communications numériques cn21 4. récepteur … · 3 canal mobile et performances en diversité....

GET / INT / R.Lamberti Communications numériques F4 1

14/11/07

CC oo mm mm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11

4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.

1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur.

2 Zones et seuils de décisions.

3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté.

4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.

5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.

2 Cas M-aire. Borne de l’Union.

3 Canal Mobile et Performances en Diversité.

6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.

1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.

2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.

3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage


14/11/07

ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur

Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la Evaluation de la ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééé dddddddd ’’’’’’’’Erreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RErreur RéééééééésiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduellesiduelleDu RDu RDu RDu RDu RDu RDu RDu Réééééééécepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABGcepteur Optimal BABG

ResteResteResteResteResteResteResteReste--------tttttttt--------il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!il des bits faux ?!


14/11/07

Détection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’ErreurDétection au Minimum de Probabilité d’Erreur

{ }( ) { }( )min Pr max PrErr Dc=

Détection symbole par symbole

Fonctionnement : si iZ∈z ⇒⇒⇒⇒ décide symbole n° i .

{ } { }Pr PrErs Dc= 1−

{ } ( ){ } { }Pr Pr / PrM

i i ii

Dc Z H H

=1= ∈ ⋅∑ z

( )/ ip Hz loi Gaussienne centrée sur is

( )//

/ exp ( ) ( )( )

Hi i b iN

b

p Hπ

−11 22

1 1 = − − ⋅ ⋅ − 2 2z z s R z s

R

Z1Z2

s1s2

ϕϕϕϕ3

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ1

zk b

{ } ( )( ) { } ( )( )/ PrPr ,

i i

M M

i i i b i

i iZ Z

D p Hc H p⌠ ⌠ ⌡ ⌡=1 =1

= ⋅ = ⋅∑ ∑z s RN

M Hypothèses : iH = {le symbole ( ) ( )k ig t s t= }


14/11/07

Calcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par SymboleCalcul de la Probabilité d’Erreur par Symbole

( )( ) ( )( )/

, ,b bb

Zd

d ddz

NQ Qσ

σ1

⌠⌠ ⌡

⌡

+∞2

21 1

0− 2

− = 0 = = − 2 2

s RN N

⇒⇒⇒⇒ { } ( ){ } { }Pr Pr / M

i i i

i

dDc Z H p p p

NQ

2

1 20=1 =1

= ∈ ⋅ = − ⋅ + 2

∑ z��

{ } { }Binaire

Pr Prd

Ers DcN

Q2

0

= 1− = 2

Fonction de Marcum ( ) e e

uux du du

xx

Qπ π

σσ σ

σ

2⌠⌠ ⌡ ⌡

2+∞2+∞ −−1 1 222 2

= =

( )Q −∞ = 1 ( ) /Q 0 = 1 2 ( )Q +∞ = 0 ( ) ( )x xQ Q− = 1 −

Cas Binaire équiprobable (bissectrice à /d 2)

Z1Z2

s1s2

ϕϕϕϕ3

ϕϕϕϕ2

ϕϕϕϕ1

zk b

d

on intègre sur le demi espace

Bruit à Composantes indépendantes : b b Nσ 2=R I bNσ 2 0=2


14/11/07

Fonction de Marcum ( ) e e

uudu

x

x du

x

Qπ πσ

σ

σσ

2⌠

⌠

⌡

⌡

2+∞−

2+∞122

21 2−

= =

( )Q −∞ = 1 ( ) /Q 0 = 1 2 ( )Q +∞ = 0 ( ) ( )x xQ Q− = 1 −

Fonction d’Erreur eErfc eu

x

u

x

dux

duσ

σσ σ ππ

2

22⌠⌡

⌠⌡

+2

2

∞ +∞

2

−−11 1

2 21

= =

2

( ) ( )Erf Erfc ex

ux x du

π2⌠

⌡

−1 2= − =2 0

( )Erfcx xQ σσ

1 = 2 2

( )Erfc1 −∞ = 12

( )Erfc1 10 =2 2

( )Erfc1 +∞ = 02

−3 −2 −1 0 1 2 3

( )Q 0.15871 =

( )Q 0.0222 = 8

( )Q 0.001353 ≈

( )Q 3.2 −54 ≈ ⋅10

( )Q .3 −127 ≈ 1 ⋅10

d dN N

Q Q2 2

0 0

2>> 2 2

Décroissance très rapide


14/11/07


Erreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs RErreurs Réééééééésiduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations siduelles des Modulations MMMMMMMM--------airesairesairesairesairesairesairesaires

les plus les plus les plus les plus les plus les plus les plus les plus éééééééélllllllléééééééémentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.mentaires.Cas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans mCas sans méééééééémoire moire moire moire moire moire moire moire àààààààà BABG BABG BABG BABG BABG BABG BABG BABG

Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Formules simples ?!Courbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes dCourbes d’’’’’’’’ErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreurErreur


14/11/07

Probabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par SymboleProbabilité d’Erreur par Symbole

Rei j i jij i j s s i j s sd E E E E

22 = − = + − 2 ⋅ = +s s s s

si même énergie s i i iiE E p E= ⋅ =∑ si équiprobables s iiM

E E1= ⋅∑

Binaire Orthogonaux ,2 1s s même énergie

{ } { }Pr Prd

Ers DcN

Q2

0

= 1− = 2

sd E212 = 2 et bd E2

12 = 2 ( s bD D= )

{ } { }Pr Pr bEErs ErbN

Q0

= =

Binaire Antipodaux 2 1= −s s même énergie

s bd E E22

12 1= 4 ⋅ = 4 ⋅ = 4 ⋅s si s bD D=

s1s2 0

d

{ } { }Pr Pr bEErs ErbN

Q0

2= =

meilleur que les orthogonaux

d

s2

s10


14/11/07


MMMM----aire Antipodauxaire Antipodauxaire Antipodauxaire Antipodaux (PAM)(PAM)(PAM)(PAM) Equiprobables

{ }, , , ( )i A A M A∈ ± ± 3 ± −1s ⋯

/ logs bD D M2=

{ } { }Pr Pr c /M

i

i

Ers D HM

=1

1= 1− ⋅ ∑

M – 2 cas où : { } ( ) ( )Pr , /

A

A

Dc dz Q Aσ σ⌠⌡

+2

−

= 0 = 1− 2N

{ }Pr ( )A A

Ers M Q QMσ σ

1 = 1− − 2 1− 2 + 2 1− ⋅

{ }Pr ( )A M A

Ers M M Q QM Mσ σ

1 −1 = 1− + −1 2 ⋅ = 2

{ } logPr bE MMErs Q

M N M

220

6−1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ −1

Exemple avec Aσ 2 = = 1 , M = 6 et / . dBbE N0 = 6 5

Nσ 2 0= 2 sME A22 −1= ⋅3

logs

b sb

D ME E AD M

2

2

2 −1= = ⋅3⋅

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

( )Z +1 ( )Z +5

2 cas où : { } ( ) ( )Pr , /

A

Dc dz Q Aσ σ⌠⌡

+∞2

−

= 0 = 1−N


14/11/07

Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole Probabilité d’Erreur par Symbole et aussi par Bitet aussi par Bitet aussi par Bitet aussi par Bit

MMMM----aire Antipodaux aire Antipodaux aire Antipodaux aire Antipodaux (PAM)(PAM)(PAM)(PAM) Equiprobables

Probabilité d’Erreur sur les symboles

{ } log logPr Erfcb bE EM MM MErs Q

M N M NM M

2 22 20 0

6 3−1 −1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −1 −1

Probabilité d’Erreur sur les bits Pr( )Pr( ) Pr( )

log

ErsErb Ers

M2≤ ≤

Avec codage de GRAY mM = 2 et logm M2=

111 110 100 101 001 011 010 000−7 −5 −3 −1 1 3 5 7

{ } logPr Erfc bE MMErb

m M N M

220

3−1≈ ⋅ ⋅ ⋅ −1

Un seul bit change entre plus proches voisins


14/11/07

Suite iid => Taux d’erreur = Pr Erreur Symbole

{ } logPr bE MMErs Q

M N M

220

6−1= 2 ⋅ ⋅ ⋅ −1

P( )P( ) P( )

log

ErsErb Ers

M2≤ ≤

0 5 10 15 20 25 30 3510

−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Eb/No (en dB)

Pr(Err/bit)

Pr(Err/symbole)

MIA-2

MIA-4

MIA-8

MIA-16

MIA-32

Courbes de taux d'erreur fonction du rapport Signal à Bruit (Normalisé en Energie par Bit).

Probabilité d’Erreur par Symbole MIA-M (M-PAM)


14/11/07


Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Approximation de la Borne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de lBorne de l ’’’’’’’’UnionUnionUnionUnionUnionUnionUnionUnion

Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!Pour faire plus simple ?!


14/11/07


(cas iZ compliquées) Borne de l’Union = majoration grossière mais simple

Principe : Se ramener au cas de Détection Binaire

Z1

s2 Z2

Z2(1,2)

Z3

s3

s1

Z1(1,2)

Deux Zones ( , )i jiZ et

( , )i jjZ

⇒ { }Binaire

Prijd

ErsN

Q2

0

= 2

{ } { } { } { }Pr Pr rs/ Pr Pr /M M

i i i i i

i i

Ers E H H Z H p

=1 =1= ⋅ = ∉ ⋅∑ ∑ z

{ }j i

Pr / Pr /i i j iZ H Z H

≠

∉ = ∈

z z ∪�

( , )

j i j i

disjointes recouvrantes

i jj jZ Z

≠ ≠=

��

∪ ∪

{ } { }( , ) ( , )

j i

Pr rs/ Pr / Pr /i j i j

i i ij jj i

E H Z H Z H

≠≠

= ∈ ≤ ∈

∑z z∪

{ } { }Pr PrM

iji

i j i

dErs H

NQ

2

0=1 ≠

≤ ⋅ 2

∑ ∑ Termes Prédominants = Voisins Immédiats

Probabilité d’Erreur sur les Bits ⇔ Distance de Hamming


14/11/07

Borne de l’Union Exemple du PAM

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

( )Z +1 ( )Z +5

Pour is deux voisins immédiats à la même distance ijd d=

{ }Pr / id dErs HN N

Q Q2 2

0 0

4≤ 2 ⋅ +2 ⋅ + 2 2 termes négligeables

⋯

��

Avec codage de GRAY : Hammingd = 1 pour les voisins

100 110 111 101 001 011 010 000−7 −5 −3 −1 1 3 5 7

{ }Pr / id dErb HN N

Q Q2 2

0 0

4≤ 2 ⋅ ⋅1 + 2 ⋅ ⋅ 2 + 2 2 termes négligeables

⋯

��

{ } ( )Pr d dErb MN M N M

Q Q2 2

0 0

1 1≤ − 2 ⋅ 2 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 2 2

{ } ( )Pr

M dErbM N

Q2

0

2 −1≤ ⋅ 2


14/11/07

Borne de l’Union. Exemple signaux M-aire Orthogonaux

d

d

d

s3

s2

s1

Tous à la Même Distance 2d

Tous Voisins

si E=2s

��0

2222

=

⋅−=−= jisjiij ReEd ssss

Codage de GRAY impossible.

Distance de Hamming Moyenne : MMMd moy 2H log

12/ ⋅−=

{ } /Pr chaque bit différent MM

2= −1

{ } HPr /M

i moy

j

dErb H dN

Q−1 2

0=1

≤ ⋅ 2 ∑ { } ( ) { }H

Pr ( ) PrM

imoyi

dErb M d HN

Q2

0=1≤ −1 ⋅ ⋅2

⋅∑

Si équiprobables { }MiH 1Pr = et logs bd E E M2

2= 2 = 2 ⋅

{ } /Pr logd MMErb M MM N M

Q2

20

2−1≤ ⋅ ⋅ ⋅ 2 −1 { }Pr log logbEMErb M M

NQ2 2

0

≤ ⋅ ⋅ 2


14/11/07


Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :Conclusion :On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples On a quelques formules simples qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les qui permettent de comparer les performances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulationsperformances des modulations


14/11/07

ProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitProbabilitéééééééééééé dddddddddddd ’’’’’’’’’’’’Erreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal MobileErreur sur Canal Mobile

Canal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal MobileCanal Mobileparamparamparamparamparamparamparamparamèèèèèèèètrestrestrestrestrestrestrestres

Canal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighCanal de RayleighModModModModModModModModèèèèèèèèle discretle discretle discretle discretle discretle discretle discretle discretPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformancesPerformances

DiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitDiversitéééééééé


14/11/07

Canal Canal Canal Canal Mobile = Mobile = Mobile = Mobile = DispersifDispersifDispersifDispersif, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences, Sélectif en Fréquences ( , )H f t

Bande de Cohérence / Temps de Dispersion

cB = Largeur de bande sur laquelle on peut considérer que le canal est constant.

dT = Temps pendant lequel on reçoit les échos (trajets) d’une impulsion.

( )n tτEchos d’une Impulsion

dT

/d cT B1∼ Temps de dispersion ∼∼∼∼ inverse de la Bande de Cohérence

Étalement Doppler / Temps de Cohérence

Sinusoïde à un seul trajet

⇒ Reçoit sinusoïde à dv

f f f fc

0 0 0 + ⋅ = +

v vitesse relative incidence (ex : 36 km/h=10m/s Hzdf = 33 pour GHzf0 = 1 )

Sinusoïde à f0 , ( )tφ uniforme ⇒ Reçoit DSP

( )( )

/r

d

csteS f

f f2

=1−

en BdB

( )r

d

S f

f fo

f

2

1= −1−

DSP

df− dff0

(modèle de Jakes 74)

/c dT f1∼ Temps de Cohérence ∼∼∼∼ inverse du Décalage Doppler

Cohérence (ou maintient) des propriétés statistiques du canal.

dB

dT

( , )sP ν τ


14/11/07

distance m

Canal Sélectif en Fréquence ( , )H t f Time variant Transfert Function

/c dB T= 1/c dT B= 1

Change tout le temps⇒⇒⇒⇒ Egaliseurs Adaptatif

Canal Non Sélectif en Fréquence (Flat-Fading) ( , ) ( , )H t f H t f0=


Fadings Évanouissements

( , ) ( , ) ( , ) e u( )TF

jH t f c t t

ω ττ α τ τ0−= ⋅ ⋅⇌

Modèle Bande Étroite (Rayleigh)

( , ) ( ) ( )TF

H t f c t δ τ0 ⋅⇌


14/11/07

Canal non Dispersif, non Sélectif (Flat-Fading)

Toutes les fréquences sont affaiblies de la même façon.

cB Bande de Cohérence du canal > Largeur de bande du signal

Amplitude du signal varie au cours du temps (fading)

( )

( )( ) ( )e ( ) ( )j tr t t s t n tφα= ⋅ +��c t

Canal de Rayleigh = multitude de trajets indépendants, pas de trajet prédominant.

( )c t gaussien complexe

( )tφ suit une loi uniforme

( )a t suit une loi de Rayleigh

( )( ) exp ux x

p x xα σ σ

2

2 2

= ⋅ − ⋅ 2

Canal de Rice = Rayleigh + 1 trajet dominant (souvent le trajet direct)

( ) ( ), ,H t f H t f0=

( , ) ( ) ( )TF

H t f c t δ τ0 = ⋅

Signal

Processus Gaussien Complexe

BABG (AWGN)

Bruit Additif

Blanc Gaussien

DSP N0/2 ( )c t

( )r t

Processus Gaussien

Complexe BABG (AWGN)

MoD

em

ncn bd End

n n n b nz c d E b= ⋅ +

nbModèle discret (temps n)


14/11/07

CCaannaall ddee RRaayylleeiigghh Performance en MDP2

e njn nc

φα=

gaussien complexe (variance σ 22 )

Énergie par bit émise /b e bE P D= Énergie par bit reçue ,b n n b n bE c E Eρ2 2= ⋅ = ⋅

Bruit reçu Gaussien complexe : n pn qnb b j b= + ⋅ variance b Nσ 20= ( )N N0 0

2 2+

Rapport signal à bruit Instantané : ,b n n b bn n

b

E c E E

N Nγ α

σ

22

20 0

= = = ⋅ .

Récepteur optimal BABG projette sur le Signal Reçu sans bruit soit nc

Le récepteur Estime e njn nc

φα=

Puis Projette (filtre Adapté) ⇒ n n n n n b nr z c c d E b

2∗= ⋅ = ⋅ ⋅ +

nc∗

nzcanaldétection

ˆnd

estimation

Puis Détecte l’amplitude de la MDP2 (Idem MAQ, MIA-M)

Si les gains e njn nc

φα= restent identiques n∀ ⇒ { } ( )Pr / n

n

M dErs c

M NQ

2

0

2 −1 ≤ ⋅ 2

Processus Gaussien

Complexe BABG (AWGN)

M

oD

em

ncn bd End

n n n b nz c d E b= ⋅ +

nb


14/11/07

Canal de Rayleigh Calcul de la Probabilité d’Erreur

( ) ( )k sks t d g t kT= −∑ MIA-2 MDP-2 { }kd ∈ ±1 n n n n n n s nr c s b c d E b= ⋅ + = ⋅ +

{ } ( )Pr / n bn n n

d EErs c Q Q Q

N Nα γ

22

0 0

= = 2 = 2 2

e njn nc

φα= gaussien complexe (variance σ 2 )

nφ loi uniforme nα loi de Rayleigh ( )( ) exp ux x

p x xα σ σ

2

2 2

= ⋅ − ⋅ 2

S/B Instantané : ,b n n bn

b

E E

N

αγσ

2

20

= = loi exponentielle ( )( ) exp un

xp x xγ γ γ

1= ⋅ − ⋅

S/B Moyen : { } bn

EE

Nγ σ γ2

0= 2 ⋅ ≜

Canal à variations lentes /s c dT T B1≪ ∼ ⇒ Gains e njn nc

φα= varient lentement pr sT

Moyenne sur les variations { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxαα= =∫

{ } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫


14/11/07

e njn nc

φα= gaussien complexe (variance σ 2)

nφ loi uniforme

nα loi de Rayleigh

( )( ) exp ux x

p x xα σ σ

2

2 2

= ⋅ − ⋅ 2

S/B Instantané : ,b n n bn

b

E E

N

αγσ

2

20

= =

loi exponentielle

( )( ) exp un

xp x xγ γ γ

1= ⋅ − ⋅

S/B Moyen : { } bn

EE

Nγ σ γ2

0= 2 ⋅ ≜

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

σ 2 =1

σ 2 = 2

σ 2 = 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

γ =1

γ = 2

γ = 3


14/11/07

Canal de Rayleigh Calcul de la Probabilité d’Erreur

Moyenne sur les variations { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫

{ } ( )Pr expx

Ers Q x dxγ γ

+∞

0

1= 2 ⋅ ⋅ − ⋅

⌠⌡

bE

Nγ σ 2

02 ⋅≜

{ }Pr Ersγγ

γ γ→∞ 1 1= 1− → 2 1+ 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Pr(Err)

−1010

−810

−610

−410

−210

1

/ (dB)bE N0

Idéal BABG

Rayleigh

Particularités

Estimation impérative des gains cn

Performances très mauvaisespar rapport au canal Constant

Mobiles ⇒⇒⇒⇒ Signaux peu puissantsEb/N0 faible

⇒⇒⇒⇒ Diversité

{ }Pr maxiErs −2≈ 10


14/11/07

Canal de Rayleigh Probabilité d’Erreur

2-PSK cohérente { }Pr Ersγγ

γ γ→∞ 1 1= 1− → 2 1+ 4

2-FSK cohérente{ }Pr Ers

γγγ γ

→∞ 1 1= 1− → 2 2 + 2 2-DPSK

{ } ( )Pr Ers

γγ γ

→∞1 1= →2 1+ 2

2-FSK non cohérente

{ }Pr Ersγ

γ γ→∞1 1= →

2 +

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Pr(Err)

−810

−610

−410

−210

1

/ (dB)bE N0

Idéal BABG 2PSK

Rayleigh

2FSK2DPSK

2PSK

2FSK Dét non Cohérente

La détection différentielleou non cohérente

évite l’estimation des phases

Modulations

Binaires

Simples

{ }Pr Ers −2≈ 10 ⇒⇒⇒⇒ Diversité

Modulations à nombre d’étatsplus élevés sont possiblesmais moins performantes


14/11/07

Canal à trajets multiples Diversité

Principe : Transmettre plusieurs fois la même informationsur des canaux différents (indépendants).

Utilisée pour palier les évanouissements (canal à fading lent GSM)

Ex : 100kbit/S = 10µs

1m ~ affaiblissement profond, à 10m/s (36 km/h) ⇒ 10 000 bits erronés. (10% du temps)

Entrelaceur répartit les erreurs ⇒⇒⇒⇒ Mauvaises performances globales

Techniques :

� Diversité de Temps (coefficients cn indépendants espacés de plusieurs Tc )


� Diversité de Fréquence (canaux indépendants si espacés de plusieurs Bc )� Diversité d’Espace (plusieurs antennes écartées de plusieurs λλλλ0 )

� Diversité de direction (plusieurs faisceaux d’antenne)� Diversité de polarisation


14/11/07

nc

n cd E

n n n c nz c d E b= ⋅ +

nb

Un seul canal

nc∗

nzcanaldétection

ˆnd

estimation

Récepteur optimal cohérent (max S/B) ⇔⇔⇔⇔ Maximal Ratio Combiner (MRC Brennan 59)

Som

mateur et décision

ˆnd

,nc∗

1,nz 1Canal 1

estimation

,n lc∗,n lz

Canal l

estimation

,n Lc∗,n Lz

Canal L

estimation

n cd E

n cd E

n cd E

Signal reçu

, , ,Tn n n l n Lz z z1 = z ⋯ ⋯

n n c n nd E= ⋅ +z c b

, , ,Tn n n l n Lc c c1 = c ⋯ ⋯

Récepteur optimal min Erreursˆ tel que minn i n i c n

id Eα α

2= −z c

soit ( ){ }max Re Hi n c n n

iEα 2 − 2 ⋅c c z

soit estimation des gains puisprojection, partie réelle et comparateur à seuils

ou détection du signe en binaire { }nd ∈ ±1

Plusieurs fois la même information sur des canaux indépendants

Canal à trajets multiples Diversité


14/11/07

Canal de Rayleigh Diversité d'ordre LEx MDP2 { }nd ∈ ±1 n n c n nd E= ⋅ +z c b

Som

mateur et décision

ˆnd

,nc∗

1,nz 1Canal 1

estimation

,n lc∗,n lz

Canal l

estimation

,n Lc∗,n Lz

Canal L

estimation

n cd E

n cd E

n cd E

Distance entre les signaux reçus sans bruit c nd E22 = 4 c

Probabilité d’erreur canaux fixés :

{ } ( )Pr / cn n n

EdErs Q Q QN N

γ2 2

0 0

= = 2 = 2 2

c c

Proba d’erreur moyenne : { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫

Rapport S/B , ,

L Lc c

n n n l n l

l l

E Ec

N Nγ γ

22

0 0=1 =1= = =∑ ∑c

Comparaison au cas sans diversité à même puissance émise : , ,b

n n l n lc

EL

Eγ γ γ= ⋅ = ⋅ .

Loi du S/B : ,

L

n n ll

γ γ=1

= =∑ somme de variables indépendantes de même lois exponentielles,

de moyenne cE

Nγ σ 2

0= 2 ⋅ .

( )( )

, , ,( ) exp u

!n n n n L

L

L

x xp x p p p x

Lγ γ γ γ γγ1 2

−1 = ∗ ∗ ∗ = ⋅ − ⋅

−1 ⋯


14/11/07

Canal de Rayleigh Probabilité d’erreur en Diversité d'orde L

Probabilité d’erreur moyenne : { } { }Pr Pr / ( )nnErs Ers x p x dxγγ= =∫

( )( )( ) exp u

!n

L

L

x xp x x

Lγ γγ

−1 = ⋅ − ⋅

−1 { } ( ) ( )MDP2

P x!

r e pL

LErs Q x d

x x

Lx

γγ

−+∞

1

0

= 2 ⋅ ⋅ −

−1

⌠⌡

{ }MDP2

Pr

lL LL l

ll

Ersµ µ−1 −1+

=0

1− 1+ = ⋅ ⋅ 2 2 ∑ ∁

avec γµ

γ=

1+

Limite

{ }dB

MDP2

Pr

LL

LErsγ γ

2 −1>10

1→ ⋅ 4 ∁

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

2

3

4

5

6

7 8 9 10

Pr(Err)

−810

−610

−410

−210

1

SNR/bit (dB)γ


14/11/07

CC oo mm mm uu nn ii cc aa tt ii oo nn ss NN uu mm éé rr ii qq uu ee ss CC NN 22 11

4. Récepteur Optimal canal BABG stationnaire.

1 Détection au minimum de la probabilité d’erreur.

2 Zones et seuils de décisions.

3 Réalisation du récepteur. Filtre adapté.

4 Interférence Entre Symboles(IES). Critère de Nyquist.

5. Calcul de performance. 1 Taux d’Erreur cas de signaux binaire antipodaux, orthogonaux.

2 Cas M-aire. Borne de l’Union.

3 Canal Mobile et Performances en Diversité.

6. Modulations Numériques sur Fréquence Porteuse.

1 Modulations Linéaires. Modulations de Fréquence.

2 Comparaison des modulations. Efficacité / performance.

3 OFDM. Etalement de spectre. Multiplexage

communications numériques cn21 4. récepteur … · 3 canal mobile et performances en diversité....

Documents