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Modélisation cinématique des mécanismes Cours MPSI-PCSI Page 1/14 Lycée Hoche Versailles Modélisation cinématique des mécanismes Philippe Bourzac 2003

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Modélisation cinématique des mécanismes Cours

MPSI-PCSI Page 1/14

Lycée HocheVersailles

Modélisation cinématique desmécanismes

Philippe Bourzac2003

Modélisation cinématique des mécanismes Cours

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MODELISATION CINEMATIQUE DES MECANISMES

Objectif : Etablir une modélisation d’un mécanisme pour mener des études cinématiques ougéométriques.

1 Classes d’équivalence cinématique.

1.1 Définition.Une classe d’équivalence cinématique est un ensemble de pièces d’un mécanisme qui n’ont aucunmouvement relatif entre elles.

1.2 Recherche des classes d’équivalence d’un mécanisme à partir du dessin d’ensemble.Les règles de représentation du dessin technique, les représentations normalisées des élémentsstandards et notre culture technologique doivent nous permettre d’identifier les classes d’équivalence.La mise en évidence des différentes classes d’équivalence peut être réalisée en coloriant le dessind’ensemble.

Exemple : Micro-moteur

D’autres exemples sont disponibles sur le site : http://www.perso.wanadoo.fr/philippe.bourzac/

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2 Graphe des liaisons ou graphe de structure.

Le graphe des liaisons est une figure qui recense les classes d’équivalence et les liaisons entre cesclasses.Une liaison existe chaque fois que deux classes d’équivalence ont des surfaces directement encontact ou par l’intermédiaire d’éléments roulants (billes ou rouleaux).

Exemple : Micro-moteur

Les classes d’équivalence 9 et 15 sont en contactdirect ainsi que 5 et 13. Par contre, les classesd’équivalence 5 et 9, ainsi que 13 et 15, sont enliaison par l’intermédiaire d’éléments roulants.

Dans le graphe de structure, les liaisons relientles classes d’équivalence.

Il existe différents types de liaisons. A ce stade,nous ne pouvons préciser davantage le graphe destructure.

3 Les différents types de liaisons.

3.1 Importance des surfaces de contact.L’examen des surfaces de contact nous permet de préciser les particularités de la liaison d’un point devue géométrique et cinématique.

Exemple :

Les surfaces de contact sont deux cylindres de révolution. Les mouvements de 2/1 autorisés sont unetranslation suivant la direction

et une rotation autour de l’axe ( )

.

3.2 Les liaisons réelles.Les liaisons existant entre les différentes classes d’équivalence du mécanisme réel (un dessind’ensemble est déjà un modèle) sont délicate à étudier car :• Les surfaces de contact ont des défauts de forme et d’état de surface ;• Il existe des jeux entre les surfaces qui interdissent leur coïncidence et localisent le contact. Les

jeux sont nécessaires pour permettre le montage de la liaison.

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défaut de forme défaut d’état de surface

∅∅ α

Le jeu nécessaire au montage autorise des petits déplacements radiaux et angulaires

La difficulté à prendre en compte ces paramètres conduit à considérer le modèle de liaison parfaite.

3.3 Les liaisons parfaites.Le modèle de liaison parfaite repose sur les hypothèses suivantes :

• Les surfaces de contact de chacune des pièces sont supposées géométriquementparfaites et le maintien du contact est toujours assuré ;

• Les liaisons sont sans jeu ;• Le contact entre les deux pièces s’établit en un point, sur une portion de ligne (droite ou

cercle) ou sur une portion de surface (plan, cylindre, sphère, surface de révolution,surface hélicoïdale).

A ces hypothèses répondent 11 liaisons. Elles sont définies par une norme internationale. On parlerade liaisons normalisées. Un extrait de cette norme est fournie en annexe 1.

3.4 Les liaisons sur éléments roulants.Certaines liaisons dans les mécanismes n’utilisent pas le principe du glissement des surfaces decontact, mais celui de l’interposition d’éléments roulants. Des composants mécaniques particulierssont utilisés. Ils permettent de réaliser la plupart des liaisons normalisées (sauf la liaisonencastrement évidemment et la liaison rotule à doigt).

• Les roulements à billes ou à rouleaux : ils permettent de réaliser des liaisons pivot, pivot glissant,rotule ou linéaire annulaire suivant le type et le montage.

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• Les butées à billes ou à rouleaux : elles permettent de réaliser des liaisons appui plan.

• Les douilles à billes ou à rouleaux : elles permettent de réaliser des liaisons pivot-glissant ouglissière.

• Les vis à billes ou à rouleaux : elles permettent de réaliser des liaisons hélicoïdales.

• Les rails de guidage sur billes ou sur rouleaux : ils permettent de réaliser des liaisons glissières.

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Dans les graphes de liaison, il ne faut pas associer de classe d’équivalence à ces composants, maisseulement considérer la liaison qu’ils réalisent.

Exemple : Micro-moteur• Les surfaces de contact entre les classes

d’équivalence 9 et 15 sont des cylindres derévolution et des plans. On retient donc uneliaison pivot ;

• Les surfaces de contact entre les classesd’équivalence 5 et 13 sont des cylindres derévolution. On retient donc une liaison pivot-glissant ;

• La classe d’équivalence 15 est guidée parrapport à 13 par l’intermédiaire de deuxroulements à billes qui réalisent une liaisonpivot ;

• La classe d’équivalence 9 est guidée parrapport à 5 par l’intermédiaire d’un roulementà aiguilles qui réalise une liaison pivot-glissant.

4 Les degrés de liberté d’une liaison.

Le nombre de degrés de liberté d’une liaison est le nombre de mouvements élémentairesindépendants que la liaison autorise (nbre de rotation et de translation). Pour les recenser, il fautintroduire un repère local qui utilise les particularités de la liaison.

Exemple : liaison pivot-glissant

z

x

yλx

θx

O

2 mouvements indépendants donc liaison à 2 degrés de liberté

Remarque : pour la liaison hélicoïdale, la translation et la rotation sont liées par la relation :

θπ

= pour une hélice à droite et

θπ

−= pour une hélice à gauche où p est le pas de

l’hélice. La liaison hélicoïdale est donc une liaison à 1 degré de liberté.

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5 Paramétrage de la position relative de deux solides en liaison.

Pour paramétrer la position relative de deux solides en liaison, il faut lier à chaque solide un repère enplaçant les axes de ces repères sur les éléments caractéristiques de la liaison (axe, centre, normale àun plan,…) et des solides. Le paramétrage est alors possible en introduisant des paramètres deposition en nombre égal à celui des degrés de liberté de la liaison.

Exemple : liaison pivot-glissant

z1

x1

y1O1

θx

x2

y2

y1

z2

O2λx

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6 Torseur cinématique associé à une liaison.

Le torseur cinématique associé à la liaison est le torseur cinématique du mouvement relatif des deuxsolides.

Exemple : liaison pivot-glissantOn retient, ici, le mouvement de 2 par rapport à 1, car le paramétrage le suggère. On obtient :

=

=

==−

λθ

λθ

λθ

( ) ∈∀

Ce travail de paramétrage a été fait pour l’ensemble des liaisons normalisées. L’annexe 2 présenteles torseurs cinématiques associés.

7 Liaisons équivalentes.

Dans certains mécanismes, des associations de liaisons peuvent être remplacées par des liaisonséquivalentes qui doivent correspondre à des liaisons normalisées. La liaison équivalente qui réduitnormalement le nombre de pièces du mécanisme n'est pas retenue lors de la conception car elle esttechnologiquement peu fiable.Deux types de configuration sont rencontrées.

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7.1 Liaisons en série.Soit un mécanisme tel que le graphe de structure présente la disposition suivante :

L12L23

Cette disposition peut être simplifiée et remplacée par la structure suivante à condition que la liaisonéquivalente L13 déterminée par le calcul soit normalisée.

L13

La liaison L13 est identifiée à partir de son torseur cinématique associé.

On pose :

=

=et = . On a donc : +=

7.2 Liaisons en parallèle.Soit un mécanisme tel que le graphe de structure présente la disposition suivante :

L1

L2

Cette disposition peut être simplifiée et remplacée par la structure suivante à condition que la liaisonéquivalente L12 déterminée par le calcul soit normalisée.

L12

La liaison L12 est identifiée à partir de son torseur cinématique associé.

On pose :

=

=et = . On a donc : ==

Remarque : on peut avoir plus de deux liaisons en parallèle.

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8 Schéma cinématique.

Le schéma cinématique d'un mécanisme est une figure plane ou spatiale qui permet :• D'aider à la compréhension du fonctionnement du mécanisme ;• De mener des études géométriques et cinématiques.

Il doit donc être représentatif du mécanisme. Il doit respecter toutes les particularités.

8.1 Réalisation du schéma cinématique.♦ Recenser les classes d’équivalence du mécanisme ;♦ Modéliser les liaisons entre ces classes d'équivalence ;♦ Représenter les liaisons et les classes d'équivalence en utilisant les symboles

normalisés et en tenant compte des particularités du mécanisme (axes parallèles,perpendiculaires ou concourants, …).Le schéma doit être fait pour une position quelconque du mécanisme.Une représentation en perspective est à retenir de préférence.

♦ Paramétrer le schéma cinématique en introduisant des repères liés à chaqueclasse d'équivalence et des paramètres de position relatifs aux liaisons.

Exemple : Micro-moteur

x

y

z

x

15x

α

15x

9x

γ

β

λ

8.2 Schéma cinématique minimal.Un schéma cinématique minimal est un schéma cinématique qui prend en compte les éventuellesliaisons équivalentes.

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8.3 Schéma cinématique plan.Pour les mécanismes répondant aux hypothèses de mouvement plan, une représentation plane duschéma cinématique est plus adaptée car les paramètres de position sont alors vus en vraie grandeur.Les mouvements relatifs possibles entre les classes d'équivalence étant réduits, la représentation desliaisons peut alors être simplifiée.

• Si le problème est plan de normale

, alors une liaison pivot d’axe ( ) , une liaison pivot-

glissant d’axe ( ) , une liaison rotule de centre O ou une liaison linéaire annulaire de centre O

et de direction

sont toutes représentées par une articulation de centre O :

• Si le problème est plan de normale

, alors une liaison pivot-glissant d’axe ( ) est

équivalente à une liaison glissière de direction

.

Exemple : Micro-moteur

x

y

15x

9x

α

β

γ

λ

9 Etude cinématique d’un mécanisme – Méthode générale.

9.1 Fermeture cinématique.Soit un mécanisme présentant le graphe de structuresuivant :

Ce graphe fait apparaître des cycles qui sont obtenusen le parcourant à partir d’une pièce. On dénombrepour notre exemple trois cycles différents.

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41

5

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Pour chaque cycle, on peut écrire une fermeturecinématique en utilisant la composition desmouvements.

Pour le cycle C1, on obtient :

=+++

A chaque fermeture cinématique correspondent 6équations scalaires.

9.2 Cycles indépendants.Le graphe précédent présente 3 cycles. On peut donc écrire 18 équations scalaires en réalisant lesfermetures cinématiques associées. Les 18 équations obtenues ne sont pas indépendants. En effet lecycle C3 ne fait intervenir aucune nouvelle pièce ou nouvelle liaison par rapport aux cycles C1 et C2.Les équations cinématiques relatives au cycle C3 sont des combinaisons linéaires des équationscinématiques relatives aux cycles C1 et C2.

Il faut retenir un nombre minimum de cycles permettant d’écrire toutes les équations cinématiquesutiles. On l’appelle le nombre cyclomatique ou nombre de cycles indépendants : +−= µ où

est le nombre de liaisons et le nombre de pièces du mécanisme.

9.3 Système d’équations cinématiques.Le système d’équations cinématiques caractérisant le fonctionnement d’un mécanisme est obtenu enchoisissant µ cycles indépendants et en écrivant les 6µ équations cinématiques associées.

Remarque : pour un problème plan, on ne peut écrire que 3 équations cinématiques par cycle.

9.4 Loi entrée-sortie.La loi entrée-sortie est la relation cinématique qui ne fait intervenir que les paramètres d’entrée et desortie ainsi que leurs dérivées. Elle est obtenue à partir du système d’équations cinématiques parmanipulation des équations.

Remarque : une intégrale première de cette loi peut être obtenue directement par une étudegéométrique. On parle alors de fermeture géométrique.

23

41

5C1

C3

C2

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Annexe 1 : Liaisons normalisées

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Annexe 2 : Torseurs cinématiques associés aux liaisons normalisées

Nom de la liaison Perspective Torseurcinématique

Particularités

Liaison pivot

x

z

y

O

1

2

=

θV

=

θV

( )∈∀

Liaison glissière

x

z

y1

2

o

=

λV

=

λV

Liaison hélicoïdale

x

1

2

o

z

y

=

λθV

avec

θπ

λ =

p : pas en mm/trhélice à droite

=

λθV

( )∈∀

Liaison pivot glissant

x

z

y

O

1

2

=

λθV

=

λθV

( )∈∀

Liaison sphérique à doigts

x

z

y

O

1

2

Ω

=

VAvec

O centre de laliaison

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Nom de la liaison Perspective Torseurcinématique

Particularités

Liaison rotule

x

z

y

O

1

2

Ω

=

VAvec

Ω

quelconque

O centre de laliaison

Liaison appui plan

x

z

y

O

1

2

( ) ( )

=

=∈∈

θθV

avec

( ) =∈

( ) =∈

∀Liaison linéaire annulaire

x

z

y

O

1

2

Ω

=

λV

Avec

Ω

quelconque

O centre de laliaison

Liaison linéaire rectiligne

x

z

y

O

1

2

( ) ( )

Ω

=

Ω

=∈∈

V

avec

( ) =∈

( ) =∈

( )∈∀

Liaison ponctuelle

x

z

y

O12

( ) ( )

Ω

=

Ω

=∈∈

V

avec

Ω

quelconque

( ) =∈

( ) =∈

( )∈∀