arecircte ayant

elle-mecircme un de ses deux sommets adjacents distingueacute repreacutesenteacutes par le terme a-

1er cas Larbre est pointeacute en un sommet s distinct du centre Soit a larecircte adjacente

agrave s en direction du centre En distinguant s et a on obtient une a--structure

2egraveme cas Larbre est pointeacute en une arecircte a distincte du centre Dans ce cas soit s le

sommet adjacent agrave larecircte distingueacutee en direction du centre Alors on distingue s et a

on obtient une a--structure Voir la figure 35

Pour faire le chemin inverse eacutetant donneacutee une a- -structure Soit s le sommet distingueacute

adjacent agrave larecircte distingueacutee a Si s est situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans le 2egraveme

cas et on distingue seulement a Si s nest pas situeacute du cocircteacute du centre alors on est dans

le 1er cas et on distingue seulement s

D

Remarque 31

Soit A lespegravece des arborescences (arbres pointeacutes en un sommet) alors A = amiddot Comme

a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte les structures obtenues dans ce cas

pouvant ecirctre identifieacutees agrave des paires darborescences attacheacutees aux extreacutemiteacutes de larecircte

distingueacutee alors a- = E2 (A) ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

De plus comme a- repreacutesente les arbres qui sont pointeacutes en une arecircte ayant elle-mecircme

un de ses deux sommets adjacents distingueacute en coupant larecircte distingueacutee on obtient

un couple darborescences la premiegravere composante eacutetant larborescence qui contient le

sommet distingueacute donc une A 2-structure Par conseacutequent la relation (36) peut ecirctre

donneacutee sous la forme suivante

(37)

50

lcentre

Figure 35 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

34 Graphes inseacuteparables (2-connexes)

Un bloc dun graphe est un sous-graphe inseacuteparable maximal Les blocs dun graphe 9 ne

constituent pas une partition de ses sommets plusieurs blocs pouvant ecirctre relieacutes entre eux

par le mecircme point darticulation Le bc-arbre bc(g) dun graphe connexe 9 est un arbre

bicoloreacute (blanc-noir) deacutecrivant preacutecisement les liens entre les blocs de 9 (les sommets

blancs de bc(g)) et les points darticulations de 9 (les sommets noirs de bc(g)) Les

lettres bc viennent de langlais block-cutpoint tree Le b-graphe (anglais block-graph)

dun graphe connexe 9 est un nouveau graphe connexe dont les sommets sont les blocs

de 9 et les arecirctes sont les points darticulation entre les blocs de g Voir la figure 36 Le

bc-centre dun graphe 9 est le centre de bc(g) Il est facile de voir que le bc-centre dun

graphe est soit un sommet soit un bloc

51

B B A

D il D

E

E P

ni

G G

al bl cl

Figure 36 a) Un graphe connexe g b) le b-graphe de g c) le be-arbre bc(g)

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Deacutenotons par CB lespegravece des graphes connexes

dont tous les blocs sont dans B appeleacutes CB-graphes Par exemples si B = Ba la famille

de tous les blocs (la lettre a vient de langlais all) alors CB = C lespegravece de tous les

graphes connexes si B = K 2 le graphe complet agrave deux sommets (la classe de tels

graphes) alors CB = a lespegravece des arbres et si B = K3 le graphe complet agrave trois

sommets alors CB est lespegravece des cactus triangulaires ie des graphes connexes dont

tous les blocs sont des triangles

Soit CEuml lespegravece des CB-graphes connexes pointeacutes en un sommet CBnote la deacuteriveacutee de

CB Notons que CEuml et CBsont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

(38)

ougrave X deacutesigne lespegravece des singletons

Rappelons quen geacuteneacuteral si P est une espegravece de structures alors lespegravece P- (appeleacutee P

point) et pl (la deacuteriveacutee de P) sont relieacutees par leacutequation combinatoire suivante

P- = X pl (39)

52

middotmiddotmiddotvmiddotmiddotmiddotmiddot( ~

shy ~bullbull3(middotFigure 37 CB= E (B (CB))

Proposition 31

Soit B une classe de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

CB= E (B (CB)) (310)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensembles

Preuve

Etant donneacute un graphe 9 E CB [U + ] consideacuterons les blocs b auxquels le sommet

appartient Les autres sommets de ces blocs sont les racines de CB-structures Cette deacuteshy

composition canonique donne bien un ensemble de B (CB)-structures Voir la figure 37

ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la figure 33

Si on multiplie par X on trouve

CB = X CB= X E (B (CB)) (311)

et pour la seacuterie geacuteneacuteratrice exponentielle on trouve

CB(x) = Xmiddot exp (B (CB(x)))

53

Exemple 34

i) Si B = K 2 alors CB = a lespegravece des arbres et CE = amiddot lespegravece des arborescences

Dans ce cas puisque B = X leacutequation (311) redonne la relation fondamentale bien

connue pour lespegravece des arborecences

(312)

ii) Soit B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors CB = C et ainsi la

relation suivante

Theacuteoregraveme 32 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes)

Soit B une espegravece de graphes inseacuteparables et CB lespegravece des graphes connexes dont

tous les blocs sont dans B Alors on a

(313)

ougrave les exposants 0 et ~ deacutesignent le pointage en un sommet en un bloc et en un

bloc ayant lui-mecircme un de ses sommets adjacents distingueacute respectivement

Preuve

Ce theacuteoregraveme geacuteneacuteralise le theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres et la deacutemonstration

est semblable Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CB qui sont pointeacutes

soit en un sommet (CE) soit en un bloc (C~) Dans le membre de droite le terme

CB correspond au cas ougrave le pointage a eacuteteacute fait de faccedilon canonique dans le be-centre

du graphe Dans les autres cas une bijection naturelle entre les graphes pointeacutes en

un sommet ou en un bloc (hors du be-centre) et les graphes pointeacutes en un bloc ayant

lui-mecircme un de ses sommets distingueacute obtenue en regardant en direction du centre

est illustreacutee agrave la figure 38 ougrave ici B est la classe de graphes inseacuteparables illustreacutes agrave la

figure 33

54

Figure 38 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les graphes

D

Remarque 32

Leacutequation (313) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

Cs + B (Cs) = Cs + Cs Bf (CS) (314)

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Exemple 35

Pour B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes On a alors Cs = C et on a la

relation suivante

55

En effet dapregraves la remarque 32 on a

CB = CB+ B (CB) - CBB (CB)

En remplacant B par Ba on trouve

C Cmiddot + Ba (Cmiddot) - Cmiddot B~ (Cmiddot)

X (Cmiddot) + Ba (Cmiddot) - X (Cmiddot) B~ (Cmiddot) car X (Cmiddot) = Cmiddot

(X + Ba - X B~) (Cmiddot)

Rappelons quune espegravece de structures F satisfait la proprieacuteteacute suivante

FoX=XoF=F (315)

Soit NB lespegravece des graphes connexes contenant au moins deux sommets et dont aucun

bloc pendant (ie de degreacute 1 dans le bc-arbre) ou isoleacute nappartient agrave B ie si g E NB

alors bc (g) ne contient aucune feuille de type bloc E B Par exemple si B = K 2 alors

NB est lespegravece des graphes connexes non reacuteduits agrave un point et sans sommets pendants

(ie de degreacute l)et si B = Ba lespegravece de tous les graphes 2-connexes alors NB = O

Proposition 32

Soit B une espegravece de graphes 2-connexes Alors

(316)

Preuve

Soit g un graphe dans la classe C - CB ie g est un graphe dont les blocs ne sont pas

tous dans B On lui associe de faccedilon canonique un sous-graphe h appartenant agrave la classe

NB agrave partir du bc-arbre bc(g) Le sous-graphe h est caracteacuteriseacute par le fait que bc(h)

est le sous bc-arbre maximal de bc(g) ne contenant aucune feuille de type bloc E B On

retrouve le graphe g en remplacant les sommets de h par les CE-structures qui lui sont

56

attacheacutees dans g Voir la figure 39 Dans cette illustration B est la classe de graphes

inseacuteparables illustragt agrave la figure 33 les sommets rouges dans bc(g) et bc(h) repreacutesentent

les blocs de 9 qui ne sont pas dans B

35 Graphes irreacuteductibles

Deacutefinition 34

Un isthme (ou pont anglais bridge) dun graphe 9 est un bloc de 9 appartenant agrave K2

ie une arecircte de 9 dont la suppression augmente le nombre de composantes connexes

Un graphe irreacuteductible est un graphe connexe sans isthme (on parle aussi de graphe

2-arecircte-connexe) Une motte ( anglais lump) est un sous-graphe irreacuteductible maximal

dun graphe Voir la figure 310

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Notons CM lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M Par exemple si M = X lespegravece des singletons alors

CM =a lespegravece dfAgt arbres et si M = Ma lespegravece de tous lflgt graphes irreacuteductibles

alors CM = C lespegravece des graphes connexes Le im-arbre dun CM-graphe 9 est un

arbre dont les sommets sont lflgt mottes de 9 et les arecirctes sont les isthmes qui lient ces

mottes entre elles Le im-centre dun CM-graphe est le centre du im-arbre correspondant

Il est facile de voir que le im-centre dun CM-graphe est soit une motte soit un isthme

Pour deacuteterminer le im-centre dun CM-graphe on proceacutede par un effeuillage du im-arbre

correspondant

Proposition 33

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles Alors on a

CM = M- (Xmiddot E(CM)) (317)

ougrave E deacutenote lespegravece des ensemblfB

57

g bc(g)

bc(h) h

Figure 39 C - CB = NB (CjJ

58

Figure 310 Trois exemples de graphes irreacuteductibles

Figure 311 CM = Mmiddot (Xmiddot E(CM))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CM consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

CM-structures Voir la figure 311 o

Proposition 34 (Version pondeacutereacutee de la proposition 33)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors

(318)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe 9 E CMb consideacuterons la motte agrave laquelle le sommet pointeacute

appartient Les autres sommets lieacutes agrave cette motte par des isthmes sont les racines de

59

CMb-structures Voir la figure 312 o

Proposition 35 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CM lespegravece des graphes connexes dont

toutes les mottes sont dans M Alors on a

(319)

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans CM qui sont pointeacutes soit en un isthme

soit en une motte Dans le membre de droite le terme CM peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans CM qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le im-centre du graphe Il est

clair que le im-centre est soit un isthme ou une motte Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans CM pointeacutes en un isthme ou en une motte (hors du imshy

centre) et les graphes dans CM pointeacutes en une paire isthme-motte obtenue en regardant

en direction du centre est illustreacutee agrave la figure 313

Remarque 33

Leacutequation (319) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

60

Figure 313 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes

(320)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutementsVoir (Pierre Leroux 2003)

Proposition 36 (Version pondeacutereacutee de la proposition 35)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et CMb est lespegravece CM pondeacutereacutee par un

compteur disthmes b Alors on a

C~lb + CMb = CMb + CITb (321)

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (35)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les isthmes

--

61

Figure 314 CRb = M (X E (bCAcirc1b))

Remarque 34

Leacutequation (321) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

bE2 (CNb) + M (Xmiddot E (bCAcirc1b)) = CMb + b (CAcirc1b) 2

(322)

En effet CWb repreacutesente les graphes dans CMb qui sont pointeacutes en un isthme En coupant

listhme distingueacute on obtient un ensemble de deux graphes dans CNb et un poids b de

listhme deacutetacheacute dougrave le terme bE2 (CAcirc1b) le terme CRb repreacutesente les graphes dans

CMb qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant ecirctre identifieacutees agrave

des graphes dans M (X E (bCMb)) Voir la figure 314

Le terme Cl1b repreacutesente les graphes dans CMb qui ont eacuteteacute pointeacutes en une paire isthmeshy

motte en regardant en direction du centre En coupant listhme distingueacute on obtient une

(CMb f -structure et un poids b de listhme deacutetacheacute dougrave le terme b (CAcirc1b) 2 Voir la

figure 315

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes M(XE(Z)) Un graphe g E M(XE(Z)) est un

M -graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes

un nombre quelconque de sommets de sorte Z appeleacutes pieds (anglais legs) Voir la

figure 316

62

2

Figure 315 C~b = b (CMb)

Figure 316 Un M-graphe avec pieds

63

Figure 317 ZM (XE (Z)) = Me (XE (Z))

On a alors

OcircOcircZM (XE (Z)) XE (Z) M (XE(Z))

Me(XE(Z)) (323)

Voir la figure 317

Deacutefinition 35

Soit VM (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VM (X Z) = aE2 (Z) - M (XE (Z)) (324)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a Ici

a est une variable formelle

Alors on a par (323)

Ocirc ocirc ocircZVM(XZ) ocircZ (aE2 (Z) - M (XE (Z)))

aZ - J-r (XE (Z)) (325)

64

f-----ltO b

b

Figure 318 QM (X T) = bE2 (T) + CMdXE (bT))

Deacutefinition 36

Soit QM (X T) = QMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

(326)

ougrave T deacutenote la sorte des Ilpieds et CMdXE(bT)) est lespegravece des graphes connexes

dont toutes les mottes sont dans M sur dE13 sommets de sorte X auxquels sont attacheacutes

des pieds de sorte T pondeacutereacutee par un compteur disthmes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutes par une

arecircte (un isthme) de poids b Voir la figure 318

Noter que

rCMb (X E (bT)) = bCMb (X E (bT)) (327)

65

Deacutefinition 37

Soit AM (X T) = AMb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

ocircAM (XT) = ocircT 9M (XT)

ocirc = ocircT (bE2 (T) +CMb(XE(bT)))

= bT + bCMb (XE (bT)) (328)

Un AM (X T)-graphe peut ecirctre identifieacute agrave un 9M-graphe planteacute avec un demi isthme

de poids b

Proposition 37

Lespegravece Y = AM (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

y = bT + blvr (XE (Y)) (329)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (318) de la proposition 34

En effet

bT + bCNb (XE (bT))

bT + bCMb (X)IX=XE(bT)

bT + bMmiddot (XE (bT) E (bCMb (XE (bT))))

bT + bMmiddot (X E (bT + bCMb (XE (bT)) ) )

bT + bMmiddot (XE (AM (X T)))

Cette eacutequation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la

figure 319

66

Figure 319 AM (X T) = bT + blr (X E (AM (X T)))

Proposition 38 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les 9M-graphes)

Soit M une espegravece de graphes irreacuteductibles et soit 9M (X T) lespegravece de structures

deacutefinie par (326) cest-agrave-dire

9M (X T) = bE2 (T) + eMb (XE (bT)) (330)

Alors on a

9~ (X T) + gR (X T) = 9M (X T) + 9Yl (X T) (331 )

ougrave les exposants i m et im deacutesignent le pointage en un isthme en une motte et en une

paire incidente isthme-motte respectivement

67

Figure 320 Theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les CM-graphes avec pieds

Preuve

La deacutemonstration de ce reacutesultat est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissymeacutetrie

pour les CM-graphes Notons que les sommets de sorte Z ne sont pas des mottes Voir

la figue 320

Remarque 35

Leacutequation (331) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(332)

ougrave AM= AM (X T) En effet gk (X T) repreacutesente les graphes dans gM (X T) qui

sont pointeacutes en un isthme En coupant listhme distingueacute on obtient un ensemble de

deux graphes dans AM (X T) dont chacun a un demi isthme de poids b dougrave le terme

iE2 (AM) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) gR (X T) repreacutesente les

68

middot

Figure 321 9R (X T) = M (XE (AM))

graphes dans 9M (X T) qui sont pointeacutes en une motte les structures obtenues pouvant

ecirctre identifieacutees agrave des graphes dans M (X E (AM)) Voir la figure 321

Le terme 9iJ (X T) repreacutesente les graphes dans 9M (X T) qui ont eacuteteacute pointeacutes en une

paire isthme-motte En coupant listhme distingueacute on obtient une (AM - bT)-structure

du coteacute de la motte distingueacutee et une AM-structure de lautre coteacute dougrave le terme

iAM (AM - bT) (on multiplie par lib pour reacutetablir le poids total) Voir la figure 322

36 Compleacutements sur linversion des espegraveces de structures

Proposition 39

Soit F une espegravece virtuelle (en particulier une espegravece de structures) dont la deacutecomposhy

sition canonique est est de la forme suivante

F = X + F2 + F3 + (Fo = 0 FI = X)

Alors il existe une unique espegravece virtuelle F(-l) telle que

F(-l) 0 F = F 0 F(-l) = X

69

-~frX

Figure 322 ccedil~ (X T) = iAM (AM - bT)

Voir chapitre 2 section 25 de (Bergeron Labelle et Leroux 94 )

Theacuteoregraveme 33 (Theacuteoregraveme des espegraveces implicites)

Soit H (X Y) une espegravece agrave deux sortes satisfaisant aux conditions suivantes

8H H (00) = 0 et 8Y (00) = O (333)

Alors leacutequation combinatoire A = H (X A) caracteacuterise agrave isomorphisme canonique pregraves

une unique espegravece virtuelle A = A (X) pour laquelle A (0) = O

Ce theacuteoregraveme est ducirc agrave Joyal (Joyal 81)

En particulier on deacutenote Y = cA lespegravece des G-arborescences qui est deacutefinie par leacutequashy

tion fonctionnelle suivante

y = X +G(Y) (334)

70

Figure 323 Une C-arborescence

Par iteacuteration de leacutequation (334) on voit apparaicirctre des C-arborescences qui sont des

structures arborescentes en ce que les sommets internes ne sont pas eacutetiqueteacutes ie que

lensemble sous-jacent se retrouve aux feuilles de larborescence Voir la figure 323 Ici

lensemble sous-jacent est U = abcdefgh

Posons H (X Y) = X + C (Y) alors les conditions (333) se traduisent par

C (0) = 0 et C (0) = O

Notons que pour toute seacuterie formelle F (x) on a

et eacutegalement

F (cA (x)) = L ~ (x) k (F (x) (1 - C (x)) Ck (x)) k~O

Voir (Bergeron Labelle et Leroux 94)

Dans le cas ougrave on peut eacutecrire C (Y) = y D (Y) ougrave D est une espegravece de structures

leacutequation (334) se ramegravene agrave

Y = Xmiddot R(Y) (335)

71

avec R = L (D) (L est lespegravece des listes) et les formules dinversion de Lagrange peuvent

ecirctre utiliseacutees Noter quau niveau des seacuteries formelles sous les conditions (333) il est

toujours possible deacutecrire

G (y) = yD (y)

avec D (y) E A [[y]] (A [[y]] est lanneau des seacuteries formelles dont les coefficients sont

dans lanneau A) et dutiliser linversion de Lagrange dans (335) avec

R (y) = (1 - D (y))-l

CHAPITRE IV

TRANSFORMATION DE LEGENDRE EN THEacuteORIE DES

ESPEgraveCES

Dans ce chapitre nous donnons le reacutesultat principal de ce travail qui est la transformation

de Legendre dune espegravece de structures agrave une sorte ou agrave deux sortes Nous montrons

que lespegravece QM (X T) est la transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z) par

rapport agrave Z Finalement par une construction originale nous montrons que lespegravece

M utiliseacutee dans la deacutefinition de lespegravece QM (X T) peut ecirctre remplaceacutee par une espegravece

N quelconque avec N [0] = O Notons que mis agrave part la section 45 la plupart des

resultats eacutenonceacutes dans ce chapitre proviennent de lexposeacute de Pierre Leroux au seacuteminaire

Lotharingien de combinatoire agrave Bertinoro (Leroux 03)

41 Transformation de Legendre dune espegravece agrave une sorte

Soit V (Z) une espegravece de structures telle que

av a2v V (0) = 0 az (0) = 0 et aZ2 (0) O (41)

Par analogie avec la remarque 13 on deacutefini la transformeacutee de Legendre F (T) de lespegravece

V (Z) par rapport agrave Z

F (T) = (TZ - V (Z))IZ=A(T) (42)

ougrave Z = A (T) est une espegravece qui repreacutesente la solution de leacutequation

av T = az (Z) (43)

73

Notons que les conditions (41) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (T) solution de leacutequation (43)

Leacutequation (42) donne alors

F (T) = T A (T) - V (A (T)) (44)

Remarque 41

On a

aF (T) a~ (Tmiddot A (T) - V (A (T))) aT

a av aAA (T) + Tmiddot -A (T) - - (A (T))middot - (T)

8T az aT a a

A (T) + T -A (T) - T-A (T)aT aT

A(T)

Proposition 41

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave une sorte est involutive Cestshy

agrave-dire si lespegravece F est la transformeacutee de Legendre de lespegravece V alors lespegravece V est la

transformeacutee de Legendre de lespegravece F

Preuve

Soit F (T) la transformeacutee de Legendre de lespegravece V (Z) par rapport agrave Z telle que

Nous devons montrer que V (Z) est la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave

T Soit W (Z) la transformeacutee de Legendre de F (T) par rapport agrave T

On doit avoir

W (Z) = (ZT - F (T))IT=B(Z)

74

ougrave T = B (Z) satisfait leacutequation

Or aF aT (T) = A (T)

Par conseacutequent

B (Z) A(-l) (T)

av az (Z)

De (44) on tire

v (Z) B (Z) Z - F (B (Z))

W(Z)

42 Transformation de Legendre dune espegravece agrave deux sortes par rapshy

port agrave une sorte

Soit V (X Z) une espegravece de structures agrave deux sortes telle que

av a2v az (XO) = 0 et aZ2 (XO) t- o (45)

Noter que la sorte X joue un rocircle de figurant

La transformeacutee de Legendre de V (X Z) par rapport agrave Z est lespegravece agrave deux sortes

F (X T) deacutefinie par

F (X T) = (TZ - V (X Z))IZ=A(XT) (46)

ougrave Z = A (X T) est une espegravece agrave deux sortes qui repreacutesente la solution de leacutequation

(47)

75

Notons que les conditions (45) et la proposition (39) assurent lexistence dune unique

espegravece A (X T) solution de leacutequation (47)

Lequation (46) se ramegravene agrave

F (X T) = Tmiddot A (X T) - V (X A (X T)) (48)

Remarque 42

On a

Ocirca (XT) ocircT (Tmiddot A(XT) - V(XA(XT)))

ocirc ocircV ocirc A (X T) +Tmiddot ocircTA (X T) - ocircZ (X A (X T)) ocircTA (X T)

ocirc ocirc A(XT) +Tmiddot ocircTA (XT) -TocircTA(XT)

A (X T)

Proposition 42

La transformation de Legendre des espegraveces de structures agrave deux sortes par rapport agrave

une sorte est involutive

Preuve

La preuve de cette proposition est semblable agrave celle de la proposition 41

43 Transformation de Legendre de lespegravece VM (X Z)

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et soit VM (X Z) = VMa (X Z) lespegravece

pondeacutereacutee deacutefinie par

VM (X Z) = aZ2 - aE2 (Z) - M (XE (Z)) (49)

Pour des raisons techniques on a remplaceacute aE2 (Z) par aZ2 - aE2 (Z) dans leacutequation

(325) Ces deux espegraveces aE2 (Z) et aZ2 - aE2(Z) ont la mecircme seacuterie geacuteneacuteratrice

exponentielle ~z2 et la mecircme deacuteriveacutee partielle par rapport agrave Z aZ

76

On a

acirc~ VM (X Z) = aZ - Mmiddot (XE (Z))

et leacutequation (47) seacutecrit

acircVMT acircZ (X Z)

aZ -Mmiddot(XE(Z)) (410)

ce qui implique

Z = ~T + ~Mmiddot (XE (Z)) (411 ) a a

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution Z = A (X T) qui est donneacutee par Z = AM (X T) =

AMb (X T) avec b = lia Voir la proposition 37

Theacuteoregraveme 41

Soit M une classe de graphes irreacuteductibles et supposons que ab = 1 Alors la transformeacutee

de Legendre F (X T) de VM (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par lespegravece dM (X T) =

dMb (X T) deacutefinie par leacutequation

dM (X T) = bE2 (T) + CMb (XE (bT))

Preuve

Nous devons montrer que F (X T) = dM (X T) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymeacutetrie pour les dM-graphes (remarque 35) et posant AM = AM (X T) on en

77

deacuteduit que

F(XT) T AM (X T) - VM (X AM (X T))

TAM - VM (XAM)

TAM - (aA1- - aE2(AM) - M (XE (AM)))

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aA1- + AMT

aE2(AM) + M (XE (AM)) - aAM (AM - ~T) 1 1 bE2(AM) + M (XE (AM)) - bAM (AM - bT)

CcedilM (X T)

Ceci complegravete la preuve

o

431 Exemple M = X la classe des graphes agrave un sommet

Soit M = X lespegravece des singletons alors comme on la remarqueacute agrave la section 34

CM = a lespegravece des arbres Dans ce cas CM = amiddot est lespegravece des arborecences

satisfaisant amiddot = X E (amiddot)

De plus

VM(X Z) = aZ2 - aE2(Z) - X E (Z) (412)

et

(413)

Notons

ab (X T) = gM (X T) = bE2 (T) + a (XE (bT)) (414)

lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte

X ou de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

78

-

b ~Ocirc f b b

b ~ bull -- - ~ - ------Ii

b ) middotbmiddot 1 b -

1 bullbullbull bullbullbullbull

bull 0

Figure 41 AM (X T) = bT + bXE (AM (X T))

Ainsi on a

agraveab (X T)AM (X T) (415)agraveT

bT + bamiddot (XE (bT)) (416)

OUgrave AM (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X

et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece AM (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Alors

AM (X T) = bT + bXE (AM (X T)) (417)

Voir la figure 41

On en deacuteduit donc que les espegraveces ab (X T) et VM (X Z) donneacutee par (412) sont telles

que lune est la transformeacutee de Legendre de lautre

79

Figure 42 A (X T) = bT + bXEl (A (X T))

44 Transformation de Legendre de lespegravece B (X Z)

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece des arbres dont les sommets internes sont de sorte

X et les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutees par un compteur darecirctes b telle que pour

chaque sommet interne de sorte X est attacheacutee au moins une feuille de sorte T On a

a (X T) = bE2 (T) + X E2 (bT) + bE2 (X El (bT)) + b2E3 (X El (bT)) + (418)

et oa oT (X T) = A (X T)

ougrave A (X T) est lespegravece des arborescences dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T pondeacutereacutee par un compteur darecirctes b

Notons que lespegravece A (X T) est planteacutee ie avec une demi arecircte de poids b Et

A(X T) = bT + bXEgtl (A (X T)) (419)

Voir la figure 42

80

Proposition 43 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les arbres avec feuilles a)

Soit a (X T) lespegravece pondeacutereacutee des arbres dont les sommets internes sont de sorte X et

les feuilles sont de sorte T Alors on a

a-X (X T) + a- (X T) = a (X T) + aX- (X T) (420)

ougrave les exposantsx - et X - deacutesignent le pointage en un point de sorte X en une

arecircte et en une paire incidente point de sorte X et arecircte respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle du theacuteoregraveme de dissyshy

meacutetrie pour les arbres Voir (theacuteoregraveme 31)

Remarque 43

Leacutequation (420) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

1 1 XE~2 (A (X T)) + bE2(A (X T)) = a (X T) + bA (X T) (A (X T) - bT) (421)

Soit B (X Z) lespegravece deacutefinie par leacutequation

B (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - XE~2 (Z) (422)

Lespegravece B (X Z) veacuterifie les conditions (45) En effet

aB az (X Z) = 2aZ - aZ - XE~dZ)

= aZ - X E~ 1 (Z)

et a2 B a2z (X Z) = a - XE(Z)

donc

81

aB az (XO) a 0 - 0 E1 (0)

O

et

Alors leacutequation (47) seacutecrit

aBT az (X Z)

aZ - XE1 (Z) (423)

ce qui implique

Z = -1T + -1

X EgtdZ) (424)a a -

Agrave partir du theacuteoregraveme des espegraveces implicites (theacuteoregraveme 33) on en deacuteduit que cette

eacutequation possegravede une unique solution qui est donneacutee par Z = A (XT) avec b = lia

Voir leacutequation (419)

Proposition 44

Soit a (X T) = ab (X T) lespegravece pondeacutereacutee agrave deux sortes des arbres avec feuilles dont les

sommets internes sont de sorte X et les feuilles sont de sorte T Supposons que ab = 1

alors la transformeacutee de Legendre F (X T) de B (X Z) par rapport agrave Z est donneacutee par

lespegravece a (X T)

Preuve

Nous devons montrer que F(XT) = a(XT) Or dapregraves (48) et le theacuteoregraveme de

dissymetrie pour les arbres avec feuilles (remarque 43) et posant V (X Z) = B (X Z)

82

on en deacuteduit que

F(XT) Tmiddot A (X T) - B (X A (X T))

Tmiddot A (X T) - (aA2(X T) - aE2 (A (X T)) - X E2 (A (X T)))

X E2 (A (X T)) + aE2 (A (X T)) - aA2(X T) + Tmiddot A (X T)

1 1 XE2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA2 (X T) + Tmiddot A (X T)

1 1X E2 (A (X T)) + bE2 (A (X T)) - bA (X T) (A (X T) - bT)

a(XT)

Ceci complegravete la preuve

45 Geacuteneacuteralisation

Deacutefinition 41

On note Par lespegravece des partitions (ensemblistes) Soit 1r = PPE1T une partition sur

un ensemble U et soit 9 un graphe quelconque sur U Deacutesignons par g1T le multigraphe

induit de 9 sur lensemble 1r Chaque arecircte e dans 9 induit une arecircte dans g1T entre le ou

les blocs contenant les extreacutemiteacutes de e Il y a donc possibiliteacutes de cycles en particulier

de boucles et darecirctes multiples Voir la figure 43

Soit N = N (X) une espegravece de structures telle que N [0] = O Dans ce qui suit une

N-structure sur un ensemble U est appeleacutee une note par commoditeacute Nous utiliserons

le diagramme de la figure 44 pour repreacutesenter une note

Deacutefinition 42

Un (N-graphe sur un ensemble U est la donneacutee dun triplet (1r n g) ougrave 1r = PPE1T

est une partition sur U n = np PE1T est une famille de N-structures (notes) avec np

eacuteleacutement de N [Pl et 9 est un graphe sur lensemble des sommets U tel que le multigraphe

induit g1T soit un arbre autrement dit un graphe connexe sans cycles en particulier sans

boucles et sans arecirctes multiples Voir la figure 45

bull bull

bull bull

83

Figure 43 a) Un graphe g b) le multigraphe induit g

bull bull bull N

bull Figure 44 Une Note

84

a) b)

Figure 45 a) Un ~N-graphe g b) le multigraphe induit g1f

Proposition 45

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors

(425)

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E q consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apparshy

tient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ~N-structures

Voir la figure 46

Proposition 46 (Version pondeacutereacutee de la proposition 45)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 et ~Nb est lespegravece ~N pondeacutereacutee par

un compteur darecirctes b Alors

(426)

0

85

Figure 46 ([N = Nmiddot (Xmiddot E (([N ))

Preuve

Eacutetant donneacute un graphe g E ([Nb consideacuterons la note agrave laquelle le sommet pointeacute apshy

partient Les autres sommets lieacutes agrave cette note par des arecirctes sont les racines de ([Nbshy

structures Voir la figure 47

Proposition 47 (theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ([N-graphes)

Soi t N une espegravece de structures avec N [0] = O Alors on a

(427)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

Le membre de gauche repreacutesente les graphes dans ([N qui sont pointeacutes soit en une arecircte

86

Figure 47 ([ivb (X) = Nmiddot (X E (b([ivb (X) ) )

soit en une note Dans le membre de droite le terme ([N peut ecirctre identifieacute aux graphes

dans ([N qui ont eacuteteacute pointeacutes de maniegravere canonique dans le an-centre du graphe Il est

clair que le an-centre est soit un isthme soit une note Dans les autres cas une bijection

naturelle entre les graphes dans ([N pointeacutes en une arecircte ou en une note (hors du anshy

centre) et les graphes dans ([N pointeacutes en une paire arecircte-note obtenue en regardant en

direction du centre est illustreacutee agrave la figure 48

Remarque 44

Leacutequation (427) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

E2 (([iv) + N (X E (([iv )) = ([N + (([iv )2 (428)

ougrave E2 deacutesigne lespegravece des ensembles agrave deux eacuteleacutements

87

Figure 48 theacuteoregraveme de dissymeacutetrie pour les ltN-graphes

88

Figure 49 Une note avec pieds

Proposition 48 (Version pondeacutereacutee de la proposition 47)

Soit N une espegravece de structures avec N [0] = 0 dont les structures sont appeleacutees notes

et soit ([Nb lespegravece ([N pondeacutereacutee par un compteur darecircte b Alors on a

(429)

ougrave les exposants a n et an deacutesignent le pointage en une arecircte en une note et en une

paire incidente arecircte-note respectivement

Preuve

La deacutemonstration de cette proposition est tregraves semblable agrave celle de la proposition (47)

la seule diffeacuterence est quon ajoute un poids b sur les arecirctes

Remarque 45

Leacutequation (429) peut ecirctre donneacutee sous la forme suivante

(430)

Consideacuterons lespegravece agrave deux sortes N (XE (Z)) Un graphe g E N (XE (Z)) est un Nshy

graphe sur un ensemble de sommets les eacuteleacutements de sorte X auxquels sont attacheacutes un

nombre quelconque de pieds de sorte Z Voir la figure 49

89

On a alors

O~N(XE(Z)) = XE(Z)N(XE(Z))

= Nmiddot (XE (Z)) (431 )

Deacutefinition 43

Soit VN (X Z) lespegravece virtuelle pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

VN (X Z) = aZ2 - aE2(Z) - N (XE (Z)) (432)

Le terme aE2 (Z) peut ecirctre identifieacute agrave deux pieds attacheacutees par une arecircte de poids a

Alors on a par (431)

oVN oZ (XZ)

o oZ (aZ2

- aE2(Z) shy N (XE (Z)))

aZ shy Nmiddot (XE (Z) ) (433)

Deacutefinition 44

Soit 9N (X T) = 9Nb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

9N (X T) = bE2 (T) + ~Nb (XE (bT)) (434)

ougrave T deacutenote la sorte des II pieds ll et ~Nb(XE(bT)) est lespegravece ~N (XE(T)) pondeacutereacutee

par un compteur darecirctes b

Par convention une bE2 (T)-structure peut ecirctre identifieacutee agrave deux pieds attacheacutees par une

arecircte de poids b Voir la figure 410

Noter que

O~~Nb (XE (bT)) = b~Nb (XE (bT)) (435)

90

Figure 410 QN (X T) = bE2 (T) + ([Nb (X E (bT))

Deacutefinition 45

Soit AN (X T) = ANb (X T) lespegravece de structures pondeacutereacutee agrave deux sortes deacutefinie par

8 AN (XT) 8T QN (X T)

8 8T (bE2 (T) + ([Nb (XE (bT)))

bT + b([Iumlv b (X E (bT)) (436)

Proposition 49

Lespegravece AN (X T) satisfait leacutequation fonctionnelle suivante

(437)

Preuve

Cette relation est une conseacutequence immeacutediate de la formule (426) de la proposition 46

91

~

1 I-_-~

---+-gtltb

b

bull i i bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull b i i

middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddotmiddot~middotmiddotmiddotmiddot~~(~tmiddot~middot~ middotmiddotmiddot~middot~~middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot~bmiddotll--bJ-~-- b 1~ ~ b

~ -

b b ~ nbunnnbull N~middotmiddotmiddot IftJi bullbullbull b b N

middotmiddotT bull - ~middot3middot1 ~ middot0 bull 1~

uu_middotrit~~)1~middot~middotmiddot~-middotmiddotrmiddot~middotmiddotmiddot~ N i middotmiddotmiddotmiddot_~middotmiddotmiddotmiddotmiddot1 ~b

b b b b b ~ middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot 4 bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull ~

Figure 411 AN (X T) = bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

En effet

AN (XT) bT + bltNb (XE (bT))

bT + b ltNb(X)lx=XE(bT)

bT + bNmiddot (XE (bT) E (bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (Xmiddot E (bT + bltNb (XE (bT))))

bT + bNmiddot (XE (AN (X T)))

Cette relation peut ecirctre deacutemontreacutee aussi par une argumentation graphique Voir la fishy

gure 411