Développements et idées

Grégoire Clarté

3 juillet 2017

Ici sont rassemblés l'ensemble des développements prépa-rés pour l'agrégation 2017 ainsi que quelques idées et reexionssur certaines leçons. Étant probabiliste, les résultats d'algèbremanqueront sans doute d'ambition. Il est probable que des co-quilles se soient glissées dans le document, je m'en excuse.

Je tiens à remercier l'ensemble des personnes avec qui j'aitravaillé, directement ou par pdf, Antoine Diez, Aude Le Glu-her, Alexandre Eimer, Gabriel Lepetit, Adrien Laurent, FlorianLemonnier, David Michel, et tous ceux que j'aurai oublié.

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Première partie

Couplages

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Les voyageurs qui reviennent de Sardes parlent des colliers et des pierres quichargent les femmes de Lydie, du sommet de leurs cheveux jusqu'à leurs pieds

fardés.

Les lles de mon pays n'ont ni bracelets ni diadèmes, mais leur doigt porte unebague d'argent, et sur le chaton est gravé le triangle de la déesse.

Quand elles tournent la pointe en dehors cela veut dire : Psyché à prendre.Quand elles tournent la pointe en dedans, cela veut dire : Psyché prise.

Les hommes y croient. Les femmes non. Pour moi je ne regarde guère de quel côtéla pointe se tourne, car Psyché se délivre aisément. Psyché est toujours à prendre.

Pierre Lou¸s, Les Chansons de Bilitis, XV, la Bague symbolique

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Chapitre 1

Algèbre

101 Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et applicationsGroupes paveursRéciprocité quadratique

102 Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.Polygones constructiblesThéorème de structure des groupes abéliens nisTransformée de Fourier rapide

103 Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.Simplicité de An, n ¥ 5.Sous groupes distingués et caractères

104 Groupes nis. Exemples et applications.Simplicité de An, n ¥ 5

Théorème de structure des groupes abéliens nis

105 Groupe des permutations d'un ensemble ni. Applications.Mélange d'un jeu de cartesSimplicité de An, n ¥ 5

106 Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension nie E, sous-groupes de GLpEq. Applications.Images de l'exponentiellePoint xe de Kakutani et groupes compacts

107 Représentations et caractères d'un groupe ni sur un C-espace vectoriel. Exemples.Théorème de Structure des groupes abéliens nisSous groupes distingués et noyaux de caractères

108 Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.SO3pRq est simpleSimplicité de An, n ¥ 5

110 Caractères d'un groupe abélien ni et transformée de Fourier discrète. Applications.Théorème de structure des groupes abéliens nisTransformée de Fourier rapide

120 Anneaux Z nZ. Applications.Théorème de structure des groupes abéliens nisThéorème des deux carrés

121 Nombres premiers. Applications.Réciprocité quadratiqueChevalley-WarningPolygones constructibles

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122 Anneaux principaux. Applications.Algorithme de BerlekampThéorème des deux carrés

123 Corps nis. Applications.Algorithme de BerlekampIrréductibles de Fq

125 Extensions de corps. Exemples et applications.Polygones constructiblesIrréductibles de FqDedekind et Artin

126 Exemples d'équations diophantiennes.Impasse

141 Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.Algorithme de BerlekampIrréductibles de Fq

142 Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.Théorème de Chevalley-WarningAlgorithme de Faddeev

144 Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applicationsThéorème de Chevalley-WarningAlgorithme de Faddeev

150 Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices.Réduction de JordanPoint xe de Kakutani et groupes compacts

151 Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension nie). Rang. Exemples et applications.Algorithme de BerlekampPolygones réguliers constructiblesDéterminant de Cayley-MengerDedekind et Artin

152 Déterminant. Exemples et applications.Ellipsoïde de John-LoewnerDéterminant de Cayley-Menger

153 Polynômes d'endomorphisme en dimension nie. Réduction d'un endomorphisme en dimension nie. Appli-cations.Décomposition de DunfordRéduction des endomorphismes normauxRéduction de JordanAlgorithme de Faddeev

154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimen-sion nie. Applications.Décomposition de DunfordRéduction des endomorphismes normauxRéduction de Jordan

155 Endomorphismes diagonalisables en dimension nie.Décomposition de DunfordRéduction des endomorphismes normaux

156 Exponentielle de matrices. Applications.Images de l'exponentielleÉtude de Opp, qq

5

157 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.Décomposition de DunfordRéduction de Jordan

158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.Méthode du gradient conjuguéSO3pRq

159 Formes linéaires et dualité en dimension nie. Exemples et applications.Théorème de Krein-MilmanTransformée de Fourier rapide

160 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (de dimension nie).Réduction des endomorphismes normauxPoint xe de Kakutani et sous groupes compactsRéduction de Dunford

161 Isométries d'un espace ane euclidien de dimension nie. Applications en dimensions 2 et 3.Groupes paveursPoints extrémaux de la boule unité de LpEq

162 Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.Méthode du gradientDedekind et Artin

170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension nie. Orthogonalité, isotropie. Applications.Ellipsoïde de John-LoewnerRéciprocité quadratique

171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.Point xe de Kakutani et sous groupes compacts de GLnpRqEllipsoïde de John-Loewner

181 Barycentres dans un espace ane réel de dimension nie, convexité. Applications.Méthode de gradient conjuguéPoint xe de Kakutani et groupes compacts

182 Applications des nombres complexes à la géométrie.Impasse

183 Utilisation des groupes en géométrie.Groupes paveursPoint xe de Kakutani et sous groupes compacts de GLn

190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrementMélange d'un jeu de cartesLoi de réciprocité quadratique

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Chapitre 2

Analyse

201 Espaces de fonctions ; exemples et applications.Théorème de Müntz-SzászEspace de BargmannThéorème de Risez-Fisher

202 Exemples de parties denses et applications.Critère de KitaiThéorème de Müntz-Szász

203 Utilisation de la notion de compacité.Convergence de l'EMVThéorème de Lax-Milgram

204 Connexité. Exemples et applications.Impasse

205 Espaces complets. Exemples et applications.Critère de KitaiThéorème de Riesz-Fisher

207 Prolongement de fonctions. Exemples et applications.Prolongement de la fonction ζThéorème de Müntz-Szász

208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.Espace de BargmannThéorème de Riesz-Fisher

209 Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.Équation de la chaleurThéorème de Müntz-Szász

213 Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.Théorème de Lax-MilgramEspace de Bargmann

214 Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et engéométrie.Images de l'exponentielleVan der Pol

215 Applications diérentiables dénies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.Images de l'exponentielleVan der Pol

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218 Applications des formules de Taylor.Moments HamburgerMéthode de LaplaceStabilité en première approximation

219 Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.Convergence de l'EMVMéthode de gradient conjugué

220 Équations diérentielles X 1 fpt,Xq. Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2.Stabilité en première approximationVan der Pol

221 Équations diérentielles linéaires. Systèmes d'équations diérentielles linéaires. Exemples et applications.Stabilité en première approximationVan der Pol

222 Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.Équation de la chaleurThéorème de Lax-Milgram

223 Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples et applicationsGalton-WatsonMéthode de Newton

224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.Méthode de LaplaceStabilité en première approximationMoments Hamburger

226 Suites vectorielles et réelles dénies par une relation de récurrence un1 fpunq. Exemples. Applications à larésolution approchée d'équations.Méthode du gradient conjuguéMéthode de NewtonCritère d'hypercyclicité de Kitai

228 Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et applications.Théorème de CorominasMéthode de Newton

229 Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.Théorème de Glivenko-CantelliModèle de Galton-WatsonEllipsoïde de John Loewner

230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques.Exemples.Théorème de Müntz-SzászFormule sommatoire de PoissonMoments Hamburger

233 Méthodes itératives en analyse numérique matricielle.Méthode du gradient conjuguéDécomposition de Dunford eective

234 Espaces Lp, 1 ¤ p ¤ 8Espace de BargmannThéorème de Riesz-Fisher

235 Problèmes d'interversion de limites et d'intégrales.Inversion de FourierProlongement de la fonction ζÉquation de la chaleur

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236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables.Espaces de BargmannMéthode de Laplace

239 Fonctions dénies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications.Méthode de LaplaceProlongement de la fonction ζ

241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.Théorème de Glivenko-CantelliProlongement de la fonction ζMouvement Brownien

243 Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.Modèle de Galton-WatsonEspace de Bargman

245 Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications.Théorème de Müntz-SzászProlongement de la fonction ζ

246 Séries de Fourier. Exemples et applications.Équation de la chaleurFormule sommatoire de Poisson

250 Transformation de Fourier. Applications.Espace de BargmanInversion de Fourier

253 Utilisation de la notion de convexité en analyse.Méthode du gradient conjuguéThéorème de Krein-Milman

260 Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire.Modèle de Galton-WatsonMouvement BrownienMoments Hamburger

261 Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Exemples et applications.Moments HamburgerInversion de Fourier

262 Modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.Moments HamburgerConvergence de l'EMVMélange d'un jeu de cartesThéorème de Glivenko-CantelliConstruction du mouvement Brownien

263 Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.Mouvement BrownienInversion de Fourier

264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.Mélange d'un jeu de cartesModèle de Galton-Watson

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Deuxième partie

Quelques idées et références sur des leçons

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Il n'est me semble-t-il pas utile d'apprendre par c÷ur desplans et d'espérer les ressortir tels quels le jour de l'agrégation,il sut d'une idée générale des grandes lignes et du nom deslivres que l'on va recopier.

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Chapitre 3

Livres utilisés

Sed modo inquis hunc librum evolvere volo, modo illum.

Sénèque, Lettre à Lucilius II

Je met en gras les livres les plus utiles. Walter Appel, Probabilités pour les non probabilistes : trop complet, trop encombrant, traite de nombreuxsujets en profondeur, de très bonnes références à la physique, fait doublon avec Candelpergher, possède uneannexe qui traite de tous les résultats principaux d'analyse, et répond à certaines questions fondamentales desprobabilités comme qu'est-ce que l'indépendance ? et ça existe une suite de VA iid ? .

Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Raisonnements Divins : des idées de développement, beaucoup de résultatsculturels, rien de très compliqué.

Grégoire Allaire, Analyse numérique et optimisation : référence sur le sujet, conjointement avec le QSS, traitedes EDP de manière plus agréable. Très complet.

Michèle Audin, Géométrie : bonne référence sur toute la géométrie, de nombreuses gures. Vincent Beck, Jérôme Malick, Gariel Peyré, Objectif agrégation : traite de tous les sujets de l'algèbre sanstrop de profondeur, peut être utile lorsque l'on manque d'inspiration.

Michel Benaïm, Nicole El-Karoui, Promenade aléatoire : référence sur les chaînes de Markov, très complet,beaucoup d'exemples, quelques résultats sur le mouvement brownien, avec le modèle de Black et Scholes, bienécrit.

Marcel Berger, Géométrie : utile seulement pour les groupes paveurs. Patrick Billingsley, Probability and Measure : plus complet et complexe que Candelpergher, traite denombreux sujets, démontre entre autre le théorème de Lévy proprement, ainsi que les théorèmes des valeursextrêmes (sur la loi du maximum d'un ensemble de va iid), source complémentaire pour les probabilités.

Haïm Brézis, Analyse fonctionnelle : plus complexe que le Hirsch Lacombe, plus compet aussi, presque touty est démontré.

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Francis Comets, Thierry Meyre Calcul stochastiques et modèles de diusion : absolument inutile pour l'agré-gation, mais utile pour la culture générale, et si l'on veut savoir à quoi sert le mouvement brownien (en faiton peut même résoudre une intégrale stochastique par variation de la constante avec quelques outils basiques,mais c'est à mon avis ridicule de faire cela à l'agreg).

Benoît Cadre, Catherine Vial, Statistique mathématique : contient tout ce qu'il faut savoir en sta-tistiques pour l'agrégation, preuves simples, de bons exemples, ma source principale (voire unique) sur lesstatistiques.

Josette Calais, Éléments de théorie des groupes : très peu agréable à lire, préférer le Jeanneret Linnes. Philipe Caldero, Jérôme Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie : très agréable,de très bons résultats de topologie matricielle, référence sur ces sujets.

Bernard Candelpergher, Théorie des Probabilités : très complet, Candy a apparemment quelquesobsessions (sur la transformée de Fourier et les calculs) mais il est très agréable à lire, ma source principalepour les probabilités.

Bernard Candelpergher, Calcul intégral : toujours les mêmes obsessions, ma source principale pour lesrésultats d'intégrales, complet et abordable, plein d'exemples.

Jean-Claude Carrega, Théorie des corps : très bonne explication sur la construction à la règle et au compas,le seul usage que j'en ai fait.

Carmen Chicone, ODE with Applications : traite entièrement le sujet des ODE qui habituellement ne l'estpas.

Philippe Ciarlet, Analyse numérique matricielle : la référence sur la question, très utile pour tous ces résultats,très complet.

Mohamed El Amrani, Suites et séries numériques : ma référence sur le sujet. Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas, Oraux X-ENS : des exemples classiques, rien de plus. Xavier Gourdon, Les maths en tête, algèbre et analyse : livre de prépa, très taupinesque, rien de plus,bonne base pour de nombreuses choses, mais peu complet par rapport aux livres spécialisés.

Joseph Grione, Algèbre linéaire : ma référence sur l'algèbre linéaire en dehors de la réduction, trèsagréable.

Bertrand Hauchecorne, Les contre-exemple en mathématiques : peu pratique à mon goût, certains en sont desacionados, pas moi.

Jean-Baptiste Hirriart-Urruty, Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithm : référencesur la convexité, malheureusement un peu trop complet.

Francis Hirsch, Gilles Lacombes, Éléments d'analyse fonctionnelle : complet et abordable sur toute l'analysefonctionnelle, et donc hilbertienne, référence sur ces sujets.

Alain Jeanneret, Daniel Linnes, Invitation à l'algèbre : référence sur toute l'algèbre non linéaire endehors des représentations, bien écrit, des exemples et des références aux autres domaines des maths.

Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés diérentielles : bon livre sur le sujet, donc utilisé pour une oudeux leçons.

Peter Lax, Functionnal Analysis : utilisé pour quelques développements, référence historique sur le sujet. Peter Lax, Linear Algebra : utilisé pour quelques développements, on pourrait sans doute en faire un usageplus intensif. Notons qu'il est dans la bibliothèque de l'agreg, et qu'il n'est pas très couru.

Roger Mansuy, Rached Mneimné, Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes : la référenceabsolue sur la réduction, de nombreuses leçons sont en fait des chapitres du livre, on pourra cependant regretterl'absence de résultats sur des corps autres que R ou C (cependant, on peut chercher ces résultats dans d'autreslivres, ils sont en général semblables), il nous explique aussi comment mettre des probabilités dans les leçonsde réduction. C'est le livre que j'ai recopié presque trait pour trait lors de mon oral (sur la leçon sous espacesstables).

Karl Petersen, Ergodic Theory : démontre les résultats de base, donne des exemples, donne tous les outilspour mettre de l'ergodicité dans sa vie.

Daniel Perrin, Cours d'algèbre : succin, traite de toute l'algèbre non linéaire en dehors des représentations,habituellement considéré comme la référence, Jeanneret Linnes est plus humain.

Gabriel Peyré, L'algèbre discrète de la transformée de Fourier : excellente référence sur la théoriedes représentations, unique référence sur le sujet, adaptée aux non algébristes.

Alo Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri Méthodes numériques : référence absolue sur le sujet, pastoujours bien écrit cependant.

Hervé Queelec, Topologie : complet et abordable sur la topologie, contient la majorité des résultats, lespreuves sont correctes, manque un peu d'exemples.

Hervé et Martine Queelec, Analyse complexe et applications : découvert en n d'agrégation, peut sans doute

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remplacer tous les autres livres d'analyse complexe, bien écrit, agréable, comporte même une partie probabilité. Edmond Ramis, Claude Deschamps, Jacques Odoux, Cours de mathématiques spéciales : le Gourdon de nosparents, introuvable et presque inutilisé à part quelques résultats sur les polynômes à plusieurs indéterminées.

François Rouvière, Petit guide de calcul diérentiel : très succin, les exercices font de bons exemples outhéorèmes, néanmoins il est possible de trouver de meilleurs résultats en cherchant dans d'autres livres,pratique tout de même.

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe : ponctuellement utilisé, mais d'autres livres démontrent les résultatsprincipaux, traditionnellement considéré comme une référence.

Felix Ulmer, Théorie des Groupes : contient de nombreux exemples, c'est son principal intérêt d'ailleurs. John B. Walsh, Knowing the Odds : très simple sur les probabilités, très abordable, plein d'exemples, construitle mouvement brownien, possède un petit passage très bien fait sur le dénombrement, ne parle pas des résultatscompliqués.

David Williams, Probability with Martingales : référence sur les martingales, pour tous les résultats deconvergence de celles-ci, démontre Radon-Nikodym grâce aux martingales (de manière constructive dans uncas particulier, puis se ramène au cas général par un artice), problème amusant des moutons de Mabinogion.

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Chapitre 4

Analyse

Odi et amo. Quare id faciam, fortasse requiris.Nescio, sed eri sentio et excrucior.

Catulle, Poésie LXXXV

201 : Espaces de fonctions ; exemples et applications

I Espaces de fonction régulières : fonctions continues, C1, lipschitziennes, Ascoli, parties denses (Müntz-Szász,Weierstrass), fonctions holomorphes... Gourdon, Rudin, H et M Queelec.

II Espaces Lp : dénition, propriétés, uniforme intégrablilité, implications dans le cas des mesures de probabilité,théorème de Riez-Fisher, L2 est un hilbert, application à l'espérance conditionnelle, théorème ergodique. Brézis,Hirsch Lacombe, Karl Petersen.

203 : Utilisation de la notion de compacité

Passé dessus lors d'oraux blancs, le plan qui m'a été conseillé est un plan qui mélangerait les dénitions sur lacompacité (qui ne doivent pas être la partie principale de la leçon) et les résultats ; à cet eet j'ai préféré organiserla première partie en donnant les deux dénitions avec chacune ses usages.

I Conséquences des caractérisations : caractérisation par sous-recouvrement, sert à uniformiser des résultats,application à Heine. Caractérisation par sous-suites convergentes, lien avec les espaces complets. Queelec.

II Fonctions continues sur un compact : l'image d'un compact par une fonction continue est un compact, théorèmesde point xe, existence d'extrema, application à consistance de l'EMV, ellipsoïde de John-Loewner.

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III Cas hilbertien : compacité faible, opérateurs compacts (prendre un exemple d'opérateur à noyau). Hisch La-combe.

213 : Espaces de Hilbert

I Généralités : espaces préhilbertiens, dénition d'un hilbert, conséquences de la projection sur un sous espacefermé, application à la régression linéaire ou pas, moindres carrés, dualité dans les hilbert (th de représentationde Riesz). Hirsch Lacombe.

II Bases hilbertiennes : dénition, exemple des polynômes trigonométriques, exemple des fonctions de hermite,espace de Bargmann. Candelpergher, Hisch Lacombe.

III Opérateurs dans les hilbert : opérateurs autoadjoint, opérateurs compacts, contre exemple à leur diagonalisationdonné par Bargmann (on diagonalise la transformée de Fourier).

214 et 215 : Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions impli-cites, exemples et applications en analyse et en géométrie. Applicationsdiérentiable dénies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.

Sans doute à tort je considère ces leçons comme très semblables. Je condense donc la première dans une souspartie de la seconde, on peut simplement rajouter dans la 214 des considérations sur la dimension innie.

1. Dérivabilité : dénition, diérents exemples, dénition C1 puis C1 équivaut à avoir un DL1, ce n'est pas lecas pour C2 ; dérivées partielles, contre-exemples classiques. Gourdon, Rouvière.

2. Théorème des fonctions implicites, théorème d'inversion locale : dénitions dans le Rouvière, application à laphysique (périhélie de Mercure), les deux développements (images de l'exponentielle et Van Der Pol), courbesparamétrées, exemple du cercle.

3. Cas réel : théorème des accroissements nis, petite digression avec le cas de la dimension supérieure, Darboux.Gourdon.

218 : Applications des formules de Taylor

I Formules de Taylor : formule de taylor généralisée (Candelpergher de probabilités, assez inutile, mais amusant),formules brutes. Gourdon.

II Applications en analyse : développement limités, séries entières, DSE et reste dans la formule de Taylor (voirGourdon), étude des suites récurrentes (Rouvière).

III Analyse numérique : intégration numérique, recherche de points xes (Newton, tangente). Demailly.

IV Applications en géométrie : caractérisation des extremums par la hessienne, convexité, étude de courbes para-métrées, des points de rebroussement.

V Applications en proba : TCL, théorème des moments de Hamburger, on peut dire que le TCL correspond à undéveloppement asymptotique à l'ordre 1, et on peut regarder ce que dit Candelpergher sur le développementde Tchébyche-Hermite, mais comme aucune preuve n'est faite ne pas en parler est plus sérieux.

219 : Extremums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et ap-plications.

I Existence et unicité théoriques : sur un compact, avec de la coercivité, consistance de l'EMV, faire remarquer surun ensemble ni, unicité avec la convexité, application à John-Loewner, principe du maximum pour les fonctionsholomorphes, cas hilbertien Lax-Milgram (pour la caractérisation variationnelle), problème des moindres carrés.Hirsch-Lacombe, Gourdon, Amar Mathéron.

II Étude des minima : étude locale avec les DL, lemme de Morse, cas des extrema liés.

III Recherche numériques : méthodes de gradient, méthodes de newton, recherche sur les fonctions convexes (al-gorithme du simplexe ?), algorithmes stochastiques avec le recuit simulé (Benaïm El Karoui le donne explicite-ment) préciser qu'il n'y a pas de résultat général sur sa convergence. Rouvière, QSS.

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220 et 221

Le Gourdon donne de bons résultats de base, Chicone est très complet (presque trop), inclure l'étude de portraitsde phase qui sont fait dans le Demailly.

222 : Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires.

Leçon qui demande beaucoup de culture. Je propose un plan qui se concentre autours des trois grande famillesd'EDPL. La plupart de ces équations sont dans le Evans, seuls les résultats numériques n'y sont pas, voir Allaire.Se référer au cours de François Castella pour tout savoir des équations hyperboliques, son cours étant sans doute lemeilleur sur la question.

On peut se référer à l'excellent travail d'Antoine Diez sur la question.

I Introduction : classication des équations. Evans.

II Équations hyperboliques : équation de transport (en réalité elle n'est pas hyperbolique mais elle se comportecomme), méthode des caractéristiques, équation des ondes, origine et dessin, schémas numériques.

III Équation de la chaleur : sa résolution dans le cas périodique, cas non périodique (voir Candelpergher), schémasnumériques. Evans, Allaire, Candelpergher.

IV Équation elliptiques : équation de Laplace, Lax Milgram.

On pourrait aussi parler de Schrödinger.

223 : Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. Exemples etapplications

Le El Amrani est très bien fait et très complet dessus. On peut parler, comme dans la leçons sur les suitesrécurrentes, du théorème de récurrence de Poincaré et d'ergodicité, c'est même une bouée d'oxygène dans cemonde désespérément déterministe, je parle aussi de chaînes de Markov et de martingales (enn, en peu de lignes).On peut trouver des exemples dans les Oraux X-ENS.

224 : Exemples de développement asymptotique de suites et de fonctions.

Il est très important d'insister sur la notion d'échelle de comparaison, et de ne pas se limiter aux DL. Il existedans le Rombaldi des résultats sur les DA de suites récurrentes, on peut aussi parler du TCL. De nombreux exemplesexistent dans les livres de prépa.

226 : Suites vectorielles et réelles dénies par une relation de récurrenceun1 fpunq. Exemples. Application à la résolution approchée d'équa-tions.

On peut parler de beaucoup de choses en théorie ergodique.

I Généralités, études asymptotiques : dénition, quelques exemples, monotonie de telles suites, tout ce qu'onvoit en taupe, DA de ces suites selon le DA de la fonction, quelques études classiques d'équivalent. Gourdon,Rouvière, Oraux X-ENS

II Étude des orbites : critère d'hypercyclicité de Kitai, récurrence de Poincaré, théorème ergodique, applicationaux chaînes de Markov. Petersen.

III Analyse numérique : méthode de newton, de gradient, de descente, quelques résultats de vitesse. QSS.

IV Cas probabiliste : parce que l'inconnu c'est ce qui nous fait vivre, chaines de Markov, marches aléatoires.Benaïm El-Karoui.

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229 : Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.

Le Hirriart Urruty Lemaréchal est très bien et très complet sur la convexité. Sur les fonctions monotones, on penseau théorèmes de Dini ainsi que Helly, qui ouvre sur Prokhorov et donc sur de nombreux résultats fondamentaux enprobabilité, c'est un résultat de compacité, les analystes aiment la compacité.

I Fonctions monotones : def monotonie, limite monotone, Dini, fonction de répartition, inverse généralisé, appli-cation à la génération de variables aléatoires de toute loi, théorème de Glivenko-Cantelli. Gourdon, Nourdin,Candelpergher.

II Fonctions convexes : dénition, exemples standards, existence d'un minimum, méthode de gradient, résultatsde dérivabilité, fonction génératrice des moments, Galton Watson. Gonnord Tosel, HUL, Candelpergher.

230 : Série de nombres réels ou complexes. Comportement des restes oudes sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Tous les résultats de prépa sont dans le Gourdon. On trouvera la dénition de la convergence au sens d'Abeldans le Candelpergher, il peut être intéressant de traiter des diérents types de convergence en lien avec les noyauxde Fourier (mais c'est limite hors sujet). L'El-Amrani donne aussi de bons résultats.

233 : Méthodes itératives en analyse numérique matricielle.

Tout est dans le Ciarlet, à recopier dans l'ordre.

I Norme matricielle : dénition, rayon spectral, notion de conditionnement.

II Résolution de système linéaire : résolution directe dans le cas triangulaire supérieur, méthode de Gauss, facto-risation LU, factorisation QR, méthode de Gauss Seidel, Jacobi, relaxation, méthodes de gradient.

III Calcul de puissances et d'exponentielles : diagonalisation, exponentiation rapide, Dunford eectif.

IV Recherche des valeurs propres : résultat de Gershgörin, méthode de la puissance.

236 : Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégralesde fonctions d'une ou plusieurs variables.

Leçon très barbante, on n'oubliera pas de parler de la méthode de Monte Carlo, qui a l'avantage de ne nécessiteraucune autre condition sur la fonction à intégrer que l'intégrabilité. On peut aussi parler de MCMC, ce qui permetde parler de chaines de Markov à espace d'état continu.

239 : Fonctions dénies par une intégrale dépendant d'un paramètre.Exemple et applications.

I Régularité et approximations : toute la convergence dominée, résultats de dérivabilité sous intégrale, Fubini,holomorphie sous intégrale, intégration des relations de comparaison (si la place le permet), méthode de Laplaceet phase stationnaire, et col si l'on veut. Candelpergher, Rouvière.

II Quelques intégrales et transformées célèbres : fonctions Γ, ζ, son prolongement, produit de convolution etrégularisation. Candelpergher.

III La transformée de Fourier : la dénition sur L1, injectivité non surjectivité, quelques dessins, Riemann Lebesgue,cas probabiliste : on intègre sur une mesure quelconque, quelques exemples, théorème de Levy, moments deHamburger. Candelpergher, Billingsley, Gourdon.

241 : Suites et séries de fonctions. Exemples et contre exemples.

On peut faire une partie sur les résultats de compacité, comme Ascoli et Helly. On peut faire toute une partiesur les variables aléatoires et donc la convergence de mesures, parler de la convergence des martingales peut êtreamusant.

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246 : Séries de Fourier. Applications.

On peut organiser les résultats de convergence autours des trois noyaux et donc faire le lien avec les modes deconvergence des séries, c'est ce que fait Candelpergher. Gourdon fait presque tout sinon.

250 : Transformation de Fourier. Applications.

Cette leçon est une concaténation de la 239 et de la 261, principalement.

253 : Utilisation de la notion de convexité en analyse.

I Parties convexes, fonctions convexes : dénitions et exemples, projection sur un convexe dans le cas hilbertien,hyperplans d'appui, séparation des convexes, Krein Millman. HUL, Gonnord Tosel.

II Inégalités de convexité : inégalité d'Young, arithmético-géométrique, de Kantorovitch, Jensen, Hölder, Min-kowski. Rouvière, QSS, HUL.

III Convexité et optimisation : minimisation de fonctions convexes, espaces convexes, Lax Milgram, algorithmesdivers (simplexe, gradient à pas optimal, conjugué), convexité et points xes (on peut même parler de chaînesde Markov grâce à Perron Frobenius il me semble). HUL, QSS, Gourdon (ponctuellement).

260 : Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire. Exempleet applications.

Le concept de mesure image et le théorème de transfert sont une base théorique nécessaire je pense, mais pasau point d'en faire une partie.

I Espérance et moments : dénition de la mesure image, théorème de transfert, cas discret (somme) et à densitépar rapport à Lebesgue (intégrale), quelques calculs, même si c'est pas très intéressant, dénition de la variance,donner l'utilisation qu'on en fait en physique, inégalités classiques (Markov, Tchébyche). Candelpergher,Appel.

II Espérance et indépendance : dénition de l'indépendance, exemples, réciproque fausse, covariance, cas desvecteurs gaussiens. Candelpergher.

III Transformées : fonction caractéristique, théorème de Lévy, son inversion, fonction génératrice des moments(c'est la transformée de Laplace), inégalité de Hoeding. Candelpergher, Cadre Vial.

IV Espérance et convergence : convergence en loi, une implication, la réciproque plus complexe dans Billingsley(moments de Hamburger), convergence Lp, dénition, uniforme intégrabilité. Candelpergher, Billingsley.

V Espérance conditionnelle : dénition, c'est la solution d'un problème de minimisation, application aux martin-gales. Candelpergher, martingales dans Williams.

261 : Fonction caractéristique d'une variable aléatoire. Exemples et ap-plications.

I La fonction caractéristique : dénition, quelques cas particuliers, cas d'une v.a. à valeurs sur un réseau, cas àdensité (c'est Fourier). Candelpergher connait tout.

II De la fonction caractéristique à la loi : théorème d'inversion, formules diverses dans les cas particuliers, carac-térisation de l'indépendance. Candelpergher.

III Convergence en loi et fonction caractéristique : TCL, théorème de Lévy, théorème des moments de Hamburger,théorème de Donsker (admis). Candelpergher, Billingsley, Comets Meyre.

19

262 : Modes de convergence d'une suite de va. Exemples et applications.

La meilleure leçon, on peut allègrement plonger dans les problèmes philosophiques. Parler en introduction deBorel Cantelli, qui sert absolument à tout.

I Héritage de la théorie de la mesure : convergence presque sûre et convergence en probabilité, dénitions, desexemples, les implications, loi des grands nombres faible et forte, théorème de Kolmogorov. Candelpergher etBillingsley.

II Convergence dans les Lp : dénition, convergence dominée, uniforme intégrabilité, unicité de la limite, martin-gales et leurs convergences. Candelpergher et Billingsley, Williams.

III Convergence en loi : dire que c'est le plus gros pas conceptuel, on étudie en fait des convergence de mesures,théorème de portemanteau, théorème de représentation (on peut construire une suite de va qui convergent ps),cette convergence est mesurable (distance de Prokhorov, non décrite précisément), cas des va discrètes, distanceen variation, exemple des chaînes de Markov et du mélange de jeu de cartes ; TCL et évènements rares, leursutilisations en statistique, construction du mouvement brownien, on peut parler à l'oral du théorème d'extensionde Kolmogorov. Candelpergher, Billingsley.

263 et 264 : Variables aléatoires discrètes (resp. densité). Exemples etapplications

Leçons assez peu intéressantes, les v.a. discrètes étant des v.a. à densité par rapport à la mesure de Lebegues,on condense les trois leçons précédentes en ne conservant que les résultats intéressant. On peut aussi dans le casà densité faire remarquer que la formule de Bayes fait intervenir des intégrales peu pratiques et que c'est une desraisons qui a empêché le développement des statistiques bayesiennes jusqu'à il y a quelques décennies.

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Chapitre 5

Algèbre

Mentitur qui te vitiosum, Zoile, dicit :non vitiosus homo es, Zoile, sed vitium

Martial, Épigramme XCII

101 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemple et applications.

Jeanneret Linnes y consacre une partie, on peut aussi trouver toute un chapitre dans le Caldero Germoni. Nepas oublier les résultats sur les Sylow, Jeanneret Linnes y consacre toute une partie.

104 : Groupes nis. Exemples et applications.

Jeanneret Linnes et Ulmer permettent de trouver une bonne partie des résultats. On commence par parlerd'ordre, d'exposant d'un groupe, et on donne ensuite de nombreux exemples. Les applications peuvent se faire audénombrement, comme dans Jeanneret Linnes, mais aussi à l'étude de groupes nis d'automorphismes d'un espacevectoriel sur un corps ni, voir Perrin. On peut aussi parler des groupes paveurs, bien qu'innis, leurs partie linéaireest nie.

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106 : Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension nie E, sousgroupes de GL(E). Applications.

On trouve des résultats dans le Caldero Germoni sur les sous groupes, le Perrin donne le détail des groupesdérivés et des centres. Une très bonne application est constituée par les représentations de groupe. On trouve celadans le Peyré. Le Mansuy donne des résultats de plus bas niveau.

107 : Représentation et caractère d'un groupe ni sur un C-espace vec-toriel.

Recopier le Peyré, penser à faire une partie dans le cas abélien. Peyré traite des représentations dans un deschapitres naux, mais parle plus simplement du cas abélien dans le premier chapitre.

108 : Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Demande beaucoup de culture générale, ont trouve des exemples bien traités dans le Ulmer et le Perrin.

110 : Caractères d'un groupe abélien ni et transformée de Fourier dis-crète. Applications.

Recopier les premiers chapitres du Peyré.

125 : Extensions de corps. Exemples et applications.

Jeanneret Linnes contient presque tout, dans la partie corps, parler de multiplicativité des degrés permet de seramener à de l'algèbre linéaire (un peu). La théorie de la construction à la règle et au compas est traitée dans lePerrin, le Jeanneret Linnes, et Carrega.

141 : Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture.Exemple et applications.

Gozard, Théorie de Galois, revient sur les notions de racine, Jeanneret Linnes traite des corps de rupture et dedécomposition. Berlekamp est fait dans l'Objectif Agrégation.

142 : Algèbre des polynômes à plusieurs indéterminées. Applications.

Ramis Deschamps Odoux consacre une partie à ce sujet, c'est un des seuls endroits où l'on en trouve une, larecopier. Leçon dicile de par le manque de références. Les géomètres algébristes sont encouragés par le jury àparler de résultats bizarre au nom allemand.

144 : Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exempleset applications.

Dénitions de racine dans Gozard, on peut parler d'extension de corps, de degré d'un nombre algébrique, detranscendance, dans Jeanneret Linnes. Les fonctions symétriques se trouvent dans le Ramis Deschamps Odoux.

150 : Exemples d'actions de groupes sur l'espace des matrices.

Un chapitre porte ce titre dans le Caldero Germoni, tout y est, en cas de doute on peut consulter le Mansuy quiparle de réduction.

22

151 : Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimen-sion nie). Rang. Exemples et applications.

Le Gourdon rassemble les résultats principaux, se reporter au Grione pour plus de précision. On peut parlerd'extension de corps grâce au Jeanneret Linnes, cela fait un bon exemple. Beaucoup de personnes font une partiesur les récurrence sur la dimension, je trouve cela un peu articiel, mais c'est pratique pour mettre de nombreuxrésultats.

152 : Déterminant. Exemples et applications

La dénition par les formes n-linéaires alternées est donnée dans le Gourdon. Une autre dénition est donnéepar le Grione. Lax donne une dénition par le volume. L'interprétation en tant que volume ouvre de nombreusesperspectives, comme l'interprétation de la conservation de quantités par des équations de transport, on peut cherchercela dans le Allaire.

153 : Polynômes d'endomorphismes en dimension nie. Réduction d'unendomorphisme en dimension nie. Applications.

Gourdon donne les dénitions des polynômes d'endomorphismes. Mansuy fait tout le reste. On peut chercherdans le Caldero Germoni un point de vue plus Groupe-théorique.

154 : Sous espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endo-morphisme de dimension nie d'un espace vectoriel de dimension nie.Applications.

Le Mansuy comporte un chapitre ayant ce titre. Le recopier, penser à la partie "développements" du livre. Sicela ne sut pas on peut chercher des exemples dans le Gourdon, ou dans les Oraux X-ENS. La partie réduction desendomorphismes normaux vient du Gourdon ou du Grione (je préfère le Gourdon). On peut terminer en parlantde matrices irréductibles et donc de Perron Frobenius et de chaînes de Markov, c'est ce que le Mansuy fait dans lesderniers chapitres. C'est la leçon que j'ai faite à l'oral.

155 : Endomorphismes diagonalisables en dimension nie.

Recopier le Mansuy, on peut chercher dans le Grione pour compléter les résultats sur des corps nis. Desapplications se font en étude des équations diérentielles, on peut donc parler de théorème de stabilité.

156 : Exponentielle de matrices. Applications.

Gourdon la dénit, on peut trouver les principales propriétés dans le Caldero Germoni, ainsi que de nombreuxexemples. On peut parler de chaînes de Markov en temps continu et d'équations diérentielles, en eet on a dans lesdeux cas aaire à des semi-groupes, qui sont dont de la forme texpptAq, t P Ru. On peut aussi parler de théorèmed'inversion locale, pour traiter la surjectivité de l'exponentielle matricielle.

161 : Isométries d'un espace ane euclidien de dimension nie. Applica-tions en dimension nie.

L'Audin donne de bons résultats de bases et dénitions, d'un grand secours sur cette leçon. Les groupes paveursont toute leur place ici, et ce peut être le moment de s'interroger sur la notion d' être conjugué dans Is .

23

161 : Systèmes d'équations linéaires ; opérations élémentaires, aspectsalgorithmiques et conséquences théoriques.

Grione donne toute la théorie. On trouve la dénition des grands types de matrices représentant les opérationsdans le Perrin. Le cadre algorithmique est fait dans le Ciarlet, que l'on recopie dans l'ordre sans vergogne.

170 et 171 : Formes quadratiques

Le Gourdon donne de bons résultats. La diérence essentielle entre ces deux leçons est la dimension, en eet endimension nie la dénition par polynôme homogène est accessible et plus simple. On trouvera d'autres résultatsdans le Caldero Germoni, et le Grione.

181 : Barycentres dans un espace ane réel de dimension nie, convexité.Applications.

Pour la convexité on se reporte à HUL. Les dénitions des barycentres sont faites dans le Audin, mais c'est assezpeu concluant, on peut trouver sans doute une meilleure référence. Leçon erayante.

183 : Utilisation des groupes à la géométrie.

Si l'on veut paraître intelligent, on peut dire que la géométrie peut être dénie de trois manières, la premièrec'est avec les axiomes d'Euclide, la deuxième, avec la géométrie vectorielle et l'algèbre linéaire ; la troisième, qui nousintéresse, c'est de la considérer comme un ensemble d'objets sur lesquels agit un groupe. Par exemple, la géométrieane c'est l'ensemble du plan sur lequel on fait agir les isométries anes. De même pour les formes quadratiques,qui sont des ensembles qui sont préservés par les groupes Opp, qq.

On trouve des résultats dans le Audin et le Caldero Germoni, on peut aussi parler de la construction des anglesà la règle et au compas. On n'oubliera pas de parler de la dénition des groupes diédraux.

190 : Méthodes combinatoires, problème de dénombrement.

Les livres de probas, comme le Walsh consacrent généralement une petite partie à cela. Je n'ai pas de référencepour les dénitions de base, certains se reportent à De Biasi. Le Jeanneret Linnes consacre une partie au dénom-brement par actions de groupes (le Caldero Germoni aussi), plus précisément au dénombrement d'objets colorés.Ne pas oublier de parler du théorème des tiroirs et des chausettes.

24

Troisième partie

Développements

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Saattanen takoa sammon, kirjokannen kalkutellajoutsenen kynän nenästä, maholehmän maitosesta,

ohran pienestä jyvästä, kesäuuhen untuvasta,kun olen taivoa takonut, ilman kantta kalkuttanutilman alkusen alutta, riporihman tehtyisettä.

Je saurai forger un Sampo,Façonner le couvercle ornéAvec une plume de cygne,

Le lait d'une vache brehaigne,Un petit grain d'un épi d'orge,

Quelques poils d'une peau d'agneau,Car j'ai jadis forgé le ciel,Battu le couvercle de l'air

Sans avoir la moindre matière,Pas le plus petit bout de l

Elias Lönnrot, Kalevala, Kymmenes runo,traduction de Jean-Louis Perret

26

Chapitre 6

Analyse

Verum enim dicitur secundum comparationem entis ad intellectum. Sed primacomparatio qua intellectus comparatur ad res, est secundum quod format

quidditates rerum, concipiendo denitiones earum. Ergo in ista operationeintellectus principalius et prius invenitur verum.

Thomas d'Aquin, Tertio quaeritur utrum veritas sit tantum in intellectucomponente et dividente

6.1 Consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance

Leçons : 203 219 262Source : Cadre VialCe résultat est presque uniquement théorique (on ne peut par exemple pas l'appliquer pour un échantillon de

loi Upr0, 1sq, ou Bppq), cependant il permet de justier que sous certaines conditions le principe de vraisemblanceest correct, et en ce sens il permet de justier les principes Bayesiens (si l'on veut faire cultivé).

Théorème. Soit pΩ,F , X,H,P, tPbnθ , θ P Θuq un modèle statistique identiable, avec Θ compact. Alors si :

1. @x P H, Lpx, q est C0 sur Θ ;

2. @θ P Θ, DV voisinage de θ et H P L1pPθq tel que supαPV | lnpLp, αqq| ¤ H

L'estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) θ de pHn, tPbnθ , θ P Θuq est consistant

On pose pX1, . . . , Xnq Pbnθ , et Lnpx1, . . . , xn; θq la vraisemblance du modèle.

Soit α P Θ on dénit :

27

Unpαq 1

nlnLnpX1, . . . , Xn;αq 1

n

n

i1

lnLpXi, αq

Et :

Upαq EθrlnLp, αqsUnpθnq supΘ Un et donc, par la Loi forte des grands nombres : @α P Θ, Un ÝÑ U en probabilité.

Si la convergence ci-dessus était uniforme i.e. supΘ |UnU | PθÝÑ 0. Alors, comme | supΘ UnsupΘ U | ¤ supΘ |UnU |, on a :

Unpθnq supΘUn

PθÝÑ supΘU

Par les deux hypothèses de l'énoncé, on a par convergence dominée, U P C0. Or par compacité de Θ il existe t P Θtel que Uptq supΘ U . Or l'information de Kullback-Leibler Kpt, θq Upθq Uptq Upθq supΘ U infΘKp, θq. Et

Kpθ, tq 0 ô θ t.

Et donc par la convergence uniforme et unicité de la limite : Unpθnq PθÝÑ Upθq.

Or, 0 ¤ Kpθn, θq Upθq Upθnq ¤ |Upθq Unpθnq| supΘ |Un U |. Soit ε ¡ 0, α ÞÑ Kpα, θq est continue,dénie sur Θ et ne s'annule qu'en θ donc : Dγ ¡ 0 tel que si α P Θ est tel que α θ ¥ ε, alors Kpα, θq ¥ γ.

Et donc : lim supnÑ8 Pθpθn θ ¥ εq ¤ lim supnÑ8 PθpKpθn, θq ¥ γq 0 ; i.e. θnPθÝÑ θ.

Montrons la convergence uniforme de Un vers U en probabilité.

Soit η ¡ 0 assez petit, on dénit, pour x P H, hpx, ηq supαβ¤η | lnLpx, αq lnLpx, βq|.Soit ε ¡ 0, comme hp, ηq ¤ 2H, H P L1pPθq et comme hpx, ηq ÝÑ

ηÑ00, @x P H ; on a Eθrhp, ηqs ¤ ε

3 par convergence

dominée pour un certain η. Dans la suite, on xe η à cette valeur.On recouvre ensuite Θ compact par des boules de rayon η : Bpθj , ηq Bj . Alors on a :

supΘ|Un U | max

jsupBj

|Un U |

¤ maxj

supBj

|Un Unpθjq| maxj|Unpθjq Upθjq| max

jsupBj

|Upθjq U |

¤ 1

n

n

i1

hpXi, ηq maxj|Unpθjq Upθjq| Eθrhp, ηqs

Et Eθrhp, ηqs ¤ ε3, d'où :

PpsupΘ|Un U | ¥ εq ¤ Pθ

1

n

n

i1

hpXi, ηq maxj|Unpθjq Upθjq| ¥ 2ε

3

¤ P

1

n

n

i1

hpXi, ηq ¥ ε

3

Pθ

maxj|Unpθjq Upθjq| ¥ 2ε

3

Or, par la loi forte des grands nombres :

maxj|Unpθjq Upθjq| PθÝÑ 0 et et

1

n

n

i1

hpXi, ηq PθÝÑ Eθrhp, ηqs ¤ ε

3

Et donc :

limnÑ8Pθ

supΘ|Un U | ¥ ε

0

28

Information de Kullback-Leibler

Dénition. Le modèle est dominé par µ. L'information de Kullback-Leibler est pour α et θ deux paramètres :

Knpα, θq Eθln

Lnp, αqLnp, θq

Propriété. On a :

Knpα, θq ô α θ

Démonstration. On a déjà : Knpθ, θq 0.Supposons que α β, la fonction t ÞÑ lnptq est convexe sur R. On a donc par Jensen :

Knpα, θq »Hn

ln

Lnp, αqLnp, θq

dPθ ¥ ln

»Hn

Lnp, αqLnp, θq dPθ

ln pLnp, αqq dµ

Puisque dPθ Lnp, θqdµ.

Or,³Hn Lnp, αq dµ PαpHnq 1 ñ Knpα, θq ¥ 0.

L'information est donc nulle dans lorsqu'il y a égalité dans Jensen, or la fonction considérée est strictementconvexe, et donc :Il existe C P R tel que Lnp, αq CLnp, θq, Pθ p.p. et donc pour tout borélien A Hn l'on a :

PαpAq »A

Lnp, αq dµ »A

Lnp, αqLnp, θq dPθ C PθpAq

Ce qui implique C 1 (en prenant l'espace entier) et donc Pθ Pα. On conclut par identiabilité.

6.2 Construction du mouvement Brownien

Leçons : 241 260 262 263Source : Mörters, Peres Brownian motion, Walsh Knowing the oddLe mouvement brownien a été l'une des premières modélisations des mouvements erratiques (Brown a observé

le mouvement d'un grain de pollen), notre construction est très accessible mais ce n'est pas la principale, tradition-nellement, on construit directement la loi de probabilité des mouvements browniens (donc une loi sur les fonctionscontinues), appelée mesure de Wiener par le théorème d'extension de Kolmogorov (voir, Billingsley). En réalité, lemouvement erratique d'une particule est plus précisément modélisée par l'équation de Langevin qui fait intervenirl'intégrale stochastique (on considère que ce sont les chocs qui sont browniens, et donc c'est l'intégrale de ceux-ciqui interviennent). La construction de l'intégrale stochastique est aussi issue du mouvement brownien, il est toutà fait possible de parler de l'intégrale stochastique dans des cas simple, c'est à dire ce que David Williams appelle"martingale transform", où l'intégration n'a pas les problèmes de discontinuité du mouvement brownien.

Dénition. Un processus stochastique tBptq, t ¥ 0u est un mouvement Brownien standard si : Bp0q 0 ; les incréments du processus sont indépendant : c'est à dire, pour tous temps t1 ¤ ¤ tn, les incrémentsBptnq Bptn1q, . . . , Bpt2q Bpt1q sont indépendants ;

pour tout temps t ¥ 0 les incréments Bpt hq Bptq suivent une loi N p0, hq ; presque sûrement t ÞÑ Bptq est continue.Montrons maintenant son existence, sur r0, 1s, il sura ensuite de recoller plusieurs mouvements ainsi construits.Notons Dn les dyadiques de rang n (c'est à dire les nombres de la forme k2n, k P t1, . . . , 2nu) et D

nDn.On se place sur pΩ,A,Pq un espace probabilisé.

Dénissons les fonctions tentes de Schauder par :

fn,kptq $&%

2pn2q2 if t pk 12q2n0 if t Rsk2n, pk 1q2nrlinaire entre

29

On se donne une famille X, pXn,kqn,k une famille de v.a. N p0, 1q i.i.d.Dénissons les fonctions Fnptq pour tout n et pour tout t par :

Fnptq 2n1¸k0

Xn,kfn,kptq.

Alors, presque sûrement, la série suivante converge uniformément sur r0, 1s.

Bt tX 8

k0

Fnptq.

Dénissons pour m ¥ 0, la somme partielle,

Bpmqt tX

m

k0

Fnptq

il est susant de montrer qu'avec probabilité 1,Bpmqt

mconverge uniformément sur r0, 1s. Notons que,

suptPr0,1s

|Bpmqt B

pm1qt | Fm8 ¤ 2pm2q2 maxt|Xm,k|, k 0, . . . , 2m 1u.

Lemme 1. Si Y N p0, σ2q, alors pour tout λ ¡ 0,

Pp|Y | ¥ λq ¤c

2

π

σ

λe

λ2

2σ2 .

Démonstration. C'est un changement de variable...

Ainsi,

P

2pm2q2 maxt|Xm,k|u ¡ 1

m2

¤ 2m P

|Xm,1| ¥ 2pm2q2

m2

¤ 1?

2π2m21m2 e

2m1

m4 .

Or, le terme de droite est le terme général d'une série convergente, et donc par le lemme de Borel Cantelli,

suptPr0,1s

|Bpm1qt B

pmqt | ¤ 1

m2, pour m assez grand, p.s.

Notons aussi que l'on a prouvé la continuité presque sûre du mouvement Brownien.

C'est un mouvement Brownien

Nous allons prouver par récurrence sur m que l'ensemble des incréments Bts Bt pour t, s P Dm forme unvecteur gaussien de matrice de covariance 2mIm, c'est à dire que :

piqm Pour tout t, s P Dm tel que t s P r0, 1s, Bts Bptq N p0, 1q.piiqm Pour 0 ¤ t1 tn ¤ 1, ti P Dm, les incréments sont indépendants.

Clairement ceci est vrai pour m 0, puisque x N p0, 1q et D0 t0, 1u. Dénissons pour m ¥ 1 et k Pt0, . . . , 2m 1u les incréments

∆m1,k Bpk1q2m Bk2m Bpm1qpk1q2m B

pm1qk2m .

Fixons m et supposons la propriété de récurrence vraie au rang m. Nous allons prouver que les incréments∆m1,k sont N p0, 2pm2q2q et indépendants.

Premièrement, nous pouvons supposer sans perte de généralité que d : k2pm2q R Dm. Alors,

∆m1,k 1

2∆ 2pm2q2Xm,k1

où,

k

2m1

k1 1

2

et ∆ Bpd 2pm1q Bpd 2pm1q N p0, 2mq.

30

Comme d 2pm1q P Dm1, ∆ et Xm,k1 sont indépendant et gaussiens par hypothèse de récurrence, avec,

Ep∆m1,kq 0 et Varp∆m1,kqq 1

4Varp∆q 1

2m2 2pm1q.

La même chose est vraie si d P Dm.Deux incréments successifs ∆m1,k et ∆m1,k1 sont indépendants puisque,

Covp∆m1,k,∆m1,k1q E

∆

2 2pm2q2Xm,k1

∆

2 2pm2q2Xm,k1

2m

4 2m2 0

comme ∆ et Xm,k1 sont indépendants. La même chose est vraie si d P Dm. Deux incréments quelconques sur desintervalles disjoints sont ainsi indépendants en sommant les incréments indépendants sur les intervalles de la formesk2pm1q, pk 1q2pm1qq.

On conclut avec : une limite de v.a. gaussienne est gaussienne ; la covariance des vecteurs gaussiens caractérise leur indépendance ; un argument de convergence dominée ; un dessin pour sauver les meubles.

Recopié sur un travail admirable d'Antoine Diez

6.3 Critère d'hypercyclicité de Kitai

Leçons : 202 205 226Source Gonnord Tausel, TopologieSoit pE, dq un C-espace vectoriel métrique complet et séparable, notons S une partie dénombrable et dense de

E. Soit A un endomorphisme continu de E. On dit qu'un point x P E est hypercyclique pour A si son orbite sousl'action de A tAnpxq, n P Nu est dense dans E. On note HCpAq l'ensemble des points hypercycliques pour A.Théorème. HCpAq est soit l'ensemble vide soit un Gδ dense dans E (un Gδ est une intersection dénombrabled'ouverts).

Démonstration. On peut réécrire

HCpAq tx P E|@ps, kq P S N, Dn P N, dpAnpxq, sq 1k p1q

i.e.

HCpAq £

ps,kqPSN

¤nPN

pAnq1pBps, 1kqq

S est dénombrable, A est continu, donc HCpAq est un Gδ. Supposons que HCpAq ∅ alors soit x P HCpAq.Pour tout n P N, Anpxq P HCpAq (une partie dénombrable dense privée d'un nombre ni de points est toujoursdense) donc l'orbite de x qui est dense, est contenue dans HCpAq qui l'est donc tout autant.

Lorsque l'on est dans le deuxième cas, l'on dit que l'opérateur A est hypercyclique.

Théorème (Critère de Kitai). Supposons qu'existent X et Y deux parties denses de E et B : Y ÝÑ Y un opérateurvériant :

i x P X ñ Anpxq ÝÑnÑ8 0 ;

ii y P Y ñ Bnpxq ÝÑnÑ8 0 ;

iii y P Y ñ ABpyq y

Alors A est hypercyclique.

31

Démonstration. Reprenons l'égalité p1q, que l'on écrit :

HCpAq £

ps,kqPSNΩs,k où Ωs,k

¤nPN

pAnq1pBps, 1kqq

Comme E est un espace métrique complet il sut de montrer que chacun des Ωs,k est dense puis de conclurepar le théorème de Baire. Soient donc b P E que l'on cherche à approcher à ε ¡ 0 près par un élément de Ωs,k.Puisque X et Y sont denses posons pour n P N :

ρn xBnpyqoù dpx, bq ε2 et dpy, sq 1

2k . Par la condition piiq l'on sait que pour n P N assez grand :

dpρn, bq ¤ dpρn, xq dpx, bq ε.

De plus, comme pour tout n P N la condition piiiq implique :

Anpρnq Anpxq y,

l'on a pour n assez grand et par piq :

dpAnpρnq, sq ¤ dpAnpxq, sq dpy, sq 1k i.e. ρn P pAnq1pBps, 1kqq Ωs,k,

et la conclusion suit.

Nous donnons maintenant quelques applications. Si E est de dimension nie, A n'est jamais hypercyclique ; en eet, quitte à décomposer E en sous espacescaractéristiques, on peut écrire : A λIdN avec N un endomorphisme nilpotent. Alors on a, en notant dla dimension ambiante et s P E, on a pour n ¥ d :

An d

k0

nk

λnkNk

d

k0

αpnqk yk.

Et donc, pour que cette orbite soit dense, il faut que les yk Nkpxq forment une base et que les αpnqk soient

denses dans C. Ce qui est impossible, puisqu'on connaît la forme de la suite αpnqk , qui tend vers 8, 0 ou 1 enmodule.

Soit E HpCq l'espace des fonctions entières (métrisable, complet et séparable pour la topologie de laconvergence uniforme sur tout compact). Soit T l'opérateur de translation qui à f associe z ÞÑ fpz 1q. Soitb l'opérateur déni par :

B : f P HpCq ÞÑ T1f P HpCq, où T1fpzq : fpz 1qOn applique le critère de Kitai avec :

X tz ÞÑ ez P pzq, P P CrXsu et Y tz ÞÑ ez Qpzq, Q P CrXsu

Qui sont des parties denses dans HpCq par densité des polynômes complexes dans les fonctions entières. De la même manière on peut étudier l'opérateur de dérivation, en prenant B l'opérateur qui associe à unefonction sa primitive nulle en zéro.

Développement dû au célèbre Antoine Diez

6.4 Formule d'inversion de la fonction caractéristique

Leçons : 235 250 261 263Source : Candelpergher, Théorie des probabilités p222On commence par un petit lemme préliminaire.

32

Lemme 2. Soit T ¡ 0 et KT une fonction dénie sur R par :

KT pxq 1

2π

» TT

eiat eibt

iteixt d t.

KT est uniformément bornée en T : il existe une constante C telle que |KT pxq| ¤ C pour tout T et tout x. Et,on a

limTÑ8

KT 1sa,br 1

2p1tau 1tbuq,

ainsi que

»RKT dPX 1

2π

» TT

eiat eibt

itφXptq d t.

Démonstration.

KT 1

2π

» TT

eiat eibt

iteixt d t 1

2π

» T0

eiat eibt

iteixt d t

» 0

T

eiat eibt

iteixt d t

1

2π

» T0

eipaxqt eipbxqt

it eipaxqt eipbxqt

itd t

On a KT 1π pSipT px aqqSipT px bqqq, avec Sipxq

³x0sinptqt d t. La fonction Si est impaire et continue sur

R ; elle est aussi bornée, car elle a une limite nie, π2 , en 8. Si x Psa, br, on a

limTÑ8

SipT px aqq π

2

limTÑ8

SipT px bqq π2,

et donc limTÑ8KT pxq 1. Si x a, on a limTÑ8KT paq 1π p limTÑ8 SipT pa bqqq 1

2 , et de même en b.Si x a, on a limTÑ8 SipT px aqq limTÑ8 SipT px bqq π

2 , d'où il découle que limTÑ8KT pxq 0, et demême si x ¡ b.

D'autre part,

»RKT dPX

»R

1

2π

» TT

eiat eibt

iteixt

dPX .

On Fubinise l'intégrale (la bornitude de la première partie permet de le faire),

»R

» TT

eiat eibt

iteixt

dPX

» TT

eiat eibt

it

»R

eixt dPX

d t.

Et on l'utilise pour prouver le

Théorème. La fonction caractéristique d'une loi de probabilités détermine cette loi. Deux va ont même loi si etseulement si elles ont même fonction caractéristique :

PX PX ô φX φY .

De plus, pour tous réels a b, on a la formule générale :

PXpsa, brq limTÑ8

eiat eibt

itφXptq d t P pX aq P pX bq

2.

33

Démonstration. Le lemme nous permet d'armer que :

1sa,br limTÑ8

KT 1

2p1tau 1tbuq.

Et on en déduit :

PXpsa, brq »R1sa,br dPX

»R

limTÑ8

KT dPX »R

1

2p1tau 1tbuq dPX

limTÑ8

»RKT dPX 1

2pP pX aq P pX bqq,

où la permutation est possible par convergence dominée. Alors, l'on a :

PXpsa, brq limTÑ8

1

2π

» TT

eiat eibt

itφXptq d t P pX aq P pX bq

2.

Pour FX la fonction de répartition, on a puisque FXpbq FXpaq PXpsa, brq P pX bq on en déduit que :

FXpbq FXpaq limTÑ8

1

2π

» TT

eiat eibt

itφXptqd t P pX aq P pX bq

2.

Considérons tous les points a b qui sont tels que P pX aq P pX bq 0, c'est à dire les points où F estcontinue, la formule précédente donne :

FXpbq FXpaq limTÑ8

1

2π

» TT

eiat eibt

itφXptq d t.

Les points de discontinuité de FX sont dénombrables au plus, notons D l'ensemble de ces points. En faisantaÑ 8 avec a R D, on a :

FXpbq FXpaq limaÑ8aRD

limTÑ8

1

2π

» TT

eiat eibt

itφXptqd t.

Et la fonction de répartition est continue à droite, donc les données des FXpbq, où b R D, détermine FX partout.Ce qui montre bien que la fonction caractéristique caractérise la loi, puisqu'elle caractérise la fonction de répar-

tition.

Remarque. Il existe des formules moins areuses pour le faire ; il existe un équivalent en dimension innie ; démontrer que les points de discontinuité sont dénombrables, c'est un exo classique pour lequel je n'ai pas lamoindre référence.

Antoine Diez en a eu l'idée

6.5 Formule sommatoire de Poisson

Leçons : 230 246Source : Gourdon, Analyse problème 4.6.4Notons que dans Calcul intégral, de Candelphergher, est démontrée l'inversion de la transformée de Fourier, et

donc son injectivité, par la formule sommatoire de Poisson.

Théorème. Soit f P SpRq.La série

°kPZ fp kq converge normalement sur tout compact de R et,¸

nPZfpx nq

¸nPZ

fpnq e2inπ,

avec fpxq ³88 fptq e2itπx dx, pour x P R.

34

Démonstration. Comme f P SpRq, on a en particulier pour tout k P N, f pkqpxq OxÑ8p1x

2q et donc, il existeM ¡ 0 tel que |fpxq| ¤ M

p1xq2 , ce qui permet d'armer que la série°kPZ fp kq. En particulier, la série converge

simplement vers F .De même, on peut montrer que la série

°kPZ f

1p kq converge aussi normalement, ceci permet d'armer queF est C1 et que sa dérivée est la limite de

°kPZ f

1p kq.De plus, F est 1-périodique, en eet,

N

kNfpx 1 kq

N1

kN1

fpx kq

et en faisant N Ñ8 on obtient le résultat.Les coecients de Fourier de F sont donnés par :

cnpF q » 1

0

F ptq e2iπnt d t 8

n8

» 1

0

fpt nq e2iπnt d t

8

n8

» n1

n

fptq e2iπnt d t » 8

8fptq e2iπnt d t fpnq,

où l'interversion somme-intégrale est possible par convergence uniforme (normale). De plus, comme F est declasse C1, sa série de Fourier converge uniformément vers F , d'où la formule de Poisson.

Une application

Propriété.

@s ¡ 0,8

n8eπn

2s s128

k8eπk

2s

Démonstration. On applique la formule précédente à f : x ÞÑ eαx2

, les coecients de f sont alors donnés par :

fpnq » 8

8eαt

2

e2iπnt d t 1?α

» 8

8eu

2

e2iπnu?α du cπ

αeπ

2n2α .

Pour démontrer cela on peut rechercher une EDO vériée par la transformée de Fourier de f , cf TCL.Et l'on obtient :

8

n8eαn

2 cπ

α

8

k8eπ

2k2α

puis on remplace α par πs.

Cette propriété permet entre autre d'étudier la fonction thêta de Jacobi Θpxq °nPZ x

pn2q, puisqu'elle montreque le comportement de cette fonction en 0 est relié au comportement en 1.

6.6 Images de l'exponentielle

Leçons : 106 156 204 214 215Source : Zavidovique, p 48-55

Théorème. Soit A PMnpCq. Alors exppCrAsq CrAs.Démonstration. Commençons par montrer que CrAs CrAs YGLnpCq.

L'inclusion est directe. Pour l'autre, on sait que l'inverse de A est un polynôme en A (on multiplie par Adans le pol car et Cayley-Hamilton). Donc si M P CrAs Y GLnpCq alors M1 est un polynôme en M et donc unpolynôme en A. Et donc M P CrAs.

On sait que l'exponentielle est un morphisme de pCrAs,q dans pCrAs,q.

35

CrAs est un ouvert de CrAs car CrAs CrAsXdet1pRq. Montrons qu'il est connexe par arcs (équivalentà connexe ici). Soient M et N deux matrices de CrAs, étudions la droite complexe dénie par :

z ÞÑMpzq zM p1 zqN, z P C .

C'est une droite totalement incluse dans CrAs. L'application z ÞÑ detpMpzqq est polynomiale en z et ne s'annulequ'en un nombre ni de points, on peut donc construire un chemin de la formeMpzptqq zptqMp1zptqqNqui évitera ces points 1.

Nous allons maintenant montrer que exppCrAsq est ouvert et fermé dans CrAs ce qui conclura par connexité. C'est un ouvert : l'exponentielle matricielle a pour diérentielle l'identité, et donc la diérentielle de l'ex-ponentielle restreinte à CrAs Ñ CrAs est aussi l'identité, qui est bijective. Le théorème d'inversion localeassure donc l'existence de deux ouverts U et V de CrAs tels que 0MnpCq P U et que 1MnpCq P V , et quel'exponentielle réalise un diéomorphisme de U sur V , ce qui montre que exppCrAsq contient un voisinageouvert de l'identité. Comme l'exponentielle est un morphisme de groupes, on a donc pour B P CrAs :

exppA Uq exppAqexppUq exppAqVcomme exppAq est inversible (d'inverse exppAq) la multiplication est un diéomorphisme, et donc exppCrAsqcontient un voisinage ouvert de exppAq ce qui conclut sur l'ouverture.

C'est un fermé : notons que (première inclusion évidente, pour la deuxième on prend un élément deMPCrAszexppCrAsqMexppCrAsq, c'est à dire M P CrAszexppCrAsq, B P CrAs et N MexppBq, alors

on a déjà N P CrXs. Si l'on avait N P exppCrAsq alors, comme M N exppBq, M P exppCrAsq ce qui estabsurde.)

CrAszexppCrAsq ¤

MPCrAszexppCrAsqMexppCrAsq

Les MexppCrAsq sont ouverts pour chaque M et donc l'ensemble étudié est fermé (complémentaire d'unouvert).

Finalement par connexité, on a le résultat voulu, exppCrAsq CrAs

Corollaire. L'image de MnpCq par l'exponentielle est GLnpCqDémonstration. Si C est dans GLnpCq alors C P CrCs et donc C P exppCrCsq est bien dans l'image de l'exponen-tielle

Corollaire.exppMnpRqq tA2, A P GLnpRqu

Démonstration. Si M P MnpRq, alors exppMq exppM2q2 ce qui donne la première inclusion. Réciproquement,s'il existe C P GLnpRq telle que A C2, alors il existe un polynome P P CrXs tel que exppP pCqq C. Comme Cest réelle, on a aussi exppP pCqq C C, et donc expppP P qpCqq C2 A, et donc A est bien l'image d'unematrice par l'exponentielle.

6.7 Méthode de Laplace

Leçons : 218 224 236 239Source : Rouvière, Petit guide de calcul diérentiel p339.Cette méthode est l'une des trois méthodes étudiant les intégrales de la forme

³expφpt,xq fpxq dx, les deux autres

étant la méthode de la phase stationnaire (phase complexe) et la méthode du col. Toutes ces méthodes sont traitéesensemble dans Candelpergher, Calcul intégral.

1. par exemple de la forme zaptq t iatp1 tq, puisque l'application pt, aq ÞÑ zaptq est injective, ainsi une innité de chemins

conviennent.

36

Théorème. Soient ra, br un intervalle de R avec a b ¤ 8, φ : ra, brÑ R une fonction de classe C2 etf : ra, brÑ C telle que etφ f soit Lebesgue intégrable sur ra, br pour un certain t0. On suppose f continue en a etfpaq 0. Notons :

F ptq » ba

etφpxq fpxq dx.

i Si φ1 ¡ 0 sur ra, br,F ptq 1

φ1paqetφpaq fpaq

t

ii Si φ1p0q ¡ 0 sur sa, br, φ1paq 0 et φ2paq ¡ 0. Alors ;

F ptq c

π

2φ2paqetφpaq fpaq?

t.

Démonstration. Tout d'abord, on peut supposer sans perte de généralité que t0 0. De plus, dans toute la suiteon a la domination suivante :

| etφpxq fpxq| eptqφpxq |fpxq| ¤ eptqφpaq |fpaq|.Cas particulier :Supposons a 0 et φpxq x. Alors, comme f est continue, elle est bornée sur un certain r0, αs, α Ps0, br par

M ¡ 0. Et alors, on a :

t

» α0

dtxfpxq dx » tα

0

eu fut

duÑ

» 8

0

eu fp0q fp0q;

par convergence dominée, (| eu f ut ¤M eu, u P r0, tαs).Et de plus,

» bα

etx fpxq dx

¤ etα» b

0

|fpxq|dx

tend vers 0.En assemblant les deux équivalents, on obtient :

F ptq fp0qt

dans ce cas particulier.

Retour sur le cas général :L'application x ÞÑ φpxq φpaq est un diéomorphisme de classe C1 de ra, br sur r0, cr. Si ψ est l'application

réciproque, on a :

F ptq etφpaq» c

0

ety fpψpyqqψ1pyq d y etφpaqfpψp0qqψ1p0q

t.

Et ψp0q a, ψ1p0q 1φ1paq.

Un autre cas particulierIci, on suppose a 0 et φpxq x2. On recoupe l'intégrale en deux comme dans le précédent cas particulier.

?t

» α0

etx2

fpxq dx » α?t

0

eu2

f

u?t

du

tend par convergence dominée (par M eu2

) vers» 8

0

eu2

fp0q du ?π

2fp0q.

37

D'autre part, l'autre morceau de l'intégrale tend vers :» bα

etx2

fpxq dx

¤ etα2

» b0

|fpxq| dx.

Et donc,

F ptq ?πfp0q2?t.

Retour sur le cas général :On utilise le diéomorphisme x ÞÑ y a

φpxq φpaq, C1 de ra, br sur r0, cr. Avec,

d y

dx φ1pxq

2aφpxq φpaq

px aqφ2paq2apx aq2φpaq2

cφ2paq

2.

Si x ψpyq est l'application réciproque, l'on obtient :

F ptq etφpaq» c

0

ety2

fpψpyqqψ1pyq d y etφpaq?πfpψp0qqψ1p0q

2?t

.

Et on obtient le résultat voulu en utilisant le fait que : ψp0q a, ψ1p0q a2φ2paq

6.8 Méthode de Newton

Leçons : 223 226 228 233Source : Rouvière 49.Remarquons que cette méthode est utilisée dans le développement "Décomposition de Dunford Eective",

puisque sur l'ensemble des polynômes elle est exacte en un nombre ni d'étapes.

Théorème. Soit f : rc, ds Ñ R de classe C2. On suppose fpcq 0 fpdq et f 1 ¡ 0 sur rc, ds ; f s'annule donc enun unique point noté a de sc, dr.

Pour x0 P rc, ds on pose tant que l'on peut xn1 F pxnq où F : x ÞÑ x fpxqf 1pxq . Alors,

1. il existe C ¡ 0 tel que si |x0 a| 1C, alors xn est bien déni pour tout n P N et |xn a| ¤ |x0 a|. Dansce cas, pxnq converge vers a à vitesse quadratique ;

2. si f2 ¡ 0 sur rc, ds et x0 ¡ a, alors la suite pxnq est bien dénie pour tout n P N, et xn ¡ a,@n P N. Dans cecas on a : xn1 a f2paq

2f 1paq pxn aq2.

Démonstration. Étape 1 : Soit x P rc, ds comme fpaq 0, on a :

F pxq a x fpxqf 1pxq a

px aq fpxq fpaqf 1pxq

fpaq fpxq pa xqf 1pxqf 1pxq .

Et donc, par l'égalité de Taylor-Lagrange, il existe z Psa, xr tel que,

fpqq fpxq pa xqf 1pzq pa xq22

f2pzqon en déduit donc,

F pxq a f2pzq2f 1pxq px aq2.

38

Étape 2 : Montrons la première partie du théorème.Posons C max |f2|

2 min |f 1| qui est bien dénie par continuité de f 1 et f2 sur rc, ds. On a alors |F pxq a| ¤ C|x a|2.Soit α Ps0, 1Cr tel que I : ra α, a αs rc, ds. Alors @x P I, |F pxq a| ¤ Cα2 α, et donc F pxq P I et

F pIq I.Ainsi, si x0 P I alors pxnq I, et |xn1 a| ¤ C|xn a|2. Et par récurrence,

Cxn a| ¤ pCαq2n

et donc, dans le cas |x0 a| ¤ α, on a bien convergence d'ordre 2.

Étape 3 : On utilise l'hypothèse f2 ¡ 0.On sait que F pxq x fpxq

f 1pxq x, puisque f 1 ¡ 0 et f s'annule en a.

De plus, Dz Psa, xr, F pxq a f2pzq2f 1paq px aq2 ¡ 0 car f2 et f 1 sont strictement positives. Ainsi, @x Psa, ds, a

F pxq x ¤ d, donc sa, ds est stable par f .On a même que si x0 Psa, ds alors @n P N, xn Psa, ds et la suite pxnq décroît, comme elle est minorée elle converge

vers l P ra, ds. l est alors un point xe de F et donc fplq 0 ce qui implique l a. Comme précédemment, on aune convergence quadratique |xn1 a| ¤ Cxn a|2.

Étape 4 : Cette inégalité est optimale.Si a x0 ¤ d, alors @n P N, xn Psa, ds et Dzn Psa, xnr, xn1a

pxnaq2 f2pznq2f 1pxnq .

Et par continuité de f2 et de f 1, f2pznq2f 1pxnq Ñ

f2paq2f 1paq , d'où :

xn1 a f2paq2f 1paq pxn aq2

6.9 Méthode du gradient conjugué

Leçons : 158 162 181 219 226 233 253.Source : Quarteroni, Sacco, Salieri Analyse numérique. (La rédaction est quelque peu terrible, beaucoup de

choses sont à réécrire).Ici, on s'intéresse à la résolution du système :

Ax B, A paijq PMn R, b pbiq P Rn, x P Rn

dans le cas particulier où A est symétrique dénie positive.La résolution de ce système est équivalente à la détermination de x P Rn minimisant la forme quadratique :

Φpyq 1

2yTAy yT b.

En eet, en dérivant le système on a :

OΦpyq 1

2pAT Aqy b Ay b.

Ce qui montre qu'un point minimisant la forme quadratique est solution. Réciproquement, si x est solution ilminimise Φ puisque :

Φpyq Φpx py xqq Φpxq 1

2py xqTApy xq @y P Rn .

Notons également que 12yx2A ΦpxqΦpyq, où z2A zTAz est la norme-A ; et qu'il sut donc de minimiser

l'erreur pour cette norme.On décide donc de procéder itérativement en posant à partir de x0 une suite dénie par xk1 xk αkdk. Où

l'on aura déterminé la direction de descente dk et la longueur du pas αk.Une fois déterminée dk la direction de descente, il est naturel d'optimiser la longueur du pas, c'est à dire de

choisir αk optimisant Φpxk1q dans la direction dk, c'est à dire tel que :

39

d

dαΦpxk αdkq dTk rk αdTkAdk 0.

où rk OΦpxkq Axk b. Finalement, on a :

αk xdk, rkyd2A

Et alors on a :

Théorème. Si x est la solution du système précédent et si on choisit α comme précédemment, alors méthodeitérative associée vérie :

xk1 x2A p1 σkqxk x2A;

où

σk xdk, rkydk2Ark2A1

Ps0, 1s

Démonstration.

xk1 x2A xk x αkdk2A xk x2A α2

kdk2A 2αkxdk, Apxk xqy xk x2A α2

kdk2A 2αkxdk, rky ;

puisque Apxk xq Axk b rk et x xk2A rk2A1 . O obtient le résultat en remplaçant αk par sonexpression.

Méthode du gradient conjugué.

Notons que :rk1 rk αkAdk, (6.1)

et αk est choisi tel que

xrk1, dky 0 (6.2)

.

L'idée est de construire les directions dk pour qu'elles soient deux à deux A orthogonales, ainsi rk1 seraorthogonal à Vectpd0, . . . , dkq.

Dans la suite on notera x K y lorsque x et y sont orthogonaux pour le produit scalaire euclidien, et x KA y s'ilsle sont pour le produit scalaire associé à A.

On pose d0 r0 et pour k P N, on construit dk1 comme l'orhtonormalisé (de Gram-Schmidt) pour le produitscalaire A de rk1 relativement à Vectpdkq :

dk1 rk1 βkdk (6.3)

où

βk xrk1, Adkydk2A

si dk 0, βk 0 sinon. (6.4)

Remarquons que si dk 0 alors rk et dk1 sont colinéaires et comme ils sont orthogonaux par choix de αk onen déduit que rk 0.

Lemme 3. Avec le choix précédent (6.4), les directions (6.3) vérient pour tout k P N la propriété suivante : sir0, . . . , rk ne sont pas nuls alors,

i Vectpr0, . . . , rkq Vectpd0, . . . , dkq ;ii rk1 K Vectpd0, . . . , dkq ;

40

iii dk1 KA Vectpd0, . . . , dkq.Démonstration. On procède par récurrence sur k P N. Lorsque k 0 piq, piiq et piiiq sont vrais car r0 d0, lesrelations (6.2) et (6.3) et r0 0 (sinon, il n'y a rien à faire). Supposons donc le résultat vrai au rang k 1.

i Par (6.3), on a dk rk βk1dk1 ;

ii par (6.2), on a déjà rk1 K dk et si j P J0, k 1K, la relation (6.1) couplée à l'hypothèse de récurrence piiq etpiiiq donne rk1 K dj ;

iii par (6.3), on a déjà dk1 KA dk (c'est comme ça qu'on les a construites), et si j P J0, k 1K, la relation (6.3)couplée à l'hypothèse de récurrence piiiq donne :

xdk1, Adjy xrk1, Adjy.Montrons que Adj P Vectpr0, . . . , rkq, ce qui conclura de par les relations piq et piiq que l'on vient de prouver.De par la relation (6.1) avec k j, il sut de montrer que αj 0, ce qui est le cas car :

αj 0choix de αkô xrj , djy 0

(6.3)ô rj 0

et l'on a justement supposé le contraire.

Théorème. La méthode de gradient associée aux directions (6.3) avec le choix (6.4) converge vers la solution x duproblème initial en au plus n itérations.

Démonstration. On est en dimension n et la famille prkqk est libre car orthogonale, de par les piq et piiq du lemmeprécédent.

Finalement, la méthode s'écrit :

d0 r0 bAx0

αk dTk rkdTkAdk

,

xk1 xk αkdk,

rk1 rk αkAdk,

βk pAdkqT rkpAdkqT dk ,

dk1 rk1 βkdk

Louons Antoine Diez pour ce résultat

6.10 Modèle de Galton-Watson

Leçons : 223 229 243 260 264Source : BrémaudCe modèle a été inventé pour étudier la disparition des noms dans les familles nobles anglaises, on notera qu'avec

2 enfants par couple en moyenne, l'arbre des descendants tend vers une taille innie, mais le nom s'éteint presquesûrement.

Dénition. Si X est une v.a. à valeurs dans N, on dénit :

gXpsq ErsX s 8

n0

sn PpX nq

Propriété. i Soit g : r0, 1s ÝÑ R une fonction caractéristique de X v.a.N. Alors g est croissante et convexe. SiPpX 0q 1 elle est même strictement convexe ;

ii Supposons PpX ¤ 1q 1 alors, si ErXs ¤ 1, l'équation x gpxq a une unique solution dans r0, 1s : x 1. SiErXs ¡ 1 elle a deux solutions :x 1 et une autre dans s0, 1r.

41

Démonstration. g1pxq °8n1 nPpX nqxn1 ¥ 0 (car la série converge normalement), et donc g est croissante et

de plus :

g2pxq 8

n2

npn 1qPpX nqxn2 ¥ 0

Et on a la convexité.La croissance est stricte tant qu'on n'a pas g1pxq 0 pour un certain x Ps0, 1r, ce qui n'arrive que si PpX

nq 0, @n ¤ 1 ùñ PpX 0q 1. De même la convexité est stricte tant que PpX 0q PpX 1q 1.On a alors deux situations possibles, comme EpXq g1p1q, soit la droite y x est une corde soit elle est sous

la tangente on trouve alors les deux situations possibles (faire les dessins).

Application : Modèle de Galton-Watson.

Soient pXn,iqi,nPN suite de v.a. iid à valeurs dans N. Représentant le nombre d'enfant qu'une personne a. Ondénit Zn par :

Z0 1 ; Zn Zn1¸i1

Xn,i avec0

1

Xn,i 0

On note gXpsq la fonction génératrice des Xn,i. Alors on peut calculer la fonction génératrice φn de Zn par :

φn1psq 8

k0

PpZn1 kqsk

Es°Zni1Xn,i

E

8

i1

1ZnksXn,1Xn,k

8

i1

E r1ZnksEsX1,1

k φnpgXpsqq

Et donc par récurrence :

φn1psq φ0pgX gXpsqq, composé n+1 fois; φ0psq s

La probabilité d'extinction s'écrit alors :

Pe P

8¤n0

tXn 0u lim sup

nÑ8PpXn 0q φnp0q

Puisque les évènements sont décroissants pour l'inclusion. Et nalement :

PpXn1 0q gXpPpXn 0qq,en passant à la limite :

Pe gXpPeqEt on conclut par le premier théorème.Calcul de l'espérance

ErZn1s E

Zn

i1

Xn,i

E

E

8

i1

Xn,i1i¤ZnZn

‘E

8

i1

1i¤Zn E rXn,is

42

Zn

i1

ErXn,is E

Zn

i1

m

mErZns.

Et donc, on a bien ErZns mn

6.11 Résolution de l'équation de la chaleur dans un cercle

Leçons : 209 222 235 246Source : Candelpergher, Calcul intégral.

Les séries de Fourier, et son pendant continu, la transformée de Fourier, ont été précisément inventés pour desproblèmes de ce type. Dans le cas où notre condition initiale n'est pas périodique il faut refaire tous ces raisonnementsavec la transformée de Fourier (Candelpergher le fait dans la suite).

Ici, on se propose de résoudre l'équation de la chaleur posée sur un cercle par les séries de Fourier :

pECq

$'&'%u P C2pRs0,8rq X CpRr0,8rq 1 periodique en x p1qBuBt B2u

Bt2 0 p2qupx, 0q hpxq ; h 1 periodique, h P C1pRq, hp0q 0 p4q

On procède par analyse synthèse : Analyse, on suppose que toutes les opérations eectuées sont licites (ce qui sera prouvé dans la partie synthèse)À t xé, upx, tq est 1-périodique, on l'écrit donc :

upx, tq ¸nPZ

cnptqe2iπx;

de plus, on a, comme h est C1

h ¸nPZ

hpnqe2iπnx;

et l'on sait que :

cnptq » 1

0

upy, tqe2iπnydy.

Donc, en utilisant (2) et par ipp :

c1nptq » 1

0

BuBt py, tqe

2iπnydy n2p2πq2cnptq;

on a alors, en résolvant la précédente EDO, et parce que les fonctions h et u coïncident en t 0 :

cnptq en2p2πq2thpnq,

et donc :

upx, tq ¸nPZ

hpnqen2p2πq2tein2πx » 1

0

¸nPZ

e2iπnpxyqen2p2πq2t

hpyqdy Kt fpxq,

avec Kt le noyau de la chaleur à l'instant t. SynthèsePar la dernière égalité, et comme Kt est C8 quelle que soit la régularité de la solution initiale, on a que

upx, tq P C8pRs0,8r. Ceci justie toutes les inversions, dérivations, écritures et convergences des diverses sériesimpliquant u.

Unicité, en raisonnant sur l'"énergie" :

43

Soient u1 et u2 deux solutions de pECq, alors par linéarité, u1 u2 est solution de :

pECq

$'&'%u P C2pRs0,8rq X CpRr0,8rq 1 periodique en x p1qBuBt B2u

Bt2 0 p2qupx, 0q 0 p4q

On dénit l'énergie de la solution :

Eptq » 1

0

pupx, tqq2 dx

et l'on calcule sa variation, par convergence dominée :

E1ptq » 1

0

2BuBt px, tqupx, tqdx

soit, comme u est solution de l'équation de la chaleur :

E1ptq » 1

0

2B2u

Bx2px, tqupx, tq dx

puis, par intégration par partie, sachant que les termes de bord sont nuls par périodicité.

E1ptq » 1

0

2

BuBx px, tq

2

dx

et donc E est décroissante, elle est de plus positive. Ep0q 0 et donc Eptq 0 pour tout t, ce qui montre bienl'unicité de la solution.

6.12 Théorème de Corominas

Leçons : 228Source : Gonnord ToselEn réalité, ce résultat démontre la réciproque, pour une preuve directe (et assez areuse, mais utilisant la

connexité, on se reportera à Gourdon Analyse).

Théorème. Soit I un intervalle de R non vide et non réduit à un point f une application C8 non polynomiale deI dans R.

Alors il existe x P I tel que pout tout n P N, f pnq 0.

Démonstration. Étape 1 :Montrons qu'il existe un segment S I non réduit à un point tel que f|S soit non-polynomiale et ne s'annule

pas.Deux premières remarques :

i Si f|S est polynomiale pour tout S segment d'un intervalle J I, f|J est polynômiale (puisque J est réunioncroissante de segments, et deux polynômes qui coïncident sur un segment non trivial sont égaux).

ii Si I1 et I2 sont deux sous intervalle des I, avec I1 X I2 ∅, si f|I1 et f|I2 sont polynômiales, alors f|I1YI2 l'estaussi. En eet :Si f|I1 p1 et f|I2 p2, p1, p2 polynômes. Alors p1 (resp. p2) coïncide avec f sur I1 (resp. I2) par continuité.Soit a P I1 X I2. La formule de Taylor pour p1 et p2 écrite en a montre que p1 p2.

Raisonnons maintenant par l'absurde, en supposant que pour tout segment S sur lequel f ne s'annule pas, f|S estpolynomiale. D'après piq, pour tout intervalle J I sur lequel f ne s'annule pas f|J est polynômiale. Fixons q P Itel que fpaq 0 et observons que, par piiq, la restriction de f à l'un au moins des deux intervalles ra,8rXI ets 8, as X I n'est pas polynômiale. On suppose dans la suite que c'est sur ra,8rXI et on pose :

X tt Psa,8s X I, f|ra,ts est polynômialeu.Par l'hypothèse de non nullité de fpaq, X est non vide et on dispose donc de s SuppXq. Par l'observation piq,

f|ra,sr est polynômiale. Enn, ss,8s X I est non vide, sans quoi, f serait polynômilae sur ra,8rXI.

44

Montrons qu'il existe u P I, u ¡ s tel que f soit polynômiale sur ss, ur. Par piiq, f|ra,us serait polynômiale,contredisant la dénition de s et donnant le résultat. Pour cela, observons que puisque f|ra,ss est polynômiale nonnulle, l'une de ses dérivées f pjqpsq est nulle pour un certain j. La formule de Taylor-Young montre alors que sur uncertain voisinage épointé de s, f ne s'annule pas. Il reste à choisir u ¡ s, u P I tel que f ne s'annule pas sur ss, uspour conclure.

Étape 2 :Par récurrence on construit une suite pSnqn de segments emboîtés de I non triviaux tels que : pour tout n P N, et x P Sn, f pnqpxq 0 ; pour tout n P N, f|Sn n'est pas polynômiale.

L'existence de S0 est donnée par l'étape 1. Si S0 S1 Sn sont construits, on dit que f pn1q|Sn n'est pas

polynômiale (sans quoi f|Sn le serait) et on applique la première étape à cette application pour construireSn1. Si maintenant x P ninN Sn on a bien f pnqpxq 0 pour tout n.

6.13 Théorème de Glivenko Cantelli par Dini

Leçons : 229 241 262Référence : Développement d'Adrien Fontaine, Gourdon Analyse, Nourdin Thèmes pour l'agrégation.

Ce résultat est fondamental en statistique, en eet il est possible de calculer explicitement la loi vers laquelle tendla norme innie de l'écart entre la fonction de répartition théorique et empirique, cette loi s'avère être universelleet indépendante de la fonction de répartition empirique ; c'est le théorème de Kolmogorov-Smirnov. De ce fait il estpossible de calculer des quantiles et donc de mettre en place un test statistique, appelé test de Kolmogorov-Smirnov.

Nous allons démontrer le théorème de Glivenko-Cantelli sur la convergence uniforme de la fonction de répartitionempirique vers la fonction de répartition. On commence par démontrer le 2ème théorème de Dini :

Théorème. Deuxième théorème de DiniSoient a b, pfnq suite de fonctions de ra, bs dans R, croissantes ; telles que pfnq converge simplement vers f ,

une fonction continue. Alors, pfnq converge unformément vers f sur ra, bs.Démonstration. Par le théorème de Heine, f est uniformément continue donc, si l'on xe ε ¡ 0 :

Dη ¡ 0, @x, y P ra, bs, |x y| η ô |fpxq fpyq| ε

Soient n P N et a a0 a1 an b une subdivision de ra, bs de pas inférieur à η.De plus, toujours pour ce même ε, il existe n0 P N tel que @m ¥ n0, @1 ¤ i ¤ n, |fpaiq fmpaiq| εAlors, si x P ra, bs, il existe i tel que x P rai, ai1s et donc, par uniforme continuité, |fpxq fpaiq| ε.Donc :

rfpxq fmpxq ¤ |fpxq fpaiq| |fpaiq fmpaiq| |fmpaiq fmpxq|et par croissance de fm

¤ 2ε pfmpai1q fmpaiqq¤ 2ε |fmpai1q fmpai1q| |fpai1q fpaiq| |fpaiq fmpaiq| ¤ 5ε

Et la convergence est alors uniforme.

Maintenant, prouvons le théorème de Glivenko-Cantelli

Théorème. Soient pXiqiPN des v.a. iid, de fonction de répartition F continue. On dénit : Fnptq 1n

°i 1Xi¤t, la

fonction de répartition empirique. Alors on a presque sûrement :

suptPR

|Fnptq F ptq| ÝÑnÑ8 0

Démonstration. On commencera par quelques propriétés sur l'inverse généralisée de la fonction de répartition :

45

Lemme 4. On dénit :

@u P r0, 1s, F1puq inf tx P R, F pxq ¥ uuAlors on a :

F1puq ¤ xô u ¤ F pxqDémonstration. Si F1puq ¤ x alors il existe y ¤ x tel que F pxq ¥ u et, par croissance de F , u ¤ F pyq ¤ F pxq

Réciproquement, si u ¤ F pxq, alors x P ty P R, F pyq ¥ uu et donc, x ¤ infty P R, F pyq ¥ uu. ie F1 ¤ x

Corollaire. Si Y a pour fonction de répartition F et si U Upr0, 1sq, alors F1pUq Y . En eet, La fonctionde répartiton d'une loi uniforme restreinte à [0,1] est l'identité.

On va maintenant montrer que l'on peut dans tous les cas se ramener, pour la preuve de Glivenko-Cantelli, aucas des variables aléatoires uniformes sur r0, 1s.

Soit pUiq suite de va Upr0, 1sq alors :

suptPR

1n¸i

1Xn¤t F ptq sup

tPR

1n¸i

1F1pUnq¤t F ptq sup

tPR

1n¸i

1Un¤F ptq F ptq

Et en posant S F ptq :

suptPR

1n¸i

1Un¤F ptq F ptq sup

SPF pRq

1n¸i

1Un¤S S

¤ supSPr0,1s

1n¸i

1Un¤S S

Ainsi, on démontre dans le cas où les pUiq sont uniformes sur r0, 1sPar la loi forte des Grands Nombres, on sait que si s P r0, 1s, il existe AS de mesure pleine tel que pour tout

ω P As, 1n

°nk1 1Uk¤s ÝÑ s lorsque nÑ8.

Q est dénombrable, et une réunion dénombrable d'ensembles de mesure pleine est de mesure pleine, donc ilexiste un ensemble A de mesure pleine vériant la propriété ci dessus (remplacer AsparA : si s P r0, 1s, ε ¡ 0,par densité de Q X r0, 1s, il existe p, q P Q X r0, 1s tels que : s ε ¤ p ¤ s ¤ q ¤ s ε, alors par croissance dex ÞÑ 1

n

°nk1 1Ukpωq¤s, on a pour tout ω P A :

1

n

n

k1

1Ukpωq¤p ¤1

n

n

k1

1Ukpωq¤s ¤1

n

n

k1

1Ukpωq¤q

On passe alors à la limsup à droite et la liminf à gauche, et on a pour tout ω P A :

s ε ¤ lim infnÑ8

1

n

n

k1

1Ukpωq¤s ¤ lim supnÑ8

1

n

n

k1

1Ukpωq¤s ¤ s ε

Et donc, pour chaque ω P A la suite de fonctions 1n

°nk1 1Ukpωq¤s converge vers s simplement. Cette convergence

est alors uniforme par le deuxième théorème de Dini.

Remarques

6.14 Théorème de Krein-Millman (Minkowski)

Leçons : 159 253Source : Hiriart-Urruty Lemaréchal, p57Ce théorème est en lien avec le résultat "points extrémaux de la boule unité", il signie entre autre que si l'on

veut minimiser une fonction concave sur un ensemble convexe il sut de le faire sur ses points extrémaux, c'est leprincipe de l'algorithme du simplexe.

Dénition. On dit que x P C est un point extrémal de C s'il n'existe pas x1, x2 P C diérents de x tels quex 12px1 x2q.

46

Théorème. Soit C un convexe compact de Rn. Alors C est l'enveloppe convexe de ses points extrémaux (notonsextpCq l'ensemble de ces points)

Démonstration. On raisonne par récurrence sur la dimension du convexe (c'est à dire la dimension de l'espace anele plus petit le contenant ; on note rbdpCq la frontière de C dans ce même espace ane et ripCq l'intérieur dans cemême espace).

Si dimpCq 0 le résultat est vrai.Supposons dimpCq ¡ 0. Si x P rbdpCq alors il existe un hyperplan H d'appui en ce point, et alors C XH est un

convexe de dimension au plus k 1, par hypothèse C XH est alors l'enveloppe convexe de ses points extrémaux.Remarquons que les points extrémaux de C XH sont aussi des points extrémaux de C. Si x P ripCq, prenons dansC un point x1 x ce qui est possible en dimension ¡ 0. La droite ane px, x1q coupe alors rbdpCq en au plus deuxpoints y et z, qui sont combinaison convexe de points extrémaux de C, et donc x l'est ce qui conclut.

Source : Peter D. Lax, Linear Algebra

Application

Théorème. Les matrices de permutation sont les points extrêmes des matrices bi-stochastiques.

Démonstration. On sait déjà que, si S psijq est une matrice bi-stochastique, alors tous ses coecients vérient0 ¤ sij ¤ 1.

Montrons que les matrices de permutation sont des points extrémaux. Soit P une matrice de permutation,supposons que l'on ait A et B deux matrices bi-stochastiques, telles que :

P AB

2

Ceci implique que si une entrée de P vaut 1, les entrées correspondantes dans A et B valent aussi 1. De mêmesi l'entrée de P vaut 0, celles de A et B valent aussi 0.

Or, toutes les entrées de P sont constituées soit de 0 soit de 1. Ainsi, nécessairement P A B.Maintenant, montrons la réciproque.Montrons d'abord que si S est bi-stochastique, et possède un coecient 0 si0j0 1, alors elle n'est pas

extrémale.Pour cela, on construit la suite de coecients suivante :On choisit j1 tel que 0 si0j1 1, ce qui est possible par l'hypothèse.On choisit ensuite un i1 tel que 0 si1j1 1. Et on continue ainsi jusqu'à passer deux fois par la même position.

On a ainsi une chaîne de coecients tous compris strictement entre 0 et 1.Et on dénit alors la matrice N de telle sorte que : les entrées de N sont nulles à l'exception de celles qui sont dans la chaîne. Les entrées aux points de la chaîne sont en alternance 1 et 1Et alors, la somme des lignes et des colonnes de N sont nulles.Dénissons maintenant A et B comme :

A S εN, B S εN

Il s'ensuit que les lignes et les colonnes de A et B ont pour somme 1. Par construction, tous les coecients deces matrices sont positifs aux positions où les coecients de N sont non nuls. Ainsi, on peut choisir ε assez petitpour que A et B soient à coecients positifs en même temps. Et ainsi, on a bien :

S AB

2

avec A et B bi-stochastiques. Et donc S n'est pas extrême.Ainsi un point extrême des matrices bi-stochastiques a uniquement des coecients valant 1 et 0, et donc chaque

ligne et chaque colonne contient exactement un 1 et c'est une matrice de permutation. Ce qui termine la preuve.

Corollaire. Toute matrice bi-stochastique s'écrit :

S ¸

P matrice de permutation

cpP qP, cpP q ¥ 0,¸cpP q 1

Antoine Diez en aura eu la prime idée

47

6.15 Théorème de Lax-Milgram

Leçons : 203 213 222Référence : Brézis Analyse fonctionnelleCe théorème permet de résoudre des EDP, comme on le voit dans l'exemple qui suit, dans le sens faible, pour

repasser au sens fort il faut encore faire du travail...

Théorème. Soit pH, x, y un Hilbert réel, et a :H H ÝÑ Rpx, yq ÞÑ apx, yq une forme bilinéaire telle que :

DC P R, @u, v P H, apu, vq ¤ Cuv i.e. continue

Dα ¡ 0, @u P H, apu, uq ¥ αu i.e. coërcive

Soit L forme linéaire continue sur H, alors : il existe un unique élément v P H tel que apu, vq Lpuq @u ; de plus, si a est symétrique, on a une caractérisation variationnelle par : φ :

H ÝÑ Rx ÞÑ 1

2apx, xq Lpxq, etφpvq minuPH φpuq

Démonstration. Étape 1 : y ÞÑ apx, yq est une forme linéaire continue, on peut donc la représenter par Riesz, pourchaque y il existe un unique T pxq tel que xT pxq, yy apx, yq.

T est linéaire car, pour tout y on a : xT px x1q, yy apx x1, yq xT pxq, yy xT px1q, yy. Comme ceci est vraipour tout y, on a l'égalité voulue.

T est continue par Cauchy-Schwarz : αT pxq2 ¤ αxT pxq, T pxqy apT pxq, xq ¤ CT pxqx. Étape 2 : T estbijective.

injectivité : @x P H, T pxqx ¥ xT pxq, xy apx, xq ¥ αx. Et donc : T pxq ¥ αx. Si x P kerT alorsx 0 ;

surjectivité : L'image de T est dense, car si y P T pHqK, alors, pour tout x P H, : 0 xT pxq, yy apa, yq.Et donc pour x y, 0 apx, xq ¥ αx et donc y 0, on conclut par critère de densité. De plus T pHqest fermé, en eet, si pyn T pxnqqn est une suite convergeant vers y P H, alors pynq est de Cauchy, et donc,si ε ¡ 0, DN ¡ 0,@n,m ¥ N, ε ¡ T pxnq T pxmq ¥ αxn xm. On conclut par complétude de H. AinsiT pHq T pHq H.

T est donc bijective, et si L est une forme linéaire continue, par le théorème de représentation de Riesz il existe ununique v P H tel que pour tout x P H, Lpxq xx, vy. On pose alors u T1pvq et alors Lpyq apu, yq, ce quipermet de conclure.

Formulation variationnelle : Si a est symétrique, remarquons tout d'abord que φ ÝÑ 8xÑ8

puisque φpxq 12apx, xq Lpxq ¥ 1

2αx2 Cx.

Et alors, on a

φpxq φpuq apx, xq2

apu, xq apu, uq2

1

2papx u, xq apx, u xqq

apx u, x uq2

¥ α

2x u2

Ce qui montre que u est l'unique minimum recherché sur H.

48

Application. Résolution d'une équation de Sturm-LiouvilleOn dénit le système suivant, pour I s0, 1r p P C1pIq, q P CpIq et f P L2pIq. Avec ppxq ¥ α ¡ 0 @x P I :

pSLq"ppu1q1 qu fup0q up1q 0

On cherche les solutions faibles, c'est à dire dans H1pIq u P L2pIq, Dg P L2pIq, ³

Iuφ1 ³

Igφ, @φ P C1

0pIq(.

C'est un Hilbert pour xu, vy ³Iuv ³

Iu1v1

Les solutions faibles sont celles vériant (on cherche la formulation en faisant une ipp) :³Ipu1v1 ³

Iquv ³

Ifv, @f P H1

0 pIq. On pose alors apu, vq ³Ipu1v1 ³

Iquv Lpvq ³

Ifv. Et l'on a apu, uq ¤ αu1L2 . Pour

conclure l'on a besoin d'une inégalité de Poincaré, : uH10¤ Cu1L1 .

6.16 Théorème de Müntz-Szász

Leçons : 201 202 207 209 230 245Source : Rudin, Analyse complexe, p293 ; Peter Lax, Functional Analysis.Il s'agit d'une extension du théorème de Weiestrass, et ce dernier est utilisé dans la preuve.

Théorème. Soient 0 λ1 λ2 . . . . On note tλi la fonction t ÞÑ tλi , F t1, tλ1 , tλ2 , . . .u et X VectpF q lafermeture de l'espace engendré par ces fonctions dans Cpr0, 1s,Cq. Alors,

si°

1λi 8, on a X Cpr0, 1s,Cq

Démonstration. Soit l une forme linéaire qui s'annule sur F .Le théorème de Hahn-Banach assure que X sera dense dans Cpr0, 1s,Cq si et seulement si toute forme linéaire

continue sur Cpr0, 1s,Cq nulle sur X est nulle sur Cpr0, 1s,Cq.

Étape 1 :Considérons la fonction fpζq lptζq dénie pour <pζq ¡ 0. Cette fonction est holomorphe sur t<pζq ¡ 0u, en

eet, pour h P C, par développement de Taylor en 0 de ζ ÞÑ tζ et en prenant la limite supérieure en t,

fpζ hq fpζqh

lplnptqtζq l

tζh tζ

h lnptqtζ

ÝÑ 0.

On peut supposer l 1.

Étudions suptPr0,1s tζhtζh lnptqtζ

°8k2

hk1

k! plnptqqkt<pζqp1qk. Pour cela, on cherche à où la fonction

φkptq |hk1plnptqqktζ | atteint son maximum, on peut donc supposer que ζ est réel, ce que l'on fait dans la suite(puisque l'on a supposé <pζq ¡ 0. Pour cela, on la dérive, on cherche :

φ1kptq hk1kplnptqqk1tζ1 plnptqqkζtζ1

0 ñ lnptq kζ

;

et en réinjectant : |φkptq| ¤ hk1

k! pkζqk ek, et donc par Stirling, phi8, t hk1?2lπζk qui est le terme d'une

série normalement convergente, ce qui montre le résultat.De plus, comme tζ8 ¤ 1 et par continuité de l, f est aussi bornée sur t<pζq ¡ 0u. Par hypothèse,

@j ¥ 1, fpλjq 0.

Étape 2 :Pour N ¥ 1, on dénit le produit de Blaschke BN pζq :

Bnpζq :N¹j1

ζ λjζ λj

Qui vérie :

i BN pλiq 0 pour j 1, . . . , N et Bnpζq 0 si ζ λj ;

ii |BN pζq| Ñ 1 lorsque <pζq Ñ 0 ;

iii |BN pζq| Ñ 1 lorsque |ζ| Ñ 8.

49

De plus, puisque les zéros de BN sont simples, la fonction :

gN pζq : fpζqBN pζq

est bien dénie et holomorphe sur t<pζq ¡ 0u.

Étape 3 :On prétend que t<pζq ¡ 0u. D'abord f est bornée et on peut supposer sans perte de généralité que |fpζq| ¤ 1.

En utilisant les propriétés ii et iii, pour tout ε ¡ 0 il existe δ ¡ 0 tel que :

<pζq δ ñ |gN pζq| ¤ 1 ε et |ζ| δ1 ñ |gN pζq| ¤ 1 ε.

Par le principe du maximum, la borne |gN pζq| ¤ 1 ε est valable sur tout le domaine t<pζq ¡ 0u X t|ζ| ¤ δ1u.En faisant tendre ε, δ ÝÑ 0, on obtient |gN pζq| ¤ 1 sur tout t<pζq ¡ 0u.

Étape 4 :On a nalement prouvé que :

|fpζq|N¹j1

λj ζ

λj ζ

|fpζq|N¹j1

1 2ζ

λj ζ

¤ 1.

Et alors, par le théorème de sommation des relations de comparaison indique que si°

1λj , alors le produitinni diverge et ce, pour tout ζ P R distinct des λj . La borne uniforme impose alors que lptζq fpζq 0 pour toutζ, en particulier pour ζ k ce qui implique par le théorème de Weierstrass que l 0.

Antoine Diez en a exploré les mystères

6.17 Théorème de Riesz-Fisher

Leçons : 205 208 234Source : Rudin Analyse réelle et complexe

Théorème. Soit X un espace muni d'une mesure positive µ. Alors Lppµq est un Banach pour tout p P r1,8s.Démonstration. Cas p 8 :

Soit pfnq une suite de Cauchy de Lp. Il existe une sous-suite pfniq telle que,

fni fni1 2i,

posons alors

gk k

i1

|fni1 fni |, g

8

i1

|fni1 fni |.

Par construction de pfniq, gj 1 pour tout k, et donc, par Fatou, g ¤ 1. En particulier, gpxq 8 pourpresque tout x de telle sorte que la série

fn1pxq

8

i1

pfni1 fniq

soit absolument convergente pour presque tout x P X. Appelons fpxq sa somme lorsqu'elle existe, et posonsfpxq 0 sur l'ensemble restant (de mesure nulle).

Puisque

fn1pxq

k1

i1

pfni1 fniq fnk

50

on voit que

fpxq limiÑ8

fnipxq µ p.p.

Nous avons donc trouvé une fonction f qui est limite simple presque partout de pfniq. Montrons que cette limitel'est aussi dans Lp.

Soit ε ¡ 0. Il existe N tel que fn fmp ε pour n,m ¡ N . Pour tout m ¡ N , le lemme de Fatou montrealors que, »

X

|f fm|p dµ ¤ lim infiÑ8

»X

|fni fm|p dµ ¤ εp.

Ce qui permet d'armer que f fmnLppµq, puisque pf fmqfm f P Lppµq, et nalement que f fm Ñ 0lorsque mÑ8 ; ce qui achève la démonstration dans ce cas.

Cas p 8 :

Dans L8pµq la démonstration est plus simple. Soit pfnq une suite de Cauchy, soient Ak et Bk les ensemblessur lesquels |fkpxq| ¡ fk8 et |fnpxq fmpxq| ¡ fn fm8 et soit E la réunion de tous ces ensembles, pourk,m, n P N. Alors µpEq 0 et sur le complémentaire de E la suite pfnq converge uniformément vers une fonctionf bornée. Posons fpxq 0 sur E. Alors on a bien f P L8pµq et fn f Ñ 0 ce qui conclut la preuve.

Remarque. Notons que dans la preuve on a au passage démontré que si pfnq est une suite de Cauchy dans un Lp,p quelconque, possédant une limite f , il existe une sous suite pfnq qui converge ponctuellement presque partout versf .

6.18 Théorème des moments de Hamburger

Leçons : 218 224 230 260 261 262Source : Billingsley Probability and MeasureIci, on donne une condition pour qu'une loi soit caractérisée par ses moments. On pouvait déjà penser à d'autres

conditions : support compact, fonction caractéristique analytique. En réalité les conditions de ce théorème ne sontpas optimales, et on peut les aaiblir, voir Billingsley.

Théorème. Soit µ une mesure de probabilité sur R ayant des moments nis αk ³R x

kµpdxq à tout ordre. Si lasérie

8

k0

αkrk

k!

a un rayon de convergence positif, alors µ est l'unique mesure de probabilité ayant ces moments.

Démonstration. Soient βk ³R |x|kµpdxq les moments absolus.

Étape 1 : Montrons que βkrk

k! Ñ 0, pour un certain entier positif r.

Par hypothèse, il existe un s Ps0, 1r tel que αksk

k! Ñ 0. Choisissons r Ps0, sr, alors, 2kr2k1 s2k pour k assezgrand. Comme |x|2k1 ¤ 1 |x|2k,

β2k1r2k1

p2k 1q! ¤ r2k1

p2k 1q! β2ks

2k

p2kq! , pour kassez grand

Ainsi, βkrk

k! Ñ 0 est vrai quand k Ñ 8 par valeurs impaires. Comme βk αk pour les valeurs paires, laconclusion est vraie.Étape 2

Pour x P R, la formule de Taylor avec reste intégral donne :

eixn1

m0

pixqmm!

in

pn 1q!» x

0

px sqn1 eis d s.

51

D'où, eixn1

m0

pixqmm!

¤ |x|nn!

.

Ainsi, eit

eihxn

m0

pihxqmm!

¤ |hx|n1

pn 1q! .

et ainsi, en remplaçant x par X v.a. de loi µ et en prenant l'espérance, la fonction caractéristique φ de µ vérieφpt hq nsupk0

hk

k!

»Rpixqk eitx µpdxq

¤ |h|n1βn1

pn 1q! .

l'intégrale sous la somme est φpkqptq, et donc par la première étape,

φpt kq 8

k0

φpkqptqk!

hk, |h| ¤ r.

Si ν est une autre mesure de probabilité avec les moments αk, et une fonction caractéristique ψ, le mêmeargument montrera que,

ψpt hq 8

k0

ψpkqptqk!

hk, |h| ¤ r.

Prenons t 0, et comme φpkqp0q ikαk ψpkqp0q, φ et ψ coïncident sur pr, rq et ainsi ont des dérivées égalessur cet ouvert. En prenant t r ε et t r ε dans les deux formules précédentes, on montre que φ et ψcoïncident aussi sur p2r ε, 2r ε et ainsi sur p2r, 2rq. Mais alors, elles doivent aussi coïncider sur p3r, 3rq parles mêmes arguments, et ainsi on montre que ψ φ partout, ce qui conclut le théorème.

Exemple. La distribution normale vérie |αk| ¤ k! et donc, elle est déterminée par ses moments.

Exemple. Si N N p0, 1q, alors eN a la densité log-normale :

fpxq #

1?2π

1x eplog xq22 si x ¡ 0

0 sinon

Posons gpxq fpxqp1 sinp2π log xqq. Si pour tout k,» 8

0

xkfpxq sinp2π log xq dx 0.

alors g, qui est positive, sera une densité de probabilité et aura les mêmes moments que f . Et en eet, en faisantle changement de variable log x s k, l'intégrale se réduit à

1?2π

ek22

»R

es22 sin 2πxd s ;

qui s'annule car l'intégrande est impair.

Théorème. Supposons que la loi de X est déterminée par ses moments, que Xk a des moments à tout ordres, et

que limnÑ8 ErXrns ErXrs pour tout r, alors Xn

LÑ X.

Démonstration. Soient µn et µ les lois de Xn et X. Comme ErX2ns converge, elle est bornée par K. Par l'inégalité

de Markov, Pp|Xn| ¥ xq ¤ Kx2, ce qui implique que pµnq est tendue. Par le théorème de Helly, elle admet unesous-suite convergente.

Supposons que µnk Ñ ν et soit Y une v.a. de loi ν. Si u est pair et supérieur à r, la convergence et donc bornitudede ErXu

n s implique que ErXrnks Ñ ErY rs (corollaire à l'uniforme intégrabilité). Par hypothèses, ErXrs ErY rs, et

donc ν et µ ont même moments. Par hypothèses µ est caractérisée par ses moments, et donc µnk Ñ µ. La conclusionsuit du théorème d'Helly-Bray.

52

Théorème. Helly Pour toute suite pFnq de fonctions de répartition, il existe une sous-suite pFnkqk et une fonctioncroissante, continue à droiteF telle que limk Fnkpxq F pxq en tout point x de continuité de F .

Démonstration. On construit, par extraction diagonale une fonction G pour laquelle la convergence a lieu sur toutpoint de Q. On dénit ensuite F pxq inftGprq : x ru. Clairement F est croissante.

Pour chaque x et ε xé, il existe un r P Q tel que x r. Alors, Gprq F pxq ε. Si x ¤ y r, alorsF pyq ¤ Gprq F pxq ε. Ainsi, F est continue à droite.

Si F est continue en x, on choisit y tel que y x et deux rationnels r et s, tels que y r x s etGpxq F pxq ε. Comme F pxq ε Gprq ¤ Gpsq F pxq ε et Fnprq ¤ Fnpxq ¤ Fnpsq il s'ensuit que quand ktend vers 8, Fnkpxq a une limite supérieure et inférieure dans un intervalle de ε autours de F pxq.

Dénition. Une suite de mesure (de masse inférieure ou égale à 1) pµnq est tendue si pour tout ε il existe un Ktel que pour tout n, µprK,Ksq ¡ 1 ε.

Théorème. Helly-Bray, quelque fois Prokhorov La tension de la suite est une condition nécessaire et susante pourque toute sous-suite pµnkq il existe une sous-sous-suite et une mesure de probabilité pµnkpjqqj telle que µnkpjq Ñ

jÑ8µ.

Démonstration. Susance

Appliquons le théorème d'Helly à la sous-suite pFnkq des fonctions de répartition correspondantes. Il existe unesous-sous-suite pFnkpjqq telle que limj Fnkpjqpxq F pxq en tout point de continuité x de F , avec F continue à droiteet croissante. Il existe donc une mesure µ telle que µpsa, bsq F pbqF paq. Étant donné ε, on choisit a et b tels queµnpsa, b, sq ¡ 1 ε pour tout n, ce qui est exactement la tension. En réduisant a et augmentant b, on peut s'assurerqu'ils sont points de continuité de F . Mais alors, µpsa, bsq ¥ 1 ε. Ainsi, µ est une mesure de probabilité et doncµnkpjq Ñ µ.

Nécessité

Si pµnq n'est pas tendue, il existe un ε ¡ 0 tel que pour tout intervalle ni sa, bs, µnpsa, bsq ¤ 1 ε pour uncertain n. Choisissons nk telle que µnkps k, ksq ¤ 1 ε. Supposons qu'une sous suite pµnkpjqq de pµnkq convergefaiblement vers une mesure de probabilité µ. Cjhoisissons sa, bs tels que µptauq µptbuq 0 et µpsa, bsq ¡ 1 ε.Pour des j assez grand, sa, bs s kpjq, kpjqr et donc 1 ε ¥ µnkpjqps kpjq, kpjqrq ¥ µnkpjqpsa, bsq Ñ µpsa, bsq. Etdonc µpsa, bsq ¤ 1 ε ce qui est impossible.

Corollaire. Si pµkq est une suite tendue de mesures de probabilité et si toute sous suite qui converge convergefaiblement vers une mesure de probabilité µ, alors µn Ñ µ.

Démonstration. Par le théorème précédent, toute sous suite pµnkq contient une sous-sous-suite pµnkpjqq convergeantfaiblement vers une certaine limite, qui est par hypothèse µ. Ainsi toute sous-suite pµnkq contient une sous-sous-suiteconvergeant faiblement vers µ.

Supposons que l'on n'ait pas µn Ñ µ. Alors il existe un certain x tel que µptxuq 0 mais µnps 8, xs neconverge pas vers µps 8, xs. Mais alors, il existe un ε ¡ 0 tek que |µnkps 8, xs µps 8, xs| ¥ ε pour une suiteinnie pnkq d'entiers, et aucune sous suite de pµnkq ne peut converger faiblement vers µ, ce qui est impossible.

Antonii gratia scriptum

6.19 Transformée de Bargmann

Leçons : 201 208 213 234 236 243 250Source : Candelpergher, Calcul intégral, p282On introduit ici une transformée particulière sur L2, qui va permettre de mettre en lien cet ensemble avec une

partie des fonctions développables en série entière. Nous ne pensons pas que ce résultat soit très célèbre, nousn'avons vu aucune référence à celui-ci en dehors du livre de Candelpergher.

53

Dénition. On dénit les polynômes de Hermite sur R par :

H0 1 et @n P N, Hnpxq p1qn2n14πn2

?n!

e2πx2 Bnpe2πx2q.

Et les fonctions de Hermite sont dénies sur R par :

@n P N, hnpxq eπx2

Hnpxq.Propriété. Les fonctions de Hermite forment une base hilbertienne de L2pRq.

Transformée et espace de Bargmann

Pour z P C, la série°n¥0

zn?n!hn converge normalement sur L2pRq. Comme phnq est une base hilbertienne de

L2pRq, le produit scalaire de cette série avec f vaut :

Bfpzq :¸n¥0

zn?n!xhn, fy

Ce qui permet de dénir la transformée de Bargman de f . Par le théorème de Fubini, l'on peut réécrire cela plussimplement :

Bfpzq ¸n¥0

zn?n!xhn, fy

¸n¥0

zn?n!

»Rhnpxqfpxq dx

»R

¸n¥0

zn?n!hnpxq

fpxqdx,

le terme entre parenthèses est une série entière dont le terme général vaut :

214 eπx2

z

2?π

nn!

Bnpe2πx2q

On reconnaît alors la série de Taylor au point 0 de y ÞÑ e2πpu z

2?πq2 qui est analytique sur tout C. Ainsi :

Bfpzq »R

214 eπx2

e2πpx z

2?πq2fpxq dx 214

»R

eπx22xz

?π 1

2 z2

fpxq dx

Notons que la transformée de Bargmann est injective, car :

Bf 0 ñ @n P N, xhn, fy 0 ñ f 0.

L'image de L2pRq par la transformée de Bargmann B est l'ensemble ApCq appelé espace de Bargmann. C'est unsosu espace des fonctions analytiques sur C. Alors B : L2pRq Ñ ApCq est un isomorphisme qui induit une structurehilbertienne sur ApCq, en posant :

xBf,BgyApCq : xf, gyL2pRq.

Propriété. ApCq est l'espace des fonctions analytiques gpzq °azz

n sur C telles que°n¥0 n!|an|2 8.

Démonstration. Si f P L2pCq et Bfpzq °n¥0 anz

n, alors pour tout n P N :

xhn, fy ?n!an,

et par Parseval,°n!|an|2 8. Réciproquement si panq vérie cette propriété, on peut poser f

°n¥0

?n!anhn P

L2pRq, et on a bien Bfpzq °n¥0 ans

n P ApCq.

Utilisons maintenant cette transformée pour étudier la transformée de Fourier.L'on note F la transformée de Fourier dans L2pRq. On cherche à faire commuter le diagramme suivant :

54

L2pRq F //

B

L2pRqB

ApCq F // ApCq

C'est à dire que l'on cherche une fonction F telle que F pBfq BpFfq.Ce calcul est facile si φ P DpRq, il sut d'appliquer le théorème de Fubini et de voir que :»

Reαx

22βx dx cπ

αeβ2

α , α ¡ 0, β P C

On trouve alors,

BpF q 214»R

eπξ22ξz

?π 1

2 z2

»R

e2iπxξ φpxq dx

d ξ

214 ez22

»R

»R

eπξ22ξpz?πiπxq d ξ

φpxqdx

214»R

eπx22xpizq?π12pizq2 φpxq dx

Bφpizq

On peut étendre cette égalité par densité de DpRq dans L2pRq et continuité des opérateurs. Et donc, pour toutg P L2pRq :

F pgqpzq gpizq;ce qui correspond à la composée de g par une rotation d'angle π2.Il devient alors facile de calculer F phnq, dans l'espace de Bargmann, Bphnq zn?

n!et donc :

F pBhnqpzq piqn zn?n! piqnBphnq.

Ce qui implique :

B1FBphnq F phnq piqnhnet l'on a diagonalisé la transformée de Fourier dans la base de Hermite.

Découvert par le fameux Antoine Diez

6.20 Prolongement de la fonction ζ de Riemann

Leçons : 207 235 239 241 245Source : Bernard Candelpergher, Calcul intégral.

On va ici prolonger la fonction ζ de Riemann en dehors de son domaine naturel de dénition t<pzq ¡ 1u, endonnant une équation fonctionnelle de celle-ci. On a aussi besoin de la dénition des produits innis et de propriétésde la fonction Γ, qui sont détaillées dans la suite de Canderlpergher.

Prérequis

On dénit la fonction θ de Riemann par :

θptq ¸nPZ

en2xπ;

55

elle vérie :

θpxq 1?xθ

1

x

On dénit alors, φpxq 12 pθpxq 1q °

n¥1 en2πx qui vérie l'identité : φpxq 1

2

x12 1 2x12φ

1x

Théorème. On va montrer que ζpsq °

n¥11ns , <psq ¡ 1 est prolongeable sur tout Ct1u et vérie l'équation

fonctionnelle suivante :

Γs

2

πs2ζpsq Γ

1 s

2

πp1sq2ζp1 sq

Par dénition de Γ : Γpsqπs 1n2s

³80

en2πx xs1 dx

On peut écrire : ζp2sqπsΓpsq °8n1

³80

en2πx xs1 dx

Or, l'on a convergence de la série suivante pour <p2sq ¡ 1 :

8

n1

» 8

0

| en2πx xs1|dx 8

n1

» 8

0

en2πx x<psq1 dx

8

n1

1

n<p2sq

π<psq

» 8

0

et t<psq1 d t.

Et donc :

ζp2sqπsΓpsq » 8

0

8

n1

en2πx xs1 dx

» 8

0

φpxqxs1 dx.

Finalement, on a :

ζpsq πs2

Γps2q» 8

0

φpxqxs21 dx.

Montrons que cette écriture permet de prolonger ζ en dehors du demi-plan dans lequel est elle originellementdénie. Pour cela, l'on écrit :

ζpsq πs2

Γps2q» 1

0

φpxqxs21x. » 8

1

φpxqxs21 dx

,

la première intégrale peut alors s'écrire :» 1

0

φpxqxs21 » 1

0

1

2 x12

2 x12φp1xq

xs21 dx

» 1

0

1

2 x12

2

xs21

» 1

0

x12φp1xqxs21 dx 1

s 1 1

s» 1

0

φp1xqxs232 dx

1

s 1 1

s» 8

1

φpyqyp1sq2 d y.

Et donc, on a pour expression de ζ tant que <psq ¡ 1 :

ζpsq πs2

Γps2q

1

s 1 1

s

πs2

Γps2q» 8

1

φpxqpxs2 xp1sq21

xdx.

Le deuxième terme est analytique dans tout C, par analycité de 1Γ , et par la domination dans les bandes

a <psq b :

|φpxqpxs2 xp1sq2q 1

x| ¤

8

n1

eπnx

x<psq2 xp1<psqq2 1

x¤ xb2 xp1aq2

xpenπx1q .

Le premier terme est quant à lui analytique dans tout C car s ÞÑ πs2Γps2q

1s1

admet une singularité en 1 qui

avait été annoncée, et en 0 qui est eaçable (cela se voit dans le développement en produit inni de Γ. Et donc,comme l'on a égalité de ζ et de cette fonction sur tout un demi plan, qui contient un point d'accumulation, l'on aégalité sur tout Ct1u et donc le prolongement attendu.

56

On peut écrire alors :

Γps2qπs2ζpsq 1

1 s 1

s

» 8

1

φpxqpxs2 xp1sq2q 1

xx.

et en changeant s en 1 s l'on a :

Γps2qπs2ζpsq Γ

1 s

2

πp1sq2ζp1 sq

Sur une idée du toujours innovant Antoine Diez

6.21 Stabilité en première approximation

Leçons : 218 220 221 224Source : Gonnord Tosel, Calcul diérentiel ; Carmen Chicone, ODE with applications.On a rassemblé ici deux résultats, ce sont des preuves qui montrent bien le rôle de la fonction de Lyapounov.

Pour une preuve sans cela, on peut se reporter à Rouvière Petit guide de calcul diérentiel.

Un lemme d'algèbre linéaire

Propriété. Soit A un endomorphisme de Rd et ε ¡ 0, il existe une base dans laquelle la matrice (du complexié)de A soit triangulaire supérieure avec tous les termes surdiagonaux de module inférieur à ε.

Démonstration. On considère une base peiq de trigonalisation de A et on pose fi αi1ei. Le résultat est obtenupour α susamment petit.

Lemme 5. Soit A un endom de Rd donc les vp sont toutes de partie réelle strictement positive. Alos, il existe unproduit scalaire euclidien p, q sur Rd et un réel α ¡ 0 tels que si désigne la norme euclidienne associée,

@x P Rd, pAx, xq ¥ αx2.Démonstration. Soit ε ¡, dans une base triangularisant A, avec tous les termes surdiagonaux de module inférieurstrictement à ε, on pose,

px, yq <d

i1

xiyi.

Soit ρ ¡ 0 tel que toutes les vp de A soient de partie réelle ¡ ρ, on vérie par calcul matriciel que,

pAx, xq ¥ ρx2 dεx2.D'où le résultat avec α ρ2 et ε αd.

Un critère de stabilité et de stabilité en première approximation

Théorème. Lyapounov Soit f : Ω Rd Ñ Rd un champ localement lipschitzien dont x0 P U Ω est un équilibre.Supposons qu'il existe une fonction V : U Ω Ñ R, C1, dite de Lyapounov, telle que :

1. V px0q 0 ;

2. @x P Uztx0u, V pxq ¡ 0 ;

3. @x P U, dV pxqfpxq ¤ 0.

Alors x0 est un équilibre stable et si de plus, dV pxqfpxq 0 pour tout x P Ωztx0u alors x0 est un équilibreasymptotiquement stable.

57

Démonstration. On note Bεpx0q la boule ouverte de centre x0 et de rayon ε et Sεpx0q la sphère correspondante.Soit ε ¡ 0 tel que Bε U . Puisque V ne s'annule pas une le compact Sεpx0q, il existe m ¡ 0 tel que V pxq ¥ m

pour tout x P Sεpx0q. En outre, par continuité de V , il existe 0 δ ε tel que V pxq ¤ m2 pour tout x P Bδpx0q.Soit x P Bδpx0q. Par décroissance de la fonction t ÞÑ V pφtpxqq on a V pφtpxqq m pour tout temps, où la solutionde l'équation, φ tpxq, est dénie. Par continuité des trajectoires, φtpxq e peut pas traverser Sεpx0q donc pour toutt où la solution est dénie, φtpx0q P Bεpx0q. Par le théorème de sortie de tout compact, la solution est dénie pourtout t ¡ 0 et reste dans Bεpx0q.

Si la fonction de Lyapounov est stricte. Soit x P Bδpx0q. Par compacité de Bεpx0q ou bien φtpxq Ñ x0 lorsquet Ñ 8 ou bien il existe une sous-suite croissante ptkq telle que φtkpxq Ñ x, avec x x0. Si x0 n'est pasasymptotiquement stable, on est dans la deuxième situation pour au moins un point x P Bδpx0q. Par continuité etstricte décroissance sur les orbites de V , on a déjà V pφtkpxqq Ñ V pxq et V pφtkpxqqq ¡ V pxq. De plus, toujourspar stricte décroissance de V sur les orbites,

limkÑ8

V pφ1tkpxqq limkÑ8

V pφ1pφtkpxqqq V pφ1pxqq V pxq.

Soient l tel que que V pφ1tkpxqq V pxq et j ¡ l tel que tj ¡ 1 tl. Alors, on a :

V pφtj pxq V pφ1tlpxqq V pxq.C'est une contradiction

Théorème. Stabilité en première approximation Soit f : Ω Rd Ñ Rd un champ de vecteur C1 tek que 0 soit unéquilibre et dont la matrice d fp0q ait toutes ses valeurs propres de partie réelle strictement négative. Alors x0 estun équilibre asymptotiquement stable.

Démonstration. Par le lemme précédent, il existe α ¡ 0, un produit scalaire p, q et sa norme associée tels que :

@h P Rd, pd fp0qh, hq ¤ αh2.Soit r ¡ 0 tel que B : Bp0, rq Ω et

@x P B, fpxq d fp0qx ¤ α

2x.

La fonction V|B : x ÞÑ x2 est une fonction de Lyapounov pour fB puisque pour tout x P B :

dV pxqfpxq 2px, fpxqq 2 ppx, d fp0qxq px, fpxq d fp0qxqq ¤ 2αx2 α

2x2

αx2

Théorème de Cetaev et un résultat d'instabilité

Théorème. Cetaev Soit f : Ω Rd Ñ Rd un champ localement lipschitzien dont x0 est un équilibre. On supposequ'il existe un ouvert U Ω et une fonction V : Ω Ñ R C1 telle que :

1. @x P U, V pxq ¡ 0 ;

2. @x P U, dV pxqfpxq ¡ 0 ;

3. @x P BU, V pxq 0 ;

4. x0 P BU .Alors x0 est un équilibre instable.

Démonstration. Supposons par l'absurde que φtpxq soit dénie pour tout t P R, à valeurs dans B. On dénit :

g : R Ñ R, t ÞÑ V pφtpxqqqui est une fonction C1 sur R telle que :

g1ptq dV pφtpxqqfpφtpxqq.il n'est pas trop dicile de voir que φtpxq P U pour tout t P R. On considère le compact

58

K ty P U XB, V pyq ¥ V pxquPar croissance de g, φtpxq P K pour tout t P R. De plus, K U donc il existe α ¡ 0 tel que :

@y P K, dV pyqfpyq ¥ α

de telle sorte que g1ptq ¥ α pour tout t P R et gptq Ñ 8 lorsque tÑ 8. C'est absurde puisque V est bornéesur K.

Théorème. Condition d'instabilitéSoit f : Ω Rd Ñ Rd un champ de vecteur C1 tel que 0 soit un équilibre et dont la matrice d fp0q a au moins

une valeur propre de partie réelle strictement positive. Alors, 0 est instable.

Démonstration. Notons P le polynôme caractéristique de d fp0q et on écrit, P P1P2 où P1 n'a que des racines departie réelle dans R (resp. P2 dans R). Notons Ei KerPipd fp0qq. Par hypothèse E1 t0u et par le lemme desnoyaux,

Rd E1 ` E2.

Le lemme préliminaire donne α ¡ 0, un produit scalaire p, q et sa norme associée tels que :1. E1 et E2 sont orthogonaux pour p, q ;2. @h P E1, pd fp0qh, hq ¥ 2αh2 ;3. @h P E2, pd fp0qh, hq ¤ αh2.Pour v v1 v2 P E1 ` E2, on pose V pvq v12 v22 et on va tenter d'appliquer le théorème de Cetaev.Posons U1 tx P Rd, V pxq ¡ 0u et on note,

A d fp0q, fpxq Ax gpxq où gpxq ppxq.Pour x x1 x2 P U1 et h h1 h2 on a,

dV pxqfpxq2 ppx1, Ax1q px2, Ax2q px1 x2, gpxqqq .Soit ε ¡ 0 tel que pour x ¤ ε,

gpxq ¤ α

4x.

Comme x1 x2 x, on a px1 x2, gpxq ¤ αx24 ¤ αx122 et

dV pxqfpxq ¥ 2αp2x12 x22q 2px1 x2, gpxqq ¥ αx12 ¡ 0.

Le résultat découle du théorème de Cetaev appliqué à l'ouvert U1 \Bp0, εq.

Compilé et compulsé par l'intarissable Antoine Diez

6.22 Système de Van der Pol

Leçons : 214 215 220 221Source : Carmen Chicone ODE with ApplicationsOn s'intéresse aux perturbations d'un système diérentiel très simple, et on va chercher à caractériser les tra-

jectoires qui restent périodiques. L'étude complète de ce système est encore un problème ouvert.Pour ε ¡ 0 on étudie le système suivant :

:x εpx2 1q 9x x 0

que l'on réécrit sous la forme d'un système du premier ordre :

(VdP)

"9x y9y x εpx2 1qy

59

Que l'on note donc :

9X AX εfpXq FεpXq, X x1

avec,

A

0 11 0

et fpXq

0

px2 1qy.

Qui est une perturbation de :x x 0 de solution de la forme : t ÞÑ x0 cosptq 9x0 sinptq. On s'intéresse auxsolutions périodique de (VdP).

Propriété. Pour tout ε ¡ 0, et pour toute condition initiale X0 px0, y0q le système pV dP q possède une uniquesolution, qui est globale.

Démonstration. La fonction Fε est C1 et donc il existe une unique solution maximale, dénie sur un ouvert, notéeXptq pxptq, yptqq. On dénit alors l'énergie du système :

Eptq 1

2y2 1

2x2

et alors,

E1ptq εpx2 1qy2.

on va alors séparer l'étude en deux cas : si |xptq| ¤ 1 alors yptq est bornée par Gronwall, et si |xptq ¡ 1 alorsE est décroissante et donc Xptq2 est bornée. Dans les deux cas, le critère de sortie de tout compact permet deconclure que la solution est globale.

Soit ξ ¡ 0. On note φtpξ, εq le ot de (VdP) associé à la condition initiale xp0, εq : ξ et yp0, ε : 0.

Propriété. Pour ε ¡ 0 assez petit, il existe une fonction T , C1, pξ, εq ÞÑ T pξ, εq telle que

φT pξ, εqpξ, εq P Rt0u, T pξ, 0q 2π et φT pξ,0qpξ, 0q pξ, 0q.On dénit alors la fonction :

pξ, εq ÞÑ P pξ, εq : xpT pξ, εq, εq.Remarque. Cette fonction indique le premier temps auquel la trajectoire recoupe dans l'espace des phases l'axed'origine (pseudo-période).

Démonstration. Soit ξ ¡ 0, on va appliquer le théorème des fonctions implicites à :

pt, λ, εq P RRR ÞÑ gpt, λ, εq pφtpλ, εq pξ, 0qq Fεpξ, 0q.En eet, φtpλ, εq P Rt0u si et seulement si φtpλ, εq pξ, 0q est orthogonal à Fεpξ, 0q.Puisque la solution du système non perturbé est 2π-périodique,

gp2π, ξ, 0q 0 etBgBt pt, λ, εq Fεpλ, 0q Fεpξ, 0q.

Ainsi, BgBt p2π, ξ, 0q F0pξ, 0q2 ¡ 0.

S'intéresser aux solutions périodiques revient à étudier les points xes de ξ ÞÑ P pξ, εq, c'est à dire aux zéros de :

δpξ, εq : P pξ, εq ξ qui vérie δpξ, 0q 0 pour tout ξ ¡ 0.

Plus précisément, on va chercher une courbe ε ÞÑ βpεq telle que

δpβpεq, εq 0, pour ε ¡ 0 assez petit.

On ne peut pas appliquer le théorème des fonctions implicites à δ, mais comme :

60

δpξ, εq εBεδpξ, 0q Opε2qon peut poser :

∆pξ, εq 1

εδpξ, εq

que l'on prolonge par continuité en ε 0 et qui vérie :

∆pβpεq, εq 0 ô δpβpεq, εq 0.

Vérions alors que :

Bξ∆pξ, 0q 0 i.e. B2ξεδpξ, 0q 0.

Par dénition de δ on a :

Bεδpξ, 0q x1pT pξ, 0q, 0qBεT pξ, 0q BεxpT pξ, 0q, εq.Or, T pξ, 0q 2π et x1pT pξ, 0q, 0q yp0, 0q 0. Il n'y a donc que le second terme à calculer. On dérive le

système pV dP q par rapport à ε et l'on trouve (avec le lemme de Schwarz),

pBεxq1pt, 0q Bεypt, 0qpBεyq1pt, 0q Bεxpt, 0q px2pt, 0q 1qypt, 0q

avec les conditions initiales

Bεxp0, 0q 0 et Bεyp0, 0q 0.

On résout ce système linéaire inhomogène par variation de la constante :Bεxpt, 0qBεypt, 0q

» t0

eptsqA

0p1 xps, 0q2qyps, 0q

d s.

En particulier, on peut montrer par un calcul que :

Bεxp2π, 0q Bεδpξ, 0q ∆pξ, 0q » 2π

0

sinpsq p1 ξ2 cos2 sqξ sin s

d s π

4ξp4 ξ2q.

En conclusion, ξ 2 est le seul zéro de ∆pξ, 0q et il est simple. Par le théorème des fonctions implicites, il existedonc une fonction ε ÞÑ βpεq dénie sur un voisinage de ε 0 telle que βp0q 2 et pour tout ε ¡ 0 dans ce voisinage,le système pV dP q associé a une orbite périodique avec condition initiale pxp0, εq, yp0, εqq pβpεq, 0q.

La suite serait de calculer des développements asymptotiques des périodes.

Travail issu des ÷uvres du fantastique Antoine Diez

61

Chapitre 7

Algèbre

L'insomnie est la seule forme d'héroïsme compatible avec le lit.

Cioran, Syllogismes de l'amertume

7.1 Algorithme de Berlekamp

Leçons : 122 123 141 151Source : Objectif AgregationIl est impossible de décomposer de manière générale un polynôme de RrXs en produits d'irréductibles, cependant,

on va voir que sur un corps ni on dispose d'un algorithme relativement simple.L'algorithme suivant permet d'écrire la décomposition d'un polynômes en produit d'irréductibles.On se place dans Fq, q ps, p premier.On dénit pour R P Fqrxs la fonction :

SR :

"FqrXsxRy ÝÑ FqrXsxRyQpXqmodpRq ÞÑ QpXpqmodpRq .

Cette fonction coïncide avec l'élévation à la puissance p, puisque δ1 :

"FqrXs Ñ FqrXsQpXq ÞÑ QpXpq est l'élévation à la

puissance p (i.e. δ1pQq Qp puisque ap a, et on passe au quotient par la projection canonique.Algorithme de Berlekamp :Soit P P FprXs un polynôme sans facteurs carrés. Soit x XmodpP q dans

FqrXsxP y, et B p1, x, x2, . . . , xdegP1q une base de FqrXsxP y. L'algorithme suivant s'arrête en un nombre nid'étapes et donne la décomposition de P en irréductibles.

1. On calcule la matrice de SP Id dans B et on passe à 2.

62

2. Le nombre de facteurs irréductibles de P est

r dimpKerpSP Idqq degpP q rgpSP Idq.

Si r 1 l'algorithme s'arrête. Sinon on passe à l'étape 3.

3. On calcule V congru à un polynôme de FqrXs non constant modulo P et tel que : VmodpP q P KerpSP Idq.Par l'algorithme d'Euclide, on calcule les pgcdpP, V αq, @α P Fq, et alors :

P ¹αPFq

pgcdpP, V αq,

et on recommence à 1 avec chaque terme du produit.

Démonstration. On écrit la décomposition en irréductibles de P : P ±ri1 Pi

Soit φ : FqrXsxP y ÝÑ K1 Kr, isomorphisme par le théorème chinois, avec Ki FqrXsxPiy.Soit S : φ SP φ1 : K1 Kr ÝÑ K1 Kr l'élévation à la puissance q dans l'anneau produit.Alors px1, . . . , xrq P KerpSP Idq ô pxp1, . . . , xqrq px1, . . . , xrq ô @i P J1, rK, xqi xi dans Ki.Soit L extension de Fq, l'image de Fq dans L est l'ensemble des éléments vériant xq x. En eet, le théorème

de Lagrange appliqué à Fq donne xq x, comme 0 vérie aussi cette égalité, elle est vraie pour tout élément deFq. Réciproquement, si on considère Xq X P LrXs, il est de degré q a au plus q racines et on en connait q, leséléments de Fq, il n'y a donc qu'eux qui vérient cette propriété.

Finalement, px1, . . . , xrq P KerpSPIdq ô @i, xi P Fq ãÑ Ki. Et doncKerpSPIdq pFqqr. OrKerpSPIdq φpKerpSP Idqq, φ est un isomorphisme et donc r dimpKerpSP Idqq.

Montrons maintenant la décomposition donnée lors de l'étape 3 :Si r ¡ 1, l'ensemble tUmodpP q, U congru à un polynome non constant modulo P u est la droite vectorielle de

FqrXsxP y engendrée par x1y.Or, dimpKerpSP Idqq ¡ 1 donc il existe bien un V tel que cherché dans le noyau.Montrons maintenant que P ±

αPFq pgcdpP, V αq. On observe que,

VmodpP q P KerpSP Idq ô pVmodPi, . . . , VmodPrq P pFqqr,

On note αi VmodPi P Fq Ki, alors :

pgcdpP, V αq ¹

i,αiαPi.

En eet, pgcdpP, V αq divise P , il est donc de la forme±iPIα Pi, avec les Pi premiers deux à deux. Le théorème de

Gauss donne donc Iα ti P J1, rK, Pi|V αu. Or, @i P J1, rK ô V α 0modpPiq ô Pi|V α. Et donc, Iα J1, rK,et on a le résultat.

Pour nir,

P r¹i1

Pi ¹αPFq

¹i,αiα

Pi

.

Montrons que le degré décroît strictement.V est non constant modulo P et donc il existe i j teks que αi αj . Et donc dans la décomposition précédente,

au moins deux termes sont non triviaux, ce qui assure la décroissance du degré.

Rendu possible grâce à l'admirable pédagogie d'Aude Le Gluher

7.2 Algorithme de Faddeev

Leçons : 142 144 153Source : Francinou Gianella Nicolas, Algèbre 2 et 1

63

Théorème. Soit A PMnpCq. On dénit la suite pAnq par :

Ak A

Ak1 1

kTrpAk1qIn

.

Alors les coecients de χA sont p1qkk1 TrpAkq.

Ce qui fournit une méthode de calcul du polynôme caractéristique plus ecace et rapide que le calcul direct dedetpXIn Aq.Démonstration. On a par récurrence immédiate pour tout k P J0, nK :

Ak Ak1 TrpA0qAk 1

2TrpA1qAk1 1

kTrpAk1qA.

Notons λ1, . . . , λn les valeurs propres de A comptées avec multiplicité. Les valeurs propres de Ak sont les λki etl'on a, TrpAkq °n

i1 λki . On obtient alors TrpA0q TrpAq et :

TrpA1q TrpA2q TrpAq2 n

i1

λ2i

n

i1

λi

2

2¸

1¤i¡j¤nλiλj .

Notons σ1, . . . , σn les fonctions symétriques élémentaires en les valeurs propres, on a donc TrpA0q σ1, TrpA1q 2σ2.

Montrons par récurrence sur k que TrpAkq p1qkpk 1qσk1. Ceci est vrai pour k 2 et k 1. Montrons laau rang k, la propriété étant supposée vériée jusqu'à k 1. Posons Sp

°ni1 λ

pi .

TrpAkq TrpAk1 TrpA0qTrpAkq 1

2TrpA1qTrpAk1q 1

kTrpAk1qTrpAq

Sk1 σ1Sk p1qkσkS1.

Le lemme suivant donne :

Sk1 Σ1Sk p1qkσkS1 p1qkσkS1 p1qk1pk 1qσk1 0 ;

et donc on a, TrpAkq p1qkpk 1qσk1 ce qui conclut la preuve.En particulier, on a :

An An1 σ1An σ2A

n1 σnA.

Comme λ1, . . . , λn sont les racines du polynôme caractéristique on a

χA Xn n1

k0

p1qkσkXnk

ce qui conclut le théorème.

Lemme 6. Soit n ¥ 2, K un corps commutatif, x1, . . . , xn P K. On considère pour p P N, Sp °ni1 x

pi et l'on

note σ1, . . . , σn les fonctions symétriques élémentaires en les xi, dénies par :

σk ¸

1¤i1 ik¤nxi1 . . . xik .

Alors,

Sp σ1Sp1 p1qnσnSpn 0

64

Démonstration. Considérons P ±ni1pX xiq P KrXs. Il a pour expression :

P Xn n

i1

p1qσiXni.

Pour 1 ¤ i ¤ n et p ¥ n on a P pxiq xni σ1xn1i p1qpσp 0 et donc en multipliant par xpni ,

xpi σ1xp1i p1qnσnxpni 0.

En additionnant, pour 1 ¤ i ¤ n, on obtient,

Sp σ1Sp1 p1qnσnSpn 0

7.3 Déterminant de Cayley-Menger

Leçons : 151 152Source : Zavidovique, Un max de mathsLe déterminant est un volume (il n'est pourtant pas trivial de faire le lien avec la mesure de Lebesgue dans Rn),

on va voir que l'on peut calculer des volumes en connaissant les longueurs des arrêtes d'un simplexe (en réalité unegrande réexion serait nécessaire pour trouver l'objet dont on calcule le volume).

On se place dans Rn muni de sa structure euclidienne standard, on note pe1, . . . , enq sa base canonique ortho-normée pour le produit scalaire canonique x, y et d'une forme volume caractérisée par detpe1, . . . enq 1

Dénition. Soient x0, . . . , xn des points, et dij dpxi, xjq dji xi xj (notons que l'on a dpxi, xiq 0). Ondénit le déterminant de Cayley-Menger par :

Γpx0, . . . , xnq

0 1 1 11 d0,0 d0,1 d0,n

1 d1,0. . .

......

. . . dn,n

Propriété. Si x0, . . . , xn sont des points de Rn l'on a la caractérisation suivante du volume du simplexe déni parces points :

detpx1 x0, . . . , xn x0q2 p1qn1

2nΓpx0, . . . , xnq

Corollaire. Dans le cas de trois points on retrouve la formule de Héron, avec a, b, c les trois distances entre lespoints et p a b c :

S appp aqpp bqpp cq

Démonstration. Les calculs sont inintéressant au possible :

detpx1 x0, . . . , xn x0q

x1

1 x10 xn1 xn0

......

x1n x1

0 xnn xn0

p1qn

x10 . . . xn0 1

x11 x1

0 xn1 xn0 0...

......

x1n x1

0 xnn xn0 0

p1qn

x10 . . . xn0 1x1

1 xn1 1...

......

x1n xnn 1

p1qn

x10 . . . xn0 1 0x1

1 xn1 1 0...

......

...x1n xnn 1 00 0 0 1

.

On écrit ensuite le déterminant recherché comme étant ce déterminant multiplié par sa transposée :

65

detpx1 x0, . . . , xn x0q2

x10 . . . xn0 1 0x1

1 xn1 1 0...

......

...x1n xnn 1 00 0 0 1

x10 x1

1 x1n 0

......

......

xn0 xn1 xnn 01 1 1 00 0 0 1

,

puis on permute les deux dernières lignes du deuxième déterminant :

x10 . . . xn0 1 0x1

1 xn1 1 0...

......

...x1n xnn 1 00 0 0 1

x10 x1

1 x1n 0

......

......

xn0 xn1 xnn 00 0 0 11 1 1 0

.

En refusionnant tout cela :

xx0, x0y xx0, x1y xx0, xny 1xx1, x0y xx1, x1y xx1, xny 1

......

. . ....

...xxn, x0y xxn, x1y xxn, xny 1

1 1 1 0

puis, l'on a xxi, xjy 1

2 pxi2 xj2 d2ijq,

Ce qui permet d'obtenir :

x02 x02xn2d20,n2 1

.... . .

......

xn2x02d20,n2 xn2 11 1 0

l'on fait maintenant disparaître les normes en utilisant les 1 sur les dernières lignes et colonnes (ça marche bien),

et nalement :

0 d20,12 d20,1

2 1

d21,02 0 d21,n

2 1...

.... . .

......

d2n,02 d2n,1

2 0 11 1 1 0

.

On multiplie ensuite toutes les colonnes sauf la dernière par 2, et nalement la dernière ligne par 12 :

p1qn2n1

0 d20,1 d2

0,1 1d2

1,0 0 d21,n 1

......

. . ....

...d2n,0 d2

n,1 0 12 2 2 0

p1qn

2nΓpx0, . . . , xnq

La partie intéressante maintenant, une forme de réciproque permettant de construire, étant donnés des distancesun simplexe ayant ces distances pour côtés :

Théorème. On se place toujours dans RnSoient pdi,jq0¤i,j¤n des nombres réels positifs tels que pour tous i, j, di,j dj,i ¡ 0 si i j et di,i 0.Il existe des points x0, . . . , xn sommets d'un simplexe non dégénéré tels que pour tous i, j, di,j xi xj si

et seulement si pour toute sous famille de k indices i1, . . . , ik dans t0, . . . , nu, le déterminant de Cayley-Mengerassocié à ces réels est de signe p1qk.

66

Démonstration. Sens direct :

L'égalité précédente donne le résultat, puisqu'une sous famille de h distances correspond à une sous famille deh points qui forment un simplexe dans Rh1 (il sut de se placer dans le plan ane contenant ces points), et lesigne du déterminant de Cayley-Menger est donné par le p1qh.

Sens réciproque :

On procède par récurrence d'ordre 2 sur la dimension n.

Initialisation : En dimension 0 ou 1 le résultat est vrai, un point constituant toujours un simplexe de dimension0, et dans R il sut de placer un point en 0 et l'autre à distance d0,1. En dimension 2 c'est une construction classiqueau compas.

Hérédité : Soient pdi,jq0¤i,j¤n2 des distances comme dans les hypothèses. Soit Z un sous espace vectoriel dedimension n dans Rn2, on applique dessus la propriété de récurrence avec les pdi,jq0¤i,j¤n, ce qui permet deconstruire les premiers points x0, . . . , xn.

Soit Y un hyperplan de Rn2 contenant Z, on applique dessus la propriété de récurrence avec les pdi,jq1¤i,j¤n1

en faisant coïncider les premiers points, ainsi l'on a construit un nouveau point xn1.Sur ce même hyperplan on applique à nouveau la propriété de récurrence avec pdi,jqi,jPt1,...,n,n2u, ce qui permet

de construire de la même manière un point x1n2.Notons h le projeté orthogonal de x1n2 sur Z, et W l'espace ane de dimension 2 orthogonal à Z passant par

h (il est supplémentaire orthogonal de Z). Et soit C le cercle inclus dans W passant par x1n2 de centre h.Alors, notons que pour tout x P C, et pour tout i ¤ n, x xi di,n2. C'est à dire qu'il ne reste qu'à trouver

sur le cercle un point vériant x xn1 dn1,n2. On note x2n2 l'autre point d'intersection du cercle et de W ,on supposera (quitte à échanger les points x1n2 et x2n2) que le point x

1n2 est le plus proche de xn1 (c'est à dire

du même côté dans W par rapport à Z).

Si ξ P R, on dénit :

Gpξq

0 1 1 1 11 0 d2

0,1 d20,n1 d2

0,n2

1 d21,0 0 d2

1,n1 d21,n2

......

.... . .

......

1 d2n1,0 d2

n1,1 0 ξ1 d2

n2,0 d2n2,1 ξ 0

C'est le déterminant de Cayley-Menger dans lequel on a remplacé la distance dn1,n2 par ξ. Cette fonction est

polynomiale de degré 2, il est de la forme, en développant par rapport aux deux dernières colonnes :

Gpξq Γpx0, . . . , xnqξ2 aξ b, a, b P R .

67

Par hypothèse, Γpx0, . . . , xnq est de signe p1qn1, et Gpdn1,n2q est de même signe. On sait aussi, puisqueles simplexes engendrés par px0, . . . , xn 1, x1n2 et px0, . . . , xn 1, x2n2 sont de volume nuls (dégénérés), queGpxn1 x1n2q Gpxn1 x2n2q 0.

Comme G est polynomiale du second degré, elle est de signe opposé à son coecient dominant entre ses racines,c'est à dire sur I rxn1 x1n2, xn1 x2n2s, et dn1,n2 P I puisque son image par G est du même signe.Or, quand x parcourt C, Gpxxn1q parcourt exactement I et donc, par le théorème des valeurs intermédiaires :

Dxn2 P C, xn2 xn1 dn1,n2

Remarque. Dans le cas n 2, la situation est particulière en ce que Z est un point et W est l'ensemble de R2.

7.4 Décomposition de Dunford Eective

Leçons : 153 154 155 157 160Source : Risler BoyerCadre : On prend A PMdpRq, à polynôme minimal scindé. La décomposition de Dunford est une décomposition

unique de la forme D,N PMdpRq telles que : A D N ; D diagonalisable ; N nilpotente ; D et N commutent ; A et D sont des polynômes en A.

Lemme 7. Soit R ±ni1pXλiqmi où R P RrXs et les λi P C sont deux à deux distincts. Soit P ±n

i1pXλiq.Alors on a :

P R

R^R1,

et donc P P RrXs.Démonstration. Si pX λiqmi divise R, alors pX λiqmi1 divise R1. Ainsi, le pgcd unitaire de R et R1 contiendrale terme pX λiqmi exactement mi 1 fois. Et donc R

R^R1 sera divisé une et une seule fois par pX λiq. On vériealors que P est unitaire et donc on a bien l'égalité.

Appliquons le lemme dans le cas R χA. P est le produit des pX λiq pour λi qui décrit les diérentes valeurspropres de A. Il est ainsi scindé à racines simples et vérie donc P ^ P 1 1. Il s'en suit que P d ^ P 1 1 et doncconsidérons U, V P RrXs tels que V P d UP 1 1.

En évaluant l'égalité précédente en A, on obtient UpAqP 1pAq Id V pAqP dpAq, or χA divise P d et doncP dpAq 0 et ainsi, UpAqP 1pAq Id. (P 1pAq est inversible d'inverse UpAq, on peut le calculer).

On peut même remarquer que toute matrice M vériant P dpMq 0 satisfait à UpMqP 1pMq Id.La formule de Taylor reste intégral nous donne une expression de P pX Y q :

P pX Y q P pXq Y P 1pXq Y 2

» 1

0

p1 tqP 2pX tY q d tlooooooooooooooooomooooooooooooooooonQpX,Y qPRrX,Y s

.

Décrivons maintenant l'algorithme de Newton.

Posons A0 A et An1 An P pAnqpP 1pAnqq1.Montrons par récurrence A1, . . . , An existent, sont des polynômes en A et il existe Bn P RrXs, P pAnq

P pAq2nBnpAq.Initialisation : ok.Hérédité : P dpAnq P pAnqd 0, car P pAqd 0, et donc d'après la remarque précédente, on a toujours

UpAnqP 1pAnq Id. On a donc l'existence de An1.Notons Yn P pAnqUpAnq P RrAs, on a P pAn1q P pAn,Ynq P pAnq YnP

1pAnq Y 2QpAn Ynq.

68

Alors, on peut vérier que P pAnqYnP 1pAnq 0 et donc P pAn1q P pAnq2UpAnq2QpAn,Ynq P pAq2n1

B2npAnqUpAnqQpAn,Ynq.

Reste à poser Bn1pAq B2npAqUpAnqQpAn,P pAnqUpAnqq qui est bien un polynôme de RrAs ce qui achève la

preuve.

Montrons maintenant la convergence.à partir d'un certain rang n, 2n ¡ d, et donc P pAnq P pAq2nBnpAq 0 car P pAqd 0. Donc, An1 An

et la suite est stationnaire. Appelons D An cette limite, comme P pDq P pAnq 0, D possède un polynômeannulateur scindé à racines simples, elle est donc diagonalisable sur C.

Notons N AD, alors N A0 An °n1k0 Ak Ak1

°n1k0 P pAkqUpAkq. Or, pour tout k, P pAq divise

P pAkq et donc P pAq divise N et donc Nd 0.Et on a la décomposition voulue.

7.5 Ellipsoïde de John-Loewner

Leçons : 152 170 171 229Source : Oraux X-ENS algèbre 3 ; site de Florian Lemonnier.Pour obtenir un résultat moins inintéressant, on pourrait chercher un ellipsoïde non centré en 0. Une fois cela fait,

ces résultats ont été inventés pour étudier les collisions en physique, conjointement avec l'existence d'un ellipsoïdeinscrit (cf : Wikipedia).

Théorème. Soit K compact de Rn d'intérieur non vide, il existe un unique ellipsoïde centré en 0 contenant K devolume minimal.

Démonstration. On note Q, Q et Q l'espace des matrices symétriques, symétriques positives et dénies positivesrespectivement.

Simplions le problème. Soit q P Q, alors dans une bonne base, on peut écrire : qpxq °i aix

2i

Vq ». . .

»a1x2

1anx2n¤1

dx1 . . . dxn

Par un habile changement de variable xi ti?ai

de jacobien 1?a1...an

on obtient :

Vq ». . .

»x21x2

n¤1

dx1 . . . dxn?a1 . . . an

V0?a1 . . . an

Où V0 est le volume de la boule unité.De plus, le déterminant de S matrice de q est invariant par changement de base orthonormée, on a donc

Dpqq detpSq a1 . . . an. Ainsi, le travail se limite à étudier la fonction q ÞÑ Dpqq et à la maximiser.

Dénissons : Npqq supx¤1 |qpxq| norme sur Q (toutes sont équivalentes).

On va chercher à maximiser D sur A tq P Q,@x P K|qpxq| ¤ 1u .Déni ainsi, A est compact, convexe et non vide : ConvexeSi q et q1 sont des éléments de A, et λ P r0, 1s. Alors, @x P Rn t0u,

λqpxq p1 λqq1pxq ¡ 0

Et si x P K,

λqpxq p1 λqq1pxq ¤ λ 1 λ ¤ 1

Et donc λq p1 λqq1 P A.

FerméSoit pqnq suite de A qui converge vers q dans Q. Alors :

|qpxq qnpxq| ¤ Npq qnqx Borné

69

Soit q P A, K est d'intérieur non vide donc il existe a P K et r ¡ 0 tels que Bpa, rq K. Soit x P Rn, si x r,alors a x P K et donc qpa sq 1. De plus qpaq qpaq et donc :a

qpxq aqpx a aq ¤

aqpx aq

aqpaq ¤ 2

Et donc : qpxq ¤ 4.

Si x ¤ 1, qpxq 1r2 qprxq ¤ 4

r2 et donc Npqq ¤ 4r2 .

Non videK est borné, donc il est inclus dans Bp0,Mq pour un certain M , et donc

q : x ÞÑ x

M

P A

Par tous ces arguments il existe un maximum de cette fonction atteint q0 et commeDpq0q ¥ Dq : x ÞÑ x

M

¡

0, q0 P Q

UnicitéPour cela on a besoin du lemme suivant :

Lemme 8. Soient A, B P Sn , α, β P R tels que α β 1. Alors on a :

detpαA βBq ¡ pdetAqαpdetBqβ

Avec une égalité stricte si A B.

Démonstration. Par pseudo-réduction simultanée de A et B (on en réduit l'une en PAPT In puis on réduitPTBP en RTPTBPR diagonale et c'est bon) il existe P P GLnpRq telle que A PTP et B PTDP , avecD diagpλ1, . . . , λnq.On a alors : detpAqα detpBqβ pdetP q2αpdetP q2βpdetDqβ pdetP q2pdetDqβ .De plus : detpαA βBq pdetP q2pdetαIn βDq ; et :

detpαIn βDq ¥ pdetDqβ ôn¹i1

pα βλiq ¥

n¹i1

λi

βô

n

i1

lnpα βλiq ¥ βn

i1

lnpλiq

.

Par convexité du ln :

@i P t1, . . . , nu, lnpα βλiq ¥ α lnp1q β lnpλiqd'où le résultat en sommant sur i. Si A B l'inégalité est stricte par stricte convexité du ln.

Et alors, si q et q0 atteignent le maximum on a :

D

1

2pq q0q

det

1

2pS S0q

¡ pdetSq12pdetS0q12 detpq0q

7.6 Étude des groupes Opp, qq

Leçons : 156Source : Zavidovique (Upp, qq)

Dénissons :

J

Idp 00 Idq

70

On va étudier le groupe Opp, qq tM P MnpCq,M tJM Ju GLnpCq, c'est à dire les matrices préservantla matrice J , c'est à dire qu'il s'agit du groupe des applications préservant des formes bilinéaires d'une certainesignature.

Théorème.Opp, qq Op Oq Rpq, Op Opp, 0q

Démonstration. Montrons tout d'abord que Opp, qq est stable par passage à la transposée :

M P Opp, qq ôM tJM J ô pM tJqpMJq Idn ô pMJqpM tJq Idn ôMJM t J ôM t P Opp, qq.Montrons maintenant que la décomposition polaire est interne àOpp, qq. On décomposeM QS,M P Opp, qq, Q P

On, S P Sn . Comme Opp, qq est un groupe l'on a : MM t S2 P Opp, qq. On peut donc diagonaliser Q2 PDiagpλ1, . . . , λnqP1, pour une certaine matrice P P GLnpRq, et alors Q PDiagp?λ1, . . . ,

?λnqP1.

Soit L P RrXs le polynôme interpolateur de Lagrange tel que : @i P J1, nK, Lpλiq

?λi ;

@i P J1, nK, Lpλ1i q ?

λi1

.

On a alors, Q LpQ2q et Q1 LpQ2q et aussi LpQ2qJ JLpQ2q (par groupitude de Opp, qq). Et doncQ P Opp, qq. Comme Opp, qq est un groupe qui contientM et Q il contient aussi S ce qui montre que la décompositionpolaire est interne à Opp, qq.De plus, comme la décomposition polaire est un homéomorphisme de GLnpRq dans Sn On, par restriction on aalors bien :

Opp, qq pOpp, qq X Sn q pOpp, qq XOnq.Posons Opp, qq tN PMnpCq, N tJ JN 0u et Hpp, qq Opp, qq X Sn.

Nous allons montrer que l'exponentielle réalise un homéomorphisme de Hpp, qq sur Opp, qq X Sn .SoitM P Opp, qqXSn , on peut la diagonaliser enM PDiagpλ1, . . . , λnqP1 et poserN PDiagplnpλ1q, . . . , lnpλnqqP1.

Cette matrice vérie exppNq M . De manière identique on pose le polynôme de Lagrange tel que :

@i P J1, nK, Lpλiq lnpλiq ; @i P J1, nK, Lpλ1

i q lnpλiq.

On peut alors vérier que N LpMq et que N LpM1q. Ainsi de MJ JM1 on déduit :

NJ LpMqJ JLpM1q JNc'est à dire exactement N P Hpp, qq. Finalement, l'exponentielle réduite à Hpp, qq est bien à valeurs dans Opp, qq,

puisque si N P Hpp, qq, on a :

JN NJ ñ JexppNq exppNqJ ñ exppNqJexppNq J

et l'exponentielle réalise un homéomorphisme de Hpp, qq sur Opp, qq X Sn .

Pour conclure, prenons M P Opp, qqXOn alors MJ JM et donc les sous espaces propres de J sont stables par

M et on peut écrireM Mp 00 Mq

. DeMM t Idn on déduit que pMp,Mqq P OpOq d'où l'homéomorphisme :

Opp, qq XOn Op Oq.

Maintenant, soit N P Hpp, qq que l'on écrit : N A CC B

. Un petit calcul montre que N P Hpp, qq si et

seulement si

71

A CC B

A C

C B

i.e. ssi A 0, B 0 et C PMp,qpRq. Et donc, on a l'homéomorphisme :

Hpp, qq Mp,qpRq Rpq

.Finalement on a le résultat annoncé.

7.7 Groupes paveurs

Leçons : 101 161 183Source : Marcel Berger, Géométrie.Un réseau cristallin est la donnée d'un motif (molécule par exemple) et d'un groupe inclus dans Is, en appliquant

les opérations à cet élément on recouvre le plan avec ce motif. Il y a comme on va le voir un nombre ni de telsgroupes. En dimension 2, on trouve 5 groupes paveurs, cependant, les molécules ne sont pas symétriques, et on peutse convaincre (en observant la rotation et l'image dans le miroir d'une main) qu'il y a en réalité plus de réseauxcristallins dans R2, il y en a 17 d'après Berger. En dimension 3, il y en a plus de 300, appelés Réseaux de Bravais.On a trouvé des cristaux pour presque chacun de ces réseaux.

Dénition. Soit P un compact d'intérieur non vide.Soit G un sous groupe de IspR2q R2SO2pRq 1. On dit que G est un groupe paveur si :

igPG gpP q R2;

ii si g, h P G, gpP q X hp

P q ∅ñ g h.

On va chercher à compter précisément le nombre de ces groupes.

G contient au moins deux translations linéairement indépendantes

Soit T l'ensemble des translations de IspR2q, et posons Γ GX T les translations de G. On note tv la trans-lation de vecteur v P R2.

Si Γ tIdu, alors G ne contient que des rotations. Si deux rotations r et s avaient un centre distinct rsr1s1

serait une translation dans G. Donc toutes les rotations ont même centre, supposons 0.Or, P étant compact, il est inclus dans une certaine Bp0,Mq, et donc toutes les images de P par les éléments

de G seraient aussi inclus dans cette boule. Ce qui contredit le premier point de la dénition.

Si Du, @tv P Γ, Dλ, v λu, alors pour une rotation r, rtvr1 trpvq et donc par hypothèse rpvq λv et doncles seules rotations non triviales sont des symétries par rapport à un point.

Si r et s étaient des symétries de centres A et B diérents, rs serait une translation de vecteur 2 ~AB, et donc,par hypothèse, tous les centres de symétrie sont sur la droite D dirigée par u.

Ainsi, toutes les images gpP q sont incluses dans une bande dirigée par u et dans la bande symétrique de celle-cipar rapport à D. Ce qui contredit le premier point de la dénition.

Ainsi, Γ contient deux translations linéairement indépendantes.

Il existe u0 et v0 deux translations telles que Γ ttnu0mv0 , n,m P Zu

1. pour le produit pb, Aq

ab

ÞÑ A

ab

b

72

Soit α inftw, tw P Γztt~0uu. Il existe une suite wn qui tend vers α. À partir d'un certain rang, wn P Bp0, αεqet donc on peut supposer que wn converge vers u0.

Soit gn twn1wn , alors pour tout x P R2, gnpxq wn1 wn x ÝÑnÑ8 x. Donc gn Ñ Id simplement.

Or, pour n assez grand par convergence simple gnpcirc

P qXcirc

P ∅ et donc par le deuxième point de la dénition,pour n assez grand, gn est constant valant Id. Par dénition de gn, wn est aussi stationnaire et donc u0 P Γ est telque u0 α, et α 0 puisque sinon on contredirait encore le deuxième point de la dénition pour un vecteur denorme trop faible.

De la même manière avec β inftw, tw P Γztt~0, et w non colinéaire à u0uu, on montre l'existence d'un v0 denorme minimale.

Finalement, pour toute translation tw P Γ l'on a : w au0 bv0. Montrons que a et b sont entiers.Par l'absurde s'ils ne l'étaient pas, on peut supposer (quitte à retrancher une quantité entères de u0 et v0) que

a, b P r0, 1r. si a b 0 on a ni ; si a 0 et b 0 alors w v0 ce qui est impossible ; si b 0 et a 0 idem ; si a 0 et b 0, alors w2 ¤ a2u02 b2v02 2abpu0, v0q a2u02 b2v02 2abu0v0 par inégalitéstricte de Cauchy-Schwartz. Et donc w2 pa bq2v02. Et donc a b ¡ 1. En refaisant le même calculpour w1 p1 aqu0 p1 bqv0, on a a b 1. Ce qui est impossible.

Montrons qu'il y a 5 groupes paveurs

On dit que G1 et G2 deux groupes paveurs, sont équivalents s'ils sont conjugués dans IspRq.Notons Lpgq la partie linéaire d'un élément de G, et soit B pu0, v0q la base donnée par la partie précédente.

Alors notons que l'on a : gtu0g1 tLpgqpu0q et idem pour v0, donc Lpgqpu0q n1u0 m1v0 et Lpgqpv0q

n2u0 m2v0, n1, n2,m1,m2 P Z. On a donc l'écriture matricielle suivante pour Lpgq :

Lpgq n1 m1

n2 m2

Et donc TrpLpgqq 2 cospθq P Z.On en conclut que θ P t0, π, π2 , pi3 , 2π

3 u.Et LpGq xLpgqy, car sinon en composant deux rotations l'on aurait un angle interdit.Finalement il y a exactement 5 groupes paveurs distincts.

7.8 Mélange d'un jeu de cartes

Leçons : 105 190 262 264Source : Raisonnements DivinsOn peut croire qu'après quelques mélanges de type américain on aurait correctement mélangé un jeu de cartes,

c'est faux comme on va le voir. Ce que l'on étudie dans la suite est bien une marche aléatoire sur un groupe, onpourrait donc réutiliser les résultats de probabilités. On peut insister sur le fait que dans une telle marche aléatoireon doit choisir le pas dans un ensemble de générateurs du groupe : de la même manière qu'une marche aléatoiredans Z où les pas sont 2 ne visitera que les points de coordonnée paire, si on mélange le jeu en prenant trois cartesaléatoirement et en les échangeant on n'aura jamais un jeu correctement mélangé. Plus encore on pourra dire que sila marche a atteint sa mesure invariante, on aura éliminé la moitié des situations nales possibles (puisqu'on auranalement une permutation du groupe alterné).

Soit C : tC1, . . . , Cnu, ensemble ni d'éléments distincts représentant un jeu de cartes.

Dénition. Un paquet de cartes est la donnée d'un ordre total ¨ (Ci ¨ Xj signie que la carte Ci est située audessus de la carte Cj).

Nous pouvons construire une bijection entre les ordres totaux sur C et l'ensemble Sn des permutations de C :si σ P Sn, on construit l'ordre ¨σ déni par : σpC1q ¨σ ¨σ σpCnq. Ainsi, un paquet de cartes est aussi unbmélange de C .

73

Mélanger d'un jeu de cartes revient à composer une permutation de C au paquet. Par exemple, le paquetXpC1q ¨ ¨ XpCnq devient le paquet σ XpC1q ¨ ¨ σ XpCnq.

Dans la suite du texte, un paquet X est une variable aléatoire à valeurs dans Sn. Il est dit bien mélangé, siXn UpSnq π.

Dénition. Un mélange est une chaîne de Markov dénie par :

Xk1 fpXk, AkqAvec X0 X0 la situation initiale du paquet (déterministe ici), et pAkq une suite de v.a. iid suivant une certaine

loi QNotons µk la loi de cette dernière chaîne à l'instant k.

Problème. La loi de pXnqn converge-t-elle vers la loi uniforme π et à quelle vitesse ?Nous allons quantier la vitesse de convergence à l'aide de la distance suivante :

Dénition. On appelle distance de variation totale entre deux lois Q1 et Q2 sur Sn la quantité :

dvpQ1, Q2q : maxSSn

|Q1pSq Q2pSq| 1

2

¸σPSn

Q1

tσuQ2

tσuLe mélange américain consiste à couper aléatoirement le paquet en deux et à insérer les cartes du premier paquet

aléatoirement au sein du second en gardant l'ordre relatif des paquets. Une façon équivalente (il sut de prendrela chaîne à l'envers) de voir les choses est de considérer le mélange inverse : on choisit un certain nombre de cartesque l'on place au dessus du paquet en gardant l'ordre relatif.

Ainsi, les variables aléatoires de la chaîne sont les pAkq UpPpC q, parties choisies uniformément parmi toutesles parties du paquet. Notons alors H l'ensemble des permutations qui correspondent à ces opération, c'est à direles permutations contenant au plus une décroissance : XpCiq XpCjq et XpCjq σ XpCiq.

On peut alors montrer que la loi du mélange (sur les permutations) est alors donnée par :

Qptσuq :

$'&'%

n12n si σ id1

2n si σ P Hztidu0 sinon.

Théorème. Après avoir eectués k mélanges à l'américaine sur un jeu de n cartes, la distance de variation totalevérie :

dvpµk, πq ¤ 1n1¹i1

1 i

2k

.

Démonstration. Comme précédemment, on se donne pAkqk une suite de v.a. i.i.d. sur PpC q. Soient pYkqk la suitedes permutations associées par mélange inverse. Alors Xk Yk Xk1 est le paquet à l'instant k. Pour k P N ondénit la variable aléatoire : bpiqk 1CiPACk une variable aléatoire valant 0 si et seulement si la carte Ci est dans

la partie déplacée lors de la k-ième étape du mélange. Alors, les bpiqk sont i.i.d. de Bernouilli de paramètre 12.Finalement, on dénit : bpkqpiq b

piqk b

piqk1 . . . b

piq1 l'étiquette binaire de la carte Ci

On peut noter qu'à chaque étape on trie les cartes par ordre croissant de leur étiquette, l'étiquette étant indépen-dante et uniformément distribué, si toutes les cartes ont une étiquette diérente, le paquet est alors bien trié.

On dénit alors le temps d'arrêt :

T inftk P N, toutes les cartes ont une étiquette diérenteuEt alors on a :

µkpAq PpXk P Aq PpXk P A, T ¤ kq PpYk P A, T ¡ kq

¤k

j0

PpXn P A, T jq PpT ¡ kq

¤ πpAqPpT jq PpT ¡ kq¤ πpAq PpT ¡ nq

74

En faisant pareil avec A Ac, on trouve :

@A Sn, |µkpAq πpAq| ¤ PpT ¡ nq ùñ dvpµn, πq ¤ PpT ¡ nq.

Il y a 2k possibilités pour le nombre associé à une carte. Comme les bpkqpiq sont indépendants et uniformémentdistribués, la probabilité que tous les bpkqpiq soient diérents au k-ème mélange vaut :

2kp2k 1q . . . p2k pn 1qqp2kqn

n1¹i1

1 i

2k

(c'est le "paradoxe des anniversaires"). Alors :

PpT ¡ kq 1n1¹i1

1 i

2k

Remarquons, qu'à n xé,

dvpµk, πq kÑ8

npn 1q2k

.

Mais comme ça va très très vite, il convient de s'interroger sur le sens de l'inni.

Quelques remarques complémentaires

1. La théorie des chaînes de Markov assure la convergence (à vitesse exponentielle) de µn vers la loi stationnaire ; 2

2. T est un temps d'arrêt ;

3. la convergence pour la distance en variation totale implique la convergence en loi dans le cas d'un espaced'états discrets, la réciproque est fausse si on prend X1, . . . , Xn des Rademacher iid, Sn X1 Xn, le

théorème central limite dit que Sn?n

LÝÑ Z, Z N p0, 1q, mais la distance en variation est toujours de 1. 3

Cependant on peut aussi métriser la convergence faible, mais par une autre métrique (celle de Prokhorov).

Référence. M. Aigner, G. Ziegler, Raisonnements divins

Adapté d'un travail remarquable d'Antoine Diez

7.9 Point xe de Kakutani et groupes compacts

Leçons : 106 150 160 171 181 183Source : Nourdin, Alessandri Thèmes de géométrie à l'agrégationSoit E un R-ev de dimension nie.On commence par un théorème de point xe :

Théorème. Soit G un groupe compact de GLpEq et K tel que @g P G, gpKq K, un compact convexe non videde E, alors il existe un élément k P K tel que pour tout u P GLpEq upkq k.

Démonstration. On sait que l'enveloppe convexe d'un convexe est encore convexe (th de Carathéodory).Commençons par montrer que chaque u P GLpEq admet un point xe dans K.Soit x0 P K et considère xk 1

k1

°ki0 u

ipx0q. Cette suite reste dans K par convexité, de plus. Il existe uneextraction φpkq faisant converger cette suite vers a P K ; or, upxkq xk 1

k1 pvk1px0q x0q et donc upxφpkqq xφpkq εk avec εk op1q, puisque K est stable par u.

Par continuité de u on a donc bien upaq a.Montrons maintenant le résultat.Soit N une norme euclidienne (associée à une base par exemple) de E. Posons x maxuPGNpupxqq, c'est une

norme sur E :

2. Vérier que π est bien la loi stationnaire de la chaine de Markov considérée, c'est sans doute en lien avec le fait que les matrices

bistochastiques s'écrivent comme combinaison convexe de matrices de permutations.

3. https://web.archive.org/web/20080708205758/http://www.stat.berkeley.edu/%7Esourav/Lecture2.pdf

75

Considérons l'action naturelle de G sur E (par u x upxq) l'orbite de tout élément x P K est alors compacteet donc x a bien un sens et de plus @x P K, @u P G, upxq x.

Soient x, y P E et u0 P G tel que :

x y Npu0pxq u0pyqq ¤ Npu0pxqq Npu0pyqq ¤ x y.comme N est euclidienne, s'il y a égalité, alors u0pxq et v0pxq sont positivement liés (cas d'égalité dans C.S.

pour N). Réciproquement c'est aussi vrai.Soit Fu tx P Kupxq xu. On sait déjà que Fu ∅, @u P G, on va montrer que :£

uPGFu ∅.

pFuquPG est une famille de fermés de K, il sut donc que l'intersection d'un nombre ni de ces termes est nonvide,

1¤k¤p Fuk ∅.

Posons alors w 1p

°pi1 ui, par ce qui précède il existe x P K tel que wpxq x, on a alors pour déni

comme précédemment,

a wpaq ¤ 1

p

p

i0

ukpaq a.

Par stricte convexité de , les ukpaq sont positivement liés et même égaux puisque ukpaq a, comme leurmoyenne vaut a, ils valent tous a et donc,

a Pp£i0

Fuk .

Ainsi on a bien démontré le théorème de point xe voulu.

Application

Théorème. Soit G un sous groupe compact de GLn, il existe un produit scalaire sur E de forme quadratiqueassociée qG telle que G OpqGq.Démonstration. Pour A P G on pose, pour S P Sn :

ρpAqpSq ASAT .

On note que ρ : G Ñ GLpSnq est continue car polynomiale. On déni ainsi une action de groupe de G sur Sn.Regardons maintenant H ρpGq. C'est un sous groupe compact de GLpSnq.

OrbρpInq tMMT , M P Gu est un compact non vide du convexe Sn , donc par le théorème de Carathéodory,c'est aussi le cas de son enveloppe convexe, que l'on note K.

Par construction, K est H-stable, car pour tout A P G,

ρpAqpMMT q pAMqpAMqT P OrbρpInqet on conclut par linéarité.On utilise le théorème de point xe de Kakutani, il existe donc S P K Sn xé par tous les éléments de H.

En termes d'action de groupe,

G StabρpSqet en termes de formes quadratiques,

@A P G,ASAT S.

On a ni. En prenant la racine carrée de S on peut écrire :

@A P G, p?S1A?Sqp

?S1A?SqT In i.e.

?S1G?S OpEq

Dû à l'inénarrable Antoine Diez

76

7.10 Points extrémaux de la boule unité de LpEqLeçons : 161Source : FGN, Algèbre 3, p130Ce résultat est à mettre en relation avec le théorème de Krein-Millmann.Soit E un espace euclidien, on s'intéresse à la norme subordonnée à la norme euclidienne.

Théorème. Soit B tu P LpEq, u ¤ 1u, alors les points extrémaux de B sont les éléments de OpEq.Démonstration. Un point u extrémal de B est tel que B tuu soit convexe, ou de manière équivalente des pointsn'étant pas combinaison convexe de deux autres points de la boule.

Soit u P OpEq, comme OpEq t1u, on a bien u P B.Supposons que u 1

2 pv wq avec v, w, P B, on va montrer que u v w.Soit x P E de norme 1, alors 1 x upxq ¤ 1

2 pvpxq wpxqq ¤ 1 et donc on a égalité dans Cauchy-Schwartz, et donc vpxq λwpxq, λ ¡ 0. Or, vpxq wpxq 1 et donc λ 1. Finalement vpxq wpxq pour toutx et donc pour tout x P E par linéarité. Et donc u est bien extrémal dans B.

Réciproquement, soit u P B tel que u R OpEq. Montrons que u n'est pas extrémal.On note A la matrice associée à u dans une BON de E, que l'on écrit par décomposition polaire : A OS avec

O P OnpRq et S P Sn pRq.On peut alors réduire S en PDPT , avec P P OnpRq et D Diagpλ1, . . . , λnq, 0 ¤ d1 ¤ ¤ dn.De plus, A OS S a

d2n dn (car la norme 2 est reliée au rayon spectral par M

aρpMTMq)

et donc, comme u P B, A ¤ 1. Donc @i, di P r0, 1s.Par hypothèse, A n'est pas orthogonale, et donc S In, donc d1 1. On peut écrire d1 ab

2 , avec 1 ¤a b ¤ 1. On pose alors D1 Diagpa, d2, . . . , dnq et D2 Diagpb, d2, . . . , dnq. On a alors D1 D2 et A 12 pOPD1P

T OPD2PT q. C'est à dire que l'on a montré que A était le milieu d'un segment.

Reste alors à montrer que les bornes du segment sont bien dans B.Soit X de norme 1, alors OPDiP

TX2 XTPDiPTOTOPDiP

TX pPTXqTD2i pPTXq.

Or, PTX 1 car P est orthogonale et X unitaire.En notant Y PTX, on a Y TD2

i Y °nj2 djyj d0

i y1, avec d0i a2 si i 1 et b2 si i 2.

De plus, les coecients de D2i sont tous compris entre 0 et 1 et donc Y TD2

i Y ¤ °nj1 y

2j 1. On en déduit que

OPD1PTX et OPD2P

TX sont dans B.Et donc on a bien tout montré.

7.11 Polynômes irréductibles sur FqLeçons : 123 125 141Source : FGN Al 3

Théorème. Soit p un nombre premier, r P N, on note q pr. Soit n P N.Soit Apn, qq l'ensemble des polynômes irréductibles unitaires de degré n de FqrXs, et Ipn, qq 7Apn, qq. Alors,1. Dans Fq, Xqn X ±

d|n±PPApd,qq P ;

2. si µ est la fonction de Möbius 4, on a Ipn, qq 1n

°d|n µ

nd

qd. ;

3. Et donc Ipn, qq nÑ8 qn

n

Démonstration. Commençons par un petit lemme :

Lemme 9. Si K est un corps ni ou de caractéristique nulle, et si P P KrXs est irréductible, alors P est à racinessimples dans la clôture algébrique K de K.

Démonstration. Si x est une racine multiple de P , alors DQ P KrXs, P pX xq2Q.En dérivant, on a P 1 pX xqp2Q pX xqQ1q, et donc pX xq|P 1 dans KrXs. Et donc pX xq|P ^P 1 dans

KrXs.Or P ^ P 1|P dans KrXs et degpP ^ P 1q ¥ 1, donc par irréductibilité de P , on a P P ^ P 1, et comme

degpP 1q degpP q, on a P 0.

4. µpkq 0 si k possède un facteur carré, µpkq p1qs, si k possède s facteurs premiers dans sa décomposition

77

Si K est de caractéristique nulle, alors P est constant ou nul ce qui est impossible.Sinon, K est de caractéristique p ¡ 0 et P P KrXps et donc P RpXpq Rpxqp, R P KrXs car le Frobenius

est automorphisme sur un corps ni.

On xe dès le début Fq une clôture algébrique dans laquelle on travaillera partout ici.1 : Soit d|n et P P Apd, qq ; xons a une racine de P dans Fq.K : Fqras est un corps de rupture de P et rK : Fqs degP d et donc par unicité des corps nis, K Fqd .

Fqd est l'ensembles des racines de Xqd X et ce polynôme divise Xqn X, x est donc racine de Xqn X.Donc P |Xqn X, car comme P est irréductible sur un corps ni, il est à racine simple dans Fq, par le lemme.

Par irréductibilité on en déduit : ¹d|n

¹PPApd,qq

P

|Xqn X.

Soit P un facteur irréductible de Xqn X de degré d ¥ 1. Comme Xqn X est scindé sur Fqn , P l'est aussi.Soit x racine de P qui est donc dans Fqn ; K : Fqpxq est un corps intermédiaire entre Fq et Fqn . On a alors

rFqn : KsrK : Fqs rFqn : Fqs n et donc d rK : Fqs divise n.Les racines de Xqn X dans Fqn sont simples donc tous les facteurs irréductibles de Xqn X interviennent

avec une multiplicité valant 1. Ainsi,

Xqn X|¹d|n

¹PPApd,qq

P

.

Et, comme les deux polynômes sont unitaires, on a bien :

Xqn X ¹d|n

¹PPApd,qq

P.

2 : On a besoin d'un lemme,

Lemme 10. Formule d'inversion de Möbius Soit f : N Ñ R et g :N Ñ Rn ÞÑ °

d|n fpdq.Alors, @n P N, fpnq °

d|n µnd

gpdq °

d|n µpdqgnd

.

Démonstration. Soit n P N, on a°d|n µpdqg

nd

°d|n

°d1|nd µpdqfpd

1q °dd1|n µpdqfpd1q

°d1|n fpd1q

°d| nd1µpdq

.

Soit k P N, k ¡ 1. On écrit k pα11 . . . pαrr sa décomposition en facteurs premiers.

On a ensuite°d|k µpdqg

nd

µp1q °ri1

°1¤γ1¤¤γi¤r µppγ1 . . . pγiq 0 °r

i0

ri

p1qi p1 1qr 0.Et si k 1,

°d|1 µpdq µp1q 1, ce qui donne donc :

fpnq ¸d|n

µpdqgnd

En regardant les degrés dans la factorisation précédente, on obtient qn °d|n dIpd, qq. En appliquant la formule

de Möbius à f : n ÞÑ nIpn, qq, on obtient :

@n P N, nIpn, qq ¸d|n

µnd

qd.

3 : On pose rn °d|n,d n µ

nd

qd et alors |rn| ¤

°tn2ui1 qd q q

tn2u1q1 OnÑ8 ptn2uq .

Donc rn est négligeable devant qn et donc,

Ipn, qq qn rnn

qn

n.

78

7.12 Polygones constructibles

Leçons : 102 121 125 151Source : Perrin p68, Jeanneret Linnes Invitation à l'algèbre p262, pour les premiers résultats ; Carrega Théorie

des corps pour le dernier.On note C l'ensemble des nombres constructibles, c'est un sous corps de C.

Théorème. Soit a un nombre réel. S'il existe une tour d'extensions Q K0 K1 Km R telle quea P Km et rKi1,Kis 2 pour i 0, . . . ,m 1. Alors a est constructible.

Démonstration.

Lemme 11. Soient K et L des sous-corps de R. Si K C et L est une extension de degré 2 de K, alors L C.

Démonstration. Soit a un élément de L tel que a n'appartienne pas à K, alors L Kpaq puisque rL : Ks 2.

Le polynôme minimal m de a est de la forme X2 βX γ, β, γ P K. Posons δ β2 4γ et alors, a β?δ2 .

Et δ est un réel strictement positif car a est réel et a R K. On a donc L Kp?δq et tout élément b P L s'écritα1 α2

?δ, α1, α2 P K. On en déduit que L C si et seulement si

?δ P C.

On peut construire?δ à la règle et au compas en traçant le cercle de centre ppδ 1q2, 0q et de rayon pδ 1q2.

Qui coupe l'axe des ordonnées au point p0,?δq.Et donc L C.

On sait déjà que Q C. En utilisant le lemme précédent on voit que successivement, K1 C puis que K2 Cet enn K0 C, ce qui montre que a est constructible.

On dit qu'un angle θ est constructible si le nombre cospθq.Théorème. Gauss-Wantzel

Les polygones constructibles sont ceux dont le nombre de côtés n est de la forme 2α, avec α ¥ 2 ou de la forme2αp1p2 . . . pr avec α P N et où les pi sont des nombres premiers de Fermat.

Démonstration.

Lemme 12. Si m et n sont premiers entre eux, 2πmn est constructible ssi 2π

n et 2πm le sont.

Démonstration. Le sens direct est évident.Le sens réciproque s'obtient par une relation de Bezout. On écrit λm µn 1 et donc 2π

mn µ 2πm λ 2π

n

On en déduit par récurrence que :

Lemme 13. Si n ¥ 3 a pour décomposition en facteurs premiers n pα11 . . . pαkk , le polygone régulier à n côtés est

constructible si et seulement si les angles 2πpα11

, . . . , 2πpαkk

.

Lemme 14. 1. Les angles de la forme 2π2α sont constructibles.

2. Si p ¥ 3 est premier, 2π2αp est constructible si et seulement si α 1 et p est un nombre de Fermat (c'est à dire

de la forme 1 22α .

Démonstration. Il est immédiat que les angles 2π2α sont constructibles. Ce qui se montre par récurrence sur α. Il

sut de savoir construire les bissectrices.Soit p ¥ 3 un nombre premier.Supposons que 2π

pα soit constructible, avec α P N, alors cos 2πpα est un nombre constructible et par le premier

théorème, pour un certain m : Q

cos2π

pα

: Q

2m

Posons q pα et considérons ω cos 2πq i sin 2π

q . c'est une racine q-ième de l'unité, racine de Xq 1, ω estdonc algébrique sur Q. Son polynôme minimal est le polynôme cyclotomique P pXq pX ω1q . . . pX ωhq, où les

79

ωi sont les racines primitives qièmes de l'unité, c'est à dire de la forme cos 2kπq i sin 2kπ

q avec k premier avec q et1 ¤ k ¤ q. Et on a h pα1pp 1q (indicatrice d'Euler), et donc :

Qpωq : Q

cos2π

pα

2

À partir des relations précédentes, sachant que : rQpωq : Q

cos 2πpα

srQ

cos 2π

pα

: Qs rQpωq : Qs

Et donc pα1pp 1q 2m1 et comme p est premier diérent de 2, α 1 et p 1 2m1.Montrons que m 1 est une puissance de 2. À partir de la décomposition de m en facteurs premiers, obtient

m 1 λ2β avec β P N et λ P N impair. p 1 2m1 1 2λ2β 1

22βλ

. λ étant impair le polynôme

1Xλ est divisible par 1X, et donc p est divisible par 1 22β , mais comme p est premier, on a nécessairementp 1 22β .

Réciproquement, si p ¥ 3 est un nombre premier de Fermat, alors on a p 1 2n, n ¥ 1 ; en fait n est unepuissance de 2, mais c'est inutile. Alors ω cosp2πpq i sinp2πpq est une racine primitive p-ième de l'unité eton note K Qpωq. Les autres racines primitives sont les ω2, . . . , ωp1. Le polynôme minimal de ω sur Q est alorsP pXq Xp1 Xp2 X 1. Et donc rK : Qs p 1. Une base de K sur Q est alors ω.

Soit g un automorphisme de corps de K, qui laisse donc invariant Q (puisqu'il laisse invariant 1). L'ensemble Gde ces automorphismes est un groupe.

On sait que tout élément de g P G est déterminé par gpωq. On sait que : P pωq ωp1 ωp2 ω 1 0,et donc en composant par g, gpωqp1 gpωq 1 0. Et donc nécessairement, gpωq est l'une des racines de P ,c'est à dire ω, ω2, . . . , ωp1. Chacune de ces valeurs fournit un automorphisme on note gk l'automorphisme dénipar gkpωq ωk, et donc G est d'ordre p1 2n. Notons ψ l'isomorphisme de pZ pZq sur G déni par ψpkq gk,qui permet d'armer que G est cyclique ; on pose g un générateur de G, de telle sorte que G tgi, 1 ¤ i ¤ p 1u.

Notons pour tout i, Gi le sous groupe de G engendré par g2i . Comme g est d'ordre 2n, Gi est d'ordre 2ni, ona donc :

G G0 G1 Gn t1Gu.À cette suite de sous groupes on associe une suite de sous corps de K. Posons Ki tz P K, g2ipzq zu, c'est unsous corps de K et l'on a Ki Ki1, puisque g2i1 pg2iq2. Et donc :

K0 K1 Kn K.

Nous allons montrer que K0 Q. On sait déjà que Q K0. Soit z P K0 que l'on écrit : z λ0ω λp2g

p2pωq. Et alors, gpzq λ0gpωq λp3g2p2pωqλp2ω, et comme gpzq z, on a λ0 λ1 λp2.

Et donc,

z λ0pω gpωq gp2pωqq λ0pω ω2 ωp1q λ0 P Q .

Les inclusionsKi Ki1 sont strictes, pour cela il sut de considérer z °2ni1

h0 g2i1hpωq, et alors g2i1pzq z

mais g2ipzq z.Finalement, on a :

2n rK : K0s rK : Kn1s . . . rK1 : K0soù il y a n facteurs tous diérents de 1, ainsi on a bien rKi : Ki 1s 2, et donc on a bien construit une tour

d'extensions quadratiques, ce qui permet de conclure.

7.13 Réciprocité quadratique

Leçons : 101 121 170 190Source : Caldéro Germoni H2G2

80

Dénition. On dénit le symbole de Legendre par :

a

p

$&%

1 si a est un carré dans Fp1 si q ne l'est pas

0 si a 0

Théorème. Soient p, q des entiers premiers distincts, alors :p

q

q

p

p1qp p1

2 qp q12 q

Démonstration. Nous allons calculer 7tpx1, . . . , xpq P Fpq ,°x2i 1u |X| de deux manières diérentes.

Étape 1 : On fait agir Z pZ par permutation cyclique sur Fqp :

@k P Z pZ, kpx1, . . . , xpq px1k, . . . , xnkq où les indices sont pris modulo p

Les orbites sont alors de deux types : pour les éléments de la forme px, . . . , xq le stabilisateur est Z pZ ; s'il existe i j tels que xi xj alors le stabilisateur est trivial.

Le nombre d'orbites à stabilisateur non-trivial est le nombre de solutions de px2 1 dans Fq et donc |X| 1pq

par dénition du symbole de Legendre. Le cardinal des autres orbites (au stabilisateurs triviaux) est divisible parp et donc :

|X| p

q

1modppq

Étape 2 : Considérons les deux matrices carrées de dimension p à coecients dans Fp dénies par :

Ip

1 0. . .

0 1

;Ap

0 11 0

0 11 0

. . .0 11 0

a

, a p1qp1q2 p1qd.

Ces deux matrices sont symétriques de même rang, p et de même déterminant 1 et donc de même discriminant 5,elles sont donc congruentes. On peut donc identier par un changement de variable linéaire X à

X 1 tpy1, . . . , yd, z1, . . . , zdtq P Fpq , 2py1z1 ydzd at2 1uOn distingue alors deux types de points dans X 1 : les points tels que y1 yd : chaque valeur de t telle que at2 1 détermine qd tels points ce qui donneen tout qdp1 apq1q2q points ;

si l'un au moins des yi est non nul. Une fois xés py1, . . . , ynq et t il reste à choisir un élément pz1, . . . , zdqdans un hyperplan ane de Fdq il y a en tout pqd 1qqqd1 tels points.

Et donc en sommant le tout on a :|X| pqd p1q p1

2q12 qqd.

Finalement,

|X| pq p12 p1q p1

2q12

p

q

1modp

q

p

p1q p1

2q12

q

p

p

q

1

On obtient le résultat en multipliant parqp

des deux côtés on obtient le résultat.

5. le discriminant est la classe du déterminant dans KpKq2

81

On montre maintenant pourquoi l'égalité de discriminant implique la congruence.

Théorème. Sur K Fq de cardinal impair, deux matrices inversibles A et A1 ont même orbite si et seulement sielles ont le même discriminant.

Démonstration. On se contente de montrer que toute matrice A inversible est congruente à une certaine matricexée.

La forme bilinéaire associée à A est non dégénérée. Soit ζ un non carré dans Fq , alors en orthonormalisant parrécurrence on montre que A est congruente à

ε1

. . .εn

avec εi 1 ou ζ.On a maintenant besoin d'un lemme

Lemme 15. Pour a, b 0 l'équation ax2 by2 1 admet au moins une solution dans Fq Fq zt0, 0u.Démonstration. Il existe pq 1q2 éléments de la forme ax2 et autant de la forme 1 bx2. Et comme pq 1q2 pq 1q2 ¡ q on a l'existence de la solution.

Et donc, dans un espace de dimension ¥ 2 toute forme quadratique admet un vecteur v tel que qpvq 1. Ce quise traduit dans l'orthonormalisation qu'à chaque étape sauf la dernière on a un vecteur v tel que qpvq 1.

Et nalement, A est congruente à :

1. . .

1εn

qui est caractérisée par son discriminant.

7.14 Réduction de Jordan

Leçons : 150 153 154 157Source : Caldéro Germoni H2G2Notons NnpCq les matrices nilpotentes de MnpCq. Nous allons étudier l'action de GLnpCq sur NnpCq.Soit A P NnpCq, d'indice de nilpotence m ¤ n. Notons Ki KerAi les noyaux (emboîtés) :

t0u K1 Kn Cn .

Pour tout entier i, l'on pose :

ki dim KerAi et λi ki ki1.

Notons que pkiq et pλiq sont constants sur chaque orbite de nilpotence, nous nous intéressons alors à la réciproque.Propriété. La suite des dimensions s'essoue, dans le sens où :

@i P J0, n 1K, 0 ¤ λi1 ¤ λi.

De plus, pkiq est strictement croissante puis stationnaire à un certain rang, noté m.

Démonstration. Soit i P J0, n 1K, la première inégalité est triviale puisque Ki Ki1. Et comme AKi1 Ki, onpeut composer les morphismes :

ν : Ki1 Ñ Ki, X ÞÑ AX et πi : Ki Ñ KiKi1, Y ÞÑ Y .

On a alors,

82

Kerpπ νq ν1π1i pt0u ν1pKi1q Ki.

Et on peut ensuite passer au quotient pour en déduire l'injection :Ki1Ki ãÑ KiKi1.

Remarquons que°nj1 λj n est une partition de n que l'on représente sous la forme d'un tableau de Young,

noté Y pAq. Remplissons le :

1. Soit Gm un supplémentaire de Km1 dans Km Cn :

Km1 `Gm Km et dimpGmq λm.

On prend pv1m, . . . , v

λmm q une base de Gm.

2. Notons que pAv1m, . . . , Av

λmm q est une famille libre qui engendre un sous espace qui intersecteKm1 trivialement

puisque :

Am1Avkm Am1vkm P Km1.

3. On a alors le droit de compléter de telle sorte que pAv1m, . . . , Av

λmm , vλm1

m1 , . . . , vλm1

m1 q soit une base de Gm1.Avec,

Km1 `Gm1 Km1.

4. Par récurrence descendante, on construit de cette manière des supplémentaires Gr de Kr1 dans Kr.

On écrit tout cela dans un tableau de Youngv1m . . . v

λmm

Av1m. . . Av

λmmvλm1m2. . . v

λm1

m2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anrv1m. . . Anrvλmm. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Am1v1m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vλ1

1

On a alors construit une base de Cn et si on lit le tableau de bas en haut et de gauche à droite, on obtient unebase dans laquelle la matrice de A est de la forme :

J1 0

. . .0 Jr

avec les Jr des blocs de Jordan. Le nombre de blocs de Jordan est alors le nombre de colonnes de même taille.Plus précisément, si k P J1,mK, il y a exactement λk λk1 blocs de Jordan de taille k.

Théorème. La classe de similitude d'une matrice nilpotente est caractérisée par son diagramme de Young. Autre-ment dit, si A et B sont nilpotentes :

OA OB ô Y pAq Y pBqDémonstration. On vient de le montrer avec la remarque sur la base construite avec le tableau de Young.

7.15 Réduction des endomorphismes normaux

Leçons : 153 155 160 Source : Gourdon, Algèbre 5.3.2Ce résultat permet de déduire les diérentes réductions des symétriques par exemple. Pour le cas complexe, on

se reportera à Gourdon.

83

Théorème. Soit E un R-ev de dimension n 8 et f P LpEq un endomorphisme normal. Alors il existe une baseorthonormale BpEq dans laquelle la matrice de f est de la forme :

λ1

. . . 0λr

a1 b1b1 a1

. . .0 as bs

bs as

Démonstration. On commence par trois lemmes.

Lemme 16. 1. Soit F sev stable par u P LpEq, alors FK est stable par u.

2. Soit Eλ un sev propre de u P LpEq endomorphisme normal, alors Eλ et EKλ sont stables par u et u.

Démonstration. On a, pour tout x P F , et pour tout y P FK, xx, upyqy xupxq, yy 0 car upxq P F . Donc@y P F K, upyq P FK.

Eλ est stable par u donc EKλ est stable par u. On a @x P Eλ, upupxqq upupxqq upλxq λupxq et

donc upxq P Eλ. Donc Eλ est stable par u et par la première partie EKλ est stable par u.

Lemme 17. Tout endomorphisme autoadjoint possède une valeur propre.

Démonstration. Soit u autoadjoint. Il possède une valeur propre complexe λ et un vecteur propre associé x. Alors,pour le produit hermitien on a :

xupxq, xy λx xx, upxqy λx.Et donc, cette valeur propre est réelle. Et donc, u en tant que R endomorphisme possède bien une valeur propre.

Lemme 18. Soir E un R-ev de dimension 2, u P LpEq un endomorphisme normal avec SpRpuq ∅. Alors dans

toute base orthonormale B de E, MatBpuq est de la forme

a bb a

, avec b 0.

Démonstration. Écrivons : M MatBpuq a cb d

; comme SpRpuq ∅ on a nécessairement b 0.

Par normalité, on a MM MM . Et donc :a2 c2 ab cdab cd a2 c2

a2 b2 ac bdac bd c2 d2

Et donc b c.Si on avait b c alors, M serait symétrique réelle mais SpRpuq ∅. Ce qui est impossible (il sut de passer en

complexe où l'on peut toujours les diagonaliser).Donc b c et alors ab cd ac bd donne a d.

Pour démontrer le théorème on procède par récurrence forte sur n dimE. Pour n 1 le résultat est vrai. Pour n ¥ 2 on a deux cas : Cas 1 : SpRpfq ∅.Si λ est une valeur propre réelle, par le lemme 1, EK

λ est stable par f et f et donc f|EKλ est normal. Comme

dimEKλ ¤ n1 la propriété de récurrence permet de conclure en concaténant les deux bases (on a une matrice

diagonale dans une base et de la forme recherchée pour l'autre par récurrence).Cas 2 : SpRpfq ∅.Soit Q X2 αX β un facteur irréductible de χf dans RrXs. Notons N KerQpfq.Montrons que N t0u.Dans CrXs, on peut écrire Q pX λqpX λq et donc λ P SpCpfq et detpf λIdq 0. Donc,

84

detpQpfqq detpf λIdqdetpf λIdq 0,

Et donc N t0u.Comme Qpfq commute avec f et f, N est stable par f et f. Posons alors g f|N , alors g f|N etgg pffq|N est symétrique réel.Soient alors µ P SpRpggq et x P Nzt0u tels que ggpxq µx.Soit F Vectpx, fpxqq espace de dimension 2 car SpRpfq ∅.Comme f2pxq αfpxq βpxq, F est stable par f et même F vectpfpxq, f2pxqq car β 0.On a ensuite fpfpxqq µx P F et fpf2pxqq fpfpfpxqqq fpµxq µfpxq P F .Donc F est stable par f et f et FK est stable par f et f f par le début du premier lemme.Donc f|FK est un endomorphisme normal et FK est de dimension n2. Par récurrence a bien la forme voulue.

7.16 Simplicité de An, n ¥ 5

Leçons : 103 104 105 108Source : Jeanneret-Linnes, Invitation à l'algèbre, p105

Théorème. Les groupes alternés An, n ¥ 5 sont simples.

Démonstration. On commence par un lemme :

Lemme 19. Si n ¥ 3, le groupe An est engendré par les conjugués de n'importe quel 3-cycle.

Démonstration. Quitte à changer la numérotation, l'on peut supposer que ce 3-cycle est p1, 2, 3q. Si n 3 le ré-sultat est vrai. Si n ¥ 4, on peut écrire pour tout 3 k ¤ k, p1, k, 3q p3, 2, kqp1, 2, 3qp3, 2, kq1 est conjuguéde p1, 2, 3q et donc p1, 2, kq p1, k, 2q2 est un produit de conjugués de p1, 2, 3q. Si i j et i, j ¡ 2, p1, i, jq p1, 2, jq1p1, 2, iqp1, 2, jq est aussi produit de conjugués. Ce qui achève la démonstration puisque ces éléments en-gendrent tout An.

Soit N sous-groupe normal non trivial de An. On va montrer que N contient un 3-cycle, ce qui conclura par lelemme.

Soit π P N une permutation distincte de l'identité. Comme π P An elle n'est pas une transposition et bouge aumoins trois éléments de t1, . . . , nu En. Si elle bouge exactement trois éléments c'est un 3-cycle et la preuve estnie. Sinon π bouge au moins quatre éléments et il y a plusieurs cas possibles :

Cas 1 : Si l'on décompose π en k-cycles disjoints, il y a un k-cycle avec k ¥ 4. Son écriture en produitde cycles disjoints est de la forme : π pa1, . . . , akqσ, où σ est un produit de cycles disjoints. Par normalitéde N ,pa1, a2, a3qπ1pa1, a2, a3q1 P N et donc πpa1, a2, a3qπ1pa1, a2, a3q1 pπpa1q, πpa2q, πpa3qqpa3, a2a1q pa2, a3, a4qpa3, a2, a1q pa1, a4, a2q P N , le sous groupe N contient alors un 3-cycle.

Cas 2 : Il n'y a pas de k-cycles, k ¥ 4 dans la décomposition de π en cycles disjoints, mais au moins un 3-cycle.Son écriture est alors : π pa1, a2, a3qσ, avec σ un produit de cycles disjoints. Par hypothèse il existe au moins unélément de En, a4, distinct de a1, a2 et a3 qui n'est pas laissé xe. Posons a5 πpa4q σpa4q, alors les élémentsa1, . . . , a5 sont tous distincts deux à deux. Comme dans le premier cas, la permutation πpa1, a2, a4qπ1pa1, a2, a4q1

est dans N et est égale à pa2, a3, a5qpa4, a2, a1q pa1, a4, a3, a5, a2q. Il y a donc dans N un 5-cycle et donc par lepremier cas, un 3-cycle.

Cas 3 : Dans la décomposition de π en cycles disjoints il n'y a que des 2-cycles. Il y en a au moins 2 et on écrit :π pa1, a2qpa3, a4qσ. Posons a5 P En distinct de a1, . . . , a4. On considère deux sous cas :

si π laisse a5 xe. Alors πpa1, a3, a5qπ1pa1, a3, a5q1 est dans N et elle vaut : pa2, a4, a5qpa5, a3, a1q pa1, a2, a4, a5, a3q, il y a donc dans N un 5-cycle et donc un 3-cycle par le cas 1.

si la permutation π ne laisse pas a5 xe posons a6 πpa5q il est distinct de pa1, . . . , a5q. Comme dans lecas précédent πpa1, a3, a5qπ1pa1, a3, a5q1 est dans N et vaut pa2, a4, a6qpa5, a1, a3q. Il y a donc dans N unproduit de deux 3-cycles disjoints, et on est ramené au cas 2.

85

7.17 Simplicité de SO3pRqLeçons : 108 158Source : FGN al 3

Étape 1 : Cas d'un sous groupe connexe.Dans le cas d'un sous groupe connexe par arcs de SO0pRq non réduit à tIdu. Si G est un sous groupe normal de

SO3pRq, on montre que G SO3pRq en montrant qu'il contient tous les retournements (i.e. les rotations d'angle2π). Comme les retournements sont conjugués dans SO3pRq, il sut de montrer que G en contient un pour qu'illes contienne tous. Dans une base adaptée, g P SO3pRq peut s'écrire :

g cos θ sin θ 0

sin θ cos θ 00 0 0

et l'application

g P SO3pRq ÞÑ Trpgq 1

2 cos θ

est continue. On commence par trouver une rotation dont l'angle θ vérie cos θ ¤ 0 : Soit g P G d'angle θ Ps0, π2r. Si cos θ ¤ 0 on a ni. Sinon, on montre qu'il existe N P N tel que Nθ soit dansrπ2, πs. En eet,

π

2¤ Nθ ¤ π ô π

2θ¤ N ¤ π

θ

et N tπθu convient. Notons s gN P G. Comme G est connexe par arcs, il existe un chemin continu γ, tracé dans G joignant Id à s. Par le théorèmedes valeurs intermédiaires, il existe t0 P r0, 1s tel que l'angle de r : γpt0q soit π2. Et r2 P G est un retour-nement.

Étape 2 : On se ramène au cas connexe.Soit G un sous groupe de SO3pRq. Soit G0 la composante connexe par arcs de Id dans G. G0 est un sous groupe de G, car si g, h P G0, sont reliés à Id par des chemins continus γ et γ1 alors t ÞÑγptqγptq1 est un chemin continu qui relie gh1 à identité.

Si G est un sous groupe normal de SO3pRq alors G0 l'est aussi. En eet, si h P SO3pRq et g P G0, en prenantγ le chemin tracé dans G reliant continûment g à Id, on voit que t ÞÑ hγptqh1 P G est un chemin reliantcontinûment Id à hgh1 donc ce dernier appartient à G0.

Étape 3 : Conclusion.Soit G un sous groupe distingué de SO3pRq et G0 la composante connexe par arcs de Id dans G qui est un sous

groupe distingué de SO3pRq par l'étape 2. Si G0 n'est pas réduit à tIdu alors par l'étape 1, on montre que G0 SO3pRq et donc G SO3pRq. Si G0 tIdu, alors les composantes connexes par arcs de G sont des singletons, car si g, h P G sont dans lamême composante connexe, reliés par γ. Alors, t ÞÑ h1γptq relie continûment h1g à Id et donc h g parhypothèse. On conclut en montrant que G est réduit à tIdu : si g P G, l'application

h P SO3pRq ÞÑ hgh1 P Gest continue et à valeurs dans G, car G est distingué dans SO3pRq. Comme SO3pRq est connexe par arcs,l'image de l'application l'est aussi, elle est donc réduite à tgu. En particulier, g commute avec toutes lesrotations et donc g Id.

7.18 Sous groupes distingués et caractères

Leçons : 103 107Référence : Peyré, L'algèbre discrète et la transformée de Fourier

86

Ce théorème dans le cas particulier des groupes abéliens donne le théorème de structure des groupes abéliensnis.

Soit G un groupe ni et χ un caractère irréductible de G. On note Kχ tg P G|χpgq χp1qu.Théorème. Notons pχ1, . . . , χrq les caractères irréductibles deux à deux non isomorphes de G. Soit H un sousgroupe de G ; il est distingué si et seulement s'il existe I t1, . . . , ru tel que H

iPI Kχi .

Démonstration. On commence par le sens direct,

Lemme 20. Soit G un groupe ni et χ un caractère d'une représentation V de G. Alors Kχ est un sous groupedistingué de G.

Démonstration. Soit pV, ρq une représentation de G dont χ est le caractère. Nous allons montrer que Kχ Kerpρq.On rappelle que ρ : G ÝÑ GLpV q est un morphisme de groupes. Si g P Kerpρq alors ρpgq IdV ρp1q, et doncχpgq Trpρpgqq Trpρp1qq ρp1q, on a bien Kerpρq Kχ.

Réciproquement, soit g P Kχ alors g|G| eG par le théorème de Lagrange et donc ρpgq|G| IdV . Donc,l'endomorphisme ρpgq est annulé par X |G| 1 qui est scindé à racines simples sur C, donc ρpgq est diagonalisable.Notons λ1, . . . , λn ses valeurs propres comptées avec multiplicité. Comme g P Kχ, on a χpgq TrpIdV q n, or lesλi sont des racines |G|-ièmes de l'unité, et donc :

|χpgq| n n

i1

λi

¤n

i1

|λi| n.

Il y a donc égalité dans l'inégalité triangulaire, ce qui ne se produit que si tous les λi sont positivement liés ; etdonc λi 1, @i. Ainsi, ρpgq IdV et donc g P Kerpρq.

Et donc, on conclut en notant qu'une intersection nie de sous-groupes distingués est encore distinguée.

Réciproquement, soit H un sous groupe distingué de G. Notons pV, ρq la représentation régulière de GH, etπ : G ÝÑ GH la projection canonique. Alors ρ : ρ π dénit une représentation de G sur V . Comme lareprésentation régulière est dèle, Kerpρq t0u et ainsi Kerpρq H. Autrement dit, H Kχ, où χ est le caractèreassocié à ρ. Décomposons ρ en caractères irréductibles, il existe alors des entiers a1, . . . , ar tels que χ

°ri1 aiχi ;

on a alors pour tout g P G :

|χpgq| ¤r

i1

ai|χpgq| ¤r

i1

aiχip1q χp1q.

La seconde inégalité venant de ce que |χipgq| ¤ χip1q (c.f. ce que l'on a prouvé dans le lemme). Alors g P Kχ

si et seulement si ces inégalités sont toutes des égalités, i.e. si et seulement si pour tout i P t1, . . . , ru, on aaiχipgq aiχip1q, ce qui équivaut à g P Kχi à chaque fois que ai 0. On pose alors I ti P t1, . . . , ru|ai 0u.Alors H

iPI Kχi .

Corollaire. Un groupe ni G est simple si et seulement si pour tout caractère irréductible non trivial χ et pourtout g P GzteGu, on a χpgq χp1q.Démonstration. S'il existe un caractère irréductible non trivial χ de G et pour tout g P GzteGu, on a χpgq χp1q,alors par le lemme, Kχ est un sous groupe distingué non trivial de G.

Réciproquement, si G n'est pas simple, il existe un sous groupe distingué non trivial qui s'écrit H iPI Kχi ,

soit g P H non trivial, alors pour tout i P I, g P Kχ, i.e. χpgq χp1q.

7.19 Théorème de Chevalley-Warning et Erd®s-Ginzburg-Ziv

Leçons : 121 142 144Source : Zavidovique Un max de maths

87

Théorème. Soit k un corps commutatif à q pr éléments et soit m un entier non nul. On considère A un ensembleni et pfαqαPA une famille de polynômes de krX1, . . . , Xms telle que :¸

αPAdegpfαq m.

On note V l'ensemble des racines communes aux fα, alors on a : 7V 0modppq.Démonstration. On commence par un lemme :

Lemme 21. Soit u P N, on a :

¸xPk

xu "1 si u ¥ 1 et q 1 divise u

0 sinon

Démonstration. Notons SpXuq la somme. Si u est nul le résultat est évident. Si u est divisible par q 1, alors :

SpXuq 0u ¸xPk

1 q 1 1.

Si u ¥ 1 n'est pas divisible par q 1, sachant que k est cyclique, il existe y P k tel que yu 1. On a alors :

SpXuq ¸xPk

xu ¸xPk

pyxqu yuSpXuq.

Comme yu est distinct de 1, il s'ensuit que SpXuq 0.

Considérons le polynôme :

P pX1, . . . , Xmq ¹aPA

p1 fq1a pX1, . . . , Xmqq.

Remarquons dans un premier temps que P est la fonction caractéristique de V : Si x P km vérie fapxq 0 pour tout a P A, alors P pxq 1 ; Si x P km n'est pas dans V , il existe a P A tel que fapxq ne vaille pas 0, alors par théorème de Lagrance,fapxqq1 1, et donc P pxq 0.

On en déduit alors que P 1V , donc :

SpP q :¸xPkm

P pxq 7V mod ppq.

Par hypothèse sur les degrés des polynômes fa, il vient que degpP q mpq 1q. On peut donc écrire :

P ¸

|u| mpq1qαuX

u,

où les αu sont des éléments de k. On a donc :

SpP q ¸xPFmq

¸|u| mpq1q

αuxu

¸x1PFq

xu11

. . .

¸xmPFq

xumm

m¹i1

SpXuiq

Or, si |u| mpq 1q il existe i P t1, . . . ,mu tel que ui q 1 et donc d'après le lemme précédent, SpXuiq 0ce qui entraîne que SpP q 0, et le résultat s'ensuit.

Une application maintenant :

Corollaire. Théorème d'Erd®s-Ginzburg-Ziv Soit n entier naturel non nul. Alors, parmi 2n1 entiers quelconquesa1, . . . , a2n1 on peut en trouver n donc la somme est divisible par n.

88

Démonstration. Notons EGZ l'ensemble de des entiers n vériant cette propriété. On va montrer que EGZ N.

Soit p un nombre premier, on va montrer qu'il est dans EGZ : Soient a1, . . . a2p1 des entiers. Et considéronsces deux polynômes de FprXs :

P1pX1, . . . , X2p1q 2p1¸k1

Xp1k ,

P1pX1, . . . , X2p1q 2p1¸k1

akXp1k .

Ces deux polynômes vérient deppP1qdegpP2q 2p2 2p1 et ont p0, . . . , 0q comme racine commune, doncpar le théorème de Chevalley-Warning, ils possèdent une autre racine commune px1, . . . , x2p1q non nulle. D'aprèsle théorème de Lagrange, pour tout x P Fp, xp1 1 ssi x 0 et donc en notant W l'ensemble des indices pourlesquels xi est non nul, on a :

P1px1, . . . , x2p1q ¸iPW

xp1i |W | 0 dans Fp

Ainsi, |W | est divisible par p et vérie 1 ¤ |W | ¤ 2p1 et donc |W | p et on note W ti1, . . . ipu. On a donc :

P2px1, . . . , x2p1q p

j1

aij

donc, p divise ai1 aip et le résultat est démontré.

Montrons maintenant que EGZ est stable par multiplication, et alors le théorème sera prouvé (on peut écriretout nombre comme produit de nombres premiers).

Soient n,m deux nombres d'EGZ, et a1, . . . , a2mn1 des entiers. On sait qu'il existe une famille d'indicesI1 t1, . . . , 2mn 1u de cardinal n tel que : ¸

iPI1ai 0 modpnq

Et de même il existe I2 t1, . . . , 2mn 1uzI1 de cardinal n tel que :¸iPI2

ai 0 modpnq

Et on recommence à construire des ensembles Ik de cette manière, jusqu'à avoir construit I2m1 (on peutcompter les entiers si l'on n'est pas convaincu). Soit cj tel que :¸

iPIjai cjn.

Alors, comme m est un élément de EGZ, l'on peut considérer J t1, . . . , 2m 1u de cardinal m tel que :¸jPJ

cj 0 modpmq.

De la, on a : ¸jPJ

¸iPIj

ai n

¸jPJ

cj

0 modpnmq

Ce qui termine la preuve.

89

7.20 Théorème de Dedekind et Lemme d'Artin

Leçons : 125 151 162Source : Jeanneret LinnesSi l'on est capable d'en parler, ce résultat ouvre la porte à la théorie de Galois (on fait le lien entre extensions

de corps et automorphismes de corps). Ce n'est pas mon cas.On commence par un lemme :

Lemme 22. (Indépendance linéaire des homomorphismes de corps, Dedekind)Si n ¤ 1 et un entier, K et L sont deux corps et φ1, . . . , φn : K ÝÑ L sont des homomorphismes de corps

distincts alors ils sont linéairement indépendants.

Démonstration. Supposons par l'absurde qu'ils ne le soient pas. Il existe alors un entier r minimal tel qu'il existeune combinaison linéaire nulle de r morphismes, quitte à permuter on peut supposer :

r

i1

αiφi 0

avec tous les αi non nuls nécessairement et r ¡ 1.Comme φ1 φr il existe y tel que φ1pyq φrpyq. On a alors pour tout x P K :

r

i1

αiφipxq 0

r

i1

αiφipyxq r

i1

φipyqφipxq.

On multiplie la première équation par φ1pyq et l'on y soustrait la deuxième, on obtient alors :°ri2 αipφ1pyq

φipyqqφipxq pour tout x P K. Le coecient αrpφ1pyqφrpyqq est non nul par choix de y et donc c'est absurde, cetterelation est plus courte que celle de longueur minimale.

Théorème. (Artin)Soit L un corps et H un groupe ni d'automorphismes de corps de L. Alors, si LH tx P L, @σ P H, σpxq xu,

LLH est une extension nie et |H| rL : LH s et H est le groupe des LH-automorphismes de L.

Démonstration. Posons m rL : LH s et n |H|. On va commencer par montrer que m n.

Première étape

Supposons que m n 8. Soient x1, . . . , xm une base de L sur LH et notons H tσ1, . . . , σnu. Considéronsle système de m équations à n inconnues dans L, Y1, . . . Yn, suivant :

@j P J1,mK, σ1pxjqY1 σnpxjqYn 0.

Ce système est surdéterminé, et donc il admet une solution non nulle py1, . . . , ynq. Ainsi, pour tout x °mi1 αixi P L avec αi P LH , on a

n

i1

σipxqyi n

i1

m

j1

αjσipxjqyj m

j1

αj

n

i1

σipxjqyi 0.

On a donc°ni1 yiσi 0 avec les yi non nuls. Ceci est impossible par le lemme précédent.

Deuxième étapeSupposons que m ¡ n. Il existe donc une famille px1, . . . , xn 1q de L libre sur LH . Selon le même argument

que dans la première étape, on peut trouver une famille non nulle py1, . . . , yn1q de L telle que :

pSq @i PK1, nJ, σipx1qu1 σipxn1qyn1 0.

90

Sans perte de généralité, l'on peut supposer que parmi toutes les solutions non nulles, py1, . . . , yn1q a un nombreminimal r de termes non nuls. Alors, quitte à renuméroter on peut supposer que @i ¥ r, yi 0 et @i ¡ r, yi 0.Ainsi, pSq se réécrit :

pSq @i PK1, nJ, σipx1qu1 σipxrqyr 0.

Soit σ P H, appliquons σ à pSq : @i PK1, nJ, pσ σiqpx1qσpy1q pσ σiqpxrqσpyrq 0. Comme τ ÞÑ σ τest une permutation de H, on a :

p∆q @i P J1, nK, σipx1qy1 σipxrqyr 0.

En multipliant pSq par σpy1q, p∆q par y1 et en additionnant on obtient :

@i P J1, nK, Σipx2qpσpy1qy2 σpy2qy1q σipxrqpσpy1qyr σpyrqy1q 0.

Or l'entier r étant le nombre minimal de termes non nuls d'une solution non triviale de pSq on a @j PJ2, nK, σpy1qyjy1σpyjq 0 soit σpy1y

1j q y1y

1j donc @j P J2, rK, y1y

1j P LH . Ainsi, pour tout 2 ¤ j ¤ r il existe

zj P pLHq tel que yj zjy1. La ligne de pSq correspondant à σi IdL devient alors : x1y1x2z2y1 xrzry1 0et comme y1 0, on a x1 z2x2 xrzr 0 de telle sorte que px1, . . . , xrq soit liée ce qui est impossible.

Ainsi, m n.

Troisième étapeNotons G le groupe des LH -automorphismes de L. Il contient H de manière évidente. Montrons que G est

ni. Soit pa1, . . . , anq une base de L sur LH , Π1, . . . ,Πn les polynômes minimaux respectifs des ai sur LH etf Π1 . . .Πn P LH rXs. Soit R l'ensemble (ni) des racines de f dans L. Comme Πjpajq 0, fpajq 0 pour toutj. Et donc R contient tpa1, . . . , anu.

De plus, si x °ni1 αiai P L, où αi P LH , alors pour tout élément σ de G on a, σpxq °n

i1 αiσpaiq. Celanous assure que ψ : GÑ Sn, σ ÞÑ σ|R est injective et donc que G est ni.

On a LH LG L par dénition de G, et LG LH L car H G donc LH LG. Selon la conclusion desdeux premières étapes, G rL : LH s rL : LGs H et donc G H.

7.21 Théorème de structure des groupes abéliens nis

Leçons : 102 104Source : Colmez, p134Notons qu'il existe un cas pour les groupes abéliens non nis, le résultat est alors G ±r

i1 Z Ni ZZk.

Informations sur les caractères

Une représentation de G groupe est un C-espace vectoriel et un morphisme ρ : G Ñ GLnpV q. Le caractère de lareprésentation est χV pgq TrpρV pgqq. Le degré du caractère est χV p1q Trp1q dimV .Si V est de dimension 1, les endomorphismes de V sont les homothéties, l'application de G dans C qui associe à unélément de G le rapport de l'homothétie associée induit un isomorphisme de G dans C. Une telle représentation estalors un morphisme de groupes : χ : GÑ C appelé caractère linéaire de G. On note G l'ensemble de ces caractères.

Le résultat

Théorème. Soit G un groupe abélien ni, il existe r P N et des entiers N1, . . . , Nr, où N1 est l'exposant du groupeG et Ni|Ni1, tels que :

G rài1

Z Ni Z

91

Démonstration. Une première remarque :Comme G est ni et abélien, les classes de conjugaison n'ont qu'un élément. On a donc N |G| représentations

irréductibles par Burnside.Les caractères irréductibles sont des morphismes, ce sont donc des éléments de G le groupe abélien des mor-

phismes de G dans C. Réciproquement chacun de ces morphismes fournit une représentation et donc un caractèreirréductible de G.

De plus, dans un groupe abélien, l'exposant est le ppcm des ordres des éléments du groupe, c'est aussi le plusgrand ordre des éléments du groupe (i.e. il existe un élément d'ordre l'exposant du groupe).

Pour la démonstration on aura besoin de deux lemmes :

Lemme 23. Si G est abélien, alors i : G Ñ ˆG

x ÞÑ pχ ÞÑ χpgqq est un isomorphisme de groupes

Démonstration. Il s'agit d'un morphisme puisque pipxyqqpχq χpxyq χpxqχpyq pipxqqpχqpipyqqpχq, par linéaritédes caractères.On a vu que C est l'ensemble des caractères irréductibles. Il est donc de même cardinal que G. En appliquant le

même raisonnement à ˆG on a |G| | ˆG|, puisque les éléments de ˆ

G sont les caractères irréductibles de G qui est

abélien. Et donc | ˆG| |G|.Il sut donc de montrer que i est injectif.Soit g P G tel que ipgqpχq 1ipeqpχq. Alors, @χ P G, χpgq χpeq 1.On décompose 1tgu dans la base de caractères :

1tgu ¸χPG

x1tgu, χyχ

¸χPG

1

|G|¸hPG

1tguphqχphqchi

1

|G|¸χPG

χpgqχ

1

|G|¸gPG

χ.

Et donc, en évaluant en e :

1tgupeq 1

|G|χpeq 1

et donc, g e et i est bien injective.

Lemme 24. G et G ont même exposant.

Démonstration. Soit N l'exposant de G, on a @χ P G, @g P G,

χN pgq χpgqN χpgN q χp1q 1

donc on a majoré l'exposant par N . On applique le même raisonnement à G pour obtenir l'autre inégalité (parce

que G et ˆG ont même exposant.

On procède par récurrence sur |G|. Le résultat est évident pour |G| 1 (et alors r 0). Supposons donc |G| ¡ 1,notons N1 l'exposant de G.

Par le lemme précédent, il existe χ1 P G d'ordre N1. On a donc @g P G, χ1pgqN1 1, et donc χ1pGq est unsous groupe des racines N1-ièmes de l'unité, comme il est d'ordre exactement N1 on a égalité.

Soit x1 P G tel que χ1px1q exp

2iπN1

et p l'ordre de x1.

On sait que p divise N1. Puis χ1pxp1q 1 exp

2piπN1

, donc N1 divise p et nalement x1 est d'ordre N1.

92

Posons H1 xx1y. Montrons que G H1 Kerpχ1q. Comme H1 Z N1 Z, et |Kerpχ1q| n, on aura lerésultat par récurrence (on décompose Kerpχ1q

±ri2 avec Ni1|Ni alors comme les éléments de G sont

d'ordre divisant N1 on aura bien le résultat voulu).χ1 induit un morphisme surjectif α de H1 sur UN1

puis par égalité des cardinaux, α est un isomorphisme.Soit x P G, alors

x α1pχ1pxqqpα1pχ1pxqqq1x.

Par dénition de α, α1pχ1pxqq P H1. Puis,

χ1

pα1pχ1pxqqq1x χ1

pα1pχ1pxqqq1χ1pxq pχ1pxqq1χ1pxq 1,

donc pα1pχ1pxqqq1x P Kerpχ1q. Et donc, on a bien G H1Kerpχ1q. On a aussi H1 XKerpχ1q teu car χ1

est injectif sur H1. Et donc on a bien par isomorphisme (un des théorèmes) :

G H1 Kerpχ1q.

7.22 Théorème des deux carrés

Leçons : 120 122Source : Perrin

Théorème. Notons Σ tn P N |Da, b P N, n a2 b2u.Soit p un nombre premier, p P Σ ô p 1modp4q.

Démonstration. On dénit sur Zris l'application "norme", N : Zris Ñ N par Npa ibq a2 b2. Alors on aNpzz1q NpzqNpz1q.Lemme 25.

Zris t1,iuDémonstration. Si z a ib est inversible, alors sa norme l'est (c'est à dire qu'elle vaut 1 1), et donc a2 b2 1,ce qui implique z 1 ou z i.

Réciproquement c'est immédiat.

Lemme 26.p P Σ ô p est réductible dans Zris

Démonstration. ñ Si p a2 b2, alors dans Zris, p pa ibqpa ibq. Comme Npa ibq Npa ibq p ¡ 1, onsait que a ib et a ib ne sont pas inversibles dans Zris et donc p est réductible.

ð Si p zz1 dans Zris, alors Nppq p2 NpzqNpz1q. Mais on sait que Npzq 1 et Npz1q 1. On a doncNpzq p.

Comme Zris est factoriel (il est euclidien pour N), par le lemme d'Euclide on a :

p réductible dans Zris ô ppq non premier dans Zris ô Zrisppq non-intègre.

Or, Zris ZrXspx2 1q on a donc les isomorphismes suivants :

Zrisppq ZrXspX2 1, pq pZrXsppqq pX2 1q FFprXspX2 1q.Et donc p est réductible dans Zris ô FprXspX2 1q est non intègre ô X2 1 est réductible dans FprXs ô

X2 1 a une racine dans Fp ô 1 est un carré dans Fp ô p1q p12

1p

1 ô p 1modp4q.

Corollaire. Soit n P N qu'on écrit n ±pPP p

νppnq, avec P l'ensemble des nombres premiers.Alors on a :

n P Σ ô @p P P, p 3modp4q ñ νppnq 0modp2q.

93

Démonstration. Tout d'abord, l'on sait que Σ est stable par multiplication, en eet, n P Σ ô Dz P Zris, n Npzq.Et donc, si n, n1 P Σ, alors NpzqNpz1q Npzz1q P Σ.

Sens directSoit n a2 b2 P Σ, on note δ pgcdpa, bq, a1 a

δ et b1 bδ , de telle sorte que a

1 et b1 soient premiers entreeux et que n2 δ2pa12b12q.

Soit p un diviseur premier impair de pa12 b12q, alors dans Zris on a p|pa1 ib1qpa1 ib1q.Si p était irréductible dans Zris, alors p|pa1 ib1q ou p|pa1 ib1q, mais en passant au conjugué, si p divise l'un il

divise l'autre. Donc p divise les deux, et nalement p|2a1 et p|2b1 dans Zris. En passant à la norme on a donc p2|4a12et p|4b12 dans Z. Mais p est impair et donc p|a1 et p|b1. Ce qui est impossible.

On écrit alors p xy dans Zris avec Npxq 1 Npyq (ce qui veut dire qu'on choisir x et y non inversibles).En passant à la norme on a p2 NpxqNpyq et comme p est premier p Npxq Npyq. Finalement p P Σ et doncp 1modp4q.

Ainsi, les facteurs premiers congrus à 3 mod 4 sont dans le δ2 c'est à dire d'exposant pair.

Sens réciproqueOn peut écrire n ainsi :

n

¹

pPPp3modp4q

pνppnq

2

2 ¹

pPPp3modp4q

pνppnq

avec le premier terme qui est un carré parfait et le deuxième qui est la somme de deux carrés (par la stabilitépar multiplication).

7.23 Transformée de Fourier rapide

Leçons : 102 110 159Source : Cormen, Leiserson, Rivest, Stein Algorithmique

Il est possible de trouver une étude plus théorique de ce résultat dans Peyré.

Problème

Soient ApXq °i 0n1aiX

i et B °n1i0 aiX

i deux polynômes, que l'on veut multiplier. Le calcul brutaldu produit par la formule CpXq ABpXq °2n1

j0 cjXj se fait en complexité Opn2q. La méthode suivante permet

de le faire en Opn log nq opérations.

Soulution

Un polynôme de degré ¤ 2n 1 est entièrement déterminé par les valeurs qu'il prend sur une base duale deC2n1rXs, ici on choisit comme base celle des évaluations sur une famille pxiqi. Et alors, on a un isomorphisme :

C2n1rXs Ñ C2n

P ÞÑ pP px1q, . . . , P px2nqqAinsi, pour multiplier les polynômes, il sut de :

1. les évaluer sur la famille choisie ;

2. calculer Cpxiq ApxiqBpxiq ;3. interpoler C d'après ces valeurs

94

L'évaluation peut se faire en Opnq par la méthode de Horner (Apx0q a0 x0pa1 x0pa2 . . . qq).

On va évaluer les polynômes sur les racines de l'unité. Posons ωjk exp

2ikπj

et ωk ω1

k. On va montrer que

l'on peut évaluer les A et B en les ωj2n, j P J0, 2n 1K en Opn log nq opérations. Dans la suite, et pour simplier onva supposer que n est une puissance de 2.

Pour cela on procède de manière récursive, on pose Ap0q et Ap1q des polynômes tels que Apxq Ap0qpx2q xAp1qpx2q. Il sut alors d'évaluer Ap0q et Ap1q en les pω0

nq2, . . . , pωn1n q2, où il n'y a que n2 valeurs, et de combiner

les résultats. On en déduit l'algorithme suivant

FFT(a) :n = longueur de asi n 1

renvoyer a (il est de dimension 1 et donc évalué en 1)ωn e2iπn

ω 1ap0q pa0, a2, . . . , an2qap1q pa1, a3, . . . , an1qyp0q FFT pap0qqyp1q FFT pap1qqpour k allant de 0 à n2 1

yk yp0qk ωy

p1qk

ykn2 yp0qk ωy

p1qk

ω ωωnrenvoyer y

Ici, l'on garde en mémoire l'ω en le changeant à chaque étape pour économiser des opérations. Et, yp0qk Ap0qpωkn2q; yp1qk Ap1qpωkn2q puisque ωkn2 ω2k

n .Le nombre d'opérations T pnq vérie alors : T pnq 2T pn2q Opnq et donc T pnq Opn log nq.

Analyse matricielle

Le calcul de cette transformée revient à eectuer l'opération matricielle suivante :

y0

...

yn1

1 11 ωn ω2

n ωn1n

ω2n

.... . .

1 ωn1n ω

pn1qpn1qn

loooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooonVn

a0

...

an1

.

On peut facilement calculer V 1n

ωkjn

n

j,k.

pV 1n Vnqjj1

n1

k0

ωkjn

n

ωkj

1nn

n1

k0

ωkpj1jqn

n

"0 si j j1

1 sinon

On peut alors dénir FFT1n pyq aj

°n1k0 ykω

kjn , en reprenant le même algorithme que précédemment en

inversant y et a et en divisant chaque résultat par n.

Finalement

95

En désignant par b l'opération qui à deux vecteurs renvoie le vecteur constitué des coecients du polynômeproduit des deux polynômes dénis par les deux premiers vecteurs.

ab b FFT12n pFF2npaq FFT2npbqq .

96

Chapitre 8

Développements non utilisés mais

intéressants

Com'io al piè de la sua tomba fui,guardommi un poco, e poi, quasi sdegnoso,mi dimandò : Chi fuor li maggior tui ?

Dante, Divina Commedia, l'Inferno, Canto X

8.1 Récurrence et transience des chaînes de Markov

Leçons : 230 243 260Source : Benaïm El-Karoui Promenade aléatoireIl existe un résultat spécique aux marches aléatoires, qui couvre toutes les lois des pas, on peut le trouver dans

Durett Probability.

Dénition. Soit pXnqn une chaîne de Markov sur un ensemble dénombrable M de noyau de transition P (matricedans le cas ni). Dénissons le temps du premier retour en x,

Tx T 1x inftk ¡ 0, Xx

k xu P NYt8u;avec pXx

k q la chaîne de noyau P et vériant Xx0 x.

Puis on dénit par récurrence les temps du k-ème retour en x par :

Tn1x inftk ¡ Tnx , X

xk xu P NYt8u

97

On dénit alors la récurrence et la transience d'une chaîne par :

Dénition. Soit pXxnq une chaîne à espace d'états dénombrable, l'état x PM est dit

1. transient pour P si PpTx 8q 1 ;

2. récurrent pour P si PpTx 8q 1.

On distingue de plus deux types d'états récurrents, récurrent nuls si ErTxs 8 ; récurrent positif si ErTxs 8.On peut aussi dénir le temps de passage en x par,

Nx ¸k¥0

1Xxkx.

Et l'on a, Nx ¥ p 1 ô T px 8.

Propriété. RenouvellementSoit x PM et pIkq une suite de va iid de même loi que Tx. Alors,

i les vecteurs pTx, T 2x , . . . , T

nx q et pI1, I2 I2, . . . , I1 Inq ont même loi ;

ii

limnÑ8

1

n

n

k0

1Xxkx 1

ErTxsDémonstration. Ce résultat est à mettre dans le plan, trop long à montrer surtout pour le deuxième point, voir lasource pour la preuve. Sert à montrer que la proba invariante vérie πpxq 1

ErTxs .

Propriété. Un critère analytique de récurrence On dénit,

Upx, tq ErtTx1Tx 8s ¸k¥1

PpTx kqtk,

Gpx, tq E

¸k¥0

1Xxkxtk

¸k¥1

P kpx, xqtk.

On notera que,

Upx, 1q PpTx 8q et Gpx, 1q ErNxs.Alors pour tout x PM et 0 ¤ t ¤ 1,

Gpx, tq 1

1 Upx, tq .

En particulier, x est récurrent si et seulement si,

Gpx, 1q ¸k¥0

P kpx, xq 8

Démonstration. Les temps où la chaîne passe par x sont énuméré par les Tnx :¸k¥0

1Xxkxtk 1

¸n¥1

1Tnx 8tTnx ,

par la propriété de renouvellement,

E1Tnx w8t

Tnx

E

n¹i1

tIi1Ii 8

n¹i1

ErtIi1Ii 8s Upx, tqn.

D'où,

Gpx, tq 1¸n¥1

Upx, tqn 1

1 Upx, tq .

98

Application : les marches aléatoires

On étudie les marches aléatoires symétriques dans Zd.

Théorème. PólyaLa marche aléatoire Xn1 Xn θn, avec θn uniforme sur p1, . . . ,1q, est récurrente pour d 1 ou 2,

transiente pour d ¥ 3.

Démonstration. 1. d 1. Pour n impair, on a PpXn 0q 0. Pour n 2k, on a P pX2k 0q 122k

2kk

. Par

Stirling, on a :

P kp0, 0q 1

22k

2k

k

1

22k

2?πkp2k eq2k

2πkpk eq2k 1?πk

ce qui implique donc que°P kp0, 0q diverge et donc que la chaîne est récurrente.

2. d 2. Notons Xk pX1k , X

2kq et θk pθ1

k, θ2kq. Les va Uk θ1

k θ2k et Vk θ1

k θ2k sont indépendantes de

même loi :

PpUk 1q PpUk 1q 12par conséquent, on peut réemployer le résultat pour d 1 :

PpX2k 0q PpX12k X2

2k 0q PpX12k X2

2k X12k X2

2k 0q

PpU1 U2k 0qPpV1 V2k 0q 1

πk

ce qui prouve encore la récurrence puisque la série diverge encore.

3. d ¥ 3.Soit φptq Erexppixt, θ1yqs 1

d pcospt1q cosptdqq, la fonction caractéristique des θi pour t pt1, . . . , tdq.On aura besoin du lemme suivant :

Lemme 27. ¸k¥0

PpX2k 0Zdq 1

2πd

»rπ,πsd

d t

1 φ2ptq .

Démonstration. Pour x px1, . . . , xdq P Zd notons,

Idpxq 1

p2πqd»rπ,πsd

exppixx, tyqd t.

Par Fubini, Idpxq ±dj1 I1pxjq et donc Idp0q 1 et Idpxq 0 sinon.

Soit φXn : Rd Ñ C la fonction caractéristique de Xn,

φXnptq ErexppixXn, tyqs.Alors, encore par Fubini,

1

p2πqd»rπ,πsd

φXnptq d t ErIdpXnqs PpXn p0, . . . , 0q.

Et par indépendance des θi,

φXnptq n¹j1

φθj ptq φptqn.

Et donc,

¸k¥0

PpX2k p0, . . . , 0qq 1

p2πqd¸k¥0

»rπ,πsd

φ2kptq d t

99

1

p2πqd»rπ,πsd

¸k¥0

φ2kptqd t 1

2πd

»rπ,πsd

d t

1 φ2ptq ,

par Fubini encore.

Il nous sut alors de montrer que³rπ,πsd

d t1φ2ptq est nie pour d ¥ 3. La fonction 1 φ2ptq s'annule pen

l'origine et en les points pπ, . . . , πq et pπ, . . . ,πq. Il sut alors de montrer qu'en chacun de ces points lafonction ψptq 1

1φ2ptq est équivalente à une fonction d'intégrale nie.

En 0, φptq dt2 , qui est d'intégrale nie sur un voisinage de l'origine, puisque par changement de variable

polaire, »Bp0,εq

1

t2 d t » ε

0

»Sd1

1

r2Cdr

d1 d r dα Cd

» ε0

rd3 d r.

Avec Cd une constante. Pour d ¥ 3 cette intégrale est nie, on procède de même aux autres points.Finalement on a bien montré le résultat.

8.2 Bases presque orthogonales

Source : Peter Lax, Functionnal Analysis.Ce résultat montre qu'une base orthogonale perturbée assez peu reste une base orthogonale.On commence par un résultat général sur les opérateurs compacts :

Lemme 28. Soit C : X Ñ X un opérateur compact dans un Banach. On note T I C.

i Si pCnqn est une suite d'opérateurs compacts qui converge en norme d'opérateur vers C, alors C est compact ;

ii ImpT q est fermée :

iii T injectif ñ T surjectif.

Démonstration. i Soit ε ¡ 0 et n P N tel que CnC ε. Comme l'image de la boule unité par Cn est compacte,on peut la recouvrir par un nombre ni de boules de rayon ε, on peut recouvrir l'image de la boule unité par Cpar un nombre ni de boules de rayon 2ε. (ici, la précompacité est équivalente à la compacité.)

ii Soit pTxk ykqk une suite de points de ImpT q qui tend vers y. Notons dk distpxk,KerpT qq. La suite pdkqkest bornée, en eet, si pzkqk est une suite de KerpT q telle que |wk| : |xk zk| 2dk, on a :

Twk Txk yk.

Si la suite pdkqk n'était pas bornée, alors uk : wkdk vérierait |uk| 2 et Tuk ykdk Ñ 0, puisque pykqkest bornée. Et donc par continuité de T et compacité de C ;

uk Cuk Tuk‘ Ñ 0 ñ uk Ñ u P KerpT qCe qui est contradictoire avec |uk u| ¥ 1, qui découle de la dénition de uk. Donc pdkqk est bornée et doncpwkqk l'est aussi. On peut donc en extraire de pCwkqk une sous suite convergente, et

wk Cwk yk Ñ y ñ wk Ñ w.

Et par continuité de T ,

w Cw Tw y.

iii Supposons T injectif, alors la suite :

X0 : X et @n P N, Xn1 : TXn Tn1X Xn

On veut montrer que X1 X. Supposons le contraire. Par injectivité de T , les inclusions sont strictes. De pluscomme :

100

Tn pI Cqn I n

k0

n

k

p1qkCk

le premier point montre que ImTn est fermée pour tout n P N et donc pour tout k P N il existe xk P Xk tel que,

|xk| 1 et distpxk, Xk1q ¥ 12.Alors, pour m n :

Cxm Cxn xm pTxm xn Txnq P xm Xm1

et |Cxm Cxn| ¥ 12. Ce qui est contradictoire avec la compacité de C, car pCxnqn ne contient aucune soussuite convergente.

Théorème. Soit H, un hilbert, et txnu une base hilbertienne. Soit tynu une famille d'éléments pas trop éloignésd'éléments, ¸

xn yn 8.Supposons de plus que la famille tynu est linéairement indépendante, au sens où aucun yi n'appartient à l'adhé-

rence de l'espace vectoriel engendré par les autres tykuki.Alors, la famille tynu est une base hilbertienne.

Démonstration. Comme txnu, est une base orthogonale on peut écrire u P H peut-être écrit comme :

u ¸anxn, an pu, xnq, et u2

¸|an|2.

Dénissons la fonction linéaire B : H Ñ H pour u écrit comme avant par Bpuq °anyn.

Cette série converge, comme on peut écrire Bu u °anpynxnq puis pas inégalité triangulaire et par Cauchy-

Schwartz :

Bpuq u ¤¸|an|yn xn ¤

¸|an|2

12 yn xn212 ¤ uC.

Ceci montre que B Id est un opérateur linéaire borné. Nous allons montrer qu'il est compact.

Bpuq u N

n0

anpyn xnq 8

nN1

anpyn xnq GN puq Rnpuq,

et l'on a :

RN puq ¤ u 8

nN1

yn xn212

ce qui implique :limNÑ8

RN puq 0

Ceci montre que BId est la limite uniforme des GN , qui sont compacts car linéaires en dimension nie. BIdest donc compact.

Le noyau de B est trivial, en eet, s'il existait u 0 tel que Bpuq °anyn 0 cela contredirait le fait que la

famille pynq a été supposée linéairement indépendante.On applique maintenant le théorème à B Id pB Idq et on en conclut que l'image de B est tout H.

101

8.3 Cartan-Von-Neumann

Source : Gonnord-Tosel, Calcul di p82-83

Théorème. Tout sous groupe-fermé de GLnpRq est une sous-variété de MnpRq.Démonstration. On va montrer comme cela sut (la translation est C8), qu'il existe un voisinage de In diéomorphe

à un ouvert MnpRq Rn2

.Étape 1 : On pose :

LG : tm PMnpRq|@t P R, etm P Gu.Pour montrer que c'est une sous algèbre, il faut vérier qu'elle est stable par somme. L'exponentielle a une

diérentielle inversible en 0 (c'est identité), et donc exp est localement inversible, on note L son inverse. Pour mproche de 0, on écrit :

em In m opmq et LpIn mq m opmq.Soient a, b P LG, t P R, on a pour k P N assez grand,

etak etbk

k ekLpe

tak etbkq

ekLpIntabk op1kqq

etpabqop1q

ÑtÑ8 etpabq

et comme G a été supposé fermé, on a la conclusion.Étape 2 :Soit M un supplémentaire de LG dans MnpRq, et φ : MnpRq Ñ GLnpRq qui à x lm, l,m P LGM associe

φpxq el em ; cette dernière fonction est C8 et sa diérentielle en 0 est In. Par le théorème d'inversion locale, ilexiste U voisinage ouvert de 0 tel que φpUq soit ouvert dans GLnpRq et tel que φ soit un C1-diéomorphisme surcet ensemble.

On va montrer que, quitte à restreindre U ,

φ : U X LG Ñ φpUq XG

est un C1 diéomorphisme, ce qui conclura. Pour cela, il sut de montrer que φpUXLGq φpUqXG. L'inclusion est évidente par dénition de LG.

On veut donc montrer qu'il existe un voisinage U de 0 dans MnpRq tel que φpUq X G φpU X LGq. On vamontrer que

Dk P N,@xk P Bp0, 1kq, φpxkq P Gð xk P LGSi ce n'était pas le cas, alors comme MnpRq LG `M , il existerait deux suites plkqk LG et pmkqk Mzt0u

de limites nulles et telles que pour tout k P N, φplk mkq P G. Alors, par dénition de LG, on aurait emk P G pourtout k, comme mk 0, on peut poser :

εk mk

mk PM.

Quitte à extraire, on peut supposer que pεkq converge vers ε PM de norme 1. Soit t P R, on note :

t

mk λk µk, où λk P Z et |µk| 1

2.

Alors,

etε limkÑ8

etmkmk lim

kÑ8eλkmk

car eλkmk Ñ In. Comme λk P Z, etε P G comme limite d'une suite de points de G, fermé. Ceci prouve queε P LG XM t0u. Ce qui est absurde puisque ε 1.

102

Remarque. On connaît explicitement la réciproque de l'exponentielle,

LpIn mq 8

k0

p1qkmk1

k 1, m 1;

Ce résultat est en pratique inutile.

8.4 Un théorème d'Hadamard sur les diéomorphismes

Théorème. Soit f de classe C2 de Rn dans Rn, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

i f est un diéomorphisme de Rn sur Rn ;ii f est propre* et le déterminant du jacobien de f est partout non nul.

* par propre on entend que la préimage de tout compact est compact.

Démonstration. iq ñ iiq, f1 étant continue, elle transforme un compact en compact et donc f est propre. De pluscomme f1 f f f1 Id et donc en dérivant : dpf1qpfpxqq dfpxq Id et dfpf1pyqq dpf1qpyq Id. Etdonc dfpxq est inversible en tout point.

iiq ñ iiq. Posons fpxq fpxqfp0q on se ramène au cas où fp0q 0 avec les mêmes hypothèses sur f . De plus,l'application linéaire dfpxq : Rn Ñ Rn est inversible pour tout x P Rn. On va utiliser le lemme suivant :

Lemme 29. Supposons qu'il existe g : Rn Ñ Rn telle que :

1. g soit continue ;

2. fpgpyqq y, @y P Rn ;3. g soit surjective.

Alors f est un diéomorphisme de Rn sur Rn de classe C1.

Démonstration. f est injective. En eet, soient x, x1 deux points de Rn tels que fpxq fpx1q. Par 3 il existe y, y1

tels que gpyq x, gpy1q x1. Alors par 2 on a fpxq fpgpyqq y fpx1q fpgpy1qq y1. Donc y y1 ce quiimplique que gpyq gpy1q et donc x x1.f est surjective, par 2.Ainsi, f est bijective de jacobien non nul, donc par le théorème d'inversion locale, f est un C1-diéomorphismelocal, et donc f et f1 sont C1 sur Rn.

Construisons maintenant une telle fonction g. Pour cela, cherchons x : RtRny Ñ Rn telle que fpxpt, yqq ty ;puis on posera gpyq xp1, yq. En dérivant l'égalité précédente par rapport à t on voit qu'une condition nécessaireet que dfpxpt, yqq 9xpt, yq y et donc 9xpt, yq rdfpxpt, yqqs1pyq.

Soit y P Rn, on considère le système diérentiel :"9xptq rdfpxptqqs1pyq,

xp0q 0.

On va utiliser le Lemme suivant :

Lemme 30. Soit f : Rn Ñ Rn de classe C2 telle que dfpxq : Rn Ñ Rn soit inversible pour tout x P Rn. Alors, pourtout y P Rn xé, l'application x ÞÑ F pxq rdfpxqs1pyq de Rn dans Rn est de classe C1 et pour x, z P Rn :

dF pxqpzq rdfpxqs1d2fpxqpz, rdfpxqs1pyq .

Par le lemme et Cauchy-Lipschitz, le système admet une solution maximale xpt, yq dénie sur I r0, Tr. Sur Ion a d

d t rfpxpt, yqqs dfpxpt, yqq 9xpt, yq y. Comme xp0, yq 0 et fp0q 0 et donc on en déduit fpxpt, yqq ty.Si T 8 on a |fpxpt, yqq| ¤ T|y| et donc, pour t P I, xpt, yq P f1pBp0, T|y|qq qui est par hypothèse compact,ce qui contredit la sortie de tout compact. Donc T 8 et donc xpt, yq existe sur r0, 1s et xpt, yq P f1pBp0, |y|qqpour tout t P r0, 1s

On pose alors gpyq xp1, yq. Montrons qu'elle vérie les conditions du premier lemme.

1. fpxpt, yqq ty et donc fpgpyqq y ce qui prouve 2

103

2. g est continue. C'est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz à paramètre (continuité selon lacondition initiale) mais on peut le redémontrer. Soit y0 P Rn. Pour |y y0| ¤ 1 on a |y| ¤ |y0| 1. PosonsK0 f1pBp0, 1 |y0|qq, c'est un compact de Rn. Soit B0 boule fermée contenant K0. Par ce qui précède,pour tout t P r0, 1s et tout λ P r0, 1s on a λxpt, y0q p1 λqxpt, yq P B0, et donc on écrit :

9xpt, y0q 9xpt, yq rdfpxpt, y0qqs1py0q rdfpxpt, yqqs1pyq,d'où :

xpt, y0q xpt, yq » t

0

rdfpxps, y0qqs1py0 yqds» t

0

rdfpxps, y0qqs1 rdfpxps, yqqs1 pyqds AB.

On a pour t P r0, 1s,

|A| ¤ supzPB0

rdfpzqs1|y y0| Mpy0q|y y0|

Pour l'intégrale B en conservant les notations précédentes du lemme, l'intégrande s'écrit :

F pxps, y0qq F pxps, yqq » 1

0

dF pλxps, y0q p1 λqpxps, y0q xps, yqqdλ

et alors,

|B| ¤» t

0

supXPB0

dF pXq|xps, y0q xps, yq|ds

par le deuxième lemme, il existe C ¡ 0 ne dépendant que de y0 telle que :

|B| ¤ Cpy0q» t

0

|xps, y0q xps, yq|ds.

Et donc par Gronwall :

|xpt, y0q xpt, yq| ¤Mpy0q|y y0| eCpy0qt .et donc que |gpyq gpy0q| ¤Mpy0q eCpy0q ce qui montre la continuité de g.

3. g est surjective. Montrons que gpRnq est ouvert et fermé dans Rn. Montrons qu'il est fermé, si xn gpynqsuite de gpRnq. Alors fpxkq fpgpykqq yk par continuité de f , yk fpxkq Ñ fpxq, puis par continuitéde g, gpykq xk Ñ gpfpxqq. Mais xk Ñ x et donc x gpfpxqq P gpRnq. Montrons qu'il est ouvert. Soitx0 P gpRnq, x0 gpy0q. Alors, fpx0q fpgpy0qq y0. Il existe donc des voisinages Ux0

et Vy0 tels quef : Ux0

Ñ Vy0 soit un diéomorphisme. g est continue en y0 et gpy0q x0 il existe donc Wy0 Vy0 voisinageouvert de y0 tel que gpWy0q Ux0

. Soit y P Wy0 , f1pyq P Ux0

, gpyq P Ux0, fpf1pyqq y, fpgpyqq y, par

injectivité de f , on en déduit f1pyq gpyq P gpRnq et donc f1pWy0q gpRnq. f est un diéomorphisme deUx0 sur Vy0 , donc f

1pWy0q est un voisinage ouvert de x0 ce qui conclut.

8.5 USS Enterprise

Source : Aucune, un article obscur d'une université milanaise.

Lemme 31. »BBp0,cq

1

|x r| dσBp0,cqprq "

1c si |x| ¤ c1|x| si |x| ¡ c

.

Où σBp0,cqprq correspond à la mesure uniforme sur la sphère de dimension 3.

104

Démonstration. On procède en utilisant le théorème de Gauss, par analogie avec le calcul du potentiel électrostatiqueémis par une sphère chargée en surface uniformément.

On considère une sphère de rayon R chargée uniformément en surface d'une charge surfacique σ. Alors, on apour le calcul du champ électrique en pr, θ, σq (qui ne dépend que de r par principe de Curie) :¼

Sp0,rq

Eprq dS 4πr2Eprq Qintprqε0

avec Qint la charge intérieure, c'est à dire ici Qint "

4πσR2 si r ¥ R0 sir R

. Et donc, on obtient :

Eprq "

σR2

ε0r2si r ¥ R

0 sir R

Et donc, on peut en calculer le potentiel (on ajuste les constantes pour l'avoir continu), puisque E `V .

V prq #

σR2

ε0rsi r ¥ R

σRε0

sir R.

Mais on dispose d'une autre méthode pour calculer ce potentiel directement :

V pxq ¼

Sp0,Rq

σ4πR2

4πε0|x r| dSprq

Et nalement, on obtient : ¼Sp0,Rq

σ4πR2

4πε0|x r| dSprq " 1

|x| si |x| ¥ R1R si|x| R

Un vaisseau doit aller dans le système solaire représenté par une boule Bp0, Rq dans l'espace. Mais les moteursdu vaisseau sont en panne, on ne peut contrôler que la longueur des sauts, et pas leur direction qui est choisieuniformément. On note Xn les positions du vaisseau.

Dénition. On dénit la ltration naturelle associée aux pXnq par Fn : σpX1, . . . , Xnq.Une stratégie de déplacement est une suite pCnq de réels positifs prévisible.

Théorème. On dénit T inftn ¥ 0 ; Xn P Bp0, Rqu, le temps d'arrivée à bon port.Alors, quelle que soit la stratégie choisie, si le vaisseau est à distance r initialement.

PpT 8q r

R.

Démonstration. Soit pΘnq une suite de va iid de loi UpS1q représentant les directions de saut. On a donc :

Xn1 Xn CnΘn.

Dénissons, Zn 1|Zn| .

Lemme 32. Quelle que soit la stratégie adoptée, Zn est une surmartingale. De plus, c'est une martingale siCn ¤ |Xn1|@n.Démonstration. On a :

E rZn|Fn1s E

1

|Xn1 CnΘn|Fn1

E rZn|Fn1s E

1

|x cΘn|Fn1

xXn1,cCn

#

1|Xn1| si|Xn1| ¤ Cn

1|Cn| si|Xn1| ¡ Cn

et donc,

105

ErZn|Fn1s ¤ 1|Xn1| Zn1

Et comme Z0 1R P L1 et donc si ErZn1s 8, par monotonie de l'espérance conditionnelle, ErZns ErErZn|Fn1ss ¤ ErZn1s 8.

Montrons maintenant le théorème.Zn est une surmartingale positive, elle converge donc, et presque sûrement Zn a une limite lorsque nÑ8.Par le théorème d'arrêt, pZn^T q est une surmartingale et donc,

ErZTn s ¤ ErZT0 s ErZ0s 1R.Maintenant, notons que presque sûrement,

pAq limnÑ8Z

Tn ZT1Zn 8 lim

nÑ8Zn1T8 ¥ ZT1T 8 ¥ 1

r1T 8,

puisque sur tT 8u, |XT | ¤ r.On passe ensuite à l'espérance,

pBq 1

rPpT 8q ¤ Er lim

nÑ8ZTn s ¤ lim inf EpZTn q ¤

1

R

par le lemme de Fatou et ce qui précède.Pour démontrer que l'inégalité est en réalité stricte, notons que |XT | r sur l'évènement tT 8u et ce presque

sûrement (parce que la sphère est de mesure nulle).En fait, on a même plus, presque sûrement, pour tout k P N, |Xk| r.Si PpT 8q ¡ 0 (sinon, il n'y a rien à prouver), le dernier résultat montre que la dernière inégalité dans pAq

est stricte et donc, la première inégalité de B l'est aussi, et donc :

PpT 8q r

R.

8.6 Formule de Taylor généralisée

Pour la même chose sans malhonnêteté intellectuelle : Bernard Candelpergher, Théorie des Probabilités.

Ici, on se propose de donner une généralisation de la formule de Taylor, comprenant Taylor-Young, Euler-MacLaurin et Tchebyche-Hermite.

Théorème. Soit X une variable aléatoire de loi PX , soir f une fonction inniment dérivable telle que f pnqpXq estintégrable. Posons la famille de polynômes pqnqn dénie par :

q0 1

q1nn!

qn1

pn 1q!»RqndPX 0, n ¥ 1

Ces polynômes sont aussi dénis par :

exz

EpeXzq ¸n¥0

qnpxqn!

zn

Alors, on a :

fpxq N

n0

Epf pnqpXqqqnpxqn!

E

» xX0

qN px sqN !

f pN1qpX sqds

106

Démonstration. Par intégrations par parties successives :

» yx0

qN px tqN !

f pN1qpy tqdt qN pyqN !

f pNqpxq qN pxqN !

f pNqpyq » yx

0

qN1px tqpN 1q! f pNqpy tq

... N

n1

qnpyqn!

f pnqpxq qnpxqn!

f pnqpyq» yx

0

q0px tqf 1py tqdt

N

n0

qnpyqn!

f pnqpxq qnpxqn!

f pnqpyq

Prenons l'espérance de la v.a. :

N

n0

qnpXqn!

f pnqpxq qnpxqn!

f pnqpXq

On obtient :

E

N

n0

qnpXqn!

f pnqpxq qnpxqn!

f pnqpXq

N

n0

qnpxqn!

Epf pnqpXqq fpxq

Quelques applications maintenant : Si PX δ0, on obtient la formule de Taylor reste intégral.Alors, qnpxq xn, et on a la formule de Taylor Si X suit une loi uniforme sur r0, 1sLes polynômes qn sont les polynômes de Bernoulli Bn, et on a pour tout g satisfaisant les conditions du théorème :

gpxq N

n0

Bnpxqn!

» 1

0

gpnqpyqdy » 1

0

» xy0

NN px sqN !

gpN1qpy sqdsdy

Et donc, pour gpxq fpx kq, on a en x 0 :

fpkq » k1

k

fpyqdy N

n1

f pn1qpk 1q f pn1qpkq

Bnp0qn!

» 1

0

» y0

f pN1qpy s kqBN psqN !

dsdy

En intervertissant les intégrales dans le reste (ce que l'on peut faire, puisque l'on est sur un segment) :

RpkqN pfq : 1

N !

» 1

0

BN ptq» t

1

f pN1qpy t kq 1

N !

» 1

0

BN ptqf pNqpk 1 tq f pNqpkq

dt

Or, les polynômes de Bernouilli sont d'intégrale nulle donc, après changement de variable :

RpkqN pfq 1

N !

» k1

k

BN pk 1 tqf pNqptqdt

Pour t P rk, k 1s, on écrit : k 1 t 1 pt ttuq, et comme BN p1 tq p1qNBN ptq on a :

RpkqN pfq p1qN1

N !

» k1

k

BN pt ttuqf pNqptqdt

Puis on somme sur tous les k entre 1 et n 1 et on obtient la formule d'Euler-MacLaurin :

n1

k1

fpkq » n

1

fpyqdy ¸m

1Nf pm1qpnq f pm1qp1q

Bmp0qm!

p1qN1

N !

» n1

BN pt ttuqf pNqptqdt

107

Corollaire. Développement de Tchebychev-HermiteSi X suit une loi N p0, 1q, alors on a :

exz

EpeXzq ez2

2 zx ¸n¥0

qnpxqznn!

p1qnex2

2 Bnpe x2

2 q

Et donc :

qnpxq Hnpxq p1qnex2

2 Bnpe x2

2 qSoit dans la formule de Taylor Généralisée :

fpxq N

n0

1?2π

»R

et22f pnqptqdt

Hnpxqn!

1?2π

»R

ey22

» xy0

Hnpx tqN !

f pN1qpy tqdtdy

En intégrant par parties n fois on a :

1?2π

»R

et22Bnfptq p1qn

»RBnpet22qfptqdt 1?

2π

»RfptqHnptqet

22dt

Et donc, en posant Hn Hn?n! on a :

fpxq N

n0

xf, HnyHn RN pfq

avec : xf, Hny 1?2π

³R fptqgptqet

22dtEt on peut montrer que RN tend vers 0 pour la norme associée au produit scalaire précédent, et donc on retrouve

en partie le fait que les polynômes de Hermite forment une base hilbertienne.

8.7 Processus de Poisson et paradoxe de l'inspecteur

Réf : Foata et Fuchs ; Candelpergher

Dénition. Un processus pXptqq est dit à accroissements indépendants si pour tous t1 t2 tn, les v.a.Xpt2q Xpt1q, Xpt3q Xpt3q, . . . , Xptnq Xptn1q sont indépendantes et la loi de chaque accroissement Xptiq Xpti1q ne dépend que de ti ti1.

Dénition. On appelle processus de Poisson d'intensité λ ¥ 0 un processus pXptqqt¥0 à accroissements indépen-dants tel que Xp0q 0 et tel que, pour tout sgeq0 et t ¡ 0, la loi de Xpt sq Xpsq est une loi de Poisson deparamètre λt.

Remarque. Cette dénition implique que :

PpXphq 1q λhOph2q;PpXphq ¡ 1q Oph2qFaire un petit dessin pour expliquer ce qu'est le temps d'un "top".

Théorème. Soit Tn l'instant où se produit le n-ième "top", Tn tô Xptq n et Xpsq n, @s t.Alors la loi de Tn a pour densité t ÞÑ eλt λ

ntn1

pnsq! 1s0,8rptq.

Démonstration. On va déterminer la fonction de répartition de Tn. Pour cela, notons que tTn ¤ tu tTn ¤ td tu,donc,

PpTn ¤ d d tq PpTn ¤ dq PptTn ¤ t d tu X tTn ¤ tuCq.De plus, l'évènement tTn ¤ t d tu X tTn ¤ tuC tt Tn ¤ t d tu est réalisé si et seulement si le n-ième top

se situe entre t et t d t ce qui veut dire qu'il y a n 1 tops entre 0 et t et au moins un top entre t et t d t, donc :

PpTn ¤ d d tq PpTn ¤ dq PpXptq n 1 et Xpt d tq Xptq ¥ 1q.Par indépendance des accroissements on a,

108

PpTn ¤ d d tq PpTn ¤ dq eλtλn1tn1

pn 1q! PpXpt d tq Xptq ¥ 1q.Or,

PpXpt d tq Xptq ¥ 1q PpXpd tq ¥ 1q 1 PpXpd tq 0q 1 eλ d t λpd tq Opd t2qFinalement, on peut écrire la fonction de répartition FTnptq PpTn ¤ tq :

FTnpt d tq FTnptq λ eλtλn1tn1

pn 1q! d tOpd t2q.Ainsi, la fonction de répartition est dérivable pour tout t ¡ 0 et sa dérivée est la densité de Tn,F 1nptq eλt λ

ntn1

pnsq! .

Théorème. On dénit les écarts inter-évènements D1 T1, D2 T2 T1, . . . , Dn Tnn1. Ces v.a. sont iid deloi exponentielle de paramètre λ.

Démonstration. On va déterminer la loi conjointe de pT1, . . . , Tnq ; pour cela, calculons la probabilité d'un évènementdu type :

T1 Pst1, t1 d t1sT2 Pst2, t2 d t2s

. . .

Tn Pstn, tn d tns ;

avec 0 t1 t1 d t1 tn tn d tn. Ceci se traduit en disant qu'il n'y a aucun top entre 0 et t1,un seul entre t1 et t1 d t1, etc, et au moins un top entre tn et tn d tn. Ceci se réécrit par indépendance desaccroissements et dénition d'un processus de Poisson,

eλt1 λ eλ d t1 d t1 eλpt2t1d t1qλ d t2 eλ d t2 eλptntn1d tn1qp1 eλ d tnq

»±n1i1 rti,tid tis

λn eλyn d y1 . . . d yn.

On a donc la densité de pT1, . . . , Tnq, qui est λn eλyn 10 y1 yn . On fait alors un changement de variablepour obtenir la densité de pD1, . . . , Dnq qui est t ÞÑ λn eλpu1unq.

Paradoxe de l'inspection

On dispose d'une innité d'ampoules de durée de vie T1, . . . , Tn, . . . iid de loi exponentielle de paramètre λ. Onmet en place la première ampoule et dès qu'elle est grillée on la remplace par la suivante. On note Nptq le processusqui indique à l'instant t le nombre d'ampoules déjà grillées. C'est un processus de Poisson.

On xe t ¡ 0 un temps. Et alors on étudie les deux v.a. T 1 t TNptq1 et T 2 TNptq2 t qui vérient alorsTNptq1 T 1 T 2. Calculons la loi de T 1 et T 2 et notons Si T1 Ti.

tT 1 ¡ su tt SNptq1 ¡ su tSNptq t su taucun top dans rt, t ssu

PpT 1 ¡ sq Pptaucun top dans r0, ssuq eλs .

Finalement,

P pT 1 ¡ sq eλs10 s tet donc T 1 a même loi que T1 ^ t.De plus, par absence de mémoire de la loi exponentielle, T 2 a même loi que T1 (on peut aussi refaire le calcul

précédent en changeant deux trois signes, on obtient le même résultat sans indicatrice).On a alors ErT 1s ³t

0PpT 1 ¡ sq d s ³t

0eλt d s 1eλt

λ ; ErT 2s 1λ . Et donc, ErTNptq1s ErT 1s ErT 2s

2λ eλt

λ ¡ 1λ .

Et donc, l'ampoule que l'on regarde a en moyenne une durée de vie supérieure à la moyenne.

109

Chapitre 9

Développements non utilisés et inutiles

L'erreur n'est pas quelque chose de positif.

Spinoza, Traité de la réforme de l'entendement, première partie, proposition XV.

9.1 Ancien Corominas

Source : Gourdon

Théorème. Soit f : R Ñ R une fonction C8. Si pour tout x P R, il existe un entier npxq tel que f pnpxqqpxq 0,alors f est une fonction polynomiale.

Démonstration. Dénissons pour tout n P N,

Fn tx P R |f pnqpxq 0uet posons,

Ω ¤nPN

Fn.

Étape 1 :

Nous allons montrer tout d'abord que sur toute composante connexe de Ω, f est polynomiale.Comme Ω est un ouvert de R, ses composantes connexes seront des intervalles. Soit donc sa, br une composante

connexe de Ω et soit rc, ds sa, br.

110

Soit x0 P rc, ds : comme x0 PFn pour un certain entier n, il existe η ¡ 0 tel que f pnqpxq 0 pour tout

x Psx0η, x0ηr. Ainsi, il existe une fonction polynomiale P telle que sur l'intervalle sx0η, x0ηr, on ait f P .Considérons

Γ tt Psx0, dr|@x P rx0, ts, fpxq P pxqu ;

cet ensemble est non vide car x0 η2 P Γ, donc en tant que partie non vide majorée de R elle admet une bornesupérieure, que l'on note γ. Montrons que γ d.

Par l'absurde, supposons le contraire, alors en appliquant le même raisonnement que pour x0, on a l'existenced'un réel, ε ¡ 0 tel que sur l'intervalle sγ ε, γ εr, on ait f Q pour un certain polynôme Q. Or, sur sγ ε, γr,on a Q P , comme cet ensemble contient un nombre ni de points on a P Q, ce qui contredit la maximalité deγ, puisque γ ε.

Étape 2 :

Étudions la topologie de Ωc de sorte à montrer que Ωc ∅.Maintenant, montrons que Ωc ne contient pas de points isolés. Par l'absurde, supposons le contraire, soit x0 un

point isolé, soit alors ε ¡ 0 tel que :

rx0 ε, x0 εs X Ωc tx0u.Donc,sx0 ε, x0r et sx0, x0x εr sont des connexes de Ω. On est donc assuré, par ce qui précède, de l'existence

de P et Q, deux polynômes tels que f coïncide avec P et Q sur chacun des deux intervalles précédents. Or, parcontinuité de P et Q en x0, on obtient que pour tout i P N, P piqpx0q Qpiqpx0q. Donc P Q. Soit alors n le degré

de Q, on a alors que x0 PFn1. Ceci est absurde, et donc Ωc ne contient pas de points isolés.

Étudions maintenant l'intérieur de Ωc.Supposons par l'absurde maintenant que Ωc et d'intérieur non vide. Or comme

nPN Fn R, on en déduit que,¤

nPNFn

X Ωc

¤nPN

pFn X Ωcq Ωc.

Comme Ωc est fermé dans R, il est complet. D'après le théorème de Baire implique l'existence de n0 P N tel queFn0

X Ωc soit d'intérieur non vide. Soit sa, br tel que sa, brXΩc soit un ouvert inclus dans Fn0. Soit x Psa, brXΩc,

comme Ωc ne possède pas de point isolé, on peut trouver une suite de points distincts de sa, brXΩc convergeant versx. Notons pxiq cette suite.

Montrons alors que

@n ¥ n0, x P Fn.Quitte à extraire, on peut supposer que pxiq est strictement monotone. Pour xer les idées, supposons la crois-

sante. Alors on obtient que,

f pn0qpxiq f pn0qpxi1q 0.

D'après le théorème de Rolle, il exuste yi Psxi, xi1r, tel que f pn01qpyiq 0. En itérant, on aura donc construitune suite pyiq convergeant, par le théorème des gendarmes, vers x aussi. Or, par continuité de la dérivée, n0 1 onobtient bien que f pn01qpxq 0.

En itérant encore le raisonnement, on aura donc bien prouvé que @n ¥ n0, x P Fn. Donnons nous alorsx Psa, brXΩ. Puisque ΩcXsa, br ∅, alors la composante connexe de x dans Ω, notée Ωx, a une extrémité dans sa, br.Notons la x0. D'après ce que l'on a vu précédemment, il existe un polynôme P tel que P f sur Ωx. Cependant,x0 P ΩcXsa, br, ce qui implique, d'après ce qui précède que,

@n ¥ n0, fpnqpx0q P pnqpx0q 0.

Ainsi, le degré de P est inférieur strictement à n0.

Donc, pour tout x Psa, br, f pn0q 0, ainsi sa, brFn0

, cependant :

sa, brXΩc ∅

111

par hypothèse, ce qui est absurde. Donc Ωc est d'intérieur vide, et comme il ne possède pas de points isolés, cetensemble est vide.

Aussi Ω R et donc f est polynomiale sur R.

9.2 Ancien mélange de cartes

Soit tC1, . . . , Cnu un paquet de N cartes. On s'intéresse à un mélange de ce paquet, c'est à dire à appliquer àce paquet une permutation, c'est à dire un élément de Sn choisie aléatoirement de telle sorte que le paquet obtenusoit le plus aléatoire possible. Dans la suite on notera, pour une permutation X que la position de la carte Ci estj par Xpiq j. Par ce dernier terme nous entendons que, si la permutation X est choisie aléatoirement, la loi quirégit cette v.a. vérie :

PpXpiq j|Xp1q a1, . . . Xpi 1q ai1q "

0 si j P ta1, . . . , ai1u1i sinon

C'est à dire que la probabilité qu'une carte soit à un endroit est uniforme parmi les endroits où l'on ne connaitpas la carte déjà présente.

Ceci est exactement équivalent à dire que P pX σq 1n!, ie la permutation eectuée sur le paquet est choisieuniformément.

En réalité, lorsque l'on mélange un paquet on eectue plusieurs mélanges successifs, on représentera donc lephénomène par une chaîne de Markov :

Soit Q une loi de probabilité sur Sn. Soit pXiqi une suite de va iid de loi Q, on dénit la chaîne du mélange(à temps discret et à espace d'états ni) par : Yk Xk Yk1, Y0 Id. Dans la suite, on notera P la matrice detransition de cette chaîne.

On notera µk la loi de la chaîne de Markov à l'instant k, et pour deux lois µ et ν sur Sn on note :

dvpµ, νq maxt|µpAq νpAq|, A Snu 1

2

¸σPSn

|µptσuq νptσuq|

Un premier mélange : le Top-In Shue

Ce mélange très simple consiste à prendre la première carte du paquet et à l'insérer de manière uniforme dansle reste du paquet. La loi de probabilité associée à ce mélange est alors :

Qpσq $&%1n si σ

1 . . . pi 1q i pi 1q . . . n2 . . . i 1 pi 1q . . . n

0 sinon

Une première remarque est que la chaîne est irréductible (puisque le cycle p12 . . . nq et la permutation p12qengendrent tout Sn) et apériodique puisque l'identité a une probabilité non nulle. De plus, on peut noter quel'équation dans Sn avec σ et τ des permutations xées, t σ σ1 a une unique solution et donc pour tout tpermutation xée : ¸

σPSnppσ, tq 1

Ce qui veut dire que, si π désigne la loi uniforme sur Sn, π πP , et donc la chaîne de Markov converge en loivers la loi uniforme (ce qui est l'un des objectifs recherchés), ie :

dvpµn, πq ÝÑ 0

Nous allons maintenant essayer de calculer la vitesse à laquelle cette distance converge, plus précisément, nousallons essayer de montrer qu'elle décroît exponentiellement passé un certain nombre de mélanges.

Tout d'abord, notons que les cartes placées sous la dernière carte, notée Cd du paquet l'ont été uniformément,par dénition du mélange et par récurrence, puisqu'à l'origine le paquet situé sous la dernière carte est vide (onpeut le démontrer avec des calculs, en écrivant qu'une permutation des k cartes sous la dernière correspond à k+1

112

permutations de ce même paquet où l'on aura ajouté une nouvelle carte). Donc, lorsque toutes les cartes serontpassées sous Cd (ce qui se produit presque sûrement puisque la carte Cd ne peut redescendre dans le paquet sansêtre en haut de celui-ci, c'est à dire sans que toutes les cartes soient sous elle) en mélangeant une fois de plus oninsérera Cd uniformément dans un paquet uniformément mélangé, et on aura un paquet correspondant à nos attentes.

On va donc dénir un temps d'arrêt T par :

T0 0 ; Ti mintk ; YkpNq N iu Ti1 T1

et T T1 TN1 1

Ti représente le temps qu'il faut à la carte Cd pour remonter d'une place depuis la place N i1, le 1 représentele dernier mélange et T représente donc le moment où le paquet sera parfaitement mélangé.

Soit A Sn, on a :

µnpAq PpYn P Aq (9.1)

PpYn P A, T ¤ nq PpYn P A, T ¡ nq

¤n

k0

PpYn P A, T kq PpT ¡ nq

¤n

k0

πpAqPpT kq PpT ¡ nq

¤ πpAq PpT ¡ nqEn réécrivant pour A Ac on obtient :

|µnpAq πpAq| ¤ PpT ¡ nqÉtudions Ti, il s'agit d'une variable aléatoire représentant le premier succès de lois de Bernouilli indépendantes

de paramètre in, on a donc PpTi kq in

nin

k1, et donc EpT q np1 12 1nq n lnn opn lnnq.

Digression infantile : le collectionneurImaginons une personne faisant une collection de timbres, chaque jour il en reçoit un choisi uniformément parmi

les n timbres en circulation. Au bout de combien de temps aura-t-il une collection complète ?

Notons S S1 Sn ce temps aléatoire, avec Si le temps mis entre la réception du timbre i et i 1. Alors,Si Geom

Ni1N

. Et donc S et T ont même loi.

Alors en notant : Bj l'évènement "il n'a toujours pas reçu le timbre j au jour m" on a :

PpS ¡ mq P

n¤j1

Bj

¤

n

j1

PpBjq n

1 1

n

m¤ nemn

Retour sur la preuveOn applique la formule précédente avec : m n lnn cn, et l'on obtient :

dv pµn lnncn, πq ¤ ec

Une autre inégalité sur ce mélangeConsidérons Aj tσ P Sn, σpn j 1q σpnqu l'ensemble des permutations laissant invariant l'ordre

des j dernières cartes. Notons Cnj1, . . . , Cn ces cartes. Alors, si à k donné PpYk P Ajq est proche de 1, le paquetest mal mélangé, en eet :

dvpµn, νq ¥ |PpYk P Ajq πpAjq| ¥ PpYk P Ajq 1

j!

On va montrer que c'est le cas pour k voisin et inférieur à n lnn :

113

Étudions le mouvement de la carte CNj1 lors du mélange, soit Rj le premier instant où elle se trouve en hautdu paquet : Rj mintk, Ykpn j 1q 1u. Alors jusqu'au temps Rj l'ordre des cartes n'a pas été modié. Et ona donc, en réutilisant les notations précédentes :

PpRj kq PpTj Tj1 Tn 1 kqSoit pcnq suite de R tendant vers 8 telle que cn ¤ n lnn, @n ¤ 0. Alors :

EpRjq n lnn; V arpRjq cpjqn2

Et donc par Bienaymé-Tchebyche :

PpRj ¤ n lnn cnnq ¤ cpjqc2n

ÝÑ 0

Soit : PpYn lnncnn P Ajq ÝÑ 1 et limnÑ8 dvpµn lnncnn, πq ¤ 1 1j!

On obtient alors pour j grand le résultat.

Un mélange plus réaliste : le mélange américain

Ici, on considère le mélange où le paquet est séparé en deux aléatoirement et où les deux paquets sont rassemblésen un seul en conservant l'ordre de chacun des deux sous paquets. Cela correspond aux permutations de la formepσp1q . . . σpnqq pouvant être décomposée en deux séquences croissantes, c'est à dire telle qu'il existe k P t1, . . . , nutelles que σpiq σpi 1qq pour tout i P t1, . . . , ku et σpjq σpj 1qq pour tout j P tk 1, . . . , nu.

On munit ces permutations de la loi de probabilité suivante :

Qpσq $&%

n12n si σ Id

12n si σ est constituee de deux sries croissantes

0 sinon

En réalité une autre manière de considérer ce mélange est en considérant le mélange inverse (correspondantexactement à σ1). Étant donné un paquet, on choisit uniformément une partie du paquet K P Ppt1, . . . , nuq, eton déplace les cartes de cette partie vers le haut en conservant les ordres relatifs.

On a alors φ :Ppt1, . . . , nuq ÝÑ t0, 1un

K ÞÑ 1Kbijective, et donc on obtient la même loi pour le mélange inverse que

pour le mélange direct Qpσq Qpσ1q. Dans la suite, on note Kk la partie choisie pour le k-ième mélange.On va alors étudier le mélange associé aux mélanges inverses, nous noterons µk la loi de la chaîne de Markov

associée à ce mélange, et on a en notant µk la loi associée au mélange direct :

dvpµk, πq dvpµn, πqAu cours du mélange on peut noter b1ppqb2ppq . . . bkppq la suite des chires binaires qu'a reçu la carte p au cours

du mélange : bi étant reçu au cours du i-ème mélange.

Ces chires sont reçu selon une loi Bp12q. En eet :

Ppbkppq 1q Ppla carte Cp soit dans Kkq 1

2n

n2

i0

ni

12

La position de la carte Cp n'importe pas puisque dans tous les cas il y a autant de parties la contenant.

Notons ensuite T le temps d'arrêt correspondant au moment où toutes les cartes ont des suites de chires binairesdiérentes. En eet à cet instant, les cartes sont triées dans l'ordre lexicographique, et les étiquettes sont choisiesindépendamment selon des lois binomiales uniformes.

Soit A Sn, on a :

114

µnpAq PpYn P Aq (9.2)

PpYn P A, T ¤ nq PpYn P A, T ¡ nq

¤n

k0

PpYn P A, T kq PpT ¡ nq

¤n

k0

πpAqPpT kq PpT ¡ nq

¤ πpAq PpT ¡ nq

En réécrivant pour A Ac on obtient :

|µnpAq πpAq| ¤ PpT ¡ nqOn en est donc réduit à étudier T . Digression oiseuse : le paradoxe des anniversairesUne année compteK jours il y a n personnes dans la salle, sachant que chaque personne est née indépendamment

des autres, quelle est la possibilité que deux personnes soient nées le même jour, noté ppn,Kq ? Par le principe destiroirs et des chaussettes :

ppn,Kq n1¹i1

1 i

K

Retour au jeuPar analogie, il y a K 2k possibilités de suite, donc la probabilité pour que deux suites soient les mêmes est

de :

PpT ¡ kq 1n1¹i1

1 i

2k

n 1

2k

Et on a alors le résultat voulu.

9.3 Un théorème d'Hadamard sur les diéomorphismes

Source : Zavidovique, p 129Õ

Dénition. On dit qu'une fonction f : Rn Ñ Rn est propre si pour tout compact A Rn, f1pAq est aussicompact. On dit qu'une fonction f de classe C1 est une immersion si pour tout x P Rn la diérentielle dxf de f enx est injective (et donc ici bijective, comme l'on est en dimension nie).

Théorème. Soit f : Rn Ñ Rn une fonction C2. La fonction f est un diéomorphisme global si et seulement si fest une immersion propre.

Démonstration. Sens direct : (non fait en développement). On montre que f est propre si et seulement si pourtoute suite pxnq tendant vers 8, la suite pfpxnqqn tend aussi vers 8.Sens direct : si ce n'était pas le cas, il existe une suite pxnq tendant vers 8 telle que pfpxnqq ne tende pas vers8. Quitte à extraire on peut supposer la suite bornée, ce qui veut dire comme f est propre que pxnq est bornée,ce qui est impossible. Sens réciproque : soit K un compact, par continuité de f , K est fermé. On peut alors trouverune suite pxnq de f1pKq telle que xn tende vers 8, et donc par hypothèses pfpxnqq converge vers 8, ce quiest impossible car K est compact. Donc f1pKq est fermé borné, c'est à dire compact en dimension nie.

Sens réciproque :Montrons tout d'abord que f est surjective, pour cela on utilise la connexité de Rn et montrer que fpRnq est

ouvert et fermé dans Rn.

115

fpRnq est fermé : Si pynqn pfpxnqqn est une suite de fpRnq convergeant vers y P Rn. Alors l'ensembleB tyn, n P NuYtyu est compact et donc sa préimage qui contient tous les termes de la suite pxnq l'est aussi.On peut donc extraire une suite pxφpnqq qui converge vers x. La continuité de f permet de passer à la limiteet :

fpxq limnÑ8 fpxφpnqq lim

nÑ8 yφpnq y,

ce qui conclut. fpRnq est ouvert : si fpxq y P fpRnq. Par le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage ouvert Vde x tel que la restriction de f à V soit un homéomorphisme sur son image, et tel que fpV q soit ouvert, cequi montre bien que fpRnq est ouvert, car voisinage de sous ses points.

Ainsi, fpRnq Rn.

Il faut maintenant montrer que f est injective. C'est à dire que f1py0q n'a qu'un seul point pour tout y0, quitteà translater, l'on peut supposer que y0 0. Notons Ω f1p0q, montrons que c'est un singleton.On va montrer tout d'abord que Ω est ni, on sait déjà qu'il est compac t car f est propre. S'il était inni, il auraitun point d'accumulation x0 et on aurait alors par continuité de f , fpx0q 0. Or, dx0 f est inversible, donc f estlocalement injective sur un voisinage de x0 ce qui est absurde.Considérons les champ de vecteurs X et Y sur Rn dénis par :

@x P Rn, Xpxq pdx fq1pfpxqq@x P Rn, Y pxq x

Notons que les solutions de 9xptq xptq sur R sont toutes de la forme xptq xp0q et, de plus le seul pointd'annulation de Y est 0. Comme pdx fq1 est un isomorphisme de Rn, X s'annule si et seulement si f s'annule,c'est à dire exactement sur Ω.

Considérons l'équation diérentielle suivante :"9γptq Xpγptqqγp0q x

elle admet une unique solution maximale par le théorème de Cauchy-Lipschitz puisque d f1 et donc X est C1

par hypothèses.

L'application t ÞÑ fpγxptqq2 est décroissante (il sut de calculer la dérivée de la norme et de remplacer lesdérivées par leurs expression dans l'EDO). En fait lors du calcul on montre même que fpγxptqq2 e2t fpxq2.On en déduit que sur tout intervalle de la forme r0, ar inclus dans le domaine de dénition de γx, γx reste borné(toujours parce que f est propre). On en déduit par le théorème de sortie de tout compact que le ot de X est dénisur tout R. Comme fpγxptqq tend vers 0, l'orbite γxptq ne s'accumule que sur des points de Ω. Par compacité,elle possède au moins un point d'accumulation. Ω possède un nombre ni d'éléments, on peut dont les inclure danschacun dans un Bpω, rq compacts disjoints, pour ω P Ω. On note mω ¡ 0 le minimum de f sur Bpω, rq, et m ¡ 0le minimum de f sur l'ensemble de ces boules. Comme fpγxptqq tend vers 0 dès que t est assez grand, fpγxptqqest inférieur à m, et donc l'orbite de γxptq ne peut plus couper une sphère Spω, rq et donc, γx possède exactementun point d'accumulation.

Soit Vω, ω P Ω l'ensemble des x tels que γx converge vers ω. Fixons ω, alors si V est un ouvert contenant ω telque f réalise de V sur son image un diéomorphisme ; quitte à réduire V on peut supposer que fpV q est une boulecentrée en 0. Considérons λptq f1pet fpxqq, en dérivant par rapport à t on obtient :

9λptq detfpxqpf1qpet fpxqq dfpλptqq f1pfpλptqqq Xpλptqq.Et donc par unicité de la solution donnée par CL, λptq γxptq pour tout t positif, et donc V Vω, puisque

λptq f1pet fpxqq converge vers f1p0q ω. Montrons que Vω est ouvert. Soit zinVω, par dénition de Vω ilexiste T ¡ 0 tel que γxpT q soit dans V , de plus par propriété du ot, @t ¥ 0, γzpt T q γγzpT qptq. Et donc on abien γzptq P V pour tout t ¥ T . Par continuité du ot par rapport aux conditions initiales, comme V est ouvert,il existe V 1 voisinage ouvert de z tel que @x P V 1, γxpT q P V ; comme ci avant par continuité du ot V 1 Vω. Etdonc Vω est ouvert.

116

Pour conclure, les Vω forment une partition ouverte de Rn, il ne peut donc y avoir qu'un seul Vω, et donc uneseule préimage de 0 ce qui permet d'armer que f est injective.

9.4 Densité des fonctions continues nulle part dérivables

Source : Zuily Queelec, p270

Théorème. On munit C0pr0, 1sq de la norme 8.L'ensemble A des fonctions continues sur r0, 1s nulle part dérivables contient un Gδ dense de C0.

Démonstration. Nous allons montrer que A contient une intersection dénombrable d'ouverts denses, qui sera densecar C0pr0, 1sq est complet et donc est un espace de Baire.

Soit B Ac l'ensemble des fonctions dérivables en au moins un point. Pour une fonction dérivable en x0, laquantité fpx0hqfpx0q

h est bornée lorsque hÑ 0. Posons,

Fn f P C0, Dx P r0, 1s, @y P r0, 1s, |fpxq fpyq| ¤ n|x y|( .

Alors, B Y8n1Fn. Nous allons montrer que Fn est fermé et que

Fn ∅.

Fn est fermé :Soit pfkqk une suite de Fn qui converge vers f dans C0. À chaque fk correspond xk tel que pour tout y

|fkpyq fkpxkq| ¤ n|y xk|. Quitte à extraire, on peut supposer que xk Ñ x0 P r0, 1s. Il sut alors de montrer quelimkÑ8pfkpyq fkpxkqq fpyq fpx0q, et alors on aura f P Fn.

On sait que fkpyq Ñ fpyq, et

|fkpxkq fpx0q| ¤ |fkpxkq fpxkq| |fpxkq fpx0q| ¤ fk f8 |fpxkq fpx0q|.Et donc fkpxkq Ñ fpx0q.

Fn ∅ :Soit f P Fn. On montre que toute boule Bpf, εq rencontre F cn, c'est à dire qu'il existe g P C0 telle que fg8 ε

et telle que pour tout x il existe un y tel que |gpyq gpxq| ¡ n|y x|. Les polynômes étant denses dans lesfonctions continues, il existe un polynôme P approchant f à ε2 près. Notons M supxPr0,1s |P 1pxq|. Soit N tel queεN ¥ 2pM n 1q. On découle alors r0, 1s en intervalles de taille 1N , et on considère la fonction g0 périodique depériode 1N valant 0 en tous les kN et ε2 sur tous les p2k 1q2N prolongée anement entre (fonction qui faitdes pics partout, de plus en plus).

La fonction g0 est continue sur r0, 1s dérivable partout sauf en un nombre ni de points. Aux points où elle estdérivable, on a |g10pxq| εN

2 ¥ M n 1. De plus, supr0,1s |g0pxq ε4 . Posons g P g0. Alors f g8 ¤

f P 8 g08 ¤ ε. De plus, pour tous x, y,

|gpyq gpxq| ¥ |g0pyq g0pxq| |P pyq P pxq|pour x P r0, 1s on peut trouver y P r0, 1s tel que ¥ |g0pyqg0pxq| ¡ pMn1q|xy| et |P pyqP pxq| ¤M |xy|.

D'où |gpxq gpyq| ¡ pn 1q|x y|.

9.5 Théorème centrale limite

Leçons : 218 250 261

Théorème. Soit pXiqi une suite de v.a. iid de loi L2, notons µ ErX1s et σ VarpX1q leurs espérance et variancecommunes. Notons Sn

°ni1Xi, on a alors :

PSn nµ

σ?n

¤ x

ÝÑnÑ8 ψpxq

» x8

et22 t.

C'est à dire que Sn converge en loi vers une v.a. gaussienne.

117

Démonstration. On peut supposer µ 0 et σ 1 sans perte de généralité.

Montrons alors que : Sn?n

LÝÑnÑ8 G, avec G une va gaussienne centrée réduite.

On dénit φpxq EreitX1s, comme X1 est L2, φ est C2 et l'on peut donc écrire :

φ1p0q EriX1s 0 ; φ2p0q ErX2s 1.

Par indépendance des v.a. on a :

Ereit Sn?n s φ

t?n

nEn appliquant la formule de Taylor (Young ?) à φ :

φpt?nq φp0q t?nφ1p0q t2

2nφ2p0q εn

n 1 t2

2n εnn.

Et donc :

Ereit Sn?n s φ

t?n

n

1 t2

2n εnn

n.

Lemme 33. Si pznq est une suite de nombres complexes tendant vers z P C, alors limnÑ8

1 zn

n

n ez

Démonstration.

ezn

1 znn

n

8

k0

ak,nzkn, avec ak,n

#1k!

1 npn1q...pnk1q

nk

si k ¤ n

1k! sinon

Et donc :

ezn 1 zn

n

n ¤8

k0

ak,n|zn|k

e|zn|

1 |zn|n

n

e|zn|exp

n ln

1 |zn|

n

¤ e|n|exp

n

|zn|n

|zn|22n

car lnp1 xq ¥ x x22

¤ e|zn|

1 exp

|zn|

2

2n

¤ e|zn||zn|22n

.

Donc,ezn

1 znn

n ¤ | ezn ezn | e|zn| |zn|2

2n ÝÑ 0.

Et donc, φ Sn?nptq ÝÑ et

22

Lemme 34. Transformée de Fourier de la gaussienneSi X N p0, 1q, φXptq et

22.

Démonstration. Soit φXptq 1?2π

³R eitx ex

22 dx ; et soit Gpzq 1?2π

³R ezx ex

22 dx. Alors, en notant fpx, zq ezx ex

22, on a :

118

x ÞÑ fpx, zq intégrable ; z ÞÑ fpx, zq holomorphe sur tout Dp0, Rq, R ¡ 0.Et donc, @x P R, @ P Dp0, Rq, |fpx, zq| |ezx ex

22 | exRepzq ex22 ¤ eRepxq ex

22. Le dernier terme estintégrable, et donc G est holomorphe sur Dp0, Rq. Mais G et z ÞÑ ez

22 coïncident sur R et donc, par l'unicité duprolongement analytique, elles coïncident partout, d'où le résultat.

9.6 Théorème de Frobenius-Zolotarev

Source : Objectif Agrégation.

Théorème. (Frobenius-Zolotarev) Soient p ¥ 3 un nombre premier et u P GLnpEq. On a : εpuq

detpuqp

où

ap

est le symbole de Legendre,

ap

$&%

0 si a 0 modppq1 si a est un carré modulo p1 sinon

Démonstration. On va montrer que ε p

det est une factorisation de la signature.

Lemme 35. Soit K un corps et M un groupe abélien. On suppose K F2 ou n 2.Alors tout morphisme de groupes φ : GLnpKq Ñ M se factorise par le déterminant, i.e. il existe un unique

morphisme de groupes δ : K ÑM tel que φ δ det.

Démonstration. Le déterminant est un morphisme surjectif de GLnpKq dans K, son noyau est SLnpKq. On peutdonc identier le déterminant par le diagramme suivant, où π correspond à la projection et det un isomorphisme.

M

GLnpKq K

GLnpKqSLnpKq

det

π

φδ

det

φ

Comme K F2 ou n 2, on a : DpGLnpKqq SLnpKq.Pour x, y P GLnpKq, φprx, ysq rφpxq, φpyqs e car M est abélien. Or, DpGLnpKqq est engendré par les

commutateurs. On en déduit : DpGLnpKqq Kerpφq.On a donc l'existence d'un unique morphisme φ : GLnpKqSLnpKq ÑM tel que, φ φ π.Posons alors δ : K ÑM , δ φ pdetq1, tel que l'on ait φ δ det. Ce morphisme est unique car det et φ le

sont.Alors, δ est l'unique morphisme de groupes de K vers M car det est surjectif.

Ce lemme permet d'armer qu'il existe un unique morphisme δ : Fp Ñ t1u tel que ε δ det.

Lemme 36. Soit p premier impair.Le symbole de Legendre est l'unique morphisme de groupes non trivial de Fp dans t1u.

Démonstration. Comme p est premier impair,ap

a

p12 dans Fp, et donc

p

est un morphisme de groupes.

Il est non trivial car : Φ : Fp Ñ Fq , x ÞÑ x2 est non injective 12 p1q2 1 et donc non surjective.Soit α : Fq Ñ t1u un morphisme de groupes non-trivial.Nécessairement, on a

Fp : Kerα

7Imα 2 par le premier théorème d'isomorphisme.Or, Fp est cyclique et donc possède un unique sous groupe d'indice 2, que nous noterons H.

On a ainsi la partition Fp HYxH, avec x R H et αpyq "

1 si y P H1 sinon

donc α est entièrement déterminé.

Donc il existe un unique morphisme de groupes non-trivial c'est le symbole de Legendre.

119

Il reste à montrer que ε est non trivial. Alors ε δ det impliquera que δ est non trivial, puis que δ p

.

Notons q pn. Comme Fp-ev, Fq et Fnp sont isomorphes, il sut donc d'exhiber une bijection Fp-linéaire designature 1.

Fq est cyclique, notons g un de ses générateurs. La bijection x ÞÑ gx de Fq xe 0 et donc agit sur Fq comme lapermutation pg, g2, . . . , gq1q.

Sa signature est donc p1qq 1, car q est impair. Et donc ε n'est pas trivial, d'où ε p

det.

9.7 Théorème de Burnside

Théorème. Soit G un sous groupe de GLnpCq. Si G est d'exposant ni (i.e. DN ¡ 0,@A P G,AN In), alors Gest ni.

Démonstration. Étape 1 : un petit lemme

Lemme 37. Soit A PMnpCq, telle que @k ¡ 0,TrpAkq 0. Alors A est nilpotente.

Démonstration. Son polynôme caractéristique χA est scindé sur C, par l'absurde si elle n'était pas nilpotente. Alorselle aurait des valeurs propres non nulles λ1, . . . , λr de multiplicité n1, . . . , nr. Et alors on pourrait diagonaliser A :

DP P GLnpCq, PTP1, oùT est triangulaire supérieure de diagonale : λ1, . . . , λ1, . . . , λr, . . . , λr, 0, . . . , 0

Et de plus, Ak PT kP1, et donc TrpAkq 0 °ri1 niλ

ki . Et donc pn1, . . . , nrq est solution de :

λ1 λ2 . . . λrλ2

1 λ22 . . . λ2

r...

......

λr1 λr2 . . . λrr

x1

x2

...xr

00...0

C'est un Vandermonde qu'on peut calculer, il est non nul, et alors on a donc n1 nr 0.

Étape 2 : Soit pMiq1¤i¤m une base de VectpGq et f :G ÝÑ CmA ÞÑ pTrpAMiq1¤i¤mq. On va montrer que si

fpAq fpBq alors AB1 In est nilpotente. Supposons donc fpAq fpBq, par linéarité de la trace, @M PV ectpGq, TrpAMq TrpBMq. Soit D AB1 P G, k ¡ 0, on a B1Dk1 P G, d'où :

TrpDkq TrpAB1Dk1q TrpBB1Dk1q TrpDk1qOn en déduit que @k ¡ 0, TrpDkq TrpInq n.Puis, pour k ¡ 0,

TrpD Inqk

Tr

k

j0

j

k

p1qjDkj

k

j0

j

k

p1qj TrpDkjq np1 1qk 0

Et donc par l'étape 1, D In est nilpotente.

Étape 3 : Montrons que f est injective (i.e. A B). Soit N ¡ 0 l'exposant de G, alors on a un polynôme annu-lateur commun à toutes les matrices de G : XN1. Il est scindé à racines simples dans C et donc toutes les matricesde G sont diagonalisables. Et donc D est diagonalisable, mais @P P GLnrCq, P pD InqP1 PDP1 In. Etdonc D In est diagonalisable, cependant elle est nilpotente et nalement D In ô A B.

Étape 4 : Conclusion

Notons X tTrA, A P Gu, alors on a fpGq Xm, mais les valeurs propres des éléments de G sont des racinesNèmes de l'unité, et donc X est ni. Par injectivité de f , G l'est aussi.

120

9.8 Groupe Circulaire

Source : Audin, Géométrie

Préliminaires de géométrie

Si a, b, c sont trois points distincts d'une droite projective complexe, ils forment un repère projectif et il existedonc une unique homographie qui envoie a sur 8, b sur 0 et c sur 1. Si d est un autre point, on appelle birapport lecomplexe ra, b, c, ds l'image par cette homographie de d. Il vaut 8 quand d a, 0 quand d b, et 1 quand d c.

Il est conservé par les homographies.On dit que quatre points alignés distincts forment une division harmonique quand leur birapport vaut 1. Par

exemple, si trois points a, b, c sont sur une droite ane D, les points a, b, c,8 forment une division harmoniquequand ac bc, c'est à dire quand c est le milieu de ra, bs.

Le résultat

Dénition. Le groupe circilaire G est le groupe des transformations de P1pCq engendré par les homographies et lesinversions

Théorème. Le groupe G est exactement l'ensemble des transformations bijectives préservant l'ensemble des droiteset cercles de P1pCq.Démonstration. La conjugaison préserve les droites et les cercles. Pour que quatre points de P1pC soient sur unedroite ou un cercle, il sut que leur birapport soir réel.

Soit D une droite ou un cercle, ainsi que trois points distincs, a, b et c le dénissant, et une homographie h. Alorspour tout z P D, on sait que hpaq, hpbq, hpcq et hpzq sont alignés ou cocycliques, car les homographies conserventle birapport. Comme hpaq, hpbq et hpcq déterminent entièrement D1 une droite-cercle ; pour tout z P D, hpzq P D1.Par bijectivité de h hpDq D1.

Réciproquement, si φ est une bijection de P1pCq préservant les droites et cercles. On peut composer à gauche φpar une homographie (la composée restant dans G) pour que φp0q 0. Nous allons avoir besoin du lemme suivant :

Lemme 38. Toute application bijective f préservant les droites-cercles préserve aussi les divisions harmoniques.

Démonstration. Soient a, b, c, d une division harmonique. Soient h1 et h2 deux homographies telles que :$''''&''''%

h1pfpdqq 8h2p0q ah2p1q bh2p12q ch2p8q c

Alors, f h1 f h2 préserve aussi les droites-cercles et envoie 8 sur 8. De plus, f préserve la divisionharmonique a, b, c, d si et seulement si f préserve celle de 0, 1, 12,8. Alors il sut de montrer que :

fp12q fp0q fp1q2

.

On considère la gure suivante :On prend une droite D passant par A 0 non colinéaire à pABq, B 1. On trace D1 le parallèle à D passant

par B, puis on trace un parallèle à pABq (ainsi, on a déni un parallélogramme). On retrouve C en traçant laparallèle à D passant par le milieu du parallélogramme (i.e. le milieu des diagonales).

Ainsi, on a construit C à l'aide de droites.Or, f envoie 8 sur 8 et donc envoie les droites sur les droites. De plus, f préserve le parallélisme, car deux

droites parallèles s'intersectent à l'inni, préservé par f . Et donc, on peut appliquer f à la construction précédente.Le point fpCq est alors bien le milieu de pfpAq, fpBqq.

Donc f préserve les divisions harmoniques.

121

Nous pouvons alors maintenant montrer que φ est un morphisme de corps de C. On a déjà modié φ au départpour que 1 et 0 soient xés, il sut de montrer que φ est multiplicative.

Soient a b P C, alorsa, b, ab2 ,8 1 et donc

φpaq, φpbq, φ ab2

,8 1

φpaq, φpbq, φpaqφpbq2 ,8

.

Et donc par bijectivité du birapport, φab

2

φpaqφpbq2 .

En prenant b 0, comme φp0q 0, on a φpaq 2φpa2q. On a donc :

φpa bq φ

2a 2b

2

φp2aq φp2bq

2 2φpaq 2φpbq

2 φpaq φpbq.

Passons à la multiplicativité.On remarque que ra,a, a2, 1s a2a

a2a 1a1a 1 pour tout a P C. Et donc en particulier,

rφpaq,φpaq, φpaq2, 1qs 1 rφpaq, φpaq, φpa2q, φp1qset donc φpaq φpaq2. On peut alors utiliser le fait que ab pabq2pabq2

4 , et alors,

4φpabq φp4abq φppa bq2q φppa bq2q pφpaq φpbqq2 pφpaq φpbqq2 4φpaqφpbqce qui montre que φ est un automorphisme de corps de C.Finalement, φ envoie 0 sur 0, 1 sur 1 et 8 sur 8 ; ce qui montre qu'il envoie la droite réelle sur elle même. De

plus elle laisse Q invariante (puisqu'elle laisse 1 invariant et est homogène). Comme φ est continue, elle est l'identitésur R.

Soient x y P R alors il existe z tel que y x z2. On a ainsi,

φpyq φpxq φpx yq φpz2q φpzq2 ¡ 0

en eet, φpzq P R car φ préserve la droite réelle et n'envoie que 0 sur 0.Donc φ est croissante sur R.φ est alors uniquement déterminée par φpiq, mais φpi2q 1 et donc φpiq 1. On en déduit que φ est soit

l'identité soit la conjugaison complexe, et donc φ P G.

9.9 Décompostion de Dunford

Source : Gourdon, Algèbre 4.4.2 Source : Mansuy

Théorème. Soit f P LpEq endomorphisme tel que χf soit scindé sur K. Alors il existe un unique couple d, nd'endomorphismes, avec d diagonalisable, n nilpotent, tels que f d n et tels que d et n commutent. De plus det n sont des polynômes en f .

Démonstration.

Lemme 39. Soit F un polynôme annulateur de f , on note F β±si1M

αii sa décomposition en irréductibles, et

Ni KerpMαii pfqq. Alors, E À

Ni et pour tout i, la projection sur Ni parallèlement àÀ

jiNj est un polynômeen f .

Démonstration. Le lemme des noyaux donne directement E ÀNi. Puis on pose : Qi

±jiM

αjj .

Les Qi n'ont aucun facteur commun, donc par Bezout, il existe U1, . . . , Us tels que°UiQi 1. On a donc :°

Uipfq Qipfq Id. On pose alors Pi UiQi et pi Pipfq. On va montrer que pi est le projecteur recherché. Les pi sont des projecteurs : pour i j, pi pj QiQjpfq UiUjpfq. Or, F |QiQj et donc pi pj 0. De plus°

i pi Id et donc on a bien pi pi pi (en composant par pi), et ce sont donc bien des projecteurs. Imppiq Ni. En eet, si y pipxq P Imppiq, alors Mαi

i pfqpyq Mαii pfq Pipfqpyq F pfq Uipfqpyq 0.

Donc Imppiq Ni. Puis, soit x P Ni KerpMαii pfqq, alors l'on sait que x °

pjpxq. Or, si j i,pjpxq Ujpfq Qjpfqpxq 0 puisque Mαi

i |Qj . D'où x pipxq P Imppiq. Kerppiq

ÀjiNj : Soit j i, x P Nj , alors pipxq Uipfq Qipfqpxq 0, car Mαj

j |Qi. DoncÀ

jiNj Kerppiq. Puis, soit x P Kerppiq alors x

°ji pjpxq P

ÀjiNj car Imppjq Nj .

Ce sont des polynômes en f par construction

122

Démontrons maintenant le théorème :

Existence : on applique le lemme précédent au polynôme caractéristique χf p1qn±pX λiqαi . Les Nisont alors les sous espaces caractéristiques. On pose ensuite d °

λipi, d est alors diagonalisable et n f d °pf λIdqpi. Comme pour tout i et j i, pi pj 0 et p2i pi et comme les pi commutent avec f (ce sont des

polynômes en f) on a nq °pf λiIdqqpi. En particulier pour α maxpαiq nα 0. Donc n est nilpotente et c'estaussi un polynôme en f .

Unicité : Si pd1, n1q est un autre couple ayant les mêmes propriétés (mais non nécessairement polynômes en f).Comme n1 commute avec d1, n1 commute aussi avec f n1 d1 et ainsi n1 commute avec d et n polynômes en f ,idem pour d. Ainsi d et d1 sont codiagonalisables. Donc d d1 est diagonalisable, cependant d d1 n n1 estnilpotente on en conclut donc que d d1 0 et par suite que n n1.

9.10 Décomposition de Bruhat

Source : Oraux X-ENS algèbre 1

Théorème. Soit Tx le sous groupe de GLnpKq des matrices triangulaires supérieures inversibles.Toute matrice A P GLnpKq s'écrit T1PσT2, avec T1, T2 P Ts et Pσ une matrice de permutation (c'est à dire

Pσ pδi,σpjqq1¤i,j¤n avec σ P Sn). Cette permutation est de plus unique.On peut alors décomposer GLnpKq

σPSn TsPσTs.

Démonstration. On va adapter l'algorithme du pivot de Gauss.Soit pEi,jq la base canonique de MnpKq. Les matrices de transvection sont les Tijpλq IdλEi,j , i j, λinK

(multiplier à gauche revient à ajouter λ fois la i-ème ligne à la j-ième, à droite λ la j-ième colonne à la iièmecolonne). Les matrices de dilatation sont les Dipλq Idpλ1qEii (multiplier à gauche multiplie la ligne, à droitela colonne).

Toute matrice de dilatation est triangulaire supérieure, une matrice de transvection l'est si i j.Soit A P GLnpKq, la première colonne de A est non nulle car elle est inversible, notons i1 le plus grand indice k

tel que ak1 0. On multiplie A par des matrices Tki1 pour annuler les coecients ak1, k i1. Par une matrice dedilatation on peut remplacer le coecient pi1, 1q par 1 et annuler les autres coecients de la i1-ième ligne.

On obtient A1 une matrice qui est toujours dans GLnpKq. Sa seconde colonne est non nulle, on note i2 le plusgrand indice k tel que le coecient pk, 2q de A1 soit non nul, on procède comme précédemment et on ramène cecoecient à 1. On vérie que ces opérations ne modient pas la i1-ième ligne et la i1-ième colonne.

On continue par récurrence, et on obtient à la n une suite injective i1, . . . , in d'entiers de 1, . . . , n et on note σla permutation obtenue.

La matrice An est alors une matrice de permutation (chaque ligne et chaque colonne ne contient qu'un seul 1et des zéros) c'est la matrice Pσ cherchée.

La matrice A a été multipliée à gauche et à droite par des matrices de Ts, et donc on peut bien écrire :T1

1 AT12 An Pσ.

Montrons que la permutation ainsi dénie est unique. Il sut de vérier que si T et T 1 sont deux matrices deTs et σ et σ1 sont deux permutations, l'égalité TPσ Pσ1T

1 implique σ σ1.TPσ est la matrice T dans laquelle on a permuté certaines colonnes selon la permutation σ (la j-ième colonne

de TPσ est la σpjq-ième de T ). De même Pσ1T 1 s'obtient en permutant les lignes de T 1 (la i-ième ligne de Pσ1T 1 estla σ11 de T 1). Pour tout indice j les coecients pi, jq de TPσ sont donc nuls pour i ¡ σpjq. De plus, le coecientd'indice pσ1pjq, jq de Pσ1T 1, c'est à dire les coecients pj, jq de T 1 est non nul (car T 1 est inversible). On en déduitdonc que σ1pjq ¤ σpjq. Par symétrie on obtient de même que σ1pjq ¤ σpjq ce qui conclut.

9.11 Zéros des polynômes aléatoires

Source : Cours de Jürgen Angst

123

Première partie : Aire balayée sur une sphère

Dénition. Soit Sd la sphère unité de Rd pour la norme euclidienne. Si x P Sd, on note xK le grand cercleintersection du plan orthogonal à p0xq passant par 0 et de Sd. Si γptq, t P I est un chemin sur §d on note γK

l'ensemble des grands cercles associés.La multiplicité d'un point x de Sd par rapport à γ, courbe supposée lisse, est l'entier mpx, γq : 7tt, x P γptqKRu.On dénit alors l'aire balayée par la courbe sur la sphère comme :

ApγKq »Sdmpx, γqσpdxq,

avec σ la mesure de volume normalisée sur la sphère.

Propriété. Si γ est une courbe rectiable et lisse (i.e. de longueur nie), alors :

ApγKq lpγqπ

Démonstration. Si γ est une géodésique le résultat est évident (un tour de géodésique est de longueur 2π, l'airebalayée est deux fois celle de la sphère, c'est à dire 2, puisque la sphère est de volume 1).

Si γ est une courbe lisse, on peut l'approximer uniformément à ε près par des morceaux de géodésiques, notonsγ la courbe en morceaux de géodésiques telle que @t P I, |γptq γptq|Sd ¤ ε, alors la formule précédente est vériéepour γ et donc, pour γ.

Deuxième partie, zéros des polynômes aléatoires

Dénition. Soit la courbe vptq p1, t, t2, . . . , tdq et soit γ sa projection sur Sd. Pour P pXq °di0 aiX

i on notea pa0, . . . , adq.

Alors on a facilement,

Propriété.

P ptq 0 ô a

a P γptqK

Et donc, le nombre de racines réelles de P est donnée par la multiplicité de aa par rapport à γ.

ZpP q : 7tt P R, P ptqSupposons que l'on choisisse un polynôme aléatoirement en choisissant ses coecients selon une loi normale d1

dimensionnelle. Alors, en normalisant les coecients on obtient que le vecteur aa est réparti uniformément sur la

sphère. Le nombre moyen de zéros est alors :

ErZpP qs Em

a

a , γ

»Sdmpx, γqσpdxq lpγq

π.

Il ne reste qu'à calculer lpγq ³R γ1ptq d t.

On peut montrer par des calculs assez moches que

γ1ptq2 BsBu logpvpsq vpuqqsut.

Ainsi,

vpxq vpyq 1 xy xnyn 1 pxyqn1

1 xy,

et donc,

ErZpP qs 1

π

»R

dBsBt log

1 pstqd1

1 st

stu

du

ce qui donne en développant la diérentielle une densité des zéros de la forme :

124

ρnptq d

1

pt2 1q2 pn 1q2t2npt2n2 1q2 ;

et on obtient alors le développement asymptotique

ErZpP qs 2

πlogpdq Cte 2

πd op1dq

Démonstration. On eectue le changement de variable t 1 xn, on obtient alors,

ErZpP qs 4

» 8

0

ρnpxq dx

avec,

ρnpxq 1

nπ

dn4

x2p2n xq2 pn 12p1 xnq2npp1 xnq2n2 1q2 .

On a le développement, p1 xnqn exp1 x22nq Op1n2q, ce qui donne,

ρnpxq ρ8pxq xp2 xq

2nρ8pxq

1Op1n2q,

avec,

ρ8pxq 1

2π

1

x2 4 e2x

p1 e2xq212

.

Pour pouvoir intégrer cette estimation, on utilise l'astuce suivante :

1x¡1

2πx 1

2πp2n xq 1x¡1

2πx 1

4nπOp1n2q.

Ce qui donne,

ρnpxq 1x¡1

2πx 1

2πp2n xq

ρ8pxq1x¡1

2πx

xp2 xq2n

ρ8pxq1 1

4nπ

Op1n2q.

Et alors en intégrant terme à terme de 0 à 8,»0

8ρnpxq dx 1

2πlogp2nq

» 8

0

ρ8pxq 1x¡1

2πx

dx 1

2nπOp1n2q.

Ce qui donne le résultat.

125

Table des matières

I Couplages 2

1 Algèbre 4

2 Analyse 7

II Quelques idées et références sur des leçons 10

3 Livres utilisés 12

4 Analyse 15

5 Algèbre 21

III Développements 25

6 Analyse 276.1 Consistance de l'estimateur du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Construction du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.3 Critère d'hypercyclicité de Kitai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.4 Formule d'inversion de la fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5 Formule sommatoire de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.6 Images de l'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.7 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.8 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.9 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.10 Modèle de Galton-Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.11 Résolution de l'équation de la chaleur dans un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.12 Théorème de Corominas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.13 Théorème de Glivenko Cantelli par Dini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.14 Théorème de Krein-Millman (Minkowski) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.15 Théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.16 Théorème de Müntz-Szász . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.17 Théorème de Riesz-Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.18 Théorème des moments de Hamburger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.19 Transformée de Bargmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.20 Prolongement de la fonction ζ de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.21 Stabilité en première approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.22 Système de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Algèbre 627.1 Algorithme de Berlekamp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.2 Algorithme de Faddeev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3 Déterminant de Cayley-Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4 Décomposition de Dunford Eective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.5 Ellipsoïde de John-Loewner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

126

7.6 Étude des groupes Opp, qq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.7 Groupes paveurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.8 Mélange d'un jeu de cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.9 Point xe de Kakutani et groupes compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.10 Points extrémaux de la boule unité de LpEq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.11 Polynômes irréductibles sur Fq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.12 Polygones constructibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.13 Réciprocité quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.14 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.15 Réduction des endomorphismes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.16 Simplicité de An, n ¥ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.17 Simplicité de SO3pRq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.18 Sous groupes distingués et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.19 Théorème de Chevalley-Warning et Erd®s-Ginzburg-Ziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.20 Théorème de Dedekind et Lemme d'Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.21 Théorème de structure des groupes abéliens nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.22 Théorème des deux carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.23 Transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Développements non utilisés mais intéressants 978.1 Récurrence et transience des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Bases presque orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3 Cartan-Von-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.4 Un théorème d'Hadamard sur les diéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038.5 USS Enterprise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048.6 Formule de Taylor généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1068.7 Processus de Poisson et paradoxe de l'inspecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9 Développements non utilisés et inutiles 1109.1 Ancien Corominas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.2 Ancien mélange de cartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.3 Un théorème d'Hadamard sur les diéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4 Densité des fonctions continues nulle part dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.5 Théorème centrale limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.6 Théorème de Frobenius-Zolotarev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.7 Théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1209.8 Groupe Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1219.9 Décompostion de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.10 Décomposition de Bruhat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1239.11 Zéros des polynômes aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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