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CQP 208Chapitre 0

Rappels de notions mathématiques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

11 septembre 2015

Rappels de notions mathématiques 1 / 110

Plan du chapitre

1 Les opérations sur les ensembles

2 Les ensembles de nombres

3 Les intervalles

4 Les propriétés des exposants

5 La valeur absolue d’un nombre

6 Les propriétés des radicaux

7 La rationalisation d’un dénominateur

8 Les opérations sur les polynômes

9 La factorisation de polynômes

10 Les fractions algébriques

11 La résolution d’équations

12 Les fonctions


Plan du chapitre

13 La composition de fonctions

14 La fonction linéaire

15 La fonction quadratique

16 La fonction valeur absolue

17 La fonction racine carrée

18 La fonction exponentielle et la fonctionlogarithmique

19 Les fonctions trigonométriques

20 Les identités trigonométriques

21 Les fonctions trigonométriques inverses

22 Les rapports trigonométriques dans lestriangles

23 Références


Les opérations sur les ensembles




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l’ensemble).

On peut décrire un ensemble particulier en énumérant ses éléments, séparés par desvirgules et placés entre accolades. C’est la définition en extension.

Exemple

A = {1,2,3,4,6,12} est l’ensemble des diviseurs positifs de 12.B = {2,4,6,8,10,12, . . . } est l’ensemble des entiers pairs positifs.

On peut aussi décrire les éléments d’un ensemble à l’aide de leurs caractéristiques. C’estla définition en compréhension.

Exemple

A = {x |x est pair et 0 < x < 10} est l’ensemble des nombres pairs supérieurs à 0 etinférieurs à 10.




On utilise le symbole ∈ pour indiquer qu’un nombre appartient à un ensemble. On ditalors que le nombre est un élément de l’ensemble.

Le symbole /∈ signifie que le nombre n’appartient pas à l’ensemble.

Exemple

3 ∈ {1,2,3,4,6,12}7 /∈ {2,4,6,8,10,12, . . . }




On peut définir des relations entre deux ensembles :

Deux ensembles A et B sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments. Onécrit alors A = B.

Un ensemble A est inclus dans l’ensemble B si tous les éléments de A sont aussides éléments de B. On écrit alors A ⊆ B. On dit aussi que A est un sous-ensemblede B.

Un ensemble est vide s’il ne contient aucun élément. On représente un ensemblevide par le symbole ∅.




Les ensembles n’étant pas des nombres, on ne peut effectuer avec eux les opérationsélémentaires d’addition, de soustraction, de multiplication ou de division. Il existe toutefoisdes opérations propres aux ensembles :

L’union de deux ensembles A et B, notée A ∪ B, est l’ensemble des éléments quiappartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux.

A ∪ B = {x |x ∈ A ou x ∈ B}

L’intersection de deux ensembles A et B, notée A ∩ B, est l’ensemble des élémentsqui appartiennent à la fois à A et à B.

A ∩ B = {x |x ∈ A et x ∈ B}

La différence de deux ensembles A et B, notée A \ B, est l’ensemble des élémentsqui appartiennent à A, mais pas à B.

A \ B = {x |x ∈ A et x /∈ B}


Les ensembles de nombres




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Le calcul différentiel et intégral est basé sur l’ensemble des nombres réels (R), quiregroupe différents ensembles remarquables.

L’ensemble des nombres naturels N contient les nombre que l’on utilise pourcompter :

N = {0,1,2,3,4, . . . }

L’ensemble des nombres entiers Z inclut les nombres naturels et leurs opposés :

Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . . }

L’ensemble des nombres rationnels Q contient les nombres qui sont des quotientsde nombres entiers :

Q ={a

b

∣∣∣a,b ∈ N et b 6= 0}

L’ensemble des nombres irrationnels Q′ contient les nombres tels√

2 et π qui nepeuvent être exprimée par un quotient de deux entiers.




L’étoile (∗) en position d’exposant indique l’absence du zéro dans l’ensemble.

Exemple

N∗ = {1,2,3,4, . . . }Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1,1,2,3, . . . }

Le + en position d’indice indique que l’ensemble ne contient que les nombres positifs,tandis que le − indique que l’ensemble ne contient que les nombres négatifs.

Exemple

Z− = {. . . ,−3,−2,−1}Z+ = {1,2,3, . . . }

Notons que la division par zéro n’est jamais possible, de sorte que les expressionstelles que 3

0 et 00 ne sont pas définies.


Les intervalles

Les intervalles



3 Les intervalles









12 Les fonctions


Les intervalles

Les intervalles

Un intervalle borné est un sous-ensemble de R contenant tous les nombres réelscompris entre deux nombres réels distincts a et b ou tous les nombres réels plus petits(ou plus grands) qu’un nombre réel a. Les nombres a et b sont les bornes de l’intervalleet peuvent être inclus ou exclus de celui-ci.

Un intervalle est fermé s’il inclut ses extrémités. On le représente par des crochetstournés vers l’intérieur :

[a,b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}

Un intervalle est ouvert s’il n’inclus pas ses extrémités. On le représente par descrochets tournés vers l’extérieur :

]a,b[= {x ∈ R|a < x < b}


Les intervalles

Les intervalles

On peut aussi employer les intervalles pour représenter l’ensemble des nombres plusgrands (ou plus petits) qu’un nombre réel donné On emploi alors les symboles∞ ou −∞(« l’infini » ou « moins l’infini ») pour indiquer que l’intervalle n’est pas borné à l’une oul’autre de ses extrémités :

[a,∞[= {x ∈ R|x ≥ a}

−∞ et∞ ne sont pas des nombres réels et ne peuvent donc pas être inclus dans unintervalle, c’est pourquoi ce dernier est ouvert du côté où on inscrit le symbole infini.

Attention ! Un intervalle ne contient pas que des nombres entiers. Il renferme tous lesnombres réels compris entre ses extrémités : entiers, rationnels, irrationnels.


Les intervalles

Les intervalles


Les propriétés des exposants




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Le produit d’un nombre a par lui même n fois est représenté par an et est appelé lan-ième puissance de a :

an = a× a× a× · · · × a︸︷︷︸n fois

, où a 6= 0

Le nombre a est la base et n est l’exposant de a. La deuxième puissance (a2) est lecarré du nombre et la troisième (a3) est son cube.




Certaines propriétés permettent de simplifier des expressions contenant des exposants.Elles sont résumées dans le tableau suivant.


La valeur absolue d’un nombre




3 Les intervalles









12 Les fonctions




La valeur absolue d’un nombre a est notée |a| et correspond à la distance, sur l’axe réel,entre a et l’origine (le nombre 0).

Exemple

|3| = 3 : la valeur absolue de 3 est la distance entre 3 et 0, c’est-à-dire 3.|−3| = 3 : la valeur absolue de -3 est la distance entre -3 et 0, c’est-à-dire 3.

On définit donc la valeur absolue d’un nombre réel a par

|a| =

{a si a ≥ 0−a si a < 0


Les propriétés des radicaux




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Une racine n-ième du nombre réel a est un nombre réel b tel que bn = a, où n est unentier supérieur ou égal à 2.

Si n est un entier impair et n ≥ 3, tout nombre réel a possède une seule racinen-ième dans R. On désigne cette racine par n

√a et celle-ci possède le même signe

que a.

Si n est un entier pair, tout nombre réel positif possède deux racines n-ième dansR, l’une positive et l’autre négative. Un nombre réel négatif n’a pas de racine n-ièmedans R si n est pair.

n√

0 = 0 pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 2.




On peut faire un lien entre les exposants vus précédemment et les radicaux. En effet, si nest un entier supérieur ou égal à 2, on a que

a1n = n√

a.

De même, si m et n sont des entiers positifs et n ≥ 2, on a que

amn =

(n√

a)m

=n√

am.

Pour cette raison, toutes les propriétés énoncées pour les exposants entiers restentvalides pour les radicaux.


La rationalisation d’un dénominateur




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Lorsqu’une fraction comporte une racine carrée au dénominateur, il peut êtreavantageux de la transformer en une expression équivalente dont le dénominateur necontient plus de radical. Cette procédure est appelée la rationalisation du dénominateur.

Si le dénominateur d’une fraction est le multiple d’une racine carrée, on peut lerationaliser en multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par cetteracine :

ab√

c=

a√

cb√

c√

c=

a√

cbc

Si le dénominateur d’une fraction est la somme de deux termes dont au moins un estune racine carrée, on peut le rationaliser en multipliant le numérateur et ledénominateur de la fraction par le conjugué du dénominateur :(√

a +√

b)

et(√

a−√

b)

sont le conjugué l’un de l’autre.


Les opérations sur les polynômes




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Un monôme est une expression algébrique formée du produit d’une constante et devariables, chaque variable étant affectée d’un exposant entier positif ou nul. Unpolynôme est une expression algébrique formée d’une somme de monômes. Chaquemonôme est un terme du polynôme.

P(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0

Le degré d’un terme est la somme des exposants qui affectent ses variables. Un termequi ne contient pas de variable est appelé terme constant et son degré est 0. Le degréd’un polynôme est le plus grande des degrés de ses termes.




On peut effectuer sur des polynômes les mêmes opérations élémentaires que sur lesnombres réels, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Pour additionner deux polynômes, il suffit d’additionner les coefficients de leurstermes semblables, c’est-à-dire les termes qui ont les mêmes variables affectées desmêmes exposants.

Pour soustraire un polynôme Q d’un polynôme P (c’est à dire pour effectuerl’opération P −Q), il suffit d’additionner P à l’opposé de Q. L’opposé d’un polynômeest le polynôme obtenu en multipliant tous ses coefficients par -1.

Pour multiplier deux polynômes, il suffit de multiplier chaque terme du premier parchaque terme du second. On utilise ici la distributivité de la multiplication surl’addition.




La division de deux polynômes est un peu plus complexe.

Pour diviser deux monômes, on doit d’abord diviser les coefficients, puis ensuitediviser les variables semblables en soustrayant les exposants.

Pour diviser un polynôme par un monôme, on divise simplement chaque terme dupolynôme par ce monôme.

Pour diviser un polynôme P par un polynôme S, on cherche un polynôme quotientQ et, éventuellement, un polynôme reste R tel que

PS

= Q +RS

ou encore P = S ×Q + R.

Notons que si R 6= 0, le degré de R est nécessairement inférieur à celui de S.


La factorisation de polynômes




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Un facteur est un élément d’un produit. Si a, b et c sont des nombres réels et si a = bc,alors b et c sont des facteurs de a. De même, si P, Q et S sont des polynômes et siP = QS, Q et S sont des facteurs de P.

La factorisation d’un polynôme consiste à l’exprimer sous la forme d’un produit depolynômes de degrés inférieurs. Il faut apprendre à reconnaître le modèle d’un polynômede façon à utiliser la méthode appropriée de factorisation.

On doit toutefois savoir que la factorisation d’un polynôme n’est pas toujours possible.




On utilise la méthode de la mise en évidence simple lorsque tous les termescontiennent un facteur commun. Pour mettre en évidence ce facteur commun, onutilise la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition :

ax + ay = a(x + y)

On utilise la méthode de la double mise en évidence lorsqu’il n’existe pas defacteur commun à tous les termes, mais que ceux-ci, une fois regroupés par deux (etplus), contiennent un facteur commun à chaque groupe de termes. Après les avoirregroupés, on effectue deux mises en évidence successives :

ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by)= a(x + y) + b(x + y)= (x + y)(a + b)




On utilise la méthode du trinôme carré parfait lorsque le polynôme est composé dela somme des carrés de deux nombres et du double du produit de ces mêmesnombres. On obtient alors le carré d’un binôme :

x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 et x2 − 2xy + y2 = (x − y)2

On utilise la méthode du trinôme général ax2 + bx + c pour factoriser un polynômeen x de degré 2. Cette méthode repose sur le théorème suivant :


Les fractions algébriques




3 Les intervalles









12 Les fonctions




On appelle fraction algébrique toute expression de la forme PQ , où P et Q sont des

polynômes et Q 6= 0. Le domaine d’une fraction algébrique est l’ensemble de toutes lesvaleurs réelles telles que le dénominateur Q est différent de 0.

Deux fractions algébriques PQ et R

S sont équivalentes pour les valeurs communes à leursdeux domaines si et seulement si PS = QR.

La simplification consiste à chercher une fraction équivalente dont le numérateur et ledénominateur n’ont plus de diviseurs communs. Ainsi, pour simplifier une fractionalgébrique, on doit

1 Décomposer en facteurs sont numérateur et son dénominateur ;2 Trouver son domaine ;3 Déterminer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur ;4 Diviser le numérateur et le dénominateur par ces facteurs communs.




On effectue les opérations sur les fractions algébriques de la même façon que sur lesnombres rationnels (fractions numériques), mais en portant une attention particulière audomaines.

Pour multiplier deux fractions algébriques, il faut multiplier leurs numérateurs entreeux et leurs dénominateurs entre eux :

PQ× R

S=

PRQS

, avec Q 6= 0 et S 6= 0

Pour diviser deux fractions algébriques, il faut multiplier la première par l’inverse dela seconde :

PQRS

=PQ÷ R

S=

PQ× S

R=

PSQR

, avec Q 6= 0, R 6= 0 et S 6= 0, avec Q 6= 0 et S 6= 0




Pour additionner ou soustraire deux fractions algébriques, il faut ramener lesfractions au même dénominateur, puis additionner (ou soustraire) leurs nouveauxnumérateurs. Le dénominateur du résultat est le dénominateur commun.

PQ± R

S=

PSQS± QR

QS=

PS ±QRQS


La résolution d’équations




3 Les intervalles









12 Les fonctions




Une équation est une égalité entre deux expressions. Résoudre une équation consiste àdéterminer l’ensemble solution de l’équation, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de lavariable (ou des variables) qui transforment l’équation en une égalité vraie.

Pour y arriver, on dispose de quatre propriétés principales :

Si on additionne un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient unenouvelle égalité : si a = b, alors a + c = b + c.

Si on soustrait un même nombre aux deux membres d’une égalité, on obtient unenouvelle égalité : si a = b, alors a− c = b − c.

Si on multiplie par un même nombre les deux membres d’une égalité, on obtientune nouvelle égalité : si a = b, alors a× c = b × c.

Si on divise par un même nombre non nul les deux membres d’une égalité, onobtient une nouvelle égalité : si a = b, alors a÷ c = b ÷ c, avec c 6= 0.




Une équation du premier degré à une variable est une équation qui contient une seulevariable, toujours affectée de l’exposant 1 et n’aparaissant ni au dénominateur, ni sous unradical.

On peut résoudre une équation du premier degré à une variable en cherchant uneéquation équivalente de la forme x = c (où c est une constante). La solution de l’équationest alors c, et cette solution est unique.




Une équation du second degré à une variable ou équation quadratique est uneéquation que l’on peut ramener à la forme ax2 + bx + c = 0, où a, b et c sont desconstantes, et a 6= 0. On peut résoudre une équation du second degré à l’aide de laformule quadratique qui dit que

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

Si b2 − 4ac > 0, l’équation ax2 + bx + c = 0 possède deux solutions :

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2aet x2 =

−b −√

b2 − 4ac2a

Si b2 − 4ac = 0, l’équation ax2 + bx + c = 0 possède une solution :

x1 =−b2a

Si b2 − 4ac < 0, l’équation ax2 + bx + c = 0 ne possède aucune solution.




Lorsqu’une équation contient des fractions algébriques, il faut d’abord chercher ledomaine de chacune d’elles. Le domaine de l’équation est alors l’intersection desdomaines de ces fractions. Après avoir résolu l’équation, il faudra vérifier si les solutionstrouvées appartiennent au domaine.


Les fonctions

Les fonctions



3 Les intervalles









12 Les fonctions


Les fonctions

Les fonctions

Une fonction réelle f est une relation qui, à chaque x ∈ R, associe au plus un y ∈ R.

x est la variable indépendante ;

y est la variable dépendante : c’est l’image de x par la fonction f ;

On décrit la relation entre y et x par une équation de la forme y = f (x). C’est la règle decorrespondance de la fonction qui indique comment calculer la valeur de ycorrespondant à une valeur de x donnée.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des éléments de R auxquels la fonctionassocie une image. Le domaine d’une fonction f est désigné par Domf .

L’image d’une fonction est l’ensemble des éléments de R qui sont l’image par lafonction d’un élément du domaine. L’image d’une fonction f est désignée par Imaf .


Les fonctions

Les fonctions

Le graphe d’une fonction f est l’ensemble des couples (x , y) tels que x ∈ R, y ∈ R ety = f (x). Domf est l’ensemble des premières composantes des couples du graphe etImaf est l’ensemble des secondes composantes.

Par convention, on place la variable indépendante sur l’axe horizontale du graphe (axedes abscisses) et la variable dépendante sur l’axe vertical (axe des ordonnées).

Si 0 ∈ Domf , le graphique de la fonction f coupe l’axe vertical au point (0, f (0)). Ce pointd’intersection est unique, car le nombre 0 ne peut avoir qu’une seule image. f (0) estappelé l’ordonnée à l’origine.

Les points d’intersection du graphique d’une fonction f avec l’axe horizontal sons tous lespoints du graphique de la forme (x ,0). On les appelle les zéros de la fonction f , puisquef (x) = 0.


Les fonctions

Les fonctions


La composition de fonctions












23 Références




La composée g ◦ f de la fonction g et de la fonction f est donnée par

g ◦ f (x) = g(f (x)).

Attention ! L’opération de composition n’est pas commutative, c’est à dire que g ◦ f 6= f ◦ g.


La fonction linéaire












23 Références




Une fonction linéaire est une fonction polynomiale du premier degré dont la règle decorrespondance est donnée par

y = f (x) = ax + b,

où a et b sont des constantes réelles, et a 6= 0. a est la pente de la droite et b est sonordonnée à l’origine.

La pente a d’une droite y = ax + b passant par les points distincts P1(x1, y1) et P2(x2, y2)est donnée par

a =y2 − y1

x2 − x1.

La pente d’une droite horizontale est toujours nulle et une droite verticale ne peut êtrereprésentée par la forme y = ax + b.


La fonction quadratique












23 Références




Une fonction polynomiale du second degré, aussi appelée fonction quadratique, estune fonction dont la règle de correspondance est de la forme y = f (x) = ax2 + bx + c, oùa, b et c sont des constantes réelles et a 6= 0.

Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole.

Le sommet de la parabole représentant la fonction f (x) = ax2 + bx + c est le point (h, k),où

h =−b2a

et k = f (h).




Le graphique de la fonction f (x) = ax2 + bx + c coupe l’axe des y au point(0, f (0)) = (0, c). La constante c est l’ordonnée à l’origine.

Les zéros de la fonction f (x) = ax2 + bx + c sont obtenus en utilisant la formulequadratique pour chercher les solutions à l’équation ax2 + bx + c = 0.

Si b2 − 4ac > 0, la fonction f (x) = ax2 + bx + c possède deux zéros distincts :

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2aet x2 =

−b −√

b2 − 4ac2a

.

La parabole coupe donc l’axe des x en deux points : (x1,0) et (x2,0).Si b2 − 4ac = 0, la fonction f (x) = ax2 + bx + c possède un seul zéro :

x1 =−b2a

.

La parabole n’a qu’un point de contact avec l’axe des x , le point (x1,0).Si b2 − 4ac < 0, la fonction f (x) = ax2 + bx + c ne possède aucun zéro. La parabolen’a aucun point d’intersection avec l’axe des x .


La fonction valeur absolue












23 Références




La fonction valeur absolue est une fonction de la forme y = f (x) = |x |, où

|x | =

{x si x ≥ 0−x si x < 0

La valeur absolue d’un nombre est donc toujours positive.

Le domaine de la fonction valeur absolue est R, tandis que son image est l’ensemble[0,∞[.


La fonction racine carrée












23 Références




La fonction racine carrée est la fonction dont la règle de correspondance est de la formy = f (x) =

√x . Son domaine et sont image sont l’ensemble [0,∞[.


La fonction exponentielle et la fonction logarithmique












23 Références




Une fonction exponentielle est une fonction de la forme y = f (x) = bx , où b est uneconstante réelle positive (b > 0 et b 6= 1). b est appelée la base de la fonctionexponentielle. Le domaine et l’image d’une fonction exponentielle sont respectivementl’ensemble des nombres réels R et l’ensemble des nombres réels positifs ]0,∞[.

Il faut bien distinguer les fonctions exponentielles de la forme y = bx , où la base estconstante et l’exposant est variable, et les fonctions polynomiales de la forme y = xb oùl’exposant est constant.




Une fonction logarithmique est une fonction de la forme y = f (x) = logb x , où b est uneconstante réelle positive (b > 0 et b 6= 1). b est la base du logarithme. Si y est lelogarithme en base b de x (noté y = logb x), alors x = by .

Le domaine et l’image d’une fonction logarithmique f (x) = logb x sont respectivement]0,∞[ et R. Puisqu’une fonction logarithmique est la réciproque d’une fonctionexponentielle, le domaine et l’image de la première sont respectivement l’image et ledomaine de la seconde.




Un logarithme en base 10 est désigné en omettant la base : log10 x = log x .

Un logarithme en base e, également appelé logarithme naturel est désigné parloge x = ln x .

Le tableau suivant présente des propriétés des logarithmes qui sont très utiles pourrésoudre des équations exponentielles ou logarithmiques :


Les fonctions trigonométriques












23 Références




On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1 centré à l’origine du plancartésien, soit au point (0,0).

Un angle au centre est un angle dont le sommet est situé au centre d’un cercle.

Un arc est une portion de la circonférence d’un cercle.

Un arc délimité par les deux côtés d’un angle est dit arc intercepté par cet angle.

La mesure de la circonférence d’un cercle de rayon r est donnée par 2πr .




Le degré est l’unité de mesure correspondant à un angle au centre qui intercepte un arcde longueur égale à 1

360 de la circonférence du cercle. Un cercle est donc divisé en 360degrés.

Le radian est l’unité de mesure correspondant à un angle au centre qui intercepte sur lacirconférence un arc de longueur égale à celle du rayon du cercle. On utilise le symbolerad pour représenter les radians.




Si θ ∈ R, on a que P(θ) = (x , y), le point correspondant à θ sur le cercle trigonométrique,est donné par

x = cos θ et y = sin θ




L’étude de la trigonométrie pourrait se limiter à celle des sinus et des cosinus. Cependant,dans plusieurs situations où intervient la trigonométrie, on utilise les inverses ou lesrapports des sinus des cosinus. Il est donc utile de connaître les définitions suivantes :

tan θ = tg θ =sin θcos θ

est la tangente de θ

cot θ =cos θsin θ

est la cotangente de θ

sec θ =1

cos θest la sécante de θ

cosec θ =1

sin θest la cosécante de θ

Ces expressions sont définies si leur dénominateur n’est pas nul.


Les identités trigonométriques












23 Références




Une identité est une égalité vraie pour toutes les valeurs qu’on peut attribuer à sesvariables. Les identités permettent de remplacer une expression par une autre plussimple, mais équivalente.

Le tableau suivant présente plusieurs identités trigonométriques importantes :




D’autres identités permettent de trouver les coordonnées d’un point symétrique d’unpoint connu ou d’un point obtenu par l’ajout d’un quart de tour à un point connu :


Les fonctions trigonométriques inverses












23 Références




Lorsqu’on connaît le sinus d’un angle on peut souhaiter trouver la valeur de cet angle. Parexemple, on peut chercher les valeurs de x telles que sin x =

√2

2 . Pour y arriver, ondispose des fonctions trigonométriques inverses.

y = arcsin x = sin−1 x est l’angle dont le sinus vaut x et tel que y ∈[−π

2 ,π2

].

y = arccos x = cos−1 x est l’angle dont le cosinus vaut x et tel que y ∈ [0, π].

y = arctan x = tan−1 x est l’angle dont la tangente vaut x et tel que y ∈]−π

2 ,π2

[À moins qu’il ne soit précisé que l’angle est mesuré en degrés, on indique la valeur de yen radians.


Les rapports trigonométriques dans les triangles












23 Références




La plupart des problèmes concrets qu’on peut résoudre en recourant à la trigonométriefont intervenir un triangle rectangle. Les rapports entre les mesures des côtés d’un teltriangle sont appelés rapports trigonométriques.

Considérons le triangle rectangle suivant :




Dans celui-ci, on a que

sin θ =côté opposé à l’angle θ

hypoténuse=

ac

cos θ =côté adjacent à l’angle θ

hypoténuse=

bc

tan θ =côté opposé à l’angle θcôté adjacent à l’angle θ

=ab




À partir des définitions précédentes, on trouve aussi que

cosec θ =hypoténuse

côté opposé à l’angle θ=

ca

sec θ =hypoténuse

côté adjacent à l’angle θ=

cb

cot θ =côté adjacent à l’angle θcôté opposé à l’angle θ

=ba




Dans un triangle quelconque (non rectangle), on ne peut pas utiliser les rapportstrigonométriques définis précédemment. Il existe toutefois des relations entre les angleset les longueurs des côtés du triangle.

La loi des sinus dit que dans un triangle quelconque comme celui-ci

on a quesinα

a=

sinβb

=sin γ

c.




La loi des cosinus dit que dans un triangle quelconque comme le précédent, on aque

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

On utilise la loi des sinus lorsqu’on connaît :soit la longueur d’un côté et la mesure de deux angles ;

soit la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle opposé à l’un de ces côtés.

On utilise la loi des cosinus lorsqu’on connaît :soit la longueur de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés ;

soit la longueur des trois côtés.


Références

Références











23 Références


Références

Références

Josée Hamel and Luc Amyotte.Calcul différentiel, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2014.

Michèle Gingras.Mathématiques d’appoint, 4e édition révisée.Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2011.

Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.Calcul différentiel.Groupe Modulo, 2013.


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