ELG3575

5. Signaux en bande passante

Pré-enveloppe positive

• Soit x(t) un signal réel avec une transformée de Fourier X(f).

• Nous définissons x+(t) comme la pré-enveloppe positive du signal x(t).

• Le spectre de la pré-enveloppe positive est nulle pour les fréquences négatives et proportionnel au spectre de x(t) pour les fréquences positives.

• Le spectre de la pré-enveloppe positive est :

0 ,00),0(0),(2

)(ffXffX

fX

Pré-enveloppe positive

• Nous pouvons démontrer que X+(f) = X(f) + sgn(f)X(f) = X(f) + j(-jsgn(f)X(f)) = X(f) + jXh(f) où Xh(f) = F{xh(t)}.

• Alors )()()( tjxtxtx h

Exemples

• Trouvez la pré-enveloppe positive de x(t) = cos(2fct).• Trouvez la pré-enveloppe de y(t) = sinc(t).

– SOLUTION

• On sait que xh(t) = sin(2fct), alors x+(t) = cos(2fct)+jsin(2fct).

• Alors x+(t) = ej2fct.

• Pour y+(t) il faudra trouver Y+(f).

• Y(f) = (f), alors Y+(f) = 2(2(f-¼)). Alors y+(t) = F-1{Y+(f)} = sinc(t/2)ej(/2)t.

Pré-enveloppe négative

• La pré-enveloppe négative du signal x(t) est le signal dont son contenu spectral est le spectre négatif de x(t).

• On voit que X+(f)+X-(f) = 2X(f), alors x+(t)+x-(t) = 2x(t).

• Alors x-(t) = x(t)-jxh(t).

0 ,0

0),0(

0),(2

)(

f

fX

ffX

fX

Signaux en bande passante

• Le signal x(t) est un signal en bande passante si son spectre est non-zéro dans la gamme de fréquences fc - (B/2) ≤ |f| ≤ fc + B/2 où B est la largeur de bande de x(t) et B < fc.

|X(f)|

-fc-B/2 -fc -fc+B/2 fc-B/2 fc fc+B/2 f

|Xm|

Pré-enveloppe d’un signal en bande passante

• Prenons la pré-enveloppe du signal en bande passante x(t).

• |X+(f)| est démontré ci-dessous.

• La pré-enveloppe x+(t) = x(t)+jxh(t).

|X+(f)|

fc-B/2 fc fc+B/2 f

2|Xm|

L’enveloppe complexe

• L’enveloppe complexe de x(t), , est son équivalent en bande de basse.

• C'est-à-dire que le spectre de a la même forme que celui de x+(t), mais centré à f = 0.

• Alors,

)(~ tx

)(~ tx

-B/2 B/2 f

|F{x+(t) }|

2|Xm|

tfj ce 2

-B/2 B/2 f

|F{x+(t) }|

2|Xm|

tfj ce 2|F{x+(t) }|

2|Xm|

tfj ce 2

tfj cetxtx 2)()(~

L’enveloppe complexe

• Alors, nous définissons comme l’enveloppe complexe du signal en bande passante x(t).

• Nous voyons du spectre de que la largeur de bande de l’enveloppe complexe est B/2 pour un signal en bande passante avec largeur de bande B.

tfj cetxtx 2)()(~

)(~ tx

La forme en quadrature d’un signal en bande passante

• Si• Alors• Aussi

• Alors

• Un signal en bande passante peut être exprimé dans la forme

• Où et

tfj cetxtx 2)()(~

tfj cetxtx 2)(~)(

)}(Re{)( txtx

tftxtftxetxtx cctfj c 2sin)}(~Im{2cos)}(~Re{})(~Re{)( 2

tftxtftxtx cQcI 2sin)(2cos)()(

)}(~Re{)( txtx I )}(~Im{)( txtxQ

Exemple 1

• x(t) = Acos(2fct+).

• Trouvez son enveloppe complexe ainsi que sa forme en quadrature.– SOLUTION

• X(f) = (1/2)ej(f-fc)+(1/2)e-j(f+fc)

• X+(f) = ej(f-fc)

• Alors x(t) = xI(t)cos(2fct)-xQ(t)sin(2fct) = cos()cos(2fct)- sin()sin(2fct).

)sin()cos()(~)()()(

~

jetx

feffXfXj

jc

Exemple 2

• y(t) = 100sin(2(fc-f1)t)+500cos2fct+100sin(2(fc+f1)t).

• Y(f) = -j50(f-fc+f1)+j50(f+fc-f1)+250(f-fc)+250(f+fc)-j50(f-fc-f1)+j50(f+fc+f1).

• Y+(f) = -j100(f-fc+f1) +500(f-fc)-j100(f-fc-f1)

• y(t) = 500cos(2pfct)+200cos(2f1t)sin(2fct)

)2cos(200500)(~)()(500)(100)()(

~

1

11

tfjty

ffjfffjffYfY c