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APII-1987 - 21 - 3 -16 Gestion de production
Modélisation et gestion de systèmes multidimensionnelsde production avec stockages
Jean-Claude HENNET e), Marina VASSILAKI e)
Résumé/Abstract
On représente un processus de production industrielle comme un enchaînement detransformations de type logique et quantitatif. Chaque transformation est caractériséepar des facteurs de production, des flux de produits entrants et des flux de produitssortants. Cette structure d'interactions peut être représentée graphiquement comme unréseau de Petri dont les places correspondent aux stocks de produits et les transitions'aux activités de transformation. Cependant, les variables de places et de transitions nesont pas de type entier mais réel positif car les processus de production envisagés sont denature continue.
A cette description graphique correspond la représentation d'état déterministe entemps discret suivante :
oùXk est le vecteur des stocks de produits au début de la période k.Uk est le vecteur des niveaux d'activité des transformations pendant la période k.C est la matrice d'incidence transposée du graphe de Petri associé.Un critère possible de gestion optimale du processus de production représente la
somme actualisée des bénéfices nets moins les coûts de stockage sur tout l'horizon detemps. Le problème de gestion optimale est décomposé en une recherche parprogrammation linéaire de la politique optimale de fonctionnement en régimepermanent et en un problème linéaire quadratique de régulation autour de ce régimeoptimal. Cette décomposition permet d'envisager une commande en temps réel à deuxniveaux de processus de production.
lndustrial production processes can be represented as sequences of logical andquantitative transformations. Each transformation is characterized by its productionfactors, and by its input and output flows. The structure of interactions within aproduction process can be graphically represented as a Petri net with places correspondingto stocks of products and transitions corresponding to transformation activities. ln thiscase, place and transition variables are not of the integer type but positive since theconsidered production processes have continuous material flows.
The graphie description of the system generates the following discrete-time deterministicstate model :
e) Laboratoire d'Automatique et d'Analyse des Systèmes du CNRS, 7, avenue duColonel Roche, 31077 Toulouse Cedex, France.
© AFCET Gauthier-Villars APII-0399-0516/1987/013 14/$ 3.40
SYSTÈMES MULTIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION4witli
X, vector of stocks of products at the beginning of period k.Uk vector of transformations activity levels du ring period k.C transposed incidence matrix of the associated Petri graph.A possible criterion for the optimal control of the production pro cess is the actua!ized
sum of net benefits minus inventory costs over the whole Cime-horizon. The controlproblem is decomposed into the resolution of a !inear program for finding the optimalpermanent operational state and into a linear quadratic regulation problem around theoptimal state. Such a decomposition may induce a two-level real-time control scheme forthe production process.
Mots clés/ KeywordsSystèmes de production, Graphes de Petri, Représentations d'état, Commande
optimale.Production systems, Petri nets, State representations, Optimal control.
Introduction
Cette étude est consacrée à la gestion de processus de production dans uncontexte économique ouvert. On propose une représentation « entrées-sorties» de ces processus déduite des bilans de production par postes portantsur des périodes pouvant aller de l'heure à l'année. Tout secteur d'activité dansl'industrie, l'agriculture ou les services, peut être décomposé en transforma-tions élémentaires dont les entrées et les sorties sont des flux de produits,d'énergie, de travail ou de capital. L'enchaînement logique de ces transforma-tions décrit, de façon plus ou moins agrégée, la structure de fonctionnement dusecteur. Pour représenter ces relations logiques et quantitatives, nous propo-sons d'utiliser une extension des graphes de Petri.
A partir d'une description statique des flux d'échanges entre unitésd'activités, on construit un modèle mathématique du système en considérantcomme variables de commande (dans un domaine restreint) les niveauxd'activité et comme variables d'état les niveaux de stocks des produits et ducapital. En termes monétaires, cette technique de modélisation est du mêmetype que les modèles de Leontief issus des tableaux de comptabilité nationale(J.-c. Hennet, 1984a). Cependant, la représentation des processus deproduction par des graphes de Petri diffère essentiellement de la représentationdes mécanismes économiques du fait que les unités utilisées pour le chiffragedes stocks et des flux d'activité ne sont plus seulement monétaires maispeuvent aussi être des unités physiques (J.-c. Hennet, 1984b).
Le modèle d'état décrivant l'évolution des stocks et le bilan financierassociés à chaque politique de production possible permet de formuler leproblème de gestion optimale à partir d'un critère de performance global.Après une étude des états d'équilibre possibles du système et la caractérisationde l'étai d'équilibre optimal, on cherchera le régime permanent optimal defonctionnement par optimisation d'un critère linéaire. La gestion dynamique
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IL
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du système correspondra alors à la détermination du regime transitoireoptimal. Ce problème peut être formulé comme un problème de régulation parcritère quadratique. Les contraintes de bornes sur les stocks et sur les niveauxd'activité nous amèneront à résoudre ce problème par une méthode dedescente basée sur un algorithme de relaxation.
Représentation du système par graphe de Petri
Pour représenter un processus de production on construit un graphe de Petride la façon suivante:
A chaque produit ou facteur de production on associe une place. Lestransitions du réseau représentent les transformations ou activités qui compo-sent le système de production et le tir d'une transition signifie le fonctionne-ment d'une activité. Les arcs reliant une place à une transition déterminent lesfacteurs de production utilisés par l'activité. Les arcs transition-place représen-tent les produits résultant de la transition.
Pour donner une image de l'évolution quantitative du processus on peutpondére [ les arcs d'entrée et de sortie des transitions par les quantitésproduites du utilisées, conformément aux bilans de production. En vued'obtenir une représentation plus générale des flux de matière et d'énergiedans le graphe, on pondère les arcs du réseau par des coefficients déterminéspar les équations de production. Ces équations sont établies à partir desmesures disponibles sur les quantités entrée-sortie des transitions.
Considérons une activité i qui n'a qu'un produit. Notons par Yi (k) la
quantité de ce produit créée pendant la période k et sJ ( k) j = 1, ... , niesfacteurs de production j utilisés pour la production de Yi ( k). On aura :
(1)
On suppose qu'il ne peut y avoir de substitution entre facteurs deproduction, ce qui est réaliste pour la plupart des systèmes industriels.
Les variables sj ( k) ne peuvent donc pas être indépendantes. Il existe des
fonctions fJ ( sJ) telles que:
Nous considérons le cas où les fonctions fj (sj (k) ) sont homogènes, dupremier ordre:
Yi (k)si (k) s~ (k) s~(k)
(3)
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3 'Sr
--
6SYSTÈMES MUL TIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION
où ai est la quantité de facteur de production j utilisée pour la production d'uneunité de produit Yi-
Dans le cas de plusieurs produits par activité, on aura de la même manière :
si(k) s~(k) s~(k)--=--= ...=--=u,(k)
ai ai ai 11 2 n
(4)
où Ui est maintenant la quantité d'un produit i choisi comme référence crééependant la période k.
De façon analogue, on suppose que les produits créés par une transition sontnon substituables et qu'il existe entre eux des relations homogènes du premierordre:
u; (k) = yi (k) = y~ (k) = ... = y~ (k)bf b~ b~
(5)
yi [l' : Il' .,., n étant les quantités des produits 1 de la transition i., ... ,p
bi est la quantité de produit j pour une unité de produit i choisi commeréférence.
Sans perte de la généralité, on peut imposer comme produit de référence lemême qui a été considéré pour obtenir les coefficients aJ des facteurs deproduction j, j = 1, .. " n. On aura donc u; = ui. Si on utilise les facteurs deproduction
j = 1, , ni = 1, , m
on a:
(6)
Les quantités utilisées et produites par la transition i sont proportionnelles àui (k) . ui (k) donne donc une mesure de l'intensité du fonctionnement del'activité représentée. C'est le niveau d'activité de la transition.
Les ai, bi et Ui (k) sont des réels éventuellement dirnensionnés, puisque lesquantités peuvent ne pas être mesurées par des unités de mesure uniformes.
Construction du modèle
Pour construire un modèle dynamique du système de production, onutilisera les équations d'évolution des stocks.
Soit xj ( k) , j = 1, ... , n le stock du facteur de production j au début de lapériode k.
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On aura (J.-c. Hennet, 1984a)
xj (k + 1) = (1 - kj) xj (k) + Sj (k) , (7)
kj = facteur de dépréciation.Pour simplifier l'étude, on suppose que kj = 0 ce qui est vrai pour des
périodes de stockage courtes ou pour des produits non dépréciables. Parailleurs:
LbiUi(k)i = 1
Lai uJk)i = 1
n
L (bj-a;) ui(k)i = 1
(8)
Ui (k) étant le niveau d'activité de la transition i pendant la période k. Onaura à partir de (7) :
Xj (k + 1) = xj (k) + L ci Ui (k)i = 1
(9)
avec
Les coefficients ci comme bj, ai sont des réels éventuellement dimensionnés.
Par construction du réseau, celui-ci est normalement pur (bi x ai = 0) . Unproduit ne peut être à la fois en entrée et en sortie d'une transition car on nes'intéresse qu'aux bilans de production.
Si on écrit les équations (9) pour tous les stocks on a :
Xk + 1 = xk + CUk k = l, ... , N
avec
XI (k) u,(k) CI
xk = uk = C=
xn (k) v; (k) cn1
(10)
c~
On a ainsi une représentation d'état multi-dimensionnelle du processus deproduction.
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8SYSTÈMES MUL TIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION
On peut avoir par exemple pour une transition i :
SI : facteur de production mesuré en t/h,
S2 : facteur de production mesuré en m3;h,YI : produit mesuré en mégawatts,Y2: produit mesuré en t/h.
En choisissant YI comme produit de référence, on a : al en t/MWh, a2 en
m3;MWh, hl = 1, h2 en t/MWh, U en MW.On essaie toutefois d'utiliser les unités de mesure les plus uniformes
possibles, conférant aux quantités des ordres de grandeur comparables.Les réseaux de Petri (G. W. Brams, 1983), (B. Berthomieu, 1979) utilisent
exclusivement des tirages élémentaires de transition et servent surtout àdécrire des automatismes logiques d'enchaînement des tâches. La représenta-tion entrées-sorties des activités de production par des graphes de Petri est uneextension qui permet d'utiliser des variables réelles positives et de relaxer lescontraintes de précédence dans le franchissement des transitions. A partir dufonctionnement réel (et donc forcément admissible) du système, on vaexplorer l'ensemble des fonctionnements envisageables (dans un contexteéconomique ouvert) en ne conservant que des contraintes de positivité desniveaux d'activité et des stocks à l'issue de chaque période.
L'équation (10) définit un modèle déterministe en temps discret où :xk est le vecteur des stocks de produits au début de la période k ;uk est le vecteur des niveaux d'activité des transformations pendant la
période k etC est la matrice d'incidence transposée du graphe de Petri associé.La nature du processus étudié impose des contraintes sur les vecteurs
xk, uk, k = l, ..., N. En particulier, xk ~ 0 'ri k (puisqu'il s'agit de représenta-tion de quantités de matière). On suppose aussi que les activités de productionsont irréversibles (ce qui est vrai dans la plupart des cas). Alors ui (k) ~ 0
'rIk,kE {T, ... ,N}, 'rIi,iE {l, ... ,m}.
Des contraintes d'ordre pratique (limitation de capacité de stockage desentrepôts) ou techniques (conditions de bon fonctionnement des machines)peuvent imposer des bornes supérieures ou modifier les bornes inférieures surles xk, uk. On examine ici le cas simple où :
(11)
"il ~ uk ~ 0 uk E Rm
xk ~ 0 xk E Rtl.
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Pour caractériser l'environnement économique et les performances commer-ciales d'une politique de production, on associe au bilan commercial une placedu graphe. La variable d'état associée à cette place peut être positive ounégative. Toutes les transitions d'achat de matières premières et de matérielont cette place comme place d'entrée unique, et toutes les transitionss'expriment en quantités de produits. Les coefficients des arcs ayant cetteplace comme origine ou comme extrémité s'expriment en unités monétairespar unité de produit achetée ou vendue. Ce sont les prix de ces marchandises.La ligne de coefficients associée à cette place peut être ajoutée à la matrice C.Le bilan commercial de la période k s'écrit
m
BC ( k) = L fi ui ( k)i = 1
(12)
fi : prix du produit i, vendu (signe positif) ou acheté (signe négatif).
Recherche d'un régime optimal de fonctionnement
Le modèle dynamique du système, une fois établi, peut servir à élaborer unepolitique plus performante de gestion. On propose une solution basée surl'étude des états d'équilibre du système, qui représentent les régimespermanents possibles de fonctionnement du processus.
On choisit comme critère à minimiser:
(13)
avec:
gi coût unitaire de stockage du produit ja coefficient d'actualisation (0 < a < 1) .Le premier terme fait intervenir les stocks de matières utilisées ou produites.
On cherche à minimiser le coût actualisé de stockage et à maximiser la sommeactualisée des bilans commerciaux sur un horizon' de temps dont toutelimitation a priori risquerait de biaiser la politique de gestion. Pour cetteraison, cet horizon est a priori infini.
La formulation du problème global est la suivante:
min]Xk, uk
Xk+ 1 = Xk + CUk 't/ kEN
(14)
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10SYSTÈMES MULTIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION
D'autre part, par l'équation d'état du système on a:
Xk + 1 = Xk + C Uk = Xa + C ( Ua + Ut + ...+ Uk) • (15)
Supposons que XN est un état d'équilibre, on aura:
D'après (15)
(16)
condition nécessaire et suffisante:
(17)
Ainsi tous les états accessibles xk peuvent être des états d'équilibre pour lesystème. Il suffit pour cela de choisir uk tel que CUk = a et Ut = uk Vt ~ k.
L'existence de vecteurs UN vérifiant le système d'équations (17) dépend durang de C. On s'intéresse ici au cas où le rang C < m et où le systèmed'équation (17) admet des solutions autres que la solution triviale UN = O.
La condition (17) sur l'existence des états d'équilibre incite à décomposer lecritère global en critères plus simples, indépendants entre eux.
On cherche premièrement à optimiser les niveaux d'activité en régimepermanent de fonctionnement. L'état d'équilibre optimal et la commandependant le régime transitoire seront obtenus en résolvant un problème derégulation autour des valeurs obtenues dans la première étape.
Pour trouver le régime de fonctionnement optimal en régime permanent, on
suppose atteint l'état d'équilibre optimal xe* = [xt (e) , ... , xn* ( e) ] T quiminimise la première partie du critère en régime permanent sous lescontraintes d'atteignabilité :
L e, -: (e)j ~ 1
min L e, xj (e) .Xe E!
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maximiser le critère :
K = L fi v, Ce)j = 1
(20)
tout en maintenant le système dans l'état x.*' ce qui se traduit par
C . ue = 0 (21)
sous les contraintes
(22)
Ce problème d'optimisation linéaire peut être aisément résolu par laméthode du simplexe. Il permet de trouver le vecteur ue* permettantd'optimiser la production tout en maintenant les stocks à l'issue de chaquepériode à leur niveau le plus bas. En l'absence de contraintes d'atteignabilité,le vecteur xe* serait le vecteur nul. Mais celui-ci n'est pas forcémentatteignable.
Plutôt que de chercher à résoudre le critère (13) sur tout l'horizond'optimisation, on va chercher à réguler le système autour de son régime defonctionnement optimal. Cette approche est motivée d'une part par le fait queles systèmes de production supportent malles à-coups et sont plus performantsà leur régime nominal et d'autre part on dispose habituellement de mesures surl'état des stocks et sur les niveaux d'activité ce qui permet d'envisager unerégulation de la production en boucle fermée.
Le problème de commande pendant le régime transitoire de recherche del'état d'équilibre est formulé comme un problème de régulation. Pour desraisons de bon fonctionnement des machines on cherche à ne pas avoir degrandes variations entre les niveaux d'activité successifs. On cherche parailleurs à minimiser le coût de stockage et par conséquent les stocks. Le critèreà minimiser correspondant à ces objectifs est le suivant:
<Xl
J = L (x[ QXk + ut Rut.)k = 1
(23)
avec:
sous les contraintes:
(24)
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SYSTÈMES MULTIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION12avec:
Xk "" 0 'if k E {1 ... N }
Comme dans le cas général les états atteignables du système sont définis parxo, l'état d'équilibre xe = 0 n'est peut-être pas un état atteignable. Le critèreprend alors une valeur infinie lorsque k tend vers l'infini. Pour éviter cetinconvénient et pour réduire le volume des calculs dans le cas où xe = 0 est unétat atteignable, on utilise la notion de l'horizon fuyant (Thomas, Baraud,1974). Le problème devient:
N
min J = 2: (xJ QXk + u;/ Ruk)k ~ 1
(25)
sous les contraintes :
Solution du problème de régulation
On peut toujours mettre le système sous forme commandable en éliminantdes lignes de la matrice C, ce qui entraîne éventuellement des contraintes debornes supplémentaires sur les vecteurs xk' uk. La commande par retour d'étatn'est pourtant pas possible en général.
Même si l'on suppose qu'on évolue autour de ue et que les contraintes sur uksont toujours respectées, la contrainte de non-négativité de xk rend ladétermination d'une commande par retour d'état problématique. Supposonsuk = KXk; Xk+1 = (~+ CK) xk = (~+ Il) xk.
Pour avoir xk "" 0 'if k E { 1, ... , N } et 'if Xo E R: on doit avoir (C, Burgat,1983) (1 + Il) matrice positive et (- Il) M-matrice. Si la matrice Kcalculée par l'équation de Riccati en temps discret, - solution du problèmenon contraint - ne donne pas une matrice (- Il) = (- C K) qui est uneM-matrice, il est très difficile, sinon impossible, de trouver une solution auproblème contraint.
On essaie de résoudre le problème par une méthode de gradient ; onenvisage ici une solution basée sur la méthode proposée dans (J.-P. Gautier,G. Bornard, 1983). C'est une méthode à horizon fuyant utilisant un algorithmede descente par relaxation des contraintes.
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••
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Posons:
Xo U'1U'2
Xo = E Rn xN et u= E RmxN+ +
XoU'N
(26)
on aura alors: a ~ ù ~ b avec
- ue Ü - ue- ue a - ue
a= b= (27)
- ue Ü - ue
Posons encore:
Q 0 0
R C
Q= 0 0 R= R 1/1= c C
R C C C0 0 Q
(28)
F = R + I/IT QI/I G = I/ITQ.
Le critère (21) s'écrit:
J = ùT Fü + 2 ùT Gxo + Cte. (29)
Les contraintes sur les états peuvent être ramenées à des contraintes sur les
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14SYSTÈMES MUL TIDIMENSIONNELS DE PRODUCTION
commandes de la façon suivante :
a"",u"",b
(30)
Où p est le vecteur formé par les bornes supérieures des stocks.Le problème devient alors:
minZ(ù,xo) =uTFù+2î1TG.xO
h "'" <j>u + ffio "'"d ,hERN(m+n) dERN(m+n)
+ ' + ' (31)
il = [~lLa solution va être obtenue en passant au problème dual. Posons:
L (il, io, À" À2) = Z (il, io) + 2 Àf ( <j>ù - ni) + 2 ~ ( - <j>î1+ n2)
n =h-ili n -d-ffi À ERN(n+m)À ERN(n+m) (32)1 0' 2- 0' 1 + 2 + .
Le problème (32) s'écrit :
(33)
Le vecteur u * qui rend minimum L (sans contraintes) est:
f = Gxo (34)
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on a alors:
(35)
et si on suppose que les matrices Q et R du critère J sont symétriques:
en posant:
Le critère devient :
(38)
On doit résoudre :
~ax L * ( xo, ~ ) .~",o
(39)
On peut utiliser un algorithme construit à partir de la solution du problèmerelaxé:
Pour i = 1 ... 2 N x (n + m) faire
Niih = 1 si j < ih = 1- 1sinon
(40)~i (1)j=Jl:i
et si ~~(1) <0, ~~(1) = O.On calcule ensuite u * à partir des valeurs de X par la relation (34).
Conclusion
La représentation d'un processus de production par un graphe ayant lastructure d'un réseau de Petri permet d'obtenir un modèle du type entrées-sorties exprimant l'évolution des flux de matière et d'énergie dans leprocessus. A partir de ce modèle on définit le régime de fonctionnement
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.optimal du système en décomposant le problème global en deux parties:- Recherche du régime permanent optimal ;- Recherche du régime transitoire optimal.L'avantage de cette approche est qu'elle s'intéresse surtout aux regimes
permanents de fonctionnement possibles du processus industriel. Or on agénéralement intérêt à avoir une politique de production la plus prochepossible du fonctionnement nominal.
Si on considère comme état initial un état anormal observé, la méthodeproposée nous permet aussi de faire face aux problèmes posés en cas deperturbations du système à la suite, par exemple, de fuites de matières ou depannes d'installations.
De plus les problèmes d'optimisation partiels sont formulés à partir decritères simples. De ce fait, ils sont assez faciles à résoudre par des méthodesclassiques.
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