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  • Chapitre 8 Réduction des endomorphismes

  • 1 Étude sur des exemples

    2 Éléments propres d’un endomorphisme

    3 Diagonalisation en dimension finie

    4 Trigonalisation

    5 Applications de la réduction

  • Partie 1

    Étude sur des exemples

    Réduction des endomorphismes

  • 1. Les projections

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    ‚ Une projection (ou projecteur) de E est déterminée par la donnée de deux sous- espaces supplémentaires F et G de E

    E “ F ‘ G

    x

    xF

    xG

    F

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    ‚ Une projection (ou projecteur) de E est déterminée par la donnée de deux sous- espaces supplémentaires F et G de E

    E “ F ‘ G

    ‚ @x P E, x “ xF`xG où xF P F et xG P G Cette décomposition est unique.

    x

    xF

    xG

    F

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    ‚ Une projection (ou projecteur) de E est déterminée par la donnée de deux sous- espaces supplémentaires F et G de E

    E “ F ‘ G

    ‚ @x P E, x “ xF`xG où xF P F et xG P G Cette décomposition est unique.

    ‚ xF est le projeté de x sur F parallèlement à G.

    x

    xF

    xG

    F

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    ‚ Une projection (ou projecteur) de E est déterminée par la donnée de deux sous- espaces supplémentaires F et G de E

    E “ F ‘ G

    ‚ @x P E, x “ xF`xG où xF P F et xG P G Cette décomposition est unique.

    ‚ xF est le projeté de x sur F parallèlement à G.

    ‚ L’application pF : E ÝÑ E x ÞÝÑ xF

    est la pro-

    jection de E sur F parallèlement à G.

    x

    xF

    xG

    F

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

    ‚ Une projection (ou projecteur) de E est déterminée par la donnée de deux sous- espaces supplémentaires F et G de E

    E “ F ‘ G

    ‚ @x P E, x “ xF`xG où xF P F et xG P G Cette décomposition est unique.

    ‚ xF est le projeté de x sur F parallèlement à G.

    ‚ L’application pF : E ÝÑ E x ÞÝÑ xF

    est la pro-

    jection de E sur F parallèlement à G.

    ‚ On définit de même la projection pG .

    x

    xF

    xG

    F

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 1/73

  • 1. Les projections

    Proposition (Propriétés des projections)

    Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations

    ‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)

    ‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF (idem pour pG).

    Partie 1 : Étude sur des exemples 2/73

  • 1. Les projections

    Proposition (Propriétés des projections)

    Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations

    ‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)

    ‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF (idem pour pG).

    § pF est un projecteur (linéaire et pF ˝ pF “ pF ).

    Partie 1 : Étude sur des exemples 2/73

  • 1. Les projections

    NOTATION

    � pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 3/73

  • 1. Les projections

    NOTATION

    � pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.

    � pF ˝ pF se note p2F .

    Partie 1 : Étude sur des exemples 3/73

  • 1. Les projections

    § On peut généraliser la définition à plus de 2 sous-espaces de E.

    E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

    F1 F2

    Fq

    x

    x1 x2

    xq

    Partie 1 : Étude sur des exemples 4/73

  • 1. Les projections

    § On peut généraliser la définition à plus de 2 sous-espaces de E.

    E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

    ‚ @x P E, on a de manière unique

    x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

    avec xi P Fi , i P v1, qw.

    F1 F2

    Fq

    x

    x1 x2

    xq

    Partie 1 : Étude sur des exemples 4/73

  • 1. Les projections

    § On peut généraliser la définition à plus de 2 sous-espaces de E.

    E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

    ‚ @x P E, on a de manière unique

    x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

    avec xi P Fi , i P v1, qw. ‚ On pose pi pxq “ xi .

    F1 F2

    Fq

    x

    x1 x2

    xq

    Partie 1 : Étude sur des exemples 4/73

  • 1. Les projections

    § On peut généraliser la définition à plus de 2 sous-espaces de E.

    E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

    ‚ @x P E, on a de manière unique

    x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

    avec xi P Fi , i P v1, qw. ‚ On pose pi pxq “ xi .

    F1 F2

    Fq

    x

    x1 x2

    xq

    Les pi sont les projections associés à la somme directe.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 4/73

  • 1. Les projections

    EXERCICE 1

    Énoncer les propriétés des projections pi correspondant à la proposition précédente. Préciser en particulier leurs noyaux, images, ainsi que les relations qu’ils vérifient entre eux.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 5/73

  • 1. Les projections

    EXERCICE 2

    Soit f un endomorphisme de E. Montrer que f est une projection de E si et seulement si c’est un projecteur de E (c’est-à-dire que f ˝ f “ f ).

    Partie 1 : Étude sur des exemples 6/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    ‚ Elle dépend du choix de la base.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    ‚ Elle dépend du choix de la base. ‚ Une base adaptée à F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

    Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    ‚ Elle dépend du choix de la base. ‚ Une base adaptée à F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

    F

    G

    e1 ek

    en

    Une base adaptée à F‘G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    ‚ Elle dépend du choix de la base. ‚ Une base adaptée à F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

    F

    G

    e1 ek

    en

    Une base adaptée à F‘G

    ¨

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˝

    1 . . .

    1

    0

    0

    0 . . .

    0

    ˛

    looooomooooon

    F

    looooomooooon

    G

    ,

    .

    -

    F

    ,

    .

    -

    G

    Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    Écriture matricielle

    ‚ Elle dépend du choix de la base. ‚ Une base adaptée à F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

    F

    G

    e1 ek

    en

    Une base adaptée à F‘G

    ¨

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˚

    ˝

    1 . . .

    1

    0

    0

    0 . . .

    0

    ˛

    looooomooooon

    F

    looooomooooon

    G

    ,

    .

    -

    F

    ,

    .

    -

    G

    ‚ C’est une matrice diagonale et construite en blocs. Partie 1 : Étude sur des exemples 7/73

  • 1. Les projections

    ‚ On dit que l’on a diagonalisé la projection pF .

    Partie 1 : Étude sur des exemples 8/73

  • 1. Les projections

    ‚ On dit que l’on a diagonalisé la projection pF . ‚ On a les relations

    pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’à ek pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annulé) etc... jusqu’à en

    Partie 1 : Étude sur des exemples 8/73

  • 1. Les projections

    ‚ On dit