la théorie de la relativite dʼechelle et ses applications

1

La théorie de la RELATIVITE D’ECHELLE!

et ses applications"

http://luth.obspm.fr/~luthier/nottale!

Laurent Nottale!CNRS !

LUTH, Observatoire de Paris-Meudon"

8 Mars 2014. ENS Paris

2

Les échelles dans la nature Echelle de Planck10 cm-33

10 cm-28

10 cm-16

3 10 cm-13

4 10 cm-11

1 Angstrom

40 microns

1 m

6000 km700000 km1 millard km

1 parsec

10 1 0

10 2 0

10 3 0

10 4 0

10 5 0

10 6 0

1

grande unification

limite actuelle accélérateursunification électro-faible

longueur Compton électronrayon de Bohr

quarks

virus bactérieséchelle humaine

rayon Terrerayon SoleilSystème Solaire

distance aux étoilesrayon de notre Galaxie10 kpc

1 Mpc100 Mpc

amas de galaxiestrès grandes structuresEchelle Cosmologique10 cm28

atomes

• Plus de 60 décades des plus petites échelles concevables aux plus grandes

• D’un tiret au suivant: zoom par un facteur x10

• Seuls des rapports d’échelle ont un sens, jamais une échelle absolue

• Aucune prédiction théorique pour la plupart de ces échelles

• Enjeu pour une nouvelle physique ?

3

Abandon de l’hypothèse de différentiabilité de

l’espace-temps

Dépendance explicite des coordonnées en fonction des variables d’échelle

+ divergence

Généraliser la relativité du mouvement ?

Transformations de coordonnées non-différentiables Théorème

ESPACE-TEMPS FRACTAL

Compléter les lois de la physique par des lois d’échelle

Continuité + RELATIVITÉ D’ÉCHELLE

4

Origine

Orientation

Mouvement

Vitesse Accélération

Echelle

Résolution

Etat d’un système de coordonnées:

x

t

! x

! t

Angles

Position

5

RELATIVITÉ

COVARIANCE EQUIVALENCE

faible / forte

Action Géodésique

CONSERVATION Noether

PRINCIPES PREMIERS

6

Lois de!transformation!

d’échelle"

Références et pdf articles: http://www.luth.obspm.fr/~luthier/nottale/frdownlo.htm

7

Zooms discrets sur une courbe fractale

8

Courbe de von Koch F0

F1

F2

F3

F4

F∞

L0

L1 = L0 (p/q)

L2 = L0 (p/q)2

L3 = L0 (p/q)3

L4 = L0 (p/q)4

L∞ = L0 (p/q)∞

Générateur: p = 4 q = 3

Dimension fractale:

9

Courbe fractale D=3/2

10

Zoom continu sur une courbe fractale

Animation

11

Zoom sur « zig-zag » fractal (π/2)

12

Courbes de dimension fractale variable (dans l’espace)

13

Courbes de dimension variable en échelle: générateur dépendant du niveau, p constant, q variable

p = 4

p = 8

DF = {1.082, 1.161, 1.286, 1.5}

DF = {1.0526, 1.078, 1.128, 1.261, 1.440}

15

Surface fractale�� 2è niveau

16 Animation

18

Surface fractale: dépendance d’échelle

k=0

k=2

k=1

k=3

19

Métrique et courbure d’une surface fractale

Surface (espace fractal de dimension

topologique 2 )

Métrique (divergente)

20

Courbure gaussienne

Courbure gaussienne d’une surface fractale

21

Opérateur de dilatation, méthode de Gell-Mann-Levy:

Equation différentielle la plus simple possible:

Développement limité:

Solution: loi fractale de dimension constante + transition:

22

Loi invariante d’échelle avec transition fractal / non-fractal

Solution de l’équation différentielle d’échelle:

dL/d ln r = a +b L

23

Log[

|v +

η (2

D)1/

2 Exp

[(-ln

dt)/2

]|]

ln |dt|

Vitesse totale sur la géodésique (parties différentiable et fractale) en fonction de l’échelle

24

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

trans

ition

fractal

delta

constant "scale-force"

variation of the scale dimension

scaleindependent

scaleindependent

variation of the length

(asymptotique)

Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’une ‘force d’échelle’

constante:

Dynamique d’échelle: force d’échelle constante

25

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

fractal

delta

harmonic oscillator scale-force

trans

ition


scaleindependent

scaleindependent


Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un potentiel d’oscillateur

harmonique (dans l’espace des échelles)

Dynamique d’échelle: oscillateur harmonique

26

ln L

ln !

trans

ition

fractal

scaleindependent

ln !

trans

itionfractal

delta


"log-periodic"

scaleindependent


Dépendance d’échelle de la longueur et de la dimension d’échelle effective dans le cas d’un comportement log-

périodique (invariance d’échelle discrète, exposant complexe) avec transition fractal / nonfractal.

Loi log-périodique (Petites fluctuations)

27

ln L

ln !

trans

itionfractal

ln !

trans

itionfractal

delta

special scale-relativity

Plan

ck s

cale scale

independentscaleindependent

Plan

ck s

cale

variation of the scale dimensionvariation of the length

Relativité d’échelle restreinte ��(échelle de longueur de Planck invariante sous les dilatations : lois de dilatation log-lorentziennes)

28

Lois du mouvement"dans un espace fractal : "

"MECANIQUE QUANTIQUE"

29

Fractalité Irréversibilité

Infinité de géodésiques

Fluctuations fractales

Dédoublement (+,-)

Description fluide

Termes de 2è ordre dans eqs. différentielles

Nombres complexes

Dérivée covariante complexe

NON-DIFFERENTIABILITE

30

Voie vers Schrödinger (1): infinité de géodésiques

––> Approche « fluide »:

Différentiable Non-différentiable

31

Voie vers Schrödinger (2): ‘partie classique’ (différentiable) et ‘partie

fractale’ Loi d’échelle minimale (en fonction de la résolution spatiale):

Version différentielle (en fonction de la résolution temporelle):

Cas de la dimension fractale critique DF = 2:

32

Voie vers Schrödinger (3): ��non-différentiabilité ––> complexes

Définition ordinaire de la dérivée:

N’EXISTE PLUS (non-différentiabilité) ! ––> nouvelle définition:

Deux définitions au lieu d’une: on passe de l’une à l’autre par la réflexion dt <––> -dt

f(t,dt) = fonction fractale: fonction explicite de dt, variable d’échelle (« résolution »)

33

Opérateur de dérivation covariante

Equation fondamentale de la dynamique

Changement de variables (S = action complexe) et intégration

Equation de Schrödinger généralisée

RELATIVITE D’ECHELLE –>MECANIQUE QUANTIQUE

34

Newton

Schrödinger

Compton

35

Cinq représentations (formes des équations) (1)  Eq. fondamentale de la dynamique/ Eq. des géodésiques

(2) Schrödinger

(3) Mécanique des fluides ( P= |ψ|2, V) continuité + Euler + potentiel quantique

(4) Bifluide couplé (U, V)

(5) Diffusion (v+, v-) Fokker-Planck + BFP

36

SOLUTIONS ��Visualisations, simulations

37

Simulation numérique de géodésique fractale: particule libre

R. Hermann J. Phys. A 1996

38

Expérience de fentes d’Young

39

Expérience de fentes d’Young: une fente

Simulation dépendante-d’échelle: transition quantique-classique

40

Expérience de fentes d’Young: 2 fentes

Simulation faible nombre de géodésiques. Comparaison à la prédiction quantique

Nom

bre

41

Oscillateur harmonique 3D isotrope

Exemples de géodésiques

simulation du processus dxk = vk+ dt + dξk

+

n=0 n=1

42

Potentiel d’oscillateur harmonique 3D isotrope

Premier niveau excité: simulation du processus dx = v+ dt + dξ+

Comparaison simulation - prédiction MQ: 10000 pts, 2 géodésiques

Den

sité

de p

roba

bilit

é

Coordonnée x

43

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

Solutions: potentiel d’oscillateur harmonique 3D

44

Simulation de géodésique

Potentiel képlerien GM/r Etat n = 3, l = m = n-1

45 n=3

Solutions: potentiel Képlerien

Polynômes de Laguerre généralisés

46

Applications en astrophysique:!!

- formation et évolution des structures gravitationnelles!

!- effets de « masse ? » manquante"

Auto-organisation et morphogenèse

47

t

t

t

t

t

t

Mouvement: changement d’échelle de temps"

48

Comparaison à la théorie standard de formation des structures"

Théorie standard minimale: Euler-Poisson + continuité + matière noire

Relativité d’échelle: φ = potentiel, ρ = m1 P

Q = « Potentiel noir » ?––> il manifeste la fractalité de même que le potentiel newtonien est une manifestation de la courbure.

49

Bilan d’énergie ––> solution géométrique au

problème dit de « masse manquante » ? "

Cas stationnaire:

Champ central symétrique:

Avec φc = Énergie centrifuge:

50

Système solaire :!systèmes interne et externe"

SI

J

S

U

N

P

m V T M Hun C H Hil

1

4

9

16

25

36

rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9

√a (obs.) a (AU

)

7 49

1

2

3

4

5

6

SE

N

Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)

Predictions (1992)

55 UA

0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol

70 UA

--> Exoplanètes

Kuiper belt

51

Système solaire: !masses des planètes"

IS

J S

UN

P

distance (A.U.)

Outer Solar System

10 20 30 40-3

-2

-1

0

1

2

3

distance (A.U.)

m

V E

M

C

H

Inner Solar System

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0

1

Log(

plan

et m

ass /

ear

th m

ass)

Log(

plan

et m

ass/e

arth

mas

s)

Ref: Nottale, Schumacher & Gay 97

dens

ity

distance to Sun (astronomical units)5 10 15 20 25 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

n = 10

n = 21

n = 11

n = 31

n = 41 n = 51

Inne

r Sol

ar S

yste

m

Jupi

ter

Satu

rn

Uran

us

Nep

tune

Outer Solar System

Hierarchical model of Solar System formation

m V T M

52

Système solaire: Soleil, cycle solaire"

Si le Soleil avait gardé sa rotation initiale: τ serait alors la période képlerienne,

Mais, comme toutes les étoiles de type solaire, le Soleil a été soumis à une perte importante de moment angulaire depuis sa formation (cf. Schatzman & Praderie, The Stars, Springer)

Fonction d’onde:

Période fondamentale:

A la surface du Soleil:

(Pecker Schatzman)

Résultat: Période observée:11 ans Ref: LN, Proceedings of CASYS’03, AIP Conf. Proc., in press

(équateur)

53

Système solaire intramercuriel:!anneaux transitoires de poussières IR"

Observations: Peterson 67, MacQueen 68, Koutchmy 72, Lena et al. 74, Mizutani 84

216 km/s, n=2

144 km/s, 0.043 UA, n=3

51 Peg: exoplanètes

Base:

Ref: Da Rocha Nottale 03

54

Système Solaire externe : ceinture de Kuiper (SKBOs)"

2003 UB 313 (« Eris »)

Validation des pics de probabilité prédits (55, 70, 90, 110 AU, …)

Pluton + KBOs Données 2009

Proba: 2 x 10-4

Repliement sur période attendue

55

Sedna + SKBOs lointains"

2001

FP

185

Sedn

a 20

03 V

B 12

ndss=( a / 57 UA )1/2

SKBO

s

nex=7

Prédit,UA" (57)" 228" 513" 912" 1425" 2052"Observé" 57" 227" 509" 915"

Nom

bre Confirmation:

2 nouveaux objets en n=2, 1 nouvel objet en n=3

2002 GB 32: a=219 2000 CR 105: a=222 2001 FP 185: a=228 2003 VB 12: a=495 2000 OO 67: a=517 2006 SQ372: a=915

2006

SQ

372

56

Exoplanètes (données 2005)"

(P / M*)1/3

Proba: 10-4

57

Exoplanètes (données 2008, N=301)"

4

Prédit (1993), niveau fondamental, 0.043 UA/ Msol

Mer

cure

Venu

s

Terre

Mar

s

Cere

s

Hyg

eia

1! 3! 5! 7! 9!

Nom

bre

(P/M*)1/3

Proba = 10-7

58

Exoplanètes: analyse par spectre de puissance"

276 exoplanètes entre n = 0.7 et n = 8.7 (données 2008) Pic en k = 8 --> période Δn = 1, p = 16, Proba = 1.13 x 10-7 : > 5 σ !

Puiss

ance

59

Exoplanètes: données 2010"Catalogue Wright et Marcy: Exoplanet Orbit Database at exoplanets.org: 362 exoplanètes au 12-04-10.

Ajustement de la constante de couplage gravitationnelle: w0 = 149.3 km/s

Proba 2 x 10-6

(tenant compte de l’ajustement)

Repliage:

Spectre de puissance: 331 exoplanètes entre 0.6 et 8.6 -> pic prévu en k=8. Observé avec puissance p=12 Proba: e-p = 6 x 10-6

- 0.4 - 0.2 0 0.2 0.4Deviation from expected peak

20

40

60

80

100

120

rebmuN

60

Systèmes extra-solaires:!PSR B1257+12"

25 2624 66 67 98 9997

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 110Period (days)

days days days

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C

Refs: Nottale 96, 98, Da Rocha & Nottale 03

Données: Wolszczan 94, 00

Mpsr =1.4 ± 0.1 Msol --> w = (2.96 ± 0.07) x 144 km/s, i.e. 432 km/s = vitesse keplerienne en Rsol

Proba < 10-5 d’obtenir un tel accord par hasard

Prédiction d’autres orbites: P1=0.322 j, P2=1.958 j, P3=5.96 j

Résidus données Wolszczan 00: P = 2.2 j (2.7 σ)

61

Comparaison au système solaire interne"

m V T M

Distance à l’étoile, normalisée par sa masse (MPSR=1.5 Msol). Loi en n^2

62

Planètes autour du pulsar PSR1257+12"

A B C

Base: planète C : aC= 68, nC=8

Planète A: (aA)pred =27.5 <--> (aA)obs =27.503 ± 0.002

(nA)pred =5 <--> (nA)obs =5.00028 ± 0.00020

Planète B, prise en compte quasi-résonance B-C:

(aB)pred =52.474 <--> (aB)obs =52.4563 ± 0.0001

(nB)pred =7 <--> (nB)obs = 7.000– 0.0015 ± 0.00001

δnA/nA= 5 x 10-5 Amélioration d’un facteur 12 (/ 1996)

δnB/nB= 2 x 10-4 Amélioration d’un facteur 2

1 2 3 4 5 6 7 8

63

PSR 1257+12 : Prédiction excentricité"Runge-Lenz --> prédiction théorique e=k/n Mais on a vu que eB et eC varient beaucoup. Par contre, intégrale première eB

2 + K eC2 ?

Transition disque de planétésimaux --> planètes: Contraction : n --> f n (raccordement orbitales): se séparent pour f=6

(1/6)2 [ (1/7)2 + K (1/8)2 ] = 0.001017

(eB2 + K eC

2)obs = 0.001005(18)

A moins de 1 σ --> Nouvelle prédiction :

Kpred = 1.099 ± 0.065 mC/mB = 0.965 ± 0.058 (obs. 0.91 ± 0.10) (obs. 1.03 ± 0.10)

64

Etoiles:!nébuleuses « planétaires »"

Harmoniques sphériques: distribution angulaire de densité de probabilité

65

Etoiles:!nébuleuses planétaires"

Morphologies prévues: angles de probabilité maximale

66

Etoiles:!nébuleuses planétaires"

Da Rocha 2000, Da Rocha & Nottale 2003

67

Etoiles:!éjection et accrétion"

SN 1987A, angle déprojeté : 41.2 ± 1.0 d° angle prédit (l=4, m=2): 40.89 d°

68

Structures galactiques!systèmes d’étoiles, formation"

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

69

Structures galactiques :!étoiles doubles"

100 200 300 400 500 600 7000

20

40

60

80

100

120

140

v (km/s)

Num

ber

289.4 km/s

a/M = (289.4/V)2 Ajustement par polynôme de Laguerre (potentiel Keplerien)

<V>=289.4 ± 3.0= 2 x 144.7 km/s

Catalogue de binaires à éclipse de Brancewicz et Dvorak 80

Ref: Nottale & Schumacher 98, Da Rocha & Nottale 03

70

Structures galactiques :!mouvements propres près du centre

galactique"

72 144 216 288 360 432 504

Num

ber

5

10

15

20

Velocity (km/s)

Données: Eckart & Genzel 96. Ref.: Da Rocha & Nottale 03

71

Structures extra-galactiques:!courbes de rotation des spirales"

0 50 100 150 200 250 300 3500

20

40

60

80

100

120

Num

ber

Rotation Velocity (km/s)

144 km/s

967 spirales, catalogue de Persic & Salucci 95. Ref: Da Rocha & Nottale 03

Ajustement par polynôme d’Hermite (potentiel d’oscillateur, densité constante): Vitesse de pic = 142 ±2 km/s Preuve de la « matière » (énergie) manquante !

72

Structures extra-galactiques:!groupes, formation"

n=0 n=1

n=2 n=2(2,0,0) (1,1,0)

73

Structures extragalactiques:!paires de galaxies isolées"

0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

exp (-v / 100)r

Num

ber

144 km/s 72 km/s 24 km/sGalaxy pairs

Tricottet & Nottale 2001, Da Rocha & Nottale 2003 Da Rocha thèse

74

Méthodes statistiques de déprojection."* Application à la déprojection de vz, x et y :

Les Nv galaxies situées à vitesse v vont se répartir uniformément entre 0 et v –> la distribution projetée est monotone non-croissante et les valeurs de N sont données par les différences de surface:

v1 v2 v3 v4 0 N4

N2

N3

N1

–> la distribution de probabilité de v (déprojetée) est obtenue à partir de la dérivée de la distribution de probabilité de la vitesse projetée vz : Idem pour x et y

75

Reprise 2013: P. Chamaraux + LN"

Vterre=30 km/s

Vexopl=150 km/s

Vbin*=290 km/s

Vsoleil=437 km/s

Modèle de formation / RE : •  Equation de la dynamique + fractalité –> forme Schrödinger •  Principe d’équivalence –>p/m = v quantifié •  Solution : pics de proba pour vn = (2 π G M / P)1/3 = w0 / n

PAIRES DU CATALOGUE UGC (Nilson), Déprojetées -> universalité de structures dans l’espace des VITESSES !

76

Confirmation : déprojection des distances (paires de Nilson)"

Unité: r0 ≈ 5 kpc (niveau fondamental n = 1) Confirmation de structures prédite par RE: vn = w0 / n --> demi-grands axes : √an = √a0 n [3è loi de Kepler: v = (G M /a)1/2 ] Possible seulement si M1+M2=Mpaire ≈ cste (= 10^12 Msol)! --> compatible avec modèle de formation RE…

77

Structures extragalactiques:!amas de galaxies"

Radial velocity

N

5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 90000

2

4

6

8

10

12Coma

A 2634

N

Radial velocity

A576

78

Structures extra-galactiques:!superamas local"

0 20 40 60 80 100

5

10

15

20

Pow

er

Frequency

Radial Velocity (km/s)

36 km/s

432 km/s

30405065100200

2

4

6

radial velocity difference (km/s)50 100 150

1

3

5

Num

ber

Analyse des données de Guthrie-Napier 96 : Da Rocha & Nottale 03

la théorie de la relativite dʼechelle et ses applications

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