lsis – umr-cnrs 6168 1 adaptation du paramètre déchelle de laguerre pour le contrôle prédictif...
TRANSCRIPT
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 11
Adaptation du paramètre d’échelle Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre pour le contrôle de Laguerre pour le contrôle
prédictifprédictif
M. EL Adel & M. OuladsineM. EL Adel & M. Ouladsine
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168Marseille - FranceMarseille - France
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 22
Plan de la présentationPlan de la présentation
IntroductionIntroduction Séries de LaguerreSéries de Laguerre Algorithme d’estimation Algorithme d’estimation contrôle Prédictifcontrôle Prédictif Résultats de SimulationsRésultats de Simulations ConclusionConclusion
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 33
IntroductionIntroduction
Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non Le comportement des contrôleurs adaptatifs en présence des dynamiques non modélisées modélisées
Le manque de connaissances a priori sur les procédés Le manque de connaissances a priori sur les procédés
Représentation par les séries orthonormales Représentation par les séries orthonormales
Abandon du modèle ARMAAbandon du modèle ARMA
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 44
Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre Grâce à sa simplicité de mise en œuvre, la base de fonctions orthogonales de Laguerre est choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéairesest choisie pour la modélisation et la commande des systèmes linéaires
Problème :Problème :
Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le Cette base de fonctions orthogonales de Laguerre contient un paramètre crucial (Le paramètre d’échelle de Laguerre paramètre d’échelle de Laguerre p p > 0 )> 0 )
Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Si ce paramètre est choisi convenablement, alors la base de fonctions orthogonales de Laguerre peut effectivement approximer n’importe quelle fonction de transfert d’un Laguerre peut effectivement approximer n’importe quelle fonction de transfert d’un système stable.système stable.
Le but principal de cette présentation, est le choix Le but principal de cette présentation, est le choix optimal de ce paramètre dans le cas de la optimal de ce paramètre dans le cas de la commande prédictive.commande prédictive.
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 55
Propriétés des Séries de LaguerrePropriétés des Séries de Laguerre
)]2exp(1[1)!1(
1)exp(2),( ptntndtn
ndptpptnf
nps
npsppsnF)(
1)(2),(
0
,2,1
p
n
base la de ordreblocs de Nombreq
qC2C1C
ps
ps
ps
ps
ps
p
2
Circuit Summing)(ˆ sY
)(su )(1 sL )(2 sL )(sqL
)(),(ˆ
)(ˆ)(ˆ
1
1
supsFC
sLCsY
q
n
nn
q
n
nn
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 66
p
ap ; aa
pTa
ap
Ta; apTa
)1(2)1(
2
)1(2
)exp(
1412
1131
1321
1321
22
1
1321
1
)1(
0
00
aT
aaa
T
)aa(aa
aT
aa-aa
A
q
Tq aTaaTaab 4
12424 ])/()/([
)()()1( tbutALtL
T : période d’échantillonnage
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 77
1z
A
b)(ˆ tY)(tu
)(ˆ tCT
)()(ˆ)(ˆ
)()()1(
tLtCtY
tbutALtLT
)()()(ˆ)( tetLtCtY T
Tq
T
q
tLtLtLtL
CCCC
)()()()(
ˆˆˆˆ
21
21
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 88
Algorithme d’estimation Algorithme d’estimation
I – Le vecteur paramètre de projection )(ˆ tC
0 t 0)0( ,10 ;)(max)1()(
oo ZeZμZtLtZμtZ
)()()(ˆ)( tetLtCtY T
)(
)()(
tZ
tYtY
)(
)()(
tZ
tLtL
)(
)()(
tZ
tete
On définit
Le modèle normalisé devient :
où :
De point de vue estimation, le modèle n’est pas convenable si le terme d’erreur e(t) n’est pas borné
)()()(ˆ)( tetLtCtY T
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 99
)()1()()(
)()()1()1(ˆ)(ˆ
2 tLtPtLtZ
tetLtPtCtC
T
)1(-)()1()()(
)1()()()1()1(
)(
1)( 2
2
tPσ
tLtPtLtZ
tPtLtLtPtP
tλtP
T
T
10 σ
où :
et 980)0(980
)1()1()(
., λ.λ
λtλλtλ
o
oo
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1010
La matrice de covariance )(tP satisfait les propriétés suivantes
qq IρtPIη )(
avec 0η et ρ0
i-
ii- si 0)( tL alors qIγtP )( lorsque t tend vers l’infini
qI est la matrice identité et γ est un scalaireoù :
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1111
II - Le paramètre d’échelle adaptatif de Laguerre
Dans le domaine de Laplace, nous supposons que le système réel à modéliser dont la sortie
est peut être décrit par la fonction de transfert . Nous supposons aussi que cette
fonction de transfert est bornée c.à.d
)(tY )(sG
ωdωjG
2)(
En considérant un ordre de projection q, nous pouvons projeter cette fonction de
transfert sur la base de Laguerre dont les éléments sont comme suit:
),(ˆ)(ˆ
1
psFCsG n
q
n
n
Le calcul standard de est donné dans le domaine fréquentiel par :nC
ωdpωjFωjGπ
C nn ),()(ˆ2
1ˆ *
),( psFn
)(ˆˆ pCC nn
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1212
Considérons le coût de fonction à minimiser
ωdpωjFpCωjGπ
p
q
n
nn
2
1
),()(ˆ)(2
1)(
En utilisant l’expression de , nous avons
q
n
n pCωdωjGπ
p
1
22
)(ˆ)(2
1)(
Donc le minimum de par rapport à correspond au maximum de )(p p
2
1
2 )(ˆ)(ˆ pCpC
q
n
n
nC
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1313
Lemme Nous pouvons montrer aisément ce qui suit :
Pour p>0 , la transformée de Laplace des fonctions orthogonales de Laguerre satisfont l’égalité suivante :
),()1(),(),(
2 11 psFnpsnFdp
psdFp nn
n
Théorème Nous pouvons montrer que :
)(ˆ)(ˆ)(ˆ1
1
2 pCpCp
qpC
dp
dqq
q
n
n
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1414
•Le théorème permet de déduire la variation de p. Cependant, puisque le paramètre
d’échelle est strictement positif, nous cherchons des conditions qui doivent être satisfaites
pour le maintenir dans un domaine réel et positif. Ces conditions peuvent être obtenues en
passant à la dérivée seconde de :
q
n
n pC
1
2 )(ˆ
)(ˆ)(ˆ1
)(ˆ)(ˆ )(ˆ)(ˆ)(ˆ111
1
22
2pCpC
ppC
dp
dpCpCpC
dp
d
p
qpC
dp
dqqqqqq
q
n
n
La dérivée seconde est donnée par :
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1515
La fonction tend à avoir des valeurs maximales en fonction de p si
0)(ˆ
1
22
2
q
n
n pCdp
d
2)(ˆ pCn
Ceci est satisfait si l’inégalité suivante est vraie
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ
1
1
pC
pCd
pC
pCd
p
dp
q
q
q
q
Posons avec p>0, on a: )()1( tptpdp
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ
)(ˆ1)(ˆ)1(ˆ
1
1
pC
pC
pC
pCtptp
q
q
q
q
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1616
où :
))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ)(ˆ t
))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ)(ˆ111
tpCtpCpCe
tpCtpCpC
qqq
qqq
Considérons la variation de entre les instants t et t+1 on a: )(ˆ)(ˆ)(ˆ1
1
2 pCpCp
qpC
dp
dqq
q
n
n
))(ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ
))(ˆ(ˆ
1)(ˆ)1(ˆ1
2
tpCtpCq
tpCtptp
où :
22
1
2
1
22
))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ
))(ˆ(ˆ))1(ˆ(ˆ))(ˆ(ˆ
tpCtpC
tpCtpCtpC
q
n
n
q
n
n
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1717
Définition Une séquence réelle positive )(tS est dite δ asymptotiquement
δtSk
lkt
ltlk
1
)(1
suplimsuplim
faible en moyenne si (AFM) if
L’algorithme d’adaptation proposé possède les propriétés suivantes
1P - Il existe un scalaire positif cR tel que : on aINt
cRtC )(ˆ
Lemme
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1818
Il existe un scalaire positif telle que l’erreur normalisée ’adaptationδK
)(ˆ)( tYtY δK -AFM
2P
est
3P Il existe un scalaire positif tel que cK
)1(ˆ)(ˆ tCtC est cK AFM
4P *)(ˆlim ptpt
où Constante* p Est la valeur optimale de au sens de p3P
.
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 1919
contrôle prédictif
La prédiction de la sortie sur un horizon de d pas permet d’écrire:
)()()]()()[(ˆ)()(ˆ tettLdtLtCtYdtY T
où )()](ˆ)(ˆ[)( dtLtCdtCt T et )(ˆ)()( tYtYte
Supposons que )1()1()( dtututu :u(t) reste constant sur d
alors )( ][)()( 1 tbuIAtLAdtL qdd Ce qui permet d’avoir
)()( )()(ˆ)()(ˆ)()(ˆ tettutβtLtKtYdtY T
où ])[(ˆ)(ˆq
dTT IAtCtK et bIAtCtβ qdT ])[(ˆ)(ˆ 1
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 2020
La trajectoire de référence du premier ordre est donnée par :
)()1()()1( tYαtYαtY sprr
où et est le signal de référence 10 α )(tYsp
Pour un horizon de prédiction de d pas, on a
)()1()1()( tYαdtYαdtY sprr
)()1()()( tYαtYαdtY spdd
r
Qu’on peut réécrire comme
Posons )()()()(ˆ dtYtetdtY r
La loi de commande est :
)]()(ˆ)()([)(ˆ
1)( tLtKtYdtY
tβtu T
r
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 2121
Considérons le système à phase non minimale décrit H(z), et supposons qu’il est donné son forme non structurée
212
10
)(
)()(
azaz
bzb
zA
zBzH
où les paramètres sont :
Par application de l’approche proposée, les résultats obtenus sont les suivants
8.04.0
72.07.1
10
21
bb
aa
Application
3,171.0
9.02
0
dpT
αq
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 2222
)(tYsp
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Temps en sec
)(tYLes sorties et Le paramètre d’échelle )(ˆ tp
La commande )(tu Le paramètre )(ˆ tC
0 10 20 30 40 50 600
5
10
15
20
Temps en sec
0 10 20 30 40 50 60-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
Temps en sec
0 10 20 30 40 50 60-20
0
20
40
60
80
100
Temps en sec
LSIS – UMR-CNRS 6168LSIS – UMR-CNRS 6168 2323
Conclusion
Adaptation du paramètre d’échelle de Laguerre à partir de l’estimation des
paramètres de projection pour le contrôle prédictif
Possibilité du contrôle prédictif des systèmes instables, non structurés et
sans connaissances a priori.