modélisation cinématique des...

Cours 04 - Modélisation cinématique des liaisons /25

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 28/02/2012

Modélisation cinématique des liaisons

1) MODÉLISATION DES PIÈCES PAR DES « SOLIDES PARFAITS ». ............................. 4

2) MODÉLISATION DES LIAISONS. .................................................................................... 4

21) MODÉLISATION DES LIAISONS PAR DES « LIAISONS PARFAITES ». .............................................. 4

22) NOTION DE REPÈRE LOCAL. .................................................................................................... 4

23) NOTION DE DEGRÉ DE LIBERTÉ D’UNE LIAISON. ........................................................................ 4

24) LIAISONS NORMALISÉES ENTRE SOLIDES. ................................................................................ 5 Complète ou encastrement ......................................................................................................... 5 Glissière de direction x .............................................................................................................. 5 Appui plan de normale z ............................................................................................................ 5 Cylindre-plan (ou linéaire rectiligne) de ligne de contact ,O x et de normale z ..................... 5

Sphère-plan (ou ponctuelle) de point de contact O et de normale z ......................................... 5 Pivot glissant d’axe ,O x .......................................................................................................... 6

Pivot d’axe ,O x ....................................................................................................................... 6

Hélicoïdale d’axe ,O x et de pas p........................................................................................... 6

Sphérique (ou rotule) de centre O .............................................................................................. 6 Sphérique (ou rotule) à doigt de centre O et de rotation interdite ,O y ................................... 6

Sphère-cylindre (ou linéaire annulaire) de centre O et de direction x ...................................... 6

3) MODÉLISATION CINÉMATIQUE DES MÉCANISMES : GRAPHE DE LIAISON ET SCHÉMA CINÉMATIQUE MINIMAL. .................................................................................... 7

31) RÔLE DU SCHÉMA CINÉMATIQUE. ............................................................................................ 7

32) MÉTHODE DE TRACÉ (UTILISER DE LA COULEUR). ............................................................. 7 Étape 1 : Préciser la phase d’étude. ........................................................................................... 7 Étape 2 : Identifier les Classes d’Équivalence Cinématique (CEC). .......................................... 7 Étape 3 : Réaliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallèle). . 7 Étape 4 : Tracer le schéma cinématique minimal. ...................................................................... 7

33) EXEMPLES DE SCHÉMAS CINÉMATIQUES. ................................................................................. 8

4) LES LIAISONS PAR ÉLÉMENTS INTERPOSÉS GLISSANTS OU ROULANTS. ........... 9

41) LES COUSSINETS. .................................................................................................................. 9

42) LES ROULEMENTS À BILLES, À ROULEAUX OU À AIGUILLES. ....................................................... 9

43) LES BUTÉES À BILLES OU À ROULEAUX. ................................................................................. 11

44) LES DOUILLES À BILLES OU À ROULEAUX................................................................................ 11

45) LES VIS À BILLES OU À ROULEAUX. ........................................................................................ 11

46) LES GUIDAGES À BILLES OU À ROULEAUX SUR RAILS............................................................... 11

47) LES ROTULES LISSES. .......................................................................................................... 11



5) GRAPHE DE STRUCTURE ET SCHÉMA D’ARCHITECTURE. .................................... 12

51) DIFFÉRENCE ENTRE SCHÉMA CINÉMATIQUE ET SCHÉMA D’ARCHITECTURE. .............................. 12

52) EXEMPLE : LIAISON ENTRE UN ARBRE 1 ET UN BÂTI 0 RÉALISÉE PAR L’ASSOCIATION DE DEUX

ROULEMENTS. ........................................................................................................................... 12

6) LIAISONS CINÉMATIQUEMENT ÉQUIVALENTES. ...................................................... 13

61) DÉFINITION D’UNE LIAISON ÉQUIVALENTE. ............................................................................. 13

62) LIAISONS EN SÉRIE. ............................................................................................................. 13

3/0 3/2 2/1 1/0Leq V V V V V ...................................................................... 13

Exemple : Patin à rotule ............................................................................................................ 13

63) LIAISONS EN PARALLÈLE. ..................................................................................................... 14

1/0 1/0 1/0 1/0LA LB LC

Leq V V V V V ...................................................................... 14

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements.14

7) LOI ENTRÉE-SORTIE D’UN MÉCANISME. ................................................................... 15

71) DÉFINITION D’UNE LOI ENTRÉE-SORTIE. ................................................................................. 15

72) CHAÎNES DE SOLIDES OUVERTE, FERMÉE ET COMPLEXE. ........................................................ 15

Chaîne ouverte. ................................................................................................................................. 15

Chaîne fermée. .................................................................................................................................. 15

Chaîne complexe. ............................................................................................................................. 15

73) CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES OU PARAMÈTRES. ......................................................... 15

74) DÉTERMINATION D’UNE LOI ENTRÉE-SORTIE. ......................................................................... 16

Chaîne ouverte .................................................................................................................................. 16 Cours 03 – Cinématique du solide. ........................................................................................... 16

Chaîne fermée ................................................................................................................................... 16 Fermeture géométrique liant les paramètres de position. ........................................................ 16 Fermeture angulaire liant les paramètres d’orientation. ........................................................... 16 Produit scalaire constant de deux vecteurs d’orientation. ........................................................ 16 Fermeture cinématique ............................................................................................................. 16

8) LES TRANSFORMATIONS DE MOUVEMENTS CLASSIQUES.................................... 17

81) BIELLE-MANIVELLE. .............................................................................................................. 17

82) PIGNON-CRÉMAILLÈRE ......................................................................................................... 17

83) VIS-ÉCROU. ......................................................................................................................... 17

84) CROIX DE MALTE. ................................................................................................................ 18

85) EXCENTRIQUE. .................................................................................................................... 18

86) CAME RADIALE. ................................................................................................................... 18

87) CAME AXIALE....................................................................................................................... 18



9) LES RÉDUCTEURS ET MULTIPLICATEURS DE VITESSE. ........................................ 19

91) RAPPORT DE TRANSMISSION, DE RÉDUCTION ET DE MULTIPLICATION. ...................................... 19

92) TRANSMISSION PAR ADHÉRENCE : ROUES À FRICTION. ........................................................... 19

93) TRANSMISSION PAR OBSTACLES : ENGRENAGES. ................................................................... 20

Terminologie. ..................................................................................................................................... 20 Engrenage, pignon, roue et couronne. ..................................................................................... 20 Diamètres primitifs. ................................................................................................................... 20 Pas primitifs. .............................................................................................................................. 20 Module. ..................................................................................................................................... 20 Rapport de transmission. .......................................................................................................... 20

Différents types d’engrenages. ......................................................................................................... 21 Engrenage cylindrique extérieur ou intérieur (à denture droite ou hélicoïdale). ....................... 21 Engrenage conique (à denture droite ou hélicoïdale). .............................................................. 21 Engrenage à roue et vis sans fin (appelé aussi engrenage à vis). ........................................... 21

Schémas normalisés. ........................................................................................................................ 22

Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train simple. .................................................................. 22

Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal. ......................................................... 23 Inconvénients des trains simples. ............................................................................................. 23 Inconvénients des engrenages à roue et vis sans fin. .............................................................. 23 Avantages des trains épicycloïdaux. ........................................................................................ 23 Définition d’un train épicycloïdal. .............................................................................................. 23 Planétaires, satellites et porte satellites. ................................................................................... 23 Condition géométrique entraînant une relation sur le nombre de dents des différents éléments. ................................................................................................................................... 24 Loi entrée-sortie : Relation de Willis. ........................................................................................ 24 Exemple du réducteur ATV. ...................................................................................................... 24

94) TRANSMISSIONS PAR LIEN FLEXIBLE (PIGNONS-CHAÎNE, POULIES-COURROIE). ......................... 25



Objectif : Donner une image simplifiée et symbolique d’un mécanisme pour faciliter les études du fonctionnement, des efforts, des vitesses… afin d’en déterminer les lois entrées/sorties.

1) Modélisation des pièces par des « solides parfaits ». Nous supposerons dans nos études mécaniques (sauf indication contraire) que les pièces mécaniques

sont des solides parfaits :

NB : Les pièces déformables telles que les ressorts seront exclues de nos calculs lorsque nous utiliserons l’hypothèse de solide parfait.

2) Modélisation des liaisons. On peut parler de liaison entre 2 pièces lorsque celles-ci sont en contact.

Une liaison est un modèle du comportement cinématique d’un solide par rapport à un autre.

21) Modélisation des liaisons par des « liaisons parfaites ».

Nous supposerons dans nos études mécaniques (sauf indication contraire) que les liaisons entre 2 pièces sont des liaisons parfaites : Une liaison parfaite est donc une liaison théorique, tant du point de vue géométrique que du point de vue de la nature physique du contact.

22) Notion de repère local.

En général, le repère local associé à une liaison entre deux solides n'appartient à aucun des deux solides.

De plus, l'origine sera plutôt placée en un point caractéristique de la liaison et les vecteurs directeurs de sa base correspondent dans la mesure du possible à des axes de symétrie, de révolution, ...

Enfin, il sera choisi de sorte que les mouvements élémentaires soient indépendants.

23) Notion de degré de liberté d’une liaison.

Soit 0, , ,R x y z le repère local associé à la liaison entre deux solides 1 et 2.

On peut définir des mouvements relatifs : Tx = liberté de mouvement de translation de direction x ,

Rx = liberté de mouvement de rotation d’axe ( , )O x ,

…

Un degré de liberté d’une liaison est UN MOUVEMENT RELATIF INDÉPENDANT que la liaison autorise entre les 2 solides considérés. (Attention à la liaison hélicoïdale…)

Il existe donc 6 degrés de liberté possibles : - 3 translations Tx, Ty et Tz de 1 par rapport à 0, - 3 rotations Rx, Ry et Rz de 1 par rapport à 0. Par conséquent, le nombre de degrés de liberté entre deux solides est le nombre de paramètres cinématiques indépendants à DÉFINIR pour caractériser le mouvement relatif entre ces deux solides.

- indéformables - géométriquement parfaits - homogènes (corps dont les constituants sont de même nature ; ce

qui n’est pas vrai pour le béton par exemple) - isotropes (corps dont les propriétés mécaniques sont identiques

dans toutes les directions ; ce qui n’est pas vrai pour les matières fibreuses par exemple)

corps qui ont une masse constante

- surfaces de contact géométriquement parfaites - jeu de fonctionnement nul entre les surfaces de contact

- contact supposé sans adhérence



24) Liaisons normalisées entre solides.

Parmi toutes les liaisons envisageables, la norme NF EN ISO 3952-1 (mai 95) a retenu les plus courantes.

Nom et description

géométrique

Représentation 3D

Représentation 2D

Degré de

liberté

Il est indispensable de connaître : - la forme générale du torseur cinématique de chacune des liaisons usuelles ;

- leur « zone de validité », c’est à dire l’ensemble des points de l’espace ou cette forme est la même !

Validité Forme du torseur cinématique

Écriture en COLONNE

Forme du torseur cinématique

Écriture en LIGNE

Relations particulières

Complète ou encastrement

0

Tout point A

de l’espace

2/1

( , , )

0 0

0 0

0 0A x y z

V 2/1

0

0A

V 2/1 0

2/1 0AV

Glissière de direction x

1

Tout point A

de l’espace

, 2/1

2/1

( , , )

0

0 0

0 0

x A

A x y z

v

V 2/1, 2/1

0

x AAv x

V

2/1 0

2/1

2/1

0

0

A

A

V y

V z

Appui plan de normale z

3

Tout point A

de l’espace

, 2/1

2/1 , 2/1

,2/1 ( , , )

0

0

0

x A

y A

zA x y z

v

v

V ,2/12/1

, 2/1 , 2/1

z

x A y AA

z

v x v y

V 2/1 0AV z

Cylindre-plan (ou linéaire rectiligne)

de ligne de

contact ,O x et

de normale z

4

Tout point A du plan

( , , )O x z

,2/1 , 2/1

2/1 , 2/1

,2/1 ( , , )

0

0

x x A

y A

zA x y z

v

v

V ,2/1 ,2/12/1

, 2/1 , 2/1

x z

x A y AA

x z

v x v y

V 2/1 0AV z

Sphère-plan (ou ponctuelle) de point de contact O

et de normale z

5

Tout point A

de la normale

( , )O z

,2/1 , 2/1

2/1 ,2/1 , 2/1

,2/1 ( , , )0

x x A

y y A

zA x y z

v

v

V

,2/1 ,2/1 ,2/1

2/1

, 2/1 , 2/1

x y z

x A y AA

x y z

v x v y

V 2/1 0AV z

x

y

z

O y

x

z

O

z

O y x



Pivot glissant

d’axe ,O x

2

Tout point A de l’axe

( , )O x

,2/1 , 2/1

2/1

( , , )

0 0

0 0

x x A

A x y z

v

V ,2/12/1

, 2/1

x

x AA

x

v x

V 2/1

2/1

0

0

A

A

V y

V z

Pivot

d’axe ,O x

1


( , )O x

,2/1

2/1

( , , )

0

0 0

0 0

x

A x y z

V ,2/12/1

0

x

A

x

V 2/1 0AV

Hélicoïdale

d’axe ,O x et

de pas p

1


( , )O x

,2/1

,2/1

2/1

( , , )

.2

0 0

0 0

xx

A x y z

p

V ,2/1

2/1,2/1.

2

x

xA

x

px

V

2/1

2/1

0

0

A

A

V y

V z

Le pas p est la distance linéaire parcourue par le solide 1 par rapport au solide 2 lorsque le solide 1 tourne d’un tour par rapport au solide 2 :

2 ( ) ( )

. .2 2( ) ( )

x x

rad p mm p px v

rad x mm

Pas à droite + et Pas à gauche -

Sphérique (ou rotule)

de centre O

3 Seulemen

t en O ,2/1

2/1 ,2/1

,2/1 ( , , )

0

0

0

x

y

zO x y z

V ,2/1 ,2/1 ,2/12/1

0

x y z

O

x y z

V

2/1 0OV

Sphérique (ou

rotule) à doigt de centre O et

de rotation

interdite ,O y

2 Seulemen

t en O ,2/1

2/1

,2/1 ( , , )

0

0 0

0

x

zO x y z

V ,2/1 ,2/12/1

0

x z

O

x z

V 2/1 0OV

Sphère-cylindre (ou linéaire annulaire)

de centre O et

de direction x

4 Seulemen

t en O ,2/1 , 2/1

2/1 ,2/1

,2/1 ( , , )

0

0

x x O

y

zO x y z

v

V ,2/1 ,2/1 ,2/12/1

, 2/1

x y z

x OO

x y z

v x

V

2/1

2/1

0

0

O

O

V y

V z

On utilise les torseurs écrits en colonne pour déterminer la forme du torseur cinématique d’une liaison équivalente à n liaisons en série ou en parallèle (voir partie 6).

On utilise les torseurs écrits en ligne pour déterminer une loi entrée-sortie en vitesse (voir partie 7).



3) Modélisation cinématique des mécanismes : graphe de liaison et schéma cinématique minimal.

31) Rôle du schéma cinématique.

Le schéma cinématique est un outil de description simplifiée d’un sytème réel. Il ne tient compte ni des formes ni des dimensions. Il permet de faire apparaître clairement les mouvements possibles entre les solides qui constituent le système.

32) Méthode de tracé (UTILISER DE LA COULEUR).

Étape 1 : Préciser la phase d’étude. Indiquer dans quelle phase vous étudiez le mécanisme. En effet, certaines pièces (ex : vis…) n’ont pas le même mouvement pendant leur fonctionnement que pendant leur montage ou pendant leur réglage…

Étape 2 : Identifier les Classes d’Équivalence Cinématique (CEC). CEC : groupes de pièces en liaison encastrement entre elles (n'ayant aucun mouvement relatif entre elles).

Cette étape se divise en 2 sous-étapes : 1) Rechercher et colorier différemment chaque CEC sur la représentation technique 2D ou 3D. 2) Nommer chacune des CEC (S1, S2…) et lister, dans

l’ordre croissant les pièces qui les constituent.de chaque CEC : {S1} = {1, 2} {S2} = {3} {S3}={4,5,7} {S4}={6} …

Remarques : Toutes les pièces déformables sont à exclure des CEC (ressorts, joints…). Les éléments roulants (billes, rouleaux…) des roulements ne sont pas pris en compte.

Étape 3 : Réaliser le graphe de liaison (minimum de liaisons donc sans liaison en parallèle). 1) Représenter les CEC par des bulles et les placer en respectant si possible leurs positions relatives observées sur le système réel. 2) Préciser la CEC considérée comme fixe. 3) Déterminer les liaisons entre ces CEC en identifiant la géométrie du contact.

Exemple : graphe de liaison du serre-joint

Étape 4 : Tracer le schéma cinématique minimal. 1) Positionner les centres et les axes des liaisons en respectant si possible leurs positions relatives observées sur le système réel. 2) Mettre en place les représentations symboliques des liaisons

élémentaires et du bâti en utilisant le code de couleur retenu et en respectant leur orientation.

3) Relier tous les éléments de même couleur en respectant si possible l’architecture du système réel et en évitant que des traits se croisent.

4) Compléter « éventuellement » par quelques traits le schéma pour faciliter la compréhension.

5) vérifier la cohérence entre les mouvements possibles entre les CEC sur le schéma cinématique et les mouvements observés sur le système réel.

NB : On ne verra JAMAIS apparaître de liaison encastrement sur un graphe de liaison.

C

Schéma cinématique minimal 3D

Schéma cinématique minimal 2D



33) Exemples de schémas cinématiques.

Chargeur Bobcat

Nacelle élévatrice

Robot 3 axes



4) Les liaisons par éléments interposés glissants ou roulants. Certaines liaisons dans les mécanismes n’utilisent pas le principe de contact direct entre les deux solides. Grâce à l’interposition d’éléments glissants ou roulants entre les solides, il est possible d’obtenir des mouvements relatifs plus performants d’un point de vue énergétique.

41) Les coussinets.

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides

modélisable par une liaison pivot ou pivot glissant

42) Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles.

Constitution :

Exemples d’éléments roulants :



Différents types de roulements :

Roulement à une rangée de billes

Le plus souvent le rotulage > 5’

Roulement à deux rangées de billes

Le plus souvent le rotulage < 5’

Roulement à aiguilles ou à rouleaux

Le plus souvent le rotulage < 5’

Roulement à rotule (billes ou rouleaux)

Rotulage entre 2°et 4

Modélisation :

Il existe toujours un jeu, aussi minime soit-il, entre les billes et les bagues. Ce jeu a pour conséquence de permettre une rotation relative des bagues, autour des axes perpendiculaires à l'axe principal du roulement. Ces rotations sont appelées « rotulage ».

Si l’angle maximal de rotulage (fourni par le constructeur) est >5’, alors les mouvements de rotation autour des axes secondaires sont considérés possibles. De plus, si les bagues du roulement ne sont pas arrêtées transversalement, alors le mouvement de translation suivant la direction de l’axe principal est possible.

Exemple 1 : Angle de rotulage du roulement <5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation

modélisable par une liaison pivot

Exemple 2 : Angle de rotulage du roulement <5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

modélisable par une liaison pivot glissant

Exemple 3 : Angle de rotulage du roulement >5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation

modélisable par une liaison sphérique

Exemple 4 : Angle de rotulage du roulement >5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation

modélisable par une liaison sphère-cylindre



43) Les butées à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot.

44) Les douilles à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable

par une liaison pivot glissant.

45) Les vis à billes ou à rouleaux.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une

liaison hélicoïdale.

46) Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails.

Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides

modélisable par une liaison glissière.

47) Les rotules lisses.

Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides

modélisable par une liaison sphérique.



5) Graphe de structure et schéma d’architecture.

51) Différence entre schéma cinématique et schéma d’architecture.

Schéma cinématique minimal Schéma d’architecture

Permet de visualiser

la cinématique du mécanisme (c’est à dire les mouvements relatifs

des différentes classes d’équivalence)

l’architecture du mécanisme (c'est-à-dire la disposition des liaisons)

il colle à la réalité technologique puisqu’il tient compte du choix des constituants adoptés

Est construit à partir du

graphe de liaison graphe de structure

52) Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements.

Utilisation de deux roulements à billes situés à chaque extrémité de l’arbre 1, modélisables, l’un par une liaison sphérique et l’autre par une liaison sphère-cylindre.

Graphe de liaison :

Graphe de structure :

0

Pivot d’axe (AB)

1

0

Sphérique de centre

A

1

Sphère-cylindre de

centre B et de

direction x

Schéma cinématique minimal : Schéma d’architecture

Sur le graphe de structure et le schéma d’architecture, figurent toutes les liaisons élémentaires (ou locales) (se situant dans les zones de guidage).

0 Rlt2

Rlt1

1

A B x x

Circlips

Joint



6) Liaisons cinématiquement équivalentes.

61) Définition d’une liaison équivalente.

Lors d'une approche globale, afin de simplifier la modélisation d’un mécanisme, on peut être amené à chercher des liaisons fictives équivalentes à un ensemble de liaisons élémentaires. Cette recherche peut se faire analytiquement par les torseurs cinématiques ou intuitivement dans les cas simples. NB : La liaison fictive équivalente est une liaison qui a le même comportement que l’association des liaisons élémentaires, c'est à dire qu’elle transmet la même action mécanique et qu’elle autorise le même mouvement. Deux types de configuration peuvent se rencontrer : en série ou en parallèle.

62) Liaisons en série.

0

0/1L

1

2 3

1/2L 2/3L

1L2

L1

1Léq.

2L3

2

0 eqL

3

à condition que la Leq soit normalisée

La liaison Leq est identifiée à partir de la forme de son torseur cinématique associé.

3/0 3/2 2/1 1/0Leq V V V V V

Exemple : Patin à rotule

Dessin : Graphe de structure : Schéma d’architecture :

0

Liaison appui plan de normale z

1

2

Liaison sphérique de centre O

,2/1

2/1 ,2/1

,2/1 ( , , )

0

0

0

x

y

zO x y z

V

et

, 1/0

1/0 , 1/0

,1/0 ( , , )

0

0

0

x O

y O

zO x y z

v

v

V

,2/1 , 1/0

2/0 ,2/1 , 1/0

,2/1 ,1/0 ( , , )0

x x O

y y O

z zO x y z

v

v

V

équivalent à une liaison sphère-plan de normale z

NB : Technologiquement parlant, il est donc préférable de réaliser une liaison ponctuelle par mise en série d'une liaison appui plan et d'une liaison rotule pour limiter la pression de contact. En effet, on passe d’un contact ponctuel, où la pression est infinie (F=p.S), à un contact surfacique, où la pression devient admissible pour les matériaux.

par la relation de composition des mouvements



63) Liaisons en parallèle.

0

0/1L en A

1 0/1L en B

0/1L en C

1L2

L1

1Léq.

2L3

2

0 eqL

1

à condition que la Leq soit normalisée

La liaison Leq est identifiée à partir de forme de son torseur cinématique associé.

1/0 1/0 1/0 1/0LA LB LC

Leq V V V V V

La compatibilité cinématique des n liaisons en parallèle avec la liaison équivalente, s'exprime par une identité des composantes de tous ces torseurs réduits au même point.

Exemple : Liaison entre un arbre 1 et un bâti 0 réalisée par l’association de deux roulements. Dessin : Graphe de structure : Schéma d’architecture :

0

Sphérique de centre

A

1

Sphère-cylindre de

centre B et de

direction x

On pose .AB a x

,1/0 , 1/0

1/0 ,1/0

,1/0 ( , , )

0

0

LB LBx x B

LB LBy

LBzB x y z

v

V et ,1/0 ,1/0

1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0,1/0 ,1/0( , , ) ( , , )

00

0 .

0 .

LA LAx x

LA LA LA Ay y z

LALA LAyz zA x y z B x y z

a

a

V

Car le changement de point (transfert au point B) pour la liaison en A donne :

1/0 1/0 1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/00 . ( . . . ) . . . .LA LA LA LA LA LA LA LAB A x y z y zV V BA a x x y z a z a y

Or, comme les liaisons sont en parallèle : 1/0 1/0 1/0LB LA

Leq V V V V

donc : ,1/0 ,1/0, 1/0

1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0,1/0 ,1/0( , , ) ( , , )

0

0 .

0 .

LB LALBx xx BLB LA LA

Leq y y z

LALB LAyz zB x y z B x y z

v

a

a

V V

,1/0 ,1/0

,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0,1/0 ,1/0,1/0 ,1/0

, 1/0 ,1/0 ,1/0

,1/0 , 1/0

,1/0

00

0 00 0 0 0

0 . 0

0 .

LB LAx x

LB LA LB LAy y x x

LB LA xLB LAy yz z

LeqLB LB LAx B z z

BLA LBz x B

LAy

v

a v

a

V( , , )x y z

0 Rlt2

Rlt1

1

A B x x

équivalent à une liaison pivot d’axe ( , )B x



7) Loi entrée-sortie d’un mécanisme.

71) Définition d’une loi entrée-sortie.

On appelle loi d’entrée sortie d’un système mécanique, l’ensemble des relations entre les paramètres de position et d’orientation (ou de leurs dérivées) du « solide d’entrée » et ceux du « solide de sortie ». NB : le solide d’entrée est celui qui est mis en mouvement par l’actionneur de la chaine d’énergie.

Dans l'exemple de la pompe, le solide d'entrée est l'arbre, et le solide de sortie le piston. La loi entrée-sortie est donc la relation entre la vitesse de rotation de l’arbre et la vitesse de translation du piston.

La manière dont on obtient cette loi entrée-sortie dépend de la configuration de la chaine cinématique.

72) Chaînes de solides ouverte, fermée et complexe.

Chaîne ouverte. Chaîne fermée. Chaîne complexe.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est ouverte si les solides des extrêmes sont différents.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est fermée si le solide initial est le même que le solide final.

Une chaîne de solides 0, 1, 2… est complexe si elle comporte plusieurs chaînes ouvertes ou fermées.

L’exemple type est le robot : Le premier solide étant le bâti et le dernier, la pince.

Exemple : bras de robot.

NB : Dans ces systèmes, chaque liaison, pilotée par son propre actionneur, est appelée un axe. On parle alors de robots ou de machine trois axes, quatre axes, etc.…

Exemple : lève-barrière

Exemple : plate forme élévatrice

73) Caractéristiques géométriques ou paramètres.

Certaines caractéristiques géométriques (longueur de bielles…) du système sont invariantes et sont supposées connues. D’autres paramètres (angle de rotation d’un arbre…) permettent de caractériser les mouvements des solides les uns par rapport aux autres.

La loi entrée-sortie est une loi exprimant le(s) paramètre(s) de sortie du système uniquement en fonction du(des) paramètre(s) d’entrée et des caractéristiques géométriques invariantes du système, sans faire intervenir les paramètres de mouvement intermédiaires.



74) Détermination d’une loi entrée-sortie.

Quelque soit la méthode utilisée, il faut commencer par identifier le paramètre d’entrée et le paramètre de sortie du système afin de correctement cibler la loi entrée-sortie recherchée.

Typologie Démarche Résultat

Ch

aîn

e o

uv

ert

e

Cours 03 – Cinématique du

solide.

Utiliser le cours sur la cinématique du solide analytique ou graphique. Exemples : Bras de robot, vérin, manège, presse, lève-glace, hayon de véhicule…

Une loi entrée-sortie entre les coordonnées articulaires (c'est-à-dire les paramètres pilotant les actionneurs : moteurs, vérins…) et les coordonnées opérationnelles (c'est-à-dire les coordonnées d’un point de l’effecteur en bout de chaine : pince, outil…).

Ch

aîn

e f

erm

ée

Fermeture géométrique

liant les paramètres de

position.

Écrire la relation vectorielle de fermeture de la chaîne de solide. En général, cela consiste à écrire une relation de Chasles en passant par les points caractéristiques des différents solides tout en parcourant la chaîne fermée :

... 0AB BC CD PA .

En projetant cette équation sur les vecteurs unitaires d’une base unique judicieusement choisie de manière à faire apparaître tous les paramètres, on obtient : - 3 équations scalaires pour un système en mouvement spatial, - 2 équations scalaires pour un système en mouvement plan. On élimine enfin les paramètres intermédiaires en combinant les équations obtenues

) afin d’obtenir la relation d’entrée sortie

recherchée.

Une loi entrée-sortie en position,

ou

une loi entrée-sortie en

vitesse en dérivant cette relation.

Fermeture angulaire liant les paramètres d’orientation.

Écrire la relation angulaire de fermeture de la chaîne de solide :

0 1 1 2 0( , ) ( , ) ... ( , ) 0nx x x x x x .

On obtient ainsi 1 équation scalaire.

Produit scalaire constant de

deux vecteurs d’orientation.

Écrire l’équation qui traduit la particularité angulaire du système. Il s’agit en général de la conservation, imposée par certaines liaisons, d’une valeur angulaire lors du mouvement des solides du système.

.i jx x constante (0 si ce sont 2 vecteurs orthogonaux).

On obtient ainsi 1 équation scalaire. Exemple type : le joint de cardan.

Fermeture cinématique

En utilisant une écriture en ligne des torseurs cinématique, écrire la relation de composition des mouvements :

/0 / 1 2/1 1/0...n n n V V V V

A condition d’avoir exprimé tous les torseurs au même point, cette équation torsorielle permet d’obtenir 2 équations vectorielles :

- composition des vecteurs rotation ;

- composition des vecteurs vitesse.

Ce qui conduit à : - 6 équations scalaires pour un système en mouvement spatial ; - 3 équations scalaires pour un système en mouvement plan.

Pour obtenir la loi entrée-sortie recherchée, on peut résoudre ce système d’équations, ou alors écrire uniquement la relation qui lie le paramètre d’entrée au paramètre de sortie sans faire apparaître les paramètres « indésirables ».

Une loi entrée-sortie en vitesse,

ou

une loi entrée-sortie en

position en intégrant cette relation.

(En n'oubliant pas la

constante d'intégration qui se détermine pour une position particulière).



8) Les transformations de mouvements classiques. NB : - Pour tous ces systèmes, le mouvement d'entrée est généralement continu, alors que le mouvement

de sortie peut être, continu, alterné ou intermittent. - Lorsque l’entrée et la sortie peuvent être permutées, on dit que le système est réversible.

81

) B

ielle

-man

ivelle

.

Pièce 1 : manivelle (ou maneton ou vilebrequin)

Pièce 2 : bielle Pièce 3 : piston (ou coulisseau)

Transformation : Rotation continue en translation alternative (et réciproquement parfois). Réversibilité : parfois. Utilisation : Moteurs thermiques, compresseurs, certaines pompes et moteurs hydrauliques, marteau perforateur…

NB : Dans un moteur thermique ou une pompe, le bâti au niveau du piston s’appelle chemise ou cylindre.

Caractéristiques géométriques :

OB e BC L

Très souvent : L>>e (L>5.e suffit en général pour pouvoir faire cette hypothèse). Paramètres :

0 1( , )x x 0 2( , )x x 0.OC X x

82

) P

ign

on

-cré

maillè

re

Transformation : Rotation continue en translation continue (et réciproquement). Réversibilité : toujours. Utilisation : Porte de TGV, porte de garage, direction de voiture, bras manipulateur… Caractéristiques géométriques : Diamètre du pignon. Paramètres : Angle de rotation du pignon, et position de la crémaillère.

83

) V

is-é

cro

u.

Pièce 1 : vis

Pièce 2 : coulisseau (ou écrou)

Transformation : Rotation continue en translation continue. Réversibilité : parfois. Elle dépend des matériaux en contact et de l’angle de l’hélice. Ce système est toujours réversible lorsque l’on a interposition d’éléments roulants limitant le frottement. Utilisation : Vérins électriques, chariots de machine outil, pilote automatique, élévateur... Caractéristiques géométriques : Pas de la vis : p (mm) à droite

Paramètres : 0 1( , )x x 0.AB z



84

) C

roix

de M

alt

e.

Transformation : Rotation continue en rotation intermittente. Réversibilité : jamais. Utilisation : Plateau tournant de machine de transfert, indexage… Caractéristiques géométriques : Angle entre les différentes rainures, et rayon de l’ergot. Paramètres : Angle de rotation de l’ergot, et angle de rotation de la croix.

85

) E

xce

ntr

iqu

e.

Pièce 1 : excentrique

Pièce 2 : piston (ou coulisseau)

Transformation : Rotation continue en translation alternative. Réversibilité : jamais. Utilisation : Pompes hydrauliques, taille haie, certains mécanismes d’ablocage (blocage d’une pièce sur une table). Caractéristiques géométriques :

BC R OB e

Paramètres :

0 1( , )x x 0.OD X x 0.CD y

NB : L’excentrique est une came radiale circulaire

86

) C

am

e r

ad

iale

.

Même principe que l’excentrique : L’excentrique qui était un disque est remplacée par une pièce de forme aléatoire (la came). Le schéma est identique au précédent mais avec R variable (mais connu). Utilisation : Pompes hydrauliques, certains mécanismes d’ablocage, arbre à cames de moteur, ferme-porte…

87

) C

am

e a

xia

le.

Pièce 1 : came (ici un plateau incliné)

La came peut être un cylindre sur lequel est usinée

une rainure de forme quelconque.

Transformation : Rotation continue en translation alternative. Réversibilité : jamais. Utilisation : Pompes hydrauliques. Caractéristiques géométriques :

1 1( , ) ( , ) tanx x y y cons t OD R

Le plan ( , , )O x y définit le plateau.

Paramètres :

0 1( , )y y 0.CD X x



9) Les réducteurs et multiplicateurs de vitesse. Dans un système, l’énergie mécanique de rotation en sortie de l’actionneur est rarement directement utilisable par l’effecteur. Lorsque l’on souhaite adapter les caractéristiques cinématiques de cette énergie, on utilise un transmetteur permettant de réduire ou de multiplier la vitesse angulaire. On peut classer ces transmetteurs en deux grandes familles vis à vis de la technologie employée pour transmettre le mouvement :

ceux utilisant la transmission par adhérence : roue à friction (exemple : dynamo de vélo), dispositif poulie-courroie lisse (exemple : alternateur de voiture) ;

ceux utilisant la transmission par obstacle : dispositif poulie-courroie crantée (exemple : courroie de distribution d’une voiture), dispositif pignon-chaîne (exemple : vélo, moto), engrenages (exemple : boîte de vitesse).

91) Rapport de transmission, de réduction et de multiplication.

Le rapport de transmission d’un système est : /0

/0

e

s

i

(avec 0 le bâti).

Un rapport de réduction ou de multiplication est toujours supérieur à 1. Ainsi, pour un réducteur, le rapport de réduction est i et pour un multiplicateur, le rapport de multiplication est 1/i.

92) Transmission par adhérence : roues à friction.

Schémas normalisés :

0x

A

Roue menante 1 O1

0x

A

0y

A

1x

2x

1

O2

2

O1

O2

0y

A

0z

A

0z

A

I

R1

R2

Roue menée 2

I

ressort

presseur

Principe : Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linéique. L’adhérence au contact des deux roues permet de transmettre le mouvement d’entrée (roue menante 1) à la roue de sortie (roue menée 2). Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans glissement en utilisant : - un couple de matériaux avec un fort

coefficient d’adhérence ;

- un effort presseur entre les deux roues.

Utilisation : Transmissions de faible puissance (petits appareils portables comme des baladeurs), ou dans des variateurs de vitesse. Caractéristiques géométriques :

Les rayons des roues : 1R et 2R .

Paramètres :

Les angles définissant les positions angulaires des roues : 0 1 1( , )x x et 0 2 2( , )x x .

Rapport de transmission :

La condition de roulement sans glissement en I (CIR de 2/1) s’exprime par : 2/1 0IV soit 2/0 1/0I IV V

Donc 2/0 2 1/0 1. .R R (Le signe négatif indique que le sens de rotation est inversé par ce type de transmetteur).

Nb : si 2 1R R alors 2/0 1/0

On en déduit le rapport de transmission 1/0 1 2 2

2/0 1 12

R Di

R D

Cette solution reste limitée car elle nécessite des pressions de contact importantes pour assurer le roulement sans glissement en I. Pour pallier cette difficulté, on réalise des transmissions par obstacle (voir paragraphe suivant).



93) Transmission par obstacles : engrenages.

0x

A

O2 0x

A

0y

A

2x

1x

2

θ2

1 O1 θ1

O2

O1

0y

A

0z

A

0z

A

2

1

I I

D2

D1

Utilisation : Transmissions de faible et forte puissances. Applications : de la montre à la boite de vitesse automobile. Caractéristiques géométriques :

Les rayons des roues dentées : 1R et 2R .

Paramètres :

Les angles définissant les positions angulaires du pignon et de la roue : 0 1 1( , )x x e t 0 2 2( , )x x .

Terminologie.

Engrenage, pignon, roue et couronne.

Un engrenage est constitué de deux roues dentées. On appelle la petite le pignon et la grande la roue (ou couronne si c’est un engrenage intérieur).

Diamètres primitifs.

La forme des dents assure le roulement sans glissement au point de contact I des cercles fictifs de

diamètres 1D et 2D .

Ces cercles sont appelés cercles primitifs. Ils correspondent aux profils des roues de friction qui assureraient le même rapport de transmission.

Pas primitifs. Le pas primitif correspond à la longueur de l’arc de cercle primitif compris entre deux dents successives. Pour garantir l’engrènement, les pas primitifs des deux roues dentées doivent être égaux.

1 2

1 2

2 . 2 .R Rpas

z z

(où 1z et 2z sont les nombres de dents des roues de diamètre primitif 1D et 2D ).

On en déduit que : 1 2

1 2

R R

z z et donc aussi que 1 2

1 2

D D

z z .

Module. Ce dernier rapport caractérise la forme de la dent. Il est appelé module (symbolisé m).

Pour une roue donnée : D

mz

(unité en mm) et .pas m

Donc deux roues qui n’ont pas le même module ne peuvent pas engrener car leur pas est différent.

Rapport de transmission. La condition de roulement sans glissement au point de contact I entre les deux cercles primitifs permet d’obtenir :

le rapport de transmission 1/0 1 2 2 2

2/0 1 1 12

R D zi

R D z

.

Pignon 1 z1 dents

Roue 2 z2 dents

I D1

D2

m=4mm z=15dents

m=0,5mm z=120dents



Différents types d’engrenages.

Engrenage cylindrique extérieur ou intérieur (à denture droite ou hélicoïdale). Contact extérieur (avec son dessin normalisé) Contact intérieur (avec son dessin normalisé)

Denture droite Denture hélicoïdale Jumelé avec dentures hélicoïdales inversées Denture à chevrons

Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres à axes parallèles.

Cas particulier pour denture droite : Ce sont les plus simples et les plus économiques. Comme leurs dents sont parallèles aux axes de rotation, ils peuvent admettre

des déplacements axiaux. Ils sont bruyants.

Cas particulier pour denture hélicoïdale : NB : Les deux roues à denture hélicoïdale doivent avoir leurs hélices de sens opposés pour engrener ensembles. Le nombre de couple de dents en prise étant plus important, l’engrènement est donc plus progressif et plus continu : ils sont donc

plus silencieux et peuvent transmettre un effort plus important. Employé seul, cet engrenage génère des efforts axiaux (pour compenser cet effort, on utilise un jumelage de 2 engrenages à

dentures hélicoïdales inversées ou alors des roues à chevrons).

Engrenage conique (à denture droite ou hélicoïdale). Denture droite Denture hélicoïdale Dessin normalisé

Ils transmettent un mouvement de rotation entre des arbres à axes concourants perpendiculaires ou non.

Les arbres sont en porte à faux. Ils génèrent des efforts axiaux. Les sommets des cônes doivent coïncider.

NB : Pour déterminer le rapport de transmission, on prendra le nombre de filets pour la vis.

Engrenage à roue et vis sans fin (appelé aussi engrenage à vis). Vis sans fin

avec roue cylindrique Vis sans fin

avec roue creuse Vis globique

avec roue creuse Dessin normalisé

Vue de coté Vue de face

Avec roue

cylindrique

avec roue

creuse

Transmission entre arbres à axes non concourants. Irréversibilité possible sécurité anti-retour (utile quand le récepteur peut

devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de réduction (entre 5 et 150). L’engrènement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte

un effort axial important. Afin d’augmenter la surface de contact des dentures, on utilise très souvent des systèmes à roue creuse. (ou mieux encore une vis globique, mais le coût de la vis est important).



Schémas normalisés.

NB : Les cercles représentés sur le schéma cinématique correspondent aux cercles primitifs des roues.

Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train simple.

Pour augmenter le rapport de réduction ou de multiplication, on peut associer plusieurs engrenages en série. On parle alors de trains d’engrenages. Lorsque les axes des différentes roues ont tous une position invariable par rapport au bâti, on parle de « train simple ».

On qualifie de « train épicycloïdal » lorsqu’un des axes des différentes roues a une position variable par rapport au bâti au cours du fonctionnement (voir paragraphe suivant).

Exemples courants de réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train simple :

2 engrenages extérieurs 3 engrenages extérieurs 1 engr. extérieur + 1 engr. intérieur

/0 /0 2/0 2'

/0 2/0 /0 2''

. ( ).( )e e s

s s e

zzi

z z

/0 /0 2/0 3/0 32'

/0 2/0 3/0 /0 2'' 3

. . ( ).( ).( )e e s

s s e

z zzi

z z z

/0 /0 2/0 2'

/0 2/0 /0 2''

. ( ).( )e e s

s s e

zzi

z z

Ainsi, le rapport de transmission peut être déterminé à l’aide de la relation suivante, où n correspond au nombre de contacts ou engrenages extérieurs entre roues :

/0

/0

Produit du nombre de dents des roues menées( 1) .

Produit du nombre de dents des roues menantes

ne

s

i

le ( 1)n donne le sens de rotation entre les axes d’entrée et de sortie (il est donc utilisé seulement si ces axes sont parallèles)

Dans un engrenage, on qualifie de « roue menante » une roue motrice, et de « roue menée » une roue

réceptrice. Dans le 2ème

exemple, on qualifie la roue 3 de « roue folle ». Cette roue est à la fois menante (de

la roue s) et menée (par la roue 2’’), son rôle est de changer le sens de rotation.

Vis sans fin + roue creuse

Engrenage cylindrique extérieur et intérieur

Engrenage conique

Pignon-crémaillère



Réducteurs ou multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal.

Inconvénients des trains simples. - les arbres d’entrée et de sortie ne sont pas coaxiaux ;

- pour des raisons de géométrie, le rapport de réduction ou multiplication d’un seul couple de roues

dentées est généralement limité à 7 ;

- l’utilisation de trains simples à plusieurs étages permet de combler ces problèmes mais cette solution devient rapidement encombrante et lourde.

Inconvénients des engrenages à roue et vis sans fin. - les arbres d’entrée et de sortie ne sont pas coaxiaux ; - le rapport de réduction ou multiplication d'un engrenage à roue et vis sans fin peut atteindre 150,

malheureusement son rendement n’excède pas les 60%.

Avantages des trains épicycloïdaux. - , les trains épicycloïdaux ont l’arbre d’entrée et de sortie coaxiaux ; - le rapport de réduction ou multiplication est élevé dans un encombrement faible.

Définition d’un train épicycloïdal.

Un train épicycloïdal est composé “d’organes rotatifs” dont au moins un élément “le satellite” est susceptible de prendre deux mouvements de rotation indépendants : une rotation autour de son axe (rotation propre) et une rotation par rapport à l’axe général du système.

Planétaires, satellites et porte satellites.

O1 A 4

Re

4

1 1

2 2 3

3

O3 O4

O2

B

Satellite 2

Planétaire 1

Planétaire 3

Porte satellites 4

Porte satellite 4 Il s’agit d’une pièce en rotation par rapport au bâti sur laquelle sont montés le ou les satellites.

Satellite 2 Il s’agit de roues dentées en rotation par rapport au porte satellite. Leur axe de rotation n’est donc pas fixe par rapport au bâti.

Planétaires 1 et 3 Les planétaires sont des roues dentées (pignon ou couronne) qui engrènent avec le ou les satellites.

1

2’’

2’’

3

4

0

1 2’’

2’’ 3

4

0

1

2’’

2’’ 3

4

0

1

2

4

0

3

NB : Dans les trains épicycloïdaux de type II, III et IV le

satellite 2 est appelé satellite

double.



Condition géométrique entraînant une relation sur le nombre de dents des différents éléments. Exemple pour un train épi. de type I : 3 1 22.D D D 3 1 22.z z z

Exemple pour un train épi. de type II : 1 2' 2'' 3R R R R 1 2' 2'' 3z z z z

Loi entrée-sortie : Relation de Willis. Pour déterminer la loi entrée-sortie d’un train épicycloïdal, on utilise la relation de Willis :

. /0 . /0 . /01 0Pla A Pla B Po Sa avec

. /0

. /0

. /0 0Po Sa

Pla A

Pla B

Pour mieux retenir cette relation, on peut s’apercevoir que la somme de ces coefficients est nulle :

1 ( 1) 0 .

Pla A planétaire A Pla B planétaireB Po Sa porte satellite

: raison de base du train épicycloïdal. C’est une constante qui correspond au rapport de transmission du

train d’engrenage simple obtenu si on immobilise le porte satellite. Cette constante se détermine sans tenir compte du fait que certaines pièces sont bloquées ou ont

une vitesse imposée !!

L’utilisation d’un train épicycloïdal nécessite d’imposer la vitesse angulaire par rapport au bâti de deux des

trois entrées possibles ( . /0 . /0 . /0,Pla A Pla B Po Saou ).

Cependant dans la pratique, on fixe souvent un des deux planétaires ( . /0 . /00 0Pla A Pla Bou ) et on

impose la vitesse de rotation d’entrée à l’autre planétaire ( . /0 . /0Pla A Pla Bou ). La troisième, la sortie

donc ( . /0Po Sa généralement), est alors donnée par la relation de Willis en prenant en compte la vitesse

nulle de l'entrée bloquée.

NB : L’utilisation de plusieurs satellites (voir exemple ci-contre) ne modifie pas le comportement cinématique du train, mais permet de mieux répartir les efforts.

Exemple du réducteur ATV. Ci-dessous le schéma cinématique du réducteur ATV (avec 1 2' 2'' 3166, 160, 164, 170z z z et z ).

La relation de Willis s’écrit : 1/0 3/0 4/0. 1 . 0

avec

4/0

01/0 32'

3/0 1 2''0

( 1) . . 0,9991zz

z z

Or 1/0 0 , 3 s et 4 e .

Ainsi la relation de Willis s’écrit : /0 /00 . 1 . 0s e

soit : /0

/0

11331

e

s

c’est à dire un rapport de réduction très important.

Les équations géométriques peuvent se substituer aux

équations avec le nombre de dents si et seulement si les modules des

2 engrenages sont égaux.



94) Transmissions par lien flexible (pignons-chaîne, poulies-courroie).

Les liens flexibles sont particulièrement avantageux lorsqu’il s’agit de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes parallèles très distants. NB : Attention les roues ou poulies tournent dans le même sens (contrairement aux engrenages).

Ainsi 1/0 1 2 2

2/0 1 12

R Di

R D

Pignons-chaîne.

Schéma normalisé :

Avantages et inconvénients :

Transmission de couples très importants.

Aucun glissement.

Bruyant et nécessite une lubrification.

Poulies-courroie.

Schéma normalisé :

La transmission de puissance par poulie-courroie se fait par l’intermédiaire de l’adhérence entre la courroie et la poulie. Avantages et inconvénients :

Rigidité en torsion assez faible, ceci permet leur utilisation lorsque les axes

des poulies ne sont pas parallèles (possibilité d’utiliser des galets intermédiaires).

Solution économique. Fonctionnement silencieux. Amortissement des à-coups grâce à l'élasticité des courroies.

Matériaux des courroies non adaptés à des conditions difficiles (température

élevée par exemple). Durée de vie limitée. Nécessite une surveillance périodique en vue du remplacement de la courroie. Glissement (sauf pour courroie crantée).

modélisation cinématique des...

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