Economie Theorique-1-

Incertain ; Coordination ; Mecanismes et incitations-

Decisions en entreprise et sur les marches financiers

-M2 Economiste d’Entreprise - Arnold Chassagnon, Universite de TOURS, PSE - Hiver 2016

Preambule

Ce cours presente les problemes de decisions et de coordinationsdans les entreprises et sur les marches, tels qu’ils sont percus dansla litterature economique recente, avec une emphase plusparticuliere sur les aspects financiers, afin que l’analyse et lacomprehension de la theorie et de la pratique de la finance puisseeclairer et aider vos prises de decisions futures.

Ce cours abordera en particulier la question des moyens definancement externe en se concentrant plus particulierement sur lesaspects institutionnels de l’acquisition du capital. La structure ducapital d’une firme est etudiee en detail, en evoquant en particulierles imperfections de marches comme les impots, les problemesd’agence et la dynamique de l’information.

Asymetries d’information & finance d’entreprise

“L’asymetrie d’information sur les marches financiers a ete lasource de deux voies de recherche bien distinctes. La premiere(initiee par Bhattacharya, 1979 ; Ross, 1977 ; Leland et PyIe,1977...), essentiellement preoccupee par les asymetriesd’information existant entre les investisseurs et les entrepreneurs,etudie comment il est possible de resoudre ces asymetries enutilisant la theorie des signaux.

La resolution de l’asymetrie d’information passe alors, en general,par l’utilisation de variables etrangeres au marche (les dividendes,la part personnelle investie dans son projet par l’entrepreneur, etc..)qui permettent aux agents non informes d’obtenir des informationssur la valeur du projet dans lequel ils doivent investir.”

La seconde voie . . .

La seconde voie de recherche (initiee par Grossman, 1976) etudieles asymetries d’information entre investisseurs. Elle s’attache amontrer, en utilisant les concepts developpes par la theorie desequilibres en anticipations rationnelles, que le prix d’un titrefinancier peut permettre de resoudre les asymetries d’informationexistant entre les agents ayant acces a des informations privilegieessur la valeur du titre (les inities) et les autres agents (les agentsnon informes).

Les projets (business)

Tout projet comporte trois etapes : l’investissement, le financementde l’investissement, la remuneration de l’investissementdont l’objet est la recherche du plus grand profit

Contrats financiers et chaines de decisionsDans la pratique, vous rencontrerez des contrats financiers deja envigueur. Il est important de savoir analyser leur genese.

Qu’est-ce qu’un contrat financier ?

I un contrat financier est le detail de l’un des troismoments (decision d’investir, financement del’investissement, remuneration de l’ensemble) oude l’ensemble d’un projet economique.

Quels sont les determinants des contrats financiers ?⇒ Quelles sont les rationalites a l’oeuvre ?

I cad quels sont les degres d’interaction entre lesagents economiques

I cad quelles sont les anticipations des agents etles information dont ils disposent

Quelle est la rationalite des decisions economiques ?

l’homme auquel on s’interesse a des comportementshumains, rationnels et efficaces.

I Dans la connaissance de ses contraintes,l’individu choisit au mieux en fonction de sesobjectifs

L’equilibre decrit le resultat attendu des interactionsquand il y a plusieurs agents en presence.

I L’analyse de l’equilibre differe selon qu’onconsidere des agents plus ou moins elabores,

I c-a-d selon le degre d’anticipation des agents,selon l’information dont ils disposent

Trois branches de l’analyse economique

EquilibreGeneral

theorie des prix

Equilibrede Nash

. . .des interactions

Echanged’information

. . .de l’agence

. . .de la cooperation

Equilibre general

On fait l’hypothese en equilibre general que lesdecideurs poursuivent des objectifs bien definis et qu’ilsprennent en compte leurs anticipations qui concernentles prix presents et a venir dans l’economie.

On dit qu’on est a l’equilibre quand les prix sont “stables”,cad quand l’offre egale la demande.

I la valeur des actifs est celle qui equilibre les marches

I on considere l’equilibre sur tous les marches(marches des biens ET marches financiers)

I en particulier, il n’y a pas d’arbitrage possible ⇒differents moyens de financement sont equivalents

I les prix (et les valeurs des actifs) integrent seulementles fondamentaux du marche : les caracteristiquesde la production et de la demande de consommation

Theorie des jeux

On fait l’hypothese en theorie des jeux que lesdecideurs poursuivent des objectifs bien definis et qu’ilsprennent en compte leurs savoirs et leurs anticipationsconcernant les decisions des autres joueurs.

On dit qu’on est a l’equilibre quand aucun agent n’ainteret a devier de ses choix, de maniere unilaterale

I c’est la definition de l’equilibre de Nash

I ’a distinguer de toute consideration d’efficacite)

I le recours a la theorie des jeux suppose desinteractions strategiques entre les agents

I ces interactions strategiques apparaissent quandon prend en consideration des ingredients del’economie autres que les fondamentaux

Anticipations, informations exogenes et endogenes

Les decisions des joueurs dependent des informationsdont ils disposent. Quand les agents disposent d’infor-mation differentes, on distinguera generalement troistemps de cette information :

- ignorance - ex ante - ex post

Derriere le voile del’ignorance, l’info.est symetrique,θ ∈ F (θ)

Un agent qui aun avantage in-formationnel ap-prend son info, θ

Le marche reagit, etsouvent, conduit areveler cette infor-mation privee

Typiquement, ex ante les agents peuvent avoir uneinformation privilegiee exogene, mais ils perdent cetavantage ex post a l’equilibre economique. L’info de-vient publique ou endogene.

Plan du cours

0. Preambule : contrats financiers dans un mondeimparfait : les outils de l’analyse.

1. Rappels brefs de la theorie des prix

2. Premiers elements de theorie des jeux

1. Microeconomie et theorie des prix

Tout modele (microeconomique) de l’equilibre sur tous les marchesanalyse l’economie en cinq etapes :

I Caracteristiques des agents : consommateurs et firmes ;

I Actions : choix des variables de quantite suivant les objectifs ;

I Modes d’interaction : actions coordonnees par les prix (=info) ;

I Resultats : prediction sur le niveau des prix (et des quantites) ;

I Les enonces normatifs : analyse du bien etre et politiques eco.

Agents & leur info & leurs choix de variables

Les consommateurs

sont incertains sur leurs revenus futurs

achetent des loteries continues ou discretesconnaissent imparfaitement les prix futurs

I Leur bien etre est calcule comme une esperance d’utilite.Ainsi, s’ils achetent une loterie qui avec proba identique vaut 0ou 100, leur esperance d’utilite est U = 0, 5u(0) + 0, 5u(100).

Prime de risque pour une telle loterie quand u(x) =√x ?

Les firmes

recherchent le profit le plus eleve en incertain

anticipations imparfaites des prix futurs et/ou la demande

conflits d’actionnaires = divergences d’analyses

I Les dividendes sont une loterie, evaluee selon les regles EU ;parfois, on considerera E (Π) et non E (U(Π)).

Quelques resultats de reference en finance

Tous les prix sont connus a l’equilibre et il n’y a pasd’opportunite d’arbitrage

Si un actif financier se decompose comme la somme de deuxautres actifs, son prix a l’equilibre est egal au prix des deuxautres actifs

Le prix du financement d’un projet est egal au prix de l’actifqui replique les differents flux de ce projet : d’ou le theoremed’equivalence entre les prix des differents types de financement

Le prix d’une firme est egal a la somme actualisee de sesdividendes futurs

Le contexte de ces resultats : une hypothese centraleles prix et la description des actifs (y compris de tous lesetats de la nature & de leur probabilite d’occurence) sontconnaissance commune de tous les acteurs de l’economie.

2. Elements de theorie des jeux

I Description d’un jeu

I Representation sous forme extensive d’un jeu

I Representation sous forme normale d’un jeu

I Elimination des strategies fortement dominees

I Equilibre de Nash (existence, efficacite, strategies mixtes)

I Equilibre Bayesien (developpe dans le prochain chapitre)

Le cadre de la theorie des jeux

Un jeu est une representation formelle d’une situation dans laquelleun certain nombre d’individus rationnels doivent prendre desdecisions qui les affectent mutuellement. Ces individus sont soumisa une interdependance strategique, c’est-a-dire que le sort dechaque joueur ne depend pas seulement de ses propres actions,mais egalement des actions des autres joueurs. Des lors, les actionsque choisit un individu dependent de ses anticipations sur lesactions des autres.

Un jeu est decrit par

I la liste des joueurs

I les regles du jeu, cad les actions et les interactions

I les resultats du jeu dans les differentes situations

Exemple

Jeu de la Corde (VAYDAY) ou des gladiateurs

Deux joueurs, de caracteristique identique, postes de chaque coted’une corde doivent choisir le niveau d’effort qu’ils doivent fournirpour l’emporter. L’effort, e, est compris entre 0 et 1 (e ∈ [0, 1]).On notera ea et eb les efforts respectifs fournis par les deux joeursLeur paiments sont les suivants :

I S’ils gagnent : 1− e

I Si ex eaquo : max(1

2− e, 0)

I S’ils perdent : 0

Trouver l’equilibre UNIQUE de ce jeu. Interpreter, en considerantle cas ou 0 signifie la mort.

jeux sous forme extensiveUn jeu est sous forme extensive quand il est represente comme un arbre.Chaque action est representee par une branche. Chaque branche est issued’un noeud gere par un (et un seul) joueur. Un arbre commence en unnoeud appelle noeud initial et se caracterise par la propriete suivente :tout noeud est relie au noeud initial par un seul chemin forme debranches et de noeuds. Des utilites sont associees a chaque noeudterminal de l’arbre.

information dans les jeux sous forme extensiveUn jeu est dit a information parfaite si au moment de jouer, tous lesjoueurs sont informes de l’action qui a ete choisie precedemment par leurrival.

Le concept d’ensemble d’information permet de formaliser l’informationimparfaite. Formellement, un ensemble d’information est unsous-ensemble des noeuds de decision d’un joueur. Les ensemblesd’information d’un joueur forment une partition des noeuds geres par cejoueur. L’interpretation est qu’un joueur ne peut distinguer les noeudsdeun meme ensemble d’information. Les actions disponibles en chaquenoeud d’un meme ensemble d’information sont donc identiques.

jeu sous forme normale (sous forme strategique)

Un concept central de la theorie des jeux est celui de strategie d’unjoueur. Une strategie est un plan contingent complet, une regle dedecision qui specifie le choix du joueur dans toutes les circonstancesdans lesquelles il pourrait avoir a choisir une action. En d’autrestermes, la strategie d’un joueur est une planification du choix deses actions a chacun de ses ensembles d’information. Specifier unestrategie, c’est comme ecrire un livre d’instructions avant de jouer,qui permette de deleguer ses choix. Un representant pourrait agirau nom d’un joueur, en toutes circonstances, en consultant le livre.

Exemple

Dilemne du prisonnier

Deux hommes sont arretes dans une situation louche, et la policeveut les faire avouer. S’ils avouent tous les deux, ils vont en prisonpendant une annee, s’ils nient en bloc, ils sont relaches. Si l’un desdeux avoue seulement, il est relache, avec une prime, et l’autre estemprisonne pendant dix annees. On represente ce jeu en decrivantles benefices dans ces quatre situations :

A N

a -1,-1 +1,-10

n -10,+1 0,0

Trouver les strategies d’equilibres de ces deux hommes, s’ils sontinterroges dans des pieces differentes, sans pouvoir communiquer,tout en connaissant les regles du jeu.

Quelques equilibre de Nash

Calculer les equilibres de Nash du jeu lorsque les espaces destrategies pour les deux joueurs sont S1 = S2 = [0, 1] avec lesfonctions de payoff suivantes :

a)g1(x , y) = 5xy − x2 − y2 + 2g2(x , y) = 5xy − 3x2 − 3y2 + 5

b)g1(x , y) = 5xy − x − y + 2g2(x , y) = 5xy − 3x − 3y + 5

c)g1(x , y) = −2x2 + 7y2 + 4xyg2(x , y) = (x + y − 1)2

d)g1(x , y) = −2x2 + 7y2 + 4xyg2(x , y) = (x − y)2

Elimination des strategies fortement dominees

On dit qu’une strategie d’un joueur est fortement dominee, s’il existe uneautre strategie qui lui donne un plus grand payoff, quels que soient lesactions des autres joueurs

Si un ensemble de strategie resulte de l’elimination des strategiesdominees de tous les joueurs c’est un equilibre de Nash :

I cf. le dilemne du prisonnier

Remarquons que l’elimination iterative des strategies strictement dom-inees repose sur l’hypothese de connaissance commune des utilites et dela rationalite des joueurs. L’elimination des strategies strictementdominees necessite seulement que chaque joueur soit rationnel, alors quel’elimination iterative des strategies strictement dominees que nousvenons d’effectuer necessite non seulement que le joueur 2 soit rationnel,mais egalement que le joueur 1 sache que le joueur 2 est rationnel.

Non existence ou multiplicite

Pierre, ciseaux, feuilleCiseaux coupent feuille, qui emballe pierre, qui casse ciseaux:

P C F

p 0,0 -1,1 +1,-1

c -1,+1 0,0 +1,-1

f +1,-1 -1,+1 0,0

Pas d’equilibre

Bataille des sexesMari et femme doivent se retrouver au spectacle, mais ils ne saventpas si c’est au Theatre ou a la Boxe, et ils ne peuvent communiquer :

T B

t 3,2 1,1

b 1,1 2,3

Deux equilibres.

Existence d’un equilibre de Nash

L’existence d’un equilibre de Nash dans un jeu est liee a l’existence d’unpoint fixe dans la correspondance de meilleure reponse. Les theoremes depoints fixes permettent ainsi de caracteriser les situations dans lesquellesun equilibre existe. Le resultat le plus communement utilise est lesuivant :

Theorem

1. Dans un jeu fini, il existe toujours un equilibre de Nash, au moins enstrategie mixte

2. sinon, dans le cas general il existe un equilibre de Nash

• Si les ensemble de strategies sont des convexes, compacts,• Si les fonctions de paiement sont quasi-concaves et continues,

Equilibre de Nash en strategie mixteUn joueur de football qui tirerait les penaltys toujours du meme cote, un joueurde tennis qui servirait toujours du meme cote, ne se comporteraient pas defacon tres intelligente car leurs adversaires anticiperaient leurs actions etpourraient les contrecarrer facilement. Dans de telles situations, il est essentielde se comporter comme si le hasard determinait l’action.

Une strategie mixte est une distribution de probabilites sur des strategiespures (i.e., pour le joueur i , sur Si ). Une strategie pure si ∈ Si est doncune strategie mixte correspondant a une distribution de probabilitesdegeneree, i.e., qui donne une probabilite 1 a si et 0 a toute autrestrategie.

jeu du penalty, entre le goal (1) et le buteur (2)

p(G ) = β p(D) = 1− βp(g) = α 1,-1 -1,1

p(d) = 1− α -1,1 1,-1

I Trouver les strategies mixtes qui forment un equilibre de Nash.α = 0 ou β = 0 conviennent-ils ?

Exemple de la guerre des prix

60 18 q

220$

500$

pSupposez qu’American et Deltafont face a la demande suivante,qu’ils se partagent egalement lemarche lorsqu’ils offrent le memeprix et que le cout unitaire d’unvol est de 200$. Quels sont lesequilibres sur ce marche ?

pA = 500$ pA = 220$

pD = 500$ 9000,9000 3600,0

pD = 220$ 0,3600 1800,1800

Un equilibre de Nash en strategie dominante,

Un equilibre de Nash en strategie mixte

Transformer une histoire en un jeuSoit l’histoire suivante :

Un pieton qui ne traverse pas au passage cloute dans un pays ou lesautomobilistes ont un comportement peu civilise resout un problemeelementaire en theorie des jeux, dans la mesure ou il anticipecorrectement le comportement vraisemblable des autres. Reciproquement,il en va de meme pour l’automobiliste peu courtois qui s’attend a cequ’un pieton ne traverse pas lorsque sa voiture approche d’un passagecloute, etant donne la mauvaise reputation des automobilistes dans lepays. En definitive, chacun d’entre nous est quotidiennement impliquedans des situations relevant de la theorie des jeux.

Decrire un jeu et l’equilibre (en strategie mixte) correspondant quidecrit cette situation entre le pieton et l’automobiliste, en appellant p laprobabilite que le pieton traverse le passage cloute a l’approche du voitureet q la probabilite que la voiture ne s’arrete pas au passage cloute.

Les payoffs (pieton, voiture) sont les suivants : si le pieton traverse et quela voiture passe (-1, α) ; si le pieton traverse et que la voiture ne passepas (1,0) ; si le pieton ne traverse pas et que la voiture passe (0,1) ; si lepieton ne traverse pas et que la voiture ne passe pas (0, 0).

2. Elements d’economie de l’incertain

I Representation objective du risque

I Representation subjective du risque

I Partage du risque avec un agent neutre au risque

Distributions du risque

Distributions discretesIl y a un nombre fini d’evenements possibles i ∈ I, chacun avecprobabilite pi . Cette association a chaque evenement de saprobabilite, c’est ce qu’on appelle la distribution des risque. Cettedistribution satisfait toujours la contrainte

∑i∈I

pi = 1

100

50

0

1/3

1/2

1/6

Distributions continuesIl y a un nombre infini, voire continu d’evenements possibles :chacun, pris isolement apparaıt avec une probabilite nulle. Lafonction de repartition decrit le poids relatif des evenements defaible gain par rapport aux evenements de gains plus eleves.

F (x) = Prob(X ≤ x)

Fonctions de repartition

1

x

F (x)

u0

p

Figure: deux fonctions de repartitions : F et G

Statistiques

Moyenne∑

i probabilites * richessesdans l’exemple precedent, moyenne=50

Variance une mesure de la distance a la moyenne.exemple : la distribution A a une plus grande varianceque la distribution B.

75

25

100

0VAR(B) ≤ VAR(A)

1/2

1/2

1/2

1/2

Modes represente le/les evenements avec la plus grande pro-babilie

Fractiles Divise la population en classes egales, representees parune richesse pivot.

Statistiques - Pour aller plus loin

Il y a en fait deux familles de statistiques :

les statistiques de position dont l’objectif est de donner un ordre degrandeur des valeurs observees

les statistiques de dispersion qui evaluent le niveau d’etalement dela serie autour de la valeur centrale.

Les parametres de position (ou valeurs centrales) sont des valeursnumeriques qui � resument � une serie statistique en caracterisantl’ordre de grandeur des observations. Ils s ?expriment dans la memeunite que les observations. Les parametres de position permettentde situer la position de plusieurs series comparables. Lorsque ladistribution est parfaitement symetrique, mode, moyenne etmediane sont confondues.

x

n

Figure: Les deux courbes ont la meme allure, mais ne se positionnentpas du tout au meme endroit sur l’axe des valeurs (des modalites). Lesparametres de position le mettent clairement en evidence.

Moyenne arithmetique d’un ensemble de N nombres

DefinitionLa moyenne arithmetique de N nombres est egale a la somme deces nombres divisee par leur nombre.

x =1

N

∑i

xi

Exemple simple

3 individus, gagnent respectivement 10.000 euros, 20.000 euros et30.000 euros. La moyenne de leur revenu est 20.000 euros.

Remarque

La moyenne arithmetique est exactement la quantite qui pourraitetre identiquement distribuee a chaque individu. En effet, la

consequence directe de la definition de x est : N x =1

N

∑i xi .

Moyenne arithmetique d’une distributionDans le cas d’une distribution, il faut prendre en compte lafrequence d’apparition de chacune des realisations.

Cas discret : a partir du tableau de frequences

Une variable X prend les valeurs xi avec la frequence fi pouri = 1, . . . ,N. La moyenne de cette variable est

X =∑i

fi xi

la comparaison avec la formule du transparent

precedent est immediate.1

Nest remplace par la

frequence (individualisee) de chaque realisation fi .

Cas continu : a partir de la fonction de distribution

Un variable X est definie par sa fonction de distribution f (x), samoyenne est

X =

∫ +∞

−∞x f (x)dx

Distribution representee comme un bruit blanc autourd’une moyenne

Quand il n’y a pas trop de dispersion autour de la moyenne, il estassez naturel de representer une distribution comme etant unevaleur certaine autour de laquelle il y a un bruit blanc.

Definition Un bruit blanc est une variable aleatoire ε dont lamoyenne est nulle (E (ε) = 0) dont les realisations sont faibles enregard de la valeur (de position) x .

Exemple Soit la variable aleatoire A suivante, on peut la representercomme la somme de sa moyenne et du bruit blanc ε = A− E [A] :

50, 3

50, 1

1/2

1/2

= 50, 2 +0, 1

−0, 1

1/2

1/2

A ε

Tout se passe comme si un agent qui etait expose au risque representepar A recevait la valeur sure 50,2, dans un premier temps, cad lamoyenne, et qu’avec egale probabilite, il perde (ou il gagne) a partir decette valeur sure -0,1 (ou +0,1).

Le mode, defini pour toute variable aleatoireLe mode d’une variable qualitative ou quantitative discrete :modalite dont la frequence (absolue ou relative) est la plus elevee.Dans le cas ou une variable continue a ete regroupee en classes, lemode est la classe dont la frequence est la plus elevee.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

1 2 3 41.9

Dans l’exemple ci-dessus, le mode de la variable discrete est 2, celui de lavariable continue, 1.9.

Les quantiles : separer une distribution en parts egalesLorsque la variable est ordonnee, si elle est continue, et parfoismeme quand elle est discrete ordonnee, on cherche a representerles differentes parties d’une distribution. On nomme quantiles lesvaleurs qui permettent de separer la distribution en parts egales.L’operation varie avec le nombre de parts.

Dans le cas d’une separation enquatre, les quartiles sont les va-leurs qui partagent la distibutionen 4 parties de 25%.

Dans le cas d’une separation endeux, la mediane est la valeur quipartagent la distibution en 2.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Q2Q1 Q3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Me

Le quantile, defini pour les variable ordonnees

Definitionles quantiles sont les valeurs de la variable partageant la serieclassee par ordre croissant de la variable en k sous-ensemblesegaux.

k = 2 c’est la mediane Me

k = 4 c’est les quartiles Q1,Q2,Q3

k = 10 c’est les deciles D1,D2,. . .,D9

k = 100 c’est les centiles C1,C2,. . .,C99

Calcul du nieme quantile (n < k)

I Classer les donnees en ordre croissant, et calculer lesfrequences cumulees F (x)

I Si ∃xi / F (xi ) = n/k : le nieme quantile est xi .

I Si ∃xi−1, xi / F (xi−1) < n/k < F (xi ) : le nieme quantile estxi . On peut parfois considerer l’intervalle ]xi−1, xi ] ou en fairela moyenne de xi−1, xi (dans le cas de la mediane, on parled’intervalle median).

Exemple

Modalite Effectifs Frequences Freq. cumulees Qi

2 1 0.1 0.1

3 3 0.3 0.4 0.25

4 4 0.4 0.8 0.5 ; 0.75

6 2 0.2 1

Total 10 1

Dans la pratique, il faut trouver les modalites dont la frequence cumuleeest “juste au-dessus” de 0.25, 0.5, 0.75

Prouver dans l’exemple suivant que le nombre d’enfants median est 2

nb enfants 0 1 2 3 + de 3Effectifs 2 1 4 2 1

2

Evaluations du risque

Comparaisons - FSDCertaines comparaisons admises par tous sont robustes. Ainsi, onpreferera la loterie B a la loterie A si l’utilite des agents estcroissante avec la richesse dans chaque etat de la nature.

175

25

100

0B A

1/2

1/2

1/2

1/2

Definition : On dira qu’une distribution domine une autredistribution suivant le critere de dominance stochastique de premierordre si cette distribution remunere plus tous les etats de la nature.

cependant, ce critere est loin de permettre de classer toutes lesloteries. Ainsi, il sera implossible d’etablir suivant ce critere unordre de preference entre la loterie B et le revenu certain de 50.

Recherche d’un Critere de preference

Pour comprendre le comportement d’un agent, et plus precisementles choix qu’il fait lorsqu’il doit choisir entre plusieurs loteries A etB, on essaye d’etablir un critere de notation des differentes loteries.

Selon quels types de criteres les agentseconomiques classent-ils les loteries ?

Critere Moyenne - Variance

Critere lexicographique

Une plus grande esperance de revenu satisfait l’agent

Une moins grande variance de revenu satisfait l’agent

U(X ) = E (X )− β

αV (X )

Esperance d’utilite

DefinitionPlutot que de prendre l’esperance de la lotterie, tout se passecomme si l’agent appreciait les differents revenus a travers unfiltre. Ainsi, l’agent voit le revenu x a travers son utilite ressentieu(x). Son critere d’evaluation est l’esperance de ces utilites.

U

x

y

z

1/3

1/2

1/6

=1

3u(x) +

1

2u(y) +

1

6u(z)

(EU suite) Utilite marginale decroissante pour la richesseEn general, on estime que la fonction u(x) Von NeumannMorgerstern est concave.

Cette fonction d’utilite VNM permet de representer ce que l’onobserve souvent a travers les choix des agents, a savoir l’utilitemarginale decroissante pour la richesse

x u(x) =√x u(x) = ln(x)

100 10 2,301000 31,63 4,6010.000 100 6,91100.000 316,23 9,21106 1000 11,51

Un accroissement de richesse genere un accroissement d’utilite quiest en relation inverse de la richesse deja accumulee.

Equivalent Certain

Definition : On appelle equivalent certain d’une loterie, la sommed’argent detenue de maniere certaine qui donne la meme utiliteque la loterie

Il est a noter que ce l’equivalent certain definit un critere universelde classement des loteries. Mais la encore, connaıtre l’equivalentcertain donne moins d’information que la connaissance de ladistribution elle-meme.

2 remarques :

- L’equivalent certain d’une loterie peut-etre calcule quand onconnait la forme des preferences d’un individu.- Les parametres des preferences d’un individu donne peuvent etrescalcules quand on connait l’equivalent certain de quelques loteriespour cet individu.

Prime pour le risqueCette fonction d’utilite VNM permet de mesurer ce que l’agent estpret a payer pour echapper au risque. Ce que l’on appelle la primede risque, c’est a dire la difference entre le gain espere, etl’equivalent certain (ou monetaire) de la lotterie.

π = E (L)− EC

Exemple

Supposons que la VNM d’un agent soit u(x) =ln(x) et que cet agent soit expose a la lotterie

150

50

1/2

1/2

Sa richesse esperee est 100

Son utilite est1

2ln(150) +

1

2ln(50) = 4, 661

Or 4, 661 = ln(76, 6)

Sa prime de risque est donc 100− 76, 6 = 13, 4.

Que se passe t’il quand le risque est petit ?

Que signifie un petit risque ou plus communement valeur connue a

quelque perturbation pres ? Il s’agit de situations ou une variable future

n’a pas une realisation x connue de maniere sure, mais une valeur x + ε

ou ε est une petite perturbation autour de x . En toute logique, on

represente cette situation avec ε dont la moyenne est nulle et ou les

realisation de ε sont petites.

Definition Un bruit blanc est une variable aleatoire ε dont lamoyenne est nulle (E (ε) = 0) et dont les realisations sont faiblesen regard de la valeur (de position) x .

Prime pour le risque quand le risque est petitIl est possible de faire une approximation de la prime pour le risquequand le risque est petit.

Proposition La prime de risque associe a un bruit blanc ε devariance σ2, lorsque la valeur principale (ou moyenne) est x peut

etre approximee par η = 12A(x)σ2, ou A(x) = −u′′(x)

u′(x)designe le

coefficient d’aversion absolue pour le risque.

Remarquer que selon cette formule le calcul de la primede risque est simple : la prime est lineaire avec lavariance du risque

Remarquer que plus A(x) est grand, plus la prime derisque est elevee

Remarquer enfin que A(x) depend de la derivee se-conde de la VNM, cad de la curvature de la VNM :plus la fonction est concave, (plus elle aplatit les hautrevenus), plus la prime de risque est elevee

Approximation de la prime de risque quand le risque estpetit (PREUVE de la proposition precedente)

Nous allons faire des approximations de l’utilite d’un agent exposeau risque “autour de x”

(1) Si η est la prime de risque : u(x − η) ≈ u(x)− η u′(x)

(2) Pour toute realisation de ε = u(x+ε) ≈ u(x)+εu′(x)−12 (ε)2u′′(x)

(3) En moyenne donc : E [u(x + ε)] ≈ u(x) + E [ε]u′(x)−12E [(ε)2]u′′(x) = u(x)− 1

2σ2u′′(x)

et donc, si on egalise l’equation (1) et l’equation (3)on trouve :

(4) η = 12

−u′′(x)

u′(x)σ2

Degre d’aversion au risque

Vous disposez d’une richesse de 100 et faites face au risque degagner ou perdre 50 avec egale probabilite. Soit π ce que vous etespret a payer pour echapper au risque.

Degre d’AR π0 00.01 13.44 37.8

10 46.0

Decrire les positions risquees que vous avez si vous contractez uneassurance au prix de la prime de risque.

Coefficient d’aversion absolue pour le risque

Comme il a ete defini plus haut, l’AVERSION ABSOLUE POURLE RISQUE au sens de ARROW-PRATT est un coefficient quidepend de l’ordre de grandeur du risque que l’on subit. Il se definitcomme :

A(x) =−u′′(x)

u′(x)

Remarquer que ce coefficient est POSITIF quand lafonction u(·) est concave

Remarquer que ce coefficient varie avec x : cela signifieque quand la richesse varie, le comportement face aurisque varie.

Dans les exemples standards, on verra que A(x) estdecroissante avec x : plus les agents sont riches, moinsils sont averses au risque.

Aversion decroissante avec la richesse

Exemple

Supposons que la VNM d’un agent soit u(x) =ln(x) et que cet agent soit expose a la lotterie

150

50

1/2

1/2

Comment votre prime de risque evolue si votre richesse initiale estde 1000 ?

Comment votre prime de risque liee au risque de gagner ou perdre50 avec egales probabilites evolue si votre richesse passe de 100 a1000 ?

Il est communement accepte que celle-ci decroıt.

Partage du risque quand il y a un agent neutre au risquedans l’economie

THEOREME : Quand il y a un agent neutre au risque dansl’economie, il prend tout le risque de l’economie, et il permet atous les autres agents d’echanger leur risque contre unedistribution certaine.

Tout se passe comme si l’agent neutre au risque jouait le role d’unassureur dans l’economie, comme developpe dans les transparentssuivants.

Partage du risque entre assureur et assure

Le modele standard d’assurance represente le partage de risqueentre un assureur neutre au risque et un assure, expose au risqueet averse au risque.

100

50

0

1/3

1/2

1/6

x

y

z

1/3

1/2

1/6

Bilan des assureurs100− x

50− y

0− z

1/3

1/2

1/6

Tout se passe comme si l’assureur

prenait a son compte la dotation de

l’agent et qu’il donnait en retour la

lotterie finale (ce qui est recu dans

chaque etat de la nature) a l’agent.

Les points de vue de l’assureur et de l’assure

L’assure averse au risque, a un critere,

U

100

50

0

1/3

1/2

1/6

≤ U

x

y

z

1/3

1/2

1/6

il accepte l’echange s’il en obtient une plus grande utilite

Les assureurs neutres au risque definissent la faisabilite,

0 ≤ E

100− x

50− y

−z

1/3

1/2

1/6

ils acceptent l’echange si l’esperance de leur bilan n’est pas negative

Le contrat optimal d’assurance

DefinitionLe contrat optimal, c’est la lotterie (x , y , z) qui donne la plus grande

satisfaction aux assures, tout en respectant les criteres de faisabilite de

l’assureur.

FaisabiliteL’esperance de revenu de la lotterie obtenue doit etre moindre que l’esperancede revenu de la lotterie que l’agent abandonne.

1

3x +

1

2y +

1

6z ≤ 1

3100 +

1

250 +

1

60 = 48, 33

Satisfaction de l’agentQuelle que soit la lotterie, Il lui prefere toujours son esperance. (JENSEN)

1

3u(x) +

1

2u(y) +

1

6u(z) ≤ u

(1

3x +

1

2y +

1

6z)

On propose a l’agent le revenu certain x = y = z = 48, 33

Assurance optimale

On parle alors d’assurance pure et parfaite des lors que l’agentobtient le meme revenu dans tous les etats de la nature a un prixactuariellement juste.

Remarquez qu’un contrat d’assurance pure et parfaite

1. implique qu’il n’y a pas de franchise ;

2. est actuariellement juste : la moyenne de ce qui est obtenu est lamoyenne de la lotterie auquel l’agent etait expose ;

3. beneficie positivement a ce dernier, qui etait predispose a payer une primede risque pour se debarrasser de son exposition au risque.