7/26/2019 Taller 2 Numrico

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Analisis Numerico.Taller 2 (Punto Fijo).

Andres Felipe Patino Lopez.20131167013

25 de marzo de 2016

Ejercicio 1. Sea g (x) =ex2:

a) Demuestre queg tiene exactamente dos puntos fijos p1, p2

b) Determinep1, p2 con una precision de 106

c) Si x0 > p2 la sucesion xn= g(xn1) es divergente.

Solucion 1. a) Buscamos entonces puntos tales que ex2 =x, es decir, las raices de la ecuacion:

f(x) =ex2 x

Para hallar los puntos crticos de f, veamos que f(x) =ex2 1 y:

f(x) = 0

ex2 1 = 0

ex2 = 1

x 2 = 0

x= 2

Ademas f(x) = ex2 >0, es decir, f tiene un unico punto crtico en el punto (2, f(2)) = (2,1)y es un mnimo. Tambien fes continua, f(0)> 0 y f(4) > 0. Por el teorema de Bolzano podemosconcluir que paraf existen puntos p1, p2 en los intervalos (0, 2) y (2, 4) respectivamente, tales quef(p1) = f(p2) = 0, que debido a la continuidad de f son unicos. p1, p2 seran tambien los unicospuntos fijos de g (x) =ex2.

b) Hallemos primero el punto fijop1 en el intervalo (0, 2). A conveniencia tomaremos un intervalo maspequeno en el cual se encuentre p1, como f(1) = e

1 1 < 0, p1 (0, 1), tomemos (teniendo encuenta que en el intervalo (0, 1), g(x) es creciente y positiva):

q= maxx[0,1]

|g(x)| =g (1) =e1 = 1

e

ln

(1q)|x1x0|

ln(q)

>ln106(1e1)

e2

ln(e1)

12,27

n= 13 iteraciones.

1

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In xn

0 01 0,13533532 0,15494823 0,15801714 0,15850285 0,1585798

6 0,15859207 0,15859398 0,15859429 0,158594310 0,158594311 0,158594312 0,1585943

Tenemos entoncesp1 0,158543 con una precision de = 106.

Hallemos ahora el punto fijo p2, para este punto no es posible usar el teorema del punto fijo,ya la sucesion xn+1 = g(xn) diverge para x0 > p2 (esto lo veremos en el numeral c)), usaremosentonces el metodo de biseccion sobre el cero de la funcion f(x) = ex2 x en el intervalo (2, 4)

que simultaneamente sera punto fijo de g(x). Para que la precision sea menor que = 106, senecesitan:

b a

2n+1

n > 1

ln |2|ln

b a

n > 1

ln |2|ln

2

106

n >20,93

n= 21 iteraciones.

In an bn xn

0 2 4 31 3 4 3.52 3 3,5 3,253 3,125 3,25 3,1875...

......

...19 3,1461906 3,1461944 3,146192520 3,1461925 3,1461944 3,1461934

Tenemos entonces p2 3,146193 con una precision de = 106.

c) Veamos queg (xn)> g(xn1) g (xn1)> g(xn2).

g(xn)> g(xn1) exn2 > exn12

lnexn2> ln exn12

xn 2> xn1 2

xn > xn1

g(xn1)> g(xn2)

De modo que la sucesion g(xn) es estrictamente creciente si y solo si x1 > x0. Lo cual es cierto ya quecomox0 > p2 (Con g (p2) =p2) tenemos e

x02 > x0, es decir, x1 > x0.Supongamos quexn p, comoxn > xn1 > ... > x1 > x0 > p2, entoncesp > p2y comog(x) es continua

p sera un punto fijo de g, lo cual no es posible ya que anteriormente probamos que g tiene unicamente

dos puntos fijosp

1 yp

2, dondep

1< p

2, es decir,x

n diverge cuandox

0> p

2.

2