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Cin - Cours PTSI - SII

CIN : CINEMATIQUE

MODÉLISER LES LIAISONS ET LA CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES

+ VECTEURS ET TORSEURS

(COURS)

A Modélisation des liaisons et des mécanismes (schémas cinématiques) 1

B Outils mathématiques pour la mécanique : vecteurs et torseurs 12

C Cinématique du solide indéformable 25

D Cinématique des mécanismes (chaînes de solides) 52

Annexe 1 : Schémas cinématiques des systèmes usuels 60

(0)

(1) (2)

(3)

A

B

C

D

0x

0y

1x

θ(t)

3y

φ(t)

θ

0x

0y

3x

3y

1 20 zz z= = θ

ϕ

ϕ

1y

1x

A

A ’

A ’ ’

B ’ ’

B ’

B

0 1

TB∈1/0

TA∈1/0

'' 1/0∈

BV

''1/0AV

' 1/0∈

BV

' 1/0∈

AV

1/0∈

BV

1/ 0∈

AV

Translation curviligne Rotation

Cin : Modéliser les liaisons et la cinématique des systèmes

Extrait des compétences attendues, d’après le programme officiel :

Compétence Descriptif Connaissances Savoir-faire

B -

MODE-

LISER

B2 -

Proposer

un

modèle

Un système étant fourni, et les exigences définies, l’étudiant doit être capable de : - définir les hypothèses retenues pour la proposition d’un modèle ; - proposer un modèle de connaissance du système ou partie du système à partir des lois physiques ; - proposer un modèle de comportement du système ou partie du système à partir des résultats expérimentaux.

Modèles de solide

· Modèle de solide indéformable.

- Associer le modèle du solide indéformable au comportement cinématique d’un solide.

S1

Modélisation géométrique et

cinématique des mouvements

entre solides indéformables

· Déplacement des points d’un

solide : repère lié à un solide,

paramètres géométriques

linéaires et angulaires

définissant la position d'un

solide par rapport à un autre,

déplacements et petits

déplacements d'un solide,

torseur des petits déplacements.

- Associer un repère à un solide ; - Identifier les degrés de liberté d’un solide en mouvement par rapport à un repère ; - Réaliser le paramétrage d’un mécanisme simple ; - Prendre en compte les symétries ou les restrictions de mouvement pour simplifier les modèles.

S1

· Champ des vecteurs vitesses

des points d'un solide ;

· Torseur cinématique

caractérisant le mouvement d’un

solide ;

· Composition des vitesses ;

· Champ des vecteurs

accélérations des points d'un

solide ;

· Composition des accélérations.

- Déterminer la trajectoire d’un point d’un solide ; - Écrire le vecteur position, vitesse d’un point d’un solide, dans les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques ; - Écrire le torseur cinématique caractérisant le mouvement d’un solide ; - Écrire le vecteur accélération d’un point d’un solide.

S1

· Modélisation cinématique des

liaisons entre solides :

- liaisons parfaites normalisées,

- degré de liberté,

- liaisons réelles.

- Identifier la nature du contact entre deux solides ; - Identifier, dans le cas du contact ponctuel, le vecteur vitesse de glissement ainsi que les vecteurs rotation de roulement et de pivotement ; - Associer un modèle de liaison au comportement cinématique d’une liaison réelle.

S1

C -

RESOU-

DRE

À partir des modèles retenus : - choisir une méthode de résolution analytique, graphique, numérique ; - mettre en oeuvre une méthode de résolution.

Loi entrée sortie géométrique et

cinématique

· Fermeture géométrique ;

· Fermeture cinématique.

- Choisir un modèle et une méthode de résolution ; - Déterminer graphiquement le champ des vecteurs vitesses des points d’un solide dans le cas de mouvements plan sur plan ; - Déterminer une loi entrée sortie.

S1

G -

COMMU-

NIQUER

G1 -

Elaborer,

recherch

er et

traiter

des

informat

ions

Un système étant fourni, et les exigences définies, l’étudiant doit être capable de : - définir les hypothèses retenues pour la proposition d’un modèle ; - proposer un modèle de connaissance du système ou partie du système à partir des lois physiques ; - proposer un modèle de comportement du système ou partie du système à partir des résultats expérimentaux.

· Modélisation cinématique des

liaisons entre solides :

- liaisons parfaites normalisées,

- degré de liberté,

- liaisons réelles.

- Identifier la nature du contact entre deux solides ; - Identifier, dans le cas du contact ponctuel, le vecteur vitesse de glissement ainsi que les vecteurs rotation de roulement et de pivotement ; - Associer un modèle de liaison au comportement cinématique d’une liaison réelle.

S1

Modèle cinématique d’un

mécanisme

· Liaison cinématiquement

équivalente ;

…

- Élaborer un graphe de liaisons ; - Élaborer un schéma cinématique plan ou 3D d’un mécanisme (réel, maquette numérique, plan d’ensemble, etc.) ; - Déterminer la liaison cinématiquement équivalente à une association de liaisons…

S2

MODÉLISER LES LIAISONS ET LA CINÉMATIQUE DES SYSTÈMES

Table des matières A Modélisation des liaisons et des mécanismes (schémas cinématiques) 1 A.1 Hypothèses, notions de contact et de liaison 1 A.2 Liaisons normalisées 4 A.3 Modélisation des mécanismes (schémas cinématiques) 6 B Outils mathématiques pour la mécanique : vecteurs et torseurs 12 B.1 Les vecteurs 12 B.2 Les torseurs 22 C Cinématique du solide indéformable 25 C.1 Repérage d’un point et d’un solide 25 C.2 Cinématique du point : trajectoire, vitesse et accélération 27 C.3 Vecteur vitesse de rotation et dérivation d’un vecteur 29 C.4 Champ des vecteurs vitesse d’un solide 32 C.5 Champ des vecteurs accélération d’un solide 35 C.6 Composition de mouvements 36 C.7 Mouvements particuliers (rotation, translation, hélicoïdal) 38 C.8 Mouvement plan sur plan 43 C.9 Cinématique du contact entre solides 45 C.10 Cinématique graphique 46 C.11 Torseur des petits déplacements 51 D Cinématique des mécanismes (chaînes de solides) 52 D.1 Chaînes de solides 52 D.2 Liaisons cinématiquement équivalentes 53 D.3 Loi entrée/sortie géométrique (ou dimensionnelle) 55 D.4 Loi entrée/sortie cinématique 58 Annexe 1 : Schémas cinématiques des systèmes usuels 60 Annexe séparée : Synthèse et méthodologie en cinématique Annexe séparée : Tableau des liaisons normalisées

Cin - cours Chapitre A : Modélisation des liaisons et des mécanismes (schémas cinématiques) 1

CHAPITRE A : MODÉLISATION DES LIAISONS ET DES MÉCANISMES

(SCHÉMAS CINÉMAIQUES) La cinématique d'un système mécanique (mouvements des différents éléments) est définie par la façon dont les composants sont assemblés les uns avec les autres. Lorsque deux pièces du système possèdent des surfaces en contact, on parle d'une liaison entre ces deux pièces. L'ensemble de ces liaisons va donc orienter la cinématique du système (ses mouvements).

L’objectif de ce chapitre est de définir et caractériser les liaisons entre 2 solides en contact, puis l’ensemble des liaisons d’un mécanisme.

A.1) Hypothèses, notions de contact et de liaison

A.1.1) Modélisation

Problématique de la modélisation : traduire la réalité par un modèle le plus réaliste possible. On rappelle qu’il n’y a pas unicité entre la réalité et un modèle.

A.1.2) Solide indéformable

Un solide est un corps qui ne s’adapte pas directement au contenant. (≠liquide, gaz, poudre...)

En modélisation cinématique, statique et dynamique classique, on utilisera un modèle de solide indéformable : on considère que pour tous couples de points du solide, la distance entre ces points ne varie pas par rapport au temps.

Attention : ceci est un modèle. En toute rigueur un solide n’est jamais indéformable.

A.1.3) Géométrie de contact

Un couple de surfaces en contact génèrera une géométrie particulière du contact (ponctuel, linéique ou surfacique).

Remarque : Les zones de contact réelles entre deux solides réels (déformables) sont forcément surfaciques. En revanche, si l'on modélise les pièces réelles par des solides rigides (qui ne se déforment pas) et possédant des surfaces de géométrie parfaite (plan parfait, cylindre parfait, etc…), il est alors possible de parler de contact ponctuel (surface de contact réelle de faible dimension) ou linéique (surface de contact réelle possédant une largeur de faible dimension).


a) Contact ponctuel

Deux solides (S1) et (S2) sont en contact ponctuel si l'intersection de leur représentation géométrique est un point.

Exemples : sphère sur sphère, sphère sur plan, pointe du cône sur plan,... Les billes des roulements ont un contact modélisé ponctuel avec leurs chemins de roulements.

b) Contact linéique

Deux solides (S1) et (S2) sont en contact linéique si l'intersection de leurs représentations géométriques est une ligne.

En pratique, on se limitera à deux types de lignes : la droite (contact linéique rectiligne) ; le cercle (contact linéique circulaire).

Exemples : cylindre sur plan, arête sur plan, cylindre sur cylindre avec axes parallèles, sphère dans cylindre (circulaire), sphère dans cône (circulaire), sphère dans cylindre de même rayon (circulaire), sphère dans cylindre de rayon inférieur (circulaire)…

Les dents d'engrenage ont un contact modélisé linéique entre elles.

c) Contact surfacique

Supposons qu’autour d’un point A, il existe pour (S1) et (S2) deux surfaces qui ont la même forme géométrique. (S1) et (S2) peuvent alors avoir en commun une surface qui peut être plane ou gauche (cylindrique, sphérique, conique, torique, hélicoïdale…)

Exemples : plan sur plan, cylindre dans cylindre de même diamètre, sphère dans sphère de même diamètre, cône dans cône de même demi-angle au sommet, ...


A.1.4) Liaison entre deux solides indéformables

On appelle liaison entre deux solides S1 et S2 l'ensemble des surfaces de contact, appartenant aux deux solides, visant à diminuer la mobilité possible entre ces deux solides. Pour qu’il y ait une liaison entre deux solides, il est nécessaire qu’il existe un contact entre eux.

Si la liaison est réalisée uniquement avec une seule géométrie de contact, on parle de liaison élémentaire. Si, en revanche, la liaison est réalisée à l'aide de plusieurs ensembles de surfaces en contact on parle de liaison composée.

Exemples de liaisons composées :

A.1.5) Degrés de liberté (ddl)

Dans l’espace à 3 dimensions, un solide indéformable possède au maximum 6 possibilités de mouvements indépendants soit :

• 3 translations suivant les 3 axes : Tx Ty Tz • 3 rotations autour des 3 axes : Rx Ry Rz

Définition : Le nombre de degrés de liberté d’une liaison entre deux solides est le nombre de mouvements relatifs indépendants que la liaison autorise entre ces deux solides, sans changer la nature du contact.

Un solide possède au maximum 6 ddl par rapport à un autre solide (c’est le cas s’il ne possède aucun contact avec lui).

Une liaison mécanique entre deux solides comporte de 0 à 5 ddl (car un contact doit exister pour qu’une liaison existe).

Les ddl sont définis dans le repère local de la liaison (normale de la surface tangente au contact, axe d’un cylindre, ligne de contact, etc…). Il convient ensuite éventuellement d’effectuer un changement de repère pour écrire les ddl dans le référentiel du solide considéré (cf. chapitre 2.3 repérage et positionnement).

Notation : Graphiquement, les possibilités de mouvement associées à des translations seront représentées par des flèches simples dans la direction de translation. Les possibilités de mouvement associées à des rotations seront représentées par des flèches à double trait orientées par l'axe de rotation. Analytiquement, les ddl sont notés dans un torseur cinématique à deux lignes (un vecteur par ligne). Ils peuvent aussi être représentés dans un tableau. Par opposition au degré de liberté, un degré de liaison est une impossibilité de mouvement indépendante dans une direction donnée (translation ou rotation). Ainsi le nombre de degrés de liaisons est égal à « 6 – nombre de dll ».

R T x

1 1 y

1 1 z

1 1

1/ 2

, 1/ 2 au point A

. . .

. . .S S x y z

A S S x y z

x y z

V v x v y v z

ω ω ω Ω = + + = + +

ou :

y

Tx

Ty

Tz

Rx

Ry

Rz

z

x


A.1.6) Hypothèses des liaisons parfaites

Les solides sont supposés indéformables (En réalité, tous les solides sont déformables sous charge)

Les surfaces en contact sont considérées géométriquement parfaites (En réalité toutes les surfaces possèdent des défauts géométriques : irrégularités, non alignement… De plus en réalité tous les contacts sont surfaciques).

La liaison est considérée sans jeux Le jeu dans une liaison est un petit espace entre les surfaces de contact, qui donne la possibilité d’effectuer des petits mouvements non désirés.

Les contacts entre les deux solides sont supposés sans frottement Le frottement est une action mécanique qui s’oppose au mouvement relatif de deux solides.

Dans ce cours, nous travaillerons toujours avec l’hypothèse des liaisons parfaites (même si le frottement n’a aucune conséquence cinématiquement). Il est important de toujours signaler les hypothèses de travail avant toute étude, afin de connaître le domaine de validité des résultats obtenus.

A.2) Liaisons normalisées Il existe 11 liaisons normalisées, qu’il convient de connaître absolument. Elles représentent les liaisons les plus utilisées en industrie, et les plus courantes. Une norme internationale (ISO 3952-1) est appliquée pour les représenter de façon schématique (simplifiée).

Ces liaisons sont définies par les degrés de liberté (ddl) qu’elles permettent.

Le tableau récapitulatif de ces 11 liaisons est fourni en annexe séparée (à connaître par cœur !).

Toutefois, des contacts entre deux solides peuvent créer une liaison qui n’est pas normalisée – il faudra alors étudier les surfaces de contact réalisant cette liaisons afin d’en connaître les degrés de mobilité et modéliser son torseur cinématique (cf. cours sur la cinématique des contacts).

A.2.1) Caractéristiques d’une liaison

Les caractéristiques d’une liaison sont l’ensemble des données qui permettent de définir entièrement une liaison. D’un point de vue purement cinématique (mouvements possibles), et avec l’hypothèse de liaisons parfaites, les caractéristiques des liaisons normalisées sont données dans le tableau récapitulatif.

Il convient de différencier :

une direction (définie par un vecteur unitaire) ;

un axe (défini par un point et une direction) ;

une normale : c’est un axe ou une direction qui représente la normale à un contact, donc une direction dans laquelle la translation n’est pas possible (soit pénétration dans la matière, soir perte du contact).

Les translations s’effectuent suivant une direction. Les rotations s’effectuent autour d’un axe.


Exemple : Liaison pivot glissant d’axe (A,x

) d’un volant suspendu avec le bâti. Le volant suspendu peut effectuer (par rapport au bâti) :

- une translation suivant x

; - une rotation autour de l’axe (A,x

) , équivalente à la rotation autour de l’axe (B,x

),

mais absolument pas une rotation autour de l’axe (C, x

) !

A.2.2) Amplitudes des mouvements et butées

• Amplitude des mouvements possibles (ddl) : Dans une liaison, un mouvement de faible amplitude doit être considéré comme un ddl, à condition que ce mouvement soit désiré par le concepteur, et bilatéral. Au contraire, il sera considéré comme un jeu s’il n’est pas désiré (utile) dans le fonctionnement.

• Solide en appui ou en butée : Si un solide est appuyé contre un autre solide et peut se déplacer dans le sens opposé à l’appui (par exemple un solide posé sur le sol, ou appuyé contre un mur ou un autre solide), deux cas sont possibles :

1) Le solide ne se décolle pas de son appui durant le fonctionnement normal du mécanisme. Dans ce cas, l’appui doit être considéré comme un contact permanent, et donc pris en compte pour déterminer la liaison (considérée bilatérale) entre les deux solides. Dans ce cas de liaison unilatérale, le décollement ne s’étudie que lors d’une étude spéciale (statique ou dynamique), car il sera dû à des actions mécaniques.

2) Le solide se décolle de son appui durant le fonctionnement normal du mécanisme. On parle alors de butée (position extrême d’un solide par rapport à l’autre), et ce contact n’est pas à prendre en compte dans la modélisation de la liaison entre les deux solides, car sinon il « bloquerait » un mouvement qui est pourtant réalisé.

Exemple : Un contact hélicoïdal entre une vis et un écrou doit être modélisé par une liaison hélicoïdale si la vis est libre de se déplacer par rapport à l’écrou dans le mécanisme (cas du système de transformation de mouvement « vis/écrou »), mais doit être modélisé par une liaison complète si la vis est une vis d’assemblage, complètement vissée, en appui sous la tête de vis, et bloquant l’écrou par adhérence.

• Exemple de la modélisation des roulements à billes :

Un roulement à billes (à contact radial à une rangée de billes) admet quelques degrés de rotulage. Ainsi, monté seul, il peut être modélisé par une liaison rotule ou linéaire annulaire (si l'une des bagues n'est pas arrêtée axialement).

x

A

B C Cinématiquement

équivalent

A

B C

y

x

y

x

A

B C

y

ou


• Exemple de la modélisation d’une liaison arbre/alésage (centrage) :

En pratique, il est nécessaire d'avoir un jeu entre un arbre et un alésage pour permettre leur assemblage. Ainsi dans le cas d'une liaison cylindre/cylindre, si le rapport L/D est faible (inférieur à 0,8), il risque d'y avoir un débattement angulaire :

On notera donc deux cas de modélisation :

Si L/D < 0,8 on a un centrage court Si L/D > 1,5 on a un centrage long

A.3) Modélisation des mécanismes (schémas cinématiques)

Définition : Un mécanisme est un ensemble de pièces mécaniques reliées entre elles par des liaisons dont l’architecture est organisée de telle manière à obtenir une relation d’entrée / sortie pour les mouvements et les efforts. Cet assemblage est conçu pour réaliser une ou plusieurs fonctions définies dans le cahier des charges fonctionnel.

Frontière d’étude : Au début de chaque étude, il est important de correctement énumérer tous les éléments du mécanisme considéré en divisant « l’univers » en deux parties :

-d’une part, le mécanisme considéré : objet de l’étude ; -d’autre part, l’extérieur : tout ce qui n’appartient pas au mécanisme considéré.

Phase d’étude : Il faut toujours préciser la phase d’étude du mécanisme considéré. Les pièces peuvent ne pas avoir les mêmes liaisons en fonction de la phase d’étude (par exemple dans deux configurations différentes, où un frein réduit les mobilités d’une pièce).

Hypothèses : Les hypothèses des liaisons parfaites seront appliquées dans ce chapitre.

A.3.1) Présentation d’un mécanisme : le micromoteur On utilisera comme support de cours le micromoteur de modèle réduit que l’on présente page suivante.


Le moteur étudié est un moteur thermique 2 temps fonctionnant avec du méthanol. Il est utilisé sur les avions de modélisme, et permet d’entraîner en rotation l’hélice motrice de l’avion. L’énergie délivrée par la combustion du méthanol (carburant) est transformée en une énergie mécanique récupérée par le piston (mouvement de translation alternatif). Par l’intermédiaire de la bielle le piston transmet un mouvement de rotation continu au vilebrequin, qui lui même entraîne l’hélice. Frontière de l’étude : le micromoteur (sans réservoir ni arrivée du carburant), démonté de l’avion de modélisme. Phase d’étude : En fonctionnement (dans l’avion). Hypothèses : liaisons supposées parfaites.

x

y

B

D

E F J O

6

1 1 Bloc moteur 2 1 Pion d'arrêt 3 1 Chemise 4 1 Joint de culasse 5 1 Culasse 6 6 Vis C HC, M 3,5x16 7 1 Joint de flasque arrière 8 1 Flasque arrière 9 4 Vis C HC, M 3,5x8 10 1 Vilebrequin 12 1 Roulement type BC 17x35x8 15 1 Roulement type BC 9,5x22,2x7,1 17 1 douille conique fendue 18 1 Bague d'arrêt 19 1 Hélice 20 1 Rondelle de serrage 21 1 Ecrou hexagonal ISO 4032, M 7,8 22 1 Bielle 23 1 Palier lisse de pied 24 1 Palier lisse de tête 25 1 Piston 26 1 Axe de piston 27 1 Jonc d'arrêt

Rep Nbre Désignation


A.3.2) Classe d’équivalence cinématique (C.E.C) Définition : Une classe d’équivalence cinématique est un ensemble de pièces qui n’ont aucun mouvement relatif entre elles. Elles sont liées complètement entre elles (par des liaisons complètes) et ont donc le même mouvement. Règles à respecter pour la détermination des classes d'équivalence :

• les pièces qui se déforment (ressorts, membranes...) ne sont pas prises en compte dans la modélisation des liaisons ;

• les éléments roulants des roulements (qui constituent chacun un groupe cinématique) ne sont pas pris en compte dans les CEC, mais servent quand même à créer des liaisons.

Application sur le micromoteur :

- Corps (marron, non colorié sur le dessin d’ensemble) : E1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9

- Vilebrequin (bleu) : E2 = 10, 17, 18, 19, 20, 21

- Bielle (rouge) : E3 = 22, 23, 24 car les paliers lisses sont montés serrés dans les alésages

- Piston (vert) : E4 = 25, 26, 27

- Pièces exclues : billes des roulements 12 et 15

On peut toutefois noter que les bagues intérieures des roulements 12 et 15 sont montés fixes sur l’arbre 10 Vilebrequin E2 et les bagues extérieures sont montées fixes dans les alésages du bloc moteur 1 Corps E1.

Vilebrequin E2

Piston E4

Bielle E3

Corps E1


A.3.3) Graphe des liaisons

Le graphe des liaisons est une figure qui répertorie les classes d’équivalence et les liaisons entre ces classes.

Chaque classe d'équivalence cinématique sera repérée par son numéro (ou son nom) inscrit dans un cercle (ou une ellipse). Chaque liaison entre deux classes d équivalence sera représentée par une ligne joignant les deux cercles correspondant. On inscrira sur chaque ligne les détails concernant la liaison, c'est à dire son nom, et ses caractéristiques. Le bâti est généralement repéré par des hachures liées au cercle correspondant. Remarques :

- Lorsque l'on étudie la liaison entre 2 classes d’équivalence, on n'étudie que les contacts entre ces deux classes d’équivalence, le reste du mécanisme étant supposé enlevé ;

- S'il n'y a pas de surface en contact entre 2 solides, il n'y a pas de liaison mécanique entre ces 2 solides.

- On doit impérativement faire l’étude de toutes les liaisons, une par une. Méthodologie :

- Repérer les classes d'équivalence cinématiques (en coloriant les pièces par exemple) ; - Reporter chaque classe d'équivalence entourée d'un cercle (ajouter le symbole du bâti) ; - Rechercher les classes en contact direct ou reliées par éléments roulants. Faire une

liaison dans le graphe des liaisons entre les classes correspondantes ; - Pour chaque liaison, déterminer les mouvements autorisés sans changer la nature du

contact et en déduire le type de liaison à l'aide du tableau des liaisons normalisées ; - Nommer et caractériser chaque liaison sur le graphe des liaisons ; - Éventuellement retoucher le graphe pour éviter que des traits ne se croisent.

Application sur le micromoteur :

Groupes en liaison

Tx

Ty

Tz

Rx

Ry

Rz

Nom et caractéristiques de la liaison (point d’application, axe / normale / centre)

Corps E1 / Vilebrequin E2 0 0 0 0 1 0 Pivot d’axe (F,y) et de centre F

Vilebrequin E2 / Bielle E3 0 0 0 0 1 0 Pivot d’axe (D,y) et de centre D

Bielle E3 / Piston E4 0 1 0 0 1 0 Pivot glissant d’axe (B,y) et de centre B

Piston E4 / Corps E1 1 0 0 1 0 0 Pivot glissant d’axe (B,x) et de centre B

E1 E2

E3 E4

Pivot d’axe (F,y)

Pivot d’axe (D,y) Pivot glissant d’axe (B,y)

Pivot glissant d’axe (B,x)


A.3.4) Schéma cinématique

Le schéma cinématique d'un mécanisme est une figure plane ou spatiale qui permet : - d'aider à la compréhension du fonctionnement du mécanisme ; - de mener des études géométriques, cinématiques, statiques ou dynamiques.

Le schéma cinématique est une représentation du graphe des liaisons au moyen des symboles des liaisons normalisées, et il doit donc être représentatif du mécanisme.

Méthodologie de construction du schéma cinématique :

- Choisir l’orientation du schéma cinématique (orientation du repère, plan ou spatial) ;

- Repérer les points centres des liaisons (en respectant les proportions originales, leurs espacements et leurs alignements éventuels) ;

- Dessiner les schémas normalisés de chaque liaison correctement centrée et orientée, en utilisant les couleurs propres à chaque classe équivalente (respecter de préférence les pièces contenants/contenues) ;

- Une fois toutes les liaisons tracées, relier les classes équivalentes entre elles, ne pas oublier le symbole du bâti et éventuellement le numéro (ou nom) des classes équivalentes. On peut aussi éventuellement ajouter d’autres symboles comme des ressorts…

Déplacement cinématiquement équivalent du centre d’une liaison :

Une liaison glissière ou appui plan peut se représenter n’importe où, en conservant l’orientation (la liaison sera cinématiquement équivalente, mais pas les efforts transmissibles !!!).

De même une liaison pivot, pivot glissant, hélicoïdale ou linéaire annulaire peut se représenter n’importe où sur son axe, en conservant l’orientation (mais pas pour les efforts transmissibles).

Une liaison rectiligne peut se représenter n’importe où le long de sa ligne d’action, en conservant son orientation (mais pas pour les efforts transmissibles).

Les efforts transmissibles (qui seront étudiés dans le cours de modélisation des actions mécaniques) dépendent eux du centre de la liaison (centre géométrique du contact) en plus des caractéristiques cinématiques.

Exemple : Liaison glissière de

direction 1x

d’un

chariot incliné avec le bâti :

A A A

cinématiquement équivalent

cinématiquement équivalent 1x


Représentation des éléments technologiques usuels :

Les éléments technologiques usuels (ressorts, courroie, chaîne, came, accouplements, freins, engrenages,…) ont également des représentations normalisées. Elles figurent en annexe 1. La liaison qui résulte d’un contact via ces éléments n’est pas forcément normalisée, mais devra être indiquée dans le graphe des liaisons (exemple : « liaison par engrènement »). Schéma cinématique minimal :

Un schéma cinématique minimal est un schéma cinématique qui prend en compte les éventuelles liaisons équivalentes. En effet, lorsque deux classes d'équivalence d'un graphe sont reliées par plusieurs lignes, il existe une liaison cinématique équivalente (exemple : deux roulements à billes formant une liaison pivot). Le schéma cinématique minimal correspond donc au schéma cinématique contenant le moins de liaisons possibles, à savoir une par couple de classes d'équivalence en liaison.

Application sur le micromoteur (dans trois repères différents) :

x

z

x

z y

Bielle E3

D

O

x

y

O Vilebrequin E2

Carter E1

Bielle E3

Piston E4 B

D

F

B’

B

B’

Piston E4

Carter E1

Vilebrequin E2

F

D

B

B’

Vilebrequin E2

Bielle E3

Piston E4 Carter E1

Cin - cours Chapitre B : Outils mathématiques pour la mécanique : vecteurs et torseurs 12

CHAPITRE B : OUTILS

MATHÉMATIQUES POUR LA MÉCANIQUE : VECTEURS ET

TORSEURS

Un certain nombre d’outils mathématiques (en particulier les vecteurs et les torseurs) sont indispensables en mécanique, que ce soit en cinématique, en statique, en dynamique ou en énergétique. Ce cours présente ces outils.

B.1) LES VECTEURS

B.1.1) Définitions ♦ Bipoint (A,B)

Soit E, espace affine euclidien de dimension 3. On appelle bipoint tout couple ordonné de points de E

Le bipoint (A,B) est défini par : • son origine : A ; • son support : la droite (D) passant par les points A et B ; • son sens : de A vers B ; • sa norme : la distance de A à B

(aussi appelée module, intensité ou valeur absolue).

Il existe un bipoint nul : le bipoint (A,A).

Deux bipoints non nuls sont dits équipollents s’ils ont des supports parallèles, un même sens et une même norme.

A

B (D) norme

direction

origine

extrémité


x

y

z

♦ Vecteur

V

L'ensemble des bipoints équipollents au bipoint (A,B) constitue une classe d'équivalence appelée vecteur et notée de manière générique avec une flèche. Bien que non normalisée, cette notation sera cependant utilisée par son aspect pratique.

Le vecteur V

représenté par un bipoint désigne : • une direction celle de la droite (D), passant

par les points A et B ;

• un sens ;

• une norme notée V

qui correspond à la

distance entre les points A et B.

L’ensemble des vecteurs est muni d’une structure d’espace vectoriel (cette notion sera vue au cours de l’année en mathématiques) : l’addition des vecteurs et la multiplication par un scalaire se trouvent ainsi définies. Notons E, cet espace vectoriel réel associé à E, espace affine euclidien.

♦ Glisseur ((D),

V ) et pointeur (A,

V )

L'association d'un vecteur V

et d'une droite (D) (droite support, de même direction que le vecteur) est un glisseur. Sur un glisseur, le vecteur peut se représenter en un point quelconque de sa droite support (il « glisse »).

L'association d'un vecteur V

et d’un point A (origine) est un pointeur.

B.1.2) Repérage des vecteurs : bases d’écriture ♦ Base de l’espace vectoriel

On appelle base de l’espace vectoriel E, de dimension trois, tout triplet de vecteurs

linéairement indépendants tel que tout vecteur V

de E puisse s’écrire de façon unique :

. . .x y zV V x V y V z= + +

dans la base ( ), ,b x y z

.

♦ Base orthonormée directe

Une base ( ), ,b x y z

est dite orthonormée si ses vecteurs sont :

orthogonaux deux à deux : on aura donc x y⊥ , y z⊥

et z x⊥ ;

de normes égales à l'unité : on aura donc 1x y z= = = .

Une base orthonormée sera directe si ses vecteurs respectent la « règle des trois doigts de la main droite » ou « règle du vissage » ou « règle du bonhomme d'Ampère ». La mise en œuvre de cette forme directe le sera vectoriellement par le produit vectoriel : voir ci-après.

A

B (D) norme

direction V

V

V

(D)

V

V

A


Dans une projection plane d’une base orthonormée directe, on passe de x

vers y

ou de y

vers z

ou de z

vers x

de façon directe (sens positif), à condition que le 3e vecteur « pointe vers nous ». Remarque : Dans les études mécaniques (cinématique, statique, dynamique) on utilisera toujours des repères orthonormés directs. Si cette condition n'est pas respectée, des erreurs de calcul seront commises !

♦ Repère orthonormé direct de l’espace affine

Un repère R de l’espace affine E est constitué par un point origine du repère O et une base orthonormée directe ( ), ,x y z

de l’espace vectoriel réel E associé à E.

Ce repère est le plus souvent noté ( ), , ,R O x y z

.

Donc le cas de la cinématique, on associera généralement un repère à un solide. Le repère restera fixe (attaché) par rapport au solide. On définira autant de repères que de solides.

♦ Composantes et projections

On appelle « composantes du vecteur V

dans la base b » les

projections vectorielles du vecteur V

sur les vecteurs définissant la base b.

Ainsi le vecteur V

possède 3 composantes xV

, yV

et zV

telles que :

. . .x y z x y zV V V V V x V y V z= + + = + +

y

Fuyante Pointe vers nous

x

z

x

y

z

x

y

z

V

zV

xV

yV


♦ Changement de base d’un vecteur, par projections

On définit la base ( )1 1 1 1, ,b x y z

, et la base ( )2 2 2 2, ,b x y z

comme suit :

On appelle cette figure : rotation plane, ou figure de calcul. Sachant que le passage d’une base à une autre peut se faire par maximum trois rotations, il faut parfois plusieurs figures planes pour illustrer le passage d’une base à une autre, mais on se servira toujours de cet outil simple et graphique.

Si l’on désire écrire dans la base 1 un vecteur que l’on connait dans la base 2, il convient d’abord d’écrire les vecteurs unitaires de la base 2 dans la base 1. Pour cela on écrit qu’un vecteur est égal à la somme de ses projections dans les trois directions de la base souhaitée :

On a donc : ( ) ( )1 12 cos . sin .x yx β β+=

( ) ( )1 12 sin . cos .x yy β β− +=

2 1zz =

De même, si l’on veut écrire dans la base 2 un vecteur que l’on connait dans la base 1, il faudrait d’abord écrire les vecteurs unitaires de la base 1 dans la base 2 :

( ) ( )2 21 cos . sin .x yx β β−=

( ) ( )2 21 sin . cos .x yy β β+=

1 2zz =

Exemple : Soit 1 23. 2.V x y= +

. Dans la base b1 : ( )( ) ( )1 13 2.sin . 2.cos .x yV β β− +=

On préfèrera toutefois écrire les vecteurs dans leur forme la plus simple, et donc pas

forcément dans une base donnée. Par exemple le vecteur 1 1 23. 2.V x y= +

ne sera pas projeté

dans une base particulière pour les calculs (sauf pour connaître sa norme). Remarque : La non indication de la base d’écriture est évidemment totalement incohérente et sera lourdement sanctionnée !!! ♦ Norme d’un vecteur La norme d’un vecteur est calculée selon les coordonnées du vecteur. Les trois coordonnées (ou les deux dans le cas d’un vecteur plan) doivent obligatoirement être issues de la même base orthonormée, quelle que soit cette base :

2 2 2x y zu u uu = + +

β

β

1x

1y

2x

2y

1 2zz =

β

β

1x

1y

2x

2y

1 2zz = +cosβ

+sinβ

+cosβ

-sinβ

β

β

1x

1y

2x

2y

1 2zz =

-sinβ cosβ

sinβ

cosβ


B.1.3) Additions et soustractions vectorielles Géométriquement : Deux vecteurs de même nature peuvent être additionnés ou soustraits pour former un troisième vecteur.

Exemple : Soit A B R+ = ; A B S− =

Attention, les normes ne s’additionnent pas ! R A B≤ +

Analytiquement : On additionne (ou soustrait) chaque composante, écrits obligatoirement dans la même base s’ils sont notés sous forme de colonne.

Exemple 1 : =

b1

x

y

z

A

A A

A

et =

b1

x

y

z

B

B B

B

:

+

= + = +

+

b1

x x

y y

z z

A B

R A B A B

A B

;

−

= − = −

−

b1

x x

y y

z z

A B

S A B A B

A B

Exemple 2 : = +

1 1 2 1A A .u A .v et =

1 2B B .u : = + = + +

1 1 2 1 1 2R A B A .u A .v B .u

B.1.4) Multiplication d’un vecteur par un scalaire

Lorsqu’un vecteur est multiplié par un scalaire, chaque composante du vecteur est multipliée par ce scalaire.

Exemple : Soit =

b1

x

y

z

A

A A

A

et un scalaire λ :

λ

= λ = λ

λ

b1

x

y

z

.A

R .A .A

.A

Géométriquement, cela revient à multiplier la norme du vecteur par λ

A

B

A

B

R

-B

A

S

A λ = 2

= R 2.A


B.1.5) Produit scalaire ♦ Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre algébrique (un « scalaire »), noté u v⋅ :

. .cos ,u v u v u v

⋅ =

♦ Expression algébrique

Si x

y

z b

u

u u

u

=

et

x

y

z b

v

v v

v

=

(les deux vecteurs doivent être exprimés dans la même base),

alors : . . .z zx x y yu v u v u v u v⋅ = + +

♦ Propriétés

Commutativité : u v v u⋅ = ⋅

Distributivité avec l'addition : ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

0u =

Si 0u v⋅ = alors trois cas de figure peuvent se présenter : 0v =

u v⊥

Dérivation : ( )

b b

d u v du dvv udt dt dt

⋅= ⋅ + ⋅

La notation indicée b sera vue lors du cours sur la dérivation vectorielle.

Nota : on peut rapprocher cette notation de la dérivation d’un produit : ( ). ' '. . 'u v u v u v= +

♦ Interprétation géométrique : projection sur un axe

Soit u

le vecteur directeur (unitaire) d’une droite (D).

La projection Vu d’un vecteur V

sur cette droite (D) vaut alors : V u⋅

Les valeurs des composantes d’un vecteur V

sont donc le

produit scalaire du vecteur V

par les vecteurs unitaires de la base :

xV V x= ⋅

, yV V y= ⋅

, zV V z= ⋅

, 1 1xV V x= ⋅

, etc…

Détermination d’un produit scalaire à l’aide des figures de calcul cf. deux pages plus loin. Ce sera quasiment toujours cette méthode que l’on utilisera en CPGE.

(D)

Vu V u= ⋅

V

u


u

v

w u v= ∧

B.1.6) Produit vectoriel

♦ Définition

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur (par exemple w

), noté u v∧ ou u v× , dont les caractéristiques sont : • direction de w

: orthogonale à u

et à v

(donc orthogonale au plan ( ),u v

) ;

• sens de w

: tel que la basse ( ), ,u v w

soit directe (cf. règle des 3 doigts de la main droite) ;

• norme de w

: . . sin ,u v u v u v

∧ =

( = aire du parallélogramme de côtés ,u v

)

Pour les calculs de produits vectoriels entre vecteurs unitaires sur les figures planes) de regrouper le sens et la norme sous le terme de « valeur algébrique »,

valant : . .sin ,u v u v

Application aux vecteurs d’une base orthonormée directe : x y z∧ =

, y z x∧ = , z x y∧ =

, x z y∧ = − , y x z∧ = −

, z y x∧ = −

Expression algébrique :

Si x

y

z b

u

u u

u

=

et

x

y

z b

v

v v

v

=

(exprimés dans la même base), alors :

x

y

z b

w

w w

w

=

Les composantes de w

se déterminent par la méthode des déterminants complémentaires :

. .y y

x y z y zz z

u vw u v v u

u v= = − . .z z

y z x z xx x

u vw u v v u

u v= = −

. .x x

z x y x yy y

u vw u v v u

u v= = −

Exercice : Calculer

3 4 ( 1) ( 2)1 6 102 6 1 4 16

191 (3 1

4 1) 6 32bbb b

× − − × −= − × − × = −

−× − − ×∧ −

−

Remarque : On utilisera une autre méthode de calcul (en ligne), car elle permet d’écrire les vecteurs au plus simple, et pas forcément dans une base donnée (cf. figures de calcul page suivante) :

Exercice : Calculer ( ) ( )3 2 4x z x y− ∧ − + 12 2 8z y x= + +

♦ Propriétés

Anticommutativité : v u u v∧ = − ∧

Distributivité avec l'addition : ( )u v w u v u w∧ + = ∧ + ∧

Dérivation : ( )

b bb

d u v du dvv udt dt dt

∧= ∧ + ∧

0u =

Si 0u v∧ =

alors 3 cas de figure peuvent se présenter : 0v =

u v (colinéaires : .u k v=

, k ∈ℝ )


B.1.7) Calculs de produits scalaires et vectoriels grâce aux figures de calcul

Règles de construction des figures de calcul (ou figures planes ou figures géométrales) :

On représentera toujours l’axe de rotation venant vers nous, une base orthonormée directe, et les angles avec des valeurs positives et faibles (inférieures à 45°), indépendamment de toute valeur réelle de ces angles. Ainsi, le sens de la mesure (par rapport à l'axe de projection) nous donne le signe à placer devant l'opérateur trigonométrique et ce dernier est déduit directement de la longueur de la projection : les sinus sont petits, les cosinus grands.

Remarques :

• La relation de Chasles sur les angles : ( ) ( ) ( ), , ,a c a b b c= +

n'est vraie que si a

, b

et c

sont coplanaires ! (ce qui est le cas dans une figure de calcul) • Tout vecteur peut s’écrire sous la forme d’une somme de scalaires multipliés par des

vecteurs unitaires (exemple : 1 1 23. 2.V x y= +

). Comme les produits scalaires et vectoriels sont

distributifs, cela revient à faire des produits scalaires et vectoriels sur des vecteurs unitaires. Exemple : ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1. 3. 2. . 4. 3. . 12. . 2. . 8. .V V x y x z x x x z y x y z= + − + = − + − +

( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 13. 2. 4. 3. 12. 2. 8.V V x y x z x x x z y x y z∧ = + ∧ − + = − ∧ + ∧ − ∧ + ∧

♦ Produit scalaire grâce aux figures de calcul

Le produit scalaire entre deux vecteurs unitaires est la projection algébrique (donc avec un signe) de l’un sur l’autre. Si les deux vecteurs se trouvent représentés sur la même figure plane, alors le calcul sera simple et vaudra (au signe près) le sinus ou le cosinus de l’angle entre les deux repères.

D’après la figure de calcul ci-contre, on a :

1 2 1 2. . cosx x y y θ= = (lorsque l’on projette l’un sur l’autre, le résultat est grand et positif)

1 2. sinx y θ= − (lorsque l’on projette l’un sur l’autre, le résultat est petit et négatif)

2 1. sinx y θ= (lorsque l’on projette l’un sur l’autre, le résultat est petit et positif)

1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2. . . . . . 0x y x y z x z y z x z y= = = = = =

Exemple 1 : ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1. 3. 2. . 4. 3. . 12. . 2. . 8. . 3.cosV V x y x z x x x z y x y z θ= + − + = − + − + = −

Exemple 2 :

( ) ( )3 4 1 3 0 1 1 0 1 1 3 0 3 1. 3. 2. . 4. 3. . 12. . 2. . 8. .V V x z x z x x x z z x z z= + − + = − + − +

( )3.cos 2.sin 8.cosα α β β= − − + +

car on a (entre les bases 0 et 3) : ( )0 3 0 3. . cosz z x x α β= = + (grand et >0)

( )0 3. sinz x α β= − + (petit et <0) et ( )3 0. sinz x α β= +

(petit et >0)

Exemple 3 :

( ) ( )1 5 1 2 3 3. 3. 2. . 4.V V x y x y= + − +

On doit écrire la base 2 projetée dans la base 1 afin d’avoir

tous les vecteurs sur la même figure plane : ( )( ) ( )1 5 1 1 3 3. 3 2.sin . 2.cos . . 4.V V x y x yθ θ= − + − +

=> ( )1 5. 3 2.sin .cos 8.cosV V θ β θ= − − +

θ

θ

1x

1y

2x

2y

2 1zz =

( ) ( )1 2 1 2, ,x x y yθ = =

α

1 30 yy y= =

0x 1x

α 1z

0z

3z

β

3x β


♦ Produit vectoriel grâce aux figures de calcul

Norme : ( ). .sin ,u v u v u v∧ = . Comme on se contentera de faire des produits vectoriels

sur des vecteurs unitaires, on a : ( )sin ,i j i je e e e∧ = .

La direction du vecteur résultant du produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs. Le sens sera déterminé par la règle du tire-bouchon (ou du pouce de la main droite) –cf. image ci-contre. A la lecture de la figure de calcul ci-contre (θ), on a :

1 2 1 2 1sin .x x y y zθ∧ = ∧ =

1 2 1 1sin . cos .2

x y z zπ θ θ ∧ = + =

et 2 1 1cos .y x zθ∧ = −

2 1 1 1sin . cos .2

x y z zπ θ θ ∧ = − =

et 1 2 1cos .y x zθ∧ = −

On rappelle aussi : i i ix y z∧ = ; i i iy z x∧ =

; i i iz x y∧ = …

Exemple 1 : ( ) ( )1 2 1 2 2 13. 2. 4.V V x y x z∧ = + ∧ − +

1 2 1 1 2 2 2 1

2 1 2 2

3. 12. 2. 8.

3.sin . 12. 2. 8.

x x x z y x y z

z y z xθ= − ∧ + ∧ − ∧ + ∧= − − + +

Exemple 2 :

( ) ( )3 4 1 3 0 13. 2. 4.V V x z x z∧ = + ∧ − +

1 0 1 1 3 0 3 13. 12. 2. 8.x x x z z x z z= − ∧ + ∧ − ∧ + ∧

( )0 1 0 03.sin . 12. 2.cos . 8.sin .y y y yα α β β= − − + −

car on a (entre les bases 0 et 3) :

( )0 3 0 3 0sin .z z x x yα β∧ = ∧ = +

( ) ( )0 3 0 0sin . cos .2

z x y yπ α β α β ∧ = + + = +

et ( ) ( )3 0 0 0sin . cos .2

z x y yπ α β α β ∧ = − + = +

Exemple 3 :

( ) ( )1 5 1 2 3 33. 2. 4.V V x y x y∧ = + ∧ − +

On doit écrire la base 2 projetée dans la base 1 afin

d’avoir tous les vecteurs sur la même figure plane :

( )( ) ( )1 5 1 1 3 33 2.sin . 2.cos . 4.V V x y x yθ θ∧ = − + ∧ − +

=> ( ) ( )1 5 0 1 33 2.sin .sin . 4. 3 2.sin . 2.cos .V V y z zθ β θ θ∧ = − − + − +

θ

θ

1x

1y

2x

2y

2 1zz =

( ) ( )1 2 1 2, ,x x y yθ = =

α

1 30 yy y= =

0x 1x

α 1z

0z

3z β

3x β

sens de rotation pour passer de

ie

à je

direction et sens de i je e∧


B.1.8) Produit mixte

♦ Définition

Le produit mixte de trois vecteurs 1V

, 2V

et 3V

est un nombre (scalaire), noté ( )1 2 3, ,V V V

et

qui vaut :

( ) ( )1 2 3 1 2 3, ,V V V V V V= ∧ ⋅

♦ Propriétés

- Permutation circulaire : Le signe du produit mixte ne change pas si on fait une permutation circulaire des vecteurs. Il change si la permutation n’est pas circulaire. Donc :

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 1 3 1 2, , , , , ,V V V V V V V V V= =

et ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1, , , , , , , ,V V V V V V V V V V V V= − = − = −

- Conditions de nullité : Si ( )1 2 3, , 0V V V =

alors ( )1 2 3 1 2 3. .cos , 0V V V V V V ∧ ∧ =

, c’est-à-

dire que soit 1 0V =

, ou 2 0V =

, ou 1V

et 2V

sont colinéaires, ou 3 0V =

, ou ( )1 2 3V V V∧ ⊥

(c’est-à-dire 3V ∈

plan ( )1 2,V V

)

En résumé, ( )1 2 3, , 0V V V =

si :

soit un des vecteurs est nul ; soit les 3 vecteurs sont coplanaires (si 2 vecteurs sont colinéaires, les 3 sont forcément coplanaires)

- La valeur absolue du produit mixte est égale au volume du parallélépipède basé sur les

trois vecteurs 1 2 3, ,V V V

:

En effet : 1 2V V∧ =

aire du parallélogramme OACB,

et la hauteur est donnée par ( )3 1 2 3.cos ,V V V V ∧


B.2) LES TORSEURS

B.2.1) Généralités sur les torseurs On montre que si un champ de vecteur est équiprojectif, alors c'est le champ de moments d'un « torseur ». Le torseur est un outil mathématique très utilisé en mécanique (cinématique, statique, dynamique, énergétique, résistance des matériaux). Il est obligatoire de préciser le point auquel on écrit le torseur, qui correspond au point où l'on exprime son moment. Ce point est appelé point de réduction du torseur. L'expression en un autre point peut se faire facilement à l'aide du transport des moments (8), la résultante restant elle inchangée dans l’espace. La résultante et le moment du torseur au point considéré sont appelés éléments de réduction du torseur.

Application : soit le torseur ( )

1

, ,

2 0

3 0

0 1D x y z

T

= −

. Ecrire 1T au point E, tel que 4. 5.ED x y= −

Un torseur est composé de deux éléments : - Un vecteur résultante R

, constant dans l'espace ;

- Un champ de vecteurs, appelés moments du torseur, définis en tout point P par PM

Le champ de moments est lié à la résultante par la relation suivante (transport des moments) :

B AM M BA R= + ∧

(« BABAR ») (8)

Si l'on connaît la résultante et un des vecteurs du champ de moments, on peut déterminer tous les autres vecteurs du champ de moments grâce au transport des moments.

Un torseur s'écrit : ( ), ,

XX A

YY A

ZZ A

AA A

A x y z

R MR

T R MM

R M

= =

(9)

coordonnées de R

dans la base ( ), ,x y z

coordonnées de AM

dans la base ( ), ,x y z


B.2.2) Torseurs particuliers ♦ Torseur nul :

Un torseur est nul si et seulement si sa résultante et son moment (quel que soit le point de réduction) sont nuls. ♦ Torseur couple :

Si 0R =

, tous les moments (et donc les torseurs) sont identiques dans l’espace (quelque soit le point de réduction). Un tel torseur est appelé torseur couple.

Démo : Si 0R =

, alors le transport des moments s’écrit : B A AM M BA R M= + ∧ =

♦ Torseur quelconque :

Si 0R ≠

, il existe à chaque instant un axe sur lequel les moments sont colinéaires à la résultante. Cet axe est appelé axe central du torseur. Si les moments ne sont pas nuls sur cet axe, le torseur est quelconque.

Démo : On cherche l’ensemble des points P de l’espace pour lesquels les moments sont

colinéaires à la résultante : .PM Rλ=

(λ est appelé « pas » du torseur) pour un torseur

quelconque donné en un point A : AA

RT

M

=

:

.P AM M PA R Rλ= + ∧ =

(1)

Choisissons le repère ( ), , ,A x y z

tel que x

soit le vecteur directeur de R

, y

le vecteur

unitaire situé dans le plan ( ), AR M

perpendiculaire à R

tel que . 0AM y ≥

.

On peut alors écrire : . .X YA A AM M x M y= +

et .R R x=

.

PA R∧

étant orthogonal à R

, pour respecter (1), on a : .YAPA R M y∧ = −

Soit

( ), ,x y z

x

AP y

z

=

on a alors :

0

0

0 0

YA

R x

y M

z

∧ = −

, soit :

0 0

.

. 0

YAR z M

R y

=− = − =

Donc au final :

quelconque

0YA

x

y

Mz

R

= =

: équation d’une droite, dirigée suivant R

.

On peut aussi écrire cette équation sous la forme : 2 .AR MAP R

Rµ∧= +

avec µ ∈ℜ

Au passage, on trouve aussi le pas, depuis l’équation (1) : XAM

Rλ =


♦ Glisseur :

Si 0R ≠

et les moments sont nuls sur l’axe central, alors le torseur est appelé glisseur.

Pour qu’un torseur soit un glisseur, il suffit que 0R ≠

et qu’il existe un point où le moment est nul (il existera alors forcément un axe entier où les moments seront nuls : l’axe central). Le champ des moments d’une force est un glisseur (cf. cours sur la modélisation des actions mécaniques). De même le champ des vitesses dans un mouvement de rotation est un glisseur. Dans le cas d’un glisseur, les moments sont perpendiculaires à l’axe central et sont proportionnels à la distance à cet axe (cf. chapitre sur le mouvement de rotation autour d’un axe fixe, ou encore le cours sur la modélisation des actions mécaniques : moment d’une force).

B.2.3) Opérations sur les torseurs ♦ Automoment d’un torseur :

On appelle automoment d’un torseur le produit scalaire de ses éléments de réduction. L’automoment d’un torseur est un invariant scalaire (il ne dépend pas du point de réduction) :

. .A BR M R M=

(quels que soient les points A et B)

♦ Égalité de deux torseurs :

1 21 2

1, 2,A A

R RT T

M M

== ⇔ =

Attention, on ne peut comparer deux moments que s’ils sont écrits au même point de réduction (quel que soit ce point).

♦ Somme de deux torseurs :

1 2 1 21 2

1, 2, 1, 2,A A A AA A A

R R R RT T

M M M M

+ + = + = +

Attention, on ne peut additionner deux moments que s’ils sont écrits au même point de réduction (quel que soit ce point).

♦ Comoment de deux torseurs : Le comoment de deux torseurs est un invariant scalaire (il ne dépend pas du point de réduction) :

1 21 2 1 2, 2 1,

1, 2,

. .A AA AA A

R RT T R M R M

M M

× = × = +

Attention, on ne peut calculer le comoment de deux torseurs que s’ils sont écrits au même point de réduction (quel que soit ce point, le comoment sera identique).

Cin - cours Chapitre C : Cinématique du solide indéformable 25

CHAPITRE C : CINÉMATIQUE DU SOLIDE

INDÉFORMABLE La cinématique est l’étude des mouvements (positions, vitesses, accélérations), indépendamment des causes qui les produisent. Un solide indéformable est un solide dont l'ensemble des points matériels restent à égale distance les uns des autres.

Soient A et B deux points quelconques d'un solide indéformable, alors constanteAB =

.

C.1) Repérage d’un point et d’un solide

C.1.1) Équivalence repère-solide

Décrire le mouvement d'un solide est équivalent à décrire le mouvement d'un repère lié au solide.

Par conséquent, pour décrire le mouvement d'un solide par rapport à un autre solide, il suffit de décrire le mouvement du repère lié au solide objet de notre étude par rapport au repère lié à notre solide de référence.

C.1.2) Position d’un point dans l’espace Pour exprimer la position d’un point O1 en fonction d’un point O, on peut utiliser, entre autres :

- les coordonnées cartésiennes, de paramètres x, y et z : 1 . . .OO x x y y z z= + +

où x est l’abscisse, y l’ordonnée et z la cote de O1 dans le repère ( ), , ,R O x y z

.

- les coordonnées cylindriques, de paramètres r, θ et z : 1 . .rOO r u z z= +

La relation avec les coordonnées cartésiennes est :

( ) ( )cos . sin .ru x yθ θ= + ; ( ).cosx r θ= et ( ).siny r θ=

- les coordonnées sphériques, de paramètres ρ, θ et ψ : 1 .OO uρρ=

La relation avec les coordonnées cartésiennes est :

( ) ( )cos . sin .ru z uρ ψ ψ= + avec ( ) ( )cos . sin .ru x yθ θ= +

( ) ( ).sin cosx ρ ψ θ= ; ( ) ( ).sin siny ρ ψ θ= ; ( ).cosz ρ ψ=

x x

y

z

y

z

O O1

coordonnées cartésiennes

x

y

z

z

O O1

r

ru

θ

r

coordonnées cylindriques

uθ

x

y

z

O O1

θ

ρ

coordonnées sphériques

ψ

ru

uψ

uρ

uθ


C.1.3) Position d’un solide : angles d’Euler Paramétrer la position d'un solide par rapport à un repère d'observation

( ),R O b , pourvu d'une base orthonormée directe ( ), ,b x y z

revient à

paramétrer la position d'un repère ( )1 1 1,R O b lié au solide, pourvu d'une base

orthonormée directe ( )1 1 1 1, ,b x y z

par rapport au repère d'observation R.

Pour cela, il faut exprimer la position de O1 en fonction de O (cf. page précédente) et les vecteurs de b1 en fonction des vecteurs de b. Pour exprimer l'orientation de la base b1 en fonction de la base b, il existe trois angles , ,ψ θ ϕ . Ce paramétrage est dit des « angles d'Euler ». La figure spatiale est de lecture délicate, elle sera toujours remplacée par la représentation plane des orientations (figures de calcul). On passe de la base b à la base b1 par trois orientations successives :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 11.. ., , , , , , , ,

zz ux y z u v z u w z x y zϕψ θ→ → →

ψ est la précession autour de l’axe z

: ( ) ( ), ,x u y vψ = =

On le choisit de telle façon que v

soit dans le plan ( )1,z z

ou autrement que u

soit à l’intersection de ( ),x y

et ( )1 1,x y

θ est la nutation autour de l’axe u

: ( ) ( )1, ,v w z zθ = =

On le choisit de telle façon que z

devienne 1z

ϕ est la rotation propre autour de l’axe 1z

: ( ) ( )1 1, ,u x w yϕ = =

On le choisit de telle façon à obtenir 1x

et 1y

Unicité : un triplet d’angles d’Euler ne peut amener qu’à une deuxième base

( )1 1 1 1, ,b x y z

unique.

En revanche, pour passer de la base b à la base b1 il existe deux triplets d’angles d’Euler solutions. Si , ,ψ θ ϕ est solution, alors :

*, *, *ψ θ ϕ est solution aussi,

avec *ψ ψ= + Π ; *θ θ= − et *ϕ ϕ= + Π .

x

y

z

O O1

1y

1z

1x

x

y

z

1y

1z

1x

u

v

ψ

ψ θ

θ

w

ϕ

ϕ

ψ

ψ

x

y

u

v

z

ψ : angle de précession

θ

θ

v

z

w

1z

u

θ : angle de nutation

ϕ

ϕ w 1y

u

ϕ : angle de rotation propre 1z

1x


C.1.4) Point coïncident, point fixe et point géométrique

Soit un point M, appartenant au solide Sk. Sk est en mouvement par rapport à un solide Si auquel est associé un repère Ri . M coïncide à chaque instant avec un point du repère Ri. Ce point Mi(t) est dit coïncident du point M avec Si à l'instant t.

Il est indispensable de bien préciser à quel solide (ou quel repère) appartient le point que l’on en train d’étudier, car il existe autant de points coïncidents à ce point, à un instant, que de repères différents.

Un point M est dit « point fixe » entre deux repères i et j si Mi(t) = Mj(t) (point constamment coïncident). Les centres des liaisons n’admettant pas de translation relative entre les deux solides en liaison sont des points fixes entre ces deux solides : centres des liaisons pivot, rotule indexée et rotule.

Il existe aussi des points n’appartenant à aucun repère : les points géométriques. Ils sont souvent issus de contacts entre solides. Exemple : Vélo roulant sur une route.

M est un point quelconque.

O est un point fixe entre le cadre 1 et la roue 2.

I est un point géométrique (point de contact entre la roue 2 et la route 0.

C.2) Cinématique du point : trajectoire, vitesse et accélération

C.2.1) Trajectoire d’un point par rapport à un repère

La trajectoire d'un point M par rapport à un repère ( ), , ,R O x y z

est constituée de l'ensemble des positions occupées

par l'extrémité du vecteur OM

au cours du temps.

( )

( ). ( ). ( ). ( )

( )R

x t

OM x t x y t y z t z y t

z t

= + + =

Cette trajectoire dépend bien évidemment du repère R choisi. Exemple : la trajectoire d'un point du doigt de la pince. Si cette trajectoire est tracée par rapport à un repère lié au bâti, ou par rapport à un autre, la trajectoire sera modifiée.

Instant t1

I

Cadre 1

Route 0 Roue 2

M1(t1) et M2(t1) et M0(t1)

Instant t2

I

M0(t1) M1(t1)

M2(t1)

O1(t1) = O2(t1) et O0(t1)

O1(t1) = O2(t1)

O0(t1)


C.2.2) Vecteur vitesse d'un point par rapport à un repère

La vitesse d'un point correspond à la variation de sa position au cours du temps. Elle s'obtient en dérivant par rapport au temps la fonction trajectoire. Elle est donc tangente à la trajectoire. Son unité est le m/s.

( )1 /R

dOMV M R R

dt

∈ =

avec : O point lié au repère R , et M point lié au repère R1 (ou point géométrique)

Exemple : Vecteurs vitesse du point M∈Doigt/Corps au cours du temps.

C.2.3) Vecteur accélération d'un point par rapport à un repère

L'accélération correspond à la variation de la vitesse. Elle s'obtient donc en dérivant la vitesse par rapport au temps. Son unité est le m/s2 (m.s-2).

( ) ( )2

2/ /

R R

d d OMa M R V M R

dt dt

= =

Remarque : On a ( )/ . .t na M R a t a n= +

, où t

est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire de M par rapport à R

et n

le vecteur unitaire normal (perpendiculaire) à la trajectoire. Alors, at est appelée accélération tangentielle et an accélération normale. Exemple : Vecteurs accélération du point du doigt de la pince, par rapport au corps.

Notation : On peut noter l’accélération Γ

ou γ


C.3) Vecteur vitesse de rotation et dérivation d’un vecteur

C.3.1) Définition du vecteur vitesse de rotation Soient R0 et R1 deux repères orthonormés directs associés à deux solides en mouvement l'un par rapport à l'autre.

Le vecteur 1 0/R RΩ

mesure la vitesse angulaire de changement d'orientation de la base de R1 par rapport à la base de

R0. Il se nomme vecteur vitesse de rotation, ou vecteur vitesse angulaire, ou vecteur rotation. Ces caractéristiques sont :

- direction : axe de rotation relative des deux repères (axe qui peut varier à chaque instant) ; - sens : selon la règle du tire-bouchon (ou du pouce de la main droite) ; - norme : vitesse angulaire de rotation de R1 par rapport à R, en rad/s.

Note : L'équivalence solide-référentiel nous permet de dire que / /i jR R i jΩ = Ω

(la rotation d'un solide par rapport à

un autre solide est équivalente à la rotation relative des repères qui y sont attachés). Lorsqu’un seul angle θ1/0 permet de passer d’un repère R0 à un autre repère R1 , autour d’un axe unitaire nommé ie

,

alors la vitesse angulaire vaut : 1 0/ 1/0.R R ieθΩ = ɺ

La notation d’une variable avec un point dessus signifie « dérivée de la variable par rapport au temps ». Ainsi,

1 01/0 / 1/0R Rθ ω ω= =ɺ : la dérivée de la position angulaire (en rad) est la vitesse angulaire (en rad/s).

Application :

Soit ( ), , ,R O x y z

le repère de travail. Soient 1x

et 1y

deux vecteurs unitaires

perpendiculaires contenus dans le plan ( ),x y

(ci-contre).

( )1 1 1, , ,R O x y z

est donc un repère orthonormé direct de l'espace. L’angle de

rotation de R1 par rapport à R est ( ) ( )1 1, ,x x y yθ = =

On a alors 1 /R RΩ

= .zθ ɺ

C.3.2) Composition des vecteurs rotation

Soient 3 solides nommés (i), (j) et (k) attachés respectivement aux repères orthonormés directs Ri, Rj et Rk :

• / /i j j iΩ = −Ω

• / / /k i k j j iΩ = Ω + Ω

(similaire à la relation de Chasles) : c’est la composition des vecteurs rotations

• Si iθ et ie

sont respectivement les angles et les axes autour desquels il faut tourner pour passer de R à R1,

alors : 1 / .i iR R eθΩ =∑ ɺ

Ainsi, toutes les rotations d’un solide quelconque à un autre solide quelconque peuvent se ramener à une somme de rotations représentables sur des figures planes. Exemple : Bras articulé (ci-contre)

1/0 0Ω =

(aucune rotation dans une glissière)

2/1 2/1 0.zθΩ = ɺ 3/ 2 3/ 2 0.zθΩ =

ɺ 4/3 4/3 3.xθΩ = ɺ

Donc : 2/0 2/1 0.zθΩ = ɺ

( )3/0 3/2 2/1 0.zθ θΩ = + ɺ ɺ

Et : ( )4/0 3/2 2/1 0 4 /3 3. .z xθ θ θΩ = + + ɺ ɺ ɺ

θ

θ

x

y

1x

1y

z

A B

C

θ2/1

θ3/2

0x

0y

2x

3x

1 2

3

D 4

0 O

θ2/1

30 1 2z zz z= = =

0 1y y= 2y

θ2/1 2x

0 1x x=

3x

θ3/2

3y

θ3/2 θ4/3

3 4xx =

4z

3z

3y

4y

θ4/3


C.3.3) Changement de base de dérivation Déterminons la dérivée des vecteurs unitaires de R1 mobile dans R0 (en considérant uniquement une rotation autour de 0z

pour passer de R0 à R1

mais le résultat peut être généralisé car une rotation quelconque est la somme de rotations autour d’axes principaux). On passera, pour la démonstration, par l’écriture de 1x

et 1y

dans la base de

R0 mais on n’utilisera plus cette méthode par la suite en CPGE (car bien plus longue) :

1 1/0 0 1/0 0cos . sin .x x yθ θ= +

1 1/0 0 1/0 0sin . cos .y x yθ θ= − +

1 0z z=

Ainsi, les dérivées de ces vecteurs dans R0 sont :

0

1/0 1/010 0

/

(cos ) (sin ). .

R

d ddxx y

dt dt dt

θ θ= +

car 0x

et 0y

sont fixes dans R0

=> ( )0

11/0 1/0 0 1/0 1/0 0 1/0 1/0 0 1/0 0 1/0 1

/

.sin . .cos . . sin . cos . .R

dxx y x y y

dtθ θ θ θ θ θ θ θ= − + = − + =

ɺ ɺ ɺ ɺ

( )0

1/0 1/010 0 1/0 1/0 0 1/0 1/0 0

/

1/0 1/0 0 1/0 0 1/0 1

(sin ) (cos ). . .cos . .sin .

. cos . sin . .

R

d ddyx y x y

dt dt dt

x y x

θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

= − + = − −

= − + = −

ɺ ɺ

ɺ ɺ

0

1

/

0R

dz

dt=

Or on peut remarquer que :

1/0 1 1/0 1 1 1/0 1. .x z x yθ θΩ ∧ = ∧ = ɺ ɺ

0

1

/ R

dx

dt=

1/0 1 1/0 1 1 1/0 1. .y z y xθ θΩ ∧ = ∧ = − ɺ ɺ

0

1

/ R

dy

dt=

1/0 1 1/0 1 1. 0z z zθΩ ∧ = ∧ = ɺ

0

1

/ R

dz

dt=

Ainsi on pourra généraliser que pour tout vecteur unitaire ie

d’une base i :

/i

i

j

i jR

ededt

= Ω ∧

Dorénavant, toute dérivée d’un vecteur se fera en utilisant la formule ci-dessus, beaucoup plus rapide que toute autre méthode (cf. exemple ci-après).

On pourra aussi généraliser cette formule pour tout vecteur U

quelconque (et donc pas forcément unitaire, et n’appartenant pas forcément à une base donnée) :

/J II J

R RR R

UdU dUdt dt

= +Ω ∧

x(t)

y(t)

z(t)

O1

M

0z

0y

1z

1y

0x

1x

O0

θ1/0

1 0z z= 0x

1x

1y

θ1/0

1/0 1/0 0.zθΩ = ɺ

0y


Exemple 1 (simple) : Rotation autour de l’axe ( )1,A y

Objectifs : Calculer la vitesse ,5/1FV

et l’accélération ,5/1Fa

du point F extrémité

du bras 5 par rapport au bâti 1.

Paramètres géométriques du problème : 5.AF L x=

avec L fixe.

Résolution (par dérivation de la position) :

( ) ( ),5/1 5 5 5/0 5 5 5 5/0 /0 /0

. . . . . . .F

d AF d dV L x L x L x L y x L z

dt dt dtθ θ= = = = Ω ∧ = ∧ = −

ɺ ɺ

On vérifie que c’est bien homogène à un vecteur vitesse (OK car θɺ est en s-1).

( ) ( ) ( )

( )

,5 /1,5/1 5 5 5 5 5/0 5

/0 /0 /0 /0

25 5 5 5 5

. . . . . . . .

. . . . . . .

FF

dV d d da L z L z z L z z

dt dt dt dt

L z y z L z x

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

= = − = − + = − + Ω ∧

= − + ∧ = − +

ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

On vérifie que chaque terme est bien homogène à un vecteur accélération (OK car θɺɺ est en s-2). Exemple 2 (compliqué) : Bras articulé

Objectifs : Calculer la vitesse ,4 / 0DV

et l’accélération ,4 / 0Da

du point D

appartenant à l’extrémité du bras 4 par rapport au bâti 0. Paramètres géométriques du problème :

0.OA xλ=

2 2.AB L x=

3 3.BC L x=

4 4.CD L y=

Cette information ne sera pas donnée le jour du concours, mais on recense les paramètres fixes : L2 L3 L4 et les paramètres variables : λ θ2/1 θ3/2 θ4/3 Les figures planes sont données ci-contre, sinon il faudra les tracer. Les vecteurs rotation ont été déterminés au chapitre C.3.2. Résolution (méthode par dérivation de la position) :

( ),4 / 0/0 /0

D

dOD dV OA AB BC CD

dt dt= = + + +

( )0 2 2 3 3 4 4 0 2 2/0 2 3 3/0 3 4 4 /0 4/0

. . . . . . . .d

x L x L x L y x L x L x L ydt

λ λ= + + + = + Ω ∧ + Ω ∧ + Ω ∧ ɺ

( ) ( )( )0 2 2/1 2 2 3 3/2 2/1 3 3 4 3/ 2 2 /1 3 4 /3 3 4. . . . . . . .x L z x L z x L z x yλ θ θ θ θ θ θ= + ∧ + + ∧ + + + ∧ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

( ) ( )( ),4 / 0 0 2 2 /1 2 3 3/ 2 2/1 3 4 4/3 3/2 2/1 3 4 /3 4. . . . . . cos . . .DV x L y L y L x zλ θ θ θ θ θ θ θ= + + + + − + + ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

On vérifie que chaque terme est bien homogène à un vecteur vitesse.

( ) ( )( ),4 / 0,4 /0 0 2 2 /1 2 3 3/ 2 2/1 3 4 4/3 3/ 2 2/1 3 4/3 4

/0 /0

. . . . . . cos . . .DD

dV da x L y L y L x z

dt dtλ θ θ θ θ θ θ θ = = + + + + − + +

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

220 2 2/1 2 2/1 2 3 3/ 2 2/1 3 3/ 2 2/1 3

2

4 4/3 4 /3 3/ 2 2/1 3 4/3 3/ 2 2/1 3 4/3 4 4/3 3/ 2 2/1 3 4/3 4/3 3/ 2 2/1

. . . . . . .

. sin . . cos . . . cos . . .sin . .

x L y x L y x

L x x z y x

λ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

= + − + + − +

+ + − + + + + + +

ɺɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ3

car :

( ) ( ) ( )44/3 3 4 /3 3 4/3 3/0 3 4/3 3/2 2/1 3 3 4 /3 3/2 2/1 3

/0 /0

cos . sin . 0 sin . sin . . sin . .dz d

z y y z y xdt dt

θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − = − Ω ∧ = − + ∧ = + ɺ ɺ ɺ ɺ

On vérifie que chaque terme est bien homogène à un vecteur accélération.

A B

C

θ2/1

θ3/2

0x

0y

2x

3x

1 2

3

D 4

0 O

θ4/3

3 4xx =

4z

3z

3y

4y

θ4/3

θ2/1

30 1 2z zz z= = =

0 1y y= 2y

θ2/1 2x

0 1x x=

3x

θ3/2

3y

θ3/2

θ

θ 1x

1 5y y= 1z

5x

5z

A

F


C.4) Champ des vecteurs vitesse d'un solide Un milieu continu est en ensemble infini de points matériels contigus. Cette hypothèse de continuité du milieu s'applique très bien aux solides ainsi qu'aux fluides, jusqu'à une certaine échelle d'observation dont on ne s'approchera pas dans le cadre de ce cours.

À chaque point M du milieu on peut associer un vecteur vitesse ( )/V M R

par rapport à un repère R.

En cinématique du solide, compte tenu le la notion de point coïncident, il faut impérativement préciser quel est le mouvement considéré pour exprimer la vitesse d'un point, à l’exception des points géométriques. On définit ainsi, pour tout point M de l'espace, un vecteur vitesse résultant du mouvement de (S) par rapport à R. L'ensemble des vecteurs vitesse de (S) par rapport à R forme ce que l'on appelle un champ de vecteurs. Exemple : le champs des vecteurs vitesse d'un vilebrequin de moteur de modélisme. Ce sont les vitesses des points du vilebrequin, dans le mouvement de ce dernier par rapport au bâti (liaison pivot). Ce résultat est obtenu grâce à l'utilisation d'une caméra rapide, avec post-traitement informatique. Dans le cas d'un solide indéformable, il existe une relation entre tous les vecteurs vitesse des points du solide: l'équiprojectivité . La connaissance du mouvement d'un solide par rapport à un autre consiste en fait en l'analyse des propriétés du champ des vitesses.

C.4.1) Équiprojectivité du champ des vitesses d'un solide

Soient 2 points A et B d'un solide S en mouvement par rapport à R. Le solide étant indéformable, on a :

constanteAB =

Ou encore : 2

. constanteAB AB AB= =

Donc : ( ). 0d

AB ABdt

=

Soit : . . 0R R

d AB d ABAB AB

dt dt

+ =

Ou : 2. . 0R

d ABAB

dt

=

Soit O l'origine de R (mais le raisonnement fonctionne avec n'importe quel point fixe de R) :

. 0R

d AO dOBAB

dt dt

+ =

Ou bien : . 0R

dOB dOAAB

dt dt

− =

On obtient donc une des relations fondamentales de la cinématique, la relation d'équiprojectivité :

, / , /. .A S R B S RABV ABV=

Les vecteurs vitesses d'un solide indéformable forment un champ équiprojectif.

Attention : L'équiprojectivité ne s'applique qu'aux vitesses d'un même solide ! (C'est une propriété du champ des vitesses de ce solide).


Interprétation graphique de l’équiprojectivité :

( ), / , / , / , /. . cos , . ( )projection algébrique de sur . A S R A S R A S R A S R ABABV AB V AB V AB V==

( ), / , / , / , /. . cos , . ( )projection algébrique de sur . B S R B S R B S R B S R ABABV AB V AB V AB V==

Donc au final, l’équiprojectivité

, / , /. .A S R B S RABV ABV=

se traduit

graphiquement par : Pour deux points A et B d'un solide S en mouvement plan par rapport à R, la projection algébrique de la vitesse de A sur (AB) est égale à la projection algébrique de la vitesse de B sur (AB). Le chapitre « Cinématique graphique » permet d’appliquer cette notion.

La relation d’équiprojectivité permet de déterminer la vitesse de n’importe quel point d’un solide si l’on connait entièrement la vitesse d’un point du solide et la direction de la vitesse d’un autre point du solide.

C.4.2) Torseur Cinématique

Le champ des vitesses étant équiprojectif, alors c'est le champ de moments d'un torseur que l'on appelle « torseur cinématique ». Pour les généralités sur les torseurs, se reporter au chapitre B. Il existe donc une résultante telle que le champ des vitesses vérifie la relation (8) : le transport des moments. Nous allons déterminer cette résultante. Soient 2 points A et B d'un solide (1) lié à un repère R1 en mouvement par rapport à un solide (0) lié à un repère R0.

D'après la formule de dérivation d’un vecteur quelconque , on a :

0 1

1/0

R R

d AB d ABAB

dt dt

= + Ω ∧

Comme A et B sont fixes dans R1, alors

1

0R

d AB

dt

=

.

De plus, si O est l'origine de R0, on peut écrire :

0 0 0

1/0

R R R

d AB d AO dOBAB

dt dt dt

= + = Ω ∧

On obtient finalement la formule de changement de point du vecteur vitesse, dans le mvt de 1/0 :

,1/0 ,1/0 1/0B AV V BA= + ∧Ω

Cette formule est connue sous le nom de « formule de distribution des vitesses ». Elle peut se retrouver via la formule mnémotechnique « BABAR » (vitesse en B = vitesse en A + BA vectorielle R)

On se rend compte alors que la résultante du torseur cinématique est le vecteur vitesse de rotation.

Le torseur cinématique du solide (1) dans son mouvement par rapport au solide (0) s'écrit donc :

( )( )

( )( )

,

,

,

/

, ,

/

, /,

x xIJ P IJ

y yIJ P IJ

z zIJ P IJ

I J

x y z

I J

P I JPP

V

V

VV

ωωω

=

Ω=

V ou bien : ( ) ( )

,

,

,

/

, ,,

IJ P IJ

IJ P IJ

IJ P IJ

I J

x y zP

p u

q v

r w

=

V

PREFERER TOUJOURS LES NOTATIONS EN LIGNE (sauf éventuellement pour les liaisons) et adopter

obligatoirement les notations proposées dans l’énoncé

Un tableau des formes des torseurs cinématiques au centre de chaque liaison est donné en annexe. Pour chaque ddl la vitesse correspondante est possible. Le tableau est à connaître par cœur.

A

B

A,S/ RV

B,S/ RV

(AB)

A’

B’ ' 'AA BB=


Exemple 1 (simple) : Rotation autour de l’axe ( )1,A y

Objectifs : Calculer la vitesse ,5/1FV

du point F extrémité du bras 5 par rapport au

bâti 1.

Paramètres géométriques du problème : 5.AF L x=

avec L fixe.

Résolution (par distribution des vitesses) : On rappelle qu’une autre méthode a été vue au chapitre C.3.3.

,5/1 ,5/1 5/0F AV V FA= + ∧ Ω

Avec : ,5/1 0AV =

car A est le centre de la liaison pivot entre 5 et 1 (A est un point fixe entre 5 et 1)

,5/1 5 5/0 5 5 5. . . . .FV L x L x y L zθ θ= − ∧ Ω = − ∧ = − ɺ ɺ

On vérifie que c’est bien homogène à un vecteur vitesse (OK car θɺ est en s-1). Et on obtient bien la même expression que par la méthode de dérivation du vecteur position au chapitre C.3.3. Exemple 2 (compliqué) : Bras articulé

Objectifs : Calculer la vitesse ,4 / 0DV

du point D

appartenant à l’extrémité du bras 4 par rapport au bâti 0. Paramètres géométriques du problème :

0.OA xλ=

2 2.AB L x=

3 3.BC L x=

4 4.CD L y=

Cette information ne sera pas donnée le jour du concours, mais on recense les paramètres fixes : L2 L3 L4 et les paramètres variables : λ θ2/1 θ3/2 θ4/3 Les figures planes sont données ci-contre, sinon il faudra les tracer. Les vecteurs rotation ont été déterminés au chapitre C.3.2. Résolution (méthode en passant par chaque solide) : On rappelle qu’une autre méthode a été vue au chapitre C.3.3.

,4 / 0 ,4 /0 4/0D CV V DC= + ∧ Ω

avec ,4 / 0 ,3/0C CV V=

car C est un point fixe entre 4 et 3 (C est le centre du pivot 4/3)

(démo lors du chapitre sur la composition des vitess).

Avec : ,3/ 0 ,3/0 3/0C BV V CB= + ∧ Ω

avec ,3/ 0 ,2/0B BV V=

car B est le centre du pivot entre 2 et 3.

Avec : ,2 / 0 ,2 /0 2/0B AV V BA= + ∧ Ω

avec ,2 / 0 ,1/0A AV V=

car A est le centre du pivot entre 1 et 2.

Avec : ( ),1/ 0 0 0/0 /0

. .A

dOA dV x x

dt dtλ λ= = =

ɺ (vitesse dans la liaison glissière entre 0 et 1)

Donc : ,4 / 0 ,1/0 2/0 3/0 4 /0D AV V BA CB DC= + ∧ Ω + ∧ Ω + ∧ Ω

( ) ( ),4 / 0 0 2 2 2/1 2 3 3 3/ 2 2 /1 3 4 4 3/2 2/1 3 4 /3 3. . . . . . . .DV x L x z L x z L y z xλ θ θ θ θ θ θ = − ∧ − ∧ + − ∧ + +

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

( ) ( )( ),4 / 0 0 2 2 /1 2 3 3/ 2 2/1 3 4 4/3 3/2 2/1 3 4 /3 4. . . . . . cos . . .DV x L y L y L x zλ θ θ θ θ θ θ θ= + + + + − + + ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

On vérifie que chaque terme est bien homogène à un vecteur vitesse. Et on obtient bien la même expression que par la méthode de dérivation du vecteur position au chapitre C.3.3.

A B

C

θ2/1

θ3/2

0x

0y

2x

3x

1 2

3

D 4

0 O

θ4/3

3 4xx =

4z

3z

3y

4y

θ4/3

θ2/1

30 1 2z zz z= = =

0 1y y= 2y

θ2/1 2x

0 1x x=

3x

θ3/2

3y

θ3/2

θ

θ 1x

1 5y y= 1z

5x

5z

A

F


C.5) Champ des vecteurs accélération d'un solide Soient deux points A et B d'un solide (1) lié à un repère R1 en mouvement par rapport à un solide (0) lié à un repère R0. Établissons une relation entre les accélérations de ces deux points pour étudier la forme du champ des accélérations.

On sait que : ,1/0 ,1/0 1/0B AV V BA= + ∧ Ω

En dérivant cette relation, on obtient : ( ),1/0 ,1/0 1/0

0 0 0

B AR R R

d d dV V BA

dt dt dt = + ∧ Ω

Soit : 1/0,1/0 ,1/0 1/0

00

B A

RR

dd BAa a BA

dt dt

Ω= + ∧ Ω + ∧

Or 1/0 1/0

0 1R R

d BA d BABA BA

dt dt

= + Ω ∧ = Ω ∧

car

1

0R

d BA

dt

=

(A et B sont lis à R1)

Par conséquent, le relation entre les vecteurs accélération de deux points d’un même solide est :

( )1/0,1/0 ,1/0 1/0 1/0

0

B A

R

da a BA BA

dt

Ω= + ∧ + Ω ∧ ∧ Ω

Ce champ n'est pas équiprojectif. Le champ des vecteurs accélération ne peut donc pas être représenté par un torseur.


C.6) Composition de mouvements

C.6.1) Composition des vitesses

Soient trois solides 0, 1 et 2 en mouvement les uns par rapport aux autres, et M un point quelconque.

On a la formule de composition des vitesses :

,2/0 ,2/1 ,1/0M M MV V V= +

,2/0MV

est appelée « vitesse absolue » ;

,2/1MV

est appelée « vitesse relative » ;

,1/0MV

est appelée « vitesse d 'entraînement ».

Démonstration : Il faut passer par le point coïncident à M appartenant au solide 1 : M1. Pour que la démarche soit

claire, on doit donc détailler l’appartenance de chaque point.

0 2 0 1 1 2 1 2,2/0 ,1/0

0 00 0

M M

R RR R

dO M dO M d M M d M MV V

dt dt dt dt

= = + = +

Or : 1 2 1 21/0 1 2

0 1R R

d M M d M MM M

dt dt

= + Ω ∧

avec 1 2 1 1 1 2,2/1

1 1 1

M

R R R

d M M d M O dO MV

dt dt dt

= + =

et 1 2 0M M =

car ce sont des points coïncidents (mais la dérivée de 1 2M M

n’est pas nulle !)

On conclut enfin : 1/0 1 2,2/0 ,1/0 ,2/1M M MV V V M M= + + Ω ∧

avec 1 2 0M M =

(13’)

Exemple : Vitesse d’un point de la roue d’un vélo. Composition des vitesses au centre des liaisons : Les centres des liaisons sont les seuls points où l’on connaisse le torseur cinématique d’un solide par rapport à un autre. Ce sera donc uniquement en ces points qu’on pourra passer du torseur cinématique d’un solide I à un torseur cinématique d’un solide J (à condition qu’ils soient reliés par une liaison).

Au centre O d’une liaison pivot ou rotule entre I et J : , / 0O I JV =

Pivot 2/1 en A : ,2 /1 0AV =

=> ,2 / 0 ,2/1 ,1/0 ,1/0A A A AV V V V= + =

Rotule 3/2 en B : ,3/ 2 0BV =

=> ,3/ 0 ,2/0B BV V=

Pivot 4/3 en C : ,4 /3 0CV =

=> ,4 / 0 ,3/0C CV V=

Ponctuelle 3/0 en E : ,3/ 0 0. 0EV x =

(cf. chapitre C.9)

Glissière 1/0 en F : ,1/ 0 1/0 0.FV V x=

(cf. chapitre C.7.2)

Cadre 1

Route 0 Roue 2

M

,2/0 ,2/1 ,1/0M M MV V V= +

,1/0MV

(translation rectiligne)

,2/1MV

(rotation de centre A)

A

A B

C

θ2/1

θ3/2

0x

0y

2x

1 2

3

D 4

0 F

3x

E


C.6.2) Composition des accélérations

Soient trois solides 0, 1 et 2 en mouvement les uns par rapport aux autres. Soient R0, R1 et R2 leurs repères respectifs, et M un point quelconque.

Cherchons la relation entre ,2/0Ma

, ,2/1Ma

et ,1/0Ma

.

2 2 2 20 2 0 1 1 2 1 22 2 2 2,2 /0 ,1/0

0 00 0

M M

R RR R

d O M d O M d M M d M Ma a

dt dt dt dt

= = + = +

Or : 2

1 2 1 21/0 1 22

0 10

R RR

d M M d M MdM M

dt dt dt

= + Ω ∧

1 2 1 21/0 1 2 1/0 1/0 1 2

1 11

R RR

d M M d M MdM M M M

dt dt dt

= + Ω ∧ + Ω ∧ + Ω ∧

21/01 2 1 2 1 2

1 2 1/0 1/02

11 1 1RR R R

dd M M d M M d M MM M

dt dt dt dt

Ω= + ∧ + Ω ∧ + Ω ∧

1/0,2/1 ,2/12.M Ma V= + Ω ∧

Au final, on obtient la loi de composition des accélérations :

1/0,2/0 ,2/1 ,1/0 ,2/12.M M M Ma a a V= + + Ω ∧

,2/0Ma

est appelée « accélération absolue »

,2/1Ma

est appelée « accélération relative »

,1/0Ma

est appelée « accélération d 'entraînement »

1/0 ,2/12. MVΩ ∧

est appelée « accélération de Coriolis ».

C.6.3) Relation entre les torseurs cinématiques – fermeture cinématique

Les relations de composition des vecteurs vitesses et des vecteurs vitesse de rotation, pour trois solides (0) , (1) et (2), se résument ainsi :

( ) ( ) ( )2 / 0 2 / 1 1 / 02/0 2/1 1/0

,2/0 ,2/1 ,1/0 M M M MV V V

Ω = Ω +Ω= + =

= +

V V V

Attention !!! On ne peut additionner deux torseurs que lorsqu'ils sont exprimés au même point !!!

Fermeture cinématique d’une boucle de quatre solides (de 0 à 3) :

( ) ( ) ( ) ( )3 / 0 3 / 2 2 / 1 1 / 0= + +V V V V


C.7) Mouvements particuliers (rotation, translation, hélicoïdal)

C.7.1) Rotation autour d’un axe fixe ♦ Définition

Un solide (S) lié à R1 est animé d'un mouvement de rotation autour de l'axe fixe D0 du repère R0 si deux points A et B distincts appartenant à (S) coïncident en permanence avec les deux points fixes A0 et B0 appartenant à R0. ♦ Trajectoires

Tous les points situés sur l'axe de rotation sont immobiles. Les autres ont des trajectoires circulaires dans des plans perpendiculaires à l'axe de rotation. Soit un point M de (S). Si l'on appelle H sa projection orthogonale sur l'axe de rotation, alors la trajectoire du point M est un cercle de centre H et de rayon MH. ♦ Torseur cinématique

Dans le cas d'un mouvement de rotation, le torseur cinématique est de la forme :

( )1 / 01/0

0 0 P D∈

Ω

=

V s'il est exprimé en un point P de l'axe de rotation D0.

Ce torseur est un torseur glisseur. Exprimé en un point quelconque repéré par ses coordonnées cylindriques r, θ, z, le torseur aura pour expression :

( )1 / 0

1/0

1/0

,1/0

.

. . M M

z

V r uθ

θω

Ω ==

=

ɺ

V

Démonstration :

Transport des vitesses : ,1/0 ,1/0 1/0M HV V MH= + ∧ Ω

Exprimés en coordonnées cylindriques : ,1/0 1/0 1/0. . . .rMV r u z r uθω ω= − ∧ =

θ 0x

0y

ru

z

r

uθ

MH


C.7.2) Translation ♦ Définition Un solide (S) est animé d'un mouvement de translation dans un repère R0 si deux vecteurs AB

et AC

distincts et non colinéaires appartenant à (S) restent respectivement équipollents (supports parallèles, même sens, même normes)

à deux vecteurs 0 0A B

et 0 0A C

fixes par rapport à R0. A0, B0 et C0 étant, par exemple, les point A, B et C au temps

t0. ♦ Trajectoire

Les trajectoires des différents points sont des courbes qui se déduisent les unes des autres par translation. Il existe plusieurs types de translation :

La translation rectiligne. Les trajectoires sont des droites. (ex : un tiroir dans son meuble). Les solides en liaison glissière auront un mouvement de translation rectiligne entre eux.

La translation circulaire . Les trajectoires sont des cercles. (ex : les nacelle d'un grande roue, le doigt de la pince de robot vue en début de cours). Les parallélogrammes déformables permettent d’obtenir des translations circulaires entre deux solides.

La translation curviligne désigne une translation qui n’est pas rectiligne.

♦ Torseur cinématique

Dans le cas d'un mouvement de translation, le torseur cinématique est de la forme :

( )/

, /

0

S R

M S R MV

=

V

Le vecteur rotation /S RΩ

est nul .

Le torseur est alors un torseur couple. Ses éléments de réductions sont indépendants du point M choisi.

Tous les points du solide en translation ont donc la même vitesse, que l’on peut alors noter /S RV

3

0

4

D C

A B

5

Translation circulaire (parallélogramme déformable)

TD∈5/0 TC∈5/0

TE∈5/0

E

A

A ’

A ’ ’

B ’ ’

B ’

B

0 1

TB∈1/0

TA∈1/0

'' 1/0∈

BV

''1/0AV

' 1/0∈

BV

' 1/0∈

AV

1/0∈

BV

1/ 0∈

AV

Translations curvilignes

C

Télécabine 1

TA,1/0

B

A TB,1/0

TC,1/0

Translations rectiligne


C.7.3) Équations et graphes des mouvements (translation rectiligne ou rotation) ♦ Introduction – mouvement de translation rectiligne quelconque

Considérons un solide (1) en mouvement de translation rectiligne de direction x

par rapport à un solide (0). La position x d’un point M de ce solide peut être déterminée par rapport à sa position initiale M0 qui appartient au

repère (0) : 0 ( ).M M x t x=

La vitesse vaut alors : ( ) ( )0

,1/0

0 00

.. . ( ).M

R RR

d x x d xd M MV x x x V t x

dt dt dt

= = = = =

ɺ

Et l’accélération : ( ) ( ),1/ 0

,1/0

0 00

.. . ( ).M

M

R RR

dV d x x d xa x x x a t x

dt dt dt

= = = = =

ɺ ɺ

ɺɺ

On voit que la valeur algébrique de l’accélération est la dérivée temporelle de la valeur algébrique de la vitesse, elle-même dérivée temporelle de la valeur algébrique de la position.

Dans ce cas, à partir du graphe de la vitesse, on peut relever graphiquement l’accélération (qui est la pente de la tangente) et le déplacement (qui est l’aire sous la vitesse).

ATTENTION, ceci n’est vrai que lorsque la trajectoire du point est une droite, cas des translations rectilignes (mais pas seulement, pour des points isolés de solides en mouvement quelconque).

♦ Mouvement uniforme

Un mouvement de translation rectiligne est dit uniforme si la vitesse est constante au cours du temps. Les équations du mouvement sont alors :

a(t) = 0 v(t) = v0 x(t) = v0.t + x0

♦ Mouvement uniformément varié

Un mouvement de translation rectiligne est dit uniformément varié si l’accélération est constante au cours du temps. Les équations du mouvement sont alors :

a(t) = a v(t) = a.t + v0

2

0 0

1( ) . . .

2x t a t v t x= + +

Un mouvement peut être accéléré si la norme de la vitesse augmente, ou décéléré (freiné) si la norme de la vitesse diminue. Application (corrigée) : Caractériser chacun des mouvements de translation rectiligne suivants :

Nota : dans les équations du mouvement, on peut remplacer « t » par « ∆t » ou « t – t0 » si l’instant initial du mouvement considéré n’est pas t=0.

On peut aussi utiliser la formule : v

at

∆=∆

On peut aussi utiliser la formule : x

vt

∆=∆

t (s)

t1

v (m/s)

1

1 0

∆t=2s

∆v=1,5m/s a(t1)= ∆v/ ∆t =0,75m/s²

t2

∆t=2s

∆v=-2m/s

a(t2)= ∆v/ ∆t = -1m/s²

Exercice (corrigé) : Déterminer l’accélération du solide au bout de 17s (t2)

t

v t v t v

t

x t v

Uniformément accéléré Uniformément décéléré Uniformément accéléré Uniforme Uniforme


♦ Loi de vitesse en trapèze

La plupart des mécanismes sont programmés avec une loi de vitesse en trapèze, afin de maîtriser l’accélération et la décélération.

Il faudra donc travailler séparément dans les trois phases pour déterminer les durées et déplacements effectués au total. Voici les cinq équations qui régissent entièrement ce mouvement :

Phase 1 (accélération constante a1) : 11

1

va

t

∆=∆

=> 1 21

1 1

v vt

a a

∆∆ = =

déplacement (aire sous le graphe des vitesses) : 1 1 2

1. .

2x t v∆ = ∆

Phase 2 (vitesse constante v2) : 22

2

xv

t

∆=∆

=> 22

2

xt

v

∆∆ =

Phase3 (accélération constante a3<0) : 33

3

va

t

∆=∆

=> 3 23

3 3

v vt

a a

∆ −∆ = =

déplacement (aire sous le graphe des vitesses) : 3 3 2

1. .

2x t v∆ = ∆

♦ Mouvement de rotation (autour d’un axe fixe)

Dans le cas d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe, les équations précédentes sont les mêmes, en remplaçant :

Translation Rotation

Position : x (en m) Position angulaire (angle) : θ (en rad) Vitesse : v (en m/s) Vitesse angulaire : ω (en rad/s)

Accélération : a (en m/s²) Accélération angulaire : ωɺ (en rad/s²)

Quant à la vitesse linéaire d’un point, même si sa norme peut être constante (rotation uniforme), sa direction varie forcément, et donc l’accélération n’est pas constante. On a : vA,1/0(t) = RA.ω1/0(t) avec RA : distance du point A à l’axe de rotation.

Cette relation est vraie uniquement dans le cas d’une rotation autour d’un axe fixe et non dans le cas d’une rotation instantanée (mouvement quelconque). La vitesse d’un point A (tangente à la trajectoire de A, donc perpendiculaire au rayon RA) peut s’écrire :

. . .A A AV v t R tω= =

L’accélération vaut alors :

( ). .. . . .AA

A A A

d R tdV dta R R t

dt dt dt

ωω ω= = = +

ɺ

( ) 2. . . . . . . .A A A A Aa R t R t R n R tω ω ω ω= Ω ∧ + = − +

ɺ ɺ

On remarque que la composante tangentielle de l’accélération vaut la dérivée de la norme de la vitesse, mais il existe aussi une composante normale, dirigée vers l’intérieur du cercle. Ainsi, dans le cas de rotation uniforme (ω = Cte) : l’accélération n’est pas nulle, elle est normale, dirigée vers l’intérieur du cercle et vaut : aA = RA.ω0

2

O A

AV

x

y

n

t

θ

RA

v (en m/s)

v2

t1

1

0

2 3

t2 t3

t (s)

∆t1 ∆t2 ∆t3


C.7.4) Mouvement hélicoïdal ♦ Définition

Un solide (S) est animé d'un mouvement hélicoïdal par rapport à un repère R0 si :

• une droite (∆) de (S) reste en coïncidence avec une droite (∆0) de R0 ;

• l'angle θ (en rad) qui repère la rotation autour de l'axe commun (∆) est proportionnel à la cote z :

.2

pz θ

π= , où p est le pas du mouvement hélicoïdal, c’est-à-dire la distance parcourue dans le sens de l’axe

pour un tour de rotation.

♦ Trajectoire

La trajectoire des différents points d'un solide animé d'un mouvement hélicoïdal sont des hélices de rayon égal à la distance du point considéré à l'axe de rotation (∆) et de pas p. La trajectoire d'un point appartenant à (∆) est la droite (∆). ♦ Propriétés Ce mouvement caractérise une liaison rencontrée couramment en construction mécanique : la liaison hélicoïdale. Le vecteur vitesse d'un point quelconque M peut s'écrire comme la somme de deux vecteurs :

• l'un parallèle à /0SΩ

(donc selon l’axe (∆)), caractérisant la translation du mouvement,

• l'autre perpendiculaire à /0SΩ

et orthoradial (porté par uθ

en coordonnées cylindriques), caractérisant la

rotation du mouvement (équivalent à un mouvement de rotation).

En effet, pour un point quelconque appartenant à (S), en notant I le projeté de M sur l'axe de rotation :

, /0 , /0 /0M S I S SV V MI= + ∧ Ω

avec , /0 /0 /0. .2I S S S

pV λ= Ω = Ω

Π

Ainsi, le torseur cinématique d'un mouvement hélicoïdal s'écrit, en l'exprimant en un point I de l'axe (∆) :

( )

/

//

2 .

S R

S RS R

I

pV

∆∈Π

Ω =

Ω


C.8) Mouvement plan sur plan

C.8.1) Définition

Soient deux solides (1) et (2). Le mouvement du solide (2) par rapport au solide (1) est dit « plan sur plan» s'il

existe un plan ( )2Π lié à (2) qui reste coïncident avec un plan ( )1Π lié à (1). Exemples : Le mouvement de la bielle par rapport au piston, le mécanisme de l'ouvre-portail, de la barrière Sympact, du pilote hydraulique… En conséquence, dans le cas d'un mouvement plan sur plan de normale commune

1z

, le torseur cinématique prend la forme suivante :

( )2 / 12/1 1

1 1,2/1 2/1 2/1

.

. .x yM M M M

z

V V x V y

θ Ω = = +

= ɺ

V

C.8.2) Centre instantané de rotation (CIR) ♦ Définition

D'après la forme du torseur cinématique dans le cas d'un mouvement plan sur plan, il existe à chaque instant, un point I où la vitesse de (2) par rapport à (1) est nulle :

,2/1 0IV =

(sauf dans le cas d'un mouvement de translation).

Ce point I est appelé Centre Instantané de Rotation (CIR) du mouvement de (2) par rapport à (1). En 3D, le CIR décrit un axe (perpendiculaire au plan pour un mouvement plan) : c’est l’axe central du torseur cinématique.

Rotation instantanée : Pour tout point M de (2), ,2/1 ,2/1 2/1 2/1M IV V MI MI= + ∧ Ω = ∧ Ω

Ceci correspond à un champ de vitesse d'un mouvement de rotation autour de I. Remarques :

Le CIR n'existe pas pour un solide en translation (on peut considérer qu'il est à l'infini) ; Dans le cas d’un mouvement plan quelconque, le CIR change de position à chaque instant ; Lors d’un mouvement quelconque 3D, il existe un axe instantané de rotation (sauf translation).

Représentation graphique : Si on connaît les vitesses de deux points d'un même solide par rapport à un repère, on trouve les CIR en traçant les perpendiculaires à ces vitesses.

1x

1y

1 2z z=

θ

2y

2x

x

y


♦ Base et roulante

Toujours dans le cas du mouvement de (2) par rapport à (1) : La base est le lieu (trajectoire) du CIR dans le repère lié à (1) (fixe). La roulante est le lieu (trajectoire) du CIR dans le repère lié à (2) (mobile).

Au cours du mouvement, ces deux courbes roulent l'une sur l'autre sans glisser (cf. chapitre suivant). Application : Cas d'une échelle qui glisse contre un mur : déterminer la base et la roulante du mouvement.

base

I2/1 (CIR)

roulante

(1)

(2) VA,2/1

A

B VB,2/1


C.9) Cinématique du contact entre solides

Les contacts entre solides peuvent être surfaciques, linéiques ou ponctuels. De la géométrie de ce contact dépendent les mobilités entre deux solides. Les contacts linéiques ou surfaciques pouvant être considérés comme des contacts en plusieurs points, plaçons-nous dans le cas d'un contact ponctuel. Les définitions ci-dessous pourront alors être généralisées à tout type de contact.

Deux solides (1) et (2) sont en contact en un point P par deux surfaces Σ1 et Σ2. Ces deux surfaces sont donc tangentes en P et on nomme Π le plan tangent à Σ1 et Σ2 en ce point (plan commun tangent).

Écrivons le torseur cinématique de (2) par rapport à (1) : ( )2 / 12/1

,2/1P PV

Ω

=

V

C.9.1) Vitesse de glissement

On appelle vitesse de glissement de (2) par rapport à (1) au point de contact P le vecteur : ,2/1PV

On peut exprimer cette vitesse de glissement comme la différence des vitesses des points coïncidents à P de (1) et (2)

par rapport à un même repère : ,2/1 ,2/0 ,1/0P P PV V V= −

Le vecteur vitesse de glissement est contenu dans le plan commun tangent Π.

Car si ,2/1PV

était dirigé vers (1), il y aurait pénétration de matière entre les deux solides, et si ,2/1PV

était dirigé vers

(2), il y aurait décollement du contact.

C.9.2) Roulement et pivotement

On considère le vecteur rotation de (2) par rapport à (1) : 2/1Ω

.

En projetant ce vecteur sur n

et sur Π, on obtient les composantes normales et tangentes à Π de 2/1Ω

: (2 /1)NΩ

et

(2 /1)TΩ

.

• (2 /1)NΩ

est appelé vecteur pivotement de (2) par rapport à (1) (il est perpendiculaire au plan tangent

commun).

• (2 /1)TΩ

est appelé vecteur roulement de (2) par rapport à (1) (il est compris dans le plan tangent commun).

Contacts non ponctuels :

• Dans le cas d'un contact linéique rectiligne, on montre que le roulement (2 /1)TΩ

est nécessairement porté

par la droite de contact.

• Dans le cas d'un contact surfacique ou d'un contact linéique non rectiligne, le roulement est impossible :

(2 /1) 0TΩ =

.

Roulement sans glissement :

On parle de roulement sans glissement en P lorsque les deux solides sont en mouvement relatif de roulement

( )(2 /1) 0TΩ ≠

mais que ,2/1 0PV =

.

Alors, le point P appartient à l'axe instantané de rotation du mouvement de (2) par rapport à (1).


C.10) Cinématique graphique La cinématique graphique s'appuie sur des représentations planes et à l'échelle de mécanismes pour rechercher des valeurs des vitesses des différents solides constituant le mécanisme, dans une ou plusieurs positions particulières. Ces méthodes sont donc plutôt adaptées aux mécanismes qui ont fait l’objet d’une modélisation plane. Représentation des vitesses

Les vitesses des points sont représentées par des flèches (vecteurs). La longueur de la flèche étant proportionnelle à la vitesse (en m.s-1), il est nécessaire avant toute chose de définir l'échelle de représentation des vitesses (indépendante de l’échelle de représentation du mécanisme). Afin de faciliter la lecture et l'utilisation du tracé, il est bon de consacrer une couleur différente pour chaque mouvement considéré (exemple : rouge pour le mouvement de 1/2, vert pour le mouvement de 2/0...). Ainsi plusieurs vecteurs peuvent partir du même point mais aucun n'est de la même couleur. Le CIR et l’équiprojectivité découlent du champ de vitesses à l’intérieur d’un même solide (ou d’une même classe d’équivalence cinématique). Ils permettent tous deux de déterminer la transmission de la vitesse à l’intérieur d’un même solide.

Quant à la composition des vitesses, elle permet de déterminer la transmission de la vitesse d’un solide à un autre, en un point.

C.10.1) CIR (graphique)

Sauf dans les cas où le mouvement de S par rapport à 0 est un mouvement de translation, on peut considérer que c'est un mouvement de rotation autour de son Centre Instantané de Rotation (CIR). Or, dans ce cas, les vecteurs vitesse sont tous orthoradiaux et leur norme est proportionnelle à la distance qui sépare

le point du CIR : , /0 /0 /0.M S S SV I M= Ω

, ce qui forme un triangle des vitesses :

Méthode : Si l'on connaît la direction des vecteurs vitesse de deux points dans le mouvement de S par rapport à 0 et que ceux-ci ne sont pas parallèles, on peut déterminer la position du CIR du mouvement de S/0. Enfin, si l'on connaît la norme d'un vecteur vitesse de ce mouvement, on peut tracer un « triangle des vitesses », et déterminer ainsi le vecteur vitesse en n’importe quel point de S par rapport à 0. Cas des vecteurs vitesse parallèles :

a) Si , /0A SV

et , /0B SV

sont parallèles et non perpendiculaires à (AB), alors le mouvement de S par rapport à 0 est une

translation. Dans ce cas, tous les vecteurs vitesses de S par rapport à 0 sont identiques.

b) Si , /0A SV

et , /0B SV

sont parallèles et perpendiculaires à (AB), alors soit le mouvement de S par rapport à 0 est une

rotation dont le CIR se trouve sur la droite (AB), soit c’est une translation…


Application CIR : Supposons , /0M SV

connu et la direction de , /0N SV

connue. Déterminer , /0N SV

.

Méthode : Une fois la position du CIR IS/0 trouvée, l’objectif est de tracer le « triangle des vitesses » passant par N :

On place un point M' situé sur (IN) tel que IM = IM'. Le tracé du vecteur vitesse ', /0M SV

, puis de la droite passant

par IS/0 et par l'extrémité de ce vecteur permet de déterminer la norme de , /0N SV

.

C.10.2) Équiprojectivité (graphique)

L’équiprojectivité , / , /. .A S R B S RABV ABV=

se

traduit graphiquement par :

Pour deux points A et B d'un solide S en mouvement plan par rapport à R, la projection algébrique de la vitesse de A sur (AB) est égale à la projection algébrique de la vitesse de B sur (AB). La relation d’équiprojectivité permet de déterminer la vitesse de n’importe quel point d’un solide si l’on connait entièrement la vitesse d’un point du solide et la direction de la vitesse d’un autre point du solide. Application de l’équiprojectivité simple :

Supposons , /0M SV

connu et la direction de , /0N SV

connue. Déterminer , /0N SV

.

Méthode : On projette , /0M SV

sur (MN), on reporte cette projection algébrique au point N et on en déduit la droite

des extrémités possibles à , /0N SV

(équiprojectivité incomplète). Connaissant la direction de , /0N SV

, on en déduit

l’extrémité de , /0N SV

.

, /0. M SMN V

VN,S/0

, /0. N SMN V

I S/0

M’ (IM=IM’)

VM’,S/0 (VM=VM’ )

VN,S/0

A

B

A,S/ RV

B,S/ RV

(AB)

A’

B’ ' 'AA BB=


Application de la double équiprojectivité :

Supposons , /0A SV

connu et la direction de , /0B SV

connue. Déterminer , /0C SV

.

Méthode :

- Déterminer , /0B SV

par équiprojectivité entre les points A et B (équiprojectivité simple) ;

- Appliquer l’équiprojectivité incomplète entre les points A et C (obtention d’une 1ère droite des extrémités

possibles à , /0C SV

) ;

- Appliquer l’équiprojectivité incomplète entre les points B et C (obtention d’une 2e droite des extrémités

possibles à , /0C SV

) ;

- Déduire des deux constructions précédentes l’extrémité de , /0C SV

.

(S)

A

B

A S/0V ∈

B S/0V ∈∆

C

(S)

A

B

A S/0V ∈

B S/0V ∈

C

(S)

A

B

A S/0V ∈

C

B S/0V ∈

C S/0V ∈


C.10.3) CIR vs. équiprojectivité (graphique)

Si les deux techniques précédentes sont équivalentes en théorie (par résolution analytique), l'une ou l'autre peut s'avérer plus précise dans certains cas :

Lorsque la direction de , /0P SV

est proche de la perpendiculaire à (PQ), il est préférable d'utiliser la méthode CIR :

Lorsque la direction de , /0P SV

est proche de celle de (PQ), il est cette fois plus précis de construire par la méthode

de l'équiprojectivité :


C.10.5) Composition des vecteurs vitesse (graphique)

,2/0 ,2/1 ,1/0M M MV V V= +

L’application graphique de la loi de composition des vitesses permet de déterminer la transmission de la vitesse d’un solide à un autre (au niveau d’un point de contact ou d’un centre de liaison). Un point fixe O entre deux solides 1 et 2 (centre d’un pivot, d’une rotule ou d’une rotule indexée) permet

directement de passer de la vitesse d’un solide à l’autre, car : ,2/1 0OV =

et donc : ,2 /0 ,1/0O OV V=

.

Dans les autres cas, on se trouvera dans deux types de problèmes :

1) Chaîne ouverte de solides dont on connait les mouvements relatifs de chacun des maillons (on connait deux vecteurs vitesse entièrement et on cherche le 3e) ;

2) Chaîne fermée de trois solides (boucle) (on connait la direction des trois vecteurs vitesse et une seule norme). Application du 1er cas : chaîne ouverte. Pince mécanisée

Déterminer ,3/1MV

.

Application du 2e cas : chaîne fermée de 3 solides. Contact came/soupape

Déterminer la vitesse de glissement de 1 sur 2 et la

vitesse de translation 2/0V

.

0,12m/s

2rad/s

A B

M

(0,26m/s) (BM.ω3/2

=0,025 /0,25x2 = 0,2m/s)

Corps 1

Bras 2

Pince mécanisée Echelle 0,25 1cm ↔ 0,1m/s Pince 3

Pince 3’

M,3 / 2V

M,2 /1V (0,12m/s)

= +

M,3 /1 M,3 / 2 M,2 /1V V V

Soupape 2 Came 1 Carter 0 Ressort 3

ω1/0

A

B

Plan tangent du contact en B

VB1/0 (AB.ω1/0 = 0,023x400 = 9,2m/s)

Vitesse de glissement VB1/2 (9,2m/s)

VB0/2 (5,2m/s)

2 / 0V

? x

y

Came/Soupape Echelle 1 1cm ↔ 4m/s ω1/0 = 400rad/s


C.11) Torseur des petits déplacements

Cin - cours Chapitre D : Cinématique des mécanismes (chaînes de solides) 52

CHAPITRE D : CINÉMATIQUE DES

MÉCANISMES (CHAÎNES DE SOLIDES)

D.1) Chaînes de solides Une chaîne de solides est fermée (bouclée) si le solide initial est le même que le solide final. Sinon, elle est ouverte. Une chaîne de solides est complexe si elle comporte plusieurs chaînes simples (ouvertes ou fermées). Dans le cas d’une chaîne complexe, il conviendra de décomposer en chaînes élémentaires ouvertes et/ou fermées (sans doublons), puis de traiter chacune des chaînes élémentaires comme indiqué dans ce chapitre. Cette méthode fournira toutes les équations nécessaires, qu’il faudra ensuite traiter pour trouver la loi entrée/sortie voulue, en éliminant les variables non désirées. Exemple : le mécanisme complexe dont le graphe des liaisons est donné ci-dessus, pourra être décomposé en 2 boucles fermées indépendantes (par exemple 1-2-3 et 1-3-4-5) et une chaîne ouverte (par exemple 1-6).

1 2 3

4

Mécanisme en chaîne ouverte

1

2 3 4

5

Mécanisme en chaîne fermée

1

2 3 4

5

6

Mécanisme complexe


D.2) Liaisons cinématiquement équivalentes

D.2.1) Liaisons en série

Dans le cas de liaisons en série, la pièce intermédiaire (2) peut être une pièce interposée pour des raisons technologiques (suppression des frottements, élargissement des appuis, etc.) mais ses mouvements propres n'ont pas d'influence sur la cinématique de l'ensemble.

Par composition des torseurs cinématiques, on peut écrire : ( ) ( ) ( )1 / 0 1 / 2 2 / 0= +V V V Conclusion : Le torseur cinématique de la liaison équivalente à deux liaisons en série est la somme des torseurs de ces deux liaisons. Exemple : Liaisons rotule et appui-plan en série

Cette association de liaisons est couramment utilisée pour obtenir une liaison ponctuelle tout en conservant des contacts surfaciques entre les pièces (pour la transmission des efforts). La présence du terme 1/2 2/0n nΩ + Ω pour la rotation suivant n

indique que la pièce (2)

peut avoir une rotation relativement à (0) et (1). Cependant, celle-ci n'ayant aucune incidence sur la rotation propre de (1) par rapport à (0), on parle dans ce cas de mobilité interne.

1 2 0 L12 L20

1 0 L10

1

2 0

( )

1/2

1/2 , ,

0

0

0

l

m

nC l m n

V

Ω = Ω Ω

; ( )

2/0

2/0 , ,

0

0

0

l

m

nC l m n

V

V V

= Ω

Soit : ( )

1/0 1/2 2/0

1/2 2/0 , ,0

C C C

l l

m m

n nC l m n

V

V V V V

Ω = + = Ω Ω + Ω


1 0

L1

L2

1 0 Leq10

D.2.2) Liaisons en parallèle

Dans le cas de liaisons en parallèle, la cinématique admissible dans chacune des liaisons doit être identique (en un même point, évidemment).

Il suffit donc de poser : ( ) ( ) ( )10 1 2Leq L L= =V V V En pratique, un zéro sur une composante de l'un ou l'autre des torseurs de liaison implique un zéro dans le torseur cinématique équivalent de (1) par rapport à (0). Exemple : Association en parallèle d'un pivot glissant et d'un appui-plan

On remarque que des blocages en rotation suivant les axes l

et m

sont à la fois introduits par L1 et L2. Ceci indique que la liaison entre (0) et (1) est hyperstatique (ici d'ordre 2).

1

0

L1

L2

( )

1,1/0

, ,

0 0

0 0L

n nA l m n

V

V

= Ω

; ( )

2,1/0

, ,

0 '

0 '

' 0L

l

m

nA l m n

V

V V

= Ω

Soit : ( )

1/0 1,1/0 2,1/0

, ,

0 0

0 0

0L LA A A

nA l m n

V V V

= = = Ω

Soit :

0 0 0 '

0 0 0 '

' 0

l

m

n n n

V

V

V

= Ω Ω

=> 6 équations :

0 0 0 '

0 0 0 '

' 0

l

m

n n n

V

V

V

= = = = Ω = Ω =

Au final : ( )

1/0

, ,

0 0

0 0

0A

nA l m n

V

= Ω


D.3) Loi entrée/sortie géométrique (ou dimensionnelle) La loi entrée/sortie géométrique (ou dimensionnelle) d’un mécanisme est l’équation reliant la position (linéaire ou angulaire) « d’entrée » et celle « de sortie », uniquement en fonction des paramètres connus du système (donc sans faire intervenir d’autres paramètres géométriques variables : angles et distances non connus).

D.3.1) Méthodologie d’analyse géométrique d’une chaîne ouverte Dans le cas où la chaîne est ouverte (les solides se suivent les uns les autres, par des liaisons en série), il suffit d’écrire la relation de Chasles entre les points d’entrée et de sortie, en passant par les centres de chaque liaison. Pour plus de détails, on pourra suivre les indications méthodologiques de la partie suivante (chaîne fermée), car la méthode est identique mais en chaîne ouverte (le point d’arrivée est différent de celui du départ).

D.3.2) Méthodologie d’analyse géométrique d’une chaîne fermée

Cette méthodologie sera appliquée sur un mécanisme plan : l’ouverture d’une porte (ci-après).

1) Paramétrer le mécanisme (à partir du schéma cinématique), c’est-à-dire identifier les longueurs et les angles reliant les centres des liaisons – déterminer s’ils sont variables ou fixes. En général cette étape est faite dans l’énoncé des sujets de concours.

2) Identifier le paramètre d’entrée et celui de sortie du système.

3) Représenter les figures de calcul planes des orientations des solides.

4) Écrire l’équation géométrique vectorielle de fermeture (relation de Chasles).

5) Éventuellement, en 2e analyse, on peut étudier les orientations relatives (fermeture angulaire) :

-Dans un mécanisme plan, c’est l’équation : ( ) ( ) ( )0 1 1 2 0, , ... , 0nx x x x x x+ + + = ;

-Dans un mécanisme spatial, ce sont les relations traduisant le fait qu’une liaison impose un angle constant (souvent droit) entre deux vecteurs de base liées à deux solides – soit :

. constantei jx y = .

6) Exploiter la ou les équations géométriques vectorielles de fermeture afin d’exprimer le paramètre de sortie en fonction du paramètre d’entrée. Il faut donc éliminer les variables internes.

La méthode la plus compliquée mais qui fonctionne toujours est de projeter l’équation vectorielle sur les axes du solide de référence : cela donnera deux équations scalaires pour un mécanisme plan, ou trois équations scalaires pour un mécanisme spatial, et résoudre le système.

Mais il est nettement préférable d’utiliser les astuces suivantes, lorsque c’est possible :

-Lorsque l'inconnue à éliminer est un scalaire en facteur d'un vecteur unitaire, la projection de l'équation vectorielle sur un vecteur unitaire orthogonal élimine cette inconnue ;

-Lorsque l’inconnue à éliminer est un angle sous forme de cosinus dans une équation et de sinus dans une autre équation, on isole le sinus et le cosinus, on élève les deux équations au carré, et on additionne les deux équations : cos2θ + sin2θ = 1 (θ disparaît).


♦ Regroupement du cosinus et du sinus d’un angle

Il arrive parfois que l’expression d’un angle soit obtenue en fonction de son cosinus et de son sinus (1er ordre) et qu’il soit nécessaire de ne faire apparaître qu’une seule fois cet angle pour déterminer la loi entrée-sortie d’un mécanisme. On utilise alors la formule (inutile de la connaître par cœur) :

Démo : On va utiliser la formule de trigo : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin .cos cos .sin sinφ θ φ θ θ φ+ = +

On va donc utiliser un changement de variable en posant :

( )sin.a K φ= (1)

( )cos.b K φ= (2)

Ainsi : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ).cos .sin sin .cos cos .sin .sin.a b KKθ θ φ θ φ θ θ φ+ = + = +

On cherche alors K et Φ en fonction de a et b (quelconques mais connus) :

(1)² + (2)² => K² = a² + b² => 2 2K a b= + (1) / (2) => tanΦ = a/b => Φ = arctan(a/b)

Au final, on obtient bien :

( ) ( ) ( ) 2 2 arctan.cos .sin .sin .sina

ba b K a b θθ θ θ φ + + = + = +

( ) ( ) 2 2 arctan.cos .sin .sin ab

a b a b θθ θ

++ = +


D.3.3) Application sur un mécanisme plan : Mécanisme d’ouverture de porte

Entrée : θ (t)

sortie : ϕ(t)

autres paramètres variables : λ(t)

paramètres fixes : a, b, c, d, L1

0 0. .DA a x b y= −

1 1.AB L x=

3 3. .BC c x d y= − +

3( ).DC t yλ=

Équation de fermeture de la boucle (une seule boucle) : 0AB BC CD DA+ + + =

Ce qui donne : 1 0 0. . . . . . 0L c d a x b y− + − + − =

1 3 3 3x x y λ(t) y (1)

a) Dans un premier temps, on va chercher la relation entre le déplacement λ du coulisseau par rapport au bâti et l’angle de la porte φ : il faut donc éliminer θ. Attention, ce calcul n’est pas du tout nécessaire pour déterminer la loi entrée-sortie (calculée en b). On projette l’équation (1) dans la base ( )0 0,x y

:

sur 0x

: ( )1 0 0 0. . . . . . . 0L c d a x b y x− + − + − =

1 3 3 3x x y λ(t) y

sur 0y

: ( )1 0 0 0. . . . . . . 0L c d a x b y y− + − + − =

1 3 3 3x x y λ(t) y

Soit : sur 0x

: ( ) ( ) ( ) ( )1.cos .cos .sin .sin 0L c d a− − + =+ λ(t)θ ϕ ϕ ϕ (2)

sur 0y

: ( ) ( ) ( ) ( )1.sin .sin .cos .cos 0L c d b− + − − =λ(t)θ ϕ ϕ ϕ (3)

On cherche à éliminer θ donc on applique la 2e astuce :

(2) devient : ( ) ( ) ( )

1

.cos .sin .sincos

c d a

L

+ − −λ(t)ϕ ϕ ϕθ = (2’)

et (3) devient : ( ) ( ) ( ) ( )1

.sin .cos .cossin

c d b

L

− + +=

λ(t)ϕ ϕ ϕθ (3’)

(2’)2 + (1’)2 supprime θ et nous permet de trouver la relation entre λ et φ :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 22

1

.cos .sin .sin .sin .cos .coscos sin

c d a c d b

L

+ − − + − + ++ =

λ(t) λ(t)ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕθ θ = 1

b) Loi entrée-sortie : on cherche ϕ = f(θ) – il faut donc éliminer λ On peut alors utiliser la première astuce et multiplier l’équation (1) par un vecteur perpendiculaire à 3y

c’est-à-dire 3x

. Ce qui donne :

( )1 0 0. . . . . . . 0L c d a x b y− + − + − =

1 3 3 3 3x x y λ(t) y x

( ) ( ) ( )1.cos .cos .sin 0L c a b− − + − =ϕ θ ϕ ϕ

On cherche à isoler φ : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1. cos .cos sin .sin .cos .sin 0L c a b+ − + − =ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1cos . .cos sin . .sin 0L a L b c+ + − − =ϕ θ ϕ θ

Or : ( ) ( ) 2 2 arctan.cos .sin .sinA

BA B A B ϕϕ ϕ +

+ = +

( )( ) ( )( ) ( )( )

11 1

1

2 2 .cos.cos .sin arctan 0

.sin.sin

L aL a L b c

L b

++ − + − = −

+ θθ θ ϕ

θ

( )( ) ( )( )

( )( )

1

11 1

2 2

.cosarcsin arctan

.sin.cos .sin

L ac

L bL a L b

+ = − − + − +

θϕ

θθ θ

θ

0x

0y

3x

3y

1 20 zz z= = θ

ϕ

ϕ

1y

1x bâti (0)

manivelle (1) coulisseau (2)

porte (3)

A

B

C

D

0x

0y

1x

θ(t)

3y

φ(t)


D.4) Loi entrée/sortie cinématique La loi entrée/sortie cinématique d’un mécanisme est l’équation reliant la vitesse « d’entrée » et celle « de sortie », uniquement en fonction des paramètres du système (sans faire intervenir d’autres vitesses). Il existe deux méthodes principales pour déterminer la loi entrée/sortie cinématique d’un mécanisme :

-Trouver la loi entrée/sortie géométrique, puis la dériver : c’est souvent la méthode la plus simple et la plus efficace) ;

-Ecrire la composition des torseurs cinématiques (cf. ci-après).

D.4.1) Méthodologie d’analyse cinématique d’une chaîne ouverte La fermeture cinématique d’une boucle de N solides s’écrit par composition des torseurs cinématiques :

( ) ( ) ( ) 1 / 2 2 / 3 / 1... 0N+ + + =V V V

Ou, autrement écrit : ( ) ( )1 / / 1

1

1

N I I

N

I

+

−

==∑V V

Attention, il faut additionner les vitesses au même point ! Quel que soit ce point P. Méthode de résolution d’un problème de cinématique par fermeture cinématique : Après avoir paramétré le système (si ceci n’est pas fait dans l’énoncé) :

a) Choisir la ou les boucles de solides à considérer et écrire la forme de la fermeture cinématique à l’aide des torseurs cinématiques, en bouclant, grâce à la composition des mouvements ;

b) Écrire chacun des torseurs cinématiques au centre de chaque liaison (c’est-à-dire au point où on les connait) ;

c) Déplacer tous les torseurs au même point : choisir le point entraînant le moins de déplacements, le moins de calculs, en prenant en compte le fait que certaines liaisons admettent la même forme du torseur cinématique sur un axe (pivot, pivot glissant, hélicoïdale) ou en tout point de l’espace (glissière, appui plan) ;

d) La fermeture cinématique donne alors 2 équations vectorielles, que l’on peut :

- soit traiter telles quelles, en utilisant les astuces données pour la fermeture géométrique, afin d’en tirer la relation entre les deux paramètres (scalaires) qui nous intéressent ;

- soit projeter ces deux équations vectorielles dans une base, ce qui donnera 6 équations scalaires dans l’espace (3 pour les vitesses angulaires et 3 pour les vitesses linéaires) ou 3 équations scalaires dans un problème plan (1 pour les vitesses angulaires et 2 pour les vitesses linéaires) ;

e) La résolution de ces équations nous permet de trouver la relation cinématique entre les paramètres (scalaires) que l’on cherchait (souvent la loi entrée/sortie).

1

2

3 i

N

Boucle de N solides


D.4.2) Application sur un mécanisme plan : Mécanisme d’ouverture de porte (cf. précédemment pour le paramétrage du mécanisme)

a) La fermeture géométrique s’écrit : 3/0 3/2 2/1 1/0P P P PV V V V= + +

b) Afin de choisir le point P qui donnera le moins de calcul, on écrit d’abord chacun des torseurs cinématiques au centre de chaque liaison (c’est-à-dire au point où on les connait) :

3/0 0

,3/03/0

.

0DD D

z

VV

ϕ Ω = = =

ɺ

3/ 2

,3/ 2 ,2/3 3 33/2

0 0

. .CC C PC

V V y yV

λ λ∀

Ω = = = = − = − −

ɺ ɺ

2/1 2 /1 0

,2/12/1

.

0BB B

z

VV

α Ω = = =

ɺ

1/0 0

,1/01/0

.

0AA A

z

VV

θ Ω = = =

ɺ

On définit α2/1 l’angle qui permet de passer de la base 1 à la base 2. On peut voir, par relation de Chasles sur les angles (valable uniquement si les angles sont dans le même plan) que cet angle vaut : 2/1 2 /3 3/0 0/1 0α α α α ϕ θ= + + = + − (fermeture angulaire)

Et obtenir par dérivation : 2/1α ϕ θ= − ɺɺ ɺ (relation que l’on retrouvera par fermeture cinématique)

c) On choisit de déplacer les torseurs en A (B ou D auraient amenés la même difficulté) :

( ) ( )3/0 0 0

0 0,3/0 ,3/0 3/0 0 0 03/0

. .

. . .. . .AA D AA

z z

a y b xV V AD a x b y zV

ϕ ϕϕϕ

Ω = = = += + ∧ Ω = − + ∧

ɺ ɺ

ɺɺ

2/1 2/1 0 2 /1 0

1 2 /1 1,2/1 ,2/1 2/1 1 1 2/1 02/1

. .

. .. .AAA B A

z z

L yV V AB L x zV

α ααα

Ω = = = −= + ∧ Ω = ∧

ɺ ɺ

ɺɺ

d) La fermeture cinématique en A permet alors d’obtenir les deux équations vectorielles :

( )0 2/1 0 0

0 0 3 1 2/1 1

. . .

. . . . . .

z z z

a y b x y L y

ϕ α θϕ λ α

= + + = − −

ɺɺ ɺ

ɺɺ ɺ

e) La résolution de l’équation angulaire permet d’écrire : 2/1ϕ α θ= + ɺɺ ɺ (relation que l’on pouvait

déjà obtenir par fermeture géométrique angulaire, cf. ci-dessus). La résolution de l’équation vectorielle linéaire peut se faire de deux manières, soit en

projetant dans la base ( )0 0 0, ,x y z

, on trouvera alors deux équations scalaires d’où l’on

pourra tirer la relation recherchée, soit en projetant suivant 3x

pour éliminer λɺ et obtenir

directement la loi entrée-sortie recherchée ( )fϕ θ= ɺɺ beaucoup plus simplement :

( )0 0 3 1 2/1 1 3. . . . . . .a y b x x L y xϕ α+ = − ɺ ɺ => ( ) ( )1 2/1.sin .cos . . .sina b Lϕ ϕ ϕ α ϕ θ+ = − −ɺ ɺ

Avec : 2/1α ϕ θ= − ɺɺ ɺ => ( )( ) ( )1 1.sin .cos .sin . .sin .a b L Lϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ θ+ + − = − ɺɺ

Soit : ( )

( )( )1

1

.sin.

.sin .cos .sin

L

a b L

ϕ θϕ θ

ϕ ϕ ϕ θ−

=+ + −

ɺɺ

NB : La dérivation de la loi entrée-sortie géométrique donne une équation compliquée :

( )( ) ( )( )( )( )

1

11 1

2 2

.cosarcsin arctan

.sin.cos .sin

L ad c

dt L bL a L b

+ = − − + −

+ɺ

θϕ

θθ θ

Si on la dérive lorsqu’elle est plus simple : ( ) ( )1 1cos . .cos sin . .sin 0d

L a L b cdt

ϕ θ ϕ θ+ + − − =

on retrouve bien la loi entrée-sortie cinématique !

0

1 2

3

Ouvre-porte graphe de structure

Cin - Cours Annexe 1 : Représentation schématique des composants usuels 60

ANNEXE 1 : REPRÉSENTATION SCHÉMATIQUE DES ÉLÉMENTS TECHNOLOGIQUES USUELS

Poulies/courroie et pignons/chaîne :

Transmission par friction :

Cin - Cours Annexe 1 : Représentation schématique des composants usuels 61

Engrenages :

Accouplements, embrayages, coupleurs, et freins :

Autre :

(cours)chauvincpge.free.fr/cin/cin_cours.pdf · cin : modéliser les liaisons et la cinématique...

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