methode d'identification de processus par la
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S PREMIER MINISTRE
2J COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUEu •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
CEA-R.3508
8.2
METHODE D'IDENTIFICATION DE PROCESSUS
PAR LA TRANSFORMATION EN Z
par
Gilles ZWINGELSTEIN
Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay
Rapport CEA-R-3508
1968 SERVICE CENTRAL DE DOCUMENTATION DU C.E.A
ÇaC.E.N-SACLAY B.P. n°2, 91-GIF-sur-YVETTE-France
CEA-R-3508 - ZWINGELSTEIN Gilles
METHODE D'IDENTIFICATION DE PROCESSUS PAR LATRANSFORMATION EN Z
Sommaire. - On décrit une méthode simple d'identification defonction de transfert d'un système linéaire sans retard, quirepose sur l'inversion de la transformée en Z de la trans-mittance à l'aide d'un calculateur.
On suppose dans cette étude, que les signaux à l'entréeet à la sortie du circuit considéré sont de type déterministe.
L'étude comporte : le principe théorique de l'inversionde la transformation en Z, les détails de la programmation,la simulation et l'identification de filtres dont le degré variedu premier au cinquième ordre.
1968 34 p.Commissariat à l'Energie Atomique - France
CEA-R-3508 - ZWINGELSTEIN Gilles
PROCESS IDENTIFICATION METHOD BASED ON THE ZTRANSFORMATION
Summary. - A simple method is described for identifying thetransfer function of a linear retard-less system, based onthe inversion of the Z transformation of the transmittanceusing a computer.
It is assumed in this study that the signals at the en--trance and at the exit of the circuit considered are of thedeterministic type.
The study includes : the theoretical principle of.-theinversion of the Z transformation, details about programmingsimulation, and identification of filters whose degrees varyfrom the first to the fifth order.1968Commissariat à l'Energie Atomique - France 34 p.
A partir de 1968, les rapports CEA sont classés selon les catégories qui figurent dans le plan de classi-fication ci-dessous et peuvent être obtenus soit en collections complètes, soit en collections partiellesd'après ces catégories.
Ceux de nos correspondants qui reçoivent systématiquement nos rapports à titre d'échange, et quisont intéressés par cette diffusion sélective, sont priés de se reporter à la lettre circulaire CENS/DOC/67/4690du 20 décembre 1967 que nous leur avons adressée, et qui précise les conditions de diffusion.
A cette occasion nous rappelons que les rapports CEA sont également vendus au numéro par la Directionde la Documentation Française, 31, quai Voltaire, Paris 7e.
PLAN DE CLASSIFICATION
1. APPLICATIONS INDUSTRIELLES DESISOTOPES ET DES RAYONNEMENTS
2. BIOLOGIE ET MEDECINE
2. 1 Biologie générale2. 2 Indicateurs nucléaires en biologie2. 3 Médecine du travail2. 4 Radiobiologie et Radioagronomie2. 5 Utilisation des techniques nucléaires en
médecine
3. CHIMIE
3. 1 Chimie générale3. 2 Chimie analytique3. 3 Procédés de séparation3. 4 Radiochimie
4. ETUDES DU DOMAINE DE L'ESPACE
5. GEOPHYSIQUE, GEOLOGIE,MINERALOGIE ET METEOROLOGIE
6. METAUX, CERAMIQUESET AUTRES MATERIAUX
6. 1 Fabrication, propriétés et structure desmatériaux
6. 2 Effets des rayonnements sur les matériaux6. 3 Corrosion
7. NEUTRONIQUE, PHYSIQUE ETTECHNOLOGIE DES REACTEURS
7. 1 Neutronique et physique des réacteurs7. 2 Refroidissement, protection, contrôle et
sécurité7. 3 Matériaux de structure et éléments
classiques des réacteurs
8. PHYSIQUE
B. 1 Accélérateurs8. 2 Electricité, électronique, détection des
rayonnements8. 3 Physique des plasmas8. 4 Physique des états condensés de la matière8. 5 Physique corpusculaire à haute énergie8. 6 Physique nucléaire8. 7 Electronique quantique, lasers
9. PHYSIQUE THEORIQUEET MATHEMATIQUES
10. PROTECTION ET CONTROLE DESRAYONNEMENTS. TRAITEMENT DESEFFLUENTS
10. 1 Protection sanitaire10. 2 Contrôle des rayonnements10. 3 Traitement des effluents
11. SEPARATION DES ISOTOPES
12. TECHNIQUES
12. 1 Mécanique des fluides - Techniques duvide
12. 2 Techniques des températures extrêmes12. 3 Mécanique et outillage
13. UTILISATION ET DEVELOPPEMENTDE L'ENERGIE ATOMIQUE
13. 1 Centres d'études nucléaires, laboratoireset usines
13. 2 Etudes économiques, programmes
13. 3 Divers (documentation, administration,législation, etc...)
Les rapports du COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE sont, à partir du n" 2200, en vente à laDocumentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quaiVoltaire, PARIS VIF.
The C.E.A. reports starting with n° 2200 are available at the Documentation Française, SecrétariatGénéral du Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quai Voltaire, PARIS VIIe.
- Rapport CEA-R-3508 -
Centre d'Etudes Nucléaires de SaclayDépartement d'Electronique GénéraleService d'Electronique des Réacteurs
METHODE D'IDENTIFICATION DE PROCESSUS
PAR LA TRANSFORMATION EN Z
par
Gilles ZWINGELSTEIN
2113/SER/1358 - 15 janvier 1968
- Avril 1968 -
METHODE D'IDENTIFICATION DE PROCESSUS PAR LA
TRANSFORMATION EN Z.
G. ZWINGELSTEIN
INTRODUCTION.
La méthode d'identification de processus proposée dans ce rapport
ne concerne que les circuits linéaires de fonction de transfert rationnelle, sans
retard.
Elle permet de déterminer à partir de la réponse temporelle de
ces circuits à un signal connu, les coefficients du numérateur et du dénominateur
de la fonction de transfert ; cette étude ne concernant que les signaux supposés non
entachés de bruit.
Cette méthode qui utilise la théorie des systèmes échantillonnés
est particulièrement adaptée au traitement numérique ; elle requiert pour sa mise
en oeuvre la présence d'un calculateur électronique.
Dans l'avenir si la précision des calculs est satisfaisante pour la
résolution de certaines équations et systèmes algébriques, on peut espérer pouvoir
mettre au point un algorithme de calcul permettant de déterminer avec précision
l'ordre de la fonction de transfert.
Cette méthode d'identification de processus qui n'envisage que le
côté théorique et qui est vérifiée sur calculatrice numér ique , demanderait beau-
coup de précision dans le cas d 'une application réelle : en effet la mauvaise pré-
cision dans la mesure des échantillons ne donnant pas de résultats corrects.
On se propose dans l'avenir de faire une étude statistique des
résultats en fonction de la statistique des échantillons.
Dans une première partie nous trouverons un rappel des princi-
paux résultats concernant la transformation en Z.
La seconde partie exposera l'étude et les résultats de l 'identifica-
tion de processus par la transformation en Z.
D.J
RAPPEL SUR L'ECHANTILLONNAGE.
Par opposition aux systèmes analogiques où les données sont
connues à tout instant, un système échantillonné est un système dans lequel les
données apparaissent seulement à des intervalles échantilonnés du temps.
Parmi les différents types d'échantillonnage existant nous nous
intéresserons uniquement à l'échantillonnage classique où les données apparais-
sent régulièrement espacées, les échantillonneurs étant tous synchrones (voir
fig. 1).
T 4.7»
La fonction ainsi échantillonnée sera notée dans tout ce qui suit
par le symbole i soit e (T).
- 4 -
ETUDE MATHEMATIQUE DU PROCESSUS D'ECHANTILLONNAGE.
Dans tous ce qui suit nous supposerons connus les résultats du
calcul des résidus.
Comparaison de l'échantillonnage théorique et de l'échantillonnage physique.
Un échantillonneur physique possédant toujours une durée h de
l'échantillonnage, nous déterminerons dans ce qui suit le lien qui existe entre
l'échantillonnage physique et l'échantillonnage théorique.
Considérons un échantillon physique de période T dont la durée£
de fermeture est h. La fonction échantillonnée que nous noterons e (T) s'écriti
alors e (T) = e (t) * U (t) où U (t) est représentée sur la figure 2.
-f h >2.T
La transformée de Laplace de e (T) s'obtient en utilisant le
théorème de Borel ce qui donne : (l'opérateur «C étant celui de Laplace)
<£ [ e*CD ] =h(t) u
T
p
^ /K j «/ C_ j o0E ( y ) . U ( p - V ) d vT
02< C< 0 - 0
- 5 -
abscisse de convergence de e (t)
( C = Re (y )(( G = Re (p)
(J = abscisse Je convergence de U (t)_L -L
D'autre part la transformée de Laplace de U (t) s'obtenant par le
théorème du retard il vient :
X J J r
C+Joo - h (p - V)E (V) -̂ -̂ =r-7-
C-Joo (p- V) (1-e" P
avec :
Le calcul des résidus donne :
k=+ J k h 2 1C
E ( P
k=- oo
k f 0
2ÏÏ J k E (P) £
En pratique le cas le plus intéressant est celui où —
II vient alors :
k=+
h -> 0/n \ SV(P) = T
(E (p + J k 2 7CT
0
(1)
Ce résultat donne la valeur de E, (p) pour un échantillonnage
physique de période T et de durée h.
- 6 -
L'échantillonnage mathématique s'obtient dans le cas où h = 0.
Il s'obtient aussi en modulant le signal d'entrée e (t) par un train d'impulsion de
Dirac :
6 (t) = Ô ( t ) + 6 ( t - T ) + 6 ( t - h ) + . . . . = ô ( t - n T )1 n = 0
La transformée de Laplace de ÔT (t) s'écrit
<yO
Zn = 0 n = 0
Soit si e-TP
Ô T ( t ) ) = - ^p-1 - e
comme e (t) = e (t) * Ô T (t)
E* (p) = of (e* (t) ) = * f E ( y )£ IV J Vf-, _
C-Jco
Soit sachant que les pôles sont V = p + J
1 - e-T (p - V)
2 kïï
E" (p) = à J (2)
•i "En comparant (1) et (2) il vient E, (p) = h * E (p).
L'échantillonnage physique équivaut donc à un échantillonnage par
un train d'impulsion de Dirac de gain h.
- 1 -
TRANSFORMATION EN
La transformation en Z peut s'obtenir de deux façons
A. Première méthode.
vante :
La transformation en Z s'obtient par le calcul de l'intégrale sui-
dy- e
Le théorème des résidus donne E (p)
(P) = résidus de E ( y )
Pipôles de Ey
1-e - T (p - y ) V = pi
posantTP i
z = e la transformée E (p) ne sera fonction que de Z, la
transformée E (p) s'écrit alors E (z)
d'où E (z) • EPi
pôles de E (y )
E (y ) "l
V =pi
B. Seconde méthode.
Elle est basée sur la théorie des distributions.
^On sait que e (t) = e (t) * 6 (t).
Sachant d'autre part d'après le théorème sur les distributions que
e (t) * Ô (t - nT) = e (nT) et que <£ (5 (t - nT) ) = e"nT on obtient :
, . ^ , ,(t) = E (p) =
oO
(nT)-nTp
Soit en posant eTP
( n T ) Z-n
n = 0
La transformée en Z d'une fonction f (t) n'est autre que la transfor-TP
mée de Laplace de la fonction échantillonnée où l'on a e - Z
Remarque - Si nous connaissons E (Z) sous la forme E (Z) = D ̂ une
division suivant les puissances croissantes de Z fournit les coefficients f (nT),
la première méthode permet de faire le calcul de E (Z), la seconde méthode
permet de calculer les échantillons aux instants OT, IT , . . - nT.
- 9 -
METHODE D'IDENTIFICATION PAR LA TRANSFORMATION EN Z.
La méthode d'identification de processus permet de retrouver, à
partir des échantillons de la réponse temporelle d'un circuit à signal donné, la
transformée en Z du signal de sortie.
Cette transformée étant déterminée, les tables de conversion in-
verse - transformation en Z - Transformation de Laplace - fournissent la fonction
de transfert globale H (p) . E (p).
Le signal de l'entrée étant connu, on en déduit la fonction de trans-
fert H (p).
Deux procédés permettent de calculer l'original de la transformée
en Z de S (t).
a) Méthode des résidus.
00
S (Z) =n~ U
f (nT) multipliant
Zn~l S (Z) = S (o)z ̂ + S (t)Z n~2 + ... S (nT) Z"1 + . . .
Le théorème de Cauchy donne I = k ( 1 k = - 1d y = (
f L ( 0 k / 1
le contour P entourant l'origine du planZ.
Ce qui donne pour la transformation en Z
(nT) = ¥T- fpF (Z) d Z
cependant la connaissance des f (nT) ne permet pas de déterminer F (Z) ,
- 10 -
b) Division suivant les puissances croissantes de Z-1
La transformation en Z pouvant se mettre généralement sous la
forme . { la division suivant la puissance croissante de Z donneD (Z)
00
sachant d'après F (Z) = . f (nT)
n=0
on aura Co = f (OT) , G, = f (T) , C - f (nT)1 n
plus généralement si S (Z) =•a + a, Z"1 + a0 Z~ 2 + ____ a Z~n
o 1 2 n
. Z" + bn Z1 2
r\~
On a : S (Z) = Co + C Z"1 + C Z~ 2 +JL £
AK
soit plus généralement C. = d - T_ b. C .K iî .̂ ^ .. 1 K ~ l
avec a = 0 \f ^̂ n, u i\ ^p xi\f ^^
b = 0 k > d
ce qui donne le tableau suivant donnant l'algorithme de calcul des C,
K
**•/
Os» -.-. do
:: CL4
CJ, -.-
/.
4*
Co
I--?*L -
- 12 -
METHODE D'IDENTIFICATION DE PROCESSUS.
La méthode d ' identif icat ion de processus permet de retrouver les
coefficients du numérateur et du dénominateur de la transformée en Z en par-
courant le chemin inverse.
Soient les échantillons Co, C , C , . . . C de la réponse duJ. & il
système à un signal bien déterminé : deux cas se présentent
a) l 'ordre du numérateur et du dénominateur sont connus et l'on cherche à déter-
miner les coefficients a. et b..i i
b) l'ordre du numérateur -si du dénominateur est inconnu, on détermine l'ordre de
la fraction puis les coefficients a. et b..r 1 1
Dans les deux cas, les algorithmes de calculs sont différents :
dans ce rapport nous nous intéresserons au cas a) qui est un cas particulier du
cas b).
- 13 -
ALGORITHME DE CALCUL DU CAS (a).
C'est le cas, rappelons-le, où nous supposons l'ordre du déno-
minateur et du numérateur connu.
Donc C (Z) se présente sous la forme :
C (Z) =+ b Z"1 + b_ Z ~ 2 + .. h Z"d
i z a
avec la condition généralement réalisée physiquement n< d.
L'algorithme de calcul donne alors le schéma suivant
( Co = a
c i = a i - b i c °
C = a - b Cn n 1 n-1 -b Co
n
II
( c n+1b1 C
1 n
( C d-1 bl Cd-2
- b C1 - b Con 1 n+1
- b d - l C °
III
( C, = - b l C d- ! - b d - l C l - b d C o
- 14 -
Cet algorithme de calcul montre que pour déterminer les b. et les
a il faut résoudre les systèmes linéaires III et I.i
tillons.
Cette résolution exige la connaissance de n + d + 1 premiers échan-
On remarquera qu'à partir de C , on peut définir une infinité de
systèmes linéaires qui permettent de définir les b. il suffit de se décaler d 'une
ligne à chaque calcul.
La résolution des b. donne alors en utilisant le système linéaire I les
valeurs des a..
La transformation en Z de la sortie est donc parfaitement détermi-
née.
Le calcul des pôles et des zéros de cette fonction en Z permet la
décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle. En regroupant en-
semble les pôles conjugués dans le cas de pôles imaginaires on passe à l'original
en utilisant les tables de conversion transformée en Z - Transformée de Laplace.
Le signal d'entrée étant connu il vient alors la fonction de transfert.
Cette méthode permet à partir des n + d + 1 échantillons, quel que
soit d'ailleurs le pas d'échantillonnage, de déterminer la fonction de Transfert.
b) Algorithme dans le cas où l 'ordre de la fonction est inconnu.
Dans le cas où nous ignorons l'ordre de la fonction de transfert, on
se fixe un ordre maximum du numérateur et du dénominateur par exemple
n = 1 5, n = 20 et on obtient comme dans le cas précédent un système linéairen d
de type I, II, III.
La résolution du système III donne, si l'ordre réel est k 20,
20 - K racines nulles qui correspondent au b b b . . . b , l'ordre du£(} 19 18 2 0 - K
système au dénominateur est donc de K.
- 15 -
On récrit le système I, les a. qui seront nuls permettent de dé-
terminer l'ordre du numérateur.
Le système est parfaitement déterminé : pour passer du système
en Z à la transformée de Laplace on procède de la même façon que dans le cas a),
NATURE DE LA PERTURBATION.
Soit H (p) la fonction de transfert du circuit à étudier, on a si
X (p) est l 'entrée et Y (p) est la sortie : Y (p) - H (p) X (p).
Si la perturbation est une impulsion assimilable à celle de Dirac
Y (p) = H (p) 6 C ( 5 ) = 1
Dans ce cas la méthode d'identification par la transformation en Z
donne directement la fonction de transfert.
Si la perturbation est une perturbation de type échelon on obtient
Y (p) - —:p on aura donc un pôle supplémentaire mais connu
il suffit ne ne pas l'oublier dans l'identification. Il en serait de même pour une
excitation sinusoïdale où
Y (p) =—r-*- 9~ ' on introduit les pôles imaginaires conjugués
p = + G)i
En fait dans ce qui suit on ne s'intéressera qu'au cas de la réponse
impulsionnelle obtenue soit par les méthodes de corrélation, de déconvolution, ou
par la méthode de pulsation.
- 17 -
RESULTATS ET MESURES.
La simulation de la méthode d'identification en Z a été effectuée sur
la calculatrice IBM 360-75.
Les échantillons de la réponse impulsionnelle ont été calculés à
partir de leur formulation mathématique.
L'algorithme du type a) a été utilisée, la résolution du sytème
linéaire III et du système linéaire II a été exécutée par le sous-prograrnrne
DLSB et la recherche des zéros des polynômes a été exécutée par le sous-pro-
gramme CNPLA 1 ; sous-programmes conçus et mis au point par le Département
de Calcul Electronique ; si bien que la précision des résultats n'est uniquement
valable que pour ces deux types de sous-programmes.
Au cas où l'on serait plus exigeant sur la précision des sous-pro-
grammes, en particulier dans le cas où les racines sont proches l'une de l'autre,
il faudrait concevoir de nouveaux sous-programmes plus précis.
- 18 -
SYSTEME DU 1° ORDRE.
On considère la fonction de transfert H (p) = p + a
a varie de 0, 1 à 10 par pas de 0,1. On utilise un système d'équa-
tions linéaires du second ordre, la figure 3 représente le réseau de réponse im-
pulsionnelle pour des valeurs de a = 0, 5, 1, 1, 5, 2, 2,5, 3, 3,5 et 4. L'identifi-
cation de processus donne, quel que soient les valeurs du pas d'échantillonnage qui_ 2
varie de 5. 10 à 5 s donne le tableau suivant :
A th
A exp
0,500 1,OCO 1,500 2,00 2,50 3 ,50
0,500 1,000 1,500 2 ,00 2 ,50 3,50
La précision du calcul est très bonne pour le type de programme
de calcul numérique considéré.
L'identification d'un processus de premier ordre est verifiable avec
une bonne précision.
- 20 -
SYSTEME DU SECOND ORDRE.
La fonction de transfert est de la forme H (p) =A -- + B
r + a p + b
dans le cas où nous avons des pôles a et b réels , si les pôles sont imaginaires
conjugués la fonction de transfert est de la forme
H(P + a) + 0>"
cependant le programme d'identification est valable dans les deux cas.
Le tableau n° 4 donne les valeurs expérimentales et les valeurs
théoriques pour différentes valeurs des coefficients. Ces valeurs sont des valeurs-4 s -4
moyennes pour T variant de 5.10 à 125. 10 s.
Les réponses impulsionnelles des différents circuits sont tracées
sur les figure n° 5 et n° 6.
SYSTEME DU TROISIEME ORDRE.
La fonction de transfert est de la forme H (p) =A +—
B Cp+cp 4- a p + b
On ne traite que le cas où a, b, c sont réels. Le tableau n° 10 donne
les valeurs expérimentales et les valeurs th<*~-iques des différents coefficients.
Les réponses impulsionnelles respectives sont tracées sur la figure
n° 8, le tableau n° 9 donne la valeur expérimentale des pôles en fonction de
l'échantillonnage.
TRANSMITTANCE
= A
At/,
4.000
WÏ3
*,.ooo
O.lïfff
0.2105
41,10
i*i, 76
K. 15
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2*1,00
%.ÛO
41.00
216?
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Valeurs thé on
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3,339 7 000
03273 1.0 00
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O.2359 7 000
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î-00W-oo
4S--00
3é-OO
TRANS MITTANCE H(P) =
VALEURS THEORIQUES A = 3 E>=. 5 c - ^ -
VALEURS EXPERIMENTALES PERIODE JD'ECHANTILLO NAGE
A B C T ft)
2 ,972
3, 015
3, 000
3, 0(H
3, 000
3 , 0 0 0
3,00,0
3 ,00 0
3 , 0 0 0
3 , 0 0 03 , 0 0 03 , 0 0 03 , 0 0 03 . 0 0 03 , 0 0 0
S, 0?5
A 353
5.00l
A, 337
5I00^
4 . 3 3 3
5,000
5,004
5 , 0 0 0
4,6334 , 9 3 3
Ç 0 0 0
5 0 0 05,0005 0 0 0
6.UO
7.03B
é.999
^03
É,93J
^ooz1,000
É,33^
1 , 0 0 0
1,0 Oi^003
6 , 9 9 9
6,53 ?
6,3536,39 S
0.05
O.JO
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0.20
0.35
0.30
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O.hD
ô.rt
0.50
0.55
0.60
0.65
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F O N C T I O N DE TRANSFERT
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0.9 35
2.654
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3 -{.000
35*
H 5 50
- 27 -
On remarquera que pour V systèmes du second et du troisième ordre
nous obtenons la valeur exacte de la fonction de transfert.
SYSTEME DU QUATRIEME ORDRE.
La fonction de transfert peut s'écrire
A . B C Dp + a p + b p + c p + d
On trace sur la figure n° 12 l'allure de la courbe pour certaines
valeurs de l'échantillonnage.
Le tableau n° 11 fournit les coefficients expérimentaux de la fonction
de transfert.
La précision de l'identification est très bonne.
SYSTEME DU CINQUIEME ORDRE.
La fonction de transfert s'écrit
H (p) =A ,+ B ,
+D E
(p + a) p + b p + c p+d p + e
L'allure de la courbe pour différentes valeurs de l'échantillonnage
est fournie fig. 13.
Le tableau n° 14 donne les valeurs expérimentales de la fonction
de transfert.
La précision est mauvaise pour de faibles valeurs de l'échantillon-
nage cela vient du caractère très particulier de la matrice du système III ; en
effet les mineurs sont très voisins de zéro, et l'erreur d'arrondi de la machine ne
permet pas de calculer la solution exacte du système.
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SYSTEME DU SIXIEME ORDRE ET D'ORDRE SUPERIEUR.
L'erreur d'arrondi étant prépondérante dans la résolution du
système linéaire III, il n'est pas possible de déterminer une solution correcte.
Des études en cours avec la D . C . E . permettront dans un avenir
proche de contourner cette difficulté.
CONCLUSION.
La méthode d'identification de processys de fonction de transfert
rationnelle donne actuellement de bons résultats pour des systèmes d'ordre infé-
rieur ou égal à 5.
Elle a l'avantage de déterminer, à partir des n + d + 1 échantillons,,
la fonction de transfert, ceci indépendamment du signal d'entrée.
L'utilisation d'un calculateur spécialisé type DDA permettrait de
faire un calcul rapide de la fonction de transfert.
Manuscrit reçu le 7 mars 1968
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