cours 06 - modélisation cinématique des liaisons
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Modlisation cinmatique des liaisons
1) MODELISATION DES PIECES PAR DES SOLIDES PARFAITS . ............................. 5
2) MODELISATION DES LIAISONS.....................................................................................5
21)MODELISATION DES LIAISONS PAR DES LIAISONS PARFAITES. ...............................................5
22)NOTION DE REPERE LOCAL. ...................................................................................................... 5
23)NOTION DE DEGRE DE LIBERTE DUNE LIAISON. ..........................................................................5
24)LIAISONS NORMALISEES ENTRE SOLIDES. ..................................................................................6Complte ou encastrement......................................................................................................... 6Glissire de direction x
.............................................................................................................. 6
Appui plan de normale z
............................................................................................................ 6Linaire rectiligne de ligne de contact x,O
et de normale z
.................................................. 6
Ponctuelle de point de contact O et de normale z
.................................................................... 6Pivot glissant daxe x,O
.......................................................................................................... 7
Pivot daxe x,O
....................................................................................................................... 7
Hlicodale daxe x,O
et de pas p........................................................................................... 7
Rotule de centre O...................................................................................................................... 7Rotule doigt de centre O et de rotation interdite y,O
........................................................... 7
Linaire annulaire de centre O et de direction x
....................................................................... 7
3) MODELISATION CINEMATIQUE DES MECANISMES : GRAPHE DE LIAISON ETSCHEMA CINEMATIQUE MINIMAL.....................................................................................8
31)ROLE DU SCHEMA CINEMATIQUE. ..............................................................................................8
32)METHODE DE TRACE (UTILISERDELACOULEUR)................................................................8 tape 1 : Prciser la phase dtude............................................................................................ 8tape 2 : Rechercher les Classes dquivalence Cinmatique (CEC)....................................... 8tape 3 : Raliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallle). . 8tape 4 : Tracer le schma cinmatique minimal....................................................................... 8
4) LES LIAISONS SUR ELEMENTS ROULANTS................................................................9
41)LES ROULEMENTS A BILLES,A ROULEAUX OU A AIGUILLES. .........................................................9
42)LES BUTEES A BILLES OU A ROULEAUX. ...................................................................................10
43)LES DOUILLES A BILLES OU A ROULEAUX..................................................................................10
44)LES VIS A BILLES OU A ROULEAUX. ..........................................................................................10
45)LES GUIDAGES A BILLES OU A ROULEAUX SUR RAILS. ...............................................................10
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5) GRAPHE DE STRUCTURE ET SCHEMA DARCHITECTURE. .................................... 11
51)DIFFERENCE ENTRE SCHEMA CINEMATIQUE ET SCHEMA DARCHITECTURE. ...............................11
52)EXEMPLE:LIAISON ENTRE UN ARBRE 1ET UN BATI 0REALISEE PAR LASSOCIATION DE 2ROULEMENTS. ..............................................................................................................................11
6) LIAISONS CINEMATIQUEMENT EQUIVALENTES.......................................................12
61)DEFINITION DUNE LIAISON EQUIVALENTE.................................................................................12
62)LIAISONS EN SERIE. ................................................................................................................ 12
0/11/22/30/3Leq VVVVV .................................................................. 12
Exemple : Patin rotule............................................................................................................ 12
63)LIAISONS EN PARALLELE. ........................................................................................................13C
0/1B
0/1A
0/10/1Leq VVVVV ....................................................................13
Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bti 0 ralise par lassociation de 2 roulements. ... 13
7) LOI ENTREE-SORTIE DUN MECANISME. ................................................................... 14
71)CHAINES DE SOLIDES OUVERTE,FERMEE ET COMPLEXE...........................................................14 Chane ouverte.................................................................................................................................. 14
Chane ferme................................................................................................................................... 14
Chane complexe. ............................................................................................................................. 14
72)DEFINITION DUNE LOI ENTREE-SORTIE....................................................................................14
73)DETERMINATION DUNE LOI E/S...............................................................................................14 Chane ouverte.................................................................................................................................. 14
Cours 05 Cinmatique du solide............................................................................................ 14
Chane ferme................................................................................................................................... 14Fermeture gomtrique liant les paramtres de position. ........................................................ 14Fermeture gomtrique liant les paramtres dorientation. ...................................................... 14Fermeture cinmatique ............................................................................................................. 14
8) LES TRANSFORMATIONS DE MOUVEMENTS CLASSIQUES. ..................................15
81)BIELLE-MANIVELLE. ................................................................................................................ 15
82)PIGNON-CREMAILLERE............................................................................................................15
83)VIS-ECROU.............................................................................................................................15
84)CROIX DE MALTE....................................................................................................................16
85)EXCENTRIQUE........................................................................................................................16
86)CAME RADIALE. ...................................................................................................................... 16
87)CAME AXIALE. ........................................................................................................................ 16
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9) LES REDUCTEURS ET MULTIPLICATEURS DE VITESSE. ........................................ 17
91)RAPPORT DE TRANSMISSION,DE REDUCTION ET DE MULTIPLICATION. .......................................17
92)TRANSMISSION PAR ADHERENCE:ROUES DE FRICTION............................................................17
93)TRANSMISSION PAR OBSTACLE:ENGRENAGES........................................................................18 Terminologie...................................................................................................................................... 18
Engrenage, pignon, roue et couronne. ..................................................................................... 18Diamtres primitifs. ................................................................................................................... 18Pas primitifs............................................................................................................................... 18Module. ..................................................................................................................................... 18Rapport de transmission........................................................................................................... 18
Diffrents types dengrenages. ......................................................................................................... 19Engrenage cylindrique extrieur ou intrieur ( denture droite ou hlicodale)........................ 19Engrenage conique ( denture droite ou hlicodale)............................................................... 19Engrenage roue et vis sans fin (appel aussi engrenage vis)............................................ 19
Schmas normaliss......................................................................................................................... 20
Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple. .................................................................. 20
Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train picyclodal. ......................................................... 21Inconvnients des trains simples.............................................................................................. 21Inconvnients des engrenages roue et vis sans fin............................................................... 21Dfinitions dun train picyclodal.............................................................................................. 21Trains picyclodaux plan et sphrique. ................................................................................... 21Plantaires, satellites et porte satellite. ....................................................................................21Condition gomtrique entranant une relation sur le nombre de dents des diffrentslments.................................................................................................................................... 21Disposition la plus frquente..................................................................................................... 22
Avantages des trains picyclodaux. ........................................................................................ 22Relation cinmatique : Relation de Willis.................................................................................. 22Exemple du rducteur ATV.......................................................................................................23
94)LES LIENS FLEXIBLES (PIGNONS-CHAINE,POULIES-COURROIE) .................................................24
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2 paramtresindpendants
= 2 degrs de libert
Pivot glissantdaxe x,O
ouTout pointA de laxe
)x,O(
,...,...)x(
1/2A,x1/2,x
)x,A(P
1/2
0
0
v
0
0
V
Et en plus, les valeurs des composantessont identiques
pour tout point P de l'axe )x,A(
1 paramtre indpendant= 1 degr de libert
Pivotdaxe x,O
ou
Tout pointA de laxe
)x,O(
,...,...)x(
1/2,x
)x,A(P
1/2
0
0
0
0
0
V
Et en plus, les valeurs des composantessont identiques
pour tout point P de l'axe )x,A(
1 paramtre indpendant= 1 deg rde l iber t
Hlicodaledaxe x,O
et
de pas pou ou
Tout pointA de laxe
)x,O(
,...,...)x(
1/2,x1/2,x
)x,A(P
1/2
0
0 2
p.
0
0
V
Car
2
p.v
2
p.x
)mm(x)rad(
)mm(p)rad(2xx
Pas droite +et Pas gauche -
Et en plus, les valeurs des composantessont identiques
pour tout point P de l'axe )x,A(
3 paramtresindpendants
= 3 degrs de libert
Rotulede centre O
(ou alors sphriquede centre O)
Seulementen O
)z,y,x(1/2,z
1/2,y
1/2,x
O
1/2
0
0
0
V
2 paramtresindpendants
= 2 degrs de libert
Rotule doigtde centre O et
de rotationinterdite y,O
(ou alors sphrique doigt de centre O
et de rotationinterdite y,O
)
Seulementen O
)z,y,x(1/2,z
1/2,x
O
1/2
0
0
0
0
V
4 paramtres
indpendants= 4 degrs de libert
Linaireannulaire
de centre Oet de direction
x
(ou alors sphre-cylindre de centre O
et de direction x )
Seulementen O
)z,y,x(
1/2O,x
1/2,z
1/2,y
1/2,x
O
1/2
0
0
v
V
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42) Les butes billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser des liaisons appuis plans.
43) Les douilles billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser desliaisons pivots glissants.
44) Les vis billes ou rouleaux.Elles permettent de raliser des liaisons hlicodales.
45) Les guidages billes ou rouleaux sur rails.
Ils permettent de raliserdes liaisons glissires.
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63) Liaisons en parallle.
0
0/1L en A
10/1L en B
0/1L en C
0eqL
1
condition que la Leq soit normalise
La liaison Leq est identifie partir de son torseur cinmatique associ.LC
0/1LB
0/1LA
0/10/1Leq VVVVV
La compatibilit cinmatique des n liaisons en parallle avec la liaison quivalente, s'exprime par uneidentit des composantes de tous ces torseurs rduits au mme point.
Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bti 0 ralise par lassociation de 2 roulements.Dessin : Graphe de structure : Schma darchitecture :
0
Rotulede centre
A
1
Linaireannulaire de
centre B et de
direction x On pose x.aAB
)z,y,x(
LB 0/1B,x
LB0/1,z
LB0/1,y
LB0/1,x
B
LB0/1
0
0v
V et
)z,y,x(
LA0/1,y
A0/1,z
LA0/1,z
LA0/1,y
LA0/1,x
B)z,y,x(
LA0/1,z
LA0/1,y
LA0/1,x
A
LA0/1
.a
.a0
0
00
V
Car le changement de point (transfert au point B) pour la liaison en A donne :
z..ay..a)z.y.x.(x.a0BAVV LA 0/1,yLA
0/1,zLA
0/1,zLA
0/1,yLA
0/1,xLA
0/1LA
0/1ALA
0/1B
Or, comme les liaisons sont en parallle : LA0/1LB
0/10/1Leq VVVV
donc :
)z,y,x(
LA0/1,y
LA0/1,z
LA0/1,z
LA0/1,y
LA0/1,x
B)z,y,x(
LB0/1B,x
LB0/1,z
LB0/1,y
LB0/1,x
B
0/1Leq
.a
.a
0
0
0
v
VV
)z,y,x(
0/1,x
B
Leq
LB0/1B,x
LA0/1,z
LB0/1,z
LA0/1,y
LB0/1,y
LA0/1,x
LB0/1,x
LA0/1,y
LA0/1,z
LB0/1B,x
LA0/1,z
LB0/1,z
LA0/1,y
LB0/1,y
LA0/1,x
LB0/1,x
0
0
0
0
0
0v
0
0
.a0
.a0
0v
V
0Rlt2
Rlt11
ABxx
quivalent une liaison pivot daxe )x,B(
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7) Loi entre-sortie dun mcanisme.71) Chanes de solides ouverte, ferme et complexe.
Chane ouverte. Chane ferme. Chane complexe.
Une chane de solides 0, 1, 2 est
ouverte si les solides des extrmessont diffrents.
Une chane de solides 0, 1, 2 est
ferme si le solide initial est lemme que le solide final.
Une chane de solides 0, 1, 2 est
complexe si elle comporteplusieurs chanes ouvertes oufermes.
0
3
L1
1 L2
2 L3
Lexemple type est le robot :Le premier solide tant le bti et ledernier, la pince.
L43 L3
L5
4
0
1
2
L2
L1
L4
3 L3
L5
4 L7
2
L2
L6
0 L1
1
72) Dfinition dune loi entre-sortie.Une loi "entre-sortie" est la relation entre les paramtres de situation (position et orientation) de lapice d'entre et les paramtres de situation de la pice de sortie du mcanisme ou leurs drives.
Dans l'exemple de la pompe, la pice d'entre est l'arbre, et la pice de sortie le piston.La loi entre-sortie est donc la relation entre la vitesse de rotation de larbre et la vitesse de translation du piston.
73) Dtermination dune loi E/S.Typologie Mthode Obtention Pour aller + loin
Chan
e
ouverte
Cours 05 Cinmatique dusolide.
Cinmatique analytique ou graphique.Exemples : Bras de robot, vrin, mange, presse, lve-glace, hayon de vhicule
Fermeturegomtrique
liant lesparamtres de
position.
crire la relation vectorielle de fermeture de lachane :
0PA...CDBCAB
.
Ce qui nous donne en projetantcette quation :- 3 quations scalaires pour unmcanisme spatial,- 2 quations scalaires pour unmcanisme plan.
Fermeturegomtrique
liant lesparamtres
dorientation.
- 1 quation scalaire pour un mcanisme plan, obtenue par :
0)x,x(...)x,x()x,x( 0n2110 .
- 1 quation scalaire pour un mcanisme spatial, obtenue par l'intermdiaire d'unproduit scalaire :
ttanconsx.x ji (0 si ce sont 2 vecteurs orthogonaux).
Cette quation traduit la valeur dun angle constant entre deux vecteurs de base (engnral ceux qui sont orthogonaux), impos par certaines liaisons (exemple du jointde cardan).
En drivant cesquations, il estpossible dtablir
des relations entre
les vitesses.
Chaneferme
Fermeturecinmatique
crire la relation de composition desmouvements :
0/11/21n/n0/n ... VVVV Il faudra crire en ligne les torseurs
cinmatiques des liaisons.Puis, choisir la bonne quation scalaire pour sedbarrasser des paramtres indsirables
Cette quation torsorielle permetdcrire :- 6 quations scalaires pour unmcanisme spatial (3 lies auxvitesses linaires et 3 lies auxvitesses angulaires).
- 3 quations scalaires pour unmcanisme plan (2 lies auxvitesses linaires et 1 lie auxvitesses angulaires).
En intgrant cesquations, il estpossible dtablir
des relations entreles positions.
(En n'oubliant pas la
constanted'intgration qui sedtermine pour uneposition particulire).
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93) Transmission par obstacle : engrenages.
Utilisation :Tous les rducteurs : cela va du
rveil la boite de vitesse devotre future voiture.
Caractristiques :Les rayons des roues dentes :
eR et sR .
Paramtres :Les angles dfinissant lespositions angulaires de la roue etdu pignon.
Terminologie.Engrenage, pignon, roue et couronne.Un engrenage est constitu de deux roues dentes. On appelle la petite le pignon et la grande la roue (oucouronne si cest un engrenage intrieur).
Diamtres primitifs.Lengrnement de dentures assure le roulement sans glissement en I des cercles fictifs de diamtres De etDs. Ces cercles sont appels cercles primitifs. Ils correspondent aux diamtres des roues de friction quiassureraient le mme rapport de transmission.
Pas primitifs.Pour garantir cet engrnement, les pas primitifs respectifs des dentures du pignon et de la roue, quicorrespondent aux longueurs des arcs des cercles primitifs compris entre deux profils de dents conscutifs,doivent tre gaux :
s
s
e
e
z
R.2
z
R.2pas
(o ez et sz sont les nombres de dents des roues de diamtre eD et sD ).
On en dduit que :ss
ee
zR
zR et donc aussi que
ss
ee
zD
zD .
Module.Ce dernier rapport caractrise laptitude lengrnement des diverses roues entre elles. Il est appel module(symbolis m).
Pour une roue donne :z
Dm (unit en mm) et m.pas
Donc deux roues qui nont pas le mme module ne peuvent pas engrener car leur pas est diffrent.
Rapport de transmission.De la relation de roulement sans glissement du paragraphe prcdent, on en dduit :
le rapport de transmissione
s
e
s
e
s
0/s
0/e
z
z
D
D
R
Ri
.
Pignon eze dents
Roue szs dents I De
Ds
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Diffrents types dengrenages.Engrenage cylindrique extrieur ou intrieur ( denture droite ou hlicodale).
Contact extrieur (avec son dessin normalis) Contact intrieur (avec son dessin normalis)
Denture droite Denture hlicodale Jumel avec dentures hlicodales inverses Denture chevrons
Ils transmettent un mouvement entre deux arbres parallles.
Cas particulier pour denture droite : Ce sont les plus simples et les plus conomiques. Comme leurs dents sont parallles aux axes de rotation, ils peuvent admettre
des dplacements axiaux. Ils sont bruyants.
Cas particulier pour denture hlicodale :NB : Les deux roues denture hlicodale doivent avoir leurs hlices de sens opposs pour engrener ensembles. Le nombre de couple de dents en prise tant plus important, lengrnement est donc plus progressif et plus continu : ils sont donc
plus silencieux et peuvent transmettre un effort plus important. Employ seul, cet engrenage gnre des efforts axiaux (pour compenser cet effort, on utilise un jumelage de 2 engrenages
dentures hlicodales inverses ou alors des roues chevrons).
Engrenage conique ( denture droite ou hlicodale).
Denture droite Denture hlicodale Dessin normalis
Ils transmettent un mouvement entre des arbres axes concourants perpendiculairesou non.
Les arbres sont en porte faux. Ils gnrent des efforts axiaux. Les sommets descnes doivent concider.
Engrenage roue et vis sans fin (appel aussi engrenage vis).Vis sans fin
avec roue cylindriqueVis sans fin
avec roue creuseVis globique
avec roue creuseDessin normalis
Vue de cot Vue de face
Avecroue
cylindrique
avecroue
creuse
Transmission entre arbres axes non concourants. Irrversibilit possible scurit anti-retour (utile quand le rcepteur peut
devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de rduction (entre 5 et 150). Lengrnement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte
un effort axial important.Afin daugmenter la surface de contact des dentures, on utilise trs souvent des systmes roue creuse. (ou mieux encore unevis globique, mais le cot de la vis est important).
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Schmas normaliss.
NB : Les cerclesreprsents sur leschma cinmatiquecorrespondent auxcercles primitifs desroues.
Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple.Pour augmenter le rapport de rduction ou de multiplication, on peut associer plusieurs engrenages en srie.On parle alors de trains dengrenages.Lorsque les axes des diffrentes roues ont tous une position invariable par rapport au bti, on parle de
train simple .On qualifie de train picyclodal une configuration o lun des axes des diffrentes roues a une positionvariable par rapport au bti au cours du fonctionnement (voir paragraphe suivant).
Exemples courants de rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train simple :
2 engrenages extrieurs 3 engrenages extrieurs 1 engr. extrieur + 1 engr. intrieur
)z
z).(
z
z(.i
''2
s
e
'2
0/s
0/2
0/2
0/e
0/s
0/e
)
z
z).(
z
z).(
z
z(..i
3
s
''2
3
e
'2
0/s
0/3
0/3
0/2
0/2
0/e
0/s
0/e
)
z
z).(
z
z(.i
''2
s
e
'2
0/s
0/2
0/2
0/e
0/s
0/e
De ces 3 exemples, on peut dduire que le rapport de transmission peut tre dtermin laide de la relationsuivante, o n correspond au nombre de contacts ou engrenages extrieursentre roues :
menantesrouesdesdentsdenombreduoduitPr
menesrouesdesdentsdenombreduoduitPr.)1(i n
0/s
0/e
len
)1( donne le sens de rotation entre les axes dentre et de sortie (il est donc utilis seulement sices axes sont parallles)Dans un engrenage, on qualifie de roue menante une roue motrice, et de roue mene une rouerceptrice. Dans le 2meexemple, on qualifie la roue 3 de roue folle . Cette roue est la fois menante (dela roue s) et mene (par la roue 2), son rle est de changer le sens de rotation.
Pour une roue creuse
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Rducteurs ou multiplicateurs de vitesse train picyclodal.Inconvnients des trains simples.Le rapport de rduction ou multiplication pour un seul couple de roues dentes est gnralement limit 7pour des raisons dencombrement et de vitesses circonfrentielles.De plus, les arbres dentre et de sortie ne sont pas aligns.do la ncessit dutiliser plusieurs tages (train simple) mais cela devient rapidement encombrant et lourd.
Inconvnients des engrenages roue et vis sans fin.Le rapport de rduction ou multiplication d'un engrenage roue et vis sans fin peut atteindre 150,malheureusement son rendement nexcde pas les 60%.De plus, les arbres dentre et de sortie ne sont pas aligns.
Dfinitions dun train picyclodal.Un train picyclodal est compos dorganes rotatifs dont au moins un lment le satellite est susceptiblede prendre deux mouvements de rotation indpendants : une rotation autour de son axe (rotation propre) etune rotation par rapport laxe gnral du systme.
Trains picyclodaux plan et sphrique.Un train picyclodal est dit plan lorsque tous les axes sont parallles : ce sont la majorit des trains (ex :
roue de camion, treuil, motorducteur...).Un train picyclodal est dit sphrique si tous les axes sont concourants (eng. conique) (ex : diffrentiel de voiture).
Plantaires, satellites et porte satellite.Les diffrents types de trains picyclodaux sont prsents ci-dessous. Les lments 1 et 3 sont appelsplantaires, les lments 2 sont les satellites, et 4 est le porte satellite.
Train picyclodal de type Iavec deux satellites 2 Train picyclodal de type Iavec trois satellites 2
Condition gomtrique entranant une relation sur le nombre de dents des diffrents lments.Exemple pour un train pi. de type I: 213 D.2DD 213 z.2zz
Exemple pour un train pi. de type II: 3''2'21 RRRR 3''2'21 zzzz
4
NB : Dans les trainspicyclodaux detype II, IIIet IVle
satellite 2 estappel satellite
double.
Si et seulement si les modulesdes 2 engrenages sont gaux.
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Disposition la plus frquente.Lutilisation de plusieurs satellites (voir exemples prcdents) ne change en rien la cinmatique, maissupprime les efforts radiaux sur les arbres et rduit les efforts sur les dentures. Mais le systme estfortement hyperstatique, il faut donc utiliser des solutions constructives adquates.
Sur un train picyclodal, les plantaires ou le porte satellite peuvent tre larbre dentre ou de sortie.Mais gnralement le rendement dun train picyclodal dont le porte satellite tourne est meilleur, ainsi pour
la majorit des rducteurs train picyclodal, celui-ci sera de type I avec le plantaire intrieur commeentre, le porte satellite la sortie, et le plantaire extrieur fixe.
Avantages des trains picyclodaux.Par rapport aux trains dengrenages simples, les trains picyclodaux ont larbre dentre et de sortie aligns,et des rapports de rduction ou multiplication levs.La mise en srie de plusieurs trains picyclodaux permet dobtenir de plus grands rapports avec unencombrement relativement faible (ex : galet freineur et rducteur du portail au labo).
Relation cinmatique : Relation de Willis.Prenons lexemple dun train de type II:
Les vecteurs rotation sont tous ports par laxe z.Dans la suite nous noterons iz le nombre de dents et iR le rayon primitif de fonctionnement du pignon i.
Traduisons le non glissement au point A : 0V 2/1A
0VVVV 2/4A4/0A0/1A2/1A
avec 40/110/1410/10/1O0/1A x..Rz.y.RAOVV
44/014/0414/04/0O4/0A x..Rz.y.RAOVV
42/4'22/44'22/422/4O2/4A x..Rz.y.RAOVV 2
donc 0x)..R.R.R( 42/4'24/010/11 0.R.R.R 2/4'24/010/11
Traduisons le non glissement au point B : 0V 2/3B
0VVVV 2/4B4/0B0/3B2/3B
avec 40/330/3430/30/3O0/3B x..Rz.y.RBOVV
44/034/0434/04/0O4/0B x..Rz.y.RBOVV
42/4''22/44''22/422/4O2/4B x..Rz.y.RBOVV 2
donc 0x)..R.R.R( 42/4''24/030/33 0.R.R.R 2/4''24/030/33
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On se retrouve avec un systme 2 quations :
0.R.R.R
0.R.R.R
2/4''24/030/33
2/4'24/010/11
Pour supprimer 2/4 (vitesse que lon
ne connat pas), on multiplie la 1requation par
''2
R et la 2mepar'2
R :
0.R.R.R.R.R.R
0.R.R.R.R.R.R
2/4''2'24/03'20/33'2
2/4'2''24/01''20/11''2
Et on additionne : 0).R.RR.R(.R.R.R.R 4/03'21''20/33'20/11''2
Soit : 0).R.RR.R(.R.R.R.R 0/43'21''20/33'20/11''2
En divisant par 1''2 R.R on obtient : 0.R.R
R.R1.
R.R
R.R0/4
1''2
3'20/3
1''2
3'20/1
Dautre part, on peut remarquer (par rapport au schma de la page prcdente) que si on fixe le porte satellite 4,
le train picyclodal devient un train simple, de rapport de transmission :1''2'23
00/30/1
R.RR.R
0/4
.
Posons ce rapport.
Par consquent, on obtient (de notre quation prcdente), la relation de Willis :
0.1. 0/40/30/1 avec00/3
0/1
0/4
En remplaant les repres, cette relation de Willispeut scrire sous 2 formes diffrentes :
0.1.0/Sa.Po0/B.Pla0/A.Pla
avec00/B.Pla
0/A.Pla
0/Sa.Po
(1reforme : la plus pratique)
ou
0/Sa.Po0/B.Pla
0/Sa.Po0/A.Pla avec00/B.Pla
0/A.Pla
0/Sa.Po
(2meforme)
O le paramtre appel raison de base du train est une constante et correspond au rapport detransmission du train dengrenage simple obtenu en immobilisant le porte satellite.
Remarque pour mieux retenir : la somme des coefficients de la 1reforme est nulle : 0)1(1
Exemple du rducteur ATV.Ci-dessous le schma cinmatique du rducteur ATV (avec 170zet,164z,160z,166z 3''2'21 ).
La relation de Willis scrit : 0.1. 0/40/30/1
avec 9991,0z
z.
z
z.)1(
''2
3
1
'20
00/3
0/1
0/4
Or 00/1 , s3 et e4 .
Ainsi la relation de Willis scrit : 0.1.0 0/e0/s
soit : 113310/s
0/e
cest dire un rapport de rduction trs important.
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94) Les liens flexibles (pignons-chane, poulies-courroie)Ils sont particulirement avantageux lorsquil sagit de relier de grands entraxes. Ils sont alors moins coteuxque les transmissions par engrenages.Ils sont utiliss dans tous secteurs de la construction mcanique (machines outils, convoyeurs, engins detravaux publics, moteurs ...).NB : Attention les roues ou poulies tournent dans le mme sens (contrairement aux engrenages).
Pignons-chane.Schma normalis :
PignonChanes
Avantages et inconvnients : Transmission de couples trs importants.
Aucun glissement.Entranement rapport constant (indpendant du couple).Les chanes pouvant sengager sur les pignons par leurs deuxfaces, le sens de rotation peut tre invers en interposant desgalets intermdiaires.
Bruyant et ncessite une lubrification.
Poulies-courroie.Schma normalis :
La transmission de puissance par poulie-courroie se fait par lintermdiaire deladhrence entre la courroie et la poulie.
Avantages et inconvnients : Rigidit en torsion assez faible, ceci permet leur utilisation lorsque les axes des
poulies ne sont pas parallles (possibilit dutiliser des galets intermdiaires).Solution conomique.Fonctionnement silencieux.Amortissement des -coups grce l'lasticit des courroies.
Matriaux des courroies non adapts des conditions difficiles (temprature
leve par exemple).Dure de vie limite.Ncessite une surveillance priodique en vue du remplacement de la courroie.Glissement (sauf pour courroie crante).