Travaux diriges de thermodynamique

IUT - GTE - Marseille

2012-13

1 Chapitre 2 : le gaz parfait

Exercice 1 Combien y a t-il de molecules dans un volume de 1 cm3 d’un gaz parfait pris dans lesconditions normales de temperature et de pression ?

Exercice 2 Pour donner un sens au nombre d’Avogadro, on considere du sable fin dont chaquegrain occupe un volume V0 = 0.1 mm3. Quel est le volume V occupe par N = 6× 1023 grains ? Si onetendait uniformement ce sable sur la France (d’aire S = 550000 km2), quelle serait la hauteur de lacouche de sable ?

Exercice 3 Quelle est la masse d’air contenue dans une piece de 5 × 3 × 3 m3, a 20C, sous 1atmosphere ? On rappelle que la masse molaire de l’air est M = 29 g/mol.

Exercice 4 Calculer le volume molaire du dioxygene (O2) sachant que sa densite par rapport a l’airest de 1, 1056 et que la masse volumique de l’air est 1.293 kg/m3.

Exercice 5 Quel est le volume occupe par :– 1 mole de diazote gazeux N2 dans les conditions normales,– 1 mole de diazote liquide,– 1 mole de diazote solide.

La masse molaire du diazote est de 28 g/mol, sa masse volumique a l’etat liquide est de ρliquide = 0.808g/cm3 et sa masse volumique a l’etat solide de ρsolide = 1.026 g/cm3. L’inegalite ρsolide > ρliquide

vous paraıt-elle normale ? Donnez un exemple de corps pur pour lequel elle soit fausse.

Exercice 6 Considerons l’helium gazeux He de masse molaire MHe = 4 g/mol, dans les conditionsnormales de temperature et de pression.

1. Calculer la masse volumique de l’helium.2. Calculer la densite de l’helium par rapport a l’air sachant que la masse d’un litre d’air dans les

conditions normales est de 1.293× 10−3 kg.3. Calculer le volume occupe par un atome d’helium ; quelle est la dimension caracteristique d’un

atome d’helium ?4. Quel est le volume moyen occupe par un atome d’azote gazeux dans les memes conditions ?

Exercice 7 Dans un gaz diatomique a basse temperature, des molecules se dissocient en atomesquand on eleve la temperature. Soit α la proportion des molecules dissociees par rapport aux moleculesinitiales. Etablir l’equation d’etat du melange, en fonction de la masse molaire M du gaz non dissocie,de sa masse m et du coefficient de dissociation α. Calculer α pour le diode I2 a 1200C sachant quele volume d’un gramme d’iode sous pression normale a 1200C est de 540 cm3. On donne MI2 = 254g/mol. On considere le diode (et l’iode) comme etant un gaz parfait.

Exercice 8 Une enceinte de volume indeformable V = 5 litres contient, a la temperature T = 300K, n = 0.2 mole de diazote gazeux. Calculer l’energie cinetique moyenne de translation, le nombre demolecules de diazote, l’energie interne, la vitesse quadratique moyenne et la pression du gaz. On donnepour cela : k = 1.38 × 10−23 J/K, R = 8.314 J/K/mol et la masse molaire du diazote MN2 = 28g/mol.

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Exercice 9 La pression d’un pneumatique est ajustee l’hiver, pour −10C, a 2 atm, pression relativepreconisee a froid par le constructeur. Quelle pression indiquerait alors un manometre, l’ete pour30C ? Sachant que le conducteur est capable de ressentir les effets nefastes d’un ecart de pressionde 10%, doit-il tenir compte du changement de saison pour le gonflage des pneus ? On negligera lesvariations de volume. Attention, la pression lue sur le manometre est ici une pression relative.

Exercice 10 Calculer la masse molaire de l’air. On considere que 23.2% de sa masse est constitueede dioxygene (O2), que 75.4% est constituee de diazote (N2) et que 1, 4% est constituee d’argon (Ar).On rappelle les valeurs des masses molaires du dioxygene MO2 = 32 g/mol, du diazote MN2 = 28g/mol et de l’argon MAr = 40 g/mol.

Exercice 11 Un melange de diazote (MN2 = 28 g/mol) et de dioxygene (MO2 = 32 g/mol) a lamasse volumique 1 g/l a 100C et 1 atm. Quelle est sa composition en fractions molaires ?

Exercice 12 Trois recipients contiennent respectivement du dihydrogene H2, du dioxygene O2 etdu diazote N2 dans les conditions suivantes : H2 (V1 = 2.25 l, P1 = 250 mmHg, T1 = 293 K), O2

(V2 = 5.5 l, P2 = 250 mmHg, T2 = 293 K) et N2 (V3 = 1.4 l, P3 = 760 mmHg, T3 = 273 K).

1. Calculer les masses de chaque gaz en les supposant parfaits. On rappelle que 1 atm corresponda 760 mmHg ou 101325 Pa.

2. On melange les gaz dans un meme recipient de volume V0 = 18.5 l a la temperature T0 = 273 K.On suppose que le melange ainsi forme est ideal. Calculer la pression totale, la fraction molairede chaque gaz et les differentes pressions partielles.

On donne MH = 1 g/mol, MO = 16 g/mol et MN = 14 g/mol.

Exercice 13 Un litre de dioxygene (MO2 = 32 g/mol) a 20C sous 3 atmospheres et 3 litres dedioxyde de carbone (MCO2 = 44 g/mol) a 50C sous 2 atmospheres sont melanges dans un recipientde volume 5 litres a 40C. Calculer la pression et la masse molaire du melange.

Exercice 14 Un recipient (A) de volume VA = 1 l contient de l’air a TA = 15C sous une pressionPA = 72 cmHg. Un autre recipient (B) de volume VB = 1 l contient egalement de l’air a TB = 20Csous une pression PB = 45 atm. On reunit (A) et (B) par un tuyau de volume negligeable et on laissel’equilibre se realiser a T = 15C. L’air est considere comme un gaz parfait de masse molaire M = 29g/mol. Quelle est la pression finale de l’air dans les recipients ? Quelle est la masse d’air qui a etetransferee d’un recipient a l’autre ?

2 Chapitre 3 : Notions de temperature et de pression

Exercice 15 Dans l’echelle Fahrenheit, la temperature de la glace fondante est 32F , celle de l’eaubouillante est 212F .

1. Ecrire la relation exprimant la temperature en Celsius en fonction des degres Fahrenheit, sachantque cette relation est lineaire.

2. Quelle est la temperature reperee par le meme nombre dans les echelles Fahrenheit et Celsius ?

3. Calculer en Fahrenheit la temperature du corps humain. Qu’en pensez-vous ?

Exercice 16 Un thermometre differentiel est constitue de deux reservoirs relies par un tube cylin-drique horizontal de faible section s = 2 mm2. Un index de mercure contenu dans le tube isole, dansles deux reservoirs et les portions de tube correspondantes, un meme volume V0 = 0.1 l d’un gazparfait a la temperature absolue T0 = 273 K.

1. On porte le gaz de gauche tout entier a la temperature T = 300 K, le gaz de droite a latemperature T ′. L’index de mercure se deplace d’une longueur x comptee positivement vers ladroite. Calculer T −T ′ en fonction de V0, s, x, T . On negligera la dilatation de l’enveloppe et onsuppose que T − T ′ est petit. Quelle est la sensibilite du dispositif sachant que x est mesurablea 1 mm pres ?

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2. En fait, seuls les reservoirs sont portes aux temperatures T et T ′. Le tube est maintenu a latemperature T0. Dans l’etat initial, quand tout le systeme est a T0, la longueur de tube occupeepar le gaz est l de chaque cote de l’index. Quelle est la nouvelle expression de T −T ′, sachant quesl ¿ V0 ? Quelle erreur relative commettrait-on en appliquant l’expression trouvee a la questionprecedente pour x = 10 cm?

Exercice 17 Le viaduc de Millau est construit sur 7 piles en beton arme : la plus haute mesure245 m et la plus petite 78 m. La longueur du tablier du pont est de 2.46 km. Ces valeurs sont cellesmesurees a la temperature de 20C. Le beton se dilate de la meme facon que l’acier : 0.012 mm pourune elevation de temperature de 1C. Quels sont les allongements des plus haute et plus basse pilesainsi que du tablier, lorsque l’air passe de 20 a 42C ?

Exercice 18 On veut construire un thermometre donnant les temperatures comprises entre 0C et200C. On dispose d’une tige creuse cylindrique de verre ayant un volume interieur de 24 mm3. Ondonne la masse volumique du mercure a 0C : ρ0 = 13.6 × 103 kg/m3 et le coefficient de dilatationvolumique apparent du mercure κ = 1.56× 10−4 K−1.

1. Calculer le volume du reservoir a prevoir sous la tige.2. Quelle masse de mercure faut-il utiliser ?

Exercice 19 On note λpyrex = 0.33 × 10−5 C−1 et κpyrex les coefficients de dilatations lineaireet volumique d’un tube de pyrex (de rayon R et de hauteur L). κHg = 1.802 × 10−4 C−1 est lecoefficient de dilatation volumique du mercure contenu dans le tube en pyrex. On supposera que levolume de mercure est identique au volume du tube qui le contient.

1. Trouver la relation entre λpyrex et κpyrex, en negligeant les termes en λ2pyrex.

2. Quelle est la valeur du coefficient de dilatation apparente κ′Hg du mercure en fonction de κHg

et de λpyrex ? Pour rappel, la dilatation apparente est la dilatation du contenu moins celle ducontenant.

Exercice 20 On considere une fosse oceanique de profondeur H = 10 km. La pression a la surfacede l’eau est P0 = 1 bar et on supposera la temperature uniforme et egale a T0.

1. Calculer la pression P (H) au fond de la fosse en supposant l’eau incompressible. On prendraρ0 = 103 kg/m3.

2. On veut determiner P (H) en tenant compte de la compressibilite de l’eau. On considere que lamasse volumique ρ de l’eau depend de la profondeur z (z = 0 a la surface de l’eau et ρ0).– Montrer que le coefficient de compressibilite isotherme defini par χT = −1

V (∂V∂P )T peut s’ecrire :

χT = 1ρ ( ∂ρ

∂P )T . En deduire dρ/dz.– En deduire les expressions de ρ(z) puis de P (z).– Calculer ρ(H) et P (H) avec χT = 4.9× 10−10 Pa−1.

Exercice 21 Calculer la pression atmospherique au sommet du Mont Blanc (4807 m) dans les deuxcas suivants :

1. On suppose que la temperature de l’atmosphere est constante et egale a T0.2. On suppose que la temperature varie avec l’altitude suivant la loi : T = T0 − Az, avec A =

6.45× 10−3 K/m.On donne T0 = 290 K, la pression P0 = 1.013 bar en z = 0, et M = 29 g/mol la masse molaire del’air.

3 Chapitre 4 : Energie thermique

Exercice 22 Une bouilloire electrique a pour puissance P = 1 kW. On y place un litre d’eau a10C. En supposant que 80% de la chaleur emise par la resistance electrique de la bouilloire sert achauffer l’eau, en combien de temps l’eau va bouillir ? On donne la capacite thermique massique del’eau : c = 4185 J/kg/K.

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Exercice 23 Quelle energie faut-il fournir pour chauffer deux litres d’eau, initialement a la temperatureθ1 = 20C, a θ2 = 70C en supposant qu’il n’y a aucune perte d’energie ?

Quelle est l’energie thermique necessaire pour que l’eau s’evapore completement ?Pour cela, on donne la chaleur latente de vaporisation de l’eau a 100C : Lv = 2260 kJ/kg.

Exercice 24 Le point d’ebullition du Freon 12 (ou forane 12) est −29.79C a la pression normaleet sa chaleur latente de vaporisation est Lv = 165 kJ/kg. La chaleur massique moyenne du Freon 12a l’etat liquide sera prise egale a cl = 900 J/(kg.C) et a l’etat gazeux cg = 605 J/(kg.C). Calculerla quantite de chaleur qu’il faut fournir a une mole de Freon 12 pour la porter de θ1 = −35C aθ2 = 25C. La masse molaire du Freon 12 vaut 120.93 g/mol.

Exercice 25 Un volume constant V = 10 dm3 de gaz carbonique CO2 (considere comme un gazparfait), initialement a la pression atmospherique et a la temperature θ1 = 20C, est porte a θ2 =100C.

1. Quel est le nombre de moles de gaz ?

2. Quelle est la quantite de chaleur recue par le gaz ?

3. Quelle est la valeur de la pression finale P2 ?

Exercice 26 Un volume constant V = 5 dm3 de diazote N2 (considere comme un gaz parfait),initialement a la pression atmospherique et a la temperature θ1 = 20C, est porte a θ2 = 200C.

1. Quel est le nombre de moles de gaz a l’interieur du volume V ?

2. Quelle est la quantite de chaleur recue par le gaz ?

3. La chaleur molaire du diazote a volume constant Cv varie, en fait, avec la temperature suivantla loi :

Cv = 20.3 + 71× 10−5θ + 130× 10−8θ2 (1)

Cv est en J/mol/C et θ en C. Calculer la quantite de chaleur recue par le gaz. Comparer avecle resultat de la question precedente.

Exercice 27 On desire stocker de l’energie solaire disponible pendant l’ete pour la reutiliser pendantl’hiver. On prevoit ainsi de stocker 10000 kWh sous forme thermique.

1. Pour cela, on chauffe de θ1 = 15C a θ2 = 75C l’eau d’un reservoir parfaitement isole. Quelsera le volume d’eau necessaire au stockage ?

2. Une deuxieme methode consiste a chauffer de θ1 = 15C a θ2 = 75C un ensemble de caillouxentasses dans le sol. On donne la masse volumique de la pierre ρ = 2.3 g/cm3 et sa chaleurspecifique c = 920 J/(kg.K). En supposant que les cailloux n’occupent que les 2/3 du volume,quel sera le volume du sol necessaire au stockage ?

3. Une troisieme methode consiste a utiliser un sel de sodium qui fond a 32C. On va supposer quele sel reste a la temperature de 32C et que l’energie qu’on lui fournit ne sert qu’au changementd’etat. Quel est alors le volume de sel necessaire au stockage ? On donne pour cela la massevolumique ρ = 1458 kg/m3 et la chaleur latente de fusion Lf = 251 kJ/kg du sel.

Exercice 28 Calculer l’energie thermique necessaire a la transformation de 1 kg de glace a latemperature de −20C amenee a l’etat de vapeur a 200C, surchauffee enfin a 300C a volumeconstant. Pour cela, on donne la chaleur massique de la glace cg = 2.1 kJ/(K.kg), la chaleur massiquede l’eau liquide cl = 4.2 kJ/(K.kg), la chaleur latente de fusion de la glace Lf = 335 kJ/kg, la chaleurmassique de la vapeur a volume constant cv = 1.35 kJ/(K.kg) et la chaleur latente de vaporisationde l’eau a 200C Lv = 1960 kJ/kg.

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4 Chapitre 5 : Premier principe

Exercice 29 On cherche a calculer la vitesse des baffes d’Obelix. Si Obelix vous gifle, vous ressentezune rougeur a la joue. La temperature de la region touchee a varie de 1.8 K. En supposant que lamasse de la main qui vous atteint est de 1.2 kg et que la masse de la peau rougie est de 150 g, estimerla vitesse de la main juste avant l’impact, en prenant comme valeur de la capacite thermique massiquede la peau de la joue : cjoue = 3.8 kJ/K/kg.

Exercice 30 On considere un cylindre vertical ferme par un piston de surface S = 10 cm2 et demasse m = 1 kg. A l’exterieur du piston regne la pression atmospherique Patm = 105 Pa. Au depart,le piston est situe a la hauteur h = 20 cm au dessus du fond du cylindre.

1. On enfonce le piston de l = 10 cm. Quel est le travail W fourni au gaz situe a l’interieur ducylindre par l’environnement atmospherique exterieur, sachant que la temperature est maintenueconstante ?

2. Au fond du cylindre est placee une resistance electrique de valeur R = 10 Ω. Le piston restemaintenu a la position qu’il a apres le deplacement. On fait circuler dans la resistance un courantd’intensite I = 0.5 A pendant ∆t = 120 s. Le cylindre etant parfaitement calorifuge, quelle aete la variation d’energie interne ∆U du gaz ?

Exercice 31 Une masse m = 1 kg d’eau passe de l’etat solide a l’etat liquide a la pression P = 1atm. La masse volumique de la glace est ρgl = 0.92 g/cm3 et la chaleur latente de fusion est Lf = 80cal/g. Quelle est la variation d’energie interne ∆U lors du changement d’etat ? On calculera egalementle travail W et la quantite de chaleur echangee Q.

Exercice 32 Une bille de masse m et de chaleur massique c est abandonnee sans vitesse initialed’une hauteur h au-dessus d’un plan horizontal fixe.

1. La bille ne rebondit pas. On admet que toute la chaleur dissipee dans le choc est recuperee parla bille. Quelle est l’elevation de temperature ∆θ de la bille ? Pour l’application numerique, onprendra h = 19.6 m, c = 0.1 cal/(g.C) et g = 9.81 m/s2.

2. La bille rebondit a une hauteur h/(n + 1). Calculer l’elevation de temperature ∆θ de la billeapres le premier puis le deuxieme choc.

Exercice 33 Un four electrique est chauffe par une resistance de puissance P = 2 kW. Ses pertessont proportionnelles au temps et a la difference de temperature entre la temperature du four et latemperature ambiante θa = 20C, avec k = 30 cal/(K.mn) le coefficient de proportionnalite. Le fouret le gaz qu’il contient sont equivalents a une masse m de chaleur massique c.

1. Calculer la temperature maximale θM que peut atteindre ce four.2. Le chauffage etant interrompu, ecrire l’equation qui regit le refroidissement du four.3. Resoudre cette equation et tracer la courbe, le temps t = 0 correspond a la temperature θM .

Exercice 34 On considere une maison dont on veut maintenir la temperature interieure a θi =20C, la temperature exterieure etant θe = −7C. La maison prise dans son ensemble a une capacitecalorifique C = 2.106 J/C. Cette maison est chauffee par un dispositif fournissant une puissanceconstante P . La maison bien qu’isolee, perd une partie de cette puissance. La puissance perdue estproportionnelle a l’ecart de temperature θi − θe et le coefficient de proportionnalite (ou coefficient depertes) est k = 240 W/C.

1. Calculer la puissance de chauffe P necessaire pour que la temperature de la maison a l’equilibresoit θi = 20C.

2. Determiner l’evolution de la temperature interieure lorsque, la maison etant initialement a θe =−7C, elle est chauffee grace a l’apport de la puissance P .

3. Tracer la courbe d’evolution de la temperature interieure θi.4. Au bout de combien de temps aura-t-on obtenu une temperature interieure de 18C? On notera

ce temps tc.

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5. Calculer l’energie necessaire pour atteindre cette temperature (en J et en kWh).

6. Cette maison est chauffee par un radiateur dans lequel circule de l’eau chaude. Sachant que l’eauentre dans le radiateur a 65C et en ressort a 50C, quel doit etre le debit d’eau pour que leradiateur fournisse la puissance P ?

Exercice 35 Un cylindre horizontal est divise en deux compartiments A et B de meme volumeV0 par un piston coulissant sans frottement (Fig.1). Ils contiennent chacun une mole de gaz parfaitmonoatomique a la temperature T0 et a la pression P0. Le piston et les parois du compartiment Asont parfaitement calorifuges. Celles de B permettent les transferts thermiques avec un thermostat ala temperature T0. Le compartiment A est porte a la temperature T1 grace a une resistance chauffante.

Fig. 1 –

1. Exprimer les volumes VA et VB et la pression dans chaque compartiment a l’equilibre en fonctionde T0, T1 et V0.

2. Quelle est la variation d’energie interne du systeme A + B ?

3. Quel est le travail transfere par A pour B ? En deduire le transfert thermique QB effectue avecle thermostat.

4. Exprimer le transfert thermique QA fourni par la resistance chauffante.

Exercice 36 On veut refroidir un bloc metallique en faisant circuler un courant d’azote liquide al’interieur de ce bloc. On admettra que l’azote penetre a l’etat liquide dans le bloc en A et s’y vaporisesous pression normale avant de ressortir en B. Le bloc est suppose parfaitement isole thermiquement.Sa masse est M = 5 kg. Il est initialement a θ1 = 15C. Sa chaleur massique est constante : c = 0.08cal/(g.C).

1. On suppose que l’azote qui entre sous forme liquide a θ0 = −195C sort en B sous formeentierement gazeuse a la temperature θ1 d’ebullition de l’azote liquide. Quelle masse m d’azotefaut-il consommer pour amener le bloc a la temperature θ0 ? On connaıt la chaleur latente devaporisation de l’azote a la temperature θ1 : Lv = 47.6 cal/g.

2. On suppose maintenant que le courant d’azote est suffisamment lent pour que l’azote, apress’etre vaporise, sorte a chaque instant a la temperature θ du bloc. On admettra que la chaleurmassique moyenne de l’azote sous pression normale est constante et egale a cP = 0.25 cal/(g.C).Donner la relation liant la masse d’azote dm, dθ et θ sous la forme :

dm = Adθ

αθ + β(2)

On identifiera A, α et β. Determiner ensuite la masse m d’azote necessaire pour porter latemperature du bloc de metal de θ1 a θ0.

Exercice 37 On considere un echangeur eau-vapeur destine a fournir l’eau chaude necessaire auchauffage d’un groupe d’appartements. L’echange de chaleur entre l’eau et la vapeur d’eau est supposeparfait. Le debit massique de l’eau est qm = 100 kg/mn. Les temperatures d’entree et de sortie sont :pour l’eau θ1e = 20C, θ2e = 90C et pour la vapeur θ1v = 160C, θ2v = 120C. Determiner le debit

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massique de vapeur sachant que la chaleur massique de la vapeur est egale a cv = 0.47 cal/(g.C) etque celle de l’eau liquide vaut ce = 1 cal/(g.C).

Exercice 38 Une turbine a vapeur est un systeme qui convertit l’enthalpie d’un fluide en travail.De la vapeur d’eau dont le debit est qm = 320 kg/h penetre dans la turbine a la vitesse v1 = 90 m/s,son enthalpie massique est h1 = 641 kJ/kg. Elle ressort a la vitesse v2 = 120 m/s. Son enthalpieest alors h2 = 478.5 kJ/kg. L’entree de la turbine est situee 2 metres au-dessus de la sortie et lapuissance thermique cedee a l’environnement par kilogramme de vapeur est P12 = 175 W. Determinerla puissance mecanique developpee par la turbine lorsqu’elle est traversee par un kilogramme de fluide.Comparer les differentes puissances entre elles.

Exercice 39 Une masse d’air assimile a un gaz parfait arrive a l’entree d’une tuyere avec unetemperature T0 = 293 K et une vitesse d’ensemble v. La tuyere la conduit dans un tres grand reservoirou elle se disperse et ou sa temperature est Tf = 500 K. La tuyere et le reservoir sont parfaitementcalorifuges. L’air sera assimile a un gaz parfait diatomique (γ = 7/5, r = 287 J/K/kg). Calculer lavitesse v de l’air a l’entree de la tuyere.

5 Chapitre 6 : Relations calorimetriques

Exercice 40 Un calorimetre de capacite calorifique Ccal = 209 J/K contient une masse d’eaum = 300 g a la temperature θ = 18C en equilibre thermique avec le vase interieur. On introduit alorsles masses mCu = 50 g de cuivre a θCu = 30C, mPb = 30 g de plomb a θPb = 80C et mFe = 80 gde fer a θFe = 50C. On donne les capacites thermiques massiques : cPb = 129.5 J/K/kg, cFe = 452J/K/kg, cCu = 385 J/K/kg et ceau = 4185 J/K/kg.

Quelle est la temperature finale θf d’equilibre en degres Kelvin ? On negligera les pertes thermiques.

Exercice 41 On veut remplir une baignoire de 100 litres d’eau a 32C. On dispose pour cela dedeux sources, l’une d’eau froide a 18C, l’autre chaude a 60C. Si on neglige la capacite thermique dela baignoire et les pertes thermiques, quel volume doit on prelever a chacune des deux sources ?

Exercice 42 On possede Mess = 260 g d’essence que l’on brule pour echauffer Mglace = 4 kg deglace initialement a −20C sous la pression atmospherique. Quelle est la temperature finale de lavapeur obtenue ?On donne la chaleur latente de fusion de la glace Lfusion = 352 kJ/kg, le pouvoir calorifique del’essence Less = 48000 kJ/kg, la chaleur latente de vaporisation de l’eau Lvap = 2256 kJ/kg, lacapacite calorifique de la glace cglace = 2092.8 J/K/kg, la capacite calorifique massique de l’eauceau = 4185.5 J/kg/K et la capacite calorifique massique de la vapeur d’eau cvap = 2020 J/kg/K.

Exercice 43 Un calorimetre de valeur en eau µ = 20 g, contient une masse de m = 200 g d’eauliquide. La temperature initiale est θ1 = 15C. On introduit un bloc de glace a 0 C de masse M = 5g.

1. Calculer la temperature finale θ2 du calorimetre, sachant que la fusion de 1 g de glace necessiteLf calories (Lf = 80 cal/g).

2. Combien faudrait-il rajouter de glace supplementaire pour que le calorimetre ne contienne quede l’eau a 0C ?

Exercice 44 Un calorimetre de valeur en eau k = 200 g contient un melange a 0C de M1 = 800 gd’eau et m1 = 300 g de glace.

1. On verse M2 = 160 g d’eau a 10C. Quelle est la temperature finale du melange et son etat ?

2. Meme question en remplacant M2 par M ′2 = 400 g.

3. On reprend l’etat initial du calorimetre (k = 200 g, M1 = 800 g, m1 = 300 g). On immerge uncorps de masse M3 = 1000 g porte a 100C et dont la chaleur massique varie avec la temperaturesuivant la loi :

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c3 = 0.1567 + 36.6× 10−5θ + 546× 10−10θ2 (3)

c3 en cal/g/C et θ en C. Quelle est la temperature et quel est l’etat final du bain ? Quelleerreur relative commet-on en ne prenant que le terme constant de c3 ?

Exercice 45 Un calorimetre adiabatique en laiton a une masse mlaiton = 100 g. Il contient unemasse mliq = 200 g d’un liquide. L’ensemble est a θ1 = 20C. On ajoute une masse mglace = 25 g deglace a −20C. On donne la chaleur massique du laiton claiton = 0.1 cal/(g.C), la chaleur massiquedu liquide cliq = 0.4 cal/(g.C), la chaleur massique de la glace cglace = 0.5 cal/(g.C) et la chaleurlatente de fusion de la glace Lf = 80 cal/g.

1. Decrire l’etat final du systeme.

2. On fait alors circuler de l’eau dans un serpentin immerge dans le liquide avec un debit massiqueq = 60 g/mn. L’eau entre a 80C dans le serpentin et ressort a la temperature du liquide et ducalorimetre. Quel est le temps au bout duquel il n’y aura plus que du liquide a 0C ?

3. On continue a faire circuler de l’eau dans un serpentin immerge dans les memes conditions qu’ala question precedente. Calculer la loi de variation de la temperature du liquide et du calorimetreen fonction du temps. On prendra pour origine des temps (t = 0) l’instant ou dans le calorimetreil n’y aura plus que du liquide a 0C.

4. Quel est le temps au bout duquel la temperature du liquide et du calorimetre atteindra 70C et50.7C ? Quelle masse d’eau aura circule dans le serpentin pour obtenir 70C ?

5. On reprend le calorimetre dans les conditions initiales de la question precedente. Au lieu de fairecirculer l’eau dans le serpentin, on verse une masse m d’eau a 80C dans le calorimetre. Calculerla masse d’eau m necessaire pour obtenir θe = 70C de temperature d’equilibre.

6 Chapitre 7 : Transformations reversibles d’un gaz parfait

Exercice 46 Un gramme d’helium He (suppose comme etant un gaz parfait, MHe = 4 g/mol) a20C (etat 1) est chauffe a 100C a pression constante (etat 2) puis retourne a 20C a volume constant(etat 3).

1. Representer les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ).

2. Calculer la quantite de chaleur absorbee par l’helium durant ce processus.

3. Calculer la quantite de chaleur produite lors du passage direct de l’etat 1 a l’etat 3.

Exercice 47 Une mole de gaz parfait monoatomique passe de l’etat 1 a l’etat 2 selon des transfor-mations mecaniquement reversibles en empruntant le chemin (a) ou le chemin (b) (voir figure 2). Pourchaque chemin, exprimer la variation d’energie interne ∆U , le travail transfere W et le transfert ther-mique Q. Le gaz effectue la transformation cyclique 1 → 2 → 1. A-t-on un moteur ou un recepteur ?Faire le cas 1 : a puis −b et le cas 2 : b puis −a.

Exercice 48 Un gramme d’air (gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol) pris a−50C et sous la pression atmospherique normale subit les transformations suivantes :

– chauffage a volume constant jusqu’a une pression double de la pression initiale,– detente adiabatique reversible de facon a revenir a la temperature initiale,– compression isotherme reversible de facon a revenir a la pression initiale.Apres avoir represente les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ), calculer le

travail relatif a chaque transformation. En deduire le travail total pour le cycle.

Exercice 49 Une masse d’air considere comme un gaz parfait diatomique subit une compressionisotherme qui la fait passer de l’etat A (P0 = 1 bar, V0 = 1 litre, T0 = 300 K) a l’etat B (PB = 100bars, VB , TB = 300 K). Cet air est ensuite detendu adiabatiquement jusqu’au point C (P0 = 1 bar,VC , T1).

1. Tracer les transformations subies par l’air dans un diagramme de Clapeyron (P, V ).

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Fig. 2 –

2. Calculer les volumes VB , VC et la temperature T1.

3. Calculer la masse d’air m sachant que la masse volumique normale est ρn = 1.293 kg/m3.

4. Quelle quantite de chaleur QAB est echangee avec l’air pendant cette compression ? Cette chaleurest-elle fournie ou recue par l’air ?

5. Calculer le travail de la detente BC.

6. Calculer la chaleur massique cp, sachant que r = 287 J/kg/K. Calculer la variation d’enthalpieHC −HA.

7. Calculer la variation d’energie interne UC − UA.

Exercice 50 Un gaz parfait monoatomique subit une compression isotherme qui le fait passer de lapression P0 = 1 atm jusqu’a la pression P1 = 100 atm. Il est ensuite detendu adiabatiquement jusqu’ala pression atmospherique.

1. Calculer la temperature finale T1 apres cette double transformation en fonction de la temperatureinitiale T0 = 300 K.

2. On recommence la meme suite de deux operations a partir de la temperature T1 (compres-sion isotherme jusqu’a la pression 100 atm et ensuite detente adiabatique jusqu’a la pressionatmospherique). Calculer numeriquement la nouvelle temperature T2.

3. Trouver la formule generale permettant d’exprimer la temperature Tn atteinte apres n doublesoperations successives, chacune de ces operations etant, a partir de la temperature Tn−1 precedemmentatteinte, la suite d’une compression isotherme de 1 a 100 atmospheres. Calculer Tn pour n =3, 10, 20.

4. Quelles sont les variations d’energie interne U et d’enthalpie H d’une mole de gaz au cours de lapremiere, de la deuxieme, puis de la nieme compression isotherme puis au cours de la premiere,de la deuxieme, puis de la nieme detente adiabatique ?

5. Quelle est la quantite de chaleur Q cedee au milieu exterieur par mole de gaz au cours de la 1ereet 2eme compression isotherme ? Quel est le travail fourni au gaz par mole au cours des memestransformations ?

6. Quel est le travail effectue par le gaz au cours de la premiere, de la deuxieme, puis de la niemedetente adiabatique ?

Exercice 51 Un cylindre est divise en deux compartiments 1 et 2 par un piston P qui peut sedeplacer sans frottements. Chacun des compartiments contient initialement un volume V0 = 20 litresde dioxygene a la temperature θ0 = 27C sous la pression P0 = 1 atm. Dans le compartiment 1, uneresistance de capacite calorifique negligeable est parcourue par un courant electrique et chauffe le gaz1 jusqu’a ce que les caracteristiques du gaz 2 soient θ2 = 140C et P2 = 3 atm. Les parois du cylindreet le piston sont supposes adiabatiques.

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1. Quelle est la masse de dioxygene contenue dans chaque compartiment ? La masse molaire dudioxygene est 32 g/mol.

2. Calculer le volume final V2 du gaz en 2, ainsi que V1 celui du gaz en 1.

3. Quelle est la pression d’equilibre P1 du gaz 1 dans le compartiment ? En deduire sa temperatureθ1.

4. Donner la relation generale qui relie la temperature a la pression dans la transformation adiaba-tique subie par le gaz 2. En deduire que θ2/θ0 s’exprime en fonction de P2/P0 et de γ. Calculernumeriquement γ.

5. Calculer le travail recu par le gaz 2 et sa variation d’energie interne.

6. Calculer la variation d’energie interne du gaz 1.

7. En deduire l’energie fournie par le courant electrique.

Exercice 52 Les gaz d’echappement d’une fusee ont une vitesse v en sortie de la tuyere. La pressionen sortie de tuyere est la pression atmospherique fixee a Patm = 1 bar. Dans la chambre de combustion,les caracteristiques des gaz sont P0 = 3 bar, T0, v0 = 0.1 m/s et V0 = 0.287 m3/kg (volume par unitede masse). Ces gaz se detendent adiabatiquement dans la tuyere. Chercher la loi donnant la vitesse ven fonction de P0, v0, V0 et Patm. Faire l’application numerique pour un gaz parfait diatomique.

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7 Exercices bonus sur le Chapitre 2 “le gaz parfait”

Exercice 1b Quel est le nombre de molecules d’un kilogramme d’un gaz parfait de masse molaire32 g/mol, dans les conditions normales ? Quelle est la pression de ces particules de gaz, s’il occupe unvolume de 1 m3 et si on connaıt l’energie cinetique de translation Et = 6.21× 10−21 J ?

Exercice 2b On considere qu’un vide pousse correspond a 10−12 atmosphere. Pour une temperaturede 20C, combien y-a-t-il alors de molecules de gaz par cm3 ?

Exercice 3b Pour θ ∈ [0− 40]C, le volume massique u = 1/ρ de l’eau sous la pression normale estdonne, en cm3 par kg, par la formule empirique :

u(θ) = 999.87− 6.426× 10−2θ + 8.5045× 10−3θ2 − 6.79× 10−5θ3 (4)

1. Calculer la temperature a laquelle l’eau presente un maximum de densite.

2. Si le volume initial est de 1 m3 sous pression normale a 10C, quel est le nouveau volume soustransformation isobare a 38C ?

Exercice 4b Calculer la masse volumique de la vapeur d’eau a sa temperature d’ebullition normale(100C, sous 1 atm) en assimilant la vapeur d’eau a un gaz parfait. On donne MH2O = 18 g/mol.

Exercice 5b 5 litres d’air (gaz parfait de masse molaire 29 g/mol) sont enfermes sous la pression de1.5× 105 Pa dans un recipient indilatable a la temperature de 20C. Ce recipient muni d’une soupapequi maintient la pression constante a la valeur donnee ci-dessus est chauffe a 50C. Quelle est la massed’air qui s’echappe de la soupape ?

Exercice 6b Un reservoir de 0.3 m3 contient du diazote gazeux a une pression de 7.6 torr (ou 7.6mmHg) et une temperature de 27C. Calculer la masse de diazote contenue dans le reservoir. Onrappelle que la masse molaire du diazote est de MN2 = 28 g/mol.

Exercice 7b Quel est le volume V0 occupe par 1 g de dibrome Br2 a θ0 = 600C sous la pressionnormale, en assimilant la vapeur de dibrome a un gaz parfait ? On donne la masse molaire du bromeMBr = 80 g/mol. A cette temperature, on peut negliger la dissociation du dibrome.

Que deviendrait ce volume (soit V1) a θ1 = 1600C, toujours sous la pression normale, en supposantque l’on puisse negliger la dissociation ?

L’experience montre que ce volume est en fait V ′1 = 1.195 litre. Montrer que ce resultat peut

s’expliquer en admettant qu’une partie des molecules de Br2 s’est dissociee en atomes de brome Br.Calculer le coefficient de dissociation (i.e. la proportion des molecules dissociees).

Exercice 8b Calculer la masse volumique et la masse molaire d’un alliage de laiton. L’alliage estcompose de 60% de cuivre et de 40% de zinc. Pour le cuivre Cu, la fraction massique vaut doncxCu = 60%, sa masse volumique ρCu = 8.94 g/cm3 et sa masse molaire MCu = 63.5 g/mol. Pour lezinc Zn, on a : xZn = 40%, ρZn = 7.14 g/cm3 et MZn = 65.3 g/mol.

Exercice 9b– Calculer le nombre de molecules par cm3 dans un gaz parfait a 27C sous une pression de 10−6

atmosphere.– Calculer le volume occupe par une mole d’un gaz parfait a la temperature de 0C sous la pression

atmospherique normale.

Exercice 10b Un cylindre vertical, ferme aux deux bouts, est separe en deux compartiments egauxpar un piston coulissant sans frottement, de forme cylindrique, homogene. La masse de ce pistonpar unite de surface est σ = m/S = 136 g/cm2. Les deux compartiments, de hauteur h0 = 0.5m, contiennent un gaz parfait a T0 = 0C. La pression qui regne dans le compartiment inferieur estP0 = 100 cmHg. On chauffe le systeme a T1 = 100C. Quel est le deplacement du piston ? On prendrag = 9.81 m/s2.

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Exercice 11b Pour gonfler un ballon de volume invariable V au moyen d’air (assimile a un gazparfait de temperature constante dans tout le probleme et egale a T ), on utilise une pompe a velo,constituee d’une chambre dont le volume peut varier entre Vmin et Vmax selon la position du piston.Avant le premier coup de pompe, la pression dans le corps de la pompe augmente au fur et a mesureque le volume diminue. Lorsque la pression dans la pompe devient superieure a celle qui regne ace moment dans le ballon, la soupape s’ouvre et l’equilibre s’etablit. On continue a pomper jusqu’aamener le volume de la pompe a sa valeur Vmin (Fig.3b). Des qu’on retire sur le piston, la soupape seferme.

Fig. 3 –

1. Determiner la pression Pn apres le n-ieme coup de pompe. Trouver la limite de Pn lorsque ntend vers l’infini. Commenter la valeur trouvee.

2. Proposer une amelioration qualitative du modele precedent.

Exercice 12b

1. Une mole de gaz de Van der Walls a pour equation d’etat :

(P +a

V 2)(V − b) = RT (5)

Exprimer P en fonction de T et V et calculer les derivees partielles (∂P/∂V )T et (∂2P/∂V 2)T .

2. Montrer qu’il existe un unique etat C tel que : (∂P/∂V )T = 0 et (∂2P/∂V 2)T = 0. Determinerson volume molaire VC , sa temperature TC et sa pression PC .

3. On pose θ = T/TC , ν = V/VC et $ = P/PC . Montrer que l’equation d’etat liant θ, ν et $ nefait plus intervenir aucune constante dependant du gaz.

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8 Exercices bonus sur le Chapitre 3 “Notions de temperatureet de pression”

Exercice 13b Un solide de volume 12 cm3 a 0C et de coefficient lineique moyen de dilatation28.8 × 10−6 (C)−1 est completement immerge dans un liquide contenu dans un recipient gradue(graduations exactes a 0C). Le coefficient absolu du liquide est 1.12 × 10−3 (C)−1 et le coefficientlineique du recipient est 3.3× 10−6 (C)−1. A 0C, le niveau d’affleurement du liquide est 248.7 cm3.A quelle graduation correspond le sommet du liquide a 50C ?

Exercice 14b On considere le dispositif de la figure 4, rempli partiellement de mercure (ρHg = 13.6g/cm3) et dont chacune des deux branches contient une meme quantite de gaz parfait a la temperatureT0 = 293 K, sous la pression P0 = 1.013 bar. La hauteur commune aux deux colonnes de gaz est h = 40cm et la section des deux recipients est S. On chauffe au moyen de la resistance le gaz contenu dansl’une des deux branches jusqu’a la temperature T1. A l’equilibre, la denivellation entre les deux surfaceslibres du mercure est d = 10 cm. Calculer T1.

Fig. 4 –

Exercice 15b Un barometre est constitue par une colonne de mercure. Une regle en laiton placeeparallelement a la colonne permet de mesurer la hauteur de mercure au-dessus de la cuve. Cette regle aete graduee a 0C. A la temperature ambiante θ = 25C, on mesure une hauteur de mercure L = 756mm correspondant a la pression atmospherique.

1. Compte tenu de la dilatation de la regle, calculer la hauteur reelle L′ de mercure a la temperatureθ. On appellera λlaiton = 2× 10−5 C−1 le coefficient de dilatation lineaire du laiton.

2. Quelle est la hauteur L” de mercure a 0C, equivalent a cette pression atmospherique, sachantque la dilatation volumique du mercure est κHg = 1.802× 10−4 C−1 ?

Exercice 16b Une mole d’eau liquide est caracterisee dans un certain domaine de temperatureset de pressions autour de l’etat 0 (P0 = 1 bar, T0 = 293 K, V0 = 10−3 m3), par un coefficient dedilatation isobare α = 3×10−4 K−1 et par un coefficient de compressibilite isotherme χT = 5×10−10

Pa−1 constants.– Etablir que l’equation d’etat liant V , P et T de l’eau est :

lnV

V0= α(T − T0)− χT (P − P0) (6)

– Calculer son volume molaire sous P = 1000 bars et a T = 293 K.– Une mole d’eau liquide est enfermee dans une bouteille metallique de volume V0 constant. Par

suite d’un incendie, la temperature passe de T0 = 293 K a T = 586 K. Calculer la pression Pdans le recipient. Reprendre le calcul pour un gaz parfait.

Reponse question 2 : V = 9.51× 10−4 m3 soit |∆VV0| = 5%

Reponse question 3 : P = P0+ α(T−T0)χT

= 1.8×103 bar. Cette pression est tres elevee et la bouteillerisque d’exploser.

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Exercice 17b Montrer que, pour les gaz parfaits, le coefficient de dilatation volumique a pressionconstante κ est egal a 1/T . Montrer ensuite que le coefficient de compression a volume constant αvaut egalement 1/T .

Exercice 18b Un tube cylindrique retourne sur la cuve de mercure contient dans sa partie superieureun gaz parfait. La hauteur de la colonne gazeuse est h1 = 10 cm, celle de la colonne de mercure h′1 = 60cm. On enfonce le tube de d = 20 cm, la temperature restant constante. La nouvelle hauteur de lacolonne de mercure est h′2 = 45 cm. Calculer h2 et la pression atmospherique. On donne la massevolumique du mercure : ρHg = 13545.88 kg/m3.

Exercice 19b L’atmosphere est assimilee a un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29g/mol. Elle est a l’equilibre dans le champ de pesanteur uniforme (g = 9.81 m/s2). A l’altitude z = 0,sa pression est P0 = 1 atm, sa temperature T0 = 293 K et sa masse volumique ρ0. On suppose quela temperature evolue avec l’altitude z selon T = T0(1 − z/H), pour z en km inferieur a 10 km etH = 44 km.

1. Etablir l’expression de P en fonction de z, P0, H et q = MgH/(RT0). Faire l’applicationnumerique a 5 km.

2. Etablir l’expression de la masse volumique ρ(z) en fonction de z, ρ0, H et q.

Exercice 20b Une atmosphere est constituee par un gaz parfait de masse molaire M = 29 g/molet de coefficient γ = 1.4. La pression et la temperature a l’altitude 0 sont P0 = 1 atm et T0 = 290 K.On donne g = 9.8 m/s2.

1. L’atmosphere est isotherme. Determiner la pression P en fonction de l’altitude. Pour quellealtitude, la pression est-elle P0/2 ?

2. La pression P et la masse volumique ρ varient selon la loi : P = kρn, ou k et n sont desconstantes avec n > 0 et n 6= 1. Determiner P en fonction de l’altitude. Calculer la hauteur del’atmosphere. Faire l’application numerique pour une atmosphere adiabatique (n = γ). Calculeralors la difference de temperature entre Jerusalem (altitude +750 m) et la mer Morte (altitude−400 m). Montrer que la difference de temperature entre deux points ne depend que de ladifference d’altitude.

3. Un petit volume d’air peut s’elever ou descendre dans l’atmosphere en subissant une transfor-mation adiabatique. Montrer que l’equilibre de l’atmosphere n’est stable que si n < γ.

Exercice 21b La dilatation du mercure suit la loi suivante, V etant le volume du mercure et V0

sa valeur a 0C : 1V0

dVdθ = 2 × 10−4 C−1. On utilise un thermometre entre 0 et 100C dont le tube

de verre presente un diametre de 0.1 mm et dont la hauteur fait 20 cm entre les deux temperaturesindiquees ci-dessus.

1. Quel doit etre le rayon interieur du reservoir spherique contenant le mercure place juste endessous de la graduation 0C ?

2. Sachant que la densite du mercure (par rapport a l’eau) est de 13.6 a 0C, calculer la masse demercure que renferme le thermometre ainsi que sa densite a 100C.

Exercice 22b On note ρ0 et ρ les masses volumiques d’un corps solide a 0C et θ, et κ son coefficientde dilatation volumique. Sachant que la masse d’un corps ne varie pas avec la temperature, determinerla variation relative de ρ avec la temperature. Faire une application numerique pour θ = 100C,κ = 6.33−6 C−1 et ρ0 = 710 kg/m3.

Exercice 23b Un tube cylindrique ferme a la partie superieure est retourne sur une cuve a mercurede grande surface par rapport a la section du tube. Quand la hauteur de la chambre barometrique estde 5 cm, le mercure monte a 75 cm au-dessus de la surface en contact avec l’atmosphere. Quand elleest de 10 cm, il monte a 75.5 cm, la temperature restant la meme (0C) et Patm = 1 atm. Montrerqu’on peut expliquer ce resultat par la presence d’un gaz dans la chambre barometrique. Calculerl’incertitude sur la pression atmospherique si toutes les valeurs precedentes sont connues a 0.25 mmpres.

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Exercice 24b L’air est assimile a un gaz de masse molaire M suivant une relation de la forme :P (z)/ρ(z)k = Cte, appelee relation polytropique d’indice k 6= 1. Au niveau du sol en z = 0, on note lapression P0, la temperature T0 et la masse volumique ρ0. Etablir que P (z) est donnee par la relationsuivante :

k

k − 1(P 1−1/k − P

1−1/k0 ) = − ρ0gz

P 1/k(7)

En deduire T (z) et montrer que dT/dz est une constante. Calculer k pour dT/dz = −0.007 K/m.

9 Exercices bonus sur le Chapitre 4 “Energie thermique”

Exercice 25b Dans un moteur, l’air considere comme un gaz parfait diatomique est chauffe apression constante de θ1 = 200C a θ2 = 500C. Calculer la quantite de chaleur ainsi recue par unemasse d’air m egale a 20 g. On rappelle que la masse molaire de l’air vaut 29 g/mol.

Exercice 26b Un tube en U comporte deux branches verticales de meme section 20 cm2 fermeesau meme niveau a la partie superieure. Du mercure isole dans chacune des branches de l’air qu’onassimilera a un gaz parfait (γ = 7/5). La pression initiale 76 cm de mercure et la temperature initiale0C sont les memes de chaque cote. La hauteur de gaz est de 100 cm dans chaque branche.

1. On chauffe lentement le gaz de droite, en maintenant constante la temperature du gaz de gauche,jusqu’a ce que la difference des niveaux du mercure devienne 20 cm. Quelle est la temperaturefinale du gaz de droite ?

2. On recommence l’operation, le gaz de gauche etant isole thermiquement du milieu exterieur.Quelles sont les temperatures des deux gaz quand la denivellation du mercure est de 20 cm ?

3. Calculer la quantite de chaleur qu’il a fallu fournir au gaz de droite pendant chacune des deuxtransformations.

Exercice 27b Un recipient de volume V = 1 litre contient un melange en equilibre sous la pressionatmospherique normale d’eau liquide et de vapeur d’eau. Le volume de l’eau liquide est 50 cm3. Ondonne les volumes specifiques du liquide υl = 1.04×10−3 m3/kg, de la vapeur υv = 1.69×10−3 m3/kget la chaleur latente de vaporisation Lv = 2090 kJ/kg.

Montrer que Lv peut etre consideree comme constante (independante de la temperature) pendant lavaporisation. En deduire la quantite de chaleur a fournir a l’eau liquide pour la vaporiser entierement.

Exercice 28b On porte la temperature d’un bloc d’aluminium, de masse m = 100 g, de la valeurinitiale θi = 20C a la valeur finale θf = 220C.

1. La chaleur massique de l’aluminium est prise egale a c = 0.222 cal/(g.C). Calculer la quantitede chaleur absorbee par le bloc.

2. La chaleur massique varie en fait avec la temperature suivant la loi : c = a + bθ avec a = 0.222cal/(g.C) et b = 5.10−5 cal/(g.C2). Calculer la quantite de chaleur absorbee entre θi et θf .Comparer avec le resultat de la question precedente.

10 Exercices bonus sur le Chapitre 5 “Premier principe”

Exercice 29b Une balle de plomb de masse m = 2 g animee d’une vitesse horizontale v = 200 m/svient s’incruster dans un bloc de bois de masse M = 2 kg initialement immobile. Calculer l’elevationde temperature de la balle en supposant que toute la chaleur liberee est recue par la balle. On donnela chaleur massique du plomb cPb = 0.03 cal/(g.C).

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Exercice 30b Un cylindre non dilatable et indeformable, ferme par un piston de masse negligeableet mobile sans frottement, renferme 0.1 m3 d’un gaz parfait (M = 44 g/mol, cv = 0.71 J/g/K) a latemperature de 27C et a la pression de 105 Pa. Il est place dans une atmosphere ou la pression estconstante et fixee a 105 Pa.

1. Calculer le travail effectif qu’il faut fournir au piston pour executer une compression isothermereduisant le volume a 0.01 m3.

2. Quelle est la quantite de chaleur echangee par le gaz avec le milieu exterieur pendant cettecompression ?

3. La compression n’ayant pas ete isotherme, on constate que la temperature finale du gaz a la finde l’operation est de 50C. Sachant que la quantite de chaleur recue par le milieu exterieur aete de 22 kJ , calculer le travail effectif qu’il a fallu fournir au piston.

Exercice 31b On considere une maison dont la temperature interieure est notee θint, la temperatureexterieure θe = −10C est supposee constante. Cette maison est chauffee par un dispositif fournissantune puissance constante P = 6000 Watts. La maison bien qu’isolee perd une partie de cette puis-sance. La puissance perdue est proportionnelle a θint − θe avec un coefficient de proportionnalite k adeterminer.

1. Calculer k (W/C) sachant que la temperature maximale interieure est θmax = 20C.

2. Determiner la capacite calorifique C (J/C) de la maison, sachant que la maison, initialement a−10C, atteint au bout de 7 heures, la temperature de θint = 18C, par l’apport de la puissancede chauffage. Pour cela, ecrire l’equation d’evolution de θint en fonction du temps. Integrer cetteequation entre un temps initial t = 0 pour lequel θint = θe et un temps final t = t1 pour lequelθint = 18C. En deduire la valeur de la capacite calorifique C.

3. On coupe le chauffage (P = 0 kW) alors que θint = 18C. Ecrire la nouvelle equation d’evolutionde θint au cours du temps. Integrer cette equation entre un temps initial t = t1 pour lequel θint =18C et un temps final t2. Quelle est la temperature de la maison au bout de ∆t = t2 − t1 = 7heures ?

Exercice 32b Une perceuse depense P = 200 W pendant ∆t = 120 s pour faire un trou dans unbloc de cuivre Cu de masse m = 1 kg. 75% de la chaleur liberee est absorbee par le cuivre. Quelle estl’elevation de temperature ∆θ du bloc de cuivre ? On donne la chaleur specifique du cuivre cCu = 0.09cal/(g.C).

Exercice 33b Une voiture de masse M = 1000 kg roule a la vitesse v = 100 km/h sur une surfacehorizontale. Le conducteur freine jusqu’ a l’arret complet.

1. En supposant que les frottements avec l’air sont negligeables, quelle quantite de chaleur doit-onevacuer au niveau des freins et des pneus ?

2. Les plaquettes de frein s’echauffent de ∆θ1 = 20C et les disques de freins de ∆θ2 = 30C.Quelles quantites de chaleur ont recu les disques et les plaquettes ? Les 4 disques de frein sonten fonte (chaleur massique c = 0.5 J/g/K, masse volumique ρ = 7.8 g/cm3), ont un diametre dde 27.3 cm et une epaisseur e = 1.3 cm. Les 8 plaquettes de frein ont une surface S = 37 cm2

chacune et une epaisseur e′ = 0.4 cm. Leur chaleur massique vaut c′ = 0.8 J/g/K et leur massevolumique ρ′ = 0.8 g/cm3.

3. Quelle quantite de chaleur a ete dissipee au niveau des pneus ?

Exercice 34b L’air est chauffe dans un conduit par un element electrique delivrant une puissancethermique de 15 kW. L’air penetre dans le conduit a 100 kPa et a 17C avec un debit volumique de 150m3/min. Le conduit perd 200 W de chaleur au profit du milieu exterieur. Determiner la temperaturede l’air a la sortie du conduit.

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Exercice 35b Soit un reservoir rigide que divise une paroi en deux compartiments egaux. Au depart,un des compartiments contient 5 kg d’eau a 200 kPa et a 25C, alors que l’autre est sous vide. Laparoi est brusquement retiree et l’eau se detend dans tout le reservoir. L’eau et le milieu exterieurechangent de la chaleur jusqu’a ce que la temperature du reservoir retrouve sa valeur initiale de 25C.

Determiner le volume du reservoir, la pression finale dans le reservoir et la chaleur echangee pendantl’evolution.

Exercice 36b On considere une enceinte vide parfaitement calorifugee, de volume V , reliee parun robinet (ferme dans un premier temps) a l’atmosphere ambiante assimilee a un gaz parfait a latemperature T0 = 273.15 K et a la pression P0 qu’on suppose toujours constantes. On ouvre le robinetet des que le remplissage est termine, on le referme. Determiner la temperature Tf du gaz, lorsque, lerobinet referme, l’etat d’equilibre est atteint.

Exercice 37b Un ecoulement d’air a 80 kPa et a 10C penetre dans le diffuseur d’une turbine agaz avec une vitesse de 200 m/s. L’aire d’entree du diffuseur est de 0.4 m2. L’air ressort du diffuseuravec une vitesse tres petite par rapport a sa vitesse d’entree.

Determiner le debit massique d’air et la temperature de l’air a la sortie du diffuseur.

Exercice 38b Un cylindre de 1 dm2 de section est ferme par un piston situe a 50 cm du fond. Lecylindre contient de l’air (gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol) sous une pressionde 75 cm de mercure. Il est immerge dans un calorimetre contenant de l’eau et 10 g de glace. Onenfonce le piston de 20 cm d’une facon reversible. On donne la chaleur latente de fusion de la glace :Lf = 335 kJ/kg.

Calculer la masse de glace fondue.

Exercice 39b Un recipient indeformable cylindrique ferme a ses deux extremites est divise en deuxparties par un piston mobile sans frottement et conducteur de la chaleur. Les parois du recipient sontimpermeables a la chaleur. Dans chacun des compartiments, on a dispose une certaine masse d’air(gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g/mol). Initialement, dans le compartiment 1 :P1 = 2 atm, V1 = 1 litre, T1 = 300 K et dans le compartiment 2 : P2 = 1 atm, V2 = 1 litre, T2 = 300K. Le piston abandonne a lui-meme atteint une position d’equilibre.

Determiner la pression finale et la temperature finale du gaz.

Exercice 40b Un courant d’eau chaude est obtenu en injectant un flux de vapeur dans un courantd’eau froide. les enthalpies de l’eau et de la vapeur a l’entree sont respectivement he = 85 kJ/kg ethv = 2760 kJ/kg. Le debit et l’enthalpie de l’eau chaude provenant du melange par liquefaction dela vapeur sont respectivement qms = 100 kg/s et hs = 383 kJ/kg. Determiner les debits d’entree devapeur qmv et d’eau qme.

Exercice 41b Dans une tuyere, le fluide est accelere entre la section d’entree S1 et la section desortie S2 sans echanger de chaleur avec l’exterieur. Le fluide considere est de la vapeur d’eau a 30 bar.A l’entree de la tuyere, son enthalpie massique est h1 = 2995 kJ/kg et sa vitesse moyenne v1 peutetre consideree comme produisant une energie cinetique negligeable. Sachant que la vitesse d’ejectionde la vapeur est v2 = 450 m/s, quelle est l’enthalpie massique de la vapeur a la sortie ?

11 Exercices bonus sur le Chapitre 6 “Relations calorimetriques”

Exercice 42b Un calorimetre a pour capacite calorifique totale C = 2140 J/C y compris celle del’eau qui y est contenue. Sa temperature initiale est de 18C.

1. On y verse a la temperature de 100C, 200 g d’un liquide de chaleur massique 1.76 J/g/C.Quelle est la temperature d’equilibre ? Il n’y a pas de fuite thermique.

2. On immerge dans le calorimetre un serpentin de volume interieur negligeable et on enleve de l’eaupour ramener la capacite calorifique totale du calorimetre a 2140 J/C. On fait alors circulerdans le serpentin le liquide precedent au debit de 2 g/s. Il entre a la temperature de 100C et

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sort a la temperature du calorimetre. Determiner la variation de temperature T du calorimetreen fonction du temps t, la temperature initiale etant de 18C. Quelle est la temperature ducalorimetre quand 200 g du corps l’ont traverse ?

3. Dans le cas de la question precedente, on suppose que le calorimetre perd par fuite thermique unequantite de chaleur proportionnelle au temps et a l’ecart de temperature avec l’exterieur, soit0.2 J/s/C. Montrer que, lorsque le liquide parcourt le serpentin, la temperature du calorimetretend vers une limite que l’on calculera. La temperature exterieure est de 16C.

Exercice 43b Un calorimetre de capacite calorifique 420 J/C contient un litre de solution de soudenormale a la temperature de 15C. On y fait couler une solution d’acide sulfurique normal au debitde 5 cm3/s et a la temperature de 10C. Le melange est rendu constamment homogene. Etablir la loide variation de la temperature en fonction du temps. Quelle est la temperature maximale atteinte ?On assimilera les solutions qui interviennent dans le probleme a de l’eau pure du point de vue desproprietes physiques (ρ = 1 g/cm3, c = 4.2 J/g/C). La chaleur de la reaction de salification est de57.3 kJ par mole d’eau formee.

Exercice 44b Un calorimetre de capacite calorifique totale C = 800 J/C (y compris celle des corpsqui y sont contenus) dont la temperature initiale est T0 = 20C se refroidit par fuite thermique. Lapuissance de fuite est proportionnelle a l’ecart entre la temperature T du calorimetre a chaque instantet la temperature exterieure TE = 10C constante. Etablir la loi de variation de T en fonction dutemps t, de la capacite calorifique C, du coefficient de proportionnalite k de la perte de fuite et destemperatures T0 et TE . Au bout d’une minute, la temperature est de 19.5C. Calculer le temps aubout duquel elle sera de 15C.

Exercice 45b Un calorimetre de capacite calorifique totale C = 1200 J/C est traverse par unserpentin de tres faible volume parcouru par un gaz qui entre a la temperature constante T1 = 40Cet sort a la temperature T du calorimetre. Le debit de masse par unite de temps est n = 1 g/set sa chaleur massique a pression constante (ce qui est le cas dans l’experience) est cp = 1.01 J/g.La temperature initiale du calorimetre est T0 = 20C. Etablir la loi de variation de la temperaturedu calorimetre en fonction du temps. Au bout de combien de temps la temperature du calorimetresera-t-elle de 39.9C ?

Exercice 46b Calculer les coefficients α, β et χT pour un gaz parfait. Quelle relation y a-t-il entreeux ?

Faire la meme chose pour un gaz reel obeissant a : PV = RT + bP pour une mole.

Exercice 47b Un recipient metallique de masse m = 2 kg contient m′ = 4 kg d’eau. Le tout estinitialement a θ1 = 40C. On plonge dans le recipient un morceau de meme metal que le recipient, demasse m′′ = 1 kg et a la temperature θ2 = 84C. La nouvelle temperature d’equilibre de l’ensembleest θf = 44C. Quelle est la chaleur massique cmet du metal ?

Exercice 48b Quelle est la masse m de glace a θ1 = −4C qu’il faut ajouter a un litre d’eau, demasse m′ et de temperature θ2 = 10C pour le refroidir a 0C ? A l’etat final, le systeme ne comprendque de l’eau. On donne la chaleur specifique de la glace cg = 0.5 cal/(g.C) et la chaleur latente defusion de la glace Lf = 80 cal/g.

Exercice 49b On possede M = 1 kg de glace a −10C dans une enceinte calorifugee fermee donton negligera la masse. On donne les chaleurs latentes de fusion Lf = 333 kJ/kg et de vaporisationLv = 2257 kJ/kg, et la capacite calorifique de l’eau a pression constante c = cp,glace = cp,liquide =cp,vapeur = 4185 J/kg/K, supposee constante.

1. Quelle est la chaleur totale a apporter pour changer cette glace en eau a 20C ?2. On veut obtenir de la vapeur a 150C. Quelle chaleur supplementaire doit-on fournir ?3. Combien de temps cela prendrait pour realiser les 2 transformations precedentes si on disposait

d’un dispositif de chauffage de 1 kW de puissance ? Combien de temps aurait pris la simpletransformation realisee en 1 ?

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4. Que peut on conclure sur la puissance des machines industrielles devant realiser de telles trans-formations ?

Exercice 50b Soit un calorimetre de valeur en eau negligeable, contenant une masse m1 = 100 gd’eau a 10C. On ajoute m2 = 100 g de glace a −10C. On donne la chaleur massique de la glacecg = 0.5 cal/(g.K) et la chaleur latente de fusion de la glace Lf = 80 cal/g.

1. Decrire l’etat final du systeme, en supposant le calorimetre parfaitement adiabatique.

2. Le calorimetre n’est en fait pas parfaitement isole. Son coefficient de pertes k est de 45 caloriespar minute et par degre. S’il reste de la glace, au bout de combien de temps toute la glacesera-t-elle fondue, si la temperature ambiante θa est de 20C ?

3. Une fois toute la glace fondue, le calorimetre va se rechauffer. Ecrire l’equation qui regit lerechauffement de ce calorimetre.

4. Resoudre cette equation.

Exercice 51b Calculer la sensibilite en calories d’un calorimetre a glace (voir Fig.5). La masse demercure mesuree est determinee a 0.01 g pres. La chaleur massique de fusion de la glace est de 333J/g. La densite de la glace par rapport a l’eau est de 0.92 et celle du mercure est de 13.6.

Fig. 5 – Calorimetre a glace de Bunsen

12 Exercices bonus sur le Chapitre 7 “Transformations reversiblesd’un gaz parfait”

Exercice 52b L’equation d’etat d’une substance elastique est :

F = KT (L

L0− L2

0

L2) (8)

ou F est la tension exercee sur le fil, K une constante, T la temperature, L la longueur du fil et L0 lalongueur du fil sous tension nulle.

Calculer le travail necessaire pour faire passer la longueur de L0 a L0/2 de maniere isotherme etreversible.

Exercice 53b Un recipient cylindrique vertical, de section S = 100 cm2, ferme a la partie inferieure,contient un piston horizontal de masse negligeable, mobile sans frottement. Dans l’etat initial, lahauteur du gaz est l = 10 cm et la temperature vaut 0C. La partie du cylindre de hauteur initialeh = 10 cm situee au-dessus du piston est emplie de mercure jusqu’au bord superieur. La pressionatmospherique exterieure est H = 76 cm de mercure. On chauffe lentement le gaz jusqu’a ce quele mercure se soit entierement ecoule par debordement. Calculer la temperature finale et la chaleurfournie au gaz (γ = 1.4).

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Exercice 54b Un cylindre indeformable, d’axe horizontal, ferme a ses deux extremites, est separeen deux parties par un piston mobile sans frottement. L’une des deux parties contient un gaz parfait(γ = 4/3), l’autre un ressort tel que la pression exercee sur le gaz soit proportionnelle au volumedu gaz. L’etat initial du gaz est caracterise par P0 = 1 atm, V0 = 1 l et T0 = 293 K. On le chauffelentement jusqu’a ce son volume ait double. Calculer la temperature finale et la quantite de chaleurfournie.

Exercice 55b Un cylindre horizontal ferme aux deux extremites, de volume invariable, est separeen deux parties par un piston mobile sans frottement. Dans l’etat initial, les deux compartimentscontiennent des volumes egaux d’un meme gaz parfait. On donne la section S = 100 cm2 du cylindre,la longueur initiale l = 20 cm de chaque compartiment, la temperature initiale T0 = 273 K et lapression initiale P0 = 1 atm des deux gaz dont γ = 1.4. On fournit de la chaleur au gaz de droitetandis que la transformation du gaz de gauche est adiabatique.

1. Calculer les temperatures des deux gaz quand le piston s’est deplace d’une longueur h = 5 cm.

2. Quelle est la quantite de chaleur fournie au gaz de droite ?

Exercice 56b Du phosphore liquide est place dans un recipient ouvert a l’atmosphere. On abaisseprogressivement sa temperature jusqu’en dessous de la temperature normale de solidification, sansprovoquer d’apparition du solide (liquide surfondu). Calculer la chaleur latente massique de fusiondu phospore a la temperature T du phosphore surfondu. On donne la temperature normale de fusion44C, la chaleur massique du phosphore liquide 1.05 J/g/C, celle du phosphore solide 0.84 J/g/Cet la chaleur latente de fusion a 44C 18.4 J/g. En dessous de quelle temperature faut-il amener leliquide surfondu pour qu’en provoquant la solidification, la masse entiere du liquide se prenne a l’etatsolide ?

Exercice 57b On appelle transformation polytropique une transformation reversible au cours delaquelle les transferts de travail et thermique verifient : δW = kδQ, ou k est une constante. On etudiede telles transformations pour un gaz parfait a γ = Cte.

1. Etablir la relation liant P et V le long de cette transformation, sous la forme PV n = Cte.Determiner les differents cas particuliers.

2. L’air de l’atmosphere est en equilibre polytropique. En deduire la loi de variation de la temperatureavec l’altitude. On considerera n 6= 1 et on notera g = 9.8 m/s2 l’acceleration de la pesanteur.

3. Evaluer la hauteur totale de l’atmosphere pour n = 1.2, l’atmosphere etant de l’air (massemolaire M = 29 g/mol) de temperature au sol 0C.

Exercice 58b Une masse d’air (considere comme un gaz parfait diatomique) occupe un volumeV0 = 100 litres a la pression atmospherique P0 = 1 atm et a la temperature ambiante θ0 = 15C. Onla comprime par une operation reversible jusqu’a la pression P1 = 10 atm.

1. En supposant que la temperature du gaz soit, pendant cette compression, maintenue constante,calculer le travail qu’il faut depenser pour effectuer cette compression.

2. En supposant que la compression soit faite d’une maniere adiabatique, calculer le volume final etla temperature finale du gaz. Calculer le travail qu’il faut depenser pour effectuer la compression.Montrer que ce travail s’exprime tres simplement en fonction de la temperature initiale et dela temperature finale du gaz, et retrouver ce resultat directement par la prise en compte del’energie interne.

Exercice 59b Calculer la chaleur necessaire pour chauffer de 0 a 20C de l’air (γ = 7/5) dont levolume initial est de 50 m3 et la pression initiale de 1 atm dans les conditions suivantes :

1. le volume reste constant ;

2. la pression reste constante ;

3. l’air, chauffe lentement, est celui contenu dans une piece de volume constant qui communiquepar une petite ouverture avec l’atmosphere exterieure a P = 1 atm.

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Exercice 60b On realise une detente de Joule-Gay-Lussac dans les conditions suivantes. Un recipientest constitue de deux parties I et II d’egal volume V qu’on met en communication par un robinet tresfaiblement ouvert. Dans l’etat initial, la partie I contient un gaz parfait (γ = 1.4, P0 = 1 atm, T0 = 290K), tandis que l’autre est vide. Le gaz n’echange pas de chaleur avec l’exterieur. On admet que le gazrestant dans la partie I subit une transformation adiabatique reversible. Trouver la temperature et lapression dans les deux parties lorsque l’equilibre des pressions est etabli.

Exercice 61b Calculer les variations d’energie interne et d’enthalpie d’un gramme d’eau qu’onvaporise a pression constante (1 atm) a 100C. On donne la chaleur latente massique de vaporisationLv = 2255 J/g. On assimile la vapeur a un gaz parfait. En deduire la quantite de chaleur necessairepour faire passer un gramme d’eau de l’etat liquide a 0C, a l’etat de vapeur a 100C (P = 1 atm),dans un recipient de volume constant. On negligera la quantite d’eau vaporisee dans le recipient a0C et on admettra que la chaleur massique de l’eau liquide est de 4.19 J/g/C.

Exercice 62b Un recipient de volume 10 litres contient de l’air (gaz parfait diatomique, γ = 7/5)sous la pression de 80 cm de mercure a la temperature de 20C.

1. On fait subir a ce gaz une compression isotherme jusqu’a la pression de 800 cm de mercure.Quels sont les echanges de travail et de chaleur du gaz avec le milieu exterieur ?

2. On ramene le gaz a sa pression initiale par une detente adiabatique reversible. Quelle est latemperature finale ? Quel est le travail fourni par le gaz ?

3. Le gaz est enfin ramene a son etat initial a pression constante. Quels sont les echanges de travailet de chaleur avec l’exterieur ?

4. Representer les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ).

Exercice 63b Un compresseur est constitue par un cylindre ferme par un piston mobile sans frotte-ment dont une face est en contact permanent avec l’atmosphere. Des soupapes permettent la suite desoperations successives suivantes : de l’air est preleve a pression constante dans l’atmosphere (P1 = 1atm, T1 = 280 K), il est comprime jusqu’a la pression P2. Il est refoule dans un reservoir a pressionconstante P2, a temperature constante T2. Le compresseur fournit 50 kg d’air (γ = 1.4) par heure.

1. La compression est adiabatique reversible. On donne T2 = 540 K. Calculer la pression P2 et lapuissance consommee par le compresseur.

2. En fait la compression n’est pas adiabatique et la temperature de l’air a la sortie du compresseurest T ′2 = 500 K. La chaleur perdue par l’air est de 200 J/s. Quelle est la puissance consommee ?

3. On suppose que la compression de l’air s’effectue suivant une loi PV α = Cte. Determiner lapression finale.

Exercice 64b Soit un systeme piston-cylindre contenant de l’air a 150 kPa et a 27. Au depart lepiston repose sur des butees et le volume du gaz est de 400 L. La masse du piston est telle qu’unepression de 350 kPa est necessaire pour le soulever. On chauffe l’air jusqu’a ce que le volume d’airdouble. L’air est considere comme un gaz parfait diatomique.

– Representer les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ).– Determiner la temperature finale de l’air, le travail fait par l’air et la chaleur totale transmise a

l’air.

Exercice 65b Calculer le travail recu par un gaz reel obeissant a l’equation de Van der Walls :

(P +a

V 2)(V − b) = RT (9)

au cours d’une transformation isotherme et reversible a la temperature T faisant passer une mole degaz de l’etat (P0, V0) a l’etat (P1, V1).

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Exercice 66b Un piston de masse m est maintenu dans un cylindre vertical. Il emprisonne unehauteur h0 de gaz a la pression atmospherique P0. On donne la section S du cylindre et la temperatureinitiale T0.

On realise une compression adiabatique reversible jusqu’a l’equilibre des pressions. Calculer lapression P1 dans le cylindre, la hauteur h1 et la temperature T1. Determiner le travail W recu par legaz, le travail Wa fourni par l’atmosphere et le travail Wp fourni par le piston.

Meme question lorsqu’on lache brusquement le piston (compression irreversible).

Exercice 67b On fait subir a une mole de dihydrogene, initialement a la temperature T1 = 273 K,une detente de Joule-Thomson. Sa temperature finale est T2. La pression en amont est P1 = 5 bars etla pression en aval est P2 = 1 bar. Le dihydrogene obeit a l’equation de Yang et Lee :

P +a

V 2= −RT

bln(1− b

V) (10)

Son enthalpie s’ecrit alors :

H = CPmT + (b

2− 2a

RT)P (11)

Determiner la variation de temperature ∆T = T2 − T1 en fonction de a, b, CPm, T1, P1 et P2. Ondonne a = 0.025 J.m3/mol2, b = 5.3× 10−5 m3/mol, CPm = 28.6 J/K/mol.

Exercice 68b Montrer que si un gaz parfait subit une transformation d’equation PV n = Cte (nune constante), la quantite de chaleur mise en jeu est de la forme Q = mc∆T , avec m la masse du gazet ∆T la variation de temperature. Exprimer c en fonction de cv, n et γ. Retrouver les cas particuliersdes transformations adiabatique, isochore et isobare.

Exercice 69b Une certaine masse de gaz parfait subit le cycle de transformations reversibles sui-vantes :

– une transformation AB isobare a PA = 105 Pa,– une transformation BC isochore a VB = VA/5 = 2 litres,– une transformation CA isotherme a TC = 300 K.Representer les transformations sur un diagramme de Clapeyron (P, V ). Calculer la pression au

point C, le travail recu par le gaz au cours du cycle et les quantites de chaleur recues au cours destransformations AB, BC et CA.

Exercice 70b Un compresseur aspire de l’air a 15C et le comprime depuis la pression atmospheriquejusqu’a une pression de 7 atmospheres. En supposant que le volume du cylindre est de 20 litres, calculerle travail theorique du compresseur par kilogramme d’air et par cycle dans les cas suivants :

1. compression isotherme ;2. compression adiabatique (γ = 1.4) ;3. compression polytropique (n = 1.3) ;4. En deduire la puissance theorique dans chaque cas si le compresseur tourne a 500 tours/mn.

Dans les trois cas, representer sur le diagramme le travail theorique du compresseur. Qu’enconcluez-vous ?

Exercice 71b Un corps de pompe cylindrique et d’axe vertical est ferme par un piston leste desection S = 100 cm2 et de masse m = 100 kg. L’ensemble est place a la pression atmospheriqueP0 = 105 N/m2. Au debut de l’experience, le piston est bloque a une hauteur de 1 m au-dessus dufond du cylindre. Ce dernier est rempli d’un gaz parfait monoatomique a la temperature θ0 = 0C eta la pression P0. Les parois du cylindre et le piston sont supposes adiabatiques.

1. On laisse descendre tres lentement le piston en le retenant jusqu’a ce qu’il soit en equilibresur le gaz ; la transformation est alors reversible et adiabatique. Quelles sont la pression P1 etla temperature T1 du gaz ? Quelle est la position finale du piston definie par la hauteur h1 ?Calculer le travail fourni par l’atmosphere. Quelle est la variation d’energie interne subie par legaz pendant la transformation ? En deduire le travail fourni au gaz par le piston.

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2. Si on libere brusquement le piston, la transformation est alors irreversible et adiabatique. Onarrive a un etat d’equilibre different du precedent, h′1 designant la hauteur finale du piston et T ′1la temperature finale du gaz sous la pression P1. Donner les expressions permettant le calcul dutravail total fourni par le milieu exterieur et la variation ∆U de l’energie interne du gaz contenupar le cylindre. Calculer h′1 et T ′1.

Exercice 72b Un compresseur adiabatique a un rapport volumetrique de 8. Le rapport volumetriqueest le rapport entre le volume initial et le volume final. Le compresseur aspire de l’air a la pressionde 1 atm et a la temperature de 300 K. Il a un debit de 100 m3/h. On prendra γ = 1.4 et R = 8.32J/(mol.K).

1. Calculer la pression de l’air a la sortie du compresseur

2. Calculer la temperature de l’air a la sortie du compresseur.

3. Quel est le volume molaire dans les conditions d’admission ?

4. Quelle est la puissance absorbee par le compresseur si son rendement mecanique est egal a 1 ?

Exercice 73b Un compresseur est modelise par un piston soumis d’un cote a la pression at-mospherique P0, de l’autre, il communique avec un cylindre de volume maximal V0 (Fig.6). La soupape1 s’ouvre a l’admission, alors que la soupape 2 est fermee. Le piston se deplace jusqu’a admettre levolume maximum. Lors de la compression, 1 est fermee et 2 aussi tant que la pression n’est pas 2P0.Lors du refoulement, la pression est toujours 2P0. Le gaz est suppose parfait, l’evolution isotherme etreversible. Le piston se deplace sans frottement.

Fig. 6 –

1. Calculer le travail fourni par le moteur qui actionne le piston au cours du cycle admission-compression-refoulement.

2. Calculer la puissance du moteur si 1 dm3 d’air est comprime de 1 a 2 bars en une minute.

Exercice 74b On souhaite faire le vide dans une enceinte de grand volume V0 = 500 m3 remplied’air grace a une pompe a vide pour la realisation d’experiences spatiales. La pompe a vide rejette l’airaspire dans l’atmosphere a la pression P0 = 1 bar et a la temperature T0 = 288 K. On considere l’aircomme un gaz parfait (r = 287 J/K/kg) et on neglige les variations d’energie cinetique. Au depart,l’air de l’enceinte est en equilibre thermodynamique avec l’atmosphere. La vidange de l’enceinte estisotherme et reversible.

1. La tuyauterie reliant l’enceinte et la pompe est de dimension assez importante pour qu’entredeux instants t et t + dt, la masse dm > 0 sortie de l’enceinte ne soit pas encore rentree dans lapompe et soit donc encore dans le meme etat que dans l’enceinte. Ecrire l’expression du premierprincipe entre ces deux instants.

2. La pompe s’arrete lorsque la pression de l’air de l’enceinte est devenue P0/1000. Calculer letransfert thermique avec l’exterieur.

3. En raisonnant par unite de masse, rappeler la relation existant entre l’enthalpie et le travailmassique fourni par le rotor de la pompe wrotor lors du transvasement adiabatique de l’air del’etat (P, T0) a l’aspiration vers l’etat (P0, T ) au refoulement.

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4. En deduire l’expression du travail elementaire δWrotor en fonction de la diminution de pressiondP comptee positivement dans le reservoir.

5. Calculer le travail necessaire pour atteindre P0/1000 si la transformation est adiabatique reversible.

6. On utilise un echangeur denergie isobare considere comme un tuyau indeformable qui permetde renvoyer dans l’atmosphere, dans l’etat (P0, T0), l’air entre dans l’etat (P0, T ) apres lui avoirpreleve de l’energie par transfert thermique Q. Apres avoir raisonne sur une masse dm, calculerQ.

Exercice 75b On etudie l’installation de climatisation d’un wagon. On neglige les variations d’energiecinetique. Un moteur entraıne un compresseur puisant de l’air dans le wagon a la temperatureθA = 20C et a la pression PA = 1 bar. La compression est adiabatique reversible. A la sortie,l’air est dans l’etat θB , PB . Il perd ensuite de l’energie par un transfert thermique isobare au profit del’air exterieur au wagon qui est a 37C. Sa temperature est alors θC . Il effectue ensuite une detenteadiabatique reversible dans une turbine, a la suite de quoi il est rejete dans le wagon a la pressionPD = 1 bar et a la temperature θD = −5C. Le compresseur et la turbine sont sur le meme axe. Onfera les calculs pour 1 kg d’air.

1. Quelle est la valeur minimale que l’on peut esperer atteindre pour θC ? En deduire la valeurminimale PB que le compresseur doit imposer. On donne PB = 1.7 bar, calculer θB et θC .

2. La puissance de climatisation, c’est a dire la puissance thermique rejetee a l’exterieur est de 5kW. Calculer le nombre de kilogrammes d’air qui doivent etre puises chaque seconde dans lewagon.

3. Calculer la puissance fournie au compresseur, celle recuperee dans la turbine, celle globalementfournie par le moteur. Calculer l’efficacite de l’installation definie par e = Pclim/Pmoteur.

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