sentido numÉrico y pensamiento algebraico

La historia de la humanidad, ha venido conformndose de hechos acumulados en distintas pocas, por pueblos con culturas y costumbres diferentes, que en virtud de sus necesidades sociales, les permiti lograr desarrollo y crecimiento cientficos que las generaciones actuales an seguimos utilizando.

As pues, las matemticas de nuestros tiempos, tienen su origen en aquel conocimiento logrado por esos notables pueblos, que nos dejaron su sistema de numeracin, aunque actualmente ya no se encuentran en uso, nos han servido para seguir avanzando en el desarrollo de nuestra cultura.

Para recordar tus conocimientos de matemticas que aprendiste en la escuela primaria.

Entremos a ver un poco de lo que sucede en tu mundo.

El domingo 2 de julio de 2006, se realiz una eleccin constitucional para nombrar presidente de la Repblica Mexicana, habindose dado una gran afluencia de votantes que emitieron su sufragio, siendo 41 971 322 ciudadanos los que participaron.

Cmo se leen en el nmero, del enunciado anterior, slo las tres primeras cifras que hay de derecha a izquierda?

322 se lee: _____________________________________________________

Cmo se leen las seis primeras cifras que hay de derecha a izquierda?

971 322 se lee: _____________________________________________________

Cmo se lee el valor de las cifras que corresponden al 41?

41 000 000 se lee: _____________________________________________________

Cmo se lee el nmero completo?

41 971 322 se lee: _____________________________________________________

Para leer un nmero natural entero, lo podemos hacer de la siguiente manera:

1.- Se separa el nmero con una coma o con un espacio, en cifras de tres en tres, de derecha a izquierda: 41 971 322

2.- Se empieza a leer el nmero por la izquierda, siendo las primeras tres cifras, de derecha a izquierda, las unidades simples; las siguientes tres cifras corresponden a las unidades de millar; las siguientes a las unidades de milln; las siguientes a las unidades de millar de milln y as sucesivamente. Ver tabla gua.

LECTURA Y ESCRITURA, ORDEN Y COMPARACIN

1

BLO

QU

E 1

NMEROS NATURALES

1.1Identificar las propiedades del sistema de numeracin decimal y contrastarlas con

las de otros sistemas numricos posicionales y no

posicionales.

Sentido numrico y pensamiento algebraico Significado y uso de los nmeros

El presupuesto para el Programa Escuelas de Calidad est formado por:a) Un prstamo del Banco Mundial de $ 2 040 000 000.00 de pesos (dos mil cuarenta millones) y b) Una participacin del Gobierno Mexicano de $ 1 166 000 000.00 de pesos (mil ciento sesenta

y seis millones).

De cunto dinero dispondr el Programa Escuelas de Calidad? _________________________

Cmo se lee la cantidad obtenida? ________________________________________________

Al leer las cantidades numricas de la informacin, qu observas?

_________________________________________________________________________

Si la escuela donde ests estudiando est registrada en este programa, parte de este dinero llegar a auxiliarte en tu formacin.

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

MILLONES UNIDADES

Unidades SimplesUnidades de MillarUnidades de MillnUnidades de Millar de Milln

Escribe sobre la raya el nombre a cada uno de los siguientes nmeros.

1) 832 264 ____________________________________________________________

2) 920 000 ____________________________________________________________

3) 1 768 412 ____________________________________________________________

4) 243 800 051 ____________________________________________________________

5) 720 001 201 ____________________________________________________________

6) 15 202 451 ____________________________________________________________

7) 452 659 231 ____________________________________________________________

2

BLO

QU

E 1


3 Consulta los datos que se solicitan para completar las tablas que se muestran.

TABLA 1

ESTADOS DE LA REPBLICA MEXICANA

ESTADO SUPERFICIE EN Km Se lee:

Chihuahua __________________ ___________________________________________

Zacatecas __________________ ___________________________________________

Tlaxcala __________________ ___________________________________________

Quertaro __________________ ___________________________________________

Yucatn __________________ ___________________________________________

Guerrero __________________ ___________________________________________

Durango __________________ ___________________________________________

Veracruz __________________ ___________________________________________

TABLA 2

MUNICIPIOS DEL ESTADO DE CHIHUAHUA

MUNICIPIO SUPERFICIE EN Km Se lee:

Chihuahua _________________ ___________________________________________

Sn. Fco. del Oro ________________ ___________________________________________

Cuauhtmoc _________________ ___________________________________________

Delicias _________________ ___________________________________________

Camargo _________________ ___________________________________________

Jurez _________________ ___________________________________________

Hgo. del Parral _________________ ___________________________________________

I.- Lea los datos que se presentan en la tabla 1

a) Cul es el nombre del estado que aparece en la tabla que es ms extenso? _____________

b) Cul es su superficie? ________________ Se lee: _______________________________

II.- Lea los datos que se presentan en la tabla 2.

a) Cul es el nombre del municipio que aparece en la tabla que es el ms pequeo__________

b) Cul es su superficie? ________________ Se lee: _______________________________

BLO

QU

E 1Sentido numrico y pensamiento algebraico Significado y uso de los nmeros

4Escribe con cifras las siguientes cantidades:

1) Veinte mil quinientos noventa y dos ................................................ ____________________

2) Setenta y tres mil cinco .................................................................... ____________________

3) Ochocientos cincuenta mil ............................................................... ____________________

4) Veinticinco millones cuatrocientos cincuenta y tres mil setecientos uno ______________________

5) Mil ochenta y dos millones sesenta y tres mil cuatrocientos veintidos____________________

En los siguientes enunciados, se encuentran cantidades que estn escritas con letra, cambia su escritura escribiendo la cantidades con nmero:

1.- Remato carro en sesenta y siete mil novecientos pesos ............... ____________________

2.- Estrene residencia equipadsima a slo un milln noventa y cinco mil pesos ____________

3.- Egipto tuvo hace algunos aos, una poblacin de treinta y nueve millones seiscientos treinta y seis mil habitantes ............................................................ ____________________

4.- Un ao tiene treinta y un millones quinientos treinta y seis mil segundos ............................................................ ____________________

5.- Mxico tiene una extensin territorial de un milln novecientos cincuenta y ocho mil doscientos un km .......................................................................... ____________________

6.- Mxico est compuesto por treinta y dos estados ........................ ____________________

7.- El Estado de Chihuahua tiene tres millones, cincuenta y dos mil, novecientos siete habitantes (censo ao 2 000) ......................................................... ____________________

En los siguientes enunciados, se encuentran cantidades que estn escritas con letra, cambia su escritura escribiendo la cantidades con nmero:

1) Veinte mil quinientos noventa y dos ............................................ ____________________

2) Setenta y tres mil cinco ............................................................... ____________________

3) Ochocientos cincuenta mil .......................................................... ____________________

4) Veinticinco millones, cuatrocientos cincuenta y tres mil, setecientos uno _____________________

5) Mil ochenta y dos millones, sesenta y tres mil, cuatrocientos veintidos __________________

6) Cuarenta y un millones, novecientos setenta y un mil, trecientos veintidos _______________

7) Tres mil doscientos cincuenta y nueve millones ............................. ____________________

8) Un milln un mil cuatrocientos sesenta y cuatro ............................. ____________________

9) Dos mil quinientos veinte millones .................................................. ____________________

BLO

QU

E 1


10.- Actualmente, Mxico tiene cuarenta millones de pobres ......... ______________________

11.- El censo poblacional realizado en la Repblica Mexicana en el ao 2 005, fue de ciento tres millones cien mil habitantes ................................................... ______________________

12.- Trabajando en equipo con tus compaeros de grupo, investiga cul era

LA POBLACIN DE LA REPBLICA en: Ao N Letra

1 900-

1 950-

1 960-

1 970-

1 980-

1 990-

2 000

5

Con el auxilio de tu Maestra o Maestro, analicen el crecimiento, que de una a otra poca, ha tenido la poblacin de nuestra Patria. Recuerda el proceso para obtener porcentajes. Cul ser la poblacin estimada para el ao 2 010, 2 015 y 2 020?

BLO

QU


COMPARACIN DE NMEROS Y ORDENEl siguiente cuadro nos presenta la PRODUCCIN AGRCOLA de Mxico en el ao de 1 983. Analiza las cifras alcanzadas y contesta las preguntas que enseguida se hacen:

PRODUCTO TONELADAS Maz 13 428 200 Frijol 1 427 100 Arroz 655 300 Trigo 3 697 100 Sorgo 6 366 700 Cebada 533 400

1.- Cul es el nmero de la tabla que tiene ms cifras? ..................... ____________________

2.- Cul es el producto que se produjo en mayor cantidad? ............... ____________________

3.- Cules nmeros tienen menor cantidad de cifras? _______________ y _______________

4.- Del arroz y la cebada, cul producto se dio en mayor cantidad? ____________________

Basados en lo anterior, debemos tener en cuenta lo siguiente:a) Al comparar dos cantidades, es mayor la que tiene ms nmero de cifras.

13 428 200 > 6 366 700 b) Cuando dos nmeros tienen igual cantidad de cifras, es mayor aquel nmero cuya

ltima cifra de la izquierda sea mayor. 655 300 > 533 400 6 > 5

c) Cuando las ltimas cifras de la izquierda de los nmeros que se van a comparar son iguales, entonces se compararn en base a las siguientes cifras de la derecha, y as sucesivamente.

43 485 < 43 495 8 < 9

6

SISTEMAS DE NUMERACIN

Para recordar tus conocimientos de matemticas que aprendiste en la escuela primaria.

Cules sistemas de numeracin aprendiste? Comenta con tus nuevos compaeros y, en equipo, escriban lo aprendido en primaria.

______________________, ______________________, ______________________

______________________, ______________________, ______________________

______________________, ______________________, ______________________

BLO

QU

E 1

Ordena de mayor a menor las toneladas de produccin agrcola que se mencionan en la tabla de arriba.

___________ > ___________ > ___________ > __________ > _________ > _________


Compara los nmeros de la izquierda con los de la derecha, escribiendo dentro de cada cuadro el signo mayor que, menor que, igual, segn sea lo correcto.

1) 35 008 1 998 2) 729 409 735 403

3) 438 069 500 087 4) 42 093 42 094

8) 2 048 + 625 2 047 + 62 10) 73 x 8 85 x 6

Utilizando todas las cifras 3, 2, 1, 0, y cambiando su orden, escribe todos los nmeros mayores que 2 000 que puedas formar.

_________ , _________ , _________ , _________ , _________ ,_________ , _________ ,...

Utilizando las cifras 1, 3, 0, 9, y cambiando su orden, escribe todos los nmeros que puedas formar que sean menores que 9 031.

_________ , _________ , _________ , _________ , _________ , _________ , _________

_________ , _________ , _________ , _________ , _________ , _________ , _________ ,...

7Las numeraciones que escribiste, son la herramienta que esos pueblos usaban para contar las cantidades de objetos que les pertenecan o con lo que ellos tenan un contacto diario y necesitaban llevar un control, como ahora tambin nosotros lo hacemos.

Escribe alguno o algunos de los smbolos de los sistemas antiguos de numeracin escritos y su equivalente en el sistema de numeracin decimal que nosotros usamos.

__________ = __________, __________ = _________, _________ = _________

__________ = __________, __________ = _________, _________ = _________

__________ = __________, __________ = _________, _________ = _________

__________ = __________, __________ = _________, _________ = _________

Investiga en las fuentes que creas convenientes para localizar la siguiente informacin.

Cules fueron los smbolos o numerales utilizados por los:

BABILONIOS EGIPCIOS MAYAS

ROMANOS BINARIO DECIMAL

BLO

QU

E 1

Ahora que ya recordaste lo aprendido, veamos si lo hiciste bien.

Escribe el nmero 137 de nuestro sistema decimal, como lo escribiran los

Romanos Egipcios Babilonios

Griegos Mayas Base dos

Tienes algn otro sistema de numeracin? escrbelo! ________


Qu fue lo que hiciste diferente, en cada uno de los sistemas numricos, al escribir el nmero?___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Los smbolos que usaste en cada sistema numrico, tienen el mismo valor en cualquier lugar que se encuentren? S o No? Por qu?

Romanos _____ ______________________________________________________

Egipcios _____ ______________________________________________________

Babilonios _____ ______________________________________________________

Griegos _____ ______________________________________________________

Mayas _____ ______________________________________________________

Otro sistema _____ ______________________________________________________

En cul de los sistemas investigados, consideras es ms difcil o ms fcil, escribir un nmero?

Ms difcil _______________ Por qu? __________________________________

Ms fcil _______________ Por qu? __________________________________

Cada uno de los sistemas numricos investigados, tienen un grupo de smbolos que sirven para formar sus nmeros. Cules smbolos encontraste para cada uno de los sistemas?

Romanos _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Egipcios _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Babilonios _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Griegos _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

Mayas _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

DECIMAL _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

8

BLO

QU

E 1


BLO

QU

E 1

9

NUMERACIN BABILNICA

Es uno de los sistemas de numeracin ms antiguos y difcil de trabajar con l.

Tambin se acredita como el primer sistema de numeracin posicional, es decir, en el cual el valor de un dgito particular depende tanto de su valor como de su posicin en el nmero que se quiere representar. Esto era un avance extremadamente importante, porque antes de lugar-valor obligaron a los tcnicos de sistema a utilizar smbolos nicos para representar cada energa de una base (diez, cien, mil, y as sucesivamente), llegando a ser incluso los clculos ms bsicos poco manejables.

Aunque su sistema tena claramente un sistema decimal interno prefirieron utilizar 60 como la segunda unidad ms pequea en vez de 100 como lo hacemos hoy, ms apropiadamente se considera un sistema mixto de las bases 10 y 60. Solamente dos smbolos usados en una variedad de combinaciones eran utilizados para denotar los 59 nmeros. Un espacio fue dejado para indicar un cero (siglo III a.C.), aunque idearon ms adelante una muestra de representar un lugar vaco ( ).

Posiciones:Valor:

Al investigar los smbolos que usaban para sus nmeros, te diste cuenta que hasta el nmero 59, no existe problema para entender su acomodo; pero, cmo escribiran las siguientes fechas, haciendo uso de sus smbolos? Qu se festeja en nuestro Pas?

31/12/06 ______ /______ /______ ______________________________________________

05/02/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

24/02/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

21/03/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

05/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

10/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

15/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________ 23/05/07 ______ /______ /______ ______________________________________________

0601602603604605606607608609 8 7 6 5 4 3 2 1

Observa los siguientes ejemplos:

1 = 10 = 53 = = 50 + 3

1 394 = (20 + 3 ) x 60 + ( 10 + 4 ) = 1 380 + 14 =

Escribe el nmero decimal que representa cada uno de los nmeros babilnicos:

= __________; = __________; = ________


Analiza los smbolos babilnicos concentrados en la siguiente tabla y decide cules son los principales.

Smbolos principales ________ ________ ________ ________

El pueblo egipcio, como muchos otros, utiliz distintos smbolos para representar las cantidades que utilizaban en sus cuentas.Por ejemplo, los egipcios escriban el nmero 2 311 de la siguiente manera:

Si analizas los smbolos que se utilizan para escribir el nmero anterior, puedes contestar lo siguiente:

Cunto vale cada uno de los smbolos siguientes?

= __________ = _______ = ______ = ______

Fjate que lo nico que hacan los egipcios era SUMAR el valor de cada uno de los smbolos. A esto se le conoce con el nombre de PRINCIPIO ADITIVO.

10

NUMERACIN EGIPCIA

= 2 311 = 2 000 + 300 + 10 + 1

BLO

QU

E 1

Escribe los nmeros que se te dan a continuacin, haciendo uso de los smbolos de la NUMERACIN EGIPCIA.

14 = ___________________________ 54 = _____________________________

372 = ___________________________ 150 = _____________________________

2 002 = ___________________________ 200 238 = _____________________________


1 11 21 31 41 51

2 12 22 32 42 52

3 13 23 33 43 53

4 14 24 34 44 54

5 15 25 35 45 55

6 16 26 36 46 56

7 17 27 37 47 57

8 18 28 38 48 58

9 19 29 39 49 59

10 20 30 40 50

11

DATO SISTEMA 1 SISTEMA 2

Fecha de nacimiento: _________________ _________________ _________________

Fecha en que presentaste examen para entrar a la secundaria: _________________ _________________ _________________

Fecha de inscripcin: _________________ _________________ _________________

Inicio del ciclo escolar: _________________ _________________ _________________

Investigando en documentos personales, vas a encontrar fechas que distinguen cada uno de los siguientes documentos; adems, encuentras el da, mes y ao, indicados con slo dos cifras. Escribe ese dato, usando smbolos de dos diferentes sistemas de numeracin antiguos:

Cmo se escriben los siguientes hechos histricos con los diferentes signos o numerales que utilizaron los Egipcios?

En 1 492, Cristbal Coln pisa Amrica ............................................. _____________________ En 1 810, Inicio de la Independencia de Mxico ................................. _____________________ En 1 910, Inicio de la Revolucin Mexicana ....................................... _____________________ En 1 936, Nacionalizacin del Petrleo ............................................. _____________________ En 1 960, Nacionalizacin de la Industria elctrica ............................ _____________________

El siguiente es un cuadrado mgico con nmeros egipcios, completa los cuadros con los nmeros que faltan. Recuerda que la suma de las columnas, la suma de las filas y de las diagonales, siempre da el mismo resultado.

BLO

QU

E 1

Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha.

a) (___) 3 042

b) (___) 24

c) (___) 305

d) (___) 46

e) (___) 435

f) (___) 3 523g) (___) 100 231

(Flor de loto)

(Cuerda )

(Hueso de taln )

(Raya)


12

Ejemplos: 3 6 18 10

Los mayas acomodaban los nmeros en forma vertical, y le daban un valor a cada cifra segn el lugar donde se encontraba. (Valor posicional )

EJEMPLO:

5 x 20 x 20 = 2 000 Tercera posicin Se multiplica por 20 por 20

7 x 20 = 140 Segunda posicin Se multiplica por 20

3 x 1 = 3 Primera posicin Se multiplica por 1 2 143

Escribe con nmeros mayas

Tengo aos de edad Tu pap tiene aos de edad

El nmero de butacas del saln son: butacas

Escribe con nmeros del sistema decimal, como en el ejemplo, el nmero que est escrito con smbolos mayas.

NUMERACIN MAYA

BLO

QU

E 1

Los smbolos que utilizaban los mayas en su numeracin tenan los valores que estn al lado derecho.

1 5 0

18 x 20 x 20 = 7 200

5 x 20 = 100

0 x 1 = 0 7 300


En 1665, Inglaterra y algunos otros Pases de Europa, sufrieron una epidemia de PESTE que ocasion varios miles de muertes. En ese tiempo, Isaac Newton estudiaba en la Universidad de Cambrige, la cual tuvo que ser cerrada por la enfermedad existente, permitiendo a Newton profundizar sus investigaciones matemticas a partir de 1 666 hasta en tanto se reanudaran los estudios.

Nmero romanoCmo escribes el ao 1666 en nmeros romanos? 1 666 = ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

Qu observas en el nmero romano escrito? _______________________________________

As pues, los smbolos del Sistema de Numeracin Romana, estn representados por letras maysculas del abecedario. Como ya lo investigaste al inicio del presente curso, cada uno de los smbolos tienen el siguiente valor:

I = 1 V = 5X = 10 L = 50C = 100 D = 500M = 1 000

Los romanos iban formando los nmeros as:

I = 1 II = 2 III = 3 IV = 4 V = 5 VI = 6 VII = 7 VIII = 8 IX = 9 X = 10

NUMERACIN ROMANA

Estos tres smbolosNO se pueden

repetir

SECUNDARIOS

Observando bien, cmo le hacan para formar los nmeros?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

LXIII = 50 + 10 + 1 + 1 + 1 = 63 Se suman los valores de cada smboloXLVI = (50 - 10) + 5 + 1 = 40 + 6 = 46 Slo se restan los smbolos principales

Cmo se escriben entonces los siguientes nmeros?

11 = ______ 12 = ______ 13 = ______ 14 = ______ 15 = ______

16 = ______ 17 = ______ 18 = ______ 19 = ______ 20 = ______

Cmo se escribe el nmero 30? ________

Por qu no es correcto escribir el 40 as: XXXX ? __________________________________

Lo correcto es as: XL, o sea 50 - 10 = 40

Es correcto escribir el nmero 8 = IIX ? _____ Por qu? ____________________________

Usando smbolos romanos, escribe:

El ao en que naciste _____________ Ao de nacimiento de Mam ______________

Ao de nacimiento de Pap _____________ Ao de nacimiento de Abuela ______________

13

BLO

QU


Estos cuatro smbolossolamente se puedenrepetir hasta 3 veces

PRINCIPALES

Como puedes ver, estos diez nmeros escritos en el ejercicio son algo sencillos;

Cul es el nmero mayor que puedes escribir sumando los valores de los smbolos romanos?

______________________________________

Suma el valor de los smbolos que forman cada nmero y escribe sobre la lnea, como en el ejemplo, el nmero que est representado:

XVIII = 10 + 5 + 3 = 1 8

1) XXVII = _______________ = _____ 2) XXIII = _______________ = _____

3) LXV = _______________ = _____ 4) LXXXII = _______________ = _____

5) CCLXI = _______________ = _____ 6) XIII = _______________ = _____

7) CLXI = _______________ = _____ 8) LXXI = _______________ = _____

9) LXIV = _______________ = _____ 10) CXI = _______________ = _____

14

Resta el smbolo menor que est a la izquierda del smbolo mayor, para escribir sobre la lnea el nmero decimal que est representado en cada caso:

1) IX = __________ = _____ 2) XL = __________ = _____

3) XC = __________ = _____ 4) CD = __________ = _____

5) CM = __________ = _____ 6) XM? = __________ = _____

Escribe sobre la lnea el nmero romano que est escrito:

1) XXXVII = _________ 6) CDLXIV = ____________

2) XXII = _________ 7) MCM = ____________

3) DCXVI = _________ 8) MCDXCII = ____________

4) MMDXX = _________ 9) XCIV = ____________

5) LXXIV = _________ 10) VCCLX = ____________

NOTA: Cuando a un smbolo romano se le escribe una lnea en la parte superior, significa que el valor del smbolo se multiplica por 1000. V = 5 x 1 000 = 5 000

BLO

QU

E 1


En cada uno de los siguientes enunciados, se encuentran algunos datos que estn escritos con nmeros romanos, escribe cada nmero a la derecha en la numeracin decimal que nosotros usamos.

1.- En el siglo XVI los Persas recobraron su independencia ...................................... _________

2.- Hacia el siglo XIII antes de Cristo, los Hebreos conquistaron Canan .................. _________

3.- Se cumple el DVI aniversario del Descubrimiento de Amrica .............................. _________

4.- Conmemoramos el LXXXVIII aniversario de la Revolucin Mexicana ................... _________

5.- Se cumple el CXXXVI aniversario del nacimiento de Don Benito Jurez .............. _________

SISTEMA DE NUMERACIN BINARIO

La herramienta computada que actualmente conocemos, tuvo sus inicios en "encendido", considerado como "1", y "apagado", considerado como "0"; consideraron slo estos dos smbolos por ser los de ms fcil manejo para cualquier operacin computada.

Fue as como el sistema BINARIO de numeracin o de BASE 2 es BINARIO, porque nicamente utiliza dos smbolos para representar cualquier cantidad.

Los smbolos utilizados son: 0 y 1 Por ello es BINARIO.

Los valores que van adquiriendo las cifras, es segn el lugar que ocupan de derecha a izquierda, de acuerdo a las potencias sucesivas del NMERO 2.

Donde coloquemos el 0, significa que no existe valor alguno en esa posicin y, donde coloquemos el 1, quiere decir que es una vez el valor de la posicin donde se encuentra.

12481622222 01234

15

BLO

QU


Observa en la siguiente tabla, como se van representando los nmeros en la base dos, para que contines escribiendo los nmeros que faltan cuando la posicin es "0" y cuando es "1"

El nmero 2 escrito a la derecha y un poco hacia abajo del nmero, significa que el nmero est escrito en BASE 2

16 8 4 2 1-

1 12 = 1 x 1 = 1-

1 0 102 = ( 1 x 2 ) + ( 0 x 1 ) = 2 + 0 = 2-

1 1 112 = 2 + 1 = 3-

1 0 0 1002 = 4 + 0 + 0 = 4-

= _________________________ = 5-

= _________________________ = 6-

= _________________________ = 7-

= _________________________ = 8-

= _________________________ = 9-

= _________________________ = 10-

= _________________________ = 11-

= _________________________ = 12-

= _________________________ = 13-

= _________________________ = 14

BLO

QU

E 1


Escribe con nmero decimal, cada uno de los nmeros binarios que estn representados en la siguiente tabla:

32 16 8 4 2 1-

1 0 0 0 0 100002 = 1 x 16 = 16-

1 0 1 1 0 101102 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22-

1 0 0 1 1 100112 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19-

1 1 0 0 0 110002 = 16 + 8 + 0 + 0 + 0 = 24-

1 1 1 1 1 _______ = _________________________ = _____-

1 0 0 1 0 _______ = _________________________ = _____-

1 0 0 0 1 _______ = _________________________ = _____-

1 0 1 1 1 _______ = _________________________ = _____-

1 1 0 0 1 _______ = _________________________ = _____-

1 0 1 0 1 _______ = _________________________ = _____-

1 0 1 0 1 0 _______ = _________________________ = _____-

1 1 0 0 1 1 _______ = _________________________ = _____-

1 1 0 0 0 0 _______ = _________________________ = _____-

1 1 0 1 1 1 _______ = _________________________ = _____

16

Auxliate de la tabla para que escribas en base dos lo que se te indica: 32 16 8 4 2 1 NMERO EN BASE 2

1.- Edad tuya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ______________

2.- Nmero de personas de tu familia . . ______________

3.- Nmero de hombres de tu grupo . . . ______________

4.- Nmero de mujeres de tu grupo . . . ______________

5.- Total de alumnos del grupo . . . . . . . ______________

Para convertir fcilmente un nmero de base 10 al sistema de base 2, se divide sucesivamente el nmero dado entre 2, hasta que el cociente de la divisin sea igual a 1 y, el resduo de esa misma divisin, sea igual a 0 a 1. Para formar el nmero del sistema binario se anota primero el cociente de la ltima divisin, luego el resduo de la ltima divisin, enseguida el resduo de la penltima divisin, y luego resduo tras resduo, hasta llegar a escribir el resduo de la primera divisin que se hizo.

EJEMPLO: 3610 = 1001002 = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0

18 9 4 2 1 2 36 2 18 2 9 2 4 2 2 0 0 1 0 0

NOCIN, USO Y SIGNIFICADOEN DIVERSOS CONTEXTOS

Al dividir una cantidad considerada como entero o unidad en DOS, TRES, CUATRO, CINCO, etc..., partes iguales, a cada una de esas partes se les llama MEDIO, TERCIO, CUARTO, QUINTO, respectivamente.

A estas cantidades se les llama FRACCIONES COMUNES

(rea de color)

...,,,, etc51

41

31

21

1.2Representar nmeros

fraccionarios y decimales en la recta numrica a partir de

distintas informaciones, analizando las

convenciones de esta representacin.

17

A los trminos de una fraccin se les llama NUMERADOR y DENOMINADOR.

3 Numerador.- Indica partes tomadas del entero.4 Denominador.- Indica partes en que se dividi el entero.

Habrs observado que para ubicar puntos en la recta numrica, es indispensable conocer la ubicacin del origen o cero y/o una longitud cualquiera.

En la recta siguiente ubica las fracciones 97,

32,

43,

61

En la recta siguiente ubica las fracciones 123,

85,

41,

31

BLO

QU

E 1

NMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES

1 1 1 1 12 3 4 6

Unidad Medios Tercios Cuartos Sextos Unidad Quintos Quintos Dcimos Dcimos1 4 3 4 2

5 5 10 10

Unidad Doceavos Cuartos Octavos1 3 3 5

12 4 8

1


Los jugadores de un equipo de Basquetbol tienen una altura:

18

Cul jugador tiene mayor altura? .............. __________

Cul es la menor altura de los jugadores? __________

Los nmeros anteriormente conocidos se llaman NMEROS DECIMALES.Un nmero decimal se compone de:

La PARTE DECIMAL es cuando se divide la unidad principal en 10, 100, 1 000, etc. partes iguales. Cada cifra tiene un VALOR RELATIVO de acuerdo al lugar que ocupa en el nmero y se les llama Dcimos, Centsimos, Milsimos, etc. respectivamente. Adems, se debe tomar en cuenta la base del sistema de numeracin utilizado.

BLO

QU

E 1

CUADRO DE VALORES POSICIONALES

Diezm

ilsim

os

Dece

nas

Millo

nsim

os

Cienm

ilsim

os

Dcim

osCe

ntsim

osMi

lsim

os

punto

decim

al

Unida

des

1 .10 0.1 0.001 0.000 1 0.000 01 0.000 0010.01

Nomb

re de

las

un

idade

sConocen los

nmeros decimales?

1.92 m1.86 m

1.90 m

1.96 m

1.98 m

4 . 642 Parte Entera Parte Decimal

PuntoDecimal

Muchas veces has escuchado o ledo lo siguiente:

La calificacin de tu hermana en el ao fue de 8.6 Eduardo Njera Prez mide de altura 2.04 m El precio de un refresco de 2 litros son $ 11.20 Un kilo de tortillas de maz cuesta $ 9.00


En la recta siguiente ubica los decimales 0.25, 0.87, 0.6, 0.46

En la recta siguiente ubica los decimales 0.2, 0.75, 0 .9, 0.35

19

BLO

QU

E 1

UNIDADo

ENTERO1.0

101 1.0

10010


Como ejemplo analicemos el siguiente nmero decimal:

Cul es el valor del dgito 6 en 91.864

Da el valor del dgito 7.

9 . 0 4 7

9 1 . 8 6 4

0 . 7

8 . 2 7

2 9 7 . 8 3 4 6seis diezmilsimos

cuatro milsimos

tres centsimos

ocho dcimos

siete unidades

nueve decenas

dos centenas

El numerador es menor que el denominador

Las fracciones comunes se clasifican en:

1) FRACCIN COMN PROPIA. Tiene valor menor que la unidad.

EJEMPLOS: 1 , 3 , 25 , 72 4 5 100 90

El numerador es mayor que el denominador.

2) FRACCIN COMN IMPROPIA. Tiene el valor de un entero o ms.

EJEMPLOS: 5 , 25 , 38 , 4 3 10 6 4

Las fracciones comunes las usamos cuando nos referimos slo a una parte de algo que

se considera como entero.1 2 6 5

3) FRACCIONES MIXTAS. Son fracciones impropias expresadas por un entero y una fraccin.

EJEMPLOS: 2 , 5 , 2 , 3 3 10 6 7

B) Si divides un metro en cien partes iguales, cada parte representa 1 del metro.

100D) Veinte centavos son 1 de un peso. 5F) Qu parte del equipo es un jugador de

beisbol?

C) 1 de hora son 20 minutos. 3E) De un equipo de futbol el portero

representa 1 11G) Qu parte de tu grupo de clases

representan las mujeres?

EJEMPLOS:A) Si se reparte una caja de huevos en

partes iguales entre cuatro personas, cada una cunto recibe de la caja?

20

1) Indica con nmero fraccionario la parte de color en cada figura.

En cada una de las rectas siguientes, ubica las fracciones que se indiquen en cada caso.

94,

62,

43,5.3 1d)

1215,1.1,

47,

35

c)

95,

32,75.0,

61 12b)

85,

411,

53

a)

2) Ilumina la fraccin que se indica en cada figura.

68 135 14 28

BLO

QU

E 1

1

1

1 4

=


Cuntas mitades salieron de una naranja? ...................... ______

Cuntas mitades estamos tomando en cuenta? .............. ______

Con las mitades, cuntas naranjas completas se forman? ______ y cuntas mitades sobran.................................... ______

Para entender, consideremos la existencia de "siete mitades de naranja" y analicemos de dnde surgieron.

21

TRANSFORMACIN DE UNAFRACCIN IMPROPIA A FRACCIN MIXTA

Transforma cada una de las fracciones impropias en fracciones mixtas y ubcalas en la recta numrica.

Entendiste correctamente lo anterior? Si as fue, cmo explicaras este proceso que vamos a abordar?

_________________________________________________

_________________________________________________

____________________________________________

BLO

QU

E 1

Dividamos:

( )( )27

216

2123

213

213 =+=+=+=

=

=

=

=

=

7191525

376

1449

1

1

0


27

21

26

213

16723

27 =+=+==

Convierte de fraccin mixta a fraccin impropia y ubcalas en las siguientes rectas numricas.

22

TRANSFORMACIN DE UNAFRACCIN MIXTA A FRACCIN IMPROPIA

=

=

=

6521

1513

1

2

7

T debes saber que cualquier fraccin comn se puede convertir en un nmero decimal.Para efectuar esta conversin lo que hacemos es realizar la divisin que siempre est indicada en cualquier fraccin, para ello:

25041 .=

EJEMPLO: Cuando el numerador es menor que el denominador.

Cmo se hizo?

PASO DE FRACCIN COMN A NMERO DECIMAL. APROXIMACIONES

Nmero decimal

Se pone punto decimal en el dividendo y se van agregando ceros hasta terminar la divisin, segn lo requerido.

slo se realiz una divisin normal

SE DIVIDE EL NUMERADOR DE LA FRACCIN ENTRE EL DENOMINADOR DE LA MISMA

0202080014250

..

BLO

QU

E 1

Como denominador se le escribe el mismo que tiene la fraccin mixta.EJEMPLO:

TAMBIN, puede transformarse considerando la parte entera de la fraccin mixta como una fraccin impropia.

Vemoslo: 5

175

21552

515

523 =+=+=+

( )5

175

2155

25x3523 =+=+=

1

0


Siendo el peso la moneda con que se maneja el Pas Mexicano, cmo pueden representarse, por medio de fracciones impropias o mixtas, $ 26.50 pesos

si se tienen solamente monedas de cincuenta centavos?

si es nicamente con monedas de veinte centavos?

si es slo con monedas de cinco pesos?

Monedas Pesos y monedas

FRACCIONES EQUIVALENTES

Son fracciones equivalentes porque tienen el mismo valor, aunque se escriban de diferente manera. Las siguientes figuras nos representan fracciones equivalentes.

Se puede multiplicar o dividir el numerador y el denominador de una fraccin por un mismo nmero (diferente de cero) y lo que nos resulta es una fraccin equivalente. El resultado no se altera.

23

Ubica en la recta numrica las siguientes cantidades:

Completa lo que falta

22 a5ba

3816

144125

2873

104421396

8727

9320

124

1532

5016

1865

932

====

====

====

53,5.0,

54,80.0,6.0,

21

1

EJEMPLO: Cuando el numerador es mayor que el denominador.

3333

10 ).=

DECIMAL PERIDICO.- Es la repeticin de una o ms cifras cada determinado nmero de

cifras, en el cociente de una divisin.

Convierte a decimales las siguientes fracciones y ubcalas en la siguiente recta numrica.

3 9 5 35 5 7 4 10

)

En esta divisin por ms ceros que se agreguen, el cociente no tiene fin, por lo cual el resultado

es 3.3 que se lee: TRES ENTEROS TRES DCIMOS

"PERIDICO" ( )

)

10901

900103

333

..

) BLOQ

UE 1

Se multiplic tanto numerador como denominador por 2.4

22221

21 =

=21

4844

84 =

= Se dividi tanto el numerador como el denominador entre 4.

1 2 4 2 4 8

= =

1 1.5


Divide entre 2, 3, 5, 7, y 11 para escribir fracciones equivalentes.

PROBLEMA. Cuando se hacen depsitos bancarios, es muy comn que se cuenten varias monedas. Cmo escribiras en fraccin propia o impropia, las siguientes cantidades?

35 monedas de 20 centavos __________55 monedas de 10 centavos _________14 monedas de cinco centavos _________

=====8866

8470

10055

10227

7036

En dos fracciones equivalentes podemos observar lo siguiente:

24

Una vez colocados las cantidades anteriores, qu puedes comentar?__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

Solamente en dos fracciones equivalentes los PRODUCTOS CRUZADOS son iguales.

2 14 2 x 63 = 1269 63 9 x 14 = 126=

EJEMPLOS: PRODUCTO CRUZADO.

Fracciones equivalentes.

Multiplicando por 4 mbos lados para quitar el 4 que divide.

Multiplicando por "a" mbos lados para quitar la "a" que divide.

Dividiendo entre 3 mbos lados para quitar el 3 que multiplica

TRMINO FALTANTE

b8

28b28

28327

b283273228

b7

=

==

=

b15

9m9

9453

m945345m

93

=

==

=

( ) ( )

12a3

36a

349

3a3

49a3a

a49a3

a49

443

a9

43

==

==

=

==

PARA ENCONTRAR UN TRMINO DE DOS FRACCIONES EQUIVALENTES

LO PODEMOS HACER CON "PRODUCTOS CRUZADOS"

BLO

QU

E 1

106

53

303065103

==

=Numerador por denominador = Denominador por numerador


m

Encuentra el trmino desconocido de las siguientes fracciones equivalentes. Hzlo como en los ejemplos anteriores.

1612

12f

915

3e

4d

88

n12

36

4c

43 =====

62124

m6

63

y25

4x

32

6

279

200100

a5 2

2

2

2 =====

Una fraccin se puede simplificar cuando tanto el numerador como el denominador se pueden dividir con un mismo nmero.

EJEMPLOS:

1

Fraccin simplificada

87

324321

2421

2421

248242

4842

?4842

==

==

=

21

23

18361854

3654

?3654

=

==

=

Fraccin simplificada

Para simplificar de forma ms prctica, se va dividiendo entre 2 (mitad), entre 3 (tercera), entre 4 (cuarta) , entre 5 (quinta), etc..., tanto al numerador como al denominador hasta en tanto se logre tener nmeros que no permiten una operacin igual

25

FRACCIONES REDUCIBLES E IRREDUCTIBLES

Otros Ejemplos:

32

9060

32aintqu

1510tercera

4530mitad

9060 ====

31

155

7525

15050

300100

600200

1200400 ======

BLO

QU

E 1

998

998 = Es IRREDUCTIBLE al no aceptar una misma divisin

tanto el numerador como el denominador.


Dos o ms fracciones con denominador diferente, se pueden convertir a un mismo denominador, sin alterar su valor.EJEMPLO: 3 3 1 8 4 2Divisores de "8" : {1, 2, 4, 8}Divisores de "4" : {1, 2, 4}Divisores de "2" : {1, 2}

1) De los denominadores 8, 4 y 2 encontramos el MNIMO COMN DENOMINADOR usando el procedimiento del MNIMO COMN MULTIPLO.

8 4 2 2 4 2 1 2 2 1 2 2 x 2 x 2 = 8 m . c . m . 1

, ,El divisor comn a los

tres denominadores es el 1 y 2, existen tres

veces.

26

CONVERSIN DE FRACCIONES A UN MNIMO COMN DENOMINADOR

BLO

QU

E 1

Simplifica las fracciones dadas y ubcalas en la recta numrica.

=

=

=

=

124075509050248

=

=

=

=

40200

2468306

3066

1

01

0

1 2


"8"

12

8

4

"4""2"

Mnimo comn denominador

2) Dividamos el m . c . m . entre cada uno de los denominadores de cada una de las fracciones y el resultado multipliqumoslo por cada uno de los numeradores.

8 entre 8 igual a 1, que multiplicado por 3, es igual a 3 8 entre 4 igual a 2, que multiplicado por 3, es igual a 6 8 entre 2 igual a 4, que multiplicado por 1, es igual a 4

Con los numeradores 3, 3 y 3, las fracciones se transformaron en:

3 3 1 3 6 4 3 6 4 13 8 4 2 8 8 8 8 8

Mnimo comn denominador

, , ; , , ;

,,,,,, ==

38 6 8 4 8

, , ;

Encuentre el MNIMO COMN DENOMINADOR y convierta cada uno de los grupos de fracciones a fracciones equivalentes y represntalos en la recta numrica.

Compara cada par de fracciones convirtindolas a un comn denominador, como en el ejemplo, y ubcalas en cada recta numrica.

27

COMPARACIN DE FRACCIONES

a) POR CONVERSIN A UN COMN DENOMINADOR.Para comparar dos fracciones se convierten mbas para que tengan un mismo denominador.

EJEMPLO: Comparar y

Enseguida se comparan los numeradores y se concluye que:

Porque de los numeradores, el 8 < 15

43

52

2015

5453

43

208

4542

52 =

===

2015

208

BLO

QU

E 1

=

=

=

=

=

=

=

103

73

54

43

32

117

54

169

86

98

32

21

64

85

243

106

53

21

65,4,3

65

32

21

169

3213

109

87

21

32

158

3015

54

32

187

186

187

93

b) COMPARACIN DE FRACCIONES POR DIVISIN.Dos fracciones se pueden comparar convirtiendo mbas a nmero decimal. Para ello dividimos el numerador entre el denominador. EJEMPLO:

0. 875 0.857 142 7 8 7. 000 6 7 6.000 000 7 6 8 60 7 40 8 7

40 50 0 1 0

30 20 6

PROBLEMA. Dos trabajadores desempeando el mismo puesto, obtienen su pago por concepto de tiempo extra; el primero, dos quintos ms del sueldo asignado y cinco dcimos ms, el segundo. Cul de los dos trabaj ms tiempo extra?

28

>

Porque 0 . 8 7 5 > 0 . 8 5 7 1 4 2

BLO

QU

E 1

Ordena los siguientes decimales, utiliza la recta numrica. 0.43, 0.85, 1.32, 0.57, 0.93

Ordena las siguientes fracciones, utiliza la recta numrica.

1

727

94

76

97

61

51

Compara las siguientes fracciones utilizando =.

a) 7 9 4 2 1 6 8 10 6 3 6 7

84

52

74

43

31

65

54 , , , , , ,

Ordena las siguientes cantidades, utiliza la recta numrica. 0.65, , , 0.12 , 0.82,65

83

54

53

54En la recta siguiente ubica las fracciones y . Enseguida, encuentra otra fraccin que est

entre las dos fracciones localizadas.


En la recta siguiente ubica las fracciones 0.7, 0.8 y enseguida, encuentra otra que se encuentre entre las dos.

En la recta siguiente ubica las fracciones 3.5, 3.6 y enseguida, encuentra otra que se encuentre entre las dos.

1

32,

315

0.7 , 0.8

1

13.5 , 3.6

54,

53

En las siguientes rectas, ubica las fracciones que se indican y encuentra otra fraccin, entre las dos indicadas.

BLO

QU

E 1

29

1

31

32En la recta siguiente ubica las fracciones , y enseguida, encuentra otra que se encuentre

entre las dos.


Observa que siempre es posible encontrar una o varias fracciones o distintos decimales que se encuentre entre dos cantidades dadas.

A esta relacin se le llama:

PROPIEDAD DE DENSIDAD

30

Durante tu vida, te ha tocado ver jugar AJEDREZ o tu mismo lo juegas. Busca en tu casa o escuela un tablero de ajedrez y responde las siguientes preguntas:

Cuntas casillas tiene el tablero del juego? _____________

Cuntas son blancas? _______ Cuntas negras? _______

Si a partir de una esquina cualquiera del tablero, observas las casillas del mismo color, tienes que empezar con una casilla, luego con tres, ..., dibuja y colorea las que siguen, hasta completar todo el tablero y escribe el nmero de ellas en cada caso.

a) Casillas blancas:

b) Casillas negras:

PATRONES Y FRMULAS

BLO

QU

E 1 1.3

Construir sucesiones de nmeros a partir de una regla dada. Determinar expresiones

generales que definan las reglas de sucesiones numricas y

figurativas.

Sentido numrico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales

Cul fue la secuencia que tuvo el nmero de casillas, tanto negras como blancas, en el tablero de ajedrez?

_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______Conteo: 1 2 3 4 5 6 7 8

Si observas la variacin entre uno y otro conteo, explica lo que est sucediendo hasta la mitad del tablero:

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Si consideras el inicio del conteo en una esquina de un piso con losetas asentadas a semejanza del tablero de ajedrez y no conoces donde se encuentra la esquina opuesta, indica cul sera la sucesin del conteo:

_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______Conteo: 1 2 3 4 5 6 7 8

_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______Conteo: 9 10 11 12 13 14 15 16

Los pisos de varias habitaciones o patios amplios, tienen losetas de dos colores asentadas como las casillas del tablero de ajedrez. Si consideran un patio suficientemente grande, cuando deseen saber el nmero de losetas de alguna de las lneas diagonales, qu proceso o frmula seguiran?

_______________ _______________

Haciendo uso del proceso o frmula que decidi tu equipo de trabajo y todo el grupo, contesta cuntas losetas tendr la diagonal del:

conteo 18 _________, conteo 21 _________, conteo 28 _________, conteo 33 _________,

conteo 41 _________, conteo 52 _________, conteo 63 _________, conteo 97 _________

compara tus resultados de equipo, con los otros equipos del grupo.

Si en la misma esquina por donde empezaste el conteo de las casillas negras, cuentas las casillas blancas, qu comportamiento tienen, si no consideras la esquina opuesta?

Casillas blancas, desde la esquina que inicia con casilla negra:

_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______Conteo: 1 2 3 4 5 6 7 8

_______, _______, _______, _______, _______, _______, _______, _______Conteo: 9 10 11 12 13 14 15 16

31

BLO

QU

E 1Sentido numrico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales

32

BLO

QU

E 1

Los antiguos griegos tenan un nombre especial para algunos nmeros.

Por ejemplo:

Llamaban nmeros triangulares a aquellos que, representados por puntos, formaban un tringulo. Siempre iniciaban con "1". Dibuja la secuencia de los primeros siete nmeros triangulares e investiga cules son.

1 3 _____ 10 _____ _____ _____

Existe algn proceso o frmula para encontrar cualquier nmero triangular? _____

Cul es? _________________

Tambin conocan los nmeros cuadrados y los pentagonales. Haciendo uso de puntos o figuras que a t te gusten, acuerda con tu equipo o grupo, los primeros 5 nmeros que en cada caso encuentren. Recuerda que siempre iniciaban en "1".

Ejemplos:

Nmero cuadrado: 4 = Nmero pentagonal: 5 =

Nmeros cuadrados:

Primeros cinco nmeros cuadrados, en una sola figura:

Nmeros pentagonales:

Primeros cinco pentagonales, en una sola figura:


frmulaa) 0 1 1 2 3 5 ____ ____ ____ ____ ________

b) 1 3 ____ 12 15 ____ ____ ____ 27 ____ ________

c) 2 7 12 ____ 22 ____ ____ 37 42 ____ ________

d) 1 2 4 ____ ____ 32 64 ____ ____ ____ ________

e) 1 4 10 22 ____ 94 ____ ____ ____ ____ ________

f) 9 6 3 0 - 3 ____ ____ ____ ____ ____ ________

Cualquier artculo que usas en tu desempeo personal y, todos aquellos que usan las diferentes personas que te rodean, han seguido un mtodo semejante para poder ser utilizados:

1.- Provienen de una materia prima,2.- Reciben un tratamiento y 3.- Salen al mercado para poder ser vendidos.

A la anterior secuencia se le conoce como

"Proceso de produccin"INPUT - PROCCESS - OUTPUT

En un proceso de produccin, Cul ser la secuencia de las siguientes fotografas? Debajo de cada una, escribe el nmero 1, para el primer paso del proceso; el 2, para el siguiente y, as sucesivamente.

33

Considerando lo que hasta aqu has aprendido, completa los espacios en cada una de las sucesiones grficas o numricas. Utiliza las operaciones fundamentales aprendidas en la escuela primaria.

BLO

QU

E 1

h)

i)

j)

1

1

1


34

En cada una de las grficas, analiza la secuencia de las figuras superiores y decide en cul de los incisos inferiores est la secuenciacin lgica. Dibuja la figura que da secuencia .

BLO

QU

E 1

A) B) C) D) E)5

3 A) B) C) D)

4 A) B) C) D) E)

2 A) B) C) D)

1 A) B) C) D)


PERMETRO

Si se tiene que cercar un terreno cuadrado con malla ciclnica, qu tomaras en cuenta del terreno, para comprar la malla suficiente? .................. _______________________________

Si el terreno tiene 50 m por cada lado,

cuntos metros compras de malla? ............................................ ___________

Si el lado mide 63.25 m, cunta malla? ..................................... ___________

Para cualquier terreno con figura cuadrada, qu frmula usaras cuando necesites protegerlo en su derredor? .......................................................... P = ___________Si la figura no es cuadrada y tiene cualquier otra forma poligonal, qu frmula utilizaras?

__________________________

REASEn todo terreno, no slo se requiere protegerlo en su derredor, sino tambin es necesario registralo como propietario del mismo; por lo cual, se necesita conocer de cuntos metros cuadrados est formado.

Cmo se obtendrn los metros cuadrados de los dos terrenos que se cercaron en renglones anteriores?

35

PATRONES Y FRMULAS

SUPERFICIE. Es todo aquello que tiene dos dimensiones: Largo y Ancho.

REA. Es la medida interna de una superficie.

Ilumina de rojo la superficie del crculo, de cafe la superficie del cuadrado, de verde la superficie del trapecio y de azl la superficie del tringulo y contesta las siguientes preguntas.

Realiza clculos y operaciones y contesta.

Cul figura crees que tenga mayor rea? ______________________

Cul crees que tenga menor rea? ......... ______________________

BLO

QU

E 1

1.4Explicar en lenguaje natural el

significado de algunas frmulas geomtricas, interpretando las

literales como nmeros generales con los que es posible operar.


PROBLEMA: Si compro un libro de Matemticas en $ 78.50, un cuaderno en $ 19.60 y un lpiz en $ 3.60, cunto habr de pagar?

Resuelve las siguientes sumas.

61.9 23.94 138.08 68.833 0.894 1.173 3.34 35.357 531.9 367.71 0.5 55.3315.5 13.3 7.43 8.6 0.57 0.91256.885 2.79 26.912 38.028 0.702 0.026

56.3 + 16.56 + 12.345 + 3.3 = _________ 45.67 + 97.2 + 345.78 + 4.678 = _________

64.19 + 1.357 + 17.4 + 433.82 = _________ 561.02 + 19.36 + 682.2 + 543 = _________

+ + + + + +

36

BLO

QU

E 1

PROBLEMA: Obtn el permetro de un terreno irregular que tiene las medidas que la figura indica.

OPERACIN:

147.034 m72.000 m

+ 18.500 m27.100 m

164.200 m428.834 m

Alineamos el punto decimal.

Agregamos ceros en la parte decimal.

Resolvemos la operacin.

Recuerda poner el punto decimal y el smbolo de metros.


PROBLEMAS:

1.- Con dos de los sumandos, halla la suma menor y la mayor.

13.4; 4.69; 21.5; 0.3 1.2; 0.07; 0.8; 0.26

suma menor _________ suma menor _________

suma mayor _________ suma mayor _________

2.- En cada sumando coloca los puntos decimales para que la suma sea correcta.

9 0 0 + 9 0 0 + 9 0 0 = 9 9 9

3.- Calcula el permetro del siguiente polgono irregular.OPERACIN:

P = __________________

3.6 cm

3.2 cm

7.8 cm

2.8 cm

4.2 cm

37

BLO

QU

E 1

4.- Calcula el permetro y rea, de la superficie amarilla, del siguiente polgono irregular.OPERACIN:

3.6 cm

3.16

cm

2.24 cm 4.47 cm

4.24 cm

3.16

cm

4.0 cm

3.0

cm

5.- El plano que se te da a continuacin representa la distribucin que tiene una casa habitacin.

a) Calcula el rea total de:

Sala comedor ........... _________________ Estancia ........... _________________

Cochera ................... _________________ Recmaras ...... _________________

Cocina ..................... _________________ Bao ................ _________________

Pasillo ...................... _________________ Patio ................ _________________

b ) Cul es el rea total del terreno de la casa? .......................... _________________

3.5 m 2.0 m 4.0 m

Patio

4.4 m

2.0 m

4.0 m

6.0 m 3.5 m

4.0 m

3.9 m

2.5 m

Recmara Recmara

Cocina Estancia

Sala comedor Cochera

Bao


Pasillo

2.4 m

Entender lo que es la SIMETRA AXIAL, resulta demasiado sencillo si analizamos lo siguiente:

Recordemos que dos nmeros son SIMTRICOS, cuando al representarlos en la recta numrica, la distancia de cada nmero al CERO, es la misma.

+ 3, es simtrico de - 3; - 8, es simtrico de + 8

Ahora nos damos cuenta, que la palabra AXIAL se refiere a lo que puede ser dividido en dos parte iguales, por medio de un EJE.

La SIMETRA AXIAL, es pues, una propiedad que tienen las figuras que al trazarles un eje de simetra, stas se convierten en dos, cuyos puntos al ser dobladas en dicho eje, coinciden perfectamente.

EJE DE SIMETRA. Es una lnea recta que divide a una figura, o a cualquier objeto, en dos parte iguales.

38

MOVIMIENTOS EN EL PLANO

BLO

QU

E 1

SIMETRA AXIAL

1.5Construir figuras geomtricas

respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: tringulos issceles y tringulos

equilteros, rombos, cuadrados y rectngulos.

EJEMPLO: Observa los EJES DE SIMETRA de un CUADRADO.

EJEMPLO: Observa la simetra entre nmeros.

- 3 30 1.6- 1.621

21

Forma, Espacio y Medida Transformaciones

Traza con regla y comps los ejes de simetra que tengan cada una de las siguientes figuras.

EJEMPLO:

39

BLO

QU

E 1A B

Observa, que en la figura del ejemplo, trazamos la mediatriz de AB. EL EJE DE SIMETRA divide a la figura en dos partes iguales; si una de las partes tiene un movimiento de rotacin de 180, coincidir con la otra parte en todos sus puntos.


a) Trazamos las lneas perpendiculares al eje yy'.

b) Medimos la distancia de los vrtices de la figura ABCD al eje yy' y marcamos los puntos simtricos.

c) Unimos los puntos simtricos A' B' C' D'

d) La f igura ABCD y la f igura A' B' C' D' son simtricas con respecto a yy'

1.- Dado un punto P, trazar su punto P' simtrico con respecto al EJE DE SIMETRA yy', utilizando la escuadra.

2.- Dada una figura, trazar su simtrica con respecto a un eje de simetra, con el uso de la escuadra.

Dadas las rectas, traza su SIMTRICA con respecto al EJE DE SIMETRA yy'

EJERCICIOS CON SIMETRA AXIAL

y

y'

A A'

B B'

D D'

C C'

40

BLO

QU

E 1

a) Trazamos con la escuadra la perpendicular del punto P al eje de simetra yy', cruzndolo.

b) Medimos la distancia que hay del punto P al eje de simetra yy'.

c) Sealamos el punto simtrico de P, P', a la misma distancia del eje de simetra yy'.

P

M

y

P'

y'

M

N

y

y'

y

y'

R

S


A las siguientes figuras, trzales sus simtricas.

Traza los puntos simtricos de A, B, C, D, con respecto al eje yy' y llmalos A', B', C', D'. Tambin traza los simtricos de la lnea recta AB y llmalos A'B'.

Traza las figuras simtricas con respecto al eje de simetra.

A

B

C

D

y

y'

A

B

y

y'

41

BLO

QU

E 1Forma, Espacio y Medida Transformaciones

2.- Un rbol de 6 metros de altura proporciona una sombra de 12 metros. Qu sombra dar un poste de 10 metros de alto, en el mismo momento?

Resuelve los siguientes problemas.1.- Un automvil consume 16 litros de gasolina

por cada 200 kilmetros que recorre. Cuntos kilmetros recorre con 72 litros de gasolina?

Explique, cmo obtuvieron cada uno de los datos faltantes de la tabla; si usaron ms de un experimento u operacin matemtica.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

42

Completa las siguientes tablas de valores que cambian en proporcin directa.

INFORMACIN. Gran cantidad de productos de consumo tanto del ser humano como de los animales, tienen una gran variedad de componentes; las cantidades de ellos dependen del tipo de uso que se pretenda darles y siempre estn en proporciones diferentes si son para nios, jvenes, adultos o personas de la tercera edad.

2.- Un auto recorre 14.8 kilmetros con 1 litro de gasolina; la distancia recorrida con otra cantidad de litros ser:

1.- Un litro de gasolina vale $ 7.94 pesos en el mes de abril de 2 007; la tabla variable que indique el valor de litros en pesos, ser:

BLO

QU

E 1

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

Manejo de la informacin Anlisis de la informacin

LITROS Km-

1-

2-

3 44.4-

4

5-

6-

7-

8

LITROS PRECIO-

1 $ 7.94-

2-

3-

4

5 $ 39.70-

6-

7-

8

1.6Identificar y resolver

situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante"

en diversos contextos, utilizando de manera flexible

diversos procedimientos.

3.- Un carpintero ebanista, puede fabricar 2 cajas de ornato, con base cuadrada, en tres horas y media. Cunto tiempo tardar en fabricar 80 cajas, trabajando 8 horas diarias?

4.- Un obrero por 30 das de trabajo recibe $ 4 500.00 Cunto recibir por 5 das de trabajo?

5.- Un atleta recorre 600 metros en un minuto y medio. Cunto t iempo tardar en recorrer 1 600 metros?

43

6.- En una compra realizada en E. U. por la cantidad de 1 600 dlares, se cobra un impuesto de 132 dlares. Si en otra compra se cobran 247.50 dlares de impuesto, cul fue la cantidad adquirida?

PROPORCIONES DIRECTAS

Observa que: Si los datos cambian en un mismo sentido, si uno aumenta el otro tambin, o si uno disminuye, tambin el otro disminuye, entonces

estamos trabajando una PROPORCIN DIRECTA.

DE ACUERDO?ADELANTE!

EJEMPLO 2La fuerza requerida para mover un cuerpo de 500 kg es de 25 Nw. Si se requiere mover un peso de 3 toneladas, qu fuerza ser necesaria?

kg3000x

kg500Nw25 =

( )( )

xNw150

x500

Nw75000

xkg500

kg3000Nw25

==

=

BLO

QU

E 1

RESOLUCIN DE PROBLEMAS.

EJEMPLO 1En un mapa de Chihuahua, 3 cm representan 100 kilmetros. Cuntos kilmetros representarn 12 centmetros?

DATOS: 3 centmetros representan 100 kilmetros Cuntos kilmetros representan 12 centmetros?

Formamos las dos razones:

Resolvemos:

Haciendo operaciones:

Simplificando:

( )( )

Km400xcm3

Kmcm1200x

cm3Km100cm12x

KmxKm100

cm12cm3

==

=

=


REPARTO PROPORCIONALEn ocasiones es necesario repartir cantidades de diversas formas en funcin de factores diversos como la edad, altura, distancias, etc., entre otros.

Para proceder a repartir una cantidad determinada entre varias partes, se sigue como en el ejemplo:

EJEMPLO: Repartir proporcionalmente $ 1,100 a tres personas, tocando al mayor el triple de lo que le corresponde al menor y el doble de lo que al mediano.

Primero se le asigna a cada persona la cantidad o literal que represente la proporcin que le corresponde;

As al mayor le toca = 3x Al menor = xAl mediano = 1.5 x

Sumanos las cantidades que son factor del reparto, en este caso ser 5.5x

Se divide la cantidad a repartir entre la suma de los factores de reparto y enseguida, se multiplica ese cociente por cada uno de los factores de reparto, para encontrar el resultado.

$ 1,100 entre 5.5 igual a $ 200

$ 200 por 3 = $ 600 $ 200 por 1 = $ 200 $ 200 por 1.5 = $ 300

$ 600 + $ 200 + $ 300 = $ 1,100

1.7Elaborar y utilizar

procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

1.- Jos reparte sus bienes entre los cuatro hijos que tiene, y decide hacerlo en forma proporcional a las edades que actualmente tienen que son de 16, 19, 20 y 25 aos. Cunto le corresponder a cada uno, si la cantidad a repartir es $ 5 280 000.00?

2.- La Secretara de Hacienda y Crdito Pblico reintegra a tres empresas la cantidad $ 828,000.00 por concepto de saldos a favor en sus declaraciones anuales de impuestos. Si la devolucin es proporcional al monto declarado por cada empresa que fu de $ 5,000,000.00, $ 4,000,000.00 y $ 3,000,000.00 Cunto recibir cada una?

RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD

BLO

QU

E 1

44


3.- Ana, Pedro y Mara son hermanos. Entre los tres obtuvieron un premio consistente en una computadora con va lor de $ 6 000.00. Deciden venderla a ese mismo precio. Cunto le corresponde a cada uno, si para comprar el boleto, Ana aport $ 32.00, Pedro $ 24.00 y Mara $ 30.00?

45

4.- Cinco socios de una empresa automotriz se encuentran con el 10 %, 15 %, 20 %, 25 % y 30 % de las acciones. Durante el ao 2 005, la utilidad a repartir entre ellos es de $ 32,400.00 Cunto deber recibir de utilidad cada socio?

5.- En el premio de la lotera que se efectu el 15 de septiembre; Luis, Ana, Jos y Mario, ganaron un premio de $ 30 000.00; dicho premio se lo repartieron proporcionalmente a lo que cada uno aport para la compra del boleto, que cost $ 100.00. A Luis le toc $ 4 200.00, a Ana $ 11 400, a Jos $ 6 600.00 y a Mario, el resto de los $ 30 000.00. Cunto aport cada uno para la compra del boleto?

6.- En la Colecta escolarizada Anual de la Cruz Roja Mexicana, se entregaron mochilas para ser distribuidas entre las cinco escuelas de la zona escolar que tiene 5 376 alumnos. Si se repartieron segn el nmero de alumnos de cada una de las escuelas les correspondieron 33, 26, 24, 19 y 10. Cuntos alumnos tiene cada una de las escuelas de la zona?

8.- Una empresa de productos de telefona celular, obtuvo el 2 005 una utilidad neta repartible que ascendi a $ 175 258.00 para el departamento de personal tcnico. Si el departamento est compuesto por 12 personas; de las cuales, 3 ganan el sueldo ms alto, 7 ganan un tercio menos que las anteriores y las dos ltimas, ganan la mitad de las segundas. Qu utilidad c o r r e s p o n d e a c a d a g r u p o d e trabajadores?

BLO

QU

E 1

31

52

7.- La produccin de una huerta fu de 3 540 rejas de manzana y, se las van a repartir entre los tres propietarios en la proporcin en que cada uno particip en la inversin. A Pedro , a Rodrigo y a Miguel el resto. C u n t a s r e j a s d e m a n z a n a l e corresponden a cada uno?


Teniendo en cuenta el DIAGRAMA DE RBOL que se gener con las monedas, contesta lo que se te solicita.

a) Cuntos casos diferentes se presentan cuando se juega con una sola moneda? ... ________

b) Cuntos casos se presentan cuando son dos monedas? ....................................... ________

c) Cuntos casos se presentan cuando son tres monedas? ....................................... ________

d) Cuntos casos jugando con cinco monedas? ......................................................... ________

e) Al tirar una moneda al aire, qu probabilidad tienes de que resulte un guila? ....... ________

f) Si tiramos juntas dos monedas, qu probabilidad se tiene que sean dos soles? ..... ________

g) Si tiramos tres monedas juntas, qu probabilidad se tiene que sea DISPAREJO? .. ________

h) Con tres monedas, probabilidad de que sean puros SOLES o puras GUILAS ....... ________

i) T y tus compaeros, con ayuda del Maestro, sigan analizando el DIAGRAMA y obtengan otras PROBABILIDADES.

EXPLICACIONES.Ya que estuvimos analizando la serie de ejemplos con dados, monedas y otros, vamos viendo que sucedi en algunos casos.

EVENTOS INDEPENDIENTES.

Cuando jugamos con los dados, vimos que el resultado del siguiente tiro, en nada dependi del tiro anterior o sea que cada uno de los tiros de los dos dados, no tiene que ver con el otro que hagamos, a esto se le conoce como un EVENTO INDEPENDIENTE.

46

DIAGRAMA Y TABLAS

BLO

QU

E 1

Ya que hablamos de monedas, todos alguna vez hemos jugado a los "VOLADOS"; veamos este fenmeno cmo se maneja en las matemticas, cuando de volados se trata. Vamos jugando primero con una moneda, luego con dos, tal vez con tres monedas y si quieres seguir jugando, hzlo con cuatro monedas, siguiendo el diagrama de rbol de abajo. Te vas a dar cuenta de las posibilidades que se tienen de que se presenten combinaciones, que debes anotar en los recuadros que se encuentran en el diagrama siguiente. Sigue el sentido de las flechas, est fcil.

UNA MONEDA

DOS MONEDAS

TRES MONEDAS

ACOMODOS

A S

A S A S A S A S

A S A S

Manejo de la informacin Representacin de la informacin

1.8Resolver problemas de

conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de rbol y otros procedimientos personales.

Veamos un ejemplo entre una PERINOLA y una MONEDA. En nada depende el resultado que resulte en la perinola del que resulte en la moneda.

Existen otros eventos en la PROBABILIDAD que para poder estimarse es necesario se realicen varias observaciones del evento.

EJEMPLO: En algunas tiendas grandes se anuncia:

"Si la esfera que saques dice NO PAGA, te llevas todo gratis"

Cmo podemos darnos cuenta de la PROBABILIDAD de ganar? Por qu?

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Habr muchas esferas con NO PAGA? _____ Cuntas esferas habr de GRACIAS? ______

1. _______________ _______

2. _______________ _______

3. _______________ _______

4. _______________ _______

9. _______________ _______

10. ______________ _______

11. ______________ _______

12. ______________ _______

5. _______________ _______

6. _______________ _______

7. _______________ _______

8. _______________ _______

47

Como la perinola tiene 6 CARAS, entonces, la probabilidad de que se nos de una CARA, queda expresada por

Entonces, si lo que deseo me salga, slo puede suceder una vez, se expresa porque el TOTAL DE CASOS son 6 y solamente puede aparecer uno a la vez.

El que suceda cualquier caso en la perinola, no afecta a lo que suceda con la moneda, puesto que son independientes uno del otro.

Cules son los resultados que pueden darse entre la perinola y la moneda? Escrbelos en el siguiente cuadro, observando el diagrama de rbol de arriba.

( )P C No de posibilidades a favor o en contraTotal de posibilidades

= .

( )P C = 16

GUILA

SELLO

GUILA

SELLO

GUILA

SELLO

GUILA

SELLO

GUILA

SELLO

GUILA

SELLO

T PO OD NO ES N

TOMA

DOS

PON

UNO

TOMA

UNO

TOMA

TODO

PON

DOS

BLO

QU

E 1Manejo de la informacin Representacin de la informacin

PROCESOS QUE COMPRUEBAN LAS PROBABILIDADES

OBTENIDAS.

PROBLEMAS: Con la ayuda constante de tu Maestro, analiza cada uno de los ejemplos que se presentaron y anota la PROBABILIDAD que en cada caso se requiera.

1.- Si se lanza una moneda al aire, cul es la probabilidad de que caiga guila?

2.- Si se lanzan dos monedas al aire, cul es la probabilidad de que caigan dos guilas?

3.- Cuando se juega con un dado, cul es la probabilidad de que caiga seis?

4.- Cuando se juega con dos dados, cul es la probabilidad de que caiga siete?

Como puedes ver, en estos casos, no es posible obtener inmediatamente la PROBABILIDAD, como cuando conocemos el nmero de esferas que existen en el nfora.

En los casos como ste y en algunos que suceden dentro de la conducta de los seres humanos, es necesario hacer varias observaciones seguidas del evento, para poder estimar con cierta verdad y cercana la probabilidad del fenmeno.

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

______

48

BLO

QU

E 1

En una nfora o caja, introduce 3 canicas de color azl y 2 de color rojo, las cuales t ya sabes que tienen cada una probabilidad de que surjan una u otra; revulvelas y saquen cada vez una anotando el resultado, blanco o rojo, en su cuaderno, devolviendo la canica a la caja. Hganlo as durante unas 35 veces y, vern que se van a acercar mucho a la probabilidad, como si conocieran el nmero de canicas que existen en la caja.


5.- Cuando se juega con tres monedas, cul es la probabilidad de que caiga ASA?

6.- Cuando se juega con tres monedas, cul es la probabilidad de que caiga SAA?

7.- Cuando se juega con tres monedas, cul es la probabilidad de que caiga un DISPAREJO?

8.- Cuando se juega con una perinola y una moneda, cul es la probabilidad de que caiga TOMA TODO y GUILA?

10.- Si las calificaciones se presentan del 5 al 10, cul es la probabilidad de que APRUEBE o que REPRUEBE?

9.- Cuando se juega con un dado de cuatro caras y una moneda, cu l es la probabilidad de que caiga un 4 y SELLO?

11.- Al jugar con dos dados, se gana cuando la suma de las dos caras de los dos dados da siete u once puntos. Cul es la probabilidad de ganar?

12.- El nmero de fichas del juego de domin es 28. Qu probabilidad se tiene de obtener la mula de seis y la de tres?

13.- Al realizar un juego con una moneda durante varias ocasiones. Qu es probable caiga mayor nmero de veces, guila o sello?

14.- En la rifa de un auto participan slo veinte boletos. Qu probabilidad de obtener el premio, tiene una persona que compra 4 boletos?

49

BLO

QU

E 1

5 6 7 8 9 10


41

2

sentido numÉrico y pensamiento algebraico

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