sentido numérico

5/21/2018 Sentido num rico

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Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin

MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA

Sentido numrico


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Sentido numrico

Silvia Garca

MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA


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SENTIDONMERICO

ISBN de la coleccin: 978-607-7675-28-0ISBN: 978-607-7675-51-8

D.R. Instituto Nacional parala Evaluacin de la Educacin

Jos Ma. Velasco 101, Col. San Jos Insurgentes,Delegacin Benito Jurez, C.P. 03900, Mxico, D.F.

Coordinacin generalRebeca Reynoso Angulo

EditoraMara Norma Ordua Chvez

Correccin de estiloTeresa Ramrez Vadillo

Diseo y formacin

Martha Alfaro Aguilar

IlustracionesRoco Padilla

Esta publicacin estuvo a cargo de la Direccin General Adjunta.El contenido, la presentacin, as como la disposicin en conjuntoy de cada pgina de esta obra son propiedad del editor. Se autoriza sureproduccin parcial o total por cualquier sistema mecnico o electrnico

para fines no comerciales y citando la fuente de la siguiente manera:

Garca, Silvia (2014). Sentido numrico. Materiales paraApoyar la Prctica Educativa. Mxico: INEE.

Impreso y hecho en MxicoDistribucin gratuita. Prohibida su venta.


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Prlogo

Presentacin

Introduccin

1. Aritmtica: resultados de los EXCALE

Contenidos aritmticos de mayor dificultadPreescolar Tercero de primariaSexto de primariaTercero de secundariaRespuestas razonables y no razonables:aplicando el sentido numrico Preescolar Tercero de primaria

Sexto de primaria Tercero de secundaria

2. Qu es el sentido numrico?

Aritmtica y sentido numricoHacia el concepto del sentido numricoEl enfoque de resolucin de problemasy el desarrollo del sentido numrico

Aspectos del clculo relacionadoscon el sentido numrico

3. Estimacin

Reflexin sobre la prctica

4. Clculo mental


5. Clculo escrito


6. Uso de la calculadora


7. Activar el sentido numrico

de los alumnos

Sistema decimal de numeracinLa recta numricaEstimacinClculo mentalClculo escritoUso de la calculadora

8. Juegos para desarrollar

el sentido numrico

Lotera con dadosLotera con las tablas de multiplicarUn juego con dados

Yo tengo quin tiene...?Cambiando la unidadEl laberintoGuerra de cartas con nmeros negativos

9. Algunas ideas para evaluar el sentido numrico

Bibliografa

ndice

7915

19

2223252830

333435

3637

454757

63

66

7180

8796

105119

127135

143

146151154158161165

173176177179180182186187

191

201


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Prlogo

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El Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin ( INEE) tiene como objetivo

generar y difundir informacin sobre distintos componentes del Sistema Educa-

tivo Nacional, a fin de que sea posible tomar decisiones que contribuyan a sumejora. Algunas de esas decisiones son de poltica educativa y otras se relacionan con

lo que sucede en las escuelas y en los salones de clase.

Desde su creacin, el INEEha producido gran cantidad de estudios para dar a co-nocer a pblicos diversos los resultados de sus evaluaciones. A mediados de 2007 dio

inicio a la elaboracin de materiales expresamente dirigidos a profesores y directivos

escolares. Para tal fin ha buscado la colaboracin de especialistas que, adems de unadecuado dominio de su disciplina, tengan conocimiento cercano del quehacer docente

en escuelas de educacin bsica. A ellos, se les ha invitado a desarrollar textos entorno a algunos de los problemas identificados en las evaluaciones aplicadas por el

Instituto, y as ofrecer a los maestros formas novedosas de reflexionar y atenderlos.Como parte del proceso de elaboracin, los textos son revisados por un ComitTcnico conformado por reconocidos expertos y por un Comit Didctico integrado por

profesores de educacin bsica que laboran en distintos tipos de escuelas pblicas;

estos ltimos prueban los materiales en sus aulas y, con base en sus resultados, hacenconsideraciones respecto de las fortalezas y debilidades de las propuestas, as como

sugerencias para enriquecerlas.

Con este nuevo ttulo de la subserie Materiales para Apoyar la Prctica Educativa(MAPE), denominado SENTIDONUMRICO, se brindan herramientas creativas para mejorar

la enseanza de las Matemticas en la educacin bsica, proponiendo formas nove-

dosas de apoyar el aprendizaje de los estudiantes. En esta ocasin se incluye un CDcon actividades y juegos que pueden ser adaptados a las necesidades del grupo y a

la intencin didctica de cada docente.


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Sentido numrico

MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA8

Al poner estos textos a su alcance, el Instituto refrenda su conviccin de que laevaluacin puede contribuir efectivamente a mejorar la calidad educativa. Es nuestro

deseo que esta nueva publicacin sea de utilidad para los profesores y que en ellaencuentren retroalimentacin valiosa para ofrecer a los nios y jvenes mexicanos msy mejores oportunidades de aprendizaje.

Annette Santos del Real

Directora General de Difusin y Fomentoa la Cultura de la Evaluacin, INEE


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Presentacin

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SENTIDONUMRICOes el nombre del libro que tiene en sus manos. Forma parte de

la subserie Materiales para Apoyar la Prctica Educativa (MAPE), producida y

difundida por el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE) conla finalidad de evaluar para mejorar.

La elaboracin y aplicacin de pruebas, as como el registro y la publicacin de re-

sultados de los Exmenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE) son etapas deun proceso que contina con un anlisis minucioso de los resultados a partir del cual

se investiga y se hacen propuestas didcticas concretas para desarrollarse en el saln de

clases. La edicin de este material forma parte de dicho proceso, que continuar cuandousted conozca la propuesta, la analice y la concrete en la prctica educativa a partir de

las necesidades de su grupo.Desde hace algunos aos se pretende que la manera en que se aborden los conte-

nidos aritmticos dentro del saln de clases sea a partir de la resolucin de problemas,pues no es lo mismo que los nios repitan hechos numricos aprendidos de memoria ysin sentido a que desarrollen competencias numricas que les permitan aplicarlos en di-

ferentes situaciones. De ah que este material est referido al desarrollo de una habilidad

para el manejo de los nmeros, que si bien se vincula directamente con los contenidosde la aritmtica, su objetivo va ms all de aprender tcnicas y procedimientos, pues

busca que los alumnos desarrollen una flexibilidad de pensamiento que les permita tran-

sitar por diferentes representaciones numricas.En este sentido, no slo es importante que los estudiantes conozcan hechos nu-

mricos, como saber que 5 x 10 = 50, sino que puedan ver 50 como la mitad de 100

o el doble de 25, y que desarrollen un pensamiento reversible, por ejemplo, que se dencuenta que si 16 x 30 = 480 entonces 480 16 = 30 y 480 30 = 16.

Eficiencia y eficacia numrica es parte de lo que se busca, y para ello la autora,

Silvia Garca, propone actividades concretas y da orientaciones precisas en trminos deldesarrollo de habilidades de pensamiento, como el clculo escrito, el clculo mental, la

estimacin y el uso de la calculadora. Cada actividad que presenta da pie a la reflexin


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Sentido numrico

10 MATERIALESPARAAPOYARLAPRCTICAEDUCATIVA

y ampliacin, pues deja abierta la posibilidad de bajar o subir el nivel de complejidad deacuerdo con las necesidades del grupo y de proponer nuevas ideas para el desarrollo.

Actividades que invitan al uso de la calculadora sin ningn prejuicio, aceptando queen nuestro tiempo la tecnologa es esencial y por ello es necesario fomentar su usocomo herramienta de aprendizaje al estudiar regularidades y propiedades numricas,

entre otros temas.

Recuerde que se trata de una propuesta susceptible de ser ampliada y mejorada,por lo que podr participar aportando y compartiendo sus ideas con sus compaeros

de trabajo.

Adelante!

Mara Esther Amador Gmez

Directora del Club de RecreacinMatemtica Grand Apprenti


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Dnde est mi invitacin? pregunt Robert.

Creo que la he dejado en casa.

No importa le tranquiliz el anciano. Aqu entra

todo el que realmente quiere. Pero quin sabe

dnde est el paraso de los nmeros! Por eso

son los menos quienes lo encuentran.

Hans Magnus EnzensbergerEl diablo de los nmeros


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Sentido numrico



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Introduccin

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En la antigua Grecia los pitagricos pensaban que todo era nmero y el matem-

tico Gauss opinaba que la aritmtica es la reina de las matemticas. Los pen-samientos anteriores son producto de la fascinacin que ejercen los nmeros

cuando realmente se les comprende, cuando tenemos la oportunidad de entrar, como

se menciona en el epgrafe, en su paraso. Es probable que para muchos de nuestrosalumnos estas ideas resulten muy alejadas de su experiencia, pero estar en el mundo

de los nmeros puede convertirse en una experiencia llena de satisfacciones y sor-

prendernos y deleitarnos con toda la belleza que encierra trabajar con ellos.

Leamos el siguiente fragmento de una clase de cuarto grado de primaria (Saucedoy Hermosillo, 2004).

Maestro:El animal ms grande que existe es la hembra adulta de la ballenaazul. Con sus 120 000 kilos pesa aproximadamente lo mismo que 20 elefantes o

30 hipoptamos o 40 rinocerontes. Luis Armando, cunto pesar un elefante?

Bueno, vamos a ver, Christian.Christian:100 kilos.

Maestro:Cmo le hiciste?

Christian:Hice una resta.Maestro:Qu cantidad quitaste?Christian:120 000 kilos a 20 elefantes.

Christian relacion bien los datos del problema? Una vez que decidi qu operacin

tena que realizar, la resolvi correctamente? Podramos decir que Christian tiene de-

sarrollado susentido numrico? Muchos de nosotros hemos vivido situaciones similares connuestros alumnos. Qu tanto influimos los maestros para que la aventura de aprender los

nmeros y sus relaciones sea o no una experiencia grata y significativa para los alumnos?


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Sentido numrico


A partir de 2006, en los programas oficiales de secundaria de Matemticas, apareceun eje denominado Sentido numrico y pensamiento algebraico, y desde 2009 lo en-

contramos tambin en educacin primaria. Qu es elsentido numrico? Se trata slode un cambio de etiqueta de los contenidos aritmticos o este cambio de nombre tieneimplicaciones disciplinarias y didcticas?

Los contenidos sobre los nmeros y las operaciones bsicas son de los que ms

trabajan los maestros, les dedican gran parte del tiempo en las clases de Matemti-cas. Y sin embargo, los resultados de los Exmenes para la Calidad y el Logro Educativo

(EXCALE) que aplica el INEErevelan que muchos de los estudiantes de los grados evalua-

dos presentan limitaciones y dificultades en la comprensin y el manejo de los nmeros.Asimismo, las actitudes de nuestros alumnos hacia el trabajo con los nmeros son, con

mucha frecuencia, negativas.

El principal propsito de este material es mostrar a los docentes que el desarrollo delsentido numrico puede dotar de significado a los conocimientos que los alumnos constru-

yen en sus clases de aritmtica y, con ello, que vivan con agrado el trabajo con los nmeros.Este libro est conformado por nueve captulos. En el primero se mencionan los

contenidos de aritmtica que, de acuerdo con los resultados de los EXCALE, resultan

difciles para los alumnos de preescolar, primaria y secundaria. Asimismo, se muestra lagran riqueza que tiene aplicar el sentido numrico al dar respuesta a reactivos de opcin

mltiple y la importancia de que los alumnos desarrollen la habilidad de identificar si la

respuesta que dan a un problema es o no razonable.En el segundo captulo se trata de dar respuesta a la pregunta qu es elsentido

numrico?, una interrogante que no es fcil de responder. En los apartados 3 a 6 se

presentan aspectos del clculo relacionados con el sentido numrico: estimacin,

clculo mental, clculo escrito y uso de la calculadora. Aunque las actividades deestos captulos estn dirigidas a los maestros, si se consideran pertinentes y se ha-

cen las adecuaciones necesarias, algunas de ellas se pueden aplicar a los alumnos.Estos cuatro captulos contienen una seccin que se ha denominado Reflexin sobre

la prctica, en la que se presentan situaciones escolares relacionadas con el sentido

numrico. Esta seccin se incluye porque se considera que el maestro es un profe-sional de la educacin y no un tcnico al que se le tiene que decir lo que debe hacer;


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Introduccin

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mediante la reflexin sobre la propia prctica y la de otros es que el maestro puedeconstruir nuevas ideas y explorar distintas maneras de real izar su prctica docente.

Los ltimos captulos sugieren actividades para trabajar con los alumnos, con ejem-plos que el maestro podr enriquecer a partir de su experiencia y conocimientos. Seincluyen ejercicios sobre el sistema decimal de numeracin porque se considera que su

conocimiento es bsico para desarrollar el sentido numrico con enteros y decimales;

sobre la recta numrica se presentan ejercicios porque constituye un valioso recursopara la comprensin de algunos contenidos relacionados con los nmeros. Tambin se

ofrecen actividades que promueven la habilidad de estimar o hacer clculos mentales

o escritos, sin dejar de lado una serie de tareas que requieren el uso de la calculadora.Y para mostrar que la matemtica recreativa tambin contribuye al desarrollo del sentido

numrico, en el captulo 8 encontrar varios juegos que permiten a los alumnos hacer

un uso flexible y creativo de los nmeros naturales, los decimales y las fracciones. Final-mente, se aportan algunas ideas para la evaluacin del sentido numrico. Para apoyar-

lo en la implementacin de la propuesta puede tener acceso a las actividades y losjuegos en versin electrnica en un formato que le permitir modificarlos para su adap-

tacin al grado y nivel en el que trabaja tanto en el CD que se incluye en este ejemplar

como en la pgina del INEE.Esperamos que este material sea una herramienta til en su quehacer docente para

lograr que sus alumnos vivan con agrado su ingreso al mundo de los nmeros.


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Aritmtica: resultadosde los EXCALE

1


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Sentido numrico



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Desde hace algunos aos las evaluaciones externas nacionales e internaciona-

les han estado presentes en el saln de clases de los distintos niveles educa-tivos. Entre las que se hacen a los alumnos de educacin bsica de nuestro

pas se encuentran los Exmenes de la Calidad y el Logro Educativo (EXCALE) que lleva

a cabo el Instituto Nacional para la Evaluacin de la Educacin (INEE).Estas pruebas se aplican a muestras representativas de alumnos de educacin

bsica, por lo que, a diferencia de otras evaluaciones en las que los resultados se

dan por alumno, escuela o zona, los resultados de los EXCALEno se usan para hacersealamientos de carcter individual; su propsito es evaluar al Sistema Educativo

Nacional en su conjunto, para detectar, entre otras cosas, reas de conocimiento enlas que haya deficiencias.

A la fecha el INEEha aplicado exmenes de matemticas a alumnos de tercero

de preescolar, tercero y sexto de primaria y tercero de secundaria. En el caso depreescolar la muestra se elige entre alumnos que asisten a escuelas rurales pblicas,

urbanas pblicas, privadas y centros comunitarios; mientras que para primaria se

agregan a las anteriores las escuelas indgenas. En secundaria participan estudiantesde escuelas privadas, generales, tcnicas y telesecundarias.

Para las intenciones de este trabajo se analizaron los resultados que los EXCALEarro-

jaron sobre el aprendizaje de la aritmtica, lo que se refiere aNmeroen preescolar, a

Losnmeros, sus relaciones y sus operacionesen primaria y aAritmticaen secundaria.El referente principal para la elaboracin de los EXCALEson los programas oficiales

vigentes en el momento de su aplicacin. En el caso de las matemticas, los conteni-dos relacionados con aritmtica constituyen una pieza fundamental en los programas

oficiales de educacin bsica y, por lo tanto, en los reactivos que conforman los EXCALE.

La tabla siguiente resume las evaluaciones de matemticas que el INEEha aplicado, elnmero de alumnos evaluados y el porcentaje de reactivos que evalan directamente

los nmeros, sus relaciones y sus operaciones.


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Sentido numrico


Nivel Grado Ao de aplicacin Nmerode alumnosevaluados

Porcentaje dereactivosde aritmtica

Preescolar Tercero 2007 10 305 65

Primaria

Tercero2006 55 312 62.5

2010 70 434 60.82

Sexto2005 47 858 63.84

2009 11 999 48.75

Secundaria Tercero

2005 52 251 34.37

2008 80 525 44.48

Se observa que en preescolar y en tres de las cuatro aplicaciones de primaria loscontenidos aritmticos rebasan la mitad del examen. Y a pesar de que en secundaria el

porcentaje de reactivos de aritmtica representa menos de la mitad, es el rea con mayor

nmero de reactivos: por ejemplo, en la aplicacin de 2008, 44.8% del examen corres-pondi a Aritmtica, siendo el rea con mayor presencia, muy por encima de Geometra,

que represent 26.8%, y lgebra, que ocup 21.3%.

En este apartado se exponen los contenidos aritmticos que, de acuerdo con los

resultados de los EXCALE, tienen mayor dificultad de aprendizaje. Para cada grado y

nivel se presentan tablas de los contenidos que tienen los porcentajes de aciertos msbajos y se ofrecen ejemplos de los reactivos con los que fueron evaluados (INEE, http://

www.inee.edu.mx).

Tabla 1

Contenidos aritmticos de mayor dificultad

1 A it ti lt d d l E


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23

Tabla 2

En el campo formativo Pensamiento matemticodel programa de preescolar se encuen-

tra el aspecto de Nmero, que abarc 65% de los reactivos del examen. Debido a quelos alumnos de esta edad an no saben leer ni escribir, en la aplicacin de la pruebase tomaron todas las medidas necesarias para asegurar que los alumnos no tuvieran

problemas para comprender la tarea que se les propona; una de estas medidas fue, por

supuesto, plantear las consignas de manera oral.El preescolar es el nivel que presenta menos dificultades. Un gran porcentaje de

los alumnos evaluados resolvi correctamente las tareas que les plantearon los EXCALE.

Por ejemplo, 98% de los nios cont en voz alta una coleccin menor a 21 elementossin equivocarse; 95% dijo en orden la serie numrica de uno en uno hasta el 30, y 88%

escribi en orden un tramo de la serie numrica menor a 30.

Los contenidos evaluados que resultaron ms difciles, se muestran en la siguien-te tabla.

Preescolar. Tercer grado (2007)

Contenido temtico Porcentaje de aciertos

Escribe nmeros que sabe en orden ascendente, sin equivocarse,empezando desde 1 y llegando a un rango entre 31 y 89

17

Utiliza los nmeros para representar cantidades mayores a 13,pero menores a 21

36

Distingue todos los nmeros de las letras en un texto 40

El contenido de mayor dificultad de todo el examen fue el conteo y su representa-

cin simblica de nmeros mayores a 31. A continuacin se presenta el reactivo ejemplo

para este contenido (recurdese que las indicaciones se dieron de manera oral).

Preescolar

Sentido numrico


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Sentido numrico


Se trata de un reactivo difcil para los pequeos debido a que involucra no slo saberla serie numrica en un rango mayor a 31, sino tambin su representacin simblica.

Aun as, 17% de los alumnos pudo escribir en orden y correctamente la serie numricahasta un nmero mayor a 31.

De los alumnos, 36% resolvi una tarea similar a la siguiente, en la que tenan que

contar colecciones de ms de 13 elementos.

Reactivo

Escribe en las lneas los nmeros que te sepas de manera ordenada,

sin saltarte ningn nmero, empezando desde el 1, como si estuvierascontando: 1, 2, 3 as, hasta el que te sepas.

En cada una de las rayas escribe cuntos pjaros hay en cada recuadro.

1

Reactivo

2

1 Aritmtica: resultados de los EXCALE


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25

Se observa que este tipo de tareas exige dominar los principios del conteo:

Correspondencia uno a uno:decir un nmero por cada pajarito que se seala.Irrelevancia del orden:empezar por el pajarito que se elija y contar en la direc-cin deseada.

Orden estable:decir la serie numrica en orden: 1, 2, 3

Cardinalidad:saber que el ltimo nmero que se dice indica el nmero de pajari-tos que hay.

Este reactivo tambin implica controlar la coleccin para estar seguro de que no que-d un objeto sin contar, ni que se cont un objeto dos veces. Una forma de hacerlo es, por

ejemplo, ir tachando los objetos que ya se han contado; otra es siguiendo un orden.

Por ltimo, este reactivo tambin demanda que los nios sepan simbolizar el ltimonmero que dijeron al contar.

El programa de educacin primaria vigente en 2006 y 2010 estaba organizado en ejes

programticos, siendo el de mayor extensin el denominado Los nmeros, sus relacio-

nes y sus operaciones. Los alumnos de tercero de primaria resolvieron exitosamente

varias tareas de este eje. Por ejemplo, en la aplicacin de 2006, 81% pudo calcular una

suma de tres sumandos sin transformacin o escribir nmeros de tres cifras con ce-ros intermedios, mientras que poco menos de 80% resolvi ciertos tipos de problemas

aditivos. En la aplicacin de 2010, 80% logr identificar cmo se escribe un nmero de

cuatro cifras y resolver sumas con tres sumandos sin transformacin.

No obstante, tambin tuvieron dificultades para realizar algunas tareas. En las siguien-tes tablas se muestran los contenidos aritmticos de ms bajo porcentaje de aciertos.

Tercero de primaria

Sentido numrico


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Sentido numrico


Slo la quinta parte de los alumnos evaluados pudo resolver un reactivo en el quese tiene que descubrir el patrn que sigue una secuencia decreciente para identificar los

nmeros que la completan.1

1 En todos los reactivos presentados la respuesta correcta es el inciso A. As aparecen en el Explorador Excale delportal del INEE. En los Excale resueltos por los alumnos, los incisos de las respuestas correctas varan.

Primaria. Tercer grado (2006)Contenido temtico Porcentaje de aciertos

Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra ensecuencias numricas decrecientes

20

Identificar la equivalencia de fracciones 24

Identificar el problema que se puede resolver con una operacindada con nmeros de dos cifras

33

Tabla 3

Primaria. Tercer grado (2010)


Identificar fracciones equivalentes 26

Generalizar e identificar constantes aditivas de una cifra en secuen-cias numricas decrecientes

30

Identificar fracciones a partir de su representacin grfica emplean-do modelos continuos

32

Tabla 4



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27

Cabe preguntarse si la dificultad se deba a que este tipo de tareas probablemente

se trabajan poco en la escuela, pues el tema de patrones se ha introducido slo re-cientemente. Ms all de la dificultad aritmtica, que no es mucha, resolver bien estos

ejercicios supone entender de qu se tratan, lo cual no es obvio para los alumnos.

Aproximadamente la cuarta parte de los nios pudo resolver un reactivo comoel siguiente.

Qu nmeros van en las rayitas?

, 155, 145, , 125

A.165 y 135

B.160 y 140

C. 154 y 146

D.156 y 144

Tres amigos compraron pltanos. Daniela compr medio kilo, Luis comprdos cuartos de kilo y Pepe cuatro octavos de kilo.Quin compr menos cantidad de pltano?

A.Todos compraron lo mismo

B.Daniel

C. Pepe

D.Luis

Reactivo

3

Reactivo

4

Sentido numrico


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Puesto que en este grado se inicia el estudio de las fracciones, el reactivo que sepresent inclua medios, cuartos y octavos, que son las que algunas investigaciones

sealan como las de ms fcil comprensin para los nios: mitad, la mitad de la mitad(cuartos) y la mitad de los cuartos (octavos); tambin puede observarse que no seus la simbologa. Las fracciones constituyen uno de los contenidos que resultan ms

difciles de aprender y, como se ver ms adelante, esta dificultad persiste hasta tercer

grado de secundaria.

El programa vigente en las dos aplicaciones de losEXCALE

de sexto de primaria era elde 1993, que, como se mencion, inclua el eje Los nmeros, sus relaciones y sus

operaciones. El reactivo de este eje con mayor porcentaje de aciertos en la aplicacin

de sexto de primaria de 2005 fue ordenar nmeros naturales de cuatro cifras (83%).En la aplicacin de 2009 este contenido aument su porcentaje de aciertos a 89%.

Sin embargo, dado que se inicia la lectura de nmeros de cuatro cifras en tercero deprimaria, aunque aparentemente el porcentaje es alto, lo esperable sera que la totali-

dad de los alumnos de sexto grado pudiera resolver este tipo de tareas.

Por otro lado, a continuacin se enlistan los contenidos de este eje que resultaronde mayor complejidad para los estudiantes de sexto grado.

Primaria. Sexto grado (2005)

Contenido temtico Porcentaje de aciertosOrdenar fracciones menores a la unidad 25

Comparar nmeros decimales hasta centsimos 26

Convertir un decimal a su equivalente fraccionario 26

Resolver problemas que impliquen sumas de fracciones 26

Tabla 5

Sexto de primaria



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29

Primaria. Sexto grado (2009)


Ordenar de forma ascendente nmeros decimales hasta milsimos 18

Resolver problemas de fracciones que relacionan dos nmerosque representan la parte y el todo

18

Resolver problemas que implican una suma de fraccionesde diferente denominador (tercios y cuartos)

24

Resolver problemas que implican una suma de fraccionesde diferente denominador (medios y octavos)

26

Tabla 6

De lo que se lee en ambas tablas se concluye que los contenidos aritmticos de ma-yor dificultad se refieren a la comprensin y el manejo de los decimales y las fracciones.

En cuanto a decimales, slo la cuarta parte reconoce dos nmeros decimales querepresentan la misma cantidad.

En la siguiente tabla se muestra el peso de cinco pacientesde un doctor:

Quin pesa lo mismo que Isabel?

A.Claudia

B.Rosa

C.Teresa

D.Yolanda

Nombre Peso en Kg

Isabel 48.30Rosa 48.03

Claudia 48.3Teresa 48.003Yolanda 48.030

Reactivo

5

Sentido numrico


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Y tambin alrededor de la cuarta parte de los sustentantes resuelve problemas defracciones como el siguiente:

Los alumnos de sexto grado llevan cuatro aos estudiando las fracciones y tres

resolviendo tareas que involucran los llamados nmeros con punto. A pesar de lo

anterior, los resultados de los EXCALEmuestran que los estudiantes que terminan sueducacin primaria tienen grandes problemas con la resolucin de problemas que

implican el manejo de las fracciones comunes y los decimales.

Al momento de escribir este material el INEE ha realizado dos evaluaciones a alumnos

de tercero de secundaria, la primera en 2005 y la segunda en 2008. Al aplicar ambas el

programa vigente era el de 1993, que inclua la parte deAritmtica. Pese a los resultadosque pudieran esperarse por tratarse de un nivel en que los estudiantes inician estudios de

matemticas ms generales que la aritmtica (como el lgebra), los contenidos relacio-nados con nmeros y sus operaciones no resultaron sencillos para los sustentantes. Por

ejemplo, el reactivo de aritmtica con el ms alto porcentaje de aciertos en 2005 apenas

alcanz 61%, que fue la resolucin de problemas con el mximo comn divisor, en tantoque la resolucin de problemas con operaciones bsicas no lleg a 60%. En la aplica-

cin de 2008 hubo un aumento en el porcentaje de aciertos en las tareas de aritmtica:

De un listn que mide 35 de metro, Laura utiliz5

10de metro para hacer un moo. Cunto listn le sobr?

A. 110

de metro

B. 25

de metro

C.

8

5 de metro

D. 210

de metro

Tercero de secundaria

Reactivo

6



32/210

31

93% de los alumnos evaluados resolvi correctamente problemas de operaciones bsi-cas con nmeros hasta centsimos y 79% resolvi sumas con transformacin cuando

los sumandos aparecen en forma desordenada.Las siguientes dos tablas muestran los contenidos de aritmtica que tuvieron ma-

yor dificultad. Cada tabla presenta cinco contenidos temticos que resultaron muy dif-

ciles para los estudiantes; algunos fueron resueltos por menos de 20% de los alumnos

que participaron en la evaluacin.

Secundaria. Tercer grado (2005)


Resolver problemas que impliquen calcular raz cuadradahasta centsimos

12

Resolver problemas de equivalencia de fracciones de horaexpresadas con decimales a minutos

15

Resolver problemas que impliquen sumar, restar y comparar fracciones 21

Identificar fracciones equivalentes 22

Ordenar fracciones 23

Tabla 7

Secundaria. Tercer grado (2008)Contenido temtico Porcentaje de aciertos

Identificar en conjuntos de cantidades representados en tablas aquellosque mantienen una relacin inversamente proporcional entre s

4

Resolver problemas que impliquen calcular raz cuadrada hasta milsimos 14

Resolver problemas de equivalencia de fracciones de hora expresadascon decimales a minutos

15

Resolver problemas que impliquen sumar, restar o comparar fracciones 23

Tabla 8

Sentido numrico


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Al igual que en sexto grado, se observa que las fracciones siguen siendo un conteni-do muy difcil para los estudiantes. Un problema como el siguiente slo lo pudo resolver

la cuarta parte de los alumnos que terminan la educacin secundaria, es decir, escolaresque llevan seis aos estudiando las fracciones comunes.

Un hombre gast su sueldo de la siguiente manera:1

5en el pago de su renta, 1

4en el pago de alimentos y 1

8

en pagos

de diversos servicios.

Qu fraccin del total de su sueldo le qued despus de realizar estos pagos?

A.

B.

C.

D.

Y menos de la cuarta parte identific fracciones equivalentes en un reactivo comoel siguiente:

Cul de los siguientes nmeros es equivalente a 117468

?

3

17

14

17

23

40

17

40

A.

B.

C.

D. 35168

3

4

1

4

4

Reactivo

7

Reactivo

8



34/210

33

Aparentemente este reactivo es difcil debido a que el numerador y el denominadorde la fraccin

117

468son nmeros relativamente grandes y no son decenas o centenas

cerradas (nmeros que terminan en ceros). Un anlisis hecho con ms detenimientomostrar que en realidad no se trata de un problema que implique hacer operacioneslaboriosas, aun cuando en la fraccin aparecen nmeros del orden de las centenas. Si lo

que se pide es un nmero equivalente a la fraccin 117468

, podemos ver que:

w Este nmero no equivale al que se muestra en la opcin D, pues es una fraccin

con el mismo denominador y el numerador 117 no es el mismo que 351.

wTampoco puede ser el nmero 4 de la opcin C porque 117 es menor que 468,por lo que se trata de una fraccin menor que la unidad.

wY como 117 es mucho menor que 468 no representa las tres cuartas partes.

w La opcin correcta debe ser A, lo cual puede comprobarse si se multiplica117 por 4.

El anlisis de las opciones incorrectas del reactivo anterior permite observar la impor-

tancia delsentido numricopara identificar respuestas no razonables a una operacin o

problema. Esto se tratar en el siguiente apartado.

Si se analizan los reactivos de opcin mltiple se toma conciencia de la gran riqueza

que implica desarrollar en los estudiantes su sentido numrico, pues uno de los muchos

beneficios que conlleva su desarrollo tiene que ver con la resolucin de reactivos de

opcin mltiple. No obstante, cabe subrayar que no es la nica razn ni, por supuesto,la ms importante. La intencin primordial es que los estudiantes sean competentes al

enfrentarse a problemas que impliquen el uso de los nmeros.A continuacin se presentan algunos reactivos de los EXCALEde los diferentes grados

y niveles y se analiza la manera en que pueden resolverse empleando el sentido num-

rico (INEE, http://www.inee.edu.mx). Los reactivos de opcin mltiple constituyen unaoportunidad de desarrollar la habilidad de identificar resultados no razonables para los

Respuestas razonables y no razonables:

aplicando el sentido numrico

Sentido numrico


35/210


problemas, lo que es, sin lugar a dudas, una herramienta importante al aplicar el sentidonumrico para resolver operaciones y problemas aritmticos.

Se sugiere que antes de leer lo que se expone de cada reactivo el lector lo resuel-va, para que las explicaciones dadas tengan ms sentido y sean comprendidas conmayor facilidad.

Considere el siguiente reactivo:

Poco menos de la mitad de los pequeos de tercero de preescolar a los que

se les aplic el examen pudo dar respuesta a este reactivo (46%). Es muy probableque los alumnos ms adelantados hayan trabajado con el nmero de vasos y de nias y

obtenido la diferencia (3 para 7 faltan 4), para despus buscar la tarjeta que tuviera ese

Siete nias quieren tomar agua, pero slo hay tres vasos. Cuntos vasosfaltan para que cada nia tenga un vaso?

Encierra en un crculo la tarjeta que tiene los vasos que faltan para que cadania tenga un vaso.

Preescolar

Reactivo

9



36/210

35

Miguel quiere regalar una bolsa con 15 canicas a cada uno de sus 8 primos.Miguel desea saber cuntas canicas necesita para llenar las bolsas, cul de

las siguientes operaciones debe resolver?

nmero de vasos. No obstante, hay otras maneras de resolverlo. Por ejemplo, poniendoen correspondencia uno a uno a las nias y los vasos que hay. Los alumnos que van

desarrollando su sentido numrico seguramente descartaron de manera inmediata lasopciones donde hay uno o dos vasos porque al repartir los tres vasos que hay entrelas nias se observa que quedan ms nias sin vaso de aqullas a las que ya se les

asign uno, por lo que el resultado no puede ser igual ni menor que 3. En este reactivo

54% de los nios eligi una respuesta poco razonable al problema.

Un reactivo interesante para analizar la presencia del sentido numrico en la resolucinde un problema, que fue contestado por 42% de los sustentantes, es el siguiente:

Tercero de primaria

A.15 8

B.8 15

C.15 + 8

D.15 - 8

Reactivo

10

Sentido numrico


37/210


Cul es el resultado correcto al resolver la operacin1

5+1

2?

A.

B.

C.

D.

Se espera que los alumnos de este grado identifiquen plenamente los smbolos delas cuatro operaciones bsicas. El sentido numrico est presente de la siguiente manera:

w La prctica continua de la estimacin permite que los nios se den cuenta de quese requiere mucho ms de 15 canicas, pues Miguel dar esa misma cantidad a

cada uno de sus 8 primos.

w Las operaciones 15 8 y 15 - 8 arrojan un nmero menor que 15.w La operacin 15 + 8 apenas da 23, que no le alcanzara ni para dos primos.

El reactivo anterior tambin sirve para mostrar que si logramos que los alumnosdesarrollen su sentido numrico disminuir el nmero de ellos que, ante un problema,

se preguntees de suma?,es de resta?, pues si llegan a resolver bien la operacin que

ellos consideraban correcta, pero encuentran un resultado no razonable, buscarn pors mismos su error y se darn cuenta de que la operacin elegida no los conduce a un

resultado razonable. Es decir, el sentido numrico, expresado en la capacidad de estimarla magnitud de un resultado, proporciona una forma de controlar los resultados.

Slo 30% de los estudiantes de sexto grado resolvi correctamente un reactivo como

el siguiente:

Sexto de primaria

1

5+1

2=7

10

1

5+1

2=2

7

1

5+1

2=2

10

1

5+1

2=3

6

Reactivo

11



38/210

37

Juan mezcl1

2litro de agua con

1

3de litro de jugo de naranja.

Qu cantidad de mezcla obtuvo?

A.

B.

C.

D.

Es claro que se puede resolver con el algoritmo convencional de la suma de fraccio-nes, pero tambin se puede encontrar el resultado usando el sentido numrico, razonando

de otras maneras; una de ellas es la siguiente:

w Se est sumando1

2+1

5, por lo tanto, el resultado debe ser ms de un medio.

w Esta idea permite considerar poco razonables todos los distractores, pues 27

y 210

son cantidades menores que un medio y 36

es un medio.

De los alumnos que terminan su educacin primaria, 70% eligi un resultado poco

razonable al reactivo. Si nuestros estudiantes de educacin primaria desarrollaran susentido numrico, en muchos casos (no en todos) podran resolver reactivos como el

anterior sin necesidad de aplicar el algoritmo convencional para sumar dos fracciones

con diferente denominador, al identificar si las opciones que se presentan son o no res-puestas lgicas a lo que se pregunta.

Los estudiantes de tercero de secundaria no estn en mejores condiciones; incluso en los

egresados de este nivel la comprensin y el manejo que muestran de las fracciones siguesiendo motivo de preocupacin: slo 23% pudo resolver un reactivo como el siguiente:

Tercero de secundaria

5

6

2

5

1

6

5

5

Reactivo

12

Sentido numrico


39/210


Cul es el resultado de la siguiente operacin?

A.560

B.530

C.210

D.245

3516x

El problema implica sumar dos fracciones que podramos considerar muy fciles demanejar:

1

2y

1

3. Convirtiendo a sextos tendramos:

3

6y

2

6, que sumados dan

5

6. No

obstante, se puede razonar de la siguiente manera:

w El resultado debe ser ms de1

2litro, puesto que se est agregando una cantidad

a1

2litro; adems, debe ser menor que un litro porque

1

3es menor que

1

2, por lo

tanto, entre las dos cantidades de lquido no se completa un litro.w Sin hacer la suma de la cantidad de agua ms la de jugo de naranja se observa que

las opciones B y C no pueden ser la respuesta al problema porque son menores

que medio litro. Tambin la opcin D resulta ilgica porque es un litro exacto.

De nuevo se observa que un porcentaje muy alto (77%) de los estudiantes que

terminan su educacin secundaria eligen respuestas que no son razonables para elproblema planteado. Si bien el desarrollo del sentido numrico permite reconocer algu-

nas respuestas que no son razonables, no siempre es posible ni deseable resolver losreactivos haciendo uso slo de este tipo de razonamientos.

Consideremos el siguiente reactivo, que slo 37% de los alumnos de tercero de

primaria contest correctamente:

Reactivo

13



40/210

39

En este reactivo los estudiantes pueden notar que la respuesta debe ser mayor a350 porque se est multiplicando 35 por un nmero mayor que 10, pero aunque des-

carten dos opciones no podrn dar la respuesta correcta entre 560 y 530 haciendo usoslo de la estimacin; tendrn que resolver la operacin para elegir el resultado exacto.Con lo anterior no se pretende, de ninguna manera, promover la idea de que debemos

ensear a los estudiantes a responder reactivos de opcin mltiple a partir de la identifica-

cin de respuestas no razonables slo con el propsito de obtener buenos resultados enlos exmenes. Lo que se intenta mostrar es la importancia que tiene el sentido numrico

para resolver problemas tanto en el aula como en la vida cotidiana. Asimismo, identificar

respuestas no lgicas o poco razonables a una situacin problemtica constituye unahabilidad muy til para determinar la factibilidad del resultado tanto de los problemas es-

colares como de los de la vida cotidiana.

Sentido numrico


41/210


Explique cmo un alumno pone en juego su sentido numrico al contestar los siguientes

reactivos, identificando las respuestas que podra descartar por no ser factibles.

scar tena 4 trompos y su pap le regal 3. Encierra con un crculo elcuadro donde estn los trompos que ahora tiene scar.

1

ACTIVIDADESpara el maestro



42/210

41

2

Sebastin guard 196 canicas en un frasco. De todas las que guard

79 son negras y las dems son blancas.

Cuntas canicas son blancas?

a)117b) 127c)265d)275

Luis tiene 72 limones y los quiere poner en bolsitas con 8 limones cadauna, cuntas bolsitas necesita?

a) 9 bolsitasb)576 bolsitasc) 80 bolsitasd)8 bolsitas

3

Sentido numrico


43/210


4

5

En Mxico hay 2.6 millones de vendedores ambulantes.

Cuntos vendedores ambulantes representan la parte decimaldel nmero subrayado?

a)600 000b)0.6c)6.0d)6 000 000

Un boleto para el partido Pumas-Amrica cuesta $130.00.Cul ser su precio si se compra con 30% de descuento?

a)$91.00b)$39.00c)$30.00d)$100.00



44/210

43


45/210


46/210

Qu es el sentidonumrico?

2

Sentido numrico


47/210




48/210

47

La expresinsentido numricoaparece por primera vez en la bibliografa especia-lizada en la enseanza de las matemticas a finales de los aos ochenta y con

mayor fuerza en la dcada de los noventa. Antes de intentar conceptualizar este

trmino, reflexionemos cul es su relacin con la aritmtica.

Despus del breve recorrido del captulo 1, en el que, a partir de los resultados de losEXCALE, se mostraron algunas de las dificultades y errores en el aprendizaje de la aritm-

tica, se puede concluir que an hay carencias importantes en la comprensin, el uso ymanejo de los nmeros que se estudian a lo largo de la educacin bsica. Los factores

que han propiciado tal situacin son muchos y de distinta ndole; uno de ellos es la forma

en que se trabajan los contenidos aritmticos en el aula.En efecto, la manera en que los estudiantes viven la aritmtica dentro del saln de

clases propicia que construyan ciertas creencias y actitudes hacia ella. Por ejemplo, si,

guiados por el trabajo escolar, los alumnos creen que la aritmtica es un conjunto detcnicas que el maestro les debe explicar: cmo sumar, cmo restar, cmo multiplicar,

etctera, entonces su actitud ante ella ser pasiva, en espera de que el maestro les

indique cmo hacer las cosas, aunque no comprendan por qu las tienen que hacer

as. Si, por el contrario, se les deja en libertad de abordar los problemas haciendo usode sus conocimientos previos, entonces ellos mismos podrn proponer otras estrate-

gias, otras maneras de operar y manejar los nmeros, adems de construir conocimien-tos con significado.

Otra creencia que puede resultar un obstculo en el aprendizaje de la aritmtica

es que los alumnos piensen que en matemticas slo hay una manera de hacer lasoperaciones, que esa manera es la mejor. Entonces, al enfrentarse a un problema en

que identifiquen la operacin que lo resuelve, inmediatamente procedern a resolver

Aritmtica y sentido numrico

Sentido numrico


49/210


sta sin detenerse a pensar si hay un procedimiento ms prctico que el algoritmoconvencional que les ensearon.

Es claro que las creencias de los docentes tambin influyen en cmo se aborda la

aritmtica en el saln de clase. Por ejemplo, los maestros que piensen que lo importanteal resolver problemas aritmticos es que los estudiantes obtengan la respuesta correcta

en lugar de darle sentido a lo que aprenden, pondrn nfasis en la enseanza de algorit-

mos y tcnicas de manera mecnica, sin dar espacio a que sus alumnos comprendan loque hacen ni desarrollen su habilidad de interpretar los resultados que obtienen.

Parte de la problemtica detectada en los resultados de los EXCALEy en el anlisis

de los reactivos puede subsanarse si la enseanza de la aritmtica incluye, como parte

fundamental, el desarrollo del sentido numrico en los alumnos. Lo anterior no slo be-neficiara el aprendizaje de la aritmtica, pues el sentido numrico puede considerarse

de manera transversal: est presente en problemas del eje Forma, espacio y medidareferentes al clculo de permetros, reas y volmenes; en el eje Manejo de la infor-

macinen los clculos aritmticos para obtener medidas de tendencia central o dedispersin, y tambin al interpretar datos numricos en tablas y grficas; en lgebra,

por ejemplo, en el manejo de monomios, polinomios y en la resolucin de ecuaciones,

as como en el anlisis del comportamiento de las funciones. Se puede asegurar quesiempre que se tenga que resolver un problema que involucre nmeros se puede hacer

uso del sentido numrico.

Veamos tres ejemplos donde el sentido numrico est presente al resolver proble-mas aritmticos. El primero se refiere a una sustraccin con nmeros naturales,1en el

segundo se trabajan fracciones y en el tercero, decimales.

1 Los nmeros naturales son los que se usan para contar: 1, 2, 3, 4



50/210

49

Ral quiere llenar un lbum de 704 estampas. Si ya tiene 199, cuntas le faltan?

Para resolver este problema podemos restar 704-199 y para resolver esta ope-

racin con uno de los algoritmos convencionales se escriben los dos nmerosen forma vertical, cuidando que queden unidades con unidades, decenas con

decenas y centenas con centenas. Despus se procede a resolver la sustraccin,

por ejemplo:

Lo anterior parece demasiado sofisticado para una operacin que puede resol-

verse utilizando estrategias de clculo mental.

En la recta numrica esto podra bosquejarse de la siguiente manera:

0 704199 200

7 0 41 9 95 0 5

6 9 14

7 0 41 9 9

199para 200es 1,200para 704son 504.Sumamos1 + 504,el resultado es505.

Sentido numrico


51/210


Otra manera de resolver la sustraccin anterior es haciendo uso de una propie-dad que indica que si sumamos el mismo nmero al minuendo y sustraendo el

resultado no se altera.

Tambin se puede resolver sumando 1 al 199 y, en lugar de restar 199, se resta 200

y despus se agrega 1 al resultado.

En los tres ltimos procedimientos observamos un uso flexible y creativo de losnmeros, de algunas propiedades y de las relaciones entre ellos. Y tambin se

observa que estos procedimientos, para el caso particular de 704-199, son mucho

ms prcticos que el algoritmo convencional.

Si a los dos nmeros quequeremos restar, 704y 199,les sumamos 1, obtenemos

705y 200.Resolvemos 705-200=505.

A 704 le quito 200 y quedan504, pero como slo le tena

que quitar 199, a 504le tengoque agregar 1. Queda 505.



52/210

51

Don Manuel tiene un terreno en el que utiliza las cuatro quintas partes para sembrar.

Si en la mitad de esas cuatro quintas partes siembra maz, qu parte del terreno

completo la ocupa con este cereal?

Este problema se puede resolver con la multiplicacin 124

5. El algoritmo conven-

cional para resolver multiplicaciones de fracciones es multiplicar numerador por

numerador y denominador por denominador.

Muchos de nuestros alumnos se aprenden de memoria y mecnicamente estealgoritmo sin comprender por qu se hace as.

Dado que el problema habla de la mitad de las cuatro quintas partes, es posible

no referirse a la multiplicacin de fracciones (1

24

5) y trabajar directamente con la

idea intuitiva1

2 de4

5 . A partir de esta interpretacin se puede calcular el resultadosin necesidad de aplicar el algoritmo de la multiplicacin, simplemente tomando la

mitad de la cantidad de quintos.

X

1

2

4

5 X1

2

4

5

X = 4

10= 2

5

12

de 45

es la mitadde 4

5, esto es 2

5.

Sentido numrico

4


53/210


Grficamente4

5se puede representar como:

Y la mitad es 25

.

Tambin se puede entender grficamente por qu, al aplicar el algoritmo conven-cional, 1

24

5da 4

10, tal como se muestra a continuacin.

A partir de los4

5del entero:


1 4


54/210

53

Se toma 12

de esos 45

, lo cual puede hacerse trazando una lnea horizontal sobrela superficie morada:

Cada uno de los pedacitos en que qued divido el entero es 110porque se de-ben contar los dos pedacitos blancos que tambin forman parte de la unidad.

Entonces, se observa que 12

de esos 45

son 4 pedacitos morados, es decir, 4dcimos. De ah que:

No todas las multiplicaciones de fracciones se pueden resolver sin recurrir al algo-ritmo convencional, depende de los nmeros involucrados. Lo importante aqu es

destacar que si los alumnos tienen claro lo que significa la operacin que resuelven y

comprenden las fracciones involucradas podrn, en muchos casos, prescindir de al-

goritmos convencionales y encontrar el resultado haciendo uso de esa comprensin.

X

1

2

4

5= 4

10

Sentido numrico

Lili ti 3 72 t d li t h P d 0 5


55/210


Lilia tiene 3.72 metros de listn y va a hacer moos. Para cada moo ocupa 0.5

metros de listn. Cuntos moos puede hacer?

Este problema se puede resolver con la divisin 3.72 entre 0.5. En la aritmtica hayuna tcnica para resolver divisiones en las que ambos nmeros tienen punto decimal.

Esta tcnica consiste en correr el punto a la derecha el mismo nmero de lugares en

dividendo y divisor, de tal manera que este ltimo quede como un nmero entero.Despus se hace la divisin normalmente y se sube el punto a donde corresponda.

El algoritmo anterior funciona para todas las divisiones en las que el dividendo y el

divisor tienen punto decimal. Es probable que no comprendamos bien la razn de

algunos de sus pasos. Por ejemplo:

w Qu propiedad de las divisiones permite tachar el punto del divisor y recorrer

un lugar el punto del dividendo?w Por qu dividir 3.72 entre 0.5 equivale a dividir 37.2 entre 5?

w Por qu al hacer la divisin se sube el punto?

w Qu valor relativo tiene el 20, que es el penltimo residuo de la divisin?

Las respuestas respectivas a estas preguntas son:

w La propiedad en juego es: si dividendo y divisor se multiplican por el

mismo nmero el cociente no se altera.

w Porque aplicando la propiedad anterior, el dividendo y el divisor se multipli-caron por 10.

w Porque se empiezan a dividir los dcimos.

w 2 dcimos.

0.5 3.72 0.5 3.7.2 5 37.2 5 37.27.442 2

2 00


En el desarrollo del sentido numrico se promueve que los alumnos adems de


56/210

55

En el desarrollo del sentido numrico se promueve que los alumnos, adems deentender el procedimiento anterior, construyan otros procedimientos que, en algunos

casos, resulten ms prcticos y adecuados a ciertos contextos. Por ejemplo, para

este caso se puede buscar cuntas veces cabe 0.5 en 3.72.

Grficamente se observa:

Salen 7 moos y el pedazo que resta es poco menos de la mitad de medio metro.

Veamos otra forma de resolver la divisin en juego. Ya anteriormente se observ

que de 1 metro se obtienen 2 moos. Observe que el nmero de moos se obtienecon la divisin:

0.5 m

3.72 m

1 0.5 = 2

0.5 y 0.5 dan 1 metro. De cada metrose sacan 2 moos. De 2 metros,

4 moos; de 3 metros, 6 moos; de0.72 se saca 1 moo. Son 7 moos.

Y sobran 0.22 metros.

Sentido numrico

Cuntos moos de medio metro se obtienen si se tienen 2 metros de listn?


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Cuntos moos de medio metro se obtienen si se tienen 2 metros de listn?,y si se tienen 3 metros?, 4 metros?, 10 metros?, 20 metros? Es muy probable

que ya se haya dado cuenta de que el resultado de dividir un nmero entre 0.5 es

el doble de ese nmero:

Entonces, cul es el resultado de 3.72 0.5?

Es el mismo resultado que se obtuvo al resolver la divisin usando el algoritmo

convencional para dividir nmeros con punto decimal.

2 0.5 = 43 0.5 = 6

4 0.5 = 8

10 0.5 = 2020 0.5 = 40

3 . 7 2

3 . 7 2+

7 . 4 4

3.72 0.5 debe ser eldoble de 3.72. Entonces

puedo sumar 3.72 + 3.72.


Otra cuestin importante en el desarrollo del sentido numrico es saber interpretar


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57

Otra cuestin importante en el desarrollo del sentido numrico es saber interpretarel resultado obtenido. Qu significado tiene en esta operacin el nmero 7.44? Como

se mencion anteriormente, al resolver la divisin 3.72 entre 0.5 se encuentra cuntas

veces cabe el 0.5 en el 3.72. Como 7.44 es muy cercano a 7 12

, concluimos que 0.5cabe en 3.72, aproximadamente, 7 veces y media.

Los ejemplos anteriores muestran lo enriquecedor que resulta dar oportunidad de

usar el sentido numrico en la resolucin de problemas y lo que aporta al conocimientode los nmeros, sus relaciones y sus operaciones. Pero qu es elsentido numrico?

En el siguiente apartado se tratar de dar respuesta a esta pregunta.

Para la pregunta qu es el sentido numrico? no existe una respuesta nica, ni inme-

diata, ni sencilla. En la bibliografa sobre el tema se encuentran diferentes posturas apartir de la consideracin de que el sentido numrico es una habilidad, una intuicin,

comprensin, conocimiento o razonamiento acerca de los nmeros.2

Hacia el concepto del sentido numrico

2 Adaptado de Bernabe (2008).3 Citado por Bernabe (2008).

Intuicin

SENTIDONUMRICO

Habilidad

Comprensin Razonamiento

Capacidad

A continuacin se ofrecen algunas definiciones de sentido numrico que dan

diferentes autores.3

Sentido numrico

Habilidad y propensin para el uso de los nmeros y las operaciones enformas flexibles para hacer juicios cuantitativos y para desarrollar estrategiasHabilidad


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formas flexibles para hacer juicios cuantitativos y para desarrollar estrategiaseficientes con los nmeros y los mtodos cuantitativos (Mcintosh, Reysy Reys, 1997).

Es una buena intuicin acerca de los nmeros y de sus relaciones. Es noalgortmico, genera mltiples soluciones, as como una eficiente aplicacincon base en mltiples criterios (Van de Walle y Browman, 1993).

Capacidad de resolver diferentes problemas a partir del uso de estrategiasmltiples y seleccionar la ms adecuada para generar claridad en el trabajoque hace (Trafton y Hartman,1997).

Una comprensin de los nmeros y de sus mltiples relaciones, delreconocimiento relativo de las magnitudes de los mismos, de los efectos

de las operaciones y el desarrollo de referentes sobre cantidades y medidas(Sowder, 1988).

Razonar con cantidades a fin de poder captar la magnitud de los nmeros,comparar nmeros grandes, comprender los nmeros en diferentescontextos (Friel, 2000).

Hay autores que integran las ideas anteriores al considerar el sentido numrico

como comprensin y habilidad, o bien como conocimiento, habilidad e intuicin acercade los nmeros.

El sentido numrico se refiere a la comprensin general que tiene unapersona sobre los nmeros y las operaciones, junto con la habilidad parausar esta comprensin de forma flexible para hacer juicios matemticos y

para desarrollar estrategias numricas(Bruno, 2000).

El sentido numrico consiste en los conocimientos, las habilidades ylas intuiciones que una persona desarrolla acerca de los nmeros y susoperaciones, junto con la habilidad e inclinacin hacia el empleo delconocimiento numrico de manera flexible para formular proposicionesmatemticas, desarrollar estrategias tiles para manipular nmeros, realizaroperaciones y resolver problemas (Snchez, Hoyos y Lpez, 2011).

Comprensiny habilidad

Habilidad

Intuicin

Capacidad

Comprensin

Razonamiento

Conocimiento,habilidad

e intuicin


Otros autores definen el sentido numrico a partir de la idea de red conceptual:


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59

p p

REDCONCEPTUAL

En trminos de estructura, se hace referencia a que el sentido numrico esuna red conceptual bien organizada, propia de cada individuo, por la cual escapaz de relacionar nmeros y propiedades de las operaciones para resolverproblemas de manera flexible y creativa (Castro, Castro y Rico, 2004).

La idea de sentido numrico se basa en la posesin por parte de losestudiantes de una red conceptual que relaciona los conceptos deagrupamiento y valor de posicin con la habilidad de usar las magnitudesabsolutas y relativas de los nmeros para:

Emitir juicios sobre la racionalidad de resultados producidos en problemas numricos.

La posibilidad de generar algoritmos no convencionales.

Relacionar los nmeros con las propiedades de las operaciones, etc. (Linares, 2001).

SENTIDONUMRICO

Permite emplear losnmeros con flexibilidady creatividad al resolver

operaciones o problemas.

Conjunto deconocimientos, intuiciones

y habilidades que unapersona desarrolla acerca

de los nmeros.

Es personal, cada individuodesarrolla su propia redconceptual formada a

partir de la comprensinque tiene de los nmeros.

Permite hacer juiciosmatemticos y desarrollar

estrategias numricaspropias.

No resulta sencillo resumir todas las ideas expuestas anteriormente; no obstante, el

siguiente diagrama es un intento de hacerlo.

Sentido numrico

Cmo lograr que los estudiantes tengan una red conceptual sobre los nmeros


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Sustraccin

En cambio, si las tareas propuestas logran que los estudiantes aprendan las rela-

ciones entre las operaciones pueden construir redes conceptuales como la siguiente:

lo ms amplia posible? Cuando en clase se trabaja la matemtica de manera fragmen-

tada, la red conceptual que los estudiantes construyen tambin est fragmentada. Por

ejemplo, si se ensean las operaciones bsicas sin relacionarlas entre s, los estudiantestienen una red conceptual como la siguiente:

Resolver la divisin es buscar cuntas veces cabe el divisoren el dividendo; se puede resolver sumando varias

veces el divisor

Son operacionesinversas

La multiplicacin puede

considerarse una sumade sumandos iguales

Son operacionesinversas

Una divisin puede resolversepor sustracciones sucesivas

Multiplicacin

Divisin

Adicin

Adicin

Sustraccin

Multiplicacin

Divisin


Del mismo modo, a partir de la manera en que han trabajado en sus clases de


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61

aritmtica muchos alumnos conocen los nmeros naturales, los decimales y las

fracciones sin considerar las relaciones entre ellos.

NaturalesDecimales

Fracciones

Decimales

Los naturales, los decimales y las fracciones pertenecenal mismo conjunto numrico llamado: nmeros racionales

Naturales

Los decimales son unaextensin de los naturales

para nmeros menoresque la unidad

Los decimalespueden escribirsecomo fracciones con

denominador 10,100, 1000...

Hay fracciones decimalesy fracciones no decimales.

Las primeras puedenescribirse de manera

exacta usando la notacincon punto

Fracciones

Dividir un nmero naturalentre otro da lugar

a las fracciones

En cambio, una mayor comprensin de los nmeros permite que el alumnado en-

cuentre esas relaciones, construyendo redes conceptuales similares a la siguiente:

Sentido numrico

Cuando los alumnos ingresen a secundaria estudiarn los nmeros negativos y


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podrn seguir enriqueciendo esta red conceptual, ampliando sus conocimientos de

los nmeros naturales, los enteros y los racionales. Es importante elegir secuencias

didcticas adecuadas con el propsito de que los estudiantes tengan claridad dela relacin entre todos los conjuntos numricos y que formen una red conceptual

a partir de la cual comprendan que se trata de conjuntos de nmeros que estn

relacionados entre s pues unos son subconjuntos de otros. Un nmero puede sernatural, entero y racional al mismo tiempo. Esto se muestra en el siguiente diagrama.

Los nmeros racionales son todos aquellos que pueden escribirse como una fraccincuyo numerador y denominador son nmeros enteros y el denominador nunca puede

ser cero. Los nmeros enteros pueden ser positivos o negativos. Los nmeros natura-

les son los que se utilizan para contar.El 5 es nmero natural; tambin es un entero positivo y un nmero racional por-

que puede escribirse como una fraccin, por ejemplo 102

. En cambio, -5 no es un

nmero natural, sino un entero negativo y un racional porque puede escribirse comouna fraccin, por ejemplo 15

3. Mientras que 2.5 no es natural ni entero, pero s es un

racional porque se puede escribir como fraccin, por ejemplo25

10.

Nmeros naturales

Nmeros enteros

Nmeros racionales


Con una enseanza de la aritmtica que considere como parte fundamental de ellal d ll d l id i b l l l i


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63

el desarrollo del sentido numrico se busca que los alumnos conozcan estas relacio-

nes entre los nmeros, sus propiedades y sus operaciones, lo que les ayudar a usar

los nmeros con flexibilidad y creatividad al enfrentarse a situaciones problemticas.El desarrollo del sentido numrico puede o no favorecerse en la escuela, depender

de muchos factores, siendo sin duda uno de los ms importantes el tipo de tareas que

el maestro proponga a los alumnos y la manera en que les invite a acercarse a ellas.Cmo promover en los alumnos el desarrollo de su sentido numrico? Favorece el

enfoque de resolucin de problemas el desarrollo del sentido numrico de los estudian-

tes? Sobre ello reflexionaremos a continuacin.

A partir de la reforma educativa de 1993 se da un nuevo impulso, desde una perspectiva

distinta, al aejo propsito de dar a la resolucin de problemas un papel destacado enel aprendizaje de las matemticas.

En este enfoque la resolucin de problemas no slo es el propsito de aprender ma-

temticas sino tambin el medio para hacerlo. Se promueve que los alumnos se enfrentena problemas utilizando procedimientos propios; no se trata de ensearles de entrada a

resolver el problema, sino que ellos construyan estrategias personales haciendo uso de

sus conocimientos previos.Cuando los alumnos tienen libertad para buscar la manera de resolver un problema,

por lo general encuentran al menos una forma de aproximarse al resultado. Esto, a su

vez, puede generar en el grupo una valiosa diversidad de procedimientos (SEP, 1995).

El enfoque de resolucin de problemas

y el desarrollo del sentido numrico

Sentido numrico

Aunque en los programas de la reforma de 1993 no aparece explcitamente la expre-i tid i d b l f d l i d bl


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sinsentido numrico, puede observarse que el enfoque de resolucin de problemas,

propuesto tanto en esos programas como en los actuales, favorece su desarrollo al dejar

que los alumnos resuelvan los problemas en completa autonoma, antes de ensearlesla herramienta matemtica que los resuelve de manera eficiente. Asimismo, el enfoque

destaca y valora la existencia de procedimientos alternativos al convencional.

Por ejemplo, en el problema:

Gaby tiene 8 canicas, juega y gana 5. Cuntas tiene ahora?

La herramienta matemtica ms eficiente para resolverlo es la suma 5 + 8; no obs-

tante, este problema puede ser resuelto por alumnos que sepan contar hasta el 13y que no hayan estudiado an la suma, incluso si no saben leer y escribir y se les

plantea de manera oral.

Don Ral mezcl 21

2 litros de pintura roja con 2

1

4 litros de pintura blanca.

Qu cantidad de lquido tiene en total la mezcla?

Si el problema se plantea cuando los alumnos han estudiado los medios y los cuar-

tos, aunque no se haya estudiado la suma de fracciones mixtas, y se deja en total

libertad de resolverlo, los estudiantes buscarn diferentes estrategias para obtenerel resultado. No es necesario haber estudiado cmo convertir una fraccin mixta

en impropia ni cmo sumar fracciones mixtas con algoritmos convencionales bus-

cando el comn denominador. Por ejemplo, pueden sumar los enteros y luego lasfracciones; como un medio es igual a dos cuartos, el resultado es:

+2 1 =+ 24

+ 14

3 34

Otro ejemplo es el siguiente problema con fracciones:


Finalmente, un ejemplo con decimales:


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65

Si el dlar est a 13.20 pesos, cul es el precio en pesos de un producto que vale

14 dlares?

Ser indispensable saber multiplicar nmeros decimales para resolver este proble-

ma? La respuesta es no. Hay otras maneras de calcular lo que se pide; por ejemplo:

w De 10 dlares son $132.

w De 2 dlares son $26.40.

w De 4 dlares son $52.80.w De 14 dlares son $132 + $52.80 = $184.80.

El procedimiento alterno que se ha mostrado es posible porque, en este caso,

el multiplicador (nmero de dlares) es entero. Como ya se ha comentado, muchasveces los procedimientos alternos se aplican slo en algunos casos, pero esto no

les quita su valor. En resumen, son tiles pero no suficientes, y de ah se deduce la

importancia de conocer tambin los algoritmos convencionales que permiten resolvercualquier operacin sin importar los nmeros que se tienen que operar.

Otra caracterstica del enfoque de resolucin de problemas que favorece el desarrollo

del sentido numrico son las confrontaciones o puestas en comn que se sugiere hacerdespus de que los alumnos hayan resuelto un problema.

Que los alumnos conozcan las diferentes formas de solucin que encontraron

sus compaeros para un mismo problema tiene un gran valor didctico, ya que

les permite darse cuenta de que para resolver un problema existen varios cami-

nos, algunos ms largos y complicados que otros, pero lo importante es acercar-

se a la solucin. Les permite tambin percatarse de sus errores y favorece que

por s mismos valoren sus resultados (SEP, 1995).

Sentido numrico

No slo el hecho de ver que hay diferentes procedimientos para resolver la mismaoperacin o el mismo problema enriquece su sentido numrico tambin es enriquecedor


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operacin o el mismo problema enriquece su sentido numrico, tambin es enriquecedor

para su conocimiento de los nmeros tratar de comprender el procedimiento que siguie-

ron otros compaeros: cmo maneja los nmeros el otro compaero?, qu relacionesusa?, si no llega al resultado correcto qu error cometi?, etctera.

Ante un problema matemtico, una persona con sentido numrico decide si es suficien-

te con estimar el resultado o, en caso de que requiera el resultado exacto, si lo puede

calcular mentalmente, por escrito, usando la calculadora o combinando dos o msde estos recursos. El siguiente esquema resume lo anterior en una adaptacin a lo ex-

presado por Parra (1994):

Aspectos del clculo relacionados

con el sentido numrico

Clculo quese requiere

Respuestaaproximada

Respuestaexacta

Estimacin

Problema

Clculomental

Clculoescrito Calculadora


Se espera que los alumnos, al resolver una operacin o un problema, hagan unaestimacin del resultado y adems que no siempre los resuelvan haciendo uso de los


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67

estimacin del resultado y, adems, que no siempre los resuelvan haciendo uso de los

algoritmos con clculo escrito, sino que tambin utilicen el clculo mental y, por qu

no?, la calculadora.En los siguientes captulos se abordarn estos cuatro aspectos del clculo relacio-

nados con el sentido numrico:

Estimacin ClculomentalClculoescrito

Uso de lacalculadora

Sentido numrico



69/210


1

2

Escriba con sus propias palabras lo que entiende porsentido numrico.

Reflexione:a)Con la manera en que trabajo los nmeros, sus relaciones y

operaciones, promuevo el desarrollo del sentido numrico enlos alumnos?

b)Cunto he influido para que mis alumnos tengan o no actitudespositivas ante el trabajo con los nmeros?

Redacte un problema y una manera de resolverlo sin usar algoritmosconvencionales, utilizando el sentido numrico.

Identifique en un libro de texto de matemticas del nivel en el que trabaja.a)Una actividad que usted considere que, a partir de las preguntas que se plantean, desarrolla el sentido numrico.b)Argumente su eleccin.

3

4


Pl t di i i l l d t


70/210

69

Plantee una divisin y resulvala usando sumas o restas.

Considere el siguiente problema:

Una falda que cuesta $250 tiene un descuento de 25%.

Cunto cuesta la falda con el descuento?

a)Resuelva el problema de forma tradicional, usando el clculo deporcentajes con multiplicacin.

b)Resuelva el problema haciendo uso de su sentido numrico,calculando el porcentaje de una manera diferente.

En un libro de texto del nivel en el que trabaja (preescolar, primaria

o secundaria) identifique una actividad en la que se promueva:

a)La estimacin.b)El clculo mental.c)El clculo escrito.d)El uso de la calculadora.

En el mismo libro de texto de la actividad anterior haga unavaloracin rpida de a cul de los cuatro aspectos del clculorelacionados con el sentido numrico es al que se le dedicael mayor porcentaje de actividades.

5

6

7

8

Sentido numrico


71/210


3. Estimacin


72/210

71

Estimacin

3

Sentido numrico


73/210


3. Estimacin


74/210

73

La estimacin juega un papel primordial en el desarrollo del sentido numrico

porque, aunque se pida el resultado exacto, una prctica deseable y muy til eshacer antes una estimacin de ste, lo que permite comprobar si el resultado

que se obtuvo por clculo mental, escrito o con la calculadora es o no lgico. Adems,

como se ver en este captulo, el desarrollo de la habilidad de estimar implica el uso de

relaciones complejas entre los nmeros y sus operaciones.

Durante los Juegos Olmpicos de Londres 2012 un comentarista de televisin

mencion lo siguiente:

Hubo 4 000 millones de televidentes durante la carrera de los 100 metros, cuyo ga-

nador fue el jamaiquino Usain Bolt, con un tiempo de 9.63 segundos.

En el prrafo anterior aparecen tres cantidades, cules son exactas?, culesson estimaciones?

Estimar es obtener de manera mental y rpida un resultado aproximado cuandosea ms apropiado que realizar un clculo exacto (Flores, Reys y Reys, 1990)

Desde la reforma de 1993, las recomendaciones que se daban a los maestros en loslibros promovan el uso de la estimacin:

La estimacin de resultados es otro aspecto importante que se debe desarrollar;

con este fin, antes de resolver los problemas el maestro puede hacer preguntas para

que los alumnos busquen una primera aproximacin al resultado. Por ejemplo, si en

el problema se quitan 6 objetos a una coleccin de 15, puede preguntarles: que-

darn ms de 15 objetos? Creen que queden ms de seis objetos? Creen que el

resultado es mayor que diez? Estas interrogantes ayudan a los nios a comprender

las relaciones entre los datos del problema.

Sentido numrico

Con el tiempo la estimacin de resultados permite al alumno valorar si el que lobtuvo mediante procedimientos informales o convencionales es razonable, posible

o imposible (SEP 1995)


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o imposible (SEP, 1995).

De acuerdo con Segovia et al. (1989), las caractersticas de la estimacin son:

wValorar una cantidad o el resultado de una operacin.w El sujeto que debe hacer la valoracin tiene alguna informacin, referencia o

experiencia sobre la situacin que debe enjuiciar.

w La valoracin se realiza, por lo general, de forma mental.

w

Se hace con rapidez y empleando nmeros lo ms sencillos posibles.w El valor asignado no tiene que ser exacto, pero s adecuado para tomar decisiones.

w El valor asignado admite distintas aproximaciones, dependiendo de quin realicela valoracin.

Entre las razones para trabajar la estimacin en la clase de matemticas se en-

cuentran las siguientes:

w Se usa en aquellas situaciones reales para las que no se requiere un resultado

exacto sino aproximado para tomar decisiones.

w Enriquece la visin de las matemticas al comprobar que no siempre se requiereexactitud y precisin para dar un resultado, adems de que rompe con la idea

de que slo hay una manera de resolver las operaciones y los problemas.

w Mejora y desarrolla el sentido numrico al usar de manera flexible los nmeros.w Permite la construccin de estrategias propias y con ello desarrolla un conocimien-

to ms profundo de los nmeros, las relaciones entre ellos y las operaciones.w Es un apoyo invaluable en la resolucin de problemas. Al estimar primero el resul-tado, los alumnos atienden la relacin entre los datos del problema antes de en-

frascarse en las operaciones. Asimismo, permite valorar si el resultado obtenido

en una operacin o problema es o no razonable.

La estimacin tiene un amplio uso social. Al estimar no se espera que se den resul-

tados exactos, sino aproximados. Veamos algunos ejemplos.

3. Estimacin

Imagine que va al supermercado y compra 5 productos iguales que tienen un precio

de $19 cada uno; usted lleva $100. Sin hacer la operacin de 5 x 19 usted puede

saber si le alcanza con el dinero que lleva cmo lo puede hacer?


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saber si le alcanza con el dinero que lleva, cmo lo puede hacer?

El problema anterior es un ejemplo en el que se usa la estimacin, basta con saber

si este resultado es menor o mayor que 100. Una posible estrategia es la siguiente:

Observe que hay varios conocimientos implicados en este razonamiento; sesabe que:

w 5 x 20 son 100.w 19 es menor que 20.

w Si uno de los factores permanece igual y el otro disminuye,

el producto disminuye.

Ahora considere el siguiente problema: En un peridico deportivo se reporta quela asistencia a los ltimos cinco partidos de cierto equipo de futbol fue:

Partido 1 2 3 4 5Asistencia 32 654 31 375 28 466 27 299 29 572

5 x 20son 100; como 19es menor que 20. Entonces,5 x 19 debe ser menor que

100. S me alcanza!

Sentido numrico

Sin hacer operaciones escritas, podra usted decir cul fue, aproximadamente, laasistencia total de estos cinco partidos? Una manera de hacerlo es la siguiente:


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Veamos otro ejemplo.Considere que tiene que estimar rpidamente la suma de los

nmeros 3 258, 2 146 y 1 601. Una manera de hacerlo es:

En los ejemplos anteriores se puede ver que la estimacin implica conocimien-

tos de las propiedades de los nmeros y las operaciones; involucra comprender los

datos que se manejan y la relacin entre ellos, poner en juego conocimientos aritm-ticos y estrategias de solucin. Hacer estimaciones del resultado de problemas, de

operaciones o de medidas forma parte del desarrollo del sentido numrico.

Todas las cantidades soncercanas a 30 000, entonces

asistieron 5 x 30 000,aproximadamente, 150 000.

Sumo 3 000 + 2 000 + 1 000,esto es 6 000. Y 258 + 146 + 601

son como 1 000. El resultado es,aproximadamente, 7 000.

3. Estimacin

Si bien las estimaciones no exigen resultados exactos, esto no significa que sea sen-cillo hacerlas; como opinan algunos autores, la capacidad de hacerlas no siempre surge

de manera espontnea en las personas, su desarrollo requiere de instruccin escolar.


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de manera espontnea en las personas, su desarrollo requiere de instruccin escolar.

Para Reys (1995) existen diferentes maneras de hacer estimaciones; algunas deellas son:

Redondeo de cantidades. Las cantidades involucradas se redondean a n-meros que sean ms sencillos de manejar. Esto se hizo en el ejemplo de la

multiplicacin 5 x 19: el 19 se redonde a 20 y se calcul 5 x 20. En el caso

de las fracciones se puede redondear a fracciones ms sencillas de manejar;

por ejemplo, si se desea resolver

23

12

3

5 el resultado es aproximado a

1

2 , estoda 11

2, aproximadamente.

Sacar promedios aproximados.Se busca una cantidad que represente a losdatos, un promedio aproximado. Esto se hizo en el ejemplo de los asistentes a

los partidos de futbol: las cantidades se promediaron a 30 000. En el caso delas fracciones, un ejemplo es la suma 8

17+4

9+5

11+3

7, donde todas las fracciones son

prximas a1

2, por lo que un resultado aproximado de esta operacin es 2.

Considerar extremos. Se manejan los extremos de las cantidades y luego sehacen ajustes. Esto se hizo en el ejemplo de la suma que dio un resultado aproxi-

mado de 7 000.

En la prctica estas estrategias se pueden emplear simultneamente (a veces

incluso se confunden una con otra).

Muchas veces los nios intentan dar el resultado exacto; para llevarlos a estimarpuede ser til:

1.Darles poco tiempo para contestar (por ejemplo, que apunten el resultado y subanlas manos para cerciorarse de que no siguen escribiendo);

2.Realizar ejercicios en los que deben decir, a partir de varios rangos, en cul

caera el resultado; o bien, a partir de varios resultados, cul es el que creen quems se acerca. Puede ser prctico usar la calculadora despus para ver quin

se acerc ms.

Sentido numrico



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Describa dos situaciones en las que es suficiente una estimacinde las cantidades involucradas y dos situaciones en las que serequiere un resultado exacto.

Describa tres razones por las que usted considera que es importantetrabajar la estimacin en sus clases de matemticas.

Estime el resultado de las siguientes operaciones:

a)3 497 + 2 788 b)5 699 - 1 706 c)39 x 12 d)5 698 71

Sin hacer las operaciones, identifique aqullas cuyo resultado seamayor que 1.

e)1.005 + 2.004 f) 91.87 - 11.21 g) 4.8 x 2.9 h)0.167 0.99

i) 910

+7

8

j) 910

7

8k)

13

25x11

12

l) 117

200

99

a)1

2+1

3 b)

1

4+4

5 c)

7+

3

16 d )

1

10000+

999

1000

e)5

8+2

3f) 5

9+

4

12g) 4

5+

1

6h)

567

1000+1

2

1

2

3

4

3. Estimacin

Sin hacer las operaciones, ubique en la recta numrica el lugarque aproximadamente corresponde al resultado; utilice la letra


80/210

79

5

6

que, aproximadamente, corresponde al resultado; utilice la letra

de cada operacin.

Estime el resultado de los siguientes diez ejercicios:1

a)4 5 b) 0.1 0.09 c)0.1 0.5 d)0.05 0.1

1

Esta actividad fue tomada de Corts, Backhoff y Organista (2005).

87 41992 76590 04581 97498 102

+

474 257 8 127 =

1213

+ 7

8=

486 x 0.24 =

1.

2.

3.

4.

Calcule el rea aproximada de unrectngulo de: 28 cm x 47 cm

Las concesiones de la serie mexicanade beisbol tuvieron ingresos por$ 21 319 908 00. Si dicha cantidadse divide en partes iguales entre los26 equipos, como cunto recibecada equipo?

7.

5.

Si 30% de los aficionados dela serie mexicana de beisbolcompran un refresco, comocuntos refescos se vendieron, si laasistencia fue de 54 215 personas?

6.

sta es una cuenta del mercado que

an no ha sido sumada, como cuntoes el total?79 + 44 + 130 + 34...

8.

Estima 15% de descuento para unachamarra que cuesta $28 000.00

9.

Qu respuesta es razonable?10.

10

4

9+

5

10=1

5

90

6

8+4

7=

8

15

8

15+

11

20= 1

1

12

Sentido numrico

REFLEXINsobre la prctica


81/210


A los alumnos de un grupo de quinto grado de primaria el profesor les propuso resolverel siguiente ejercicio:

Cuando los alumnos terminaron de resolverlo, el maestro realiz una puesta en comn.

El siguiente es un fragmento de dicha confrontacin:2

2 Maestro Gerardo Ramos Martnez.

ACTIVIDAD 1

3. Estimacin


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81

Maestro:A ver, Alex. A ustedes cunto les dio: ms, menos o igual?

Nios del equipo de Alex:Ms.Maestro:Por qu ms?

(Los nios del equipo de Alex hablan varios al mismo tiempo.)A ver, uno solo.

Jafet:Porque si sumamos un medio ms dos cuartos se hace un litro, ms el

otro cuarto.Maestro:A ver, otra vez. Por qu? Porque si sumamos cunto?

Jafet: Dos cuartos de los tres cuartos da un litro, y si sumamos el otro cuarto nos

queda ms de un litro.

Para el caso en el que hay3

4de agua y

3

4de jugo de limn un alumno comenta:

Alumno:Porque2

4forman

1

2, ms los otros

2

4del otro forman un litro y sobran

24 , que forman

12 , y

sentido numérico

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