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GELE2112 Chapitre 3 :Techniques d’analyse de circuits

Gabriel Cormier, Ph.D., ing.

Universite de Moncton

Hiver 2010

Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 3 Hiver 2010 1 / 56

Introduction

Contenu

Ce chapitre presente des techniques avancees d’analyse des circuitselectriques.

Transformation de source

Methode des tensions de noeuds

Methode des courants de maille

Equivalents Thevenin et Norton

Superposition

Transfert maximal de puissance




Transforme une source de tension ayant une resistance en serie a unesource de courant ayant une resistance en parallele.

vs

R

a

b

is R

a

b




Un voltmetre et un amperemetre entre a et b doivent mesurer la memechose dans les deux configurations.

vs

R

a

b

is R

a

b

Pour que ce soit equivalent, il faut que

is =vsR


Transformation de source Exemple

Exemple

Calculer la puissance dans la source de 6V du circuit suivant.

6V

4Ω

30Ω

6Ω

20Ω

c

a

b

d

40V

10Ω

5Ω



Exemple

La seule chose qui nous interesse, c’est la source de 6V et le courant qui ysort (entre), parce qu’on veut calculer la puissance. On simplifie de droitea gauche.

6V

4Ω

30Ω

6Ω

20Ω

c

a

b

d

40V

10Ω

5Ω

Transformation

de source

5Ω 8A



Exemple

On continue de simplifier le circuit. La resistance de 5Ω est en paralleleavec la resistance de 20Ω.

6V

4Ω

30Ω

6Ω

20Ω

c

a

b

d

10Ω

Transformation

de source

5Ω 8A



Exemple

La source de tension aura une valeur de 8× 4 = 32V.

4Ω

30Ω

6Ω

4Ω

c

a

b

d

10Ω

8A 6V

Transformation

de source 32V

4Ω

c

d



Exemple

On combine les resistances en serie.

4Ω

30Ω

6Ω a

b

10Ω

6V

En série 4Ω

32V 32V

b

a

20Ω



Exemple

On effectue une autre transformation de source. La source aura une valeurde 32/20 = 1.6A.

4Ω

30Ω

20Ω a

b

6V

Transformation

de source

32V 1.6A 20Ω



Exemple

On calcule 20||30 = 12Ω, puis on fait la transformation de source.

4Ω

30Ω

a

b

6V

En parallèle, puis

transformation de

source

1.6A 20Ω

19.2V

b

a

12Ω



Exemple

Le circuit final :

4Ω

6V 19.2V

12Ω i

+ v1 – + v2 –

On applique la LKV pour la boucle,avec les conventions habituelles :

−6 + (4 + 12)i + 19.2 = 0

ce qui donne i = −0.825A. La puissancede la source de 6V est :

p = −vi = −(6)(−0.825) = 4.95 W

La source consomme 4.95W.


Transformation de source Cas particulier

Cas particulier 1

On peut ignorer une resistance en parallele avec la source de tension.

vs

R

a

b

Rp vs

R

a

b


Transformation de source Cas particulier

Cas particulier 2

On peut ignorer une resistance en serie avec la source de courant.

is R

a

b

is R

a

b

Rs


Tension de noeuds Methodologie

Tension de noeuds

La methode est la suivante :

1 Identifier les noeuds essentiels (les noeuds ou il y a 3 elements ou plusde branches ensembles).

2 Choisir une reference. On utilise souvent le noeud ou il y a le plusd’elements de branches.

3 On cherche a decrire la tension entre les autres noeuds par rapport aunoeud de reference. On appelle ces tensions les tensions de noeud.

4 On ecrit le courant qui sort de chaque noeud en fonction de la tensiondes noeuds.

5 Solutionner les equations obtenues a l’etape precedente.


Tension de noeuds Exemple

Exemple

On demontre la methode a l’aide du circuit suivant.

2Ω

10V 2A

1Ω

10Ω 5Ω

a b

c



Exemple

Noeuds essentiels : a, b et c

Noeud de reference : c

Tensions de noeud : v1 et v2

2Ω

10V 2A

1Ω

10Ω 5Ω

a b

c

v1

+

–

v2

+

–



Exemple

Somme des courants qui sortent du noeud a.

2Ω

10V

1Ω

5Ω

a b

c

v1

+

–

v2

+

–

c

v1

+

–

a

v1

+

– c

a

i1

i2

i3

L’equation des courants qui sortent du noeud a est :

v1 − 10

1+

v15

+v1 − v2

2= 0



Exemple

−+10V

1Ω

+ −vR

c−

a+

v1

i1

LKV :

−10 + vR + v1 = 0

ou−10− 1i1 + v1 = 0

⇒i1 =

v1 − 10

1



Exemple

Somme des courants qui sortent du noeud b.

2Ω

2A 10Ω

a b

c

v1

+

–

v2

+

–

i1

v2

+

–

i2

i3 b

c c

b

v2

+

–

L’equation des courants qui sortent du noeud b est :

v2 − v12

+v210− 2 = 0



Exemple

On a 2 equations, 2 inconnues :

1.7v1 −0.5v2 = 10−0.5v1 +0.6v2 = 2

=⇒[

1.7 −0.5−0.5 0.6

]·[v1v2

]=

[102

]On solutionne pour trouver v1 = 9.09V et v2 = 10.91V.


Tension de noeuds Cas particulier

Cas particulier

Cas ou une source de tension est le seul element dans une branche.

Equations simplifiee.

25Ω

10Ω

50Ω

a

c

b

5A 100V

+

v1

–

+

v2

–

On a seulement besoin d’ecrire l’equation du noeud b :

v2 − v110

+v250− 5 = 0

et puisque v1 = 100, on obtient v2 = 125V.Gabriel Cormier (UdeM) GELE2112 Chapitre 3 Hiver 2010 22 / 56

Courants de maille Methodologie

Courants de maille

La methode est la suivante

1 Identifier les mailles (maille : boucle qui n’a pas d’autre boucle al’interieur).

2 Ecrire les courants des mailles.

3 Faire la LKV de chaque maille, en fonction des courants de maille.

4 Solutionner les equations obtenues a l’etape precedente.


Courants de maille Exemple

Exemple

Soit le circuit de la figure suivante.

2Ω

8Ω

6Ω

6Ω 40V 20V

4Ω

+

vo

–

Calculer :

1 La puissance dans les deux sources,

2 La tension de sortie vo



Exemple

On a trois mailles dans ce circuit, donc il faut utiliser trois courants demaille.

2Ω

8Ω

6Ω

6Ω 40V 20V

4Ω

+

vo

–

ib ic ia

On applique la LKV aux trois mailles :

−40 + 2ia + 8(ia − ib) = 0

6ib + 6(ib − ic) + 8(ib − ia) = 0

4ic + 20 + 6(ic − ib) = 0



Exemple

On a trois equations, et trois inconnues. On peut facilement resoudre cesysteme d’equations avec Mathcad, et donc ia = 5.6A, ib = 2.0A etic = −0.8A.

La puissance dans les sources est :

p40V = −via = −(40)(5.6) = −224 W (fournit)

p20V = +vic = +(20)(−0.8) = −16 W (fournit)

Il est facile de trouver vo :

vo = 8(ia − ib) = 8(3.6) = 28.8 V


Courants de maille Cas particulier

Cas particulier

De facon similaire a la methode des tensions de noeuds, s’il y a unesource de courant dans une branche, il y a moins d’equations aresoudre.


Equivalents Thevenin et Norton Definitions

Equivalents Thevenin et Norton

Utilise lorsqu’on est interesse par la tension et le courant a une seulebranche du circuit.

Voir l’impact du circuit aux bornes qui nous interessent

Remplacer le circuit quelconque par un circuit equivalent representepar une source de tension vTH et une resistance serie RTH .

vTH RTH

a

b

Circuit

a

b

Équivalent

Thévenin



Equivalent Thevenin

Le circuit Thevenin doit etre equivalent au circuit general :

Un voltmetre place aux bornes a et b mesure la meme tension dans lesdeux cas,Un amperemetre place entre a et b mesure le meme courant dans lesdeux cas.

vTH RTH

a

b

Circuit

a

b

Équivalent

Thévenin



Equivalent Thevenin

vTH , est la tension obtenue en placant un voltmetre entre les bornesa et b : circuit ouvert entre a et b, soit vco.

Pour obtenir la resistance Thevenin, il faut premierement mesurer lecourant entre les bornes a et b. Si on place un amperemetre entre aet b, c’est l’equivalent de placer un court-circuit. On mesure (oucalcul) donc le courant de court-circuit, icc.

RTH =vcoicc


Equivalents Thevenin et Norton Exemple

Exemple

Calculer l’equivalent Thevenin entre les bornes a et b.

20Ω

4Ω

a

b

3A 25V

+

v1

–

5Ω



Exemple

On calcule en premier la tension de circuit ouvert, vco. C’est la tension auxbornes de a et b.

Par tensions de noeud :

v1 − 25

5+

v120− 3 = 0

on obtient v1 = 32V, et doncvab,co = 32V = vTH .

20Ω

4Ω

a

b

3A 25V

+

v1

–

5Ω



Exemple

Pour calculer iab,cc, il faut appliquer un court-circuit entre a et b, ce quidonne le circuit suivant.

20Ω

4Ω a

b

3A 25V

+

v2

–

5Ω

iab,cc

Methode des tensions de noeud :

v2 − 25

5+

v220− 3 +

v24

= 0

ce qui donne v2 = 16V.

Courant de court-circuit :

iab,cc =v24

=16

4= 4 A



Exemple

La resistance Thevenin est :

RTH =vab,coiab,cc

=32

4= 8Ω

Le circuit equivalent est :

32V

8Ω

a

b


Equivalents Thevenin et Norton Equivalent Norton

Equivalent Norton

Transformation de source de l’equivalent Thevenin : c’est une sourcede courant en parallele avec une resistance.

Dans l’exemple precedent, l’equivalent Norton serait une source decourant de 4A en parallele avec une resistance de 8Ω.


Equivalents Thevenin et Norton Utilisation des transformations de source

Transformations de source

On peut faire des transformations de source pour obtenir l’equivalentThevenin si le circuit ne contient pas de sources dependantes.

Si le circuit contient des sources dependantes, il faut utiliser lesmethodes habituelles.



Exemple

Calculer l’equivalent Thevenin entre les bornes a et b.

a

b

20i 5V

+

v

–

2kΩ

3v 25Ω

ix

i



Exemple

Notes sur le circuit :

Contient deux sources dependantes.

Il n’y a pas de courant qui passe entre les deux sources controlees(ix = 0).

La tension Thevenin vab,co est la tension aux bornes de la resistancede 25Ω.

vab,co = −Ri = −(25)(20i) = −500i



Exemple

Courant i : LKV autour de la boucle de gauche, ou la tension de controlev est la tension vab,co :

−5 + 2000i + 3vab,co = 0

On a deux equations, et deux inconnues, qu’on resout pour trouver :

vab,co = −5 V



Exemple

Courant de court-circuit, iab,cc (v = 0, donc la source de tension controleedisparaıt) :

a

b

20i 5V

+

v

–

2kΩ

25Ω iab,cc

i

iab,cc est le courant de la source controlee, puisqu’aucun courant ira dansla resistance de 25Ω.

iab,cc = −20i



Exemple

Courant i : LKV autour de la boucle de gauche :

−5 + 2000i = 0

et donc i = 2.5mA.

Le courant de court-circuit est :

iab,cc = −20i = −20(0.0025) = −50 mA

On calcule finalement la resistance Thevenin :

RTH =vTH

icc=−5

−0.05= 100Ω


Equivalents Thevenin et Norton Cas particulier 1

Cas particulier 1 : aucune source dependante

Le calcul de RTH est beaucoup plus simple.

Methode :

Remplacer les sources de tension par des court-circuits.Remplacer les sources de courant par des circuits ouverts.Calculer la resistance equivalente entre a et b.

Plus rapide que le calcul de icc.



Exemple

Calculer la resistance Thevenin entre les bornes a et b.

20Ω

4Ω

a

b

3A 25V

5Ω



Exemple

Pas de sources dependantes : on simplifie.

20Ω

4Ω

a

b

5Ω

La resistance equivalente entre les bornes a et b est facile a calculer :

Req = 5||20 + 4 =(20)(5)

20 + 5+ 4 = 8Ω



Cas particulier 2 : seulement des sources dependantes

On ne peut pas utiliser les methodes habituelles.

Methode :

On applique une source de tension vx aux bornes a et b, puis on calculele courant ix qui sort de la source.Le rapport vx/ix donne la resistance Thevenin.

Peut aussi etre utilisee s’il y a des sources independantes : il fautcependant desactiver les sources independantes.



Exemple

Calculer la resistance Thevenin entre les bornes a et b.

a

b

20i

+

v

–

2kΩ

3v 25Ω

i



Exemple

On applique une source de tension vx aux bornes a et b :

a

b

20i

+

v

–

2kΩ

3v 25Ω

i

vx

ix

Courant ix en fonction de la tension vx. LKC au noeud a :

ix = 20i +vx25



Exemple

On obtient i en appliquant la LKV autour de la boucle de gauche :

2000i + 3vx = 0⇒ i = − 3vx2000

On combine les equations :

ix = −203vx2000

+vx25

et donc :ixvx

= −203

2000+

1

25= 0.01

Ce qui donne :

RTH =vxix

= 100Ω


Superposition

Superposition

Les sources et elements sont lineaires.

On peut analyser un circuit une source a la fois : la reponse finale estla somme des reponses individuelles.

Methode : on desactive toutes les sources sauf une.

Remplacer les sources de tension par un court-circuit.Remplacer les sources de courant par un circuit ouvert.

Cependant, cette methode necessite de resoudre plus d’equations qued’autres methodes, puisqu’on doit analyser 2 circuits ou plus au lieud’un seul.


Superposition Exemple

Exemple

Calculer le courant i du circuit suivant.

3Ω

2Ω

4Ω 12A 120V

6Ω

i



Exemple

On choisit de desactiver la source de courant en premier.

3Ω

2Ω

4Ω 120V

6Ω

i +

v1

–

Un noeud essentiel : methode des tensions de noeud.

v1 − 120

6+

v13

+v1

2 + 4= 0⇒ v1 = 30 V

Le courant est :

i′2 =v16

=30

6= 5 A



Exemple

On desactive la source de tension :

3Ω

2Ω

4Ω 12A

6Ω

i

Req

On peut simplifier la partie de gauche du circuit, en combinant lesresistances paralleles et en serie.

Req = 6||3 + 2 =(6)(3)

6 + 3+ 2 = 4Ω



Exemple

On a maintenant un diviseur de courant :

4Ω 4Ω 12A

i

Le courant est donc :

i′′2 =4

4 + 412 = 6 A

Le courant total est la somme des deux courants :

i2 = i′2 + i′′2 = 5 + 6 = 11 A




L’analyse de circuits est souvent necessaire pour trouver la puissancetransmise a une charge (antenne, haut-parleur, etc.).

On cherche a maximiser la puissance transmise a une charge.

Un transfert maximum implique un rendement eleve = moins depertes.



Exemple

Circuit quelconque avec charge :

vTH

RTH Circuit

quelconque avec des sources

RL RL

Modélisé

par

La puissance consommee par la charge est :

p = vi = RLi2 = RL

(vTH

RTH + RL

)2



Exemple

Pour maximiser, on derive :

dp

dRL= V 2

TH

[(RTH + RL)− 2RL

(RTH + RL)3

]= 0

On solutionne pour obtenir :

RL = RTH

La puissance transferee a la charge est alors :

pmax = RTH

(vTH

RTH + RTH

)2

=v2TH

4RL


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