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  • 2018 - 2019

    Florent Nageotte

    Analyse et Commande

    des Systèmes Numériques

    ACTION

    CONSIGNE

    COMMANDE

    MESURE

    MODÈLE

    NUMÉRIQUE

    Master MNE 1ère année

  • Table des matières

    Introduction v

    I Analyse des systèmes numériques 1

    1 Conversion AN et NA 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Effet de la conversion Analogique Numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2.1 Echantillonnage idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Echantillonnage réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3 Reconstruction des signaux échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Reconstruction idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Reconstruction approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    2 Représentation des systèmes numériques 23 2.1 La transformée en z (monolatérale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.1.1 Propriétés de la transformée en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Calcul des transformées en z inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.2 Transmittance des systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Système à temps discret (entrée et sortie numérique) . . . . . . . . 30 2.2.2 Transm. num. des syst. ana. à entrée éch. . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Pas de trans. num. pour les syst. ana. à entrée ana. . . . . . . . . . 33 2.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.5 Des fonctions de transfert numériques aux équations aux différences 34 2.2.6 Causalité des systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.7 Calcul des transmittances en z des systèmes . . . . . . . . . . . . . 36

    3 Analyse des systèmes échantillonnés 41 3.1 Relations entre pôles en s et pôles en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.1.1 Correspondances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Effet du BOZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    3.2 Réponse temporelle des systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Modes propres associés aux pôles en z . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2 Cas particulier des systèmes d’ordre 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.3 Précisions sur le théorème de la valeur finale . . . . . . . . . . . . . 50

    i

  • 3.3 Analyse de la stabilité des systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1 Notion de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.4 Critères algébriques de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.1 Critère de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.5 Réponse fréquentielle des systèmes échantillonnés . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5.1 Réponse harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.6 Diagrammes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.6.1 Gain statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.2 Utilisation des diagrammes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.6.3 Approximation des diagrammes en amplitude des boucles fermées . 59

    4 Analyse des boucles fermées 63 4.1 Critère de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4.1.1 Lien entre lieu de Nyquist et diagrammes de Bode . . . . . . . . . . 66 4.1.2 Critère de stabilité de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.3 Critère du revers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    4.2 Marges de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3 Lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.3.1 Exemple de tracé du lieu d’Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.3.2 Utilisation du lieu des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.4 Précision des systèmes numériques asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.1 Classe d’un système numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.4.2 Ecart en absence de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.4.3 Ecart en présence de perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.4.4 Importance de la châıne de retour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    II Correction numérique des systèmes 89

    5 Synthèse des correcteurs numériques par transposition 93 5.1 Méthodes de transposition continu - numérique . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.1.1 Transposition par échantillonnage - blocage . . . . . . . . . . . . . 94 5.1.2 Approximation bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.1.3 Conservation des pôles et des zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    5.2 Choix de la période d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 Prise en compte du bloqueur d’ordre zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Calcul de la loi de commande et implémentation des correcteurs numériques106 5.5 Correcteurs standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    5.5.1 Etude des PIDs numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    6 Synthèse numérique directe des correcteurs 115 6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    6.1.1 Réglage standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2 Synthèse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.2.1 Exemple de synthèse fréquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

  • 6.3 Stabilité interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4 Placement de pôles numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    6.4.1 Quelques conseils pour l’utilisation du lieu des racines pour le réglage d’un correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    6.4.2 Exemple de réglage d’un correcteur par placement des pôles . . . . 127 6.5 Correcteurs à temps d’établissement fini et à réponse pile . . . . . . . . . . 129

    6.5.1 Correcteurs à temps d’établissement fini . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.5.2 Propriétés des systèmes à temps d’établissement fini . . . . . . . . . 131 6.5.3 Correcteur à réponse pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.5.4 Propriétés des systèmes à réponse pile . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.5.5 Synthèse des correcteurs à réponse pile à l’aide du lieu d’Evans . . . 133

    7 Synthèse algébrique des correcteurs 135 7.1 Structure des correcteurs RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.2 Principe de la synthèse algébrique par placement de pôles . . . . . . . . . . 136

    7.2.1 Définition de la fonction de transfert modèle . . . . . . . . . . . . . 137 7.2.2 Choix des pôles et zéros à compenser . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    7.3 Principe de calcul du correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.3.1 Résolution des équations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.3.2 Exemple de résolution d’équations diophantiennes . . . . . . . . . . 141 7.3.3 Obtention des polynômes R, S et T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    7.4 Objectifs supplémentaires pour la synthèse RST . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4.1 Gain statique unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.4.2 Rejet des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    7.5 Implémentation d’un correcteur RST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.6 Analyse des fonctions de transfert résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.7 Synthèse de correcteurs série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.8 Synthèse de correcteurs à réponse pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    7.8.1 Correcteurs à temps d’établissement fini . . . . . . . . . . . . . . . 146 7.8.2 Correcteurs à réponse pile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    III Compléments 149

    8 Suivi de consigne par anticipation 151 8.1 Amélioration du suivi de consigne par anticipation . . . . . . . . . . . . . . 151

    8.1.1 Problème de suivi de consigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.1.2 Pré-étude : suivi par inversion de modèle . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.1.3 Correcteurs avec feed-forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.1.4 Mise en pratique des correcteurs avec feedforward . . . . . . . . . . 155 8.1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    Conclusion 161

    Annexes 163

    iii

  • iv

  • Introduction

    L’automatique est la discipline qui s’intéresse à la modélisation, l’analyse et la com- mande automatique des systèmes (Automatic System Control en anglais). Un système est l’ensemble des phénomènes physiqu

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