Complexite de calculs sur les matricesentieres et polynomiales∗

Gilles Villard

Cnrs Lip - Ens Lyon

http://www.ens-lyon.fr/ gvillard

∗Journees Nationales de Calcul Formel, Luminy, 24 janvier 2003.

Probleme :

Etude des complexites de problemes de base en

algebre lineaire exacte.

. Complexite en temps i.e. algorithmes les plus rapides ;

. Algorithmes deterministes ou probabilistes Las Vegas.

1

Modeles.

Complexite algebrique.

K un corps commutatif, operations arithmetiques +,×, /

versus

Sur K[x], operations arithmetiques +,×, / dans K

Complexite binaire.

Sur Z, nombre d’operations sur les bits.

2

Motivations

→ Domaines de coefficients “concrets”

→ Complexites polynomiales et binaires mal connues.

3

Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

4

Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

5

Modele algebrique sur K

Equivalence au produit de matrice (straight-line)

Produit de matrices n× n Determinant, rang, inversion,

A×B polynome caracteristique,

forme normale de Frobenius...

nω Algorithmes Ram en O (nω)

• [Strassen 69] Det � MM ↪→ MM � Det � MM

• [Strassen 73, Baur & Strassen 83] MM � Det

6

Modele algebrique sur K[x] & modele binaire sur Z

Taille de la sortie : nd ou O (nlog ‖A‖)

← nd points (theoreme chinois) →

↑nω

↓

E.g. pour le determinant

O (nω × nd) = O (nω+1d)O (nω+1 log ‖A‖)

7

Complexites guidees par la taille de la sortie, “1969–2000”

Cout binaire ≤ algebrique × taille en sortie

(Cout num. ≤ algebrique × conditionnement × erreur inverse)

8

Complexites guidees par la taille de la sortie

↓

Diminution du surcout

↓

Determinant (et forme de Smith) sur Z en O (n2+ω/2 log ‖A‖),soit√

n×n3 log ‖A‖ au lieu de n× n3 log ‖A‖[Eberly, Giesbrecht, Villard 2000 (Kaltofen 1992)].

9

Commentaires a posteriori :

Gauss/Bareiss ou le theoreme chinois d’emblee :

operations sur des grandes tailles des le depart.

Graal :

Differer les calculs sur les grandes tailles

Plus pragmatiquement :

Utiliser des algorithmes par blocs (factoriser).

10

Un schema ”ideal”

↪→ n/2 etapes d’elimination en ne multipliant la taille que par 2 ?

NA = T

[× ×

] [××

]=

[×0

]

11

A =

−85 −55 −37 −3549 63 57 −5943 −62 77 66−50 −12 −18 31−91 −47 −61 4194 83 −86 23−53 85 49 78−86 30 80 72

12

Elimination de Gauss (complement de Schur) :

Ng =

7646610 −17525750 −3967680 29755220 . . . . . .

−15181842 13894262 0 −40184660 . . . . . .

−2804568 4081928 0 18871120 . . . . . .

4368828 −4023028 0 35835160 . . . . . .

13

Elimination de Gauss (complement de Schur) :

Ng =

7646610 −17525750 −3967680 29755220 . . . . . .

−15181842 13894262 0 −40184660 . . . . . .

−2804568 4081928 0 18871120 . . . . . .

4368828 −4023028 0 35835160 . . . . . .

alors que l’on peut construire la base

N =

−25 −32 −16 −38 1 −30 32 −33−27 −68 −43 23 −71 −1 −55 61106 −43 28 −95 −50 30 53 −7−23 −25 −12 182 −90 −40 36 −74

14

n2n∑

i=1

i ≈ n4

log n∑i=1

(n

2i)3 2i ≈ n3

15

Un schema ideal :

– En partie atteint dans le cas polynomial,

[Storjohann 2002] [Jeannerod & Villard 2002].

– Complexite ”independante” de la ”taille individuelle” en sortie ?

– (Complexite ”independante” du conditionnement ?)

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Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

17

Suppression du facteur n / Modele binaire sur Z

Facteur Total

Determinant (Las Vegas) n1/5 n2.7 log ‖A‖

Forme de Smith (Las Vegas) n1/5 n2.7 log ‖A‖

Forme de Frobenius (Monte Carlo) n1/5 n2.7 log ‖A‖

(et sans division sur K pour le determinant)

[Kaltofen & Villard, 2001, 2002].

18

Suppression du facteur n / Modele algebrique sur K[x]

Facteur Total

Determinant & Smith1 (Ram) logα n O (nωd)

Inversion & det.2 (Slp) logβ n O (n3d) & O (nωd)

1 [Storjohann 2002],2 [Jeannerod & Villard 2002].

19

Jusque-la, calculs en O (nω+1d) ou O (nω+1 log ‖A‖),algorithmes deterministes ou Las Vegas,

Determinant, rang certifie, inversion

polynome caracteristique, forme normale de Frobenius,

Formes normales d’Hermite, Smith et transformations.

→ “Re-unification” des complexites ?

(Gauss versus Krylov)

20

Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

21

Nota. Etudes sur K[x], preliminaires a celles sur Z.

Matrices polynomiales n× n de degre d

Nouvelles complexites en nωd

22

Nota. Etudes sur K[x], preliminaires a celles sur Z.

Matrices polynomiales n× n de degre d

Nouvelles complexites en nωd

⇓

Lien avec le produit de deux matrices de degre d ?

Definition : MM(n, d) et Det(n, d) couts du produit et du

determinant n× n de degre d.

23

MM(n, d) � Det(n, d) ?

Le determinant implique-t’il la multiplication ?

24

Sur K, [Baur & Strassen 83],

det A = a1,1 × ( mineur (n− 1)× (n− 1)) + . . .

donc, les coefficients de A∗, l’adjointe,

a∗j,i =∂ det A

∂ ai,j

Theoreme. MM(n) � Det(n) (arbres de calculs ou Slp).

Preuve. Differentiation automatique en mode inverse et utilisation

de MM(n) � Inv(n) (cf. plus loin).

25

Theoreme. S’il existe un programme de longueur Det(n, d) cal-

culant le coefficient de degre d du determinant de A(x), alors il

existe un programme de longueur O (Det(n, d)) pour le produit

B(x)× C(x) de degre d.

26

Preuve.

det A = (. . . + a1,1,k xk + . . .)× ( mineur (n− 1)× (n− 1)) + . . .

donc,

∂ det A/∂ ai,j,k = xk a∗j,i= xk a∗j,i,0 + xk+1 a∗j,i,1 + xk+2 a∗j,i,2 + . . .

or,∂ det A

∂ ai,j,k= . . . +

∂∆d

∂ ai,j,kxd + . . .

donc,∂ det ∆d

∂ ai,j,k= a∗i,j,d−k

27

Differentiation du terme de degre d du determinant par rapport

aux n2d entrees de la matrice

⇓

d premiers termes de l’adjointe i.e. A∗ mod xd.

Et,

A =

I B

I C

I

⇒ A∗(x) ≡

I −B B(x)C(x)I −C

I

mod xd

+ Amenagement technique pour B(x)C(x) mod x2d+1.

28

Donc, MM(n, d) � Det(n, d).

Inversement, le determinant se calcule en O (MM′(n, d)) ou

MM′(n, d) est reliee a MM(n/2i, 2id) (log n etapes)

[Storjohann 2002, Jeannerod & Villard 2002].

MM(n, d) � Det(n, d) � O (MM′(n, d)).

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Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

30

Reduction en colonnes - definition.

A(x) =

[x + 1 x2

x2 x3 + x2 + 1

]↓[

x + 1 x

x2 x2 + 1

]→ C(x) =

[x + 1 1

x2 1

]

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Reduction en colonnes - definition.

A(x) =

[x + 1 x2

x2 x3 + x2 + 1

]↓[

x + 1 x

x2 x2 + 1

]→ C(x) =

[x + 1 1

x2 1

]

Definition. La matrice de tete de C = AU en colonne [C]l est de

rang maximal.

Consequence. Les colonnes de C forment une base de degres

minimaux du K[x]-module correspondant, dite base minimale.

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Difficulte.

Degres inferieurs a d dans la matrice mais grands degres dans la

transformation.

Exemple.1 x 0 0

0 1 x 0

0 0 1 x

0 0 0 1

1 −x x2 −x3

0 1 −x x2

0 0 1 −x

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

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Autre caracterisation sur A−1(x).

Description de fractions matricielles P (x)Q−1(x) i.e. “Q(x)/P (x)”

La fraction A−1(x) n’est pas strictement propre,

limx→∞

A−1(x) 6= 0.

Consequence, ex :x6 + 2 x5 − x3 − 1

x2 + x + 1

Pade[2][2]

=−1− x2

1 + x + 2 x2,

[4][2]

=. . .

1 + 14 x + 5

4 x2,

[6][2]

=. . .

x2 + x + 1

34

Nouvel algorithme.

Reduction en colonnesEntree : A ∈ K[x]n×n de degre d

Sortie : C = AU reduite en colonnes

Calculer 2d termes du dev. de A−1 apres l’ordre (n− 1)dReconstruire un approximant de Pade matriciel BC−1

Retourner C

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i) 2d termes d’ordres superieurs a (n− 1)d de A−1(x)[“High-order lifting”, Storjohann 2002]

Avec A−1(x) = A0 + xA1 + . . . + xiAi + . . .,

log n etapes, calcul de ”tranches” du developpement :

A0, . . . , Ad

Ad, . . . , A2d

A3d, . . . , A4d

. . .

A(n−1)d, . . . , And

↪→ Essentiellement en O(MM(n, d) log n).

36

ii) Reconstruction de la fraction avec matrice denominateur reduite

[Giorgi, Jeannerod & Villard 2002]

↪→ Essentiellement en MM′(n, d) ≈ O(MM(n, d) log d).

Algorithme de type Knuth / Schonhage pour polynomes matriciels

[Beckermann & Labahn 94] [Coppersmith 94]

[Thome 2001] [Kaltofen & Villard 2001]

B0C0≡ H mod x → Bh

Ch≡ H mod xh → B2h

C2h≡ H mod x2h

M2h = M2h ×Mh.

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Theoreme. Une matrice inversible peut etre colonne reduite par un

algorithme Las Vegas en O(MM′(n, d) log n) ou O (nωd) operations

dans K.

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Plan de l’expose

1. Complexites mal connues

2. Progres des deux dernieres annees

3. Matrices polynomiales

4. Reduction en colonnes

5. Procede d’elimination des divisions de Strassen

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Modele algebrique sur un anneau (sans division)

Procede d’elimination des divisions de Strassen,

1/(1− za) ≡ 1 + az + a2z2 + . . . anzn mod zn+1.

i) Depart : un programme P sur un corps K avec divisions

ii) Homotopie en utilisant un point M ou P ne divise que par 1

iii) Execution de P en plongeant K dans K[[z]].

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Modele algebrique sur un anneau (sans division)

Procede d’elimination des divisions de Strassen,

1/(1− za) ≡ 1 + az + a2z2 + . . . anzn mod zn+1.

i) Depart : un algorithme P sur un corps K avec divisions

ii) Homotopie en utilisant un point M ou P ne divise que par 1

iii) Execution de P en plongeant K dans K[[z]].

Illustration :

det A =(det ((1− z)M + zA) mod zn+1

)|z=1

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Procede de Strassen

Execution d’un algorithme sur K, et sur K[[x]]

↓

Analogie fortuite

↓

Limiter le surcout lie a la taille series formelles

pour ne pas avoir n× nω

Difference importante : ici, un algorithme sous-jacent sur K

42

Conclusion

↪→ Gagner un facteur n n’est sans doute pas anecdotique,

cela reflete une comprehension incomplete des problemes

dans leur ensemble.

↪→ Que peut-on calculer en temps O (nωd) ou O (nω log ‖A‖) ?

43