Communications numériques:

conversion A/N, PAM, PWM et PCM

ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunications

Conversion analogique à numérique

• MP3, CDs, radio mobiles 2G, 3G et 4G, satellite, télévision numérique.– La transmission de signaux audio et vidéo en format

numérique.– Signaux numériques plus performants en presence

du bruit et interference comparativement aux signaux analogique.

– Conversion A/N: Échantillonnage.

sourceÉchant-illonneur

m(t) ms(t) Quantif-icateur

Modulateur

démodulatorFiltre passebas

s(t)

s(t)ms(t)m(t)

mQ(t)

canal

Théorie d’échantillonnage

• Prenons un signal analogique m(t) avec une largeur de bande Bm.

– Le signal échantillonné est ms(t):

• où Ts = 1/fs est l’intervalle d’échantillonnage et fs est le taux d’échantillonnage. La transformée de Fourier du signal ms(t) est:

n

sn

sss nTttmnTtnTmtm )()()()()(

nss nTtfMfM )(*)()( F

Transformée de Fourier d’un signal échantillonné

• Le signal est périodique avec période Ts.

– Représentons ce signal par sa série de Fourier.

n

snTt )(

n

tnfj

sn

tnfjn

ns

ss eT

eXnTt 22 1)(

s

s

s

s

s T

T

T

tnfjTn dtetX 1

2/

2/

21 )(

où

donc

n

ssn

s nffT

nTt )(1

)( F et…

n

ss

s nffMT

fM )(1

)(

X(f)

-Bx Bx f

(a)

Xs(f)

-Bx fs-Bx Bx fs fs+Bx f

A

A/Ts

……

(b)Xs(f)

-Bx Bx fs-Bx fs fs+Bx f

A/Ts

……

Reconstruction du signal m(t) à partir du signal ms(t)

• Ms(f) est démontré pour fs < 2Bm (b) et fs > 2Bm (c).

• Nous pouvons obtenir M(f) de la transformée Ms(f) en utilisant un filtre passe bas si Ms(f) est donné par (c).

• Alors, afin de reconstruire le signal m(t) du signal ms(t), il faut que fs ≥ 2Bm. La borne inférieure fs = 2Bm est le taux de Nyquist.

Train d’impulsions périodique

• Le signal n’est pas un signal pratique. • En actualité, un signal est échantillonné en multipliant par:

• Le signal p(t) est

• et

• Alors Bp = Bg.

n

snTttx )()(

tt Ts Ts+ t 2Ts 2Ts+t

p(t)

ns

ns nTttgnTtgtp )(*)()()(

ns

s

nffT

fGfP )(

)()(

Exemple

• Dans la figure precedante, g(t) = P[(t-t/2)/t], alors G(f) = tsinc(ft)e-jpft.

• Donc

ns

nfjs

s

ns

fj

s

nffenfT

nffefT

fP

s )(sinc

)(sinc)(

Modulation par impulsions

• On peut transmettre la valeurs des échantillons en utilisant des impulsions.

Modulation d’impulsions en amplitudePulse amplitude modulation (PAM)

Modulation d’impulsions en duréePulse width modulation (PWM)

Modulation par impulsions codée (PCM)

• Nous voulons representé chaque échantillon du signal ms(t) par un mot de code de longueur N bits.

• En supposant que –mp < m(t) <+mp un échantillon ms(nTs) peut assumer un nombre infini de valeurs entre ce maximum et minimum.

• Un mot de code de longueur N peut distinguer 2N valeurs différentes.

• Il faut quantifier (arrondir) chaque échantillon avant d’encoder.

Relation entré sortie d’un quantificateur uniforme

mpD 2D 3D

-mp -3 D -2D -D

(7/2)D(5/2)D(3/2)D D/2

ms

mQ

000

100

001

101

011

111

010

110

010101001000011 = (7/2)D, -(3/2)D, (3/2)D, D, (5/2)D.

L = 2N niveaux

Bruit de quantification

• mQ(nTs) = ms(nTs)+eQ(nTs).

• eQ(nTs) = mQ(nTs) - ms(nTs)

• -D/2 < eQ(nTs) < D/2• Quand il y a plusieurs niveaux de quantification, on peut

supposer que le bruit est uniformément distribué entre –D/2 et D/2.

• fe(x) = 1/D pour –D/2 < x < D/2. (et 0 autrement).

• La puissance d’un signal aléatoire est E[eQ2(nTs)] =

D2/12.• LD = 2mp. (L = 2N). Donc D = 2mp/L. La puissance du

bruit de quantification est D2/12 = mp2/3L2.

• Le rapport signal à bruit de quantification est SQNR = 3L2Pm/mp

2.

SQNR

• SQNR est proportionnelle à la puissance Pm.• Pm depend de l’amplitude – volume. Il y a une grande

variation entre les échantillons, autour de 40dB.• Les échantillons autour de 0 sont plus probables que les

échantillons aux extremités.

Pdf d’un signal de voix

Puissance du bruit de quantification

L

iis

isQ RnTmPnTeE

1

22 )(

12)(

Exemple

• Quantification uniforme comparée à la quantification nonuniforme

m

pM(m)

2-2

1/2

E[m] = 0E[m2] = 2/3

Quantificateur uniforme de 4 bits (16 niveaux)

D = ¼. E[eQ2(Ts)] = 1/(16×12) = 1/192. SQNR = 128 = 21 dB.

Quantificateur nonuniforme à 16 niveaux.

0.2 0.41 0.63 0.86 1.1 1.35 1.62 2

1.81

1.485

1.225

0.98

0.745

0.52

0.305

0.1

• P(0<m<0.2) = 0.095, D = 0.2 (same for P(-0.2<m<0))• P(0.2<m<0.41) = 0.089 , D = 0.21• P(0.41<m<0.63)=0.081, D = 0.22• P(0.63<m<0.86) = 0.07 , D = 0.23• P(0.86<m<1.1)= 0.61 , D = 0.24• P(1.1<m<1.35)=0.048 , D = 0.25• P(1.35<m<1.62)=0.035 , D = 0.27• P(1.62<m<2)=0.018 , D = 0.28

E[eQ2(Ts)] = 2×[0.095×0.22/12+ 0.089×0.212/12+ 0.081×0.222/12+…

= 1/232.3. SQNR = 154.8 = 21.9 dB

Compresseur-expanseur

• “Compresser – Expander” = “compander”

UQ. …C C-1

Convertit un quantificateur uniforme en quantificateur non-uniforme.

Réduire la puissance du bruit de quantification / Réduire taux de données• On peut réduire la puissance du bruit de quantification

en réduisant D.– Plus de niveaux

• N augmente• Taux de données augmente

– Réduire la gamme dynamique• PCM différentielle• Pour meme N, on reduit D, ou pour meme D on

peut reduire N.

Lecture 6

PCM différentielle

• c(nTs) = m(nTs) – mQ((n-1)Ts).

• On transmet cQ(nTs).

• Si on échantillonne au taux de Nyquist, m(nTs) et m((n-1)Ts) sont corrélés, ce qui veut dire que la gamme dynamique de m(nTs) et m((n-1)Ts) est inférieure que celle de X(n). mQ((n-1)Ts)≈m((n-1)Ts).

Lecture 6

Lecture 6

Autres methodes

• Modulation Delta– Bruit granulaire– Erreur de débordement de pente

• Modulation Delta adaptive.– Afin de corriger pour le bruit granulaire et erreur de

débordement de pente.

Lecture 6