Introduction à la relativité générale 1

Introduction à la relativité généraleLe but de cet article est de présenter une introduction accessible, non technique, au sujet. Pour l'articleencyclopédique consulter Relativité générale.

Test de haute précision de la relativité générale par la sonde spatialeCassini (vue d'artiste): des signaux radio envoyés entre la Terre et lasonde (onde verte) sont retardés par la déformation de l'espace et du

temps due à la masse du Soleil.

La relativité générale est une théorie de la gravitationqui a été développée par Albert Einstein entre 1907 et1915. Selon la relativité générale, l'attractiongravitationnelle que l'on observe entre les masses estprovoquée par une déformation de l'espace et du tempspar ces masses.

Avant l'avènement de la relativité générale, la loi del'attraction universelle de Newton avait été acceptéependant plus de 200 ans comme une description valablede la force de gravitation entre masses. Dans le modèlede Newton, la gravitation est le résultat d'une forceattractive entre les objets massifs. Bien que Newtonlui-même fût ennuyé par la nature inconnue de cetteforce, le schéma de base avait un plein succès pourdécrire les mouvements.

Cependant, des expériences et des observationsmontrent que la description par Einstein rend comptede quelques effets inexpliqués par la loi de Newton,telles que des anomalies minimes sur l'orbite deMercure, et d'autres planètes. La relativité généraleprédit aussi de nouveaux effets de la gravitation, tels lesondes gravitationnelles, les effets de lentille optiquegravitationnelle et l'effet de la gravitation sur le temps,connu sous le nom de dilatation gravitationnelle dutemps. Beaucoup de ces prédictions ont été confirméespar l'expérience, tandis que d'autres sont encore le sujetde recherche en progrès. Par exemple, bien qu'il y ait une preuve indirecte de l'existence des ondes gravitationnelles,leur détection directe fait encore l'objet de recherches par plusieurs collaborations internationales de scientifiques,telles les expériences en construction LIGO, GEO 600, VIRGO, LISA.

La relativité générale est devenue un outil essentiel de l'astrophysique moderne. C'est le fondement de lacompréhension actuelle des trous noirs, qui sont des régions où l'attraction gravitationnelle devient tellement intenseque la lumière elle-même ne peut pas s'en échapper. On pense que cette forte gravitation est responsable desrayonnements intenses émis par certains objets astronomiques (noyaux actifs de galaxies ou microquasars). Larelativité générale fait aussi partie du schéma standard du big bang en cosmologie.

Bien que la relativité générale ne soit pas la seule théorie relativiste, c'est la plus simple qui soit en cohérence avecles données expérimentales. Cependant il reste un nombre de questions ouvertes : la plus fondamentale est de trouverà concilier la relativité générale avec les lois de la physique quantique, et de formuler une théorie complète etcohérente de gravitation quantique.

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De la relativité restreinte à la relativité généraleEn septembre 1905, Albert Einstein publie sa théorie de la relativité restreinte, qui réconcilie les lois du mouvementde Newton avec l'électromagnétisme (l'interaction des objets avec les charges électriques). La relativité restreinteintroduit un nouveau cadre de pensée pour toute la physique, en proposant des concepts radicalement nouveaux surl'espace et le temps. Cependant, certaines théories adoptées jusqu'alors n'étaient pas cohérentes avec ces concepts :un exemple majeur était la théorie de la gravitation de Newton, qui décrit l'attraction mutuelle entre deux corps due àleurs masses.Plusieurs physiciens, dont Einstein, recherchaient une théorie qui pourrait unifier la loi de la gravitation de Newtonet la relativité restreinte. Seule la théorie d'Einstein se montra compatible avec les expériences et les observations.Pour comprendre les idées de base de la théorie, il est instructif de suivre le déroulement de la pensée d'Einstein de1907 à 1915, depuis sa simple expérience de pensée impliquant un observateur en chute libre, jusqu'à sa théoriecomplètement géométrique de la gravitation[1] .

Le principe d'équivalenceUne personne dans une cabine d'ascenseur dans une expérience de chute libre ressent l'apesanteur pendant toute ladurée de la chute : tous les objets situés dans la cabine l'accompagnent, ou se déplacent à vitesse constante parrapport à lui. Comme tout tombe ensemble dans la cabine, on n'observe aucun effet gravitationnel. Ainsi, lesexpériences d'un observateur en chute libre sont indiscernables de celles d'un observateur éloigné dans l'espacecosmique, loin de toute source mesurable de gravitation. Ces observateurs sont tous des observateurs privilégiés ( «inertiels » ) qu'Einstein a décrits – en l'absence de toute gravitation – dans sa théorie de la relativité restreinte : desobservateurs pour lesquels la lumière parcourt des lignes droites à vitesse constante[2] .Einstein a fait l'hypothèse que des expériences semblables avec des observateurs en chute libre ou inertiels enrelativité restreinte représentent une propriété fondamentale de la gravitation. Il en a fait la pierre angulaire de sathéorie de la relativité générale, qu'il a formalisée dans le principe d'équivalence. En gros, ce principe énonce qu'unepersonne située dans une cabine, et qui ne ressent pas de pesanteur, ne peut pas détecter si la cabine est en chute libreou s'il est suffisamment loin dans le cosmos pour échapper à l'influence de toute source de gravitation[3] .

Gravitation et accélération

Balle tombant par terre dans une fusée accélérée (gauche) et sur laterre (droite).

De même que la plupart des effets de la gravitationpeuvent être supprimés en se mettant en situation dechute libre, ces effets peuvent être « provoqués » enobservant des objets dans un système en coursd'accélération. Un observateur dans une cabine ferméene peut pas distinguer les deux cas suivants :

• Les objets tombent sur le plancher parce que lacabine repose sur la Terre et que ces objets sontattirés par la gravitation ;

• Les objets tombent sur le plancher parce que lacabine est emportée par une fusée dans l'espace quiaccélère à 9.81 m/s2, tout en étant loin de toutesource de gravitation. Les objets sont tirés vers leplancher par une « force d'inertie » analogue à celle qui enfonce les passagers d'une voiture dans leur siège aumoment de l'accélération.

Inversement, tout effet observé à cause de l'accélération du cadre de référence devrait être observé dans un champgravitationnel de force correspondante. C'est ce principe qui permet à Einstein en 1907 de prédire quelques effets

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nouveaux de la gravitation, comme nous verrons dans la prochaine section.Un observateur dans un système de référence accéléré doit introduire ce que les physiciens appellent des forcesfictives pour rendre compte de l'accélération subie par lui-même et les objets qui l'entourent. Nous faisonsquotidiennement l'expérience de ce genre de forces fictives : nous avons déjà mentionné la force enfonçant dans sonsiège le chauffeur d'une voiture qui accélère. Citons encore la force qui empêche de tomber une toupie lancée assezvite, bien qu'elle repose sur sa pointe, ou la force qui éjecte l'eau du linge dans un lave-linge pendant l'essorage. Cesforces fictives sont dues à l'inertie des objets, c'est-à-dire à leur tendance à suivre une trajectoire rectiligne à vitesseconstante. Si l'on veut dévier ou accélérer cette vitesse, l'objet réagit avec une force fictive proportionnelle à samasse.Comparons les deux énoncés suivants :• les forces fictives sont toujours proportionnelles à la masse de l'objet sur lequel elles s'appliquent ;• la force ressentie par un objet dans un champ de gravitation est toujours proportionnelle à sa masse (loi de

Newton).L'intuition fondamentale d'Einstein a été de trouver une raison profonde pour que ces deux énoncés concernant desphénomènes apparemment bien différents fassent intervenir la même masse. Ce problème tourmentait les physiciensdepuis quelque temps déjà. Einstein s'est dit que d'une certaine manière, l'attraction par la gravitation estfondamentalement de la même nature que ces forces fictives[4] .

Conséquences physiquesEn 1907, Einstein en a encore pour 8 ans avant de donner une forme finale à la relativité générale. Cependant, il adéjà réussi à faire des prédictions originales, et vérifiables, basées sur son point de départ : le principed'équivalence[5] .

Le décalage gravitationnel vers le rouge d'une ondelumineuse quand elle remonte contre un champ

gravitationnel créé par l'étoile jaune (en dessous)

Le premier effet nouveau est le décalage vers le rougegravitationnel. Considérons deux observateurs sur un vaisseauspatial qui accélère. Sur ce vaisseau, il y a naturellement uneconception de « haut » et de « bas » : le haut est la direction verslaquelle le vaisseau accélère, et le bas la direction opposée. Toutobjet abandonné à lui-même (immobile par rapport au vaisseau) vatomber naturellement vers le bas, car il se fait rattraper par levaisseau qui accélère. Supposons que sur ce vaisseau, il y ait deuxobservateurs placés l'un plus haut que l'autre. Quand l'observateurdu bas envoie un faisceau lumineux à celui du haut, la relativitérestreinte dit que celui du haut va le recevoir à une fréquenceinférieure à celle d'émission. Accélération et distance provoquentun décalage vers le rouge (vers les basses fréquences).Inversement, de la lumière émise du haut arrivera à une fréquencesupérieure à celle d'émission à l'observateur du bas. Elle seradécalée vers le bleu[6] . L'argument d'Einstein a été que ce genrede décalage de fréquence doit également être observé dans deschamps gravitationnels. Ceci est illustré par la figure de gauche,qui montre une onde lumineuse progressivement décalée vers lerouge en remontant le champ de gravitation[7] .

Ce décalage de fréquence correspond à une dilatation du temps gravitationnelle : comme l'observateur du hautconstate que la même lumière vibre plus lentement, c'est que son horloge tourne plus vite. Ainsi, plus lesobservateurs sont en bas du champ gravitationnel, plus leur temps s'écoule lentement.

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Il faut souligner que pour chacun des observateurs, ils ne peuvent pas observer de changement dans l'écoulement dutemps autour d'eux, ou pour des objets qui sont près d'eux, ou qui se déplacent lentement par rapport à eux : le tempsnécessaire pour cuire un œuf à la coque est toujours de trois minutes. Ce n'est que lorsque l'on compare des horlogeséloignées entre elles que l'on peut détecter ce genre d'effets[8] .De façon semblable, Einstein a prédit la déflexion de la lumière par un champ gravitationnel : dans un champgravitationnel, la lumière est défléchie vers le bas. Sa prédiction était alors fausse par un facteur 2 : le calcul correctnécessite la formulation complète de la théorie de la relativité générale, et non simplement le principed'équivalence[9] .

Effets de marée

Deux corps tombant vers le centre de laTerre accélèrent l'un vers l'autre en

tombant

L'équivalence entre les effets de gravitation et d'inertie ne constitue pas unethéorie de la gravitation complète. En particulier, elle ne répond pas à lasimple question : qu'est-ce qui empêche les habitants des antipodes de tomberde la Terre ? Si l'on veut expliquer la gravitation dans notre voisinage à lasurface de la Terre, on peut se contenter de la simple explication que notresystème de référence n'est pas en chute libre, et qu'il faut donc s'attendre à desforces fictives. Mais un système de référence tombant en chute libre sur unpoint de la Terre d'un côté de la Terre ne peut pas expliquer pourquoi les gensde l'autre côté de la Terre ressentent la gravitation en sens opposé.

Une manifestation plus élémentaire du même effet implique deux corpstombant l'un à côté de l'autre vers la Terre. Dans un système de référence enchute libre au voisinage, ils semblent flotter en apesanteur – mais pasexactement. Ces deux corps ne tombent pas exactement dans la mêmedirection, mais convergent sur un point unique dans l'espace : le centre (degravité) de la Terre. En conséquence, il y a une composante de mouvement dechaque corps dirigée vers l'autre (voir figure). Dans une petite région commeune cabine, cette accélération est minuscule, tandis que pour des personnestombant en chute libre en des points opposés de la Terre, l'effet est très grand.Ce genre de variation de force est responsable, dans le cadre de la loi deNewton, des marées sur les océans terrestres, d'où l'utilisation de l'expressioneffet de « marée » pour ce phénomène.

L'équivalence entre inertie et gravitation ne peut expliquer les effets de marée – elle ne peut pas expliquer lesvariations de champ gravitationnel[10] . Pour y arriver, on a besoin d'une théorie qui décrit comment la matière(comme une grosse masse comme la Terre) affecte l'environnement inertiel autour d'elle.

De l'accélération à la géométrieEn explorant l'équivalence entre gravitation et accélération, y compris le rôle des effets de marée, Einstein adécouvert plusieurs analogies avec la géométrie des surfaces. Par exemple, la transition d'un système de référenceinertiel (dans lequel les particules libres se déplacent sur des lignes droites à vitesse constante) à un système enrotation (dans lequel des termes supplémentaires correspondant à des forces fictives doivent être introduits pourexpliquer le mouvement des particules) : c'est analogue à la transition d'un système de coordonnées cartésiennes(dans lequel les lignes de coordonnées sont des lignes droites) à un système de coordonnées curvilinéaire (où leslignes de coordonnées n'ont pas besoin d'être droites).Une analogie plus profonde relie les forces de marée à la propriété des surfaces que l'on appelle « courbure ». Pour les champs de gravitation, l'absence ou la présence de forces de marée détermine si l'on peut éliminer l'influence de

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la gravitation en choisissant un système de référence en chute libre. De la même manière, pour une surface, l'absenceou la présence de courbure détermine si la surface est équivalente à un plan. En été 1912, inspiré par cette analogie,Einstein a recherché une formulation géométrique de la gravitation[11] .Les objets élémentaires de la géométrie : point, ligne, triangle, sont traditionnellement définis dans l'espace à troisdimensions, ou sur des surfaces à deux dimensions. Mais en 1907, le mathématicien Hermann Minkowski introduitune formulation de la relativité restreinte d'Einstein, dans laquelle la géométrie comprend non seulement l'espacemais aussi le temps. L'entité de base de cette nouvelle géométrie est un espace-temps à quatre dimensions. Lestrajectoires de corps en mouvement sont des lignes dans l'espace-temps, appelées lignes d'univers ; les trajectoires decorps se déplaçant à vitesse constante sans changer de direction y correspondent à des lignes droites[12] .Pour les surfaces, la généralisation de la géométrie du plan – une surface plate – à la géométrie de surfaces courbéesavait été décrite au début du XIXe siècle par Carl Friedrich Gauss. Cette description, à son tour, avait été étendue àdes espaces à plusieurs dimensions dans un formalisme présenté par Bernhard Riemann dans les années 1850. Aumoyen de cette géométrie de Riemann, Einstein a formulé une description de la gravitation dans laquellel'espace-temps de Minkowski – qui peut être considéré comme plat – est remplacé par un espace-temps courbé,exactement comme les surfaces courbes sont une généralisation de la surface plane ordinaire[13] .Après avoir réalisé la validité de cette analogie géométrique, il a fallu trois ans à Einstein pour mettre au point lesfondations de sa théorie : les équations qui relient la masse de la matière à la courbure de l'espace-temps. Après avoirréussi à écrire ces relations, que l'on connaît depuis sous le nom d'Équations d'Einstein ou, plus précisément, seséquations du champ de gravitation, il présente sa nouvelle théorie de la gravitation au cours de plusieurs séances del'Académie des sciences de Prusse à la fin de l'année 1915[14] .

Géométrie et gravitationEn paraphrasant le doyen de la recherche états-unienne sur la relativité, John Wheeler, on peut résumer la théoriegéométrique de la gravitation d'Einstein comme suit : l'espace-temps commande le mouvement des masses, et lesmasses commandent la courbure de l'espace-temps[15] . Nous allons examiner ce que cela signifie dans les troissections suivantes :• le mouvement de particules-test (assez légères pour n'avoir aucune influence gravitationnelle) dans un

espace-temps courbé ;• les propriétés de la matière qui servent de source à la gravitation, et qui peuvent donc influencer la courbure de

l'espace-temps ;• finalement les relations d'Einstein qui relient ces propriétés de la matière à la courbure de l'espace-temps.

Exploration du champ gravitationnelPour faire la carte des influences gravitationnelles d'un corps, il est utile de penser en termes de ce que les physiciensappellent particules test : ce sont des corps qui sont influencés comme tout par la gravitation, mais qui sonteux-mêmes si petits et légers que l'on peut négliger leurs propres effets gravitationnels. L'exemple idéal est celui dela pomme légendaire que Newton vit tomber d'un arbre, ce qui lui donna l'idée que tous les corps étaient soumis à lagravitation. Et certes, les effets gravitationnels d'une pomme sur un autre corps sont totalement négligeables parrapport à ceux qu'exerce la Terre. En l'absence de gravitation, et bien sûr d'autres forces, une particule test se déplaceen ligne droite à vitesse constante. Dans le langage de l'espace-temps, ceci signifie que sa ligne d'univers est droite.En présence de gravitation, l'espace-temps est courbé, c'est-à-dire qu'il n'est plus un espace de Minkowski, qui est unanalogue à 4 dimensions du plan d'Euclide, mais c'est un espace plus général, décrit par un analogue de la géométriede Riemann. Dans ce genre d'espace courbe, on ne peut plus parler de lignes d'univers droites ! Le mieux que l'onpuisse faire est de parler de géodésiques, c'est-à-dire de lignes qui sont « le moins courbes possible ».

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Géodésiques convergentes : deux méridiens (en vert) partentparallèles à l'équateur (en rouge), mais finissent par se rencontrer au

pôle

Pour prendre une analogie, la géodésie[16] est l'art demesurer les distances et les formes sur la Terre. Unegéodésique est le plus court chemin entre deux points àla surface de la Terre. En supposant que la Terre soitune sphère parfaite, une géodésique serait alors un arcde grand cercle, comme un méridien ou l'équateur.Évidemment, ces chemins ne sont pas droits, puisquece sont des arcs de cercle tracés sur la sphère. Mais cesont les lignes les plus droites possible que l'on peuttracer sur la sphère.

Les propriétés des géodésiques diffèrent de celles deslignes droites. Par exemple, sur un plan, des droitesparallèles ne se rencontrent jamais, contrairement à cequi se passe pour les géodésiques sur la Terre : deuxméridiens sont parallèles entre eux au niveau del'équateur, puisqu'ils le coupent tous deux à angle droit.Cependant, tous ces méridiens partis parallèles serejoignent aux pôles (voir figure à droite). De la même manière, les lignes d'univers de particules test en chute libresont, en relativité générale, des géodésiques de l'espace-temps. Mais il y a des différences cruciales entre elles et leslignes d'univers droites de la relativité restreinte. En relativité restreinte, les lignes d'univers parallèles restentparallèles (des particules test qui se déplacent à la même vitesse dans la même direction restent à la même distance).Mais en présence d'effets de marée, cela ne sera pas le cas en relativité générale en général. Si par exemple, à lamême distance de la Terre, on lâche deux objets immobiles au même instant, ils vont tomber vers le centre de laTerre, et par suite vont se rapprocher l'un de l'autre (voir figure)[17] .

Par comparaison avec les planètes et autres objets astronomiques, les objets de la vie quotidienne (gens, voitures,maisons, et même montagnes) ont une masse petite. Ces objets peuvent donc être considérés comme des particulestest, et ils ont le même comportement par rapport à la gravitation. En particulier, pour dévier une particule test de satrajectoire géodésique, il faut lui appliquer une force extérieure. Une personne assise sur une chaise a tendance àsuivre une géodésique, c'est-à-dire à tomber en chute libre vers le centre de la Terre. Mais la chaise lui applique uneforce externe sous les fesses, qui l'empêche de suivre cette tendance. Ainsi, la relativité générale expliquel'expérience quotidienne de la gravitation à la surface de la Terre non pas comme l'attraction par une forcegravitationnelle, mais comme une force fictive d'inertie analogue à celles que nous avons évoquées. Comme toutesles forces fictives, celle-ci est proportionnelle à la masse, et il faut donc une force proportionnelle à la masse pourl'équilibrer[18] . Cette force s'appelle le poids.Pour les objets matériels assez massifs pour que leur propre influence gravitationnelle ne puisse pas être négligée, leslois du mouvement sont quelque peu plus compliquées que pour les particules test, bien qu'il reste vrai que ce soit lagéométrie de l'espace qui régit le mouvement de la matière[19] .

Les sources de la gravitationDans la description de la gravitation par Newton, il existe une attraction gravitationnelle provoquée par la matière.De façon plus précise, elle est due à une propriété bien précise des objets matériels : leur masse. Dans la théoried'Einstein, et ses parentes, la courbure en chaque point de l'espace-temps est régie par la présence de matière. Ici,aussi, la masse est une propriété clef pour déterminer cette influence de la matière sur la géométrie del'espace-temps, et par là sur la gravitation. Mais dans une théorie relativiste de la gravitation, la masse ne peut pasêtre à elle seule prise pour source de la gravitation. La relativité relie entre elles la masse, l'énergie et la quantité demouvement.

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Pour un corps immobile (quantité de mouvement nulle), la masse et l'énergie sont reliées en relativité restreinte par larelation d'équivalence masse-énergie : E = m c², relation la plus connue de la relativité restreinte, tout en n'étant pasforcément la mieux interprétée. Ici, E représente l'énergie du corps, m sa masse, et c la vitesse de la lumière(299792458 m/s). Comme c est très grand, on se limite dans la vie courante à considérer que les variations de m sontnégligeables, et que seules comptent celles de E. Et ceci est vrai dans toute la mécanique pré-relativiste[20] .En relativité restreinte, l'énergie est très liée avec la quantité de mouvement, que l'on nomme encore impulsion oumoment linéaire. Exactement comme dans cette théorie, l'espace et le temps sont deux aspects différents d'un espaceplus large, l'espace-temps, l'énergie et le moment sont deux aspects différents d'une quantité unifiée plus vaste, queles physiciens appellent le quadri-moment. Si donc la masse, et donc l'énergie, est la source de la gravitation, il faut,pour rester cohérent avec la relativité, que ce soit le quadri-moment, moment inclus, qui soit à la source de lagravitation. Et même, pour compléter, il faut inclure les quantités qui sont directement liées à celles-ci, c'est-à-dire lapression, tension, ou autres contraintes internes au corps. Ce sont toutes ces données qui servent à régir lecomportement de l'espace-temps en fonction de la matière. Dans la formulation mathématique de la théorie, toutesces quantités ne sont que divers aspects d'une quantité physique plus générale appelée tenseur énergie-impulsion[21] .Cependant, il faut bien noter qu'il ne s'agit plus ici de la masse globale d'un corps que nous évoquons, mais de larépartition locale des quantités physiques dont on a besoin, sous une forme analogue à celle de densités. Parexemple, certaines des composantes du tenseur énergie-impulsion sont les densités d'énergie et de quantité demouvement.

Équations d'EinsteinLes équations d'Einstein sont le nœud central de la relativité générale. Elles fournissent en langage mathématiqueune formulation précise de la relation qui existe entre la géométrie de l'espace-temps et les propriétés de la matière.Plus concrètement, elles sont formulées en termes de géométrie de Riemann, où les propriétés d'un espace (ici, d'unespace-temps) sont décrits par une quantité nommée métrique. Cette métrique contient l'information dont on a besoinpour calculer de proche en proche les grandeurs fondamentales de distance et d'angle dans l'espace en question.

Distances correspondant à 30 degrés de différence en longitude, àdifférentes latitudes.

Une surface sphérique comme celle de la Terre donneun exemple simple. La position de n'importe quel pointpeut être décrite par deux coordonnées : la latitude et lalongitude géographiques. Contrairement auxcoordonnées cartésiennes sur le plan, des différences decoordonnées ne correspondent pas simplement à desdistances sur la surface, comme c'est montré sur lediagramme de droite : pour quelqu'un situé à l'équateur,se déplacer de 30° de longitude ouest (ligne rose foncé)correspond à 3333 km, tandis que pour quelqu'un situéà 49° nord (en gros la latitude de Paris), se déplacer de30° de longitude sur un parallèle (ligne bleue), àlatitude constante, ne correspond qu'à 2187 km. Maisen fait l'itinéraire le plus court (arc de grand cercle)joignant les extrémités de cet arc de parallèle ne faitque 2172 km, car un parallèle n'est pas une géodésique.Les simples coordonnées ne sont donc pas suffisantespour décrire la géométrie d'une surface sphérique, ou afortiori la géométrie d'un espace ou espace-temps plus compliqué. L'information manquante est contenue dans la

métrique, qui, définie en chaque point, décrit la relation entre différence de coordonnées et distance. Toutes les autres quantités intéressantes pour la géométrie, comme la longueur d'une courbe, ou la valeur des angles, peuvent

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être calculées à partir de cette métrique[22] .La fonction métrique et son taux de variation d'un point à l'autre peuvent être utilisées pour définir une quantitéappelée tenseur de courbure de Riemann, qui décrit exactement comment l'espace (ou espace-temps) est courbé enchaque point. En relativité générale, la métrique de l'espace-temps et le tenseur de courbure de Riemann sont desquantités définies en chaque point de l'espace-temps. Comme il a déjà été dit à la section précédente, le contenu enmatière de l'espace-temps définit une autre quantité, le tenseur d'énergie-impulsion, T. Le principe selon lequell'espace-temps régit le mouvement de la matière et la matière régit la courbure de l'espace implique que cesquantités doivent être liées entre elle. Einstein a formulé cette relation en utilisant le tenseur de courbure de Riemannet la métrique pour définir une autre quantité géométrique G, maintenant appelé tenseur d'Einstein, qui décrit certainsaspects de la courbure de l'espace-temps. L'équation d'Einstein s'écrit alors :

c'est-à-dire qu'à une constante multiplicative près, la quantité G (qui décrit certains aspects de la courbure del'espace-temps) est égale à la quantité T (qui décrit certains aspects du contenu en matière). La constante G

 N est la

constante de gravitation introduite par Newton[23] , c est la vitesse de la lumière, et π est la constante géométriqueclassique (rapport de la circonférence au diamètre d'un cercle).On parle souvent des équations d'Einstein au pluriel, car les quantités G et T sont chacune un ensemble de dixcomposantes, fonctions des coordonnées dans l'espace-temps, et l'équation ci-dessus exprime l'égalité de chacune descomposantes de G avec un multiple de la composante correspondante de T[24] . Les solutions exactes de ceséquations décrivent une géométrie particulière de l'espace-temps ; par exemple la solution de Schwarzschild décrit lagéométrie autour d'une masse sphérique, sans rotation, comme une étoile. C'est cette solution qui a conduit à ladécouverte des trous noirs. Par ailleurs la solution de Kerr décrit un trou noir en rotation. D'autres solutions décriventdes ondes gravitationnelles ou, pour la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker, un univers homogène,en expansion ou en contraction. Bien sûr, la solution la plus simple est l'espace de Minkowski, sans courbure, décritpar la relativité restreinte. Comme sa courbure est nulle, les équations d'Einstein montrent qu'il ne contient pas dematière, ni même de lumière (la lumière ayant une énergie, son tenseur d'énergie-impulsion ne peut pas être nul)[25] .

Tests expérimentauxAucune théorie scientifique n'a de valeur apodictique; chacune est un modèle qui doit être vérifié par l'expérience.Une théorie est falsifiée si elle donne des résultats incorrects, ne fût-ce que pour une seule expérience. La loi de lagravitation de Newton était acceptée parce qu'elle rendait compte des mouvements des planètes et de leurs satellitesavec une précision exquise. Cependant, avec l'amélioration de la précision des mesures expérimentales, on observaquelques discordances avec les prédictions de la théorie de Newton. Ces discordances ont été réglées par le passage àla relativité générale, mais il faut encore que les prédictions de cette dernière théorie soient confrontées avecl'expérience. Trois tests expérimentaux ont été proposés par Einstein lui-même, et sont maintenant connus sous lenom de tests historiques de la théorie.

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Orbite newtonienne (en rouge) par rapport à une orbiteeinsteinienne (en bleu) d'une particule test autour d'une

étoile sphérique.

• La gravitation newtonienne prédit que l'orbite d'une seuleplanète autour d'une étoile parfaitement sphérique est uneellipse. La théorie d'Einstein prévoit une courbe pluscompliquée : la planète se comporte comme si elle décrivait uneellipse, mais en même temps l'ellipse entière tourne lentementautour de l'étoile. Sur le diagramme de droite, l'ellipse préditepar la gravitation newtonienne est dessinée en rouge, etquelques tours de l'orbite einsteinienne sont dessinés en bleu.Pour une planète tournant autour du Soleil, cette déviation del'orbite newtonienne est connue sous le nom de précession dupérihélie, le périhélie étant le point de l'orbite le plus rapprochédu Soleil, et le mot précession indiquant que les périhéliessuccessifs se précèdent, dans le sens où la planète décrit sonorbite. La première mesure de cet effet, pour la planèteMercure, date de 1859. Les résultats les plus précis pourMercure et d'autres planètes sont basés sur des mesures faites entre 1966 et 1990 en utilisant desradiotélescopes[26] . La relativité générale prédit les précessions de périhélie correctes pour toutes les planètes oùelle peuvent être mesurées avec précision (Mercure, Vénus et la Terre).

• Selon la relativité générale, la lumière ne se propage pas en ligne droite dans un champ gravitationnel : elle estdéfléchie en passant à proximité de corps massifs. En particulier, la lumière des étoiles est défléchie en passantprès du Soleil, ce qui conduit à des déviations apparentes allant jusqu'à 1.75 seconde d'arc par rapport à la positionqu'elles occupent la nuit. En gravitation newtonienne, on peut faire des raisonnements heuristiques conduisant àdes déflexions de la lumière égales à la moitié de cette valeur[27] . Les prédictions peuvent être testées enobservant des étoiles proches du Soleil pendant une éclipse de Soleil. De cette manière, des expéditionsbritanniques au Brésil et en Afrique occidentale, dirigées par Arthur Eddington, ont pu confirmer que laprédiction d'Einstein est correcte, contrairement aux arguments de la théorie newtonienne. Ces premiers résultatsd'Eddington n'étaient pas très précis; des observations ultérieures de la déflexion par le Soleil de la lumière dequasars distants, qui utilisent les techniques ultra-précises de la radioastronomie, ont confirmé les résultatsd'Eddington avec une précision significativement meilleure (les premières de ces observations datent de 1967,l'analyse comparative la plus récente de 2004)[28] .

• Le décalage vers le rouge gravitationnel a été mesuré pour la première fois en laboratoire par Pound et Rebka en1959. On l'observe aussi dans des mesures astrophysiques, comme pour la naine blanche Sirius B. La dilatationgravitationnelle du temps associée a été mesurée en transportant des horloges atomiques à des altitudes allant dedizaines à des dizaines de milliers de km (d'abord par une expérience de Hafele et Keating en 1971, plusrécemment par la sonde Gravity probe A ou GP-A, qui a atteint l'altitude de 10000 km et a vérifié l'effet prévu à10−4 près)[29] .

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Gravity Probe B avec ses panneaux solaires repliés

Sur ces trois tests, un seul — la précession du périhélie de Mercure— était connu avant la publication finale par Einstein de la relativitégénérale en 1916[30] . Les confirmations expérimentales ultérieuresde ses autres prédictions, spécialement les premières mesures de ladéflexion de la lumière par le Soleil en 1919, ont catapulté Einstein àla célébrité internationale[31] . Ces trois tests expérimentaux ontjustifié l'adoption de la relativité générale plutôt que la théorie deNewton, et au passage, plutôt qu'un nombre de théories proposéescomme alternatives à la relativité générale.

D'autres tests de la relativité générale comprennent des mesures deprécision de l'effet Shapiro, ou retard gravitationnel de la lumière, ladernière mesure ayant été faite avec la sonde spatialeCassini-Huygens. Un autre ensemble de tests se porte sur des effetsprédits par la relativité générale concernant le comportement degyroscopes se déplaçant dans des champs gravitationnels. Un de ceseffets, la partie De Sitter de l'effet géodétique a été testé avec desexpériences de télémétrie Laser-Lune (mesures de haute précision del'orbite de la Lune). Une autre, reliée aux masses en rotation estappelée effet Lense-Thirring. Elle doit être testée par le satelliteGravity Probe B lancé en 2004, avec des résultats fin 2008[32] .

À l'échelle cosmique, la gravitation au sein du système solaire estfaible. Comme les différences entre les prédictions des théoriesd'Einstein et de Newton sont les plus marquées quand la gravitationest forte, les physiciens se sont intéressés depuis longtemps aux tests

de divers effets relativistes dans des environnements où règne une forte gravitation. Ceci est devenu possiblenotamment grâce aux observations de précision des pulsars binaires. Dans un tel système d'étoiles, deux étoiles trèscompactes (étoiles à neutrons) tournent autour d'un centre commun. Une des deux au moins est un pulsar – un objetastronomique qui émet un étroit faisceau d'ondes radio en tournant très vite sur lui-même. De même que le faisceautournant d'un phare est vu de loin comme un clignotant, ces faisceaux frappent la Terre avec une extrême régularitépour un pulsar isolé, et sont reçus comme une succession d'impulsions très régulières. Dans le cas d'un pulsar double,la relativité générale prédit des déviations caractéristiques du rythme de ces impulsions. Par exemple, quand lesondes radio passent à proximité de l'autre étoile, ils doivent être défléchis par son champ gravitationnel. Lesdéviations du rythme des impulsions suivent avec une précision remarquable les prédictions de la relativitégénérale[33] .

Un ensemble particulier d'observations est relié à des applications éminemment utilitaires, par exemple aux systèmesde navigation par satellite, tels le GPS ou Galileo, qui permettent une navigation précise dans l'espace et dans letemps. Ces systèmes reposent sur l'utilisation de deux ensembles d'horloges atomiques, des horloges sur des satellitesen orbite terrestre, et des horloges de référence situées à la surface de la Terre. La relativité générale prévoit que cesdeux ensembles d'horloges battent à des rythmes légèrement différents, en raison de leurs vitesses (effetDoppler-Fizeau déjà prédit par la relativité restreinte), et de leurs positions différentes dans le champ gravitationnelterrestre. Pour assurer la précision du système, les horloges des satellites sont ralenties par un facteur relativiste, oualors ce facteur est pris en compte dans le calcul des positions. Inversement, les tests de la précision du système (eten particulier les mesures très raffinées qui participent à la définition du Temps universel coordonné, UTC)témoignent de la validité des corrections prédites par la relativité[34] .

Introduction à la relativité générale 11

Un ensemble d'autres tests ont mis à l'épreuve la validité de diverses versions du principe d'équivalence ; àstrictement parler, toutes les mesures de la dilatation du temps gravitationnelle sont des tests de sa version faible, etnon pas de la relativité générale elle-même. Jusqu'à présent, la relativité générale a réussi tous les testsexpérimentaux[35] .

Applications astrophysiquesLes modèles fondés sur la relativité générale jouent un rôle important en astrophysique où les masses mises en jeupeuvent être très importantes, et le succès de ces modèles apporte un nouveau témoignage quant à la validité de lathéorie.

Effets de lentille gravitationnelle

Croix d'Einstein : quatre images du même objetastronomique, provoquées par une lentille gravitationnelle

Comme la lumière est défléchie dans un champ de gravitation,il est possible que la lumière d'un objet distant atteignel'observateur par deux ou plusieurs chemins. Par exemple, sila lumière d'un objet très éloigné, et suffisamment brillant,comme un quasar, passe à côté d'une galaxie massive, elle estdéfléchie vers un observateur sur la Terre, et simultanément,elle peut passer de l'autre côté de la même galaxie, et êtredéfléchie en sens inverse, atteignant ainsi l'observateur d'unedirection légèrement différente. Le résultat est que cetobservateur va observer le même objet astronomique à deuxendroits différents du ciel. Ce type de convergence est bienconnu quand il fait intervenir la déviation par une lentilleoptique, et par suite l'effet gravitationnel est appelé lentillegravitationnelle[36] .

Les effets de lentille gravitationnelle constituent un outilimportant en astronomie pour trouver les propriétés de l'objetjouant le rôle de lentille. Même dans les cas où l'objet n'est pas visible, la forme de l'image à travers la lentille donnede l'information sur la distribution des masses responsables de la déflexion de la lumière. En effet, la distribution dematière peut faire apparaître l'objet lointain en plusieurs directions, avec éventuellement des intensités différentes. Àla limite, l'objet peut apparaître sous la forme d'un arc de cercle (anneau d'Einstein). En particulier les lentillesgravitationnelles sont une manière de mesurer la distribution de la matière noire, qui n'émet pas de lumière, et qui nepeut être observée que par ses effets gravitationnels. Une application particulièrement intéressante est l'observation àgrand champ, où les masses formant lentille sont réparties sur une fraction significative de l'univers observable, cequi peut être utilisé pour obtenir des informations concernant les propriétés à grande échelle et l'évolution de notrecosmos[37] .

Introduction à la relativité générale 12

Ondes gravitationnellesLes ondes gravitationnelles sont une conséquence directe de la théorie d'Einstein. Ce sont des ondes de distorsion dela géométrie de l'espace, qui se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière. (Il ne faut pas les confondre avec lesondes de gravité de la dynamique des fluides, qui sont un concept tout différent.).On a détecté indirectement l'existence des ondes gravitationnelles en observant certaines étoiles binaires. Ce sont despaires d'étoiles qui orbitent autour du centre de masse commun, et ce faisant, perdent graduellement leur énergie enémettant des ondes gravitationnelles. Pour des étoiles ordinaires comme le Soleil, la perte de masse serait trop faiblepour être détectable. Mais en 1974, cette perte d'énergie a été observée dans un pulsar binaire (PSR 1913+16). Dansun tel système, une des étoiles est un pulsar. Ceci a deux conséquences : un pulsar est un un objet extrêmement dense(une étoile à neutrons), ce qui lui permet d'être très proche de son compagnon, et d'autre part il émet un faisceauétroit d'ondes radio avec une très grande régularité. Le champ gravitationnel avoisinant perturbe la régularité aveclaquelle nous recevons à chaque tour ce faisceau, ce qui permet de l'analyser. La proximité des deux membres ducouple fait qu'il émet une quantité substantielle d'ondes gravitationnelles, et que celles-ci peuvent notamment êtrerepérées dans cette dernière analyse.Les découvreurs de PSR 1913+16, Russell Hulse et Joseph Taylor, ont reçu le Prix Nobel de physique en 1993.Depuis, plusieurs autres pulsars binaires ont été trouvés. Les plus utiles sont ceux dont les deux composants sont despulsars, parce qu'ils donnent les tests les plus précis de la relativité générale[38] .Actuellement, un but majeur de la recherche en relativité est la détection directe d'ondes gravitationnelles. Dans cebut un nombre de détecteurs d'ondes gravitationnelles au sol sont en fonctionnement ou en construction, et unemission de lancement d'un détecteur en orbite, LISA est actuellement à l'étude, avec une maquette prévue pour unlancement en 2010. Le grand avantage d'un détecteur en orbite est d'échapper au « bruit » sismique incessant quiagite la Terre, et limite la sensibilité des détecteurs au sol. Si les ondes gravitationnelles sont détectées, elles pourrontêtre utilisées pour obtenir de l'information sur des objets compacts tels que des étoiles à neutrons ou des trous noirs,et également pour faire de l'astronomie de l'univers dans les fractions de seconde au début du Big Bang[39] .

Les trous noirsQuand la masse est concentrée dans une région de l'espace suffisamment compacte[40] , la relativité générale prédit laformation d'un trou noir - une région de l'espace dont l'attraction gravitationnelle est si forte que même la lumière nepeut s'en échapper. Certains types de trous noirs sont estimés être le point final de l'évolution d'étoilesparticulièrement massives. D'autre part, il existe des trous noirs supermassifs, dont la masse peut varier du million aumilliard de masses solaires, au centre de la plupart des galaxies, et ils jouent un rôle clef dans les modèles actuels dela formation des galaxies au cours des milliards d'années[41] .

Introduction à la relativité générale 13

Jet émanant de la région centrale de la galaxie M87 etmû par le tourbillon de matière tombant sur le trou noir

du centre

La matière tombant sur un objet compact est l'un des mécanismesles plus efficaces pour émettre de l'énergie sous forme derayonnement électromagnétique, et la matière tombant sur destrous noirs passe pour l'un des phénomènes astronomiques les plusbrillants. Des exemples notables, de grand intérêt pour lesastronomes, sont les quasars et d'autre types de noyaux de galaxiesactives. Dans les bonnes conditions, la matière qui tombe ens'accumulant sur un trou noir peut conduire à la formation de jetsrelativistes, où des faisceaux focalisés de matière sont lancés dansl'espace avec une telle énergie qu'ils atteignent des vitessesproches de celle de la lumière[42] .

Plusieurs propriétés font des trous noirs les sources les plusprometteuses d'ondes gravitationnelles. Une raison est que lestrous noirs sont les objets les plus compacts qui puissent orbiterautour l'un de l'autre dans un système binaire ; par conséquence,les ondes gravitationnelles émises par un tel système sont

spécialement fortes. Une autre raison découle de ce qui est connu comme le théorème de calvitie, qui énonce qu'untrou noir ne dépend que de trois choses : sa masse, sa charge électrique et sa rotation, et non d'autres paramètresindividuels divers. Cependant, pendant que la matière environnante tombe sur le trou noir, elle se débarrasse detoutes ses autres propriétés géométriques en rayonnant des ondes gravitationnelles[43] .

Cosmologie

Carte des rayonnements émis moins de quelques centaines demilliers d'années après le big bang, mesurée par le télescope satellite

WMAP.

Un des aspects les plus importants de la relativitégénérale est qu'elle permet de construire un modèleglobal de l'univers. Une structure remarquable est quela structure du cosmos à grande échelle apparaîtpratiquement uniforme, quelle que soit la position del'observateur ou la direction dans laquelle il observe.On dit que l'univers est globalement homogène etisotrope. Une structure aussi simple de l'univers peutêtre donnée par une solution simple des équationsd'Einstein. Le modèle standard de la cosmologie actuelest obtenu en combinant cette solution avec les théoriesdécrivant les propriétés de la matière qu'il contient :thermodynamique, physique nucléaire, physique desparticules. Selon ces modèles, notre univers actuel a explosé d'un état extrêmement dense et chaud (le Big Bang), il ya environ 14 milliards d'années, et s'est étendu constamment depuis[44] .

Il existe une ambiguïté dans les équations d'Einstein, où l'on peut ajouter un terme appelé constante cosmologique, qui n'a d'effet qu'à très grande distance. Quand ce terme est présent, l'espace vide agit comme une source de gravitation attractive, ou répulsive, selon le signe qu'on lui donne. Einstein avait introduit ce terme en 1917 dans son papier pionnier sur la cosmologie[45] , et avec une motivation très spéciale : à l'époque, l'univers était tenu pour statique et éternel, et le nouveau terme - pris avec un signe répulsif - devait compenser l'attraction de la matière, qui provoquait le Big Bang. Mais d'une part on s'aperçut que l'univers n'était pas statique, mais en dilatation et d'autre part que l'artifice ne résolvait pas le problème : des concentrations locales de matière ne pouvaient que s'accentuer. Einstein a donc abandonné cette proposition. Cependant, à partir de 1998, un ensemble de preuves astronomiques

Introduction à la relativité générale 14

s'est accumulé pour montrer que, contrairement au modèle sans terme cosmologique, où l'expansion de l'univers seralentit, cette expansion est actuellement en voie de s'accélérer. Ceci montre qu'il y a une constante cosmologique designe répulsif, que l'on peut aussi interpréter en termes d'énergie noire aux propriétés très spéciales, et qui emplit toutl'espace[46] .

Recherche actuelle : la relativité générale et au-delàLa relativité générale a de grands succès en donnant un cadre pour des modèles précis décrivant un ensembleimpressionnant de phénomènes physiques. D'autre part, il reste beaucoup de questions encore ouvertes, etintéressantes : en particulier la théorie dans son ensemble est presque certainement incomplète[47] .À l'opposé de toutes les autres théories modernes des interactions fondamentales, la relativité générale est une théorieclassique : elle ne comprend pas les effets de la mécanique quantique. La recherche d'une version quantique de larelativité générale aborde l'une des questions ouvertes les plus fondamentales de la physique. Il y a des candidatsprometteurs pour une telle théorie de la gravitation quantique : en particulier les diverses variations de théorie descordes et de théorie des supercordes. Cependant aucune de ces théories n'est logiquement cohérente ni complète. Ona aussi longtemps espéré qu'une théorie de la gravitation quantique pourrait éliminer une autre structureproblématique de la relativité générale : la présence de singularités gravitationnelles de l'espace-temps. Cessingularités sont des lignes ou des surfaces dans l'espace-temps où la géométrie perd sa signification, avec laconséquence que la relativité générale y perd son pouvoir de prédiction. De plus, il existe des théorèmes sur lessingularités de Stephen Hawking et de Roger Penrose, qui expriment la nécessité de ce type de singularité dans ununivers soumis aux lois de la relativité générale, en l'absence de toute modification quantique. Les exemples les plusconnus sont les singularités présentes dans la description des trous noirs et du Big Bang[48] .D'autres tentatives pour modifier la relativité générale ont été faites dans le cadre de la cosmologie. Dans les modèlescosmologiques modernes, la majorité de l'énergie de l'univers est sous des formes encore jamais directementdétectées : l'énergie noire et la matière noire. Il y a eu quelques propositions controversées pour court-circuiter lebesoin d'introduire les formes énigmatiques de matière et d'énergie, en modifiant les lois régissant la gravitation et ladynamique de l'expansion de l'Univers, par exemple une dynamique newtonienne modifiée[49] .Il est possible qu'une autre raison pour modifier la théorie d'Einstein puisse être trouvée plus près de chez nous, sousforme de ce qui est connu sous le nom d'anomalie Pioneer, d'après les noms des sondes spatiales Pioneer 10 etPioneer 11. En tenant compte de tous les effets connus, gravitationnels ou autres, les trajectoires de ces sondespeuvent être prédites avec une très faible fourchette d'erreurs possibles. Mais les observations montrent, entretrajectoires observées et calculées, une divergences supérieure à cette fourchette de possibles. La possibilité d'unenouvelle physique n'a pas pu être éliminée malgré toutes les tentatives d'explication plus sages[50] .Au-delà des problèmes posés par les effets quantiques et les singularités cosmologiques, la recherche en relativitégénérale est remplie de possibilités d'explorations supplémentaires : les mathématiciens de la relativité explorent lanature des singularités et la nature exacte des équations d'Einstein[51] , et des simulations d'espace-temps spécifiquessont effectuées sur ordinateur (comme par exemple celles de trous noirs tombant l'un sur l'autre)[52] , et la course à lapremière détection directe d'ondes gravitationnelles se poursuit[53] .Plus de 90 ans après la publication de la théorie, la recherche est toujours plus active[54] .

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Références[1] Ce déroulement est retracé p.ex. dans Renn 2005, p. 110ff., dans Pais 1982, chap. 9-15, et dans Janssen 2005. On trouvera un exposé de la

gravitation relativiste dans Schutz 2003, chap. 2–4. Le problème de la gravitation newtonienne s'est-il posé à Einstein avant 1907 ? Son propretémoignage atteste que ses premières tentatives de réconciliation de cette théorie avec la relativité datent de cett année, cf. Pais 1982, p. 178.

[2] Ceci est décrit en détail dans Wheeler 1990, chap. 2[3] Alors que le principe d'équivalence fait encore partie des exposés modernes sur la relativité générale, il y a des nuances entre la version

moderne et le concept original d'Einstein, cf. Norton 1985.[4] P. ex. Janssen 2005, p. 64f. Il l'explique lui-même dans la section XX de son livre non technique de 1961. En poursuivant des idées plus

anciennes d'Ernst Mach, Einstein a aussi exploré les forces centrifuges, qui sont tout aussi fictives, et leur analogue gravitationnel, cf Stachel1989.

[5] Plus précisément, les calculs d'Einstein, décrits dans Pais 1982, chap. 11b, utilisent le principe d'équivalence, équivalence entre forcesd'inertie et forces de gravitation, et les résultats de la relativité restreinte sur la propagation de la lumière et les observateurs accélérés – enconsidérant pour ces derniers à chaque instant le système de référence instantané qui lui est associé.

[6] Cet effet est une conséquence de la seule relativité restreinte, quel que soit le moteur de l'accélération : dans les deux situations, le décalage enfréquence se décrit comme un effet Doppler-Fizeau entre des repères inertiels. Pour des démonstrations de ceci voir Harrison 2002.

[7] L'effet sur les couleurs est extrêmement exagéré sur la figure.[8] Cf. Mermin 2005, chap. 12.[9] Cf. Ehlers et Rindler 1997; pour une présentation moins technique, voir Pössel 2007.[10] Ces effets de marée et d'autres sont décrits dans Wheeler 1990, p. 83–91.[11] Les relations entre forces de marée et courbure sont expliquées dans Wheeler 1990, chap.5. Cette partie du développement historique est

retracée dans Pais 1982, section 12b.[12] Pour des présentations élémentaires du concept d'espace-temps, voir Thorne 1994, chap. 2, début et Greene 2004, p. 47–61. Des

présentations plus complètes tout en restant relativement élémentaires peuvent être trouvées p. ex. dans Mermin 2005 et dans Wheeler 1990,chap. 8 et 9.

[13] Voir Wheeler 1990, chap. 8 et 9 pour des illustrations très claires de ce que peut être un espace-temps courbé.[14] Les efforts d'Einstein pour trouver des équations de champ correctes sont retracés dans Pais 1982, chap. 13-15.[15] Voir p.ex. Wheeler 1990, p. xi.[16] du grec γῆ (gê) la terre, et δαίω (daiô) diviser[17] Un exposé complet, et cependant abordable des éléments de la géométrie différentielle et de ses applications à la relativité générale peut se

trouver dans Geroch 1978.[18] Voir Wheeler 1990, chap. 10[19] En fait, si l'on part de la théorie complète, les équations d'Einstein permettent de trouver comment ces lois du mouvement de la matière

dépendent de la géométrie ; mais il est assez difficile d'en déduire le mouvement des particules test, cf. Poisson 2004.[20] On trouvera une explication simple de l'équivalence masse-énergie dans Giulini 2005, sect. 3.8, 3.9.[21] Cf. Wheeler 1990, chap. 6.[22] Pour une définition plus détaillée de la métrique, tout en restant à un niveau plus élémentaire que celui des manuels, voir Penrose 2004,

chap. 14.4.

Introduction à la relativité générale 18

[23] Cette constante est usuellement notée G. Nous avons écrit G N

pour éviter toute confusion avec le tenseur d'Einstein G. D'autre part, laconstante supplémentaire 8π / c² est introduite pour ajuster le coefficient global à la valeur numérique de la constante de la gravitation pourune particule test attirée par un corps massif comme la Terre.

[24] La signification géométrique des équations d'Einstein est analysée dans Wheeler 1990, chap. 7 et 8 ; voir aussi Thorne 1994, boîte 2.6. Uneintroduction qui n'utilise que des mathématiques très simples est donnée dans Schutz 2003, chap. 19.

[25] Les solutions les plus importantes sont énumérées dans n'importe quel manuel sur la relativité générale ; pour un résumé (technique) denotre compréhension actuelle, voir Friedrich 2005.

[26] Plus précisément, ce sont des mesures de position des planètes par interférométrie à très longue base : voir Will 1993, chap. 5 et Will 2006,sect. 3.5.

[27] La déduction originale par Soldner dans le cadre de la théorie newtonienne est dans Soldner 1804.[28] Pour l'histoire de ces mesures, voir Hartl 2005, Kennefick 2005 et Kennefick 2007; pour les mesures les plus précises à ce jour, voir Bertotti

2005.[29] Voir Kennefick 2005 et Will 1993, chap. 3. Pour les mesures sur Sirius B, voir Trimble et Barstow 2007.[30] On trouvera l'ensemble les communications scientifiques d'Einstein à l'Académie des Sciences de Prusse/d'Allemagne entre 1914 et 1932

dans (de) Einstein 2005[31] Pais 1982, p. 253-254 sur la précession du périhélie de Mercure ; et sect. 16b et 16c sur la célébrité fulgurante.[32] Pour les mesures de l'effet Shapiro par Cassini, voir Bertotti 2005. Pour plus d'information sur Gravity Probe B, voir (en) Site de la Gravity

Probe B (http:/ / einstein. stanford. edu/ ). Consulté le 27 septembre 2009.[33] Kramer 2004.[34] On trouvera un exposé accessible des effets relativistes dans le système GPS dans Ashby 2002 ; et plus de détails dans Ashby 2003.[35] Pour une introduction accessible aux tests de la relativité générale, voir Will 1993 ; pour un exposé plus à jour, mais plus technique, Will

2006.[36] La géométrie de ce genre de situation est explorée dans Schutz 2003, chap. 23.[37] On peut trouver des introductions aux techniques de lentilles gravitationnelles et à leurs applications sur les pages web Newbury 1997 et

Lochner 2007.[38] Schutz 2003, p. 317–321; Bartusiak 2000, p. 70–86.[39] La course actuelle aux ondes gravitationnelles est décrite très concrètement dans Bartusiak 2000 et Blair et McNamara 1997.[40] Selon la conjecture du cercle de Thorne 1994 la masse doit pouvoir passer à travers un cercle de diamètre proportionnel à sa valeur, et ce,

dans tous les sens.[41] Pour une revue de l'histoire de la physique des trous noirs depuis ses débuts depuis le début du XXe siècle jusqu'à récemment, voir le récit

très lisible dans Thorne 1994. Pour un compte-rendu actualisé du rôle des trous noirs dans la formation des structures, voir Springel et al. 2005; on en trouvera un résumé dans Gnedin 2005.

[42] Voir Sparke et Gallagher 2007, chap. 8 et Disney 1998. On trouvera des explications plus approfondies, quoique demandant encore peu demathématiques, dans Robson 1996

[43] Une introduction élémentaire au théorème de calvitie est donnée par Chrusciel 2006 ou par Thorne 1994, p. 272–286.[44] On trouvera des informations plus détaillées dans le cours élémentaire de cosmologie, avec questions fréquemment posées, de Wright 2007 ;

une introduction très lisible est Hogan 1999. Berry 1989 n'utilise que des mathématiques un peu au-dessus du bac, sans toutefois les outilssophistiqués de la relativité générale, pour donner une présentation un peu plus approfondie.

[45] Voir (de) Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie dans Einstein 2005.[46] On trouvera les version originales des contributions d'Eintein à la Preußische Akademie der Wissenschaften dans (de) Einstein 2005.

Einstein 1916 a lui-même rédigé un ouvrage pas trop technique sur la relativité restreinte et la relativité générale ; on trouvera de bonnesdescriptions des développements modernes dans Cowen 2001 et Caldwell 2004.

[47] Voir par exemple Maddox 1998, p. 52–59 et 98–122, Penrose 2004, sect. 34.1 et chap. 30.[48] La recherche de la gravitation quantique est décrite, avec un intérêt particulier pour la théorie des cordes dans Greene 1999 ; pour une

emphase sur la gravitation quantique à boucles, voir Smolin 2001.[49] Pour la matière noire, voir Milgrom 2002 ; pour l'énergie noire Caldwell 2004.[50] Nieto 2006[51] Voir Friedrich 2005.[52] Une revue des divers problèmes et des techniques mises au point pour les résoudre se trouve dans Lehner 2002.[53] Voir Bartusiak 2000 pour une revue à jour à cette date ; des informations à jour peuvent se trouver sur les sites web des collaborations des

détecteurs majeurs, comme (en) GEO 600 (http:/ / geo600. aei. mpg. de). Consulté le 25 septembre 2009,(en) LIGO (http:/ / www. ligo.caltech. edu/ ). Consulté le 25 septembre 2009, (en) VIRGO (http:/ / wwwcascina. virgo. infn. it/ ). Consulté le 25 septembre 2009 ou (en)LISA (http:/ / lisa. jpl. nasa. gov/ ). Consulté le 25 septembre 2009

[54] Un bon point de départ pour un instantané de la recherche actuelle en relativité peut se trouver — parfois à un niveau très technique — dansle journal électronique de revue (en) Living Reviews in Relativity (http:/ / relativity. livingreviews. org). Consulté le 25 septembre 2009

[55] http:/ / www. ipgp. jussieu. fr/ ~tarantola/ Files/ Professional/ GPS/ Neil_Ashby_Relativity_GPS. pdf[56] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1063%2F1. 1485583[57] http:/ / relativity. livingreviews. org/ Articles/ lrr-2003-1/ index. html[58] http:/ / physicsweb. org/ articles/ world/ 17/ 5/ 7

Introduction à la relativité générale 19

[59] http:/ / www. einstein-online. info/ en/ spotlights/ bh_uniqueness/ index. html[60] http:/ / www. einstein-online. info/ en/[61] http:/ / www. jstor. org/ pss/ 3981642[62] http:/ / dx. doi. org/ 10. 2307%2F3981642[63] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1023%2FA%3A1018843001842[64] http:/ / www. gutenberg. org/ etext/ 5001[65] http:/ / worldcat. org/ issn/ 0003-3804& lang=fr[66] http:/ / www. arxiv. org/ abs/ gr-qc/ 0508016[67] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1002%2Fandp. 200510173[68] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1038%2F435572a[69] http:/ / www. upscale. utoronto. ca/ GeneralInterest/ Harrison/ GenRel/ TimeDilation. pdf[70] http:/ / www. upscale. utoronto. ca/[71] http:/ / www. tc. umn. edu/ ~janss011/ pdf%20files/ potsandholes. pdf[72] http:/ / dx. doi. org/ 10. 1002%2Fandp. 200410130[73] http:/ / fr. arxiv. org/ abs/ 0709. 0685[74] http:/ / de. arxiv. org/ abs/ astro-ph/ 0405178v2[75] http:/ / fr. arxiv. org/ abs/ gr-qc/ 0202055[76] http:/ / imagine. gsfc. nasa. gov/ docs/ features/ news/ grav_lens. html[77] http:/ / www. sciamdigital. com/ index. cfm?fa=Products. ViewIssuePreview&

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