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GELE2112 Chapitre 2 :Circuits resistifs simples

Gabriel Cormier, PhD

Universite de Moncton

Hiver 2009

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 2 Hiver 2009 1 / 57

Introduction

Contenu

Ce chapitre presente les techniques de base d’analyse des circuitselectriques.

Definitions : noeud et boucle

Lois de KirchhoffDiviseur de tensionDiviseur de courantPont de WheatstoneTransformation ∆− Y


Introduction

Contenu


Definitions : noeud et boucleLois de Kirchhoff

Diviseur de tensionDiviseur de courantPont de WheatstoneTransformation ∆− Y


Introduction

Contenu


Definitions : noeud et boucleLois de KirchhoffDiviseur de tension

Diviseur de courantPont de WheatstoneTransformation ∆− Y


Introduction

Contenu


Definitions : noeud et boucleLois de KirchhoffDiviseur de tensionDiviseur de courant

Pont de WheatstoneTransformation ∆− Y


Introduction

Contenu


Definitions : noeud et boucleLois de KirchhoffDiviseur de tensionDiviseur de courantPont de Wheatstone

Transformation ∆− Y


Introduction

Contenu


Definitions : noeud et boucleLois de KirchhoffDiviseur de tensionDiviseur de courantPont de WheatstoneTransformation ∆− Y


Definitions

Definitions

Definitions importantes :1 Noeud : un point ou se joignent 2 elements ou plus.2 Boucle : en commencant a un noeud, on trace un chemin ferme a

travers les elements en passant seulement 1 fois par un noeud,pour retourner au noeud initial : c’est une boucle.


Definitions Noeuds

Exemple : noeuds

Il y a 4 noeuds dans ce circuit.

15V 50Ω

a

10Ω 20Ω

b c

d


Definitions Boucles

Exemple : boucles

Il y a 3 boucles :1 a− b− e− a

2 b− c− d− e− b

3 a− b− c− d− e− a

8Ω

20V

5Ω

10Ω 3Ω

a b c

d e


Definitions Elements en serie

Elements en serie

Elements en serieDes elements sont en serie s’ils sont traverses par le meme courant.

R1 R2

R3

a) R1 et R2 en série b) R1 et R2 ne sont pas en série

R1 R2

R3

c) R1 et R3 sont en série

R1 R2

i i i


Definitions Elements en parallele

Elements en parallele

Elements en paralleleDes elements sont en parallele si leur deux noeuds sont branches en-semble. Ils auront la meme tension.

R2

a) R1 et R2 en parallèle b) R1 et R2 sont en parallèle c) R2 et R3 ne sont pas parallèles

R1 R2

R1

R2

R1

R3


Lois de Kirchhoff

Lois de Kirchhoff

Ce sont les deux lois de base de l’analyse des circuits.Lois de Kirchhoff

1 Loi de Kirchhoff des courants (LKC) : La somme des courants aun noeud est 0. Ou, d’une une facon, la somme des courants quientrent dans un noeud est egale a la somme des courants quisortent du noeud.

2 Loi de Kirchhoff des tensions (LKV) : La somme des tensions dansune boucle est 0.


Lois de Kirchhoff Conventions

Loi de Kirchhoff des courants

Pour bien utiliser la loi de Kirchhoff des courants, il faut appliquer uneconvention :

Si un courant qui entre dans un noeud est positif (+), alors uncourant qui sort du noeud est negatif (−).Si un courant qui entre dans un noeud est negatif (−), alors uncourant qui sort du noeud est positif (+).

On doit utiliser une des deux conventions precedentes, mais il faut etreconsistent.


Lois de Kirchhoff Conventions

Loi de Kirchhoff des tensions

Pour utiliser la loi de Kirchhoff des tensions correctement, il faut aussiutiliser une convention :

On applique un signe positif (+) a une hausse de tension, et un −a une chute de tension.On applique un signe negatif (−) a une hausse de tension, et un +a une chute de tension.

Comme la loi de courants, il faut etre consistent dans l’application decette convention.


Lois de Kirchhoff Exemples

Exemple 1

On veut analyser le circuit suivant pour calculer le courant.

15V 50Ω

a

10Ω 20Ω

b c

d

Pour faire l’analyse, il faut assigner un courant (avec un sens) et destensions a chaque element.



Exemple 1

Le courant i sort de la source.

15V 50Ω

a

10Ω 20Ω

b c

d

+ v2 –

+

v3

–

– v1 +

i

Autour de la boucle du circuit, on a ajoute des signes + et − pourchaque element (sauf la source, parce qu’il est deja donne). Ladirection de ces signes n’est pas importante pour le moment ; ce qui estimportant, c’est comment on ecrit les signes en applicant la loi deKirchhoff.



Exemple 1

On commence l’analyse en applicant la loi de Kirchhoff des tensions.

15V 50Ω

a

10Ω 20Ω

b c

d

+ v2 –

+

v3

–

– v1 +

i

On fait le tour de la boucle, encommencant par n’importe quel element,en faisant la somme des tensions. Dans cecas-ci, on choisit une convention : si lecourant entre dans le +, on ecrit + pourle signe de la tension.

On obtient l’equation suivante, en commencant par le noeud a :

−15 + v3 − v2 + v1 = 0 (1)



Exemple 1

Cependant, on a trois inconnues dans l’equation precedente.

15V 50Ω

a

10Ω 20Ω

b c

d

+ v2 –

+

v3

–

– v1 +

i

On utilise la loi d’Ohm pour obtenir lesautres equations :

v1 = 10i

v2 = −20i

v3 = 50i

(2)

Remarquer le signe − pour v2 ; puisque le courant entre dans la bornenegative, il faut utiliser − dans l’equation qui relie la tension aucourant.



Exemple 1

On peut ensuite ecrire les equations 2 dans l’equation 1 pour obtenir :

−15 + 50i− (−20i) + 10i = 0 (3)

La seule inconnue est le courant i, qu’on resout pour trouveri = 0.1875A.

Le signe de i nous indique la direction du courant. Puisqu’on a trouveque i est positif, ceci veut dire que le sens choisit du courant estcorrect. Si on aurait trouve un signe negatif, le courant irait dans lesens contraire.



Exemple 1

Avec le courant calcule, on peut calculer la tension dans chaqueelement.

v1 = (10)(0.1875) = 1.875Vv2 = −(20)(0.1875) = −3.75Vv3 = (50)(0.1875) = 9.375V

(4)

D’apres ces calculs, la tension v2, qui est la tension vbc, est negative.On pourrait aussi exprimer cette tension par vcb = 3.75V, une tensionpositive.



Exemple 1 : bilan de puissance

On prend le courant qui entre dans la borne positive comme unetension positive (selon la reference choisie dans cet exemple). Lespuissances sont :

pS = −vSi = −(15)(0.1875) = −2.8125 W

p1 = R1i2 = (10)(0.1875)2 = 0.3516 W

p2 = R2i2 = (20)(0.1875)2 = 0.7031 W

p3 = R3i2 = (50)(0.1875)2 = 1.7578 W

(5)

Le seul element qui fournit de la puissance est la source, ce qui fait dusens, puisque des resistances ne peuvent pas fournir de puissance.

pT = pS + p1 + p2 + p3 = 0 X



Exemple 2

Pour le circuit suivant,

120V 6A

10Ω

50Ω

io

1 Calculer io,2 Verifier les calculs pour s’assurer que Pfournie = Pconsommee.



Exemple 2

Etape 1 : Indiquer les noeuds, tensions et courants.

120V 6A

10Ω

50Ω

io

a b

c

+ vo –

+

v1

–

+

v2

–

i1



Exemple 2

Etape 2 : Appliquer les lois de Kirchhoff.

120V 6A

10Ω

50Ω

io

a b

c

+ vo –

+

v1

–

+

v2

–

i1

LKC au noeud b (convention qu’un courant qui entre dans un noeudest positif) :

io − i1 + 6 = 0



Exemple 2

Etape 2 : Appliquer les lois de Kirchhoff.

120V 6A

10Ω

50Ω

io

a b

c

+ vo –

+

v1

–

+

v2

–

i1

LKV, boucle c− a− b− c, (convention qu’un courant qui entre dans le+ est positif) :

−120 + vo + v1 = 0

A l’aide de la loi d’Ohm, on peut simplifier :

−120 + 10io + 50i1 = 0



Exemple 2

Etape 3 : Solutionner.

120V 6A

10Ω

50Ω

io

a b

c

+ vo –

+

v1

–

+

v2

–

i1

On a 2 equations et 2 inconnues :

i1 = io + 6

et donc,

−120 + 10io + 50(io + 6) = 060io = −180

io = −3 A



Exemple 2

Le courant io = −3A. De plus, le courant i1 = 3A. On peut aussiresoudre ce systeme d’equation simples avec Mathcad :

Given

io

i1

− 6+ 0=

120− 10 io

⋅+ 50 i1

⋅+ 0=

Find ioi1

, ( )3−

3

→



Exemple 2 : Bilan de puissance

Avec ces calculs, on peut maintenant faire le bilan de puissance.

p10Ω = Ri2 = (10)(−3)2 = 90W consomme

p50Ω = Ri2 = (50)(3)2 = 450W consommep120V = −vi = −(120)(−3) = 360W consomme

p6A = −vi = −(50)(3)(6) = −900W fournit

Note : v6A = v50Ω = (50)(3) = 150V (en parallele)

Bilan :pT = 90 + 450 + 360− 900 = 0 X



Exemple 3

On va faire un exemple d’un circuit ayant une source dependante. Soitle circuit de la figure suivante. Calculer la tension vo.

500V 5i∆

5Ω

20Ω

i∆ +

vo

–



Exemple 3

On procede de la meme facon que d’habitude : on identifie les noeuds,puis on assigne les tensions et courants aux elements. Une facon defaire est montree a la figure suivante.

500V 5i∆

5Ω

20Ω

i∆ +

vo

–

+ v1 –

+

v2

–

io

a b

c



Exemple 3

Il y a 3 noeuds. On applique la loi de Kirchhoff des courants au noeudb, puisque c’est la ou se rencontrent les 3 courants. On obtientl’equation suivante (convention qu’un courant qui entre dans le noeudest positif) :

i∆ − io + 5i∆ = 0

On peut resoudre pour obtenir

io = 6i∆



Exemple 3

LKV a la maille a− b− c− a (convention qu’un courant qui entre dansle + est positif) :

−500 + 5i∆ + 20io = 0

On a deux equations, et deux inconnues, qu’on resout pour obtenir :

i∆ = 4 Aio = 24 A

et la tension de sortie vo est :

vo = 20io = 480 V

Un bilan de puissance permet de verifier que les calculs sont corrects.



Exemple 4

Soit le circuit de la figure suivante. Calculer les courants is, i1 et i2.

120V

4Ω

18Ω

is

i1 i2

3Ω

6Ω

a b

c

d



Exemple 4

Approche : De facon generale, pour solutionner ce genre de probleme,on procede par etapes.On va simplifier le circuit le plus possible en se rapprochant de lasource. Par apres, on refait les etapes a l’inverse pour tout calculer.



Exemple 4

Puisque la source est branchee entre les noeuds a et c, on va simplifieren premier le circuit entre les noeuds b et c. On simplifie en premier labranche a droite du circuit. Les deux resistances de cette branche sonten serie, ce qui donne :

3Ω

6Ω

b

c

d

9Ω

b

c

Résistances

en série



Exemple 4

Par apres, on peut simplifier le circuit complet entre les noeuds b et c.

18Ω 9Ω

b

c

Req

b

c

Résistances en parallèle

La resistance equivalente Req est obtenue en appliquant l’equation pourdeux resistances en parallele :

Req =(18)(9)18 + 9

= 6Ω



Exemple 4

Le circuit simplifie :

120V

4Ω

6Ω

is

a b

c

+

v1

–

+ vx –

Important : on n’a pas indique i1. Le courant i1 n’apparaıt plus parcequ’on a modifie l’element entre les noeuds b et c. Cependant, v1 est lameme tension.



Exemple 4

On applique LKV autour de la boucle, et la loi d’Ohm (avec les memeconventions que d’habitude).

−120 + 4is + 6is = 0

On obtient :is = 12 A



Exemple 4

La tension v1 (qui est la tension vbc) peut maintenant etre calculee :

v1 = Reqis = (6)(12) = 72 V

Avec la tension v1, on peut calculer les courants voulus en faisant lescalculs dans les circuits dans l’ordre inverse des simplifications.



Exemple 4

Puisque la tension v1 est la meme que dans le circuit original, lecourant i1 est tout simplement la tension v1 divisee par la resistanceoriginale entre b et c :

i1 =v1

18=

7218

= 4 A



Exemple 4

Pour calculer le courant i2, on observe que la tension v1 est la tensionaux bornes de la resistance de 9Ω qu’on a calcule a la premiere etapede la simplification. Le courant est obtenu en applicant la loi d’Ohm :

i2 =v1

9=

729

= 8 A

C’est le courant qui circule dans la resistance de 3Ω et dans celle de 6Ω.



Exemple 4

On peut faire le bilan de puissance pour verifier les calculs.

p4Ω = Ri2 = (4)(12)2 = 576W consomme

p18Ω = Ri2 = (18)(4)2 = 288W consomme

p3Ω = Ri2 = (3)(8)2 = 192W consomme

p6Ω = Ri2 = (6)(8)2 = 384W consommep120V = −vi = −(120)(12) = −1440W fournit

Bilan :

pT = 576 + 288 + 192 + 384− 1440 = 0 X


Diviseur de tension

Diviseur de tension

Methode pour accelerer le calcul de tensions dans un circuit.Il ne doit pas avoir une autre resistance en parallele avec R1 ou R2.Le circuit doit etre de la forme donnee.

Vs

R1

i +

v1

–

+

v2

–

R2


Diviseur de tension

Diviseur de tension

LKV a la boucle :

−vs + R1i + R2i = 0vs = i(R1 + R2)

et on obtient

i =vs

R1 + R2


Diviseur de tension

Diviseur de tension

Vs

R1

i +

v1

–

+

v2

–

R2

On obtient les equations suivantes :Diviseur de tension

v1 = R1i =R1

R1 + R2vs (6)

v2 = R2i =R2

R1 + R2vs (7)


Diviseur de courant

Diviseur de courant

Methode pour accelerer le calcul de courants dans un circuit.is peut provenir d’une source de courant, ou de n’importe quelgenre de circuit.Il ne doit pas avoir une autre resistance en parallele avec R1 ou R2.Le circuit doit etre de la forme donnee.

R1 R2

is

i1 i2

+

v

–


Diviseur de courant

Diviseur de courant

On peut combiner les resistances paralleles :

Req =R1R2

R1 + R2

La tension aux bornes de la resistance equivalente est :

v = R1i1 = R2i2 = Reqis =R1R2

R1 + R2is


Diviseur de courant

Diviseur de courant

R1 R2

is

i1 i2

+

v

–

On obtient les equations suivantes :Diviseur de courant

i1 =R2

R1 + R2is (8)

i2 =R1

R1 + R2is (9)


Pont de Wheatstone

Pont de Wheatstone

Utilise pour mesurer des resistances.R3 est une resistance variable.Rx est la resistance a mesurer.R1 et R2 sont des resistances connues.

V

R2 i1

a b A

Rx

R1

R3

i2

ix i3

ig


Pont de Wheatstone

Pont de Wheatstone

On ajuste R3 jusqu’a ce que l’amperemetre indique un courant nul(ig = 0).

Si le courant ig est nul, il faut que :1 Le courant i1 = i3, et le courant i2 = ix,2 La tension au noeud a est egale a la tension au noeud b (va = vb,

ou vab = 0).


Pont de Wheatstone

Pont de Wheatstone

Etant donne ces deux conditions, on a :

R1i1 = R2i2 (10)R3i3 = Rxix (11)

Par substitution, on obtient

R3i1 = Rxi2 (12)

Si on divise l’equation 10 par l’equation 12, on obtient la relationsuivante :

R1

R3=

R2

Rx⇒ Rx =

R2

R1R3 (13)


Transformation ∆−Y


Il existe une autre forme de circuit qu’on ne peut pas simplifier selonles methodes vues jusqu’a present :

R2

a b

Ra

R1

R3

Rb

Rc

c

a b

c




Les resistances ne sont pas en serieLes resistances ne sont pas en parallele

R2

a b

Ra

R1

R3

Rb

Rc

c

a b

c




De ∆ a Y, on utilise les equations suivantes :

R1 =RbRc

Ra + Rb + Rc

R2 =RaRc

Ra + Rb + Rc

R3 =RaRb

Ra + Rb + Rc




De Y a ∆, on utilise les equations suivantes :

Ra =R1R2 + R2R3 + R1R3

R1

Rb =R1R2 + R2R3 + R1R3

R2

Rc =R1R2 + R2R3 + R1R3

R3


Transformation ∆−Y Exemple

Exemple

Pour le circuit suivant, calculer le courant et la puissance de la source.

40V

5Ω

25Ω

125Ω 100Ω

37.5Ω 40Ω



Exemple

Il y a deux ∆ dans ce circuit. On doit en transformer un des deux en Ypour trouver la resistance equivalente. On choisit celui du haut.

25Ω

125Ω 100Ω

R2

R1

R3

R1 =(100)(125)

100 + 25 + 125= 50Ω

R2 =(100)(25)

100 + 25 + 125= 10Ω

R3 =(125)(25)

100 + 25 + 125= 12.5Ω



Exemple

Nouveau circuit :

40V

5Ω

50Ω

12.5Ω 10Ω

37.5Ω 40Ω

En série = 50Ω

En série = 50Ω



Exemple

On peut maintenant effectuer la simplification suivante.

40V

i

5Ω

50Ω

50Ω 50Ω En parallèle = 25Ω



Exemple

La prochaine etape est de combiner toutes ces resistances.

40V

i

5Ω

50Ω

25Ω

En série = 80Ω



Exemple

Il ne reste qu’un circuit simple : une source de tension de 40V brancheea une resistance de 80Ω. Le courant fournit par la source est :

i =v

R=

4080

= 0.5 A

et la puissance :

p = −vi = −(40)(0.5) = −20 W


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