TD2 - Inversion tomographique

Problematique

Ce TD a pour but de vous familiariser avec les inversions et plus particulierement lesparametres qui les gerent. Nous utiliserons un code informatique inversant les ondesde surface. Votre travail sera d’etudier les roles et effets de 3 facteurs sur les resultatsde l’inversion : la taille des cellules utilisees pour l’inversion, et les deux parametresd’amortissement.

1 Travail preliminaire

L’inversion s’effectue en appelant plusieurs programmes informatiques (en fortran). Dansun premier temps, il vous faut rapatrier ces programmes localement dans votre session:

• Creez un repertoire TP-SISMO2 dans votre espace informatique.

• Tapez la commande: .tgmt pour activer la visualisation sous gmt.

• Dans ce repertoire, recopiez tous les fichiers qui sont dans /tiberi/M1-2011/TD2/ :cp /commun/master/geosciences/TD2/* .

1. Ouvrez les fichiers weisum.02.L00351.txt et weisum.02.R00751.txt. Quelles sontles informations qu’ils rassemblent? A quoi correspondent-ils?

2. Quels sont les types d’ondes que nous allons utiliser ? A quelle periode allons-noustravailler et que cela signifie-t-il ?

3. Lancer une premiere fois la commande inversion.csh. Qu’obtenez-vous? Com-mentez.

4. Identifiez les donnees, parametres et quelques facteurs de l’inversion.

1.1 Programmes

Le repertoire dans lequel vous etes contient un script shell inversion.csh qui fait appela plusieurs programmes prealablement compiles grace au fichier Makefile. Les sourcesde ses programmes se situent dans le sous-repertoire SRC. Leur fonction est d’obtenir unecarte de vitesse en resolvant au sens des moindres carres l’equation suivante:

c = (ATA)−1AT · δT

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1. A l’aide de ce que vous savez, identifiez les pincipaux termes de cette equation(parametres, donnees, leur type,...).

2. Rappelez pourquoi cette solution (inverse generalise) est bien souvent instable (ill-conditioned problem), et comment fait-on pour resoudre cette instabilite?

Le script lance tout d’abord le programme Blk_matrix_ata.F90 qui construit la ma-trice a inverser a partir des fichiers de donnees. Ensuite, le programme Blk_lsqr resoutl’inversion avec un algorithme iteratif qui linearise le probleme pour se rapprocher de lasolution des moindres carres. Enfin, la visualisation des resultats est effectuee par le pro-gramme Blk2gmt. La convergence de l’inversion peut s’estimer grace a la reduction de lavariance (indiquee en fin de texte lors de l’inversion en %). Plus cette reduction est elevee,moins il y a de differences entre les observes et les calcules (1=reduction de 100%, 0=pasde reduction).

Afin de simplifier les choses, par la suite il vous suffira uniquement de modifier etd’appeler le script inversion.csh qui regroupe toutes les differentes etapes. Ce dernierrassemble l’ensemble des parametres et appelle les differents programmes pour effectuerl’inversion et la visualisation des resultats. Lors du lancement de ce script, la mise enforme de la matrice et son inversion sont effectuees, et le resultat est affiche dans un fichierpostscript (.ps).Attention : Pensez bien a renommer le fichier .ps sorti selon l’inversion que vous avezeffectuee car sinon il peut etre ecrase par le suivant.

2 Questions

L’inversion s’effectue par moindres carres amortis. On inverse donc une matrice, et deuxparametres d’amortissement (damping factors) sont presents pour stabiliser l’inversion.Vous ferez les tests a chaque fois pour les deux types d’onde.

2.1 Role du nombre de parametres a inverser dans le modele

Le modele utilise est la Terre dans son ensemble que nous divisons en cellules de tailleegale et dans lesquelles nous assignerons une anomalie de vitesse par rapport au modelePREM.

1. Editez le fichier inversion.csh et identifiez les variables du script que vous devezmodifier.

La variable size correspond a la taille de la cellule utilisee comme grille dans l’inversionen degre le long du meridien (i.e. 5 = cellule de 5◦x5◦ a l’equateur, et recalculee pour les

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latitudes differentes pour garder une surface egale). Cette valeur indique donc le nombrede cellules pour lesquelles l’inversion doit trouver un parametre (une vitesse). Ce nombrede parametre est indique en sortie d’inversion par le terme ∗coarse blocks, ∗ indiquantce nombre.

2. Modifiez le nombre de parametres a inverser en testant plusieurs valeurs pour size

Qu’observez-vous?

3. Quel est l’effet sur la resolution?

4. Estimez une taille limite (max et min) des cellules pour avoir une inversion ”correcte”.

2.2 Role des facteurs d’amortissement

Afin de stabiliser l’inversion, deux facteurs d’amortissement sont introduits dans le proces-sus : l’amortissement λ (norm damping) et le lissage µ (roughness regularization). Le pre-mier regularise l’expression (ATA)−1AT afin que de petites variations de A ne destabilisepas l’ensemble de l’expression (moindres carres amortis). Le deuxieme introduit un lissagedans tout le modele pour que les variations de bloc en bloc soient moins abruptes.

1. Sans lissage (µ=0.), testez plusieurs valeurs de l’amortissement et observez son ef-fet sur l’inversion. Vous pourrez par exemple tracer le graphe variance = f(λ),relever le nombre d’iterations necessaires a la convergence, observer les modificationsd’amplitudes.

2. Meme question en laissant λ a 0, et en testant plusieurs valeurs de lissage.

3. Deduisez-en des valeurs raisonnables et essayez de les combiner.

2.3 Comparaison entre differents types d’inversion

Cette methode d’inversion (moindres carres amortis sur parametrisation en blocs) a etecomparee avec differentes parametrisations (Fig. 1, Boschi & Dziewonski, 1999).

1. Comparez les differents modeles et discutez de l’effet de la parametrisation sur lesresulats.

2.4 Interpretations

Apres avoir tester plusieurs valeurs de parametres influancant l’inversion, choisissez lesvaleurs qui vous paraissent les meilleures (justifiez votre choix) et affichez vos resultats.Tentez de les interpreter en termes geodynamiques.

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Figure 1: Modeles de vitesse pour les ondes de Rayleigh (75 s). La colonne de gauchecorrespond a des inversions faites avec un lissage plus faible (µ ∼0.1) que pour la colonnede droite (µ ∼1). La premiere ligne correspond a une parametrisation en harmoniquespherique de degre 16, la seconde de degre 40, et la derniere ligne correspond a l’inversionen blocs de 5◦x5◦ (modifie d’apres Boschi & Dziewonski, 1999).

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