claire geoffroy lundi 7 juillet...

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M2 - Master Didactique des sciences

Mémoire professionnel

Présenté par

Claire GEOFFROY

Lundi 7 juillet 2014

Les programmes de calcul au

collège

Directeur : Hamid Chaachoua

Examinateurs : Hamid Chaachoua

Denise Grenier

Jana Trgalova

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Remerciements

Mes remerciements s’adressent en premier lieu à Hamid pour avoir accepté

d’encadrer ce travail, pour sa patience à expliquer (voir réexpliquer…..) certains points

dans ce mémoire et plus généralement pour m’avoir transmis son intérêt pour la

didactique et plus particulièrement pour la TAD.

Je tiens également à remercier Denise pour son aide au début de ce travail qui m’a

permis d’éliminer un certain nombre de pistes et finalement de déterminer un sujet.

Je remercie aussi Denise ainsi que Jana pour avoir accepté de composer le jury.

Plus généralement, je remercie l’ensemble des enseignants du M2 ainsi que l’équipe

Metah, qui m’a accueillie dans ses locaux et donné l’envie de travailler, d’échanger et

de réfléchir.

Cette rédaction n’aurait pas aboutie de la sorte sans l’aide précieuse de Sébastien qui a

pris le temps d’une relecture attentive.

Une pensée particulière pour les autres étudiants de master avec lesquels les échanges

ont été particulièrement conviviaux et fructueux.

Bien évidemment, je n’oublie pas ma famille et mes amis qui ont régulièrement pris en

charge la maisonnée afin de me permettre de mener à bien ce travail au milieu de

mille autres choses ! Dédicace spéciale à Anne-Sophie pour sa grande maitrise de la

mise en page sous Word …..

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Table des matières Introduction ................................................................................................................................. 7

PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique .............................................................................. 9

I. Analyse du curriculum .......................................................................................................... 9

A. Les programmes de 2008 ................................................................................................. 9

B. Documents d’accompagnements ................................................................................... 10

Du numérique au littéral (2008) ................................................................................. 10 1.

Vade-mecum des principaux éléments mathématiques (2009) ................................. 11 2.

II. Analyse épistémologique. .................................................................................................. 14

A. Quelques constats préalables ........................................................................................ 14

Le désamour pour l’algèbre ........................................................................................ 14 1.

Un émiettement et une réduction des contenus de l’algèbre .................................... 15 2.

B. Constitution d’un curriculum plus adapté ...................................................................... 16

C. Signification du terme « expression algébrique » .......................................................... 17

Aspect procédural ...................................................................................................... 17 1.

Aspect structural ........................................................................................................ 18 2.

Passage de l’aspect procédural à l’aspect structural .................................................. 19 3.

III. Une définition des programmes de calcul ...................................................................... 21

IV. Problématique. ............................................................................................................... 21

V. Cadre théorique ................................................................................................................. 22

A. Notion de transposition didactique. ............................................................................... 23

B. Notion de praxéologie .................................................................................................... 23

C. Au sujet de la TAD .......................................................................................................... 23

D. Précisions sur OMP ; OML ; OMR ; OMG ........................................................................ 24

E. Notion de portée d’une technique. ................................................................................ 24

F. Types de tâches intrinsèques et extrinsèques. ............................................................... 24

G. La notion de modèle praxéologique de référence ......................................................... 25

VI. Méthodologie ................................................................................................................. 26

PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence............................................ 29

I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre...................................................... 29

II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de

calcul. ......................................................................................................................................... 31

A. Dans OML1 ..................................................................................................................... 31

B. Dans OML2 ..................................................................................................................... 33

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C. Dans OML3 .................................................................................................................... 41

D. Tableau récapitulatif...................................................................................................... 43

E. Lien entre ces différentes OML ..................................................................................... 44

PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels ............................................. 45

I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum ................................... 45

A. OM1 - Génération des expressions algébriques ............................................................ 45

B. OM2 - Équivalence des expressions algébriques ........................................................... 46

C. OM3 : Algèbre des polynômes ...................................................................................... 48

II. Choix des manuels à analyser. ........................................................................................... 48

III. Analyse écologique ........................................................................................................ 49

A. Répartition des exercices type « programmes de calcul » dans les manuels ................ 49

B. Sujets de brevet ............................................................................................................. 50

C. Environnement technologique ...................................................................................... 50

D. Conclusion ..................................................................................................................... 51

IV. Analyse praxéologique des manuels ............................................................................. 52

A. Représentativité des différents types de tâche ............................................................. 52

Ttraduire et Tassocier ........................................................................................................ 53 1.

Ttrouve x ........................................................................................................................ 55 2.

Ttrouve x_2PC ................................................................................................................... 56 3.

Ttrouvex_ineq ................................................................................................................... 56 4.

Tconjecturer ..................................................................................................................... 57 5.

Tprouver_equiv .................................................................................................................. 57 6.

Tétude_equiv .................................................................................................................... 57 7.

Tprod_PCsimple ................................................................................................................. 58 8.

B. Bilan ............................................................................................................................... 61

Conclusion ................................................................................................................................. 62

ANNEXES ................................................................................................................................... 72

ANNEXE A : Manuels 6ème ...................................................................................................... 73

ANNEXE B : Manuels 5ème ...................................................................................................... 76

ANNEXE C : Manuels 4ème ...................................................................................................... 81

ANNEXE D : Manuels de 3ème ................................................................................................. 86

ANNEXE E : Répartition des exercices type programme de calcul dans les manuels ............. 94

Introduction

7

Introduction

C’est en feuilletant les éditions 2009 et 2013 des manuels de 6ème de la

collection Zenius, à la recherche d’exercices de calcul numérique, que j’ai constaté,

dans l’édition 2013, l’apparition d’un nouveau type d’exercice : les programmes de

calcul.

Je me suis alors interrogée sur les raisons de leur présence dans le nouveau

manuel, particulièrement à ce niveau : Que pouvaient-ils bien apporter de nouveau

qui justifie leur présence ?

Je me suis également demandé si l’on pouvait établir le même constat pour les autres

niveaux du collège.

J’avais bien en mémoire quelques exercices de ce type croisés dans les manuels de

troisième ainsi que dans quelques sujets de brevet. Je n’avais cependant jamais pris le

temps de m’interroger sur les raisons de leur présence ni sur leurs objectifs par

rapport aux apprentissages des élèves.

J’ai alors feuilleté la partie « cours » du livre à la recherche d’un éventuel indice

et je n’y ai rien trouvé. Mon enquête s’est poursuivie par la lecture des programmes

qui n’a rien révélé non plus à ce sujet.

L’idée m’est ensuite venue de lire le document d’accompagnement des programmes

« du numérique au littéral (2008) » qui, lui, m’a fourni quelques éléments de réponse.

Il est à ce niveau intéressant de constater que peu de professeurs ont connaissance de

l’existence de ces documents et de ce dernier en particulier.

Personnellement, c’est au cours d’une année d’étude en master de didactique que je

l’ai lu de manière approfondie.

Etant donné les circonstances j’ai décidé de pousser plus loin mon investigation avec à

l’esprit les questions suivantes :

Quelle utilisation des programmes de calcul au collège ?

Comment s’opère la transposition didactique entre le discours institutionnel, la

prise en charge par les manuels et l’utilisation qui en est faîte par les

enseignants dans la classe ?

Pour affiner ces questions et y répondre, nous interrogerons dans un premier temps le

curriculum officiel et dans un deuxième temps les éléments épistémologiques présents

dans les travaux de recherche.

Cette étude constituera la première partie de ce mémoire.

PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique

9

PARTIE 1 : Problé matiqué ét cadré thé oriqué

Pour définir notre problématique nous effectuerons un travail exploratoire à travers,

d’une part, le curriculum officiel (programmes officiels, documents

d’accompagnement) et, d’autre part, les travaux de recherche existants qui ont abordé

l’étude de l’algèbre et des programmes de calcul en particulier.

I. Analyse du curriculum

A. Les programmes de 2008

Très peu d’éléments concernant l’algèbre en général apparaissent dans les

programmes.

On trouve une courte phrase dans le préambule du programme de collège :

« Assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des

problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation»

L’algèbre est ici considéré comme un outil pour la résolution de problèmes.

Il est ensuite précisé dans le programme de 4ème que les élèves doivent donner du sens

aux activités de transformation d’écriture :

« Le calcul littéral qui a fait l’objet d’une première approche en classe de 5ème, par le

biais de transformations d’écritures, se développe en classe de 4ème en veillant à ce que

les élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulier par

l’utilisation de formules issues des sciences et de la technologie »

Là encore, l’idée que l’algèbre ne doit pas être considéré comme un objet d’étude en

soi est visible.

Le terme programme de calcul apparait dans le domaine « Nombre et Calculs » en lien

avec les opérations sur les nombres relatifs pour les niveaux 5ème et 4ème. On peut lire

en 5ème :

« Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses un

programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de relatifs. »


10

La formulation pour le niveau 4ème est analogue mais pour des sommes ou des

produits de relatifs. On lit de plus dans les commentaires :

« À la suite du travail entrepris en classe de cinquième les élèves sont familiarisés à

l'usage des priorités ainsi qu'à la gestion d'un programme de calcul utilisant les

parenthèses. En particulier, la suppression des parenthèses dans un somme algébrique

est étudiée. »

On notera que ces capacités ne sont pas exigibles pour le socle.

La notion de programme de calcul n’est évoquée que dans le domaine numérique. Elle

considérée comme une suite de calculs à réaliser en utilisant correctement les règles

syntaxiques des expressions numériques et en respectant les priorités des opérations.

Les programmes de 2008 ne font pas allusion aux programmes de calcul tels qu’on les

envisagera par la suite.

B. Documents d’accompagnements

Du numérique au littéral (2008) 1.

Ce document s’attache à mettre en évidence la rupture entre l’arithmétique et

l’algèbre et à expliciter les spécificités de l’algèbre (statut de la lettre, du signe = …). Il

vient remédier à l’absence d’information dans les programmes officiels.

Dans ce cadre sont présentés deux exemples de programmes de calcul l’utilisation qui

peut en être faite.

Exemple 1 :

Je pense à un nombre, je le multiplie par 3. Au résultat obtenu je retranche 12, j’obtiens

alors 7,5. Quel est le nombre pensé ?

Exemple 2 :

Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils affichent un même nombre sur

leur calculatrice.

Alice multiplie le nombre affiché par 3 puis ajoute 4 au résultat obtenu.

Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu.

Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le

même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?


11

Ces deux exemples sont exposés dans la rubrique « Résolution algébrique d’un

problème ».

Ils sont présentés comme une entrée dans la démarche algébrique en rendant visible

la rupture entre les procédures arithmétiques et le calcul algébrique.

En effet, alors que dans le premier programme un raisonnement arithmétique utilisant

la réversibilité des opérations conduit au résultat, le deuxième programme nécessite

de désigner le nombre de départ par une lettre et de résoudre une équation.

Vade-mecum des principaux éléments mathématiques (2009) 2.

Leur emploi est également évoqué dans ce document qui concerne le socle commun

de connaissances et de compétences.

Problème 1

Emma et Zoé ont chacune une calculatrice. Elles ont « tapé » le même nombre.

Ensuite, Emma a appuyé sur les touches : × 2 + 3 =

et, Zoé a appuyé sur les touches : – 2 = × 4 + 8 =

Surprise ! Elles obtiennent le même résultat ! Quel nombre ont- elles bien pu choisir ?

Problème 2

Yuna et Pierre ont chacun une calculatrice. Ils ont « tapé » le même nombre.

Ensuite, Yuna a appuyé sur les touches : × 2 + 3 =

et, Pierre a appuyé sur les touches : – 2 = × 5 + 8 =

Surprise ! Ils obtiennent aussi le même résultat ! Quel nombre ont-ils bien pu choisir ?

L’objectif affiché est différent. L’idée principale est, pour reprendre le titre du

paragraphe de ce document que « faire des mathématiques, c’est résoudre un

problème ».

C’est ce que l’on peut lire aussi dans le préambule du programme actuel de

mathématiques (2008) :

« A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et

l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à

petit de ce qu’est une véritable activité mathématiques : identifier et formuler un

problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une

argumentation, contrôler des résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction

du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.(p9) »

Le Programme de calcul est présenté comme une situation problème pour accéder au

nouveau savoir « résolution de problèmes ».


12

Il répond ici aux exigences suivantes :

- La consigne est simple et l’élève peut s’engager dans le problème.

- Il existe différentes procédures. Pour le programme 1, l’élève peut s’engager

dans une démarche empirique par essais-erreurs (plus ou moins organisés) ou

écrire et résoudre une équation. La solution étant décimale, toutes les

méthodes donnent une valeur exacte.

Pour le programme 2, les élèves peuvent tous s’engager et trouver une solution

empirique (même approchée) ou s’approcher d’une solution experte après

avoir écrit l’équation.

- La mutualisation des procédures permet à la fois de valoriser toutes les

procédures (même empiriques) et de présenter le savoir visé en lui donnant

toutes les chances d’être perçu comme indispensable.

Ces deux programmes de calcul constituent le premier exemple donné par ce

document ressource à propos du socle pour « gérer la double exigence du programme

et du socle commun et faire cohabiter harmonieusement tous les objectifs de formation

visés. »

Il est présenté comme une différenciation possible dans la classe.

Deux autres exemples portant sur la valorisation des différents niveaux de production

sont présentés (pour le niveau 5ème).

Ce document précise en effet que : « Il est essentiel de veiller à ce que ce type de

problèmes ( les problèmes proposés comme situation problèmes) offre une véritable

activité mathématique à tout élève sans oublier celui qui n’accédera peut-être pas à la

modélisation ou à la stratégie experte visée »

Ce document ressource du socle commun propose également une réécriture d’un

exercice issu du brevet des collèges (2007) en ouvrant davantage les questions afin

de : « favoriser l’activité de chacun en augmentant la palette des stratégies

accessibles »

On donne un programme de calcul :

• Choisir un nombre.

• Lui ajouter 4.

• Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.

• Ajouter 4 à ce produit.

• Écrire le résultat

1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait correctement ce programme

avec le nombre -2, on obtient 0.


13

2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.

3) a) faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le

résultat obtenu sous la forme du carré d’un nombre entier les essais doivent figurer sur

la copie).

b) En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce

programme de calcul ? Justifier la réponse.

4) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

Un exemple de « fermeture » (non souhaitable) de cet énoncé est également proposé :

1. On note x le nombre choisi. Exprimer en fonction de x le résultat de ce programme de

calcul.

2. Démontrer qu’une autre écriture de (x + 4) x + 4 est (x + 2)².

3. Lorsque l’on applique ce programme de calcul à un nombre entier, obtient-on

toujours le carré d’un nombre entier ?

4. a. Résoudre l’équation (x +2)² =1.

b. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?

Les indications sont données aux élèves pour favoriser la dévolution mais elles

induisent une stratégie de résolution experte hors de portée pour certains d’entre eux.

Il faut rappeler que des tâches comme «passer à l’algèbre, transformer des expressions

du 2d degré, résoudre des équations », ne sont pas des exigibles du socle.

Ces indications privent également les bons élèves de faire preuve d’initiative, de

passer de façon autonome à l’algèbre et d’accéder à la preuve.

On constate donc, à la lecture du curriculum, et malgré la furtive apparition du terme

« programme de calcul » dans les programmes officiels de 2008, qu’une volonté

institutionnelle existe d’utiliser cet outil.

Elle apparait de deux ordres :

- d’une part, promouvoir l’entrée dans l’algèbre et redonner du sens au travail

algébrique. Ce dernier ne serait plus abordé d’un seul point de vue technique mais à

partir de situations motivant son utilisation.

- d’autre part assurer une différenciation dans la classe, en lien avec le socle

commun de connaissance et de compétence, à travers la résolution de problèmes

possible à différents niveaux d’expertise.

II. Analyse épistémologique.

14


Nous avons remarqué précédemment que le curriculum présente l’algèbre comme une

rupture avec les méthodes arithmétiques.

Nous nous interrogeons donc sur les éléments qui caractérisent cette rupture. Cela

revient à déterminer les éléments constitutifs de l’entrée dans l’algèbre et comment ils

sont pris en charge par le curriculum.

Julia Pilet (2012) consacre un chapitre de sa thèse à en établir une référence en

utilisant deux approches :

- Une approche anthropologique qui étudie la place et la fonction de l’algèbre à

enseigner dans le curriculum (d’après les travaux de Chevallard, Gascon, Ruiz

Munzon, Matheron et Bosch)

- Une approche cognitive du côté de l’activité de l’élève et des processus de

conceptualisation de l’algèbre (d’après les travaux de Kieran)

Elle se demande quels sont les éléments cruciaux pour la génération, la manipulation

et l’utilisation des expressions algébriques.

A. Quelques constats préalables

Le désamour pour l’algèbre 1.

C’est ce que Chevallard nomme : la péjoration culturelle de l’algèbre en tant

qu’œuvre. (Chevallard et Bosch, 2012)

Alors que la géométrie apparait comme une activité noble en privilégiant le

raisonnement, l’algèbre et le calcul en général semblent des activités inférieures

desquelles le raisonnement est absent et fonctionnant de manière automatique

(comme une machine). Ce phénomène est ancien :

Pour François Viète (1540-1603) l’algèbre est « une tard venue ». Elle est d’origine

étrangère et son nom n’a pas de signification dans les langues européennes.

Pour le philosophe Alain(1932), elle pousse à créer des chimères :

[… ] l’algèbre est déjà une sorte de machine à raisonner ; vous tournez la manivelle, et

vous obtenez sans fatigue un résultat auquel la pensée n’arriverait qu’avec des peines

infinies. L’algèbre ressemble à un tunnel ; vous passez sous la montagne, sans vous

occuper des villages et des chemins tournants ; vous êtes de l’autre côté, et vous n’avez

rien vu.( Op.cité, p 123)


15

Plus récemment, le mathématicien Michael Atiyah (médaille Fields 1966) considère

l’algèbre comme un pacte faustien :

Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: “I will give

you the powerful machine it will answer any question you like”. All you need to do is

give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine. (Atiyah

2001)

Les programmes officiels tentent de rétablir la place de l’algèbre et plus

généralement du calcul dans l’enseignement actuel, notamment à travers les

documents d’accompagnement comme « le calcul numérique au collège ».

Ce dernier contient un extrait du rapport d’étape sur la pratique du calcul de la

Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques (rapport d’étape sur

le calcul, mars 2001, p 16) :

« Dans la culture, les deux termes, calcul mathématique et raisonnement apparaissent

comme antagonistes. Le calcul est opposé au raisonnement tant dans les démarches de

pensée qu’il met en œuvre que dans les formes d’apprentissage qu’il requiert. Le calcul

renvoie à une activité mécanique, automatisable, sans intelligence, il est réduit à sa

part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l’idée d’entrainement purement répétitif.

En bref, le calcul est perçu comme renvoyant aux basses œuvres du travail

mathématique, tandis que la partie noble, celle liée au raisonnement, est plutôt

associée à la résolution de problèmes géométrique. Cette image, ancrée dans la culture

est aussi portée par l’enseignement ».

Ce document s’emploie à modifier cette vision en expliquant pourquoi « le discrédit

dont souffre le calcul tant dans la culture que dans l’enseignement est totalement

injustifié. »

Le document d’accompagnement sur le raisonnement (2009) s’y emploie également

en proposant des exemples d’utilisation du calcul algébrique pour la preuve comme :

« L’affirmation « la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 » est-elle vraie

ou fausse ? »

Un émiettement et une réduction des contenus de l’algèbre 2.

Après une analyse des programmes et manuels anciens jusqu’à ceux en vigueur au

moment de l’étude, Chevallard (1985b, 1989) établit le constat suivant : « manque de

référence explicite à l’algèbre », « poussée vigoureuse du numérique » et

« évanouissement de l’apprentissage des outils algébriques ».


16

Il met en avant que « le rapport de l’élève au calcul algébrique n’incorpore pas l’idée

d’une relation entre manipulation algébrique de l’expression d’une part, et substitution

de valeurs numériques d’autre part ».

La dialectique du numérique et de l’algébrique est perdue :

« Au-delà de la disparition de la structure du corpus mathématique enseigné en

arithmétique et en algèbre, c’est la dialectique du numérique et de l’algèbre

implicitement présente à travers l’“opposition” de l’arithmétique et de l’algèbre qui va

se trouver atteinte. Plus que jamais, les liens du numérique et de l’algébrique s’en

trouveront relâchés. » (Chevallard, 1985b, p. 75)

Or, pour lui, cette dialectique est centrale dans la maîtrise du calcul algébrique et de sa

fonctionnalité :

« L’algébrique est un outil de l’étude du numérique, le premier outil, le plus élémentaire

sans doute (à un niveau intermédiaire viendraient par exemple la théorie des séries

entières, la théorie des fonctions analytiques, etc…). Mais, inversement (et c’est ce qui

nous autorise à parler de dialectique), pour que le fonctionnement de cet outil soit

efficace, il faut quelque peu étudier cet outil, par exemple se poser les problèmes de la

factorisation des expressions algébriques (afin notamment de résoudre des équations

algébriques). Or, en ce point, le numérique lui-même est un outil d’étude à

l’algébrique ». (Chevallard, 1985b, p. 75)

Ce même phénomène d’évanescence est observé par Assude, Coppé et Pressiat qui

ont étudié l’évolution du curriculum officiel en France relativement au domaine

algébrique au collège (RDM, 2012).

Ils constatent que le terme « algèbre » est absent. L’adjectif algébrique apparait une

douzaine de fois.

Le mot modélisation apparait seulement 2 fois. En revanche, le mot « problème »

apparait une centaine de fois.

Nous avons évoqué plus haut l’importance donnée aux problèmes dans

l’enseignement des mathématiques.

Les auteurs y voient une contradiction avec la réduction des moyens de travail

algébrique.

B. Constitution d’un curriculum plus adapté

Face au constat précédent, Chevallard s’emploiera à définir un curriculum qui assure

un rapport officiel à l’algèbre plus conforme aux tâches auquel il est employé. Il

introduiera alors la notion clef de modélisation mathématique. (1989, p 53) :


17

« La notion de modélisation mathématique permet ainsi de prendre une vue

d’ensemble sur l’activité mathématique, de l’école primaire à l’université. Grille de

lecture et d’interrogation, elle fournit un cadre de référence au sein duquel il devient

alors possible de faire surgir des différences significatives entre arithmétique et algèbre

notamment »

Dans la suite des travaux de Chevallard, Gascon montre que l’algèbre n’est pas une

arithmétique généralisée mais doit être introduite comme un instrument nécessaire à

la modélisation mathématique :

« L’algèbre enseignée n’est pas à proprement parlé une arithmétique généralisée étant

donné qu’elle ne contient pas strictement l’arithmétique enseignée :

D’une part, la résolution algébrique de certains problèmes arithmétiques suppose des

instruments qui ne font plus partie de l’algèbre telle qu’elle est enseignée aujourd’hui ;

d’autre part, l’algèbre enseignée posséderait une thématique propre qui n’est, en

aucun sens, une généralisation de celle de l’arithmétique » (Gascon, 1994, p 47) »

Ruiz- Munzon (2010) propose lui un modèle épistémologique de référence selon lequel

la genèse de l’algèbre élémentaire se situe dans un processus d’algébrisation des

programmes de calcul. C’est un processus de modélisation progressive de systèmes

mathématiques partant des programmes de calcul arithmétiques jusqu’aux fonctions.

On constate donc que la notion de programme de calcul, en lien étroit avec les

expressions algébriques est au centre de l’entrée dans la démarche algébrique.

Etudions alors la définition du terme « expression algébrique » proposée par le

curriculum.

C. Signification du terme « expression algébrique »

Aspect procédural 1.

Dans le document d’accompagnement « du numérique au littéral », cette définition

comporte deux parties.

On peut lire d’une part :

«Une expression algébrique exprime un programme de calcul : elle indique une suite

d’opérations qu’il faut effectuer afin d’obtenir le nombre que « retourne » le

programme de calcul quand on donne des valeurs numériques aux lettres qui y figurent

[….]


18

Les expressions algébriques sont introduites et très largement utilisées au collège sous

leur aspect procédural pour formaliser, pour mathématiser un programme de calcul »

Cette vision s’inspire des travaux de Chevallard pour qui la notion d’expression

algébrique repose sur l’«entité » programme de calcul :

« Une “expression algébrique” est un énoncé symbolique qui exprime un certain

programme de calcul. L’expression algébrique E(x) = 15x - 3(x + 1) exprime le

programme de calcul dont une expression “rhétorique” est la suivant : “Multiplier le

nombre donné par quinze puis retrancher au nombre obtenu le triple du successeur du

nombre donné”.» Chevallard et Bosch (2012)

Le changement de registre entre langage naturel et registre algébrique symbolique

permet de redonner du sens au mot « expression » et d’empêcher le figement de

l’écriture algébrique.

Aspect structural 2.

D’autre part, une expression algébrique est considérée également d’un point de vue

structural :

« Une expression algébrique peut être considérée comme un objet dont on peut décrire

la forme et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction,

factorisation, développement, substitution dans une expression…) on évoque alors le

caractère « structural » de l’expression. »

Cet aspect structural est moins visible pour les élèves que l’aspect procédural.

Le document d’accompagnement propose alors de travailler sur le type de tâche

« deux programmes de calcul sont-ils équivalents ? ». En effet, le travail sur la

structure (grâce aux propriétés algébriques) inhérent à ce type de tâche permet de

rééquilibrer l’enseignement des deux aspects.

Là encore ce document reprend l’idée de Chevallard pour qui l’un des grands types de

tâche de l’algèbre élémentaire consiste à déterminer si deux programmes de calcul

sont équivalents, c’est-à-dire s’ils retournent la même valeur numérique pour toutes

les valeurs de la variable.

Il parle d’algèbre élémentaire comme « science des programmes de calcul ».


19

Passage de l’aspect procédural à l’aspect structural 3.

a) Processus d’algébrisation de Ruiz- Munzon

Dans la continuité des travaux de Chevallard, Ruiz –Munzon propose un processus

d’algébrisation en trois étapes

Un programme de calcul est donné par sa description langagière, c’est-à-dire son

effectuation pas à pas.

La première étape du processus d’algébrisation consiste à cesser de considérer le

programme de calcul comme un processus et à le considérer comme un tout. Cela

implique de considérer l’aspect structural de l’expression algébrique.

Cette étape permet d’effectuer le type de tâche proposé par Chevallard : déterminer si

deux programmes de calcul sont équivalents. Il faut pour cela introduire un nouvel

environnement technologico-théorique avec la notion « d’expression algébrique ». Ces

dernières sont des modèles symboliques des programmes de calcul.

Prouver que deux programmes ne sont pas équivalents est assez simple (à un niveau

élémentaire) grâce au recours à un contre-exemple mais cette pratique a été

perdue (Chevallard et Bosch 2012) :

« Ce geste a été depuis longtemps minoré dans l’enseignement au collège, sans doute

parce que sa fonction didacticielle originelle « faire tourner » des programmes de

calcul avant toute transformation algébrique et ainsi voir émerger le problème de leur

transformation adéquate a cessé d’être reconnue » Chevallard et Bosch (2012)

Cela est symptomatique de la disparition de la dialectique arithmétique-algébrique

évoquée précédemment.

Figure 1 : Les trois étapes du processus d'algébrisation de Ruiz-Munzon (2010)


20

Prouver que deux programmes sont équivalents nécessite un travail sur la structure de

l’expression en contrôlant chaque étape grâce aux propriétés algébriques.

Notre travail se limitera à l’étude du passage du système initial à l’étape 1 puis de

l’étape 1 à l’étape 2, telles que présentées dans la figure 1.

b) Dans le document d’accompagnement

Le document d’accompagnement propose également des pistes pour aider les

élèves à faire la distinction entre les deux aspects d’une expression algébrique comme

l’utilisation de différents registres de représentation :

Description en langue naturelle, arbres, usage d’un tableur, auxquels on pourrait

rajouter : schémas de calcul, registre graphique, programmes de calcul ou encore

registre des grandeurs.

Cette proposition s’inspire des travaux de Kieran (2007 p.172) qui montrent que

l’utilisation de divers registres sémiotiques contribue à aider les élèves à

conceptualiser les objets de l’algèbre et donne du sens à l’activité algébrique :

« Kaput (1989) has argued that the problem of student learning in algebra is

compounded by the inherent difficulties in dealing with the highly concise and implicit

syntax of formal algebraic symbols and the lack of linkages to other representations

that might provide feedback on the appropriate actions taken. As a consequence, he

has promoted the kind of mathematical-meaning building that has its source in

translations between mathematical representation systems.” (Kieran, 2007 p 172)

Le passage d’un registre à un autre permet de travailler la flexibilité du passage de

l’aspect procédural à l’aspect structural des expressions. L’élève pourra alors

développer une activité transformationnelle adaptée (au sens de Kieran) afin de

déterminer l’équivalence de deux programmes.

L’activité transformationnelle au sens de Kieran concerne les processus de

manipulation des expressions algébriques (développer, factoriser, résoudre une

équation….).

Cette étude montre que le document d’accompagnement a intégré les travaux de

recherche sur l’algèbre. Ces derniers explicitent le lien étroit entre les programmes de

calcul et les expressions algébriques.

En effet, les programmes de calcul, à travers l’étude de leur équivalence, du passage

de leur considération comme processus à celle de résultat et de la mise en œuvre de la

dialectique numérique-algébrique permettent l’entrée dans la pensée algébrique.

La volonté institutionnelle de les utiliser pour réorienter l’apprentissage de l’algèbre

apparait nettement dans les documents ressources.


21

Les programmes de calcul permettent également une forme de différenciation des

objectifs à atteindre en classe dans l’esprit du socle commun (pour lequel l’algèbre

n’est pas une compétence à valider). Même si l’objectif principal reste d’accéder à la

pensée algébrique, toutes les démarches de résolution sont à valoriser.

Après cette exploration du rapport institutionnel et épistémologique à la notion de

programme de calcul, nous allons maintenant préciser le sens que nous donnerons à

cette notion dans la suite de notre travail.

III. Une définition des programmes de calcul

A l’issue de l’étude précédente nous appellerons programme de calcul la description

d’une suite d’opérations à effectuer sur un nombre de départ quelconque afin

d’obtenir un nouveau nombre, dépendant à priori du nombre de départ. Nous en

avons donné des exemples précédemment.

La description est le plus souvent langagière mais peut être réalisée dans d’autres

registres comme le langage « calculatrice » ou les schémas de calcul.

Un programme de calcul décrit une procédure opératoire.

A travers le travail autour de l’équivalence, nous aborderons dans la suite de ce travail

la notion de programme « plus simple ».

Il s’agit d’un programme équivalent comportant moins d’opérations, quelle que soit la

nature des opérations.

Considérons par exemple les programmes PA et PB suivants :

PA et PB sont équivalents mais PB est plus simple.

IV. Problématique.

Les paragraphes précédents ont montré l’intérêt d’utiliser les programmes de calcul

pour introduire l’algèbre. Pourtant d’après Chevallard (1985b) et Chevallard et Bosch

PA je choisis un nombre

j’ajoute 3

je multiplie le résultat par 5

je soustrais 15

PB je choisis un

nombre ;

je le multiplie par 5.

V. Cadre théorique

22

(2012), les processus de transposition didactique montrent que les élèves ont peu

l’occasion de les rencontrer dans ce but.

Cela nous permet d’envisager les hypothèses de travail suivantes :

HT1 : L’institution préconise l’utilisation des programmes de calcul pour introduire

l’algèbre.

HT2 : Les élèves ont peu l’occasion de rencontrer les programmes de calcul dans des

situations favorisant l’entrée dans la pensée algébrique.

Nous allons nous demander comment s’opère la transposition didactique du niveau

institutionnel (curriculum + documents officiels) vers les manuels utilisés en classe.

C’est à dire, la volonté institutionnelle de prendre en compte les programmes de calcul

dans l’introduction de l’algèbre apparait-elle dans les manuels ?

D’où les questions de recherche suivantes :

Q1 : Comment sont utilisés les programmes de calcul dans les manuels ? (Quels types

de tâches sont proposés ?)

Q2 : Les programmes de calculs sont-ils utilisés pour motiver d’une part l’entrée dans

la pensée algébrique et d’autre part le calcul algébrique ?

Ces deux questions sont au centre du processus de transposition didactique au niveau

interne, c’est-à-dire des programmes et documents ressource vers les manuels. Il se

poursuit évidemment dans la classe mais nous n’aborderons pas cet aspect dans notre

étude.

Nous allons maintenant préciser le cadre théorique qui nous servira à mener cette

analyse.

V. Cadre théorique

L’apparition récente des programmes de calcul dans les manuels et les sujets

d’examens nous incite à prendre en compte l’approche écologique.

D’autre part, nous étudierons les programmes de calcul à travers les types de tâches

proposés.

Le modèle praxéologique dans le cadre de la Théorie Anthropologique de la Didactique

(TAD) parait alors tout à fait adapté à cette étude.

Nous disposons de notions comme celles de transposition didactique, de rapport

institutionnel et personnel à un objet (ici programme de calcul) et de praxéologies.


23

Voici quelques mots sur les notions de transposition didactique, de praxéologie et plus

généralement sur la TAD.

A. Notion de transposition didactique.

La transposition didactique est un processus de transformation d’un savoir de

référence (établi dans la noosphère) en un savoir à enseigner (visible dans les

programmes et les manuels) puis en un savoir enseigné (proposé dans la classe) pour

finir par le savoir effectivement appris par l’élève.

Pour éviter de paraphraser des choses déjà bien écrites, nous invitons le lecteur à se

référer par exemple au texte fondateur (Arsac, Develay, Tiberghien, 1989).

B. Notion de praxéologie

La détermination d’une praxéologie permet la modélisation de l’activité humaine à

l’aide d’un quadruplet [T/τ/θ/Θ], ou T désigne un type de tache, τ une technique

permettant d’accomplir les taches t du type T. Le couple [T/τ] constitue le bloc pratico-

technique ou praxis, qui est elle-même justifiée par une technologie θ qui s’inscrit dans

un cadre théorique Θ. Le couple [θ/Θ] constitue le bloc technologico-théorique ou

logos.

Là encore, cet aspect étant explicité dans de nombreux travaux, nous invitons le

lecteur à se référer par exemple à (Chevallard ,1999a).

C. Au sujet de la TAD

Signalons que pour approfondir la question et explorer d’autres aspects de la TAD, on

pourra se référer aux textes du fondateur de la TAD et notamment à (Chevallard,

1992), ainsi qu’a (Chevallard, 1998) qui reprend dans les pages 2 à 5 les différentes

définitions autour de la notion de praxéologie. Mais on pourra aussi parcourir par

exemple les pages 54 à 62 de (Romo-Vazquez, 2009) pour une présentation de la

question du rapport aux institutions et des moments, ainsi que les pages 5 à 7 de

(Chaachoua, 2010) pour la question de la modélisation des connaissances ou encore

les pages 35 à 38 de (Pilet, 2012) avec notamment une première présentation de la

question des ostensifs et des non-ostensifs qui est développée dans (Bosch &

Chevallard, 1999).

Pour terminer cette présentation de notre cadre théorique, nous revenons un peu plus

en détails sur les notions d’organisation mathématique et de modèle praxéologique de

référence qui seront centrales pour la construction de notre modèle.

V. Cadre théorique

24

D. Précisions sur OMP ; OML ; OMR ; OMG

Nous introduisons donc rapidement les notions d’organisation mathématique :

ponctuelle, OMP (resp. complexe ou simple), locale, régionale et globale. Nous

noterons ces notions OMP (resp. OMPC ou OMPS) ; OML ; OMR ; OMG. Nous

signalerons aussi (Chevallard, 1998) qui présente ces notions et (Matheron, 2000) qui

explore au travers de divers exemples les différents niveaux d’organisations

mathématiques ponctuelles, locale, régionale et globale. La notion complémentaire de

≪ complexe ≫ pour une organisation mathématique ponctuelle est introduite dans

(Castela, 2008) et reprise dans (Chaachoua 2010).

Pour résumer rapidement nous dirons que le quadruplet [T/τ/θ/Θ] est une OMP

associée à un type de tache donne T. S’il existe plusieurs techniques τk permettant de

réaliser T (éventuellement justifiées par plusieurs technologies θk), k prenant plusieurs

valeurs, mais toutes situées au sein d’une même théorie ΘT alors on parlera d’une

OMPC [T/(τk/θk)k/ΘT] associée au type de tache T. Si k=1 on parlera d’une OMPS.

Si maintenant on se centre sur une technologie θ elle justifie généralement plusieurs

techniques τi associées à des types de taches Ti ; l’agrégation des OMP [Ti/τi/θ/Θ]i va

former ce que l’on appellera OML autour de la technique θ. Dans (Matheron, 2000) on

peut trouver un exemple autour de la technologie ≪ Théorème de Thales ≫ ou encore

dans (Bosch, Fonseca, & Gascon, 2004) un exemple autour de la notion de limite.

Si maintenant on regarde une théorie Θ commune a plusieurs technologies θ j qui

définissent pour chaque valeur de j des OML [Tij/τij/θj/Θ] on parlera alors d’une OMR

[Tij/τij/θj/Θ]j ; j prenant plusieurs valeurs.

Enfin on parlera d’OMG en agrégeant plusieurs OMR liées à diverses théories Θk.

E. Notion de portée d’une technique.

Nous trouvons dans les travaux de (Chevallard, 1999) l’explicitation de la notion de

portée d’une technique.

Un type de tâche peut être réalisé par plusieurs techniques mais certaines techniques

ne réussissent que sur une partie P(τ) des tâches du type T auxquelles elles se

rapportent. On nomme cette partie « portée de la technique ». La technique tend à

échouer sur T\ P(τ), de sorte qu’on peut dire que « l’on ne sait pas, en général,

accomplir les tâches du type T».

F. Types de tâches intrinsèques et extrinsèques.

Une technique est décrite par un ensemble de type de tâches {(Ti)I} qui peuvent être

de deux sortes :


25

- Types de tâches qui n’existent qu’à travers la mise en œuvre des techniques de

certains autres types de tâches et sont appelés types de tâches intrinsèques.

- Des types de tâches qui peuvent être prescrits aux élèves indépendamment des

techniques et sont qualifiés de types de tâches extrinsèques.

G. La notion de modèle praxéologique de référence

Nous envisageons d’étudier les différentes praxéologies présentes dans les manuels et

le curriculum.

Pour cela, il est nécessaire de disposer d’une organisation de référence de l’ensemble

des praxéologies que nous pourrons être amenés à rencontrer lors de cette analyse.

Nous allons utiliser la notion de Modèle Praxéologique de Reference (MPR). Pour la

définir au mieux nous citerons CHAACHOUA & al :

≪ Comme le précisent Marianna Bosch et Joseph Gascón (2005), une OM à enseigner

constitue un modèle praxéologique du curriculum mathématique obtenu à partir d’une

analyse des programmes et des manuels. L’identification de ces OM à enseigner passe

donc par la caractérisation des types de tâches institutionnels et peut être vue comme

une « reconstruction » du chercheur. Notons que ce dernier, pour des raisons liées à sa

problématique, peut bien entendu procéder à un autre découpage que celui de

l’institution voire le compléter ; il construit alors un modèle praxéologique de référence

(MPR) regroupant les praxéologies à enseigner, enseignées mais également

enseignables. Le modèle rend ainsi possible l’analyse de ce qui a cours dans différentes

instances d’un système d’enseignement (comme les manuels ou le cours d’un

enseignant), permet de rendre compte de la variété des OM à enseigner, de repérer et

donc de pallier les manques éventuels. Il sert aussi de référence pour analyser les

praxéologies apprises et en particulier pour les situer au regard des praxéologies

enseignées. Selon M. Bosch et J. Gascón (2005), la description de cette praxéologie de

référence se fait généralement à partir des OM savantes qui légitiment le processus

d’enseignement. Mais, comme le précisent les auteurs, le MPR ne coïncide pas

nécessairement avec les OM savantes ; cependant, il se formule dans des termes

proches et nous pensons que, d’un point de vue méthodologique, l’institution

d’enseignement constitue le point de départ de sa construction ne serait-ce que par

réalisation d’une enquête sur les types de tâches explicitées dans les programmes.

Ainsi, l’élaboration d’un MPR se compose de plusieurs étapes : identification d’une OM

à enseigner à partir des programmes et des manuels, complétion du modèle en

s’appuyant sur une enquête épistémologique, cognitive et didactique, description du

MPR et reconstruction, enfin validation par confrontation à des données empiriques

éventuellement suivie d’un retour sur le modèle. ≫ (CHAACHOUA et al., 2013)

VI. Méthodologie

26

Nous disposons maintenant de tous les éléments nous permettant de construire le

début de notre modèle praxéologique qui, comme nous l’expliquons dans le

paragraphe suivant, nous permettra d’établir le rapport institutionnel à l’objet

« programme de calcul ».

VI. Méthodologie

Le cœur de notre étude se situe au niveau de la transposition didactique, à la première

étape du schéma suivant (Bosch et Gascon, 2005), c’est-à-dire entre la production du

savoir de référence et le savoir à enseigner.

Ce schéma, qui décrit les différentes étapes du processus de transposition, inclut le

modèle praxéologique de référence. Ce dernier constitue le modèle théorique du

chercheur avec lequel il analyse chaque institution : celle de production du savoir, celle

du savoir à enseigner et celle du savoir effectivement enseigné en classe. Ce modèle

de référence permettra de mesurer les écarts à chaque étape de la transposition.

Figure 2 : The process of didactic transposition. D’après Bosch et Gascon (2005, p4)

Nous pouvons approcher la première étape de ce processus de transposition et

caractériser le rapport institutionnel à l’objet qui nous intéresse, ici les programmes

de calcul, par l’étude du curriculum et des manuels.

C’est ce que montrent par exemple les travaux de Chaachoua § Comiti (2007) qui

précisent le rôle dans la transposition didactique, des programmes et des manuels :

« Dans les programmes, l'institution définit les objets à enseigner, les attentes en

termes d'exigences et de recommandations, ainsi que les finalités et les enjeux

d'enseignement. Mais les programmes seuls ne permettent pas de définir

complètement le rapport institutionnel à un objet. Mensouri (1994, p.44) en avance

deux raisons:

« La première est que les programmes ne constituent pas un texte de savoir, mais

seulement un discours sur un hypothétique texte de savoir. La deuxième raison est que,


27

même en disposant d'un certain texte de savoir, toutes les pratiques à propos des

objets de savoir figurant dans ce texte ne peuvent pas être citées. »

Pour accéder à ce rapport institutionnel, l'analyse des manuels est nécessaire, et

complémentaire de l'analyse des programmes. (p 3)»

« Ils (les manuels) sont la traduction d'une directive institutionnelle, exprimée souvent

sous forme de programme, selon une interprétation des auteurs.

Ils sont donc le résultat d'une transposition didactique (Chevallard, 1985, 1992) des

textes des programmes. Comme Neyret (1995), nous considérons les livres scolaires

comme des produits d'institutions transpositives (p2)» (Chaachoua § Comiti, 2007)

Afin d’analyser les pratiques institutionnelles à travers l’étude du curriculum et des

manuels, et ainsi de répondre aux questions soulevées dans le cadre de notre

problématique, nous établirons un modèle praxéologique de référence. Ce sera l’objet

de la deuxième partie de notre travail.

Dans une troisième partie, nous adopterons une approche écologique et

praxéologique pour interpréter l’OM à enseigner relative aux programmes de calcul.

Notre étude s’organisera en trois parties :

- L’analyse de curriculum (programmes et documents d’accompagnement): nous

l’avons déjà évoquée dans la première partie lors d’une recherche

épistémologique sur les programmes de calcul. Nous avions observé la prise en

compte du savoir de référence dans le curriculum par le biais des documents

d’accompagnement. Nous reprendrons cette analyse au regard du modèle

construit.

- L’analyse des manuels.

- Une synthèse des caractéristiques dominantes de l’OM à enseigner.

Dans un premier temps, nous adopterons une approche écologique :

- Quel est l’habitat de l’objet « programme de calcul » ?

- A quelle fin sont-ils introduits ? Est-ce visible (des élèves et des enseignants) ?

- Avec quels objets sont-ils mis en relation ?

Dans un deuxième temps nous analyserons plus finement les praxéologies

rencontrées : les types de tâches convoqués, leur fréquence, les techniques

développées et le discours technologico-théorique qui les justifie.

PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence

29

PARTIE 2 : Construction d’un modé lé praxé ologiqué dé ré fé réncé

I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre.

Nous nous appuierons sur les travaux de Julia Pilet (2012) qui a établi une praxéologie

de référence en algèbre élémentaire.

Les programmes de calcul interviennent dans le système initial et la première étape du

processus d’algébrisation de Ruiz- Munzon. Julia Pilet en propose une spécification en

termes d’OM locales et régionales. Dans l’OM globale du domaine algébrique, elle

distingue au moins trois OM régionales :

« une première relative aux expressions algébriques, une seconde relative aux formules

et une troisième relative aux équations (cf. figure 3.1). Nous situons les praxéologies

constitutives de la première étape du processus d’algébrisation dans l’OM régionale

relative aux expressions algébriques. »

Ces trois OML répondent à la référence épistémologique établie

précédemment.

La première OM locale, OM1, vise à donner des raisons d’être à la génération des

expressions algébriques. Celles-ci apparaissent nécessaires pour étudier les

programmes de calcul et leur équivalence, ce qui conduit à solliciter les dialectiques

numérique-algébrique et procédural-structural. OM1 est une OM locale autour de la

génération des expressions algébriques dans la résolution de problèmes de

généralisation et de preuve mais aussi de mise en équation et de modélisation. Elle

permet de dégager une technologie justifiant la génération et la simplification des

expressions algébriques. La généralisation s’appuie sur des processus de modélisation

Figure 3: OM globale du domaine algébrique. D'après PILET 2012, p 81

I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre.

30

et donc de traduction de relations mathématiques entre un registre sémiotique et

celui des écritures algébriques.

La deuxième OM locale, OM2, concerne la dénotation et le sens des

expressions algébriques.

Elle est motivée par l’étude de l’équivalence de programmes de calcul. Cette dernière

conduit à l’écriture d’expressions algébriques équivalentes dont l’étude amène à

l’émergence des propriétés du calcul algébrique et à la hiérarchie des opérateurs. Elle

est gérée par une technologie qui prend en compte l’interprétation des expressions

algébriques pour les transformer et les mettre en lien avec d’autres registres de

représentation.

OM1 et OM2 permettent de définir une technologie, basée sur les propriétés du calcul

algébrique, pour justifier les transformations d’une expression algébrique en

expressions équivalentes.

Cette technologie fait l’objet de la troisième OM locale, OM3, appelée algèbre des

polynômes.

Un type de tâche se décompose en plusieurs types de tâches de la même OM locale ou

d’une autre. Ces trois OML sont donc en lien.

Les programmes de calcul étant directement liés aux expressions algébriques, nous

reprendrons cette organisation pour établir notre praxéologie de référence.

Figure 4 : Les Trois OM locales de l’OM régionale de référence relative aux expressions algébriques.

D'après PILET 2012, p 82


31

II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence

concernant les programmes de calcul.

A. Dans OML1

Cette OML concerne la génération des expressions algébriques dans les problèmes de

généralisation, de preuve et de mise en équation. Elle traite des processus de

modélisation et c’est-à-dire la traduction des relations mathématiques entre le registre

sémiotique des programmes de calcul et celui des expressions algébriques. Elle permet

de dégager une technologie justifiant la génération des expressions algébriques.

On y détaillera les types de tâche suivants :

Ttraduire : Traduire un programme de calcul donné sous forme rhétorique ou d’une suite

d’opération à la calculatrice en une expression algébrique et inversement.

Tassocier : Associer un programme de calcul à une expression algébrique déjà donnée et

inversement.

Le type de tâche Tintroduire qui consiste à introduire une lettre est également constitutif

de cette OML. Nous le considérerons comme un type de tâche élémentaire et n’en

décrirons donc pas les praxéologies.

Ttraduire : Traduire un programme de calcul donné sous forme rhétorique ou d’une

suite d’opération à la calculatrice en une expression algébrique et inversement.

Dans ce type de tâche, la lettre est donnée.

τtraduire : - Tinterpréter : interpréter la relation mathématique.

- Técrire EA : Ecrire une expression algébrique en appliquant les règles de

conversion entre le registre sémiotique en jeu et celui des expressions algébriques.

traduire : règle_form : Règles de formation des expressions algébriques (conventions

d’écriture).

règle_conv : Règles de conversion d’un registre de représentation sémiotique

à un autre.

priorité : Priorités opératoires.

Θ : Propriétés du corps (R, +, )

Algèbre

II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.

32

Remarque :

La traduction PC vers EA permet de travailler le passage du procédural au structural.

La traduction EA vers PC permet de travailler le passage du structural au procédural.

Exemple :

Je choisis un nombre , j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.

Ecrire le résultat obtenu.

Tassocier : Associer un programme de calcul à une expression algébrique déjà donnée et

inversement.

τassocier,1 : - Ttraduire PC vers EA : Traduction du programme de calcul en une l’expression

algébrique.

- Tcomparer : Comparer l’expression obtenue avec celles proposées.

associer,1 = traduire


Algèbre

τassocier,2 : - Ttraduire EA vers PC : Traduction de l’expression algébrique en un programme de

calcul.

- Tcomparer : Comparer le programme obtenu avec ceux proposés.

associer,2 : traduire


Algèbre

Exemple :

Je choisis un nombre, j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.

Quelle expression algébrique correspond à ce PC parmi celles proposées?

(


33

B. Dans OML2

Cette OML concerne la dénotation et le sens des expressions algébriques.

Elle est motivée par l’étude de l’équivalence des programmes de calcul et permet

l’utilisation des propriétés du calcul algébrique.

Les types de tâches décrites dans ce paragraphe sont de deux natures :

- Des types de tâches extrinsèques propres aux programmes de calculs :

Ttrouve x : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une

valeur donnée.

Ttrouve x_2PC : Trouver les valeurs pour lesquelles deux programmes de calcul renvoient

la même valeur.

T trouve x_inéq : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une

valeur plus petite (respectivement plus grande) qu’un deuxième programme de calcul.

Tconjecturer : Conjecturer un résultat.

Tprouver_équiv : Prouver que deux programmes de calcul donnés sont équivalents.

T étude_equiv : Déterminer si deux programmes de calcul sont équivalents (c’est-à-dire si

pour toutes les valeurs, les deux programmes renvoient la même valeur ou pas).

Tprod_PCsimple : Produire un programme de calcul équivalent à un autre plus simple.

Rappelons à ce niveau qu’un programme « plus simple » qu’un programme initial est

un programme équivalent comportant moins d’opérations.

Les praxéologies du type de tâche Tconjecturer ne seront pas détaillées, ce type de tâche

étant considéré comme élémentaire pour notre étude.

- Des types de tâches liés à l’utilisation des expressions algébriques :

Tstructure : Analyse symbolique des expressions algébriques (type de tâche intrinsèque).

Ttester : Tester l’égalité de deux expressions algébriques (type de tâche élémentaire).

Ces deux types de tâche interviendront dans les techniques des types de tâches

précédents mais ne seront pas décrits dans notre travail.


34

Ttrouve x : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une

valeur donnée.

τ trouve x,1 : Mise en équation

P(τtrouvex,1) = Ttrouve x où P désigne la portée de la technique.

- Tintroduire : Introduire une lettre.

- Ttraduire : Traduire un PC vers EA.

- Tec-eq : Ecrire une équation à une inconnue de d° n (n entier).

- Tres_eq : Résoudre une équation de d° n à une inconnue.

En pratique, au collège n ≤ 2

trouve x,1 : traduire

équation : notion d’équation et résolution d’équations.

Θ : Algèbre

Exemple :

je choisis un nombre, j’ajoute 2, je multiplie par 6, je soustrais le nombre de départ.

Quel nombre choisir pour obtenir 15 ?

τ trouvex,2 : Utilisation de la réversibilité des opérations (« remonter » le programme)

P( τtrouvex,2) = PC du type [kP1(x)]n avec P1 un polynôme du premier degré, ; k et n

deux entiers.

-Tchoisir : Choisir la dernière opération.

-Tappli : Appliquer sa réciproque.

-Tréitérer : Passer à l’opération suivante et recommencer.

En pratique n ≤ 2 car si l’élève connait les racines n-ième alors il a une pensée

algébrique et cette technique n’a pas lieu d’être.

touvex ,2 : priorité : Priorités opératoires

op_réciproque : Connaitre les opérations réciproques

Θ : Arithmétique

Exemple :

Je choisis un nombre, j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.

Quelle valeur choisir pour trouver 36 ?


35

τ trouvex,3 : tâtonnement sans stratégie

-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur

donnée (type de tache décrit dans OML3).

-Tcomparer : Comparer le résultat au nombre donné.

-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie

aléatoirement.

P( τtrouvex,3)= Ttrouve x pour tous les types de programmes mais efficace seulement

lorsque la valeur à trouver est positive, entière ou décimale avec un petit nombre de

décimales . Stratégie peu, voir non applicable à des nombres rationnels.

trouve x ,3 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur

donnée (technologie décrite dans OML3)

priorité : Priorités opératoires.

comparer : Comparer deux nombres

Θ : Arithmétique

τ trouvex,4 : tâtonnement avec stratégie

P( τtrouvex,4) = P( τ trouvex,3) avec certainement un gain de temps


donnée (type de tache décrit dans OML3).

-Tcomparer : Comparer le résultat au nombre donné.

-Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat

souhaité.

-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.

trouve x,4 : calculer , priorité , comparer

ordre de grandeur : déterminer un ordre de grandeur

Θ : Arithmétique


36

Ttrouvex_2PC : Trouver les valeurs pour lesquelles deux programmes de calcul renvoient

la même valeur.

τ trouvex_2PC,1 : Résoudre une équation

P(τtrouvex_2PC,1) = Ttrouve x_2PC où P désigne la portée de la technique.


- Ttraduire : Traduire un PC vers EA

- T ec-eq : Ecrire une équation à une inconnue de d° n (n entier)

- Tres_eq : Résoudre une équation de d° n à une inconnue.

En pratique, au collège n ≤ 2

trouvex_2PC,1 = trouvex,1

Θ : Algèbre

τ trouvex_2PC,2 : tâtonnement sans stratégie:

P( τ trouvex_2PC,2 ) = Ttrouve x_2PC,2 mais efficace seulement pour des solutions positives

entières ou décimales simples. Pas d’exhaustivité du résultat.


donnée (type de tache décrit dans OML3) pour les deux programmes.

-Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.

-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie

aléatoirement.

trouvex_2PC, 2 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur

donnée.

comparer : Comparer deux nombres.

Θ : Arithmétique

τ trouvex_2PC,3 : : tâtonnement avec stratégie

P( τ trouvex_2PC,3 )= P( τ trouvex_2PC,2 ) avec certainement un gain de temps.

- Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur

donnée (type de tache décrit dans OML3) pour les deux programmes.

- Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.

- Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat

souhaité.

- Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.


37

trouvex_2PC,3 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur

donnée.


ordre de grandeur : Déterminer un ordre de grandeur.

Θ : Arithmétique

Exemple :

PA : Choisir un nombre. Ajouter 5. Multiplier le résultat par 3.

PB : Choisir un nombre. Multiplier par 5. Ajouter 3.

Quelle valeur choisir pour que PA et PB renvoient le même résultat ?

T trouvex_ineq : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une

valeur plus petite (respectivement plus grande) qu’un deuxième programme de calcul.

τtrouvex_ ineq,1 : Résoudre une inéquation.

P(τ ineq,1) = T trouve x_ineq


- Ttraduire : Traduire PC vers EA.

- Tec_ineq : Ecrire une inéquation du premier degré à une inconnue.

- Tres_ineq : Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.

inéquation : traduire

inéquation

Θ : Algèbre

τ trouvex_inéq,2 : tâtonnement sans stratégie:

P(τ inéq,2 ) = solutions du type ]- avec un

nombre entier.

- Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée

pour les deux programmes.

- Tcomparer : comparer les résultats obtenus.

- Tréitérer : réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie

aléatoirement.

ineq,2 : calculer

comparer : comparer deux nombres

Θ : Arithmétique


38

τ inéq,3 : tâtonnement avec stratégie:

P(τ inéq,3) = P(τ inéq,2 ) avec certainement un gain de temps.

-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée

pour les deux programmes.

-Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.

-Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat

souhaité.

-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.

ineq,3 : calculer : Calcul du résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée.


ordre de grandeur : Déterminer un ordre de grandeur.

Θ : Arithmétique

Exemple :

PA : Choisir un nombre. Ajouter 5. Multiplier par 3

PB : Choisir un nombre. Multiplier par 5. Ajouter 3

Quelles valeurs choisir pour que PA renvoie un résultat inférieur à PB ?

Tprouver_équiv : Prouver que deux programmes de calcul donnés sont équivalents.

τ prouver_équiv : -Tintroduire : Introduire une lettre.

-Ttraduire : Ecrire une expression algébrique pour chacun des deux

programmes.

-Tstructure : Analyse symbolique de la structure des expressions algébriques.

-Ttransformer : Transformer l’écriture d’une expression (pour obtenir l’autre)

ou des deux expressions.

-Tcomparer : Comparer les deux expressions.

prouver_equiv : traduire : Ecrire une expression algébrique.

structure : Analyse symbolique des expressions.

égalité_poly : Propriétés d’égalités des polynômes.

calc_alg : Distributivité simple ou double et identités remarquables.

(factorisation/développement)

Θ : algèbre


39

Exemple :

PA : Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier par 3 .Soustraire 6.

PB : Choisir un nombre. Prendre son triple.

Montrer que PA et PB donnent le même résultat quelle que soit la valeur choisie au

départ.

T étude_equiv : Déterminer si deux programmes de calcul sont équivalents (c’est-à-dire si

pour toutes les valeurs, les deux programmes renvoient la même valeur ou pas).

τ étude_équiv,1 : Méthode algébrique

- -Tprouver_equiv

- -Tconclure

étude_equiv ,1 : prouver_equiv

Θ : algèbre

τ étude_équiv,2 : Méthode algébrique

-Tintroduire : Introduire une lettre.

-Ttraduire : Ecrire une expression algébrique pour chacun des deux

programmes.

-Ttester : Tester l’égalité de deux expressions algébriques.

La forme de la preuve dépend ensuite de l’équivalence ou non des expressions :

S’il n’y a pas l’équivalence, recherche d’un contre- exemple.

S’il y a équivalence : - Tstructure

- Ttransformer : Transformer l’écriture d’une expression pour obtenir

l’autre ou des deux expressions.

- Tcomparer : Comparer les deux expressions.

étude_equiv : prouver_equiv

tester

Θ : algèbre


40

τ étude_équiv, 3 : Conjecture puis preuve

-Tconjecturer : conjecturer

- La forme de la preuve dépend ensuite de l’équivalence ou non des expressions :

S’il n’y a pas l’équivalence, recherche d’un contre- exemple.

S’il y a équivalence : Tprouver_équiv

étude_equiv : prouver_equiv

conjecturer

CE : Notion de contre- exemple.

Θ : algèbre

Exemple :

PA : Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier par 3. Soustraire 6.

PB : Choisir un nombre. Prendre son triple.

Est-il vrai que PA et PB donnent le même résultat quelle que soit la valeur choisie au

départ ?

Tprod_PCsimple : Produire un programme de calcul équivalent à un autre plus simple.

τprod_PCsimple,1 : preuve algébrique

- Tconjecturer : Conjecturer la nature du programme plus simple.

- Tprouver_equiv : Prouver l’équivalence des deux programmes de calcul.

τprod_PCsimple,1 : conjecturer

prouver_equiv

Θ : algèbre.

Exemple :

Choisir un nombre. Ajouter 6. Multiplier le résultat par le nombre de départ. Ajouter 9.

Montrer que le résultat est toujours un carré, quel que soit le nombre choisi au départ.


41

C. Dans OML3

Cette OML concerne l’algèbre des polynômes. Dans le cadre des programmes de

calcul, le type de tâche qui s’y rattache est Tcalculer. Il s’agit de calculer le résultat d’un

programme de calcul pour une valeur donnée.

On peut noter dans cette OML également le type de tâche Ttransformer : transformer une

expression algébrique (développer, factoriser, réecrire un monôme…) qui est

nécessaire pour résoudre les types de tâche autour de la preuve de OML2 sans qu’elle

soit nécessairement prescrite. Nous ne détaillerons pas ce type de tâche dans notre

travail.

τprod_PCsimple ,2 : preuve arithmétique.

-Tconjecturer : Conjecturer un résultat.

-Trègles_calc : Appliquer les règles de calcul pour transformer le programme en un

programme équivalent plus simple.

P(τprod_PCsimple,2) : programmes permettant l’utilisation des propriétés arithmétiques.

prod_PCsimple,2 : conjecturer

règles_calc_num : propriétés d’associativité, de commutativité pour le

calcul numérique.

Θ : arithmétique

Exemple :

Choisir un nombre. Lui ajouter 17,2 puis 5,3. Soustraire 13,8 au résultat. Retrancher

2,4 puis enlever 6,3 au résultat obtenu. Appliquer ce programme à un nombre. Que

constate –t-on ? Pourquoi ?


42

Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée.

τ calc,1 : - Tintroduire : Introduire une lettre.

- Ttraduire : Ecrire une expression algébrique.

- T substituer : Remplacer la lettre par une valeur numérique.

calculer,1 : traduire

substituer : Substitution d’une valeur numérique dans une expression

algébrique.

priorité : Priorité des opérations

Θ : algèbre.

Cette technique convoque la dialectique numérique/algébrique.

τ calc,2 : Tcalc_étapes : Calcul pas à pas des différentes étapes.

calculer,2 : op : Opérations usuelles( +, x, - :, ² ; …)

égalité : Notion d’égalité

Θ : arithmétique.

τ calc,3 : -Tec_ligne : Ecriture en une ligne du programme avec la valeur numérique

choisie.

-Tcalc_num : Calcul de l’expression numérique obtenue.

calculer,3 : traduire PC vers EN : Traduire un programme de calcul en une expression

numérique :

priorité : Priorité des opérations.

règle_conv :Règles de conversion d’un registre de représentation

sémiotique à un autre.

règle_form : Règles de formation des expressions numériques. (conventions

d’écriture)

Θ : arithmétique.

Exemple :

Je choisis un nombre, j’ajoute 2, je multiplie le résultat par 6.

Quel résultat obtient-on lorsque l’on choisit 5 ?


43

D. Tableau récapitulatif

Voici un tableau présentant les praxéologies de référence décrites précédemment

pour les différents types de tâche présents dans chacune des OML.

Tableau 1 : Tableau récapitulatif des praxéologies de L'OM de référence

Les flèches indiquent les types de tâches intervenant dans les techniques des autres

types de tâche. Par exemple Tintroduire intervient dans une des techniques de Ttrouve x

(τtrouvex,1).

Ce tableau montre que Tintroduire et Ttraduire sont très présentes dans les techniques des

autres types de tâche ce qui confirme le lien étroit entre les programmes de calcul et la

motivation de l’activité algébrique.


44

Il en est de même pour Tcalculer puisque c’est une activité indispensable à la conjecture

et qu’il est nécessaire dans les techniques arithmétiques (sauf celle utilisant la

réciprocité des opérations).

Ttransformer intervient dans la technique de Tprouver_equiv qui intervient à son tour dans les

techniques de Tétude_equiv et Tprod_PCsimple. Ce type de tâche est donc également très

présent et montre que les types de tâche précédents permettent de motiver le calcul

algébrique. L’algèbre est alors considéré comme un outil dans des situations de

preuve.

L’activité de conjecture est également très présente dans les types de tâche autour de

la preuve.

E. Lien entre ces différentes OML

Ces trois OML ne sont pas isolées. La réalisation de certains types de tâche d’une OML

implique la convocation d’autres types de tâche de cette OML ou des autres.

Par exemple : Tétude_équiv (OML2), réalisée avec τ étude_équiv,3 convoque :

Tintroduire et T traduire (OML1) ou encore Tconjecturer (OML2) qui lui-même convoque Tcalculer

(OML3).

Cette OM de référence nous donne des critères pour l’analyse praxéologique des

programmes, des documents d’accompagnement et des manuels de collège.

PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels

45

PARTIE 3 : Analysé praxé ologiqué du curriculum ét dés manuéls

I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum

Nous étudierons dans ce paragraphe comment se déclinent, dans le curriculum, les

différents types de tâches ainsi que les techniques et les technologies répertoriés dans

l’OM de référence. Nous nous placerons pour cela dans chacune des OM locale.

A. OM1 - Génération des expressions algébriques

Au collège, les types de tâches Ttraduire, Tintroduire et Tassocier sont présents à travers

l’intitulé : « Produire une expression algébrique » explicité pour la première fois en

2008, dans le programme de 5ème.

Cette présence offre la possibilité d’introduire les expressions algébriques en amenant

à considérer les programmes de calcul non plus uniquement comme des processus

mais comme des résultats. Cependant, comme le souligne Julia Pilet (2012) : « les

programmes sont silencieux sur le rôle joué par la production d’expression relativement

à l’introduction des expressions. » Seul le document d’accompagnement, dont on peut

s’interroger sur l’usage qu’en font les enseignants et les auteurs de manuels, apporte

des éléments.

L’étude de programmes de calcul équivalents, à partir de leur modélisation

symbolique, permet d’amener les élèves à un travail sur les expressions au niveau

structural et plus seulement au niveau procédural.

« La prise en compte de l’aspect « structural » d’une expression dans l’enseignement

est moins « visible » pour les élèves que l’aspect « procédural ». Pour rééquilibrer

l’enseignement des deux aspects, l’étude du type de problèmes « Les programmes de

calcul que traduisent deux expressions algébriques sont-ils équivalents ? » permet de

motiver le travail « structural » sur les expressions algébriques, qui nécessite

l’identification de la forme d’une expression et souvent le changement de cette forme

(trans-formation), selon le but poursuivi. On est alors conduit à apprendre aux élèves à

déterminer la forme d’une expression, selon des catégories qui évoluent au cours de

l’enseignement. Savoir si une expression est une somme ou un produit est une tâche

incontournable, que l’élève doit à terme savoir faire seul, sans indication de la part du

professeur ou de l’énoncé de l’exercice. » (Document d’accompagnement «Du

numérique au littéral » 2008, p.5)

I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum

46

B. OM2 - Équivalence des expressions algébriques

Les questions relatives à l’équivalence et la structure des expressions ne figurent pas

dans les programmes du collège.

Le seul type de tâches constitutif de OM2 qui apparaît dans les programmes du collège

est Ttester :

« Tester l’égalité de deux expressions en leur attribuant des valeurs numériques ». Il est

présent en cinquième sous la forme « Tester si une égalité comportant un ou deux

nombres indéterminés est vraie lorsqu’on lui attribue des valeurs numériques. »

Il est rattaché à la notion d’équation, pas à celle des expressions algébriques. La lettre

prend alors davantage le statut d’inconnue que celui de variable. Il permet de

travailler le statut d’équivalence dans le contexte d’équation et non dans le contexte

d’identité qui nécessiterait une quantification.

Par contre, on trouve dans le document d’accompagnement, des éléments des

techniques des types de tâches Ttester, Tprouver_equiv, et Tétude_équiv :

La technique qui consiste à tester deux expressions pour contrôler l’exactitude d’une

transformation dans la preuve de l’équivalence est mise en avant :

«Après qu’une transformation d’expression algébrique (factorisation, développement,

réduction, … ) a été faite, un type de tâches doit faire l’objet d’une meilleure visibilité

pour les élèves : comment contrôler qu’elle a été faite sans erreur ? Il est souhaitable

d’aider les élèves à se doter de moyens de contrôles économiques du développement

ou de la factorisation d’une expression auxquels l’expert recourt constamment, comme

par exemple, la vérification du coefficient de plus haut degré ou du terme constant. Il

faut aussi en montrer les limites qui justifient le recours à des tests sur un nombre

restreint de valeurs bien choisies. Le recours à une calculatrice pour effectuer des tests

sur des valeurs numériques en facilite la validation. En classe, le professeur peut

montrer l’usage du tableur pour contrôler l’exactitude de l’égalité (3x-1)(2x+5) = 6x²+

+13x-5.[...]. Si le développement est exact, en faisant varier la valeur attribuée à x [...]

les valeurs numériques qui s’affichent [...] varient également, mais restent égales. Il est

important que les élèves soient conscients que ce type de contrôle conduit à penser que

deux expressions sont effectivement égales sans toutefois en avoir la certitude (des

critères permettant de l’obtenir seront étudiés plus tard). En revanche, le fait que, pour

une valeur attribuée à x, il n’y ait pas égalité des valeurs des deux expressions, suffit à

prouver qu’elles ne sont pas égales. » (Document d’accompagnement, p. 6)

Le type de tâche Tstructure, peu souligné dans les programmes, apparait lui aussi dans le

paragraphe du document d’accompagnement intitulé « Les deux aspects d’une

expression algébrique : « procédural » et « structural » ».


47

Il est souligné que : « La prise en compte de l’aspect « structural » d’une expression

dans l’enseignement est moins « visible » pour les élèves que l’aspect « procédural ».

[...] On est alors conduit à apprendre aux élèves à déterminer la forme d’une

expression, selon des catégories qui évoluent au cours de l’enseignement. Savoir si une

expression est une somme ou un produit est une tâche incontournable, que l’élève doit

à terme savoir faire seul, sans indication de la part du professeur ou de l’énoncé de

l’exercice. » (Document d’accompagnement, p.5)

Les types de tâche Ttrouvex et T trouve x _2PC sont abordés dans ce même document à partir

d’un exemple. Il y est mis en évidence la nécessité d’infirmer la technique par

réciprocité des opérations pour permettre d’accéder à une méthode algébrique. La

praxéologie mise en avant est celle de nature algébrique.

Nous en avons exposé un exemple lors de notre étude épistémologique.

Les praxéologies rattachées à ces types de tâche apparaissent également dans le vade-

mecum sur le socle commun. Elles sont en concordance avec celles décrites dans l’OM

de référence. Il est précisé de valoriser les aptitudes qui relèvent du socle (ici,

effectuer des calculs simples et élaborer une stratégie par essais-erreur) tout en

montrant les limites de l’empirique et en plaidant plus honnêtement et plus

efficacement pour des méthodes mathématiques rigoureuses.

Tétude_equiv et Tprouver_equiv figurent explicitement dans le document d’accompagnement :

« On veut savoir si deux programmes de calcul relatifs à une même variable sont

équivalents, c’est-à-dire s’ils « retournent » toujours les même valeurs quand on

« rentre » n’importe qu’elle valeur. Si la réponse est négative elle est facile à justifier.

Mais quelle justification fournir dans le cas où la réponse est affirmative ? On peut-y

arriver en utilisant les règles de calcul qui garantissent l’équivalence des programmes

de calcul que les expressions traduisent, au rang desquelles figure la distributivité de la

multiplication par rapport à l’addition. »

On notera que c’est la technique de conjecture-preuve qui est retenue (et qui

correspond à τétude_equiv,3). La technologie proposée est l’utilisation des règles du calcul

algébrique (distributivité).

Tprod_PCsimple n’apparait pas dans le document d’accompagnement mais dans un

exemple du Vade Mecum concernant le socle commun.

On ne rencontre pas Ttrouvex_ineq.

II. Choix des manuels à analyser.

48

On peut donc constater que la plupart des types de tâches relatifs à OML2

apparaissent, bien que disséminés dans plusieurs documents et avec des objectifs

parfois différents. Les praxéologies attendues sont d’ordre algébrique.

C. OM3 : Algèbre des polynômes

Les travaux de Julia Pilet (2012) montrent que OML3 est l’OM locale la plus présente et

que la trace de OM3 dans les programmes coïncide avec l’ensemble des types de

tâches techniques (développer, factoriser…). La transformation des expressions est

principalement guidée par un travail syntaxique qui s’appuie sur des ostensifs. Il y a

très peu de traces sur les liens étroits entre OM3 et OM2 et entre OM3 et OM1.

Dans le cadre des programmes de calcul, Tcalculer est absente des programmes et des

documents d’accompagnement. On trouve par contre la description de Ttransformer

comme élément de la technique permettant de prouver l’équivalence de deux

programmes de calcul (cf citation précédente).

II. Choix des manuels à analyser.

Nous avons choisi quatre manuels sur les quatre niveaux du collège afin d’avoir une

vision globale de l’OM à enseigner relative aux programmes de calcul. Les collections

retenues pour l’analyse praxéologique et écologique sont :

- Les manuels Phare chez Nathan en raison de leur grande utilisation par les

enseignants.

- Les manuels triangles chez Hatier qui ont été parmi les premiers à développer

la production d’expression dans des activités de généralisation ou de preuve. C’est

aussi une collection qui propose un chapitre spécifique sur la démonstration par le

calcul algébrique dans le manuel de 4ème que l’on peut interpréter comme une la

volonté des auteurs de mettre en avant l’algèbre comme outil.

- Les manuels Zenius chez Magnard qui sont ceux ayant déclenché cette étude

avec la présence de programmes de calcul dès le niveau 6ème (dans l’édition 2013).

- Les manuels Sesamath diffusés par Génération 5. Ils sont issus d’un travail

collaboratif au sein de l’association Sésamath et sont téléchargeables gratuitement sur

internet.

Nous étudierons les éditions disponibles les plus récentes pour chaque manuel :

En 6ème : Sesamath en ligne, Phare 2014, Zenius 2013, Triangle 2009,

En 5ème : Sesamath en ligne, Phare 2010, Zenius 2010, Triangle 2010.




49

III. Analyse écologique

L’analyse écologique consiste à situer les habitats (lieux de vie et environnement

conceptuel de l’objet de savoir) et les niches (fonctions de cet objet dans le système

des objets avec lesquels il interagit) attribués aux programmes de calcul en regard des

propositions du curriculum.

Les programmes sont découpés en quatre domaines :

Nombres et calculs

Organisation et gestion de données/Fonctions

Travaux géométriques

Grandeurs et mesures

Une lecture exhaustive des manuels nous a permis de constater que l’on rencontre

essentiellement les programmes de calcul dans le domaine numérique. Ils apparaissent

également en classe de 5ème dans le domaine « organisation et gestion de données ».

Cela correspond à l’apparition de l’algèbre en classe de 5ème dans le domaine

« organisation et gestion de données » à travers « utiliser et produire une expression

littérale » qui selon Julia Pilet (2012) :

«marque un tournant dans la fonction donnée à l’algèbre dès son introduction. La

production d’expressions algébriques apparaît pour la première fois explicitement pour

résoudre des problèmes de généralisation, de modélisation et de mise en équation au

collège. Or, comme nous l’avons déjà souligné dans l’OM de référence, c’est à travers

ces problèmes que les expressions algébriques trouvent leur raison d’être. Cette

évolution marque une volonté d’introduire l’algèbre non plus comme une arithmétique

généralisée (Chevallard, 1985b ; Gascón, 1994) mais comme un outil au service de la

résolution de problèmes de généralisation ou de preuve. Cela offre l’occasion de

motiver l’introduction de l’algèbre, par exemple en lien avec l’étude de l’équivalence

des programmes de calcul et de faire les liens entre les trois OM locales, comme nous

l’avons souligné dans l’OM de référence (cf. §3.1). »

A. Répartition des exercices type « programmes de calcul » dans les

manuels

Pour les niveaux 4ème et 3ème les programmes de calcul sont concentrés dans le

domaine numérique à l’intérieur des chapitres concernant le calcul littéral, les

équations et inéquations. Ces derniers sont plus ou moins morcelés selon les manuels.

Ils apparaissent également dans d’autres chapitres (racines carrées en 3ème par

exemple) ce qui peut traduire la volonté d’une rencontre plus fréquente avec les types

de tâche relatifs aux programmes de calcul (cf tableau en annexe).

Deux manuels de 3ème (Zenius et Sesamath) font le lien avec le cadre fonctionnel où

l’algèbre est employé comme outil. Le programme de calcul est alors considéré sous

III. Analyse écologique

50

un aspect dynamique et l’inconnue devient une variable. Cet aspect relevant

davantage du programme de 2nde que de celui de 3ème, les exercices proposés sont à la

marge.

Pour le niveau 5ème le point de vue des auteurs diffère sensiblement selon les

collections : le manuel Phare intègre les programmes de calcul dans un unique chapitre

(calcul numérique) alors que le manuel Sesamath les répartit dans quatre chapitres. La

volonté d’une rencontre plus fréquente avec ce type d’exercice et d’une utilisation de

l’algèbre comme outil est visible.

On peut noter aussi que les exercices rencontrés sont essentiellement situés dans la

partie « exercices ». Seules deux collections, Sesamath (3ème, 4ème) et Triangle (4ème)

les intègrent dans la partie « activités » des chapitres « calcul littéral » et « équations-

inégalités ». Ces dernières peuvent être considérées comme un moment de première

rencontre (au sens de Chevallard). Cela traduit la volonté des auteurs de se conformer

aux prescriptions des documents d’accompagnement en utilisant les programmes de

calcul pour motiver la production d’expressions algébrique.

B. Sujets de brevet

Nous pouvons compléter l’analyse écologique précédente par l’apparition

relativement récente (2007) et régulière des programmes de calcul dans les sujets de

brevet. Cela traduit une volonté institutionnelle forte de les introduire dans l’OM à

enseigner.

Les manuels de 4ème et de 3ème reprennent d’ailleurs bon nombre d’exercices proposés

à cet examen.

On peut alors se demander si les élèves possèdent les outils pour traiter ces exercices.

Trouve –t-on sur la présence d’un environnement technologique dans les manuels?

Les techniques des différents types de tâche en jeu sont-elles décrites ? Ou encore, les

types de tâches intrinsèques sont-ils mis en évidence ?

C. Environnement technologique

Au niveau 5ème, Seul le manuel interactif Sesamath propose pour un exercice (dont le

type de tâche est Tprouver) un lien vers des exercices interactifs, un simulateur de

tableur et des exercices de mathenpoche dont la démarche est détaillée.

Les exercices proposés mettent en œuvre la technique relative à Tprouver_equiv en

travaillant plus particulièrement les types de tâche Ttraduire, Tassocier et Ttransformer qui ne

sont pas directement prescrites aux élèves.

Pour le niveau 4ème, il n’est pas étonnant de retrouver le manuel Sesamath qui propose

encore une fois des liens vers des corrections, des aides animées et des exercices


51

interactifs (issus de Sesamath et de matoumatheux1). Ces derniers mettent en avant

Ttraduire ainsi que la conversion du registre algébrique vers celui des schémas de calcul,

ce qui permet le travail de la dialectique structural/procédural comme le préconise le

document d’accompagnement.

Le manuel Triangle 4ème propose également un exercice corrigé pour le type de tâche

Tprod_PCsimple avec le détail de toutes les étapes de la preuve de l’équivalence. Ce dernier

étant présent dans la partie « cours et méthodes » institutionnalise la méthode de

résolution. On peut noter que ce type d’exercice occupe une place importante dans la

mesure où il apparait aussi dans la partie « pour réviser le contrôle », en lien sans

doute avec la présence régulière des programmes de calcul au brevet des collèges

(depuis la session 2007).

Pour le niveau 3ème trois manuels proposent des éléments technologiques :

Le manuel Sesamath propose un lien vers un exercice résolu lors d’un exercice

mettant en œuvre Ttrouve x et Tprod_PCsimple.

Le manuel Phare propose une solution rédigée sur son site élève à propos des

types de tâche Ttrouve x et Ttrouvex_2PC.

On peut cependant noter que cet élément technologique est proposé sur un site

annexe au manuel dont nous ne savons pas s’il est réellement utilisé par les

enseignants et les élèves.

Le manuel Zenius propose un exercice de brevet qui met en œuvre Ttrouve x et

Tétude_equiv avec solution rédigée dans la partie exercice et plus précisément dans un

paragraphe intitulé « Je m’entraine au brevet ». Les auteurs ont pris en compte

l’entrée de ce type d’exercices au brevet des collèges et détaillent une technique de

résolution (algébrique). Dans les commentaires liés à cette résolution, d’autres

techniques possibles sont décrites mais sans exemple. Elles ne sont pas valorisées.

D. Conclusion

On trouve très peu d’éléments technologiques dans les manuels papiers, davantage

dans les manuels numériques mais cela reste confidentiel. Le travail est

essentiellement mené sur les niveaux 5ème et 4ème.

Les manuels Sesamath et Triangle s’efforcent de créer un environnement

technologique autour des programmes de calcul.

Le manuel Triangle concentre son discours sur le niveau 4ème.

Le manuel Sesamath propose dès la 5ème et les deux années suivantes des

éléments pour traiter le Type de tâche Tprouver_equiv mais uniquement dans le manuel

numérique.

1 Matoumatheux est un didacticiel disponible gratuitement en ligne. Il propose des exercices du primaire à la fin du collège en mathématiques.

IV. Analyse praxéologique des manuels

52

En 3ème, les manuels Zenius et Phare (dans le site élève) proposent un exercice corrigé.

La motivation des auteurs du manuel Zénius semble être la présence de ce type

d’exercice dans les sujets de brevet.

Il n y a pas de mise en évidence des liens entre les trois OML.

Les auteurs du manuel Phare n’ont pas pris en compte le travail algébrique proposé

par le curriculum et n’ont pas développé d’environnement technologique autour des

programmes de calcul.

Aucune de ces collections ne propose une progression concernant les praxéologies à

mettre en œuvre sur les quatre années du collège.


A. Représentativité des différents types de tâche

Commençons par quelques précisions au sujet de l’analyse des exercices :

- Un exercice peut convoquer plusieurs types de tâche.

- Une cellule vide signifie que le type de tâche n’est pas convoqué.

- Le tableau ne comptabilise pas les types de tâche qui interviennent dans les

techniques des types de tâches proposés par l’énoncé. C’est-à-dire qu’il comptabilise

uniquement les types de tâche dans leur fonction d’objet.

On appellera MS : manuel Sesamath

MP : manuel Phare

MZ : manuel Zénius

MT : manuel triangle

On dénombre 114 convocations de type de tâche pour 99 exercices.

Tableau 2 : Représentativité des différents types de tâche en tant qu'objet.


53

Ttraduire et Tassocier 1.

On ne rencontre pas ces types de tâche en 6ème pour des raisons écologiques, l’algèbre

n’étant pas au programme.

Les types de tâche Ttraduire et Tassocier sont présents 12 fois (soit environ 10 % des cas)

dans ce tableau essentiellement au niveau 5ème. Prescrits en tant qu’objet, ils

répondent à la demande des programmes de « Produire une expression

littérale (5ème)» et ont pour fonction le travail de la syntaxe des expressions

algébriques. La majorité des exercices proposés consistent en une traduction du

registre programme de calcul vers celui des expressions algébriques, ce qui fait

intervenir l’aspect procédural des expressions.

Seuls trois exercices (dans les manuels Sesamath, Phare et Triangle) proposent une

traduction de l’expression algébrique vers le programme de calcul, qui elle permet le

travail de l’aspect structural.

Nous notons là un manque du travail de la dialectique procédurale/structurale déjà

constaté par Chevallard (1989) et pourtant proposé par le document

d’accompagnement.

Le manuel Zénius 5ème a pris le parti de travailler la syntaxe des expressions dans le

cadre numérique en proposant une traduction du programme de calcul en une

expression numérique :

Pour les niveaux 4ème et 3ème ces types de tâches apparaissent très peu en tant

qu’objet mais interviennent en tant qu’outil dans un grand nombre de techniques des

autres types de tâches décrits dans ce travail.

Dans les exercices proposant une activité de preuve (à partir du niveau 5ème), le

recours à Ttraduire est en général indispensable. Cela représente environ un tiers des

types de tâche proposés.

Excepté en 6ème où l’algèbre n’intervient pas, Ttraduire (et par conséquent Tintroduire) est

induit dans environ la moitié des cas. Pour l’autre moitié, c’est à l’élève de prendre

l’initiative d’introduire l’algèbre.

Figure 5: Manuel TRIANGLE 5éme


54

Ces résultats généraux sont cependant très variables selon les manuels.

Par exemple, dans la collection Phare, ces deux types de tâche sont la plupart du

temps (8 exercices sur 11 en 3ème) prescrits par l’énoncé qui propose d’introduire

une lettre et de traduire le programme. Les auteurs du manuel semblent avoir pris en

compte les programmes officiels et les documents d’accompagnement en proposant

un grand nombre d’exercices autour des programmes de calculs pour introduire

l’algèbre. Pourtant, la plupart d’entre eux sont redondants et peuvent être résolus

autrement que par une méthode algébrique (9 fois sur 11). Les types de programmes

proposés et les valeurs choisies ne sont pas pertinents pour motiver l’algèbre.

C’est ce que l’on peut observer dans cet exemple qui introduit une technique

algébrique alors que la simple réversibilité des opérations permet de conclure. Le

nombre à choisir (2,25) est aussi suffisamment simple pour être trouvé par une

méthode d’essais/erreur.

On observe ce même profil dans la collection Zénius : la technique algébrique est

largement induite et le recours à l’algèbre rarement indispensable.

Par contre, le manuel Triangle 3ème propose un grand nombre de type de tâche de

preuve ( Tprouver_equiv, Tétude_equiv et Tprouver) pour lesquels le recours à l’algèbre s’avère

indispensable et la technique algébrique n’est pas induite. Pour les types de tâche

Ttrouve_x et Ttrouvex _2PC la technique algébrique n’est pas induite non plus. Cela répond

bien davantage aux attentes du curriculum pour motiver l’entrée dans la pensée

algébrique.

De plus, ce manuel propose une évolution cohérente de la 5ème à la 3ème. En 5ème les

auteurs ont mis l’accent sur le travail de la technique de Ttraduire (prescrite comme

objet) puis Ttraduire devient outil pour les niveaux 4ème et 3ème.

On retrouve ces caractéristiques chez Sesamath.

Figure 6 : Manuel PHARE 3ème.


55

Ttrouve x 2.

C’est le type de tâche le plus fréquent : il représente 35 % des types de tâche

proposés.

Les techniques possibles sont de nature arithmétique ou algébrique.

Dans 40% des cas, la technique algébrique est induite. Pourtant cette dernière est

rarement indispensable pour trouver la valeur de départ. Les techniques de

réversibilité des opérations et d’essais-erreur sont la plupart du temps suffisamment

performantes pour trouver la valeur de départ. L’introduction de l’algèbre n’est

vraiment nécessaire (les autres méthodes n’étant pas utilisables ou trop couteuses)

que dans 8 % des cas.

L’élève peut ne pas être incité à rentrer dans une démarche algébrique.

La proposition quasi systématique de faire fonctionner le programme sur quelques

valeurs peut induire chez les élèves les techniques de calcul par tâtonnement qui ne

sont pas des techniques algébriques.

La praxéologie permettant d’aborder la technique de réciprocité des opérations est

quasiment absente : quatre exercices seulement (un en 6ème, un en 5ème et deux en

4ème). Les manuels donnent presque toujours les programmes de calcul par leur

description langagière. On ne rencontre pas de schémas de calcul qui permettraient

pourtant de visualiser les opérations réciproques.

Seul le manuel Sesamath 4ème utilise cette technique dans ses activités pour mettre en

évidence la nécessité du recours à l’algèbre en proposant une situation qui la met en

échec et qui l’explicite. De plus, le choix des valeurs proposées rend trop couteuse

l’utilisation des techniques par tâtonnement ce qui motive donc l’introduction d’une

expression algébrique.

On peut penser que la fréquence importante de ce type de tâche est motivée par les

exigences du socle commun. Les résolutions d’équation ne sont pas une compétence

du socle. Les procédures relevant à la fois de l’arithmétique et de l’algébrique, chaque

élève confronté à ce type de tâche produire un raisonnement et aboutir à une

solution.


56

Ttrouve x_2PC 3.

Ce type ne tâche n’apparait pas au niveau 6ème et une seule fois au niveau 5ème pour

des raisons écologiques.Il conduit en effet à la résolution d’équations qui n’est pas au

programme de 6ème et qui n’est pas au centre du travail sur les équations en 5ème.

Il apparait dans 15% des cas sur les autres niveaux, davantage en 3ème qu’en 4ème. C’est

pourtant à ce niveau que l’on traite des résolutions d’équations. Les programmes de

calcul, en permettant l’obtention d’équations dans lesquelles l’inconnue figure dans

les deux membres, constituent une situation propice à justifier l’introduction de

l’algèbre.

Les manuels Triangle et Sesamath l’exploitent dans leurs activités d’introduction du

chapitre traitant des équations. Le manuel Sesamath montre de plus les limites d’une

recherche par tâtonnement (à l’aide d’un tableur) en proposant une solution non

décimale.

La technique algébrique est induite dans deux tiers des cas.

Ttrouvex_ineq 4.

Ce type de tâche est marginal par rapport à l’ensemble des types de tâche proposés (3

exercices seulement). Le calcul littéral n’étant plus un objectif du socle, la notion

Figure 7 : Manuel SESAMATH 4ème


57

d’inégalité n’est plus une priorité et les exercices relatifs aux inéquations bien moins

nombreux que ceux sur les équations. Ils sont utilisés aux mêmes fins que Ttrouve x et

Ttrouve x_2PC.

Tconjecturer 5.

Ce type de tâche intervient essentiellement en tant qu’outil dans les techniques des

types de tâche Tétude_equiv, et Tprod_PCsimple.

Les élèves sont alors susceptibles de le mettre en œuvre dans 30 % des types de tâche

proposés.

La conjecture est induite par l’énoncé dans environ 75 % des cas. Cela confirme que la

praxéologie dominante est celle de la technique conjecture puis preuve pour les deux

types de tâches concernés. C’est en effet ce qui est préconisé par le curriculum en lien

avec la démarche d’investigation (document d’accompagnement « raisonnement et

démonstration », 2009).

En 6ème deux exercices proposent ce type de tâche en tant qu’objet : dans le manuel

Phare 2014, l’exercice propose de conjecturer la propriété d’associativité et de

commutativité. La présentation sous forme de programme de calcul est nouvelle

(présente dans l’édition 2014 mais pas 2009). Elle offre la possibilité de travailler la

structure d’une expression numérique par l’utilisation du vocabulaire et des

procédures de calcul proposées, travail transférable aux expressions algébriques

ultérieurement.

On peut y voir la volonté d’une familiarisation précoce des élèves avec le registre

« programme de calcul » et d’aborder dès la 6ème la production d’expressions

numériques et l’étude de leur structure.

Dans l’autre manuel (Zénius), l’idée sous- jacente est plutôt de produire un

programme équivalent plus simple (sans preuve d’équivalence) et donc de familiariser

les élèves avec le type de tâche Tprod_PCsimple.

Tprouver_equiv 6.

Ce type de tâche est très peu présent en tant qu’objet mais il intervient un grand

nombre de fois en tant qu’outil dans la technique algébrique de Tprod_PCsimple et dans les

techniques de Tétude _equiv. . A l’exception du niveau 6ème, il intervient dans environ 30 %

des types de tâche proposés. C’est un type de tâche central dans l’activité de preuve

qui nécessite le recours au calcul algébrique.

Tétude_equiv 7.

Ce type de tâche, prescrit en tant qu’objet, est très peu rencontré (8% des cas). C’est

pourtant le grand type de tâche proposé par Chevallard pour motiver le calcul


58

algébrique. Le manuel Sésamath 3ème suit d’ailleurs ses recommandations en

proposant ce type de tâche dans les activités d’introduction du chapitre « calcul

littéral ». La technique retenue est celle de conjecture-preuve.

Figure 8 : Manuel SESAMATH 3

ème

On constate un certain conformisme dans les exercices proposant ce type de tâche : un

même exercice (issu d’un sujet de brevet) est présent cinq fois sur huit dans les

différents manuels.

La technique de résolution induite pour cet exercice est celle de τétude_equiv,1 c’est-à-dire

une méthode complétement algébrique. L’énoncé n’incite pas à effectuer une

conjecture mais plutôt à traduire directement le programme sous forme d’une

expression algébrique. C’est d’ailleurs ce que l’on peut observer dans le Manuel Zenius

3ème qui propose et commente la correction de cet exercice. Il préconise le test pour

quelques valeurs numériques mais ne le met pas en œuvre.

Les autres manuels n’abordent pas le sujet.

La technique proposée pour les autres exercices est celle de la conjecture puis preuve,

ce que l’on a déjà observé lors de l’étude du type de tâche Tconjecturer. En général le

recours à l’algèbre n’est pas induit.

On constate cependant que l’on est toujours dans une situation d’équivalence ce qui

ne motive pas forcément l’activité de conjecture et ne permet pas un travail par

rapport au raisonnement comme le préconise le document sur le socle. Finalement, le

type de tâche réellement proposé est plutôt Tprouver_equiv.

Tprod_PCsimple 8.

Ce type de tâche est proposé en tant qu’objet dans 20 % des cas.

Il est accessible dès le niveau 6ème pour certains programmes de calcul avec une

méthode arithmétique et fait son apparition dans certaines collections (éditions 2013).

Il repose sur la technique de conjecture –preuve.


59

On trouve également ce type de tâche dans le nouveau manuel Phare 6ème (2014)

alors qu’il n’existait pas dans la version précédente.

Il faut ensuite attendre les niveaux 4ème et 3ème pour le retrouver.

Le recours à l’algèbre est majoritairement induit pour le niveau 4ème alors que ce n’est

pas le cas en 3ème, l’initiative en est laissée à l’élève.

a) Tcalculer

Ce type de tâche représente, en tant qu’objet 7 % de l’ensemble des types de tâche

proposés. Les programmes de calculs ne servent donc manifestement pas à « faire »

des calculs.

On le rencontre majoritairement au niveau 5ème.

Figure 9 : manuel ZENIUS 6ème

Figure 10 : Manuel TRIANGLE 3ème

.


60

On peut alors s’interroger sur le rôle qu’il y joue à ce niveau.

Les techniques possibles sont de trois ordres : la première est algébrique, elle consiste

à traduire le programme par une expression algébrique puis à substituer une valeur.

On la trouve explicitée une unique fois dans le manuel Zénius 5ème :

Cette praxéologie est quasi absente alors qu’elle permet l’entretien de la dialectique

numérique /algébrique.

La deuxième est son effectuation pas à pas. C’est la plus couramment rencontrée et

celle que les élèves utilisent spontanément puisqu’elle relève de l’aspect procédural,

plus simple à identifier.

La troisième consiste en l’écriture en une ligne du calcul puis le calcul de l’expression

obtenue. Cette troisième technique, moins naturelle en raison de l’aspect procédural

du programme de calcul, apparait une unique fois dans le manuel Sésamath.

Elle permet pourtant un travail syntaxique sur les expressions numériques qui serait

transférable ensuite sur les expressions algébriques. Cela pourrait être une manière

d’aborder le passage de l’aspect procédural à l’aspect structural des expressions.

Deux exercices du manuel Zenius semblent toutefois prendre en charge cette

question en proposant un calcul pas à pas du programme puis son écriture en une

expression (sans exiger le calcul de l’expression)

Cette collection poursuit ce travail en 3ème en proposant un exercice analogue.

On constate donc que cette praxéologie, qui parait pourtant favoriser l’accès à l’aspect

procédural des expressions est très peu rencontrée.

Les autres exercices existants ont uniquement pour fonction le calcul avec des

nombres relatifs ou des fractions.

Figure 11 : Manuel ZENIUS 5ème

Figure 12 : Manuel ZENIUS 5ème


61

Ce type de tâche en tant qu’outil est présent dans tous les autres types de tâche

décrits précédemment (mise à part Ttraduire et Tassocier).

Il est indispensable à l’activité de conjecture et intervient dans les techniques

arithmétiques. En général la technique n’est pas imposée mais la forme procédural des

programmes de calcul induit l’effectuation pas à pas.

Lorsque l’utilisation d’un tableur est proposée, l’écriture d’une formule induit la

technique d’écriture en une expression. Cela reste toutefois marginal (1 exercice en

5ème, 2 exercices en 4ème).

Dans un cas (Sesamath 5ème) le tableur est proposé avec une effectuation pas à pas des

calculs. Bien que préconisé par le document d’accompagnement, l’outil tableurs est

quasiment inutilisé. Il favorise pourtant l’entrée dans le calcul littéral grâce au travail

syntaxique et sémantique autour de l’écriture d’une formule et l’usage des cellules

permettant de travailler l’évolution de la lettre du statut d’inconnue à celui de

variable.

b) Ttransformer

En général, ce type de tâche n’est pas directement prescrit aux élèves. On le trouve

une unique fois dans les manuels Phare et Triangle en 3ème. Il s’agit du même exercice

de brevet (Nouvelle Calédonie, 2009). Proposer ce type de tâche implique que la

méthode algébrique ait été introduite. On peut penser que les auteurs des sujets de

brevet souhaitaient davantage évaluer la maitrise du calcul algébrique que le

raisonnement à travers cet exercice.

B. Bilan

D’une manière générale, peu d’exercices traitent des programmes de calcul dans les

manuels et l’on trouve peu d’éléments technologiques accessibles les concernant.

Tous les types de tâches proposés dans le modèle praxéologique de référence

apparaissent mais sans lien clairement établi avec l’algèbre. Deux collections se

distinguent cependant en proposant des praxéologies permettant une entrée dans la

pensée algébrique ainsi qu’un travail sur le calcul algébrique. Il s’agit de Sesamath et

de Triangle. Ce travail est essentiellement mené à partir du niveau 4ème alors qu’il

pourrait l’être dès le niveau 5ème : Le programme de calcul permet de produire une

expression littérale qui peut être transformée grâce à la distributivité simple.

La consultation de manuels plus récents (2014) qui viennent de paraitre montrent une

prise en compte plus grande des praxéologies décrites dans l’OM de référence et ce

dès le niveau 6ème.

62

Conclusion

Nous nous sommes intéressés dans ce travail à l’objet « programme de calcul ».

Nous avons tout d’abord fait le point des documents officiels et travaux de recherche

existants sur le sujet.

Nous nous sommes ensuite interrogés sur la manière dont ces programmes étaient

utilisés dans les manuels et dans quel but.

Nous avons pour cela construit un modèle praxéologique de référence afin d’analyser

le curriculum et les manuels, reflets du rapport institutionnel à cet objet.

Il apparait une prise en compte des travaux de recherche dans les documents

d’accompagnement. L’institution souhaite réhabiliter l’enseignement de l’algèbre en

utilisant, entre autre, les programmes de calcul pour motiver l’entrée dans l’algèbre et

le calcul algébrique (cela correspondait à notre deuxième question de recherche).

On peut toutefois noter une certaine lenteur dans le processus de transposition. Les

premiers travaux de Chevallard autour de l’algèbre datent de 1985 et le document

d’accompagnement « du numérique au littéral » a été rédigé en 2008, soit 23 ans plus

tard !

L’institution accorde également une place importante aux programmes de calcul en

termes de différenciation dans la classe dans le cadre du socle commun de

connaissances et de compétences.

Cependant, la lecture seule des programmes ne permet pas de comprendre la

présence des programmes de calculs dans les manuels. Il ressort de notre étude que

les auteurs de manuels eux-mêmes abordent peu cette question. On peut noter la

présence, en petit nombre, de tous les types de tâches proposés par le modèle

praxéologique de référence mais leur utilisation comme entrée dans la pensée

algébrique et motivation du calcul algébrique n’apparait pas clairement.

On peut alors imaginer que la majorité des professeurs, qui consultent essentiellement

les programmes officiels et les manuels pour construire leur enseignement, n’auront

pas recours aux programmes de calcul tel que le préconise le document

d’accompagnement. Les types de tâches proposés n’auront donc qu’une faible

influence dans l’apprentissage de l’algèbre et le rapport institutionnel à cet objet en fin

de collège ne sera pas celui prévu par ce document.

Ce serait une hypothèse à vérifier dans le prolongement de notre travail. Il faudrait

pour cela étudier la deuxième étape du processus de transposition (de l’objet à

enseigner vers l’objet effectivement enseigné) en s’adressant directement aux

professeurs et aux élèves.

La lecture des différents exercices proposés en 3ème montre qu’un grand nombre

d’entre eux sont issus des sujets de brevet. Ces derniers sont le reflet de la volonté

Conclusion

63

institutionnelle. Une prolongation de notre travail serait alors d’étudier les

praxéologies présentes dans les exercices de brevet depuis 2007(apparition du premier

programme de calcul).

On pourrait également s’interroger sur le lien possible à effectuer avec la classe de 2nde

pour aborder les programmes de calculs d’un point de vue dynamique et

algorithmique.

J’ai testé cette année, en classe de 5ème, l’introduction de l’algèbre à partir des

programmes de calcul. J’avais en effet toujours ressenti un manque dans la motivation

du calcul algébrique à ce niveau (la distributivité simple y était le plus souvent traitée

comme objet). Je souhaitais remédier à cette situation et comme nous l’avons décrit

dans ce travail motiver l’entrée dans l’algèbre et le calcul algébrique. Je me suis

inspirée des travaux de Sylvie Coppe (repère IREM, 2013) pour établir une progression

autour de cet objet. Il me paraissait important également, au regard des réflexions

menées dans ce travail de ne pas induire de méthode et donc de ne pas proposer

l’introduction d’une lettre. En 5ème, les élèves peuvent dans un premier temps utiliser

d’autres symboles, comme une case vide ou tout autre signe, qui permettront ensuite

l’introduction de la lettre.

Voici la progression proposée au niveau 5ème :

Programme 1 : Prendre un nombre, le multiplier par 8 puis ajouter 3. Quel est le résultat si on choisit 8, si on choisit 9 ? (59 et 75) Quel nombre ai- je choisi si je trouve 19 ? Si je trouve 91 ? (3 et 11) Programme 2 : Prendre un nombre, ajouter 7 et multiplier le résultat par 3 Quel est le résultat si on choisit 0, si on choisit 8 ? (21 et 45) Quel nombre ai- je choisi si je trouve 72 ? (17) Programme 3 : Prendre un nombre, le multiplier par 8 puis ajouter 3 Quel nombre ai- je choisi si je trouve 43, si je trouve 57 ? 20 ? (5 ; 6,75 ; 2,125) Programme 3bis : Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 6 et que j’ajoute 10 au résultat donne 18. (4/3) Programme 4 : Je choisis un nombre Je le multiplie par 8 J'ajoute au résultat le double du nombre choisi Je trouve 60. A quel nombre ai-je pensé ?

64

Programme 4 bis: Je choisis un nombre Je lui ajoute 3

Je multiplie le résultat par 5

Je soustrais le nombre choisi.

Quel nombre ai-je choisi si j’obtiens 35 ? 25 ? 28 ? ( 5 ; 2,5 ; 3,25)

Programme 5

Voici deux programmes de calcul : Compare ces deux programmes. Que remarques-tu ? Ta remarque est-elle vraie pour n'importe quel nombre ?

Programme 6 Choisir un nombre. Ajouter 7 Multiplier le résultat par 5 Soustraire 35 Appliquer ce programme à plusieurs nombres de votre choix. Que remarquez – vous? Justifier le résultat obtenu.

Programme 7 Choisir un nombre Le multiplier par 2 Ajouter 1 au nombre obtenu Multiplier le résultat par 5 Comment peux-tu trouver rapidement chaque résultat sans faire tous les calculs demandés ? Expliquer. Je n’ai pas analysé finement les productions d’élèves et je ne peux donc donner que

mes impressions globales.

Les élèves ont bien adhéré à l’activité, quel que soit leur niveau. Comme le souligne le

Vade-Mecum sur le socle commun, c’est effectivement un bon moyen de

différenciation dans la classe. J’ai pu constater qu’un bon nombre d’élèves ont intégré

l’idée d’introduire une lettre lorsque le programme ne se remonte pas. La plupart

d’entre eux ont donné du sens à l’introduction d’une lettre et à la nécessité d’écrire

une expression algébrique. Par contre, peu d’entre eux se sont montrés autonomes

dans l’étape de production de l’expression algébrique (traitement des priorités,

parenthèses…) et la transformation de celle-ci. Une étude plus fine permettrait

Conclusion

65

d’évaluer les performances des élèves et de repérer les nœuds à travailler plus

spécifiquement.

J’ai apprécié cette entrée dans la pensée algébrique, avec un travail réparti

progressivement tout au long de l’année. Les objectifs d’apprentissages fixés ont été

atteints. Je renouvellerai très certainement l’expérience l’année prochaine !

J’ai également construit une progression au niveau 3ème.

Mon objectif était, d’une part, dans le cadre du socle commun de faire émerger les

différentes techniques pour traiter ces exercices (et montrer l’apport de l’algèbre) et

d’autre part de proposer des programmes faisant fonctionner les différentes

techniques et propriétés de calcul algébrique (associativité, commutativité,

distributivité simple, double, égalités remarquables). Il est alors important de jouer sur

les variables didactiques pour décourager les procédures par tâtonnement.

Je souhaitais également proposer des exemples de programmes non équivalents afin

mettre en évidence la distinction égalité/identité. Si certains manuels traitent cette

question en 4ème (comme le manuel triangle) aucun programme de ce type n’est

proposé.

J’avais également prévu d’une part, d’introduire les égalités remarquables dans le sens

de la factorisation (le développement étant peu pertinent pour les élèves car

accessible à partir de la double distributivité) et d’autre part de prouver des propriétés

arithmétiques à l’aide de cet outil mais cela n’a pu être réalisé faute de temps.

Progression niveau 3ème

Programmes permettant l’utilisation de la réversibilité des opérations :

Programme 1 Je choisis un nombre

Je le multiplie par 3

J’ajoute 5 au résultat.

Quel est le résultat final si je choisis 8 ?

Quel nombre est choisi si j’obtiens 17 ? 16 ?

Programme 2 Choisir un nombre

Le multiplier par -3

Ajouter 7 au résultat

Multiplier le résultat obtenu par 2

a) Qu’obtient-on lorsque l’on choisit 10 puis -2 au départ ?

b) Quel nombre fallait-il choisir pour obtenir 36 ? 20 ? 30 ?

66

Programme que l’on ne peut pas « remonter» :

Programme 3 Je choisis un nombre

Je lui ajoute 3

Je multiplie le résultat par 5

Je soustrais le nombre choisi

Qu’obtient-on lorsqu’on choisit 6 ? – 2 ?

Quel nombre ai-je choisi si j’obtiens 35 ? 25 ? 28 ?

Programmes pour résoudre des équations :

Programme 4

Je cherche un nombre tel que si je le multiplie par 3 et que j’ajoute 8, je trouve le

même résultat que si je multiplie par 7 et que j’ajoute 5.

Programmes pour prouver :

Des programmes non équivalents

Programme 5

L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse :

« Si on choisit le même nombre pour les deux programmes,

le programme A donnera toujours un résultat supérieur au programme B »

PA : Choisis un nombre. Ajoute 3 et multiplie le résultat par 9.

PB : Choisis un nombre. Prends son carré. Multiplie le résultat par le nombre choisi.

Programme 6

Voici un programme de calcul. Fais plusieurs essais. Le résultat est-il toujours négatif

ou positif ?

Choisis un nombre. Soustrais 1. Calcule le carré du résultat. Soustrais 2. Ajoute le

double du nombre choisi.

Cas de programmes équivalents : recours à la preuve algébrique

sans distributivité

Programme 7 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ?

Ta remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?

Programme 1 : choisis un nombre. Ajoute 7 et ajoute le nombre choisi.

Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 2. Ajoute 3 et ajoute 4.

avec distributivité simple

Programme 8 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ?

Ta remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?

Programme 1 : choisis un nombre. Ajoute 7 et multiplie le résultat par 8.

Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 8 et ajoute 56.

Conclusion

67

Avec double distributivité :

Programme 9 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ? Ta

remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?

Programme 1 : Choisir un nombre. Ajoute 2. Calcule le carré du nombre obtenu.

Programme 2 : Choisir un nombre. Multiplie le par 4. Ajoute au nombre obtenu le

carré du nombre choisi. Ajoute 4 au résultat.

Avec les égalités remarquables :

Programme 10 : Brevet France métropolitaine 2007 (cf p 7 de ce document)

Pour introduire les égalités remarquables :

Programme 11 :

Choisis deux nombres quelconques. Calcul le carré de chacun. Additionne les carrés.

Puis ajoute deux fois leur produit.

Pour prouver des propriétés arithmétiques :

Programme 12

L’affirmation « ce programme donnera toujours un résultat impair » est –elle vrai ou

fausse ?

Programme : Choisis un nombre entier. Ajoute son suivant.

Là encore, tous les élèves se sont impliqués dans la recherche. Lors des premiers

contacts avec cet objet, les procédures algébriques ne sont pas apparues. Il a fallu mon

intervention pour les mettre en place. Ce type d’exercice n’avait pas été travaillé dans

les classes précédentes.

En phase de bilan de fin d’année, il ressort que, si certains élèves (qui ne constituent

pas la majorité) ont automatisé l’introduction d’une lettre, la formation des

expressions et leur traitement n’est pas acquis, particulièrement lorsque les

programmes conduisent à des expressions algébriques complexes.

Il ressort également que de nombreux élèves n’éprouvent pas la nécessité de prouver

un résultat dans un cas général. Deux ou trois exemples suffisent pour affirmer un

résultat. Au mieux ont-ils proposé l’utilisation d’un tableur.

On peut donc constater des difficultés persistantes, de natures différentes:

Celles liée à l’introduction d’une lettre et à la problématique de

généralisation.

Celles liées aux techniques algébriques comme :

- L’écriture de l’expression algébrique : gestion des priorités et du parenthésage.

- L’identification de la structure des expressions dès qu’elles sont plus complexes

que les formes usuelles de simple ou double distributivité: cela occasionne des

erreurs pour développer, simplifier ou encore factoriser.

68

- L’identification des égalités remarquables.

- Le choix d’une transformation adéquate pour répondre au problème posé.

(factoriser une égalité remarquable pour mettre sous forme d’un carré par

exemple).

Il semblerait que les élèves ne gèrent pas correctement l’articulation entre les

différents registres et ne réinvestissent pas leurs connaissances en calcul littéral.

Ce travail mériterait d’être poursuivi et complété afin de dégager une progression

cohérente de la 6ème à la 3ème permettant de résoudre ces difficultés.

Il serait également pertinent de réfléchir à l’intégration d’un environnement

technologique dans les manuels qui mette en avant les praxéologies concernant les

programmes de calcul.

Bibliographie

69

Bibliographié

ALVES C., COPPE S., DUVAL V., GOISLARD A., KUHMAN H., MARTIN

DAMETTO S., ROUBIN S. (2013). Utilisation des programmes de calcul pour

introduire l’algèbre au collège., (92). Retrieved from http://pegame.ens-

lyon.fr/http://www.inrp.fr/pegame/.

ARSAC G., DEVELAY M., & TIBERGHIEN A. (1989). La transposition didactique

en math, physique et biologie. IREM de LYON et LIRDIS.

ASSUDE T., COPPE S., & PRESSIAT A. (2012). Tendances de l’enseignement de

l’algèbre élémentaire au collège : atomisation et réduction. In Enseignement de

l’algèbre élémentaire (Vol. Volume spécial).

BOSCH M., CHEVALLARD Y., & GASCON J. (2005). Science or magic? The use of

models and theories in didactics of mathematics.

CHAACHOUA H. (2010). La praxéologie comme modèle didactique pour la

problématique des EIAH. Etudes de cas : la modélisation des connaissances des

élèves. Grenoble: Université Joseph Fourrier.

CHAACHOUA H., & COMITI C. (2007). Analyse du rôle des manuels dans l’approche

anthropologique.

CHAACHOUA H., FERRATON G., & DESMOULINS C. (2013). Utilisation du

modèle praxéologique de référence dans un EIAH. Presented at the 4ème

congrès international sur la théorie anthropologique du didactique., Toulouse.

CHEVALLARD Y. (1985a). La transposition didactique - Du savoir savant au savoir

enseigné. Grenoble.

CHEVALLARD Y. (1985b). Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans

l’enseignement des mathématiques au collège. Première partie. L’évolution de la

transposition didactique. Petit X, (5), 51–94.

70

CHEVALLARD Y. (1989). Le passage de l’arithmétique à l’algèbre dans

l’enseignement des mathématiques au collège. Seconde partie. Perspectives

curriculaires : la notion de modélisation. Petit X, (19), 43–72.

CHEVALLARD Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique : perspectives

apportées par une approche anthropologique. In Recherches en Didactique des

Mathématiques (Vol. 12(1), pp. 83–121). Grenoble: La Pensée Sauvage.

CHEVALLARD Y. (1998). Analyse des pratiques enseignantes et didactiques des

mathématiques : l’approche anthropologique. In Actes de l’école d’été de la

Rochelle (pp. 91–120). Université de la Rochelle.: R. NOIRFALISE.

CHEVALLARD Y. (1999a). L’analyse des pratiques enseignantes en théorie

anthropologique du didactique. In Recherches en Didactique des Mathématiques

(Vol. 19(2), pp. 221–265.). La Pensée Sauvage.

CHEVALLARD Y., & BOSCH M. (1999). La sensibilité de l’activité mathématique

aux ostensifs. In Recherches en Didactique des Mathématiques (Vol. 19(1), pp.

77–124). Grenoble: La Pensée Sauvage.

CHEVALLARD,Yves, & BOSCH,marianna. (2012). L’algèbre entre effacement et

réaffirmation. Aspects critiques de l’offre scolaire d’algèbre. In Recherches en

Didactique des Mathématiques. Enseignement de l’algèbre, bilan et

perspectives. (Vol. Hors série, pp. 19 –39). La Pensée Sauvage.

GASCON J. (1994). Un nouveau modèle de l’algèbre élémentaire comme alternative à

l’« arithmétique généralisée »., (37), 43–63.

KIERAN C. (2007). Learning and Teaching Algebra At the Middle School Through

College Levels. Building Meaning for Symbols and Their Manipulation. In

Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (J.

Lester F. K., Vol. 2, pp. 707–762).

MATHERON Y. (2000). Analyser les praxéologies. Quelques exemples d’organisations

Bibliographie

71

mathématiques., 54, 51–78.

PILET,Julia. (2013). Parcours d’enseignement différencié appuyés sur un diagnostic en

algèbre élémentaire à la fin de la scolarité obligatoire : modélisation,

implémentation dans une plateforme en ligne et évaluation. Université Paris

Diderot (Paris 7), Paris. Retrieved from http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-

00784039

Ruiz-Munzón, N. (2010). La introducción del álgebra elemental y su desarollo hacia la

modelización funcional. Université Autonome de Barcelone.

Manuels scolaires:

Math 6ème : Sesamath en ligne (2013). Génération 5.

Collection Phare (2014). Hachette.

Collection Zenius (2013). Magnard.

Collection Triangle (2009), Hatier.

Math 5ème : Sesamath en ligne (2013) Génération 5.












Programmes et documents d’accompagnement :

Programmes du collège. BO spécial n°6 du 28 août 2008.

Document d’accompagnement : « du numérique au littéral ». Février 2008

Document ressource pour le socle : Vade -mecum "principaux éléments de

mathématiques. Septembre 2009

72

ANNEXES

73

ANNEXE A : Manuels 6ème

74

Manuel SESAMATH 2013

Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques

69 p 32 Tprod_PCsimple toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés

Concerne des divisions dans les entiers

Manuel PHARE 2009 : Aucun exercice.

Manuel PHARE 2014 :


Activité 2 p 44 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,2

Tcalculer et Tconjecturer proposés

Chapitre additions/soustractions Pas de choix d’un nombre au départ. Mise en évidence de la propriété d’associativité et de commutativité

100 p 71 Tprod_PCsimple toutes Chapitre multiplication

Manuel ZENIUS 2013


91 p 34 Tprod_PCsimple toutes

Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. τprod_PCsimple,2

Chapitre : addition et soustraction. Utilisation vocabulaire : ajouter, soustraire, retrancher, enlever. Propriété d’associativité

56 p 4 8 Tconjecturer Tcalculer proposé par l’énoncé.

Chapitre multiplication Pas de preuve

75


95 p 68 Ttrouve x

τtrouvex,1, τtrouvex,3 et τtrouvex,4 avec le programme de départ. Toutes avec le programme plus simple.

Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. Pas de technique induite.

Chapitre division Sol : 7 et 108 Proposition de conjecture d’un programme équivalent plus simple mais sans preuve exigée.

Manuel TRIANGLE 2009 : Aucun exercice et pas d’édition plus récente.

76

ANNEXE B : Manuels 5ème

77



39 p 22 Tcalculer

toutes τ calc,3 imposée Chapitre : priorité/distributivité

41 p 22 Ttrouve x

toutes τ trouvex,2 induite par l’énoncé dans la mesure où cet exercice est un dans un chapitre numérique et l’énoncé demande l’écriture d’une expression .

L’écriture d’une expression n’est pas indispensable : schémas de calculs.

73 p 26 Tprouver_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé

Sol : 28 et 256

61 p 39 Tcalculer toutes Aucune Chapitre fractions

70 p 58 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé ce qui peut induire τtrouve x,3 et τtrouve x,4

Chapitre nombres relatifs

35 p 71 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tintoduire proposé. Tconjecturer et Tprouver_equiv à la charge de l’élève. τ prod_PCsimple,1 induite

Chapitre calcul littéral Liens vers : Des exercices interactifs Un simulateur de tableur Des exercices de mathenpoche dont la démarche est détaillée. Exercice interactif met en œuvre Tassocier et Ttransformer

L’exercice dont la démarche est détaillée propose une technique algébrique. On y trouve une aide animée qui détaille les techniques de Ttraduire et Ttransformer.

36 p 71 Ttraduire EA vers PC Ttrouvex

τ trouve x, 1 et τ trouve x, 3

τ trouve x, 4

Tcalculer proposée avec τcalc,3 induite par la présence d’un tableur ( écriture d’une formule) τtrouve x,1 induite réalisée avec le tableur

Utilisation d’un tableur

78

Manuel PHARE 2010 :


37 p 36 Ttrouve x_2PC toutes

Tintroduire et Ttraduire proposés. Τtrouve x _ 2PC,1 induite avec technique de résolution de 5ème ( tester une égalité)

Chapitre calcul littéral Sol : 4

50 p 37 Tassocier

51 p 37 Tcalculer Ttraduire

toutes Q1 : pas de méthode induite Q2 :T introduire proposée et τcalc,1 induite

52 p 37 Ttraduire EA vers PC Exercice de traduction d’une EA en PC.

82 p 40 Tprouver_equiv toutes Tcalculer proposé par l’énoncé.

Exercice motivant le passage à l’algèbre. Dans la partie « j’approfondis »

101 p 42 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé Tintroduire et Ttraduire proposés τ trouvex, 1 induite.

Sol : 15

Manuel ZENIUS 2010


85 p 23 Tcalculer

T écrire : écrire une expression numérique

Tcalc,2 et Tcalc,,3 Aucun Chapitre : enchainement d’opération. L’objectif est d’écrire une expression numérique.

86 p 23 Tcalculer

T écrire : écrire une expression numérique

Tcalc,2 et Tcalc,,3 Aucun Même exercice que le précédent

79


106 p 38 Tcalculer Ttraduire

toutes Q2 : Tintroduire et Ttraduire proposés τ calc,1 induite

71 p 104 Tcalculer

toutes

Chapitre : nombres relatifs Objectif : calculer avec des relatifs

79 p 106 Ttrouve x toutes Tcalculer proposée Tintroduire et Ttraduire proposés τ trouvex,1 induite

Sol : 14 Algèbre pas forcément pertinent.

80 p 106 T prouver_equiv

Ttrouve x

toutes

Tcalculer proposée Pas de méthode induite.

Q1 : Algèbre non indispensable. Q2: sol négative : -63 Algèbre non indispensable avec le programme équivalent plus simple proposé par l’énoncé.

Manuel TRIANGLE 2010


77 p 83 Ttrouve x

toutes

Aucun Chapitre : relatifs Addition et soustractions à trou : algèbre non indispensable.

10 c) p 125 Ttrouvex

τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 Titre de l’exercice induit τ trouvex,1

Chapitre : initiation au calcul littéral et aux équations. La solution est 10,5

24 p 130 Tassocier

25 p 130 Ttraduire Tintroduire proposé

80



27 p 130 Ttraduire EA vers PC EA vers PC


71 p 133 Ttrouve x τ trouvex,1 ;τ trouvex,3

Aucun Idem exo 10c) p 125

Sol : 20

72 p 133 Ttrouve x toutes Aucun Sol : 15

81

ANNEXE C : Manuels 4ème

82


Type de tâche Techniques possibles Elements induisant une technique Remarques

Activité 3 p 77 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1

Tcalculer proposé avec τcalc,2 induite Tconjecturer, Tintroduire, et Ttraduire

sont proposées

Chapitre : Calcul littéral Lien vers une aide animée et un tableur qui propose la correction de la première partie.

37 p 86 Tétude_equiv toutes Tconjecturer proposée Tintroduire et Ttraduire proposée Τetude_equiv,3 induite

Lien vers : aide animée, exercice interactif de production d’EA, exercice de matoumatheux (conversion du registre algébrique vers schéma de calcul ).

1 p 89 Ttrouve x toutes pour Q1 Q2 : τtrouvex,1 ou Tprod_PCsimple puis τtrouve x,2

Tcalculer proposée. Q1 : τtrouve x,2 induite Q2 : τtrouve x,1 induite

Q1 : sol :7 Q2 : Il faut écrire une EA et la simplifier. On trouve alors un PC plus simple.

Activité 1 p 92 Ttrouve x_2PC

Ttrouve x_2PC toutes Q1 : τtrouve x_2PC,3 ou 4 imposée.

Q2 : τtrouve x_2PC,3 imposée avec tableur

Chapitre : Equations et ordre Utilisation tableur (écriture formule) Exemple d’une solution non décimale. Technique de tâtonnement réfléchi explicité

Activité 5 p 94 Ttrouve x_2PC toutes

τtrouve x_2PC, 1 induite Sol : 3 ; 4,6 ; 9

31 p 101 Ttrouve x_2PC toutes aucune Sol : 3

32 p 101 Ttrouve x aucune Sol : 7

Manuel PHARE 2011


51 p 24 Ttrouve x toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposés τtrouve x,1 induite Tcalculer proposée

Chapitre : relatifs

46 p 37 Tconjecturer Tcalculer proposé

Chapitre : relatifs

76 p 39 Ttrouve x toutes Tcalculer proposée ce qui peut induire τcalc, 3 et τcalc, 4

Sol : 2

83


23 p 68 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1

Tcalculer et Tconjecturer proposés Tintroduire et Ttraduire sont proposés

Chapitre calcul littéral

82 p 74 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1

Tintroduire et Ttraduire sont proposés Tcalculer et Tconjecturer proposés ( la conjecture est même donnée)


Type de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique

Remarques

106 p 23 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé après écriture formule dans tableur : τcalc,1 induite. La présence du tableur induit τtrouve x, 3 ou τtrouve x, 4

Chapitre : Opération sur les nombres relatifs. Tableur pour résoudre l’équation

Méthode p 34 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 τprod_PCsimple,1 induite Chapitre : calcul littéral et opérations Exercice corrigé avec le détail de toutes les étapes de la technique.

9 p 34 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 τprod_PCsimple,1 induite Technique induite par la structure du manuel

99 p 42 Ttrouve x

Tétude_equiv

toutes

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3

et τtrouvex,4 La méthode algébrique

Brevet

84


Remarques

n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence

100 p 42 Tétude_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève.

109 p 43 Tétude_equiv toutes Tcalculer proposé après écriture formule tableur induit τcalc,1 Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève mais l’écriture de formules dans le tableur induit l’utilisation de l’algèbre.

tableur

111 p 44 Tprouver_equiv

Ttraduire EA verc PC

Aucune indication

138 p 46 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève.

Exercice dans la partie : « préparer le contrôle »

Activité 3 p 69 Ttrouve x_2PC Q1 : toutes τtouve x, 1 induite par le titre du Chapitre équation/inégalités

85


Remarques

Q2 : τtouve x, 1 paragraphe mais pas par l’énoncé.

Sol : 1 et 16/3

30 p 76 Ttrouve x_2PC toutes T introduire proposée par l’image et τtrouve x, 1 induite

Sol : 4,25

94 p 82 Ttrouve x

τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ trouvex,4

avec le programme initial τtrouvex,1 ou 2 avec le programme plus simple équivalent.

Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Ttransformer prescrite

Brevet Sol : 7

86

ANNEXE D : Manuels de 3ème

87

SESAMATH 2013


1 p 34 Tétude_equiv toutes - Tconjecturer et Ttester proposés par l’énoncé - La technique de Tprouver_equi est à la charge de l’élève.

chapitre calcul littéral Activité d’introduction Recours à l’algèbre indispensable.

38 p 45 Ttrouve x toutes

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4

Sol : -1/2

39 p 45 Ttrouve x τ trouvex,1 Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas induite.

Solutions 1/2 et 5/3 Recours à l’algèbre indispensable

45 p 46

Tprod_PCsimple Ttrouve x

τprod_PCsimple,1 τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ

trouvex,4

-Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture est donnée. -La technique de Tprouver_equiv est à la charge de l’élève -Aucune technique induite pour Ttrouve x

Brevet Sol :-1 et -3 Lien dans le manuel interactif vers un exercice avec résolution détaillée

57 p 46 Tprod_PCsimple Ttrouve x

τprod_PCsimple,1 τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ

trouvex,4

-Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture est donnée. -La technique de Tprouver_equiv à la charge de l’élève -L’écriture de calculs intermédiaires, induit τcalc,2 pour Tcalculer - Aucune technique induite pour Ttrouve x

Le calcul pas à pas ne favorise pas le passage à l’algèbre. Cet exercice est le même que le précédent : Sol : 1 et -7

88


Même lien dans le manuel interactif.

62 p 46 Ttrouve x

toutes les techniques de Tcalculer

τ trouvex,1

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4

Sol : 2 et -2/3

43 p 96 Ttrouvex_ineq toutes Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τ ineq,3 et τineq,,4

Chapitre: Inégalités et inéquations Sol : x>14

29 p 124 Tprod_PCsimple

Ttrouve x

τprod_PCsimple,1

toutes sauf τ trouvex,2 avec le programme initial. Toutes avec le programme plus simple.

Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées. τ prod_PCsimple,1 induite

Chapitre : Notion de fonction. Changement de cadre Algèbre/fonctions

Manuel PHARE 2012


67 p 41 Ttrouvex_2pc toutes

Tcalculer proposé par l’énoncé. Tintroduire et Ttraduire sont proposées. τtrouvex_2PC, 1 induite

Chapitre : Calcul littéral Sol : 3,5

68 p 41 Ttrouvex_2pc

toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées.

τtrouvex_2PC, 1 induite Sol : 15

69 p 41 Ttrouvex_2pc

toutes

Aucun Sol : 3

Problème sans indication mais recours à l’algèbre n’est pas indispensable.

89


75 p 42 Ttrouve x

Ttrouvex_2pc

toutes pour Ttrouve x

τ trouvex_2PC,1

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas induite

brevet sol Q3 : -3 Sol Q5: 15/7. Oblige à produire une EA

86 p 44 Ttrouve x

Ttrouvex_2pc

toutes toutes

Tintroduire et Ttraduire sont proposés τtrouvex_2PC, 1 induite τtrouve x,1 induite

Q2 : -1/2 Q3 : 7,5 Q4 : -15 Solution rédigée sur le site élève

QCM p 45 Tassocier ou Ttraduire

107 p 46 Ttrouve x

toutes

Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouvex_2PC, 1 induite

Coefficient rationnel. Calcul avec des fractions. brevet

108 p 46

Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée.

Brevet C’est à l’élève d’introduire l’algèbre (indispensable)

109 p 94 Ttrouve x

Toutes

Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite

Chapitre: Egalités remarquables Sol :-12

131 p 96 Ttrouve x

Τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ

trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Transformation de l’expression indiquée (développer puis réduire)

Brevet Sol : 7

41 p 108 Tinéquation toutes Ecriture de l’inéquation proposée. Chapitre : Inéquations

90


Τineq,1 induite

Manuel ZENIUS 2012


32 p 18 Tcalculer

toutes Le calcul mental induit τ calc,2

L’énoncé impose ensuite τ calc,3

Chapitre : Outil de calcul et puissance

59 p 59 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1

Tintroduire (ce qui induit Ttraduire ) et Ttransformer sont prescrits. τ prod_PCsimple,1 induite

Chapitre : Calcul littéral.

p 62 Ttrouve x

T étude_equiv

toutes

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence

Exercice avec solution rédigée : la trace écrite passe par l’algèbre même s’il est dit que l’élève peut-utiliser une méthode de son choix. Pas de test sur des valeurs. Dans la technologie on a plutôt Tprouver- équiv. Brevet

102 p 62 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée.

Présenté comme exercice avec prise d’initiatives. Brevet

66 p 97 Ttrouvex_2PC toutes Aucune Chapitre : Equations-inéquations Doc ressource socle commun Sol : 1,5

91


67 p 97 Ttrouvex_2PC toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x_2PC,1 induite

Sol : 1,5

68 p 97

Ttrouve x

Ttrouvex_2PC

Ttrouvex,1 ; Ttrouvex,2

toutes

Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouvex,1 et τtrouve x_2PC,1 induites

Q1 : 8/3 Q2 : 1/6 Q3 : 18

95 p 99 Ttrouve x

toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées

τtrouvex,1 induite

Sol : 2,25 Brevet

101 p 159 Ttraduire

Tcalculer proposé par l’énoncé Chapitre : fonctions linéaires et affines

Changement de cadre : algèbre / fonctions.


Types de tâche

Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques

120 p 66 Ttrouve x

Ttrouve x_2PC


toutes pour Ttrouve x_2PC

Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 Pas de méthode algébrique induite

Chapitre Racines carrées Q1 : Sol : -5 pour PA ; 10 et 4 pour PB Q2 : Sol: 1 Brevet

4a) p 68 Ttraduire Chapitre : Calcul littéral et égalités

remarquables.

35 p 75 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. Tintroduire proposée par l’énoncé mais pas Ttraduire. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.

τ prod_PCsimple,1 induite

.

87 p 79 Tetude_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé.

92

Types de tâche


La conjecture n’est pas donnée. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.

102 p 81 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.

τ prod_PCsimple,1 induite

126 p 84 = 102 p 62

Zenius

Tprod_PCsimple

τ prod_PCsimple,1

Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée. La technique de Tprouver_equi est à la charge de l’élève.

Présenté comme exercice avec prise d’initiatives. Brevet

138 p 86 = 131 p 96

Phare

Ttrouve x


trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Ttransformer prescrite

Brevet Sol : 7

73 p 100 Ttrouve x_ineq toutes Pas de méthode induite Chapitre : Equation et inéquations

97 p 104 Ttrouve x


trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 Pas de méthode algébrique induite

Brevet Sol 0 et -3.

114 p 106 = p 62 Zenius

Ttrouve x

T étude_equiv


Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en

Exercice avec solution rédigée : la trace écrite passe par l’algèbre même s’il est dit que l’élève peut-utiliser une méthode de son choix. Pas de test sur des valeurs.

93

Types de tâche


question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence

Dans la technologie on a plutôt Tprouver- équiv.

Brevet métropole 2010

94

ANNEXE E : Répartition des exercices type programme de calcul

dans les manuels