elg3575 3. la transformée de fourier, énergie, puissance et densités spectrales
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ELG3575
3. La transformée de Fourier, énergie, puissance et densités
spectrales
Transformée de Fourier d’un signal périodique
• Nous pouvons représenter un signal périodique par sa série de Fourier exponentielle complexe.
• Supposons que x(t) est périodique avec période T, alors :
• Sa transformée de Fourier est donnée par:
n
tT
nj
neXtx2
)(
n
onn
tT
nj
nn
tT
nj
n nffXeXeXfX 22
)( FF
Exemplex(t)
0.25 0.5 0.75 t
A
-A
… …
impaire
impaire
4
impaire
4
22
)(
22)(
nn
nn
ntj
nn
ntj
nfn
AjfX
en
Aje
nj
Atx
Exemple
|X(f)|
f-10 -6 -2 2 6 10
2A/
2A/32A/5
2A/
2A/32A/5
Réponse en fréquence d’un système linéaire et invariant en temps
• Un système linéaire et invariant en temps a une réponse impulsionnelle, h(t).
• Pour un signal d’entré x(t), la sortie du système y(t) est
• Le spectre de la sortie (son contenu fréquentiel) est Y(f) = F{y(t)} qui est donné par :
• où X(f) = F{x(t)} est le spectre de l’entrée et H(f) = F{h(t)} est la réponse en fréquence du système LTI.
• La réponse en fréquence du système est aussi donnée par :
)(*)()( thtxty
)()()( fHfXfY
)(
)()(
fX
fYfH
Exemple
+x(t)
-
R
C
i(t)
+y(t)
-
)(1
)( / tueRC
th RCt
H(f) = ?
Solution
• H(f) = F{h(t)} = 12
1
2
11)(
11
/
fRCjfjRCtue
RC RC
RCt
F
20log|H(f)|
f
0dB
1/(2RC)
-20dB/decade
Exemple 2
• Trouvez la sortie du circuit quand x(t) = Acos2fot.
– Solution• Le spectre de la sortie est: )()()( fHfXfY
)()()2(1/1
)()(
)()(
212tan
212tan2
)21(21
)21(21
211
21
21
11
oRCfj
oRCfj
o
oRCfjoRCfj
fRCjoo
ffeffeRCf
ffff
ffff
oo
oo
Y(f)
Réponse en amplitude et réponse en phase
tfjRCfjtfjRCfj
ooooo eeeeRCfty 2
212tan2
212tan2 11
)2(1/1)(
RCftfRCf
eeRCf
ooo
RCftfjRCftfjo
oooo
2tan2cos)2(1/1
)2(1/1
12
)2tan2(21)2tan2(
212 11
Le terme est la réponse en amplitude à la fréquence fo du système et est sa réponse en phase à la fréquence fo.
|)(|)2(1/1 2oo fHRCf
)(2tan 1oo fHRCf
Réponse en amplitude et réponse en phase
)}(Re{
)}(Im{tan)(
)}(Im{)}(Re{|)(|
1
22
fH
fHfH
fHfHfH
Exemple
• La sortie d’un système LTI est y(t) = (t) pour un entrée x(t) = (t). Trouvez la réponse impulsionnelle du système. Est-ce que le système est causal?– Solution
• Le spectre de la sortie est Y(f) = sinc2(f) et celui de l’entrée est X(f) = sinc(f).
• Alors, la réponse en fréquence du système est H(f) = sinc2(f)/sinc(f) = sinc(f).
• La réponse impulsionnelle est h(t) = F-1{H(f)} = (t). • Le système n’est pas causal parce que h(t) ≠ 0 pour toutes
valeurs de t < 0.
Energie et puissance
• La racine carrée moyenne (root mean square – RMS) d’un signal sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est :
• La puissance instantanée P(t) = v(t)i(t), où v(t) est la chute de tension et i(t) est le courant qui produit la chute de tension.
• Pour une chute de tension sur une résistance, P(t) = v2(t)/R où R est la valeur de la résistance. Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T, la puissance moyenne est :
Tt
t
RMS
o
o
dttxT
X 2|)(|1
R
Vdt
R
tv
TdttP
TtP RMS
Tt
t
Tt
t
o
o
o
o
22 )(1)(
1)(
Puissance normalisée
• La puissance moyenne normalisée (R = 1) est donc :
• Si nous prenons l’intervalle de -∞ ≤ t ≤ ∞, l’expression ci-dessus devient :
Tt
t
o
o
dttvT
P 2|)(|1
T
TT
dttvT
P 2|)(|2
1lim
Définition d’un signal de puissance
• Définition 3.1 : Le signal x(t) est un signal de puissance si 0 < P < ∞
Energie normalisée
• Puissance est l’énergie par unité de temps. • Donc, l’énergie moyenne normalisée est donnée par :
dttxE 2|)(|
Définition d’un signal d’énergie
• Définition 3.2 : Le signal x(t) est un signal d’énergie si son énergie moyenne normalisée E < ∞.
Exemple
• Pour chacun des signaux suivants, déterminez de quel type s’agit t’il. Energie, puissance où aucun des deux.
– x(t) = Acos(2fot)
– y(t) = (t)– z(t) = tu(t).
L’énergie d’un signal périodique
• Si x(t) est périodique avec période T, l’énergie sur une période est :
• L’énergie sur N périodes est EN = NEp.
• L’énergie moyenne normalisée est
• Donc un signal périodique ne peut jamais être un signal d’énergie.
T
p dttxE 2|)(|
pN
NEE lim
La puissance d’un signal périodique
• La puissance de x(t) sur une période est :
• Et sa puissance sur N périodes est :
• La puissance moyenne normalisée est• Donc la puissance moyenne normalisée d’un signal périodique
est la puissance sur une période.
T
p dttxT
P 2|)(|1
pp
N
i
iT
TiNT
Np PNPN
dttxTN
dttxNT
P
1|)(|
11|)(|
1
1 )1(
22
pNpN
PPP
lim
X*(f) si x(t) est réel
)(
)(
)(
)(
)()(
)(2
2
2*
*
2*
fX
dtetx
dtetx
dtetx
dtetxfX
tfj
ftj
ftj
ftj
Théorème de Parseval
• Supposons que x(t) est un signal d’énergie. • Son énergie moyenne normalisée est :
dttxE2
)(
dffXdffXfX
dfdtetxfX
dttxdfefX
dttxtx
tfj
ftj
2*
)(2*
*2
*
)()()(
)()(
)()(
)()(
dffXdttx22
)()(
Exemple
?)(sinc2
dtt
1
|)(|
|)(sinc|)(sinc
2/1
2/1
2
22
df
dff
dttdtt
La fonction d’autocorrélation d’un signal d’ énergie
• La fonction d’autocorrélation est une mesure de similarité entre une fonction et une version identique décalée en temps par t.
• Cette fonction est donné par :
• Nous remarquons que
• Aussi, on peut constater que
dttxtxx
)()()( *
Edttxdttxtxx
2* )()()()0(
)(*)()( * xxx
Densité spectrale d’énergie
• Supposons que Gx(f) = F{x()}
• Alors Gx(f) = |X(f)|2.
)()(
)(*)(
)()(
*
*
2
fXfX
xx
defG fjxx
F
0
2)()0(
dfefGE fjxx
dffXdffGx2
)()(
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
• Pour le système démontré ci-dessous, l’entrée du système, x(t), est un signal d’énergie.
• Le système est un système LTI avec réponse impulsionnelle h(t).
• La sortie y(t) = x(t)*h(t).
h(t)x(t) y(t)
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
• En supposant que la y(t) est aussi un signal d’énergie, nous trouvons sa fonction d’autocorrélation ci-dessous :
)(*)(*)()(*)(
)(*)()(ou )()(
)()()(
)()()()(
)()()()(
)()()()(
*
*
*
**
**
*
x
x
x
hhzh
hzdzh
dduuuhh
duddtutxtxuhh
dudtdutxuhtxh
dtduutxuhdtxh
dttytyy )()()( *
Densité spectrale d’énergie de la sortie d’un système LTI
• Alors Gy(f) est donnée par:
• Gy(f) = F{y()} = H(-f)H*(-f)|X(f)|2= H*(f)H(f)|X(f)|2 = |H(f)|2Gx(f)
dffGfHdffGE xyy )(|)(|)( 2
Densité spectrale d’énergie d’un signal décrit la manière que l’énergie est répartie dans le spectre du signal
f
|X(f)|2
f
|H(f)|2
|Y(f)|2-f c fc
-f c fc
1
|X(fc)|2Ey = 2|X(f)|2ff en Hz, alors|X(f)|2 en J/Hz
Exemple
• Trouvez la fonction d’autocorrélation, x(), pour x(t) = (t) et trouvez la densité spectrale d’énergie à partir de x(). Démontrez que sa densité spectrale d’énergie est égal à |X(f)|2. Trouvez l’énergie en x(t).
dttxtxx )()()( *
Exemple
-½ ½ -½- ½- t
x(t) x(t+ )
(a) < -1
-½ ½ ½- t
(b) -1 < < 0
-½-
1
1
-½- -½ ½ t
x(t) x(t+ )
(c) 0 < < 1
-½- ½--½ ½ t
(d) 1 <
1
1
½-
Exemple
• Pour < -1 et > 1, x(t)x*(t+) = 0, alors x() = 0. Pour -1 < < 0, x() est :
• Pour 0 < < 1, x() est :
12
1
2
1)(
2
1
2
1
dtx
12
1
2
1)(
2
1
2
1
dtx )(ailleurs ,0
10 ,101 ,1
)(
x
Exemple
• La densité spectrale d’énergie de x(t) est Gx(f) = F{x()}. • Si nous trouvons sa transformée de Fourier, nous trouvons que
Gx(f) = sinc2(f).
• Aussi, F{x(t)} = X(f) = sinc(f) et alors, |X(f)|2 = Gx(f) = sinc2(f).
La fonction d’autocorrélation d’un signal de puissance
• En suivant les mêmes méthodes que pour les signaux d’énergie, définissons la fonction d’autocorrélation pour les signaux de puissance comme :
• Nous voyons que Px = Rx(0).
T
TT
x dttxT
P 2|)(|2
1lim
T
TT
x dttxtxT
R )()(2
1lim)( *
Densité spectrale d’énergie
• La transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation F{Rx(t)} = Sx(f) est la densité spectrale de puissance du signal x(t).
dfefSR fjxx
2)()(
dffSRP xxx )()0(
2)()()( fHfSfS xy
Exemple
• Trouvez la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale de puissance du signal x(t) = Acos(2fot). Trouvez la puissance de x(t) à partir de sa densité spectrale de puissance.
T
T
ooT
x dttftfAT
R )(2cos)2cos(2
1lim)( 2
)2cos(2
)2(2sin)2(2sin16
)2cos(4
2lim
)2(2sin16
)2cos(4
lim
)2(2cos22
1)2cos(
22
1lim
)2(2cos)2cos(22
1lim
2
22
22
22
2
o
ooo
oT
T
T
oo
T
T
oT
o
T
T
oT
T
T
ooT
fA
TfTfTf
Af
T
TA
tfTf
Atf
T
A
dttfA
Tdtf
A
T
dttffA
T
Exemple
• La puissance Px est :
)(4
)(4
)}({)(22
ooxx ffA
ffA
RfS F
244)(
4)(
4
22222 AAAdfff
Aff
AP oox