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M2 - Master Didactique des sciences
Mémoire professionnel
Présenté par
Claire GEOFFROY
Lundi 7 juillet 2014
Les programmes de calcul au
collège
Directeur : Hamid Chaachoua
Examinateurs : Hamid Chaachoua
Denise Grenier
Jana Trgalova
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Remerciements
Mes remerciements s’adressent en premier lieu à Hamid pour avoir accepté
d’encadrer ce travail, pour sa patience à expliquer (voir réexpliquer…..) certains points
dans ce mémoire et plus généralement pour m’avoir transmis son intérêt pour la
didactique et plus particulièrement pour la TAD.
Je tiens également à remercier Denise pour son aide au début de ce travail qui m’a
permis d’éliminer un certain nombre de pistes et finalement de déterminer un sujet.
Je remercie aussi Denise ainsi que Jana pour avoir accepté de composer le jury.
Plus généralement, je remercie l’ensemble des enseignants du M2 ainsi que l’équipe
Metah, qui m’a accueillie dans ses locaux et donné l’envie de travailler, d’échanger et
de réfléchir.
Cette rédaction n’aurait pas aboutie de la sorte sans l’aide précieuse de Sébastien qui a
pris le temps d’une relecture attentive.
Une pensée particulière pour les autres étudiants de master avec lesquels les échanges
ont été particulièrement conviviaux et fructueux.
Bien évidemment, je n’oublie pas ma famille et mes amis qui ont régulièrement pris en
charge la maisonnée afin de me permettre de mener à bien ce travail au milieu de
mille autres choses ! Dédicace spéciale à Anne-Sophie pour sa grande maitrise de la
mise en page sous Word …..
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Table des matières Introduction ................................................................................................................................. 7
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique .............................................................................. 9
I. Analyse du curriculum .......................................................................................................... 9
A. Les programmes de 2008 ................................................................................................. 9
B. Documents d’accompagnements ................................................................................... 10
Du numérique au littéral (2008) ................................................................................. 10 1.
Vade-mecum des principaux éléments mathématiques (2009) ................................. 11 2.
II. Analyse épistémologique. .................................................................................................. 14
A. Quelques constats préalables ........................................................................................ 14
Le désamour pour l’algèbre ........................................................................................ 14 1.
Un émiettement et une réduction des contenus de l’algèbre .................................... 15 2.
B. Constitution d’un curriculum plus adapté ...................................................................... 16
C. Signification du terme « expression algébrique » .......................................................... 17
Aspect procédural ...................................................................................................... 17 1.
Aspect structural ........................................................................................................ 18 2.
Passage de l’aspect procédural à l’aspect structural .................................................. 19 3.
III. Une définition des programmes de calcul ...................................................................... 21
IV. Problématique. ............................................................................................................... 21
V. Cadre théorique ................................................................................................................. 22
A. Notion de transposition didactique. ............................................................................... 23
B. Notion de praxéologie .................................................................................................... 23
C. Au sujet de la TAD .......................................................................................................... 23
D. Précisions sur OMP ; OML ; OMR ; OMG ........................................................................ 24
E. Notion de portée d’une technique. ................................................................................ 24
F. Types de tâches intrinsèques et extrinsèques. ............................................................... 24
G. La notion de modèle praxéologique de référence ......................................................... 25
VI. Méthodologie ................................................................................................................. 26
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence............................................ 29
I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre...................................................... 29
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de
calcul. ......................................................................................................................................... 31
A. Dans OML1 ..................................................................................................................... 31
B. Dans OML2 ..................................................................................................................... 33
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C. Dans OML3 .................................................................................................................... 41
D. Tableau récapitulatif...................................................................................................... 43
E. Lien entre ces différentes OML ..................................................................................... 44
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels ............................................. 45
I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum ................................... 45
A. OM1 - Génération des expressions algébriques ............................................................ 45
B. OM2 - Équivalence des expressions algébriques ........................................................... 46
C. OM3 : Algèbre des polynômes ...................................................................................... 48
II. Choix des manuels à analyser. ........................................................................................... 48
III. Analyse écologique ........................................................................................................ 49
A. Répartition des exercices type « programmes de calcul » dans les manuels ................ 49
B. Sujets de brevet ............................................................................................................. 50
C. Environnement technologique ...................................................................................... 50
D. Conclusion ..................................................................................................................... 51
IV. Analyse praxéologique des manuels ............................................................................. 52
A. Représentativité des différents types de tâche ............................................................. 52
Ttraduire et Tassocier ........................................................................................................ 53 1.
Ttrouve x ........................................................................................................................ 55 2.
Ttrouve x_2PC ................................................................................................................... 56 3.
Ttrouvex_ineq ................................................................................................................... 56 4.
Tconjecturer ..................................................................................................................... 57 5.
Tprouver_equiv .................................................................................................................. 57 6.
Tétude_equiv .................................................................................................................... 57 7.
Tprod_PCsimple ................................................................................................................. 58 8.
B. Bilan ............................................................................................................................... 61
Conclusion ................................................................................................................................. 62
ANNEXES ................................................................................................................................... 72
ANNEXE A : Manuels 6ème ...................................................................................................... 73
ANNEXE B : Manuels 5ème ...................................................................................................... 76
ANNEXE C : Manuels 4ème ...................................................................................................... 81
ANNEXE D : Manuels de 3ème ................................................................................................. 86
ANNEXE E : Répartition des exercices type programme de calcul dans les manuels ............. 94
Introduction
7
Introduction
C’est en feuilletant les éditions 2009 et 2013 des manuels de 6ème de la
collection Zenius, à la recherche d’exercices de calcul numérique, que j’ai constaté,
dans l’édition 2013, l’apparition d’un nouveau type d’exercice : les programmes de
calcul.
Je me suis alors interrogée sur les raisons de leur présence dans le nouveau
manuel, particulièrement à ce niveau : Que pouvaient-ils bien apporter de nouveau
qui justifie leur présence ?
Je me suis également demandé si l’on pouvait établir le même constat pour les autres
niveaux du collège.
J’avais bien en mémoire quelques exercices de ce type croisés dans les manuels de
troisième ainsi que dans quelques sujets de brevet. Je n’avais cependant jamais pris le
temps de m’interroger sur les raisons de leur présence ni sur leurs objectifs par
rapport aux apprentissages des élèves.
J’ai alors feuilleté la partie « cours » du livre à la recherche d’un éventuel indice
et je n’y ai rien trouvé. Mon enquête s’est poursuivie par la lecture des programmes
qui n’a rien révélé non plus à ce sujet.
L’idée m’est ensuite venue de lire le document d’accompagnement des programmes
« du numérique au littéral (2008) » qui, lui, m’a fourni quelques éléments de réponse.
Il est à ce niveau intéressant de constater que peu de professeurs ont connaissance de
l’existence de ces documents et de ce dernier en particulier.
Personnellement, c’est au cours d’une année d’étude en master de didactique que je
l’ai lu de manière approfondie.
Etant donné les circonstances j’ai décidé de pousser plus loin mon investigation avec à
l’esprit les questions suivantes :
Quelle utilisation des programmes de calcul au collège ?
Comment s’opère la transposition didactique entre le discours institutionnel, la
prise en charge par les manuels et l’utilisation qui en est faîte par les
enseignants dans la classe ?
Pour affiner ces questions et y répondre, nous interrogerons dans un premier temps le
curriculum officiel et dans un deuxième temps les éléments épistémologiques présents
dans les travaux de recherche.
Cette étude constituera la première partie de ce mémoire.
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
9
PARTIE 1 : Problé matiqué ét cadré thé oriqué
Pour définir notre problématique nous effectuerons un travail exploratoire à travers,
d’une part, le curriculum officiel (programmes officiels, documents
d’accompagnement) et, d’autre part, les travaux de recherche existants qui ont abordé
l’étude de l’algèbre et des programmes de calcul en particulier.
I. Analyse du curriculum
A. Les programmes de 2008
Très peu d’éléments concernant l’algèbre en général apparaissent dans les
programmes.
On trouve une courte phrase dans le préambule du programme de collège :
« Assimiler progressivement le langage algébrique et son emploi pour résoudre des
problèmes (en particulier distinguer égalité, identité et équation»
L’algèbre est ici considéré comme un outil pour la résolution de problèmes.
Il est ensuite précisé dans le programme de 4ème que les élèves doivent donner du sens
aux activités de transformation d’écriture :
« Le calcul littéral qui a fait l’objet d’une première approche en classe de 5ème, par le
biais de transformations d’écritures, se développe en classe de 4ème en veillant à ce que
les élèves donnent du sens aux activités entreprises dans ce cadre, en particulier par
l’utilisation de formules issues des sciences et de la technologie »
Là encore, l’idée que l’algèbre ne doit pas être considéré comme un objet d’étude en
soi est visible.
Le terme programme de calcul apparait dans le domaine « Nombre et Calculs » en lien
avec les opérations sur les nombres relatifs pour les niveaux 5ème et 4ème. On peut lire
en 5ème :
« Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses un
programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de relatifs. »
I. Analyse du curriculum
10
La formulation pour le niveau 4ème est analogue mais pour des sommes ou des
produits de relatifs. On lit de plus dans les commentaires :
« À la suite du travail entrepris en classe de cinquième les élèves sont familiarisés à
l'usage des priorités ainsi qu'à la gestion d'un programme de calcul utilisant les
parenthèses. En particulier, la suppression des parenthèses dans un somme algébrique
est étudiée. »
On notera que ces capacités ne sont pas exigibles pour le socle.
La notion de programme de calcul n’est évoquée que dans le domaine numérique. Elle
considérée comme une suite de calculs à réaliser en utilisant correctement les règles
syntaxiques des expressions numériques et en respectant les priorités des opérations.
Les programmes de 2008 ne font pas allusion aux programmes de calcul tels qu’on les
envisagera par la suite.
B. Documents d’accompagnements
Du numérique au littéral (2008) 1.
Ce document s’attache à mettre en évidence la rupture entre l’arithmétique et
l’algèbre et à expliciter les spécificités de l’algèbre (statut de la lettre, du signe = …). Il
vient remédier à l’absence d’information dans les programmes officiels.
Dans ce cadre sont présentés deux exemples de programmes de calcul l’utilisation qui
peut en être faite.
Exemple 1 :
Je pense à un nombre, je le multiplie par 3. Au résultat obtenu je retranche 12, j’obtiens
alors 7,5. Quel est le nombre pensé ?
Exemple 2 :
Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils affichent un même nombre sur
leur calculatrice.
Alice multiplie le nombre affiché par 3 puis ajoute 4 au résultat obtenu.
Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu.
Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le
même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
11
Ces deux exemples sont exposés dans la rubrique « Résolution algébrique d’un
problème ».
Ils sont présentés comme une entrée dans la démarche algébrique en rendant visible
la rupture entre les procédures arithmétiques et le calcul algébrique.
En effet, alors que dans le premier programme un raisonnement arithmétique utilisant
la réversibilité des opérations conduit au résultat, le deuxième programme nécessite
de désigner le nombre de départ par une lettre et de résoudre une équation.
Vade-mecum des principaux éléments mathématiques (2009) 2.
Leur emploi est également évoqué dans ce document qui concerne le socle commun
de connaissances et de compétences.
Problème 1
Emma et Zoé ont chacune une calculatrice. Elles ont « tapé » le même nombre.
Ensuite, Emma a appuyé sur les touches : × 2 + 3 =
et, Zoé a appuyé sur les touches : – 2 = × 4 + 8 =
Surprise ! Elles obtiennent le même résultat ! Quel nombre ont- elles bien pu choisir ?
Problème 2
Yuna et Pierre ont chacun une calculatrice. Ils ont « tapé » le même nombre.
Ensuite, Yuna a appuyé sur les touches : × 2 + 3 =
et, Pierre a appuyé sur les touches : – 2 = × 5 + 8 =
Surprise ! Ils obtiennent aussi le même résultat ! Quel nombre ont-ils bien pu choisir ?
L’objectif affiché est différent. L’idée principale est, pour reprendre le titre du
paragraphe de ce document que « faire des mathématiques, c’est résoudre un
problème ».
C’est ce que l’on peut lire aussi dans le préambule du programme actuel de
mathématiques (2008) :
« A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et
l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à
petit de ce qu’est une véritable activité mathématiques : identifier et formuler un
problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une
argumentation, contrôler des résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction
du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution.(p9) »
Le Programme de calcul est présenté comme une situation problème pour accéder au
nouveau savoir « résolution de problèmes ».
I. Analyse du curriculum
12
Il répond ici aux exigences suivantes :
- La consigne est simple et l’élève peut s’engager dans le problème.
- Il existe différentes procédures. Pour le programme 1, l’élève peut s’engager
dans une démarche empirique par essais-erreurs (plus ou moins organisés) ou
écrire et résoudre une équation. La solution étant décimale, toutes les
méthodes donnent une valeur exacte.
Pour le programme 2, les élèves peuvent tous s’engager et trouver une solution
empirique (même approchée) ou s’approcher d’une solution experte après
avoir écrit l’équation.
- La mutualisation des procédures permet à la fois de valoriser toutes les
procédures (même empiriques) et de présenter le savoir visé en lui donnant
toutes les chances d’être perçu comme indispensable.
Ces deux programmes de calcul constituent le premier exemple donné par ce
document ressource à propos du socle pour « gérer la double exigence du programme
et du socle commun et faire cohabiter harmonieusement tous les objectifs de formation
visés. »
Il est présenté comme une différenciation possible dans la classe.
Deux autres exemples portant sur la valorisation des différents niveaux de production
sont présentés (pour le niveau 5ème).
Ce document précise en effet que : « Il est essentiel de veiller à ce que ce type de
problèmes ( les problèmes proposés comme situation problèmes) offre une véritable
activité mathématique à tout élève sans oublier celui qui n’accédera peut-être pas à la
modélisation ou à la stratégie experte visée »
Ce document ressource du socle commun propose également une réécriture d’un
exercice issu du brevet des collèges (2007) en ouvrant davantage les questions afin
de : « favoriser l’activité de chacun en augmentant la palette des stratégies
accessibles »
On donne un programme de calcul :
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 4.
• Multiplier la somme obtenue par le nombre choisi.
• Ajouter 4 à ce produit.
• Écrire le résultat
1) Ecrire les calculs permettant de vérifier que si l’on fait correctement ce programme
avec le nombre -2, on obtient 0.
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
13
2) Donner le résultat fourni par le programme lorsque le nombre choisi est 5.
3) a) faire deux autres essais en choisissant à chaque fois un nombre entier et écrire le
résultat obtenu sous la forme du carré d’un nombre entier les essais doivent figurer sur
la copie).
b) En est-il toujours ainsi lorsqu’on choisit un nombre entier au départ de ce
programme de calcul ? Justifier la réponse.
4) On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
Un exemple de « fermeture » (non souhaitable) de cet énoncé est également proposé :
1. On note x le nombre choisi. Exprimer en fonction de x le résultat de ce programme de
calcul.
2. Démontrer qu’une autre écriture de (x + 4) x + 4 est (x + 2)².
3. Lorsque l’on applique ce programme de calcul à un nombre entier, obtient-on
toujours le carré d’un nombre entier ?
4. a. Résoudre l’équation (x +2)² =1.
b. On souhaite obtenir 1 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ ?
Les indications sont données aux élèves pour favoriser la dévolution mais elles
induisent une stratégie de résolution experte hors de portée pour certains d’entre eux.
Il faut rappeler que des tâches comme «passer à l’algèbre, transformer des expressions
du 2d degré, résoudre des équations », ne sont pas des exigibles du socle.
Ces indications privent également les bons élèves de faire preuve d’initiative, de
passer de façon autonome à l’algèbre et d’accéder à la preuve.
On constate donc, à la lecture du curriculum, et malgré la furtive apparition du terme
« programme de calcul » dans les programmes officiels de 2008, qu’une volonté
institutionnelle existe d’utiliser cet outil.
Elle apparait de deux ordres :
- d’une part, promouvoir l’entrée dans l’algèbre et redonner du sens au travail
algébrique. Ce dernier ne serait plus abordé d’un seul point de vue technique mais à
partir de situations motivant son utilisation.
- d’autre part assurer une différenciation dans la classe, en lien avec le socle
commun de connaissance et de compétence, à travers la résolution de problèmes
possible à différents niveaux d’expertise.
II. Analyse épistémologique.
14
II. Analyse épistémologique.
Nous avons remarqué précédemment que le curriculum présente l’algèbre comme une
rupture avec les méthodes arithmétiques.
Nous nous interrogeons donc sur les éléments qui caractérisent cette rupture. Cela
revient à déterminer les éléments constitutifs de l’entrée dans l’algèbre et comment ils
sont pris en charge par le curriculum.
Julia Pilet (2012) consacre un chapitre de sa thèse à en établir une référence en
utilisant deux approches :
- Une approche anthropologique qui étudie la place et la fonction de l’algèbre à
enseigner dans le curriculum (d’après les travaux de Chevallard, Gascon, Ruiz
Munzon, Matheron et Bosch)
- Une approche cognitive du côté de l’activité de l’élève et des processus de
conceptualisation de l’algèbre (d’après les travaux de Kieran)
Elle se demande quels sont les éléments cruciaux pour la génération, la manipulation
et l’utilisation des expressions algébriques.
A. Quelques constats préalables
Le désamour pour l’algèbre 1.
C’est ce que Chevallard nomme : la péjoration culturelle de l’algèbre en tant
qu’œuvre. (Chevallard et Bosch, 2012)
Alors que la géométrie apparait comme une activité noble en privilégiant le
raisonnement, l’algèbre et le calcul en général semblent des activités inférieures
desquelles le raisonnement est absent et fonctionnant de manière automatique
(comme une machine). Ce phénomène est ancien :
Pour François Viète (1540-1603) l’algèbre est « une tard venue ». Elle est d’origine
étrangère et son nom n’a pas de signification dans les langues européennes.
Pour le philosophe Alain(1932), elle pousse à créer des chimères :
[… ] l’algèbre est déjà une sorte de machine à raisonner ; vous tournez la manivelle, et
vous obtenez sans fatigue un résultat auquel la pensée n’arriverait qu’avec des peines
infinies. L’algèbre ressemble à un tunnel ; vous passez sous la montagne, sans vous
occuper des villages et des chemins tournants ; vous êtes de l’autre côté, et vous n’avez
rien vu.( Op.cité, p 123)
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
15
Plus récemment, le mathématicien Michael Atiyah (médaille Fields 1966) considère
l’algèbre comme un pacte faustien :
Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: “I will give
you the powerful machine it will answer any question you like”. All you need to do is
give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine. (Atiyah
2001)
Les programmes officiels tentent de rétablir la place de l’algèbre et plus
généralement du calcul dans l’enseignement actuel, notamment à travers les
documents d’accompagnement comme « le calcul numérique au collège ».
Ce dernier contient un extrait du rapport d’étape sur la pratique du calcul de la
Commission de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques (rapport d’étape sur
le calcul, mars 2001, p 16) :
« Dans la culture, les deux termes, calcul mathématique et raisonnement apparaissent
comme antagonistes. Le calcul est opposé au raisonnement tant dans les démarches de
pensée qu’il met en œuvre que dans les formes d’apprentissage qu’il requiert. Le calcul
renvoie à une activité mécanique, automatisable, sans intelligence, il est réduit à sa
part mécanisée. Son apprentissage renvoie à l’idée d’entrainement purement répétitif.
En bref, le calcul est perçu comme renvoyant aux basses œuvres du travail
mathématique, tandis que la partie noble, celle liée au raisonnement, est plutôt
associée à la résolution de problèmes géométrique. Cette image, ancrée dans la culture
est aussi portée par l’enseignement ».
Ce document s’emploie à modifier cette vision en expliquant pourquoi « le discrédit
dont souffre le calcul tant dans la culture que dans l’enseignement est totalement
injustifié. »
Le document d’accompagnement sur le raisonnement (2009) s’y emploie également
en proposant des exemples d’utilisation du calcul algébrique pour la preuve comme :
« L’affirmation « la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 » est-elle vraie
ou fausse ? »
Un émiettement et une réduction des contenus de l’algèbre 2.
Après une analyse des programmes et manuels anciens jusqu’à ceux en vigueur au
moment de l’étude, Chevallard (1985b, 1989) établit le constat suivant : « manque de
référence explicite à l’algèbre », « poussée vigoureuse du numérique » et
« évanouissement de l’apprentissage des outils algébriques ».
II. Analyse épistémologique.
16
Il met en avant que « le rapport de l’élève au calcul algébrique n’incorpore pas l’idée
d’une relation entre manipulation algébrique de l’expression d’une part, et substitution
de valeurs numériques d’autre part ».
La dialectique du numérique et de l’algébrique est perdue :
« Au-delà de la disparition de la structure du corpus mathématique enseigné en
arithmétique et en algèbre, c’est la dialectique du numérique et de l’algèbre
implicitement présente à travers l’“opposition” de l’arithmétique et de l’algèbre qui va
se trouver atteinte. Plus que jamais, les liens du numérique et de l’algébrique s’en
trouveront relâchés. » (Chevallard, 1985b, p. 75)
Or, pour lui, cette dialectique est centrale dans la maîtrise du calcul algébrique et de sa
fonctionnalité :
« L’algébrique est un outil de l’étude du numérique, le premier outil, le plus élémentaire
sans doute (à un niveau intermédiaire viendraient par exemple la théorie des séries
entières, la théorie des fonctions analytiques, etc…). Mais, inversement (et c’est ce qui
nous autorise à parler de dialectique), pour que le fonctionnement de cet outil soit
efficace, il faut quelque peu étudier cet outil, par exemple se poser les problèmes de la
factorisation des expressions algébriques (afin notamment de résoudre des équations
algébriques). Or, en ce point, le numérique lui-même est un outil d’étude à
l’algébrique ». (Chevallard, 1985b, p. 75)
Ce même phénomène d’évanescence est observé par Assude, Coppé et Pressiat qui
ont étudié l’évolution du curriculum officiel en France relativement au domaine
algébrique au collège (RDM, 2012).
Ils constatent que le terme « algèbre » est absent. L’adjectif algébrique apparait une
douzaine de fois.
Le mot modélisation apparait seulement 2 fois. En revanche, le mot « problème »
apparait une centaine de fois.
Nous avons évoqué plus haut l’importance donnée aux problèmes dans
l’enseignement des mathématiques.
Les auteurs y voient une contradiction avec la réduction des moyens de travail
algébrique.
B. Constitution d’un curriculum plus adapté
Face au constat précédent, Chevallard s’emploiera à définir un curriculum qui assure
un rapport officiel à l’algèbre plus conforme aux tâches auquel il est employé. Il
introduiera alors la notion clef de modélisation mathématique. (1989, p 53) :
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
17
« La notion de modélisation mathématique permet ainsi de prendre une vue
d’ensemble sur l’activité mathématique, de l’école primaire à l’université. Grille de
lecture et d’interrogation, elle fournit un cadre de référence au sein duquel il devient
alors possible de faire surgir des différences significatives entre arithmétique et algèbre
notamment »
Dans la suite des travaux de Chevallard, Gascon montre que l’algèbre n’est pas une
arithmétique généralisée mais doit être introduite comme un instrument nécessaire à
la modélisation mathématique :
« L’algèbre enseignée n’est pas à proprement parlé une arithmétique généralisée étant
donné qu’elle ne contient pas strictement l’arithmétique enseignée :
D’une part, la résolution algébrique de certains problèmes arithmétiques suppose des
instruments qui ne font plus partie de l’algèbre telle qu’elle est enseignée aujourd’hui ;
d’autre part, l’algèbre enseignée posséderait une thématique propre qui n’est, en
aucun sens, une généralisation de celle de l’arithmétique » (Gascon, 1994, p 47) »
Ruiz- Munzon (2010) propose lui un modèle épistémologique de référence selon lequel
la genèse de l’algèbre élémentaire se situe dans un processus d’algébrisation des
programmes de calcul. C’est un processus de modélisation progressive de systèmes
mathématiques partant des programmes de calcul arithmétiques jusqu’aux fonctions.
On constate donc que la notion de programme de calcul, en lien étroit avec les
expressions algébriques est au centre de l’entrée dans la démarche algébrique.
Etudions alors la définition du terme « expression algébrique » proposée par le
curriculum.
C. Signification du terme « expression algébrique »
Aspect procédural 1.
Dans le document d’accompagnement « du numérique au littéral », cette définition
comporte deux parties.
On peut lire d’une part :
«Une expression algébrique exprime un programme de calcul : elle indique une suite
d’opérations qu’il faut effectuer afin d’obtenir le nombre que « retourne » le
programme de calcul quand on donne des valeurs numériques aux lettres qui y figurent
[….]
II. Analyse épistémologique.
18
Les expressions algébriques sont introduites et très largement utilisées au collège sous
leur aspect procédural pour formaliser, pour mathématiser un programme de calcul »
Cette vision s’inspire des travaux de Chevallard pour qui la notion d’expression
algébrique repose sur l’«entité » programme de calcul :
« Une “expression algébrique” est un énoncé symbolique qui exprime un certain
programme de calcul. L’expression algébrique E(x) = 15x - 3(x + 1) exprime le
programme de calcul dont une expression “rhétorique” est la suivant : “Multiplier le
nombre donné par quinze puis retrancher au nombre obtenu le triple du successeur du
nombre donné”.» Chevallard et Bosch (2012)
Le changement de registre entre langage naturel et registre algébrique symbolique
permet de redonner du sens au mot « expression » et d’empêcher le figement de
l’écriture algébrique.
Aspect structural 2.
D’autre part, une expression algébrique est considérée également d’un point de vue
structural :
« Une expression algébrique peut être considérée comme un objet dont on peut décrire
la forme et avec lequel on va pouvoir faire de nouveaux calculs (réduction,
factorisation, développement, substitution dans une expression…) on évoque alors le
caractère « structural » de l’expression. »
Cet aspect structural est moins visible pour les élèves que l’aspect procédural.
Le document d’accompagnement propose alors de travailler sur le type de tâche
« deux programmes de calcul sont-ils équivalents ? ». En effet, le travail sur la
structure (grâce aux propriétés algébriques) inhérent à ce type de tâche permet de
rééquilibrer l’enseignement des deux aspects.
Là encore ce document reprend l’idée de Chevallard pour qui l’un des grands types de
tâche de l’algèbre élémentaire consiste à déterminer si deux programmes de calcul
sont équivalents, c’est-à-dire s’ils retournent la même valeur numérique pour toutes
les valeurs de la variable.
Il parle d’algèbre élémentaire comme « science des programmes de calcul ».
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
19
Passage de l’aspect procédural à l’aspect structural 3.
a) Processus d’algébrisation de Ruiz- Munzon
Dans la continuité des travaux de Chevallard, Ruiz –Munzon propose un processus
d’algébrisation en trois étapes
Un programme de calcul est donné par sa description langagière, c’est-à-dire son
effectuation pas à pas.
La première étape du processus d’algébrisation consiste à cesser de considérer le
programme de calcul comme un processus et à le considérer comme un tout. Cela
implique de considérer l’aspect structural de l’expression algébrique.
Cette étape permet d’effectuer le type de tâche proposé par Chevallard : déterminer si
deux programmes de calcul sont équivalents. Il faut pour cela introduire un nouvel
environnement technologico-théorique avec la notion « d’expression algébrique ». Ces
dernières sont des modèles symboliques des programmes de calcul.
Prouver que deux programmes ne sont pas équivalents est assez simple (à un niveau
élémentaire) grâce au recours à un contre-exemple mais cette pratique a été
perdue (Chevallard et Bosch 2012) :
« Ce geste a été depuis longtemps minoré dans l’enseignement au collège, sans doute
parce que sa fonction didacticielle originelle « faire tourner » des programmes de
calcul avant toute transformation algébrique et ainsi voir émerger le problème de leur
transformation adéquate a cessé d’être reconnue » Chevallard et Bosch (2012)
Cela est symptomatique de la disparition de la dialectique arithmétique-algébrique
évoquée précédemment.
Figure 1 : Les trois étapes du processus d'algébrisation de Ruiz-Munzon (2010)
II. Analyse épistémologique.
20
Prouver que deux programmes sont équivalents nécessite un travail sur la structure de
l’expression en contrôlant chaque étape grâce aux propriétés algébriques.
Notre travail se limitera à l’étude du passage du système initial à l’étape 1 puis de
l’étape 1 à l’étape 2, telles que présentées dans la figure 1.
b) Dans le document d’accompagnement
Le document d’accompagnement propose également des pistes pour aider les
élèves à faire la distinction entre les deux aspects d’une expression algébrique comme
l’utilisation de différents registres de représentation :
Description en langue naturelle, arbres, usage d’un tableur, auxquels on pourrait
rajouter : schémas de calcul, registre graphique, programmes de calcul ou encore
registre des grandeurs.
Cette proposition s’inspire des travaux de Kieran (2007 p.172) qui montrent que
l’utilisation de divers registres sémiotiques contribue à aider les élèves à
conceptualiser les objets de l’algèbre et donne du sens à l’activité algébrique :
« Kaput (1989) has argued that the problem of student learning in algebra is
compounded by the inherent difficulties in dealing with the highly concise and implicit
syntax of formal algebraic symbols and the lack of linkages to other representations
that might provide feedback on the appropriate actions taken. As a consequence, he
has promoted the kind of mathematical-meaning building that has its source in
translations between mathematical representation systems.” (Kieran, 2007 p 172)
Le passage d’un registre à un autre permet de travailler la flexibilité du passage de
l’aspect procédural à l’aspect structural des expressions. L’élève pourra alors
développer une activité transformationnelle adaptée (au sens de Kieran) afin de
déterminer l’équivalence de deux programmes.
L’activité transformationnelle au sens de Kieran concerne les processus de
manipulation des expressions algébriques (développer, factoriser, résoudre une
équation….).
Cette étude montre que le document d’accompagnement a intégré les travaux de
recherche sur l’algèbre. Ces derniers explicitent le lien étroit entre les programmes de
calcul et les expressions algébriques.
En effet, les programmes de calcul, à travers l’étude de leur équivalence, du passage
de leur considération comme processus à celle de résultat et de la mise en œuvre de la
dialectique numérique-algébrique permettent l’entrée dans la pensée algébrique.
La volonté institutionnelle de les utiliser pour réorienter l’apprentissage de l’algèbre
apparait nettement dans les documents ressources.
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
21
Les programmes de calcul permettent également une forme de différenciation des
objectifs à atteindre en classe dans l’esprit du socle commun (pour lequel l’algèbre
n’est pas une compétence à valider). Même si l’objectif principal reste d’accéder à la
pensée algébrique, toutes les démarches de résolution sont à valoriser.
Après cette exploration du rapport institutionnel et épistémologique à la notion de
programme de calcul, nous allons maintenant préciser le sens que nous donnerons à
cette notion dans la suite de notre travail.
III. Une définition des programmes de calcul
A l’issue de l’étude précédente nous appellerons programme de calcul la description
d’une suite d’opérations à effectuer sur un nombre de départ quelconque afin
d’obtenir un nouveau nombre, dépendant à priori du nombre de départ. Nous en
avons donné des exemples précédemment.
La description est le plus souvent langagière mais peut être réalisée dans d’autres
registres comme le langage « calculatrice » ou les schémas de calcul.
Un programme de calcul décrit une procédure opératoire.
A travers le travail autour de l’équivalence, nous aborderons dans la suite de ce travail
la notion de programme « plus simple ».
Il s’agit d’un programme équivalent comportant moins d’opérations, quelle que soit la
nature des opérations.
Considérons par exemple les programmes PA et PB suivants :
PA et PB sont équivalents mais PB est plus simple.
IV. Problématique.
Les paragraphes précédents ont montré l’intérêt d’utiliser les programmes de calcul
pour introduire l’algèbre. Pourtant d’après Chevallard (1985b) et Chevallard et Bosch
PA je choisis un nombre
j’ajoute 3
je multiplie le résultat par 5
je soustrais 15
PB je choisis un
nombre ;
je le multiplie par 5.
V. Cadre théorique
22
(2012), les processus de transposition didactique montrent que les élèves ont peu
l’occasion de les rencontrer dans ce but.
Cela nous permet d’envisager les hypothèses de travail suivantes :
HT1 : L’institution préconise l’utilisation des programmes de calcul pour introduire
l’algèbre.
HT2 : Les élèves ont peu l’occasion de rencontrer les programmes de calcul dans des
situations favorisant l’entrée dans la pensée algébrique.
Nous allons nous demander comment s’opère la transposition didactique du niveau
institutionnel (curriculum + documents officiels) vers les manuels utilisés en classe.
C’est à dire, la volonté institutionnelle de prendre en compte les programmes de calcul
dans l’introduction de l’algèbre apparait-elle dans les manuels ?
D’où les questions de recherche suivantes :
Q1 : Comment sont utilisés les programmes de calcul dans les manuels ? (Quels types
de tâches sont proposés ?)
Q2 : Les programmes de calculs sont-ils utilisés pour motiver d’une part l’entrée dans
la pensée algébrique et d’autre part le calcul algébrique ?
Ces deux questions sont au centre du processus de transposition didactique au niveau
interne, c’est-à-dire des programmes et documents ressource vers les manuels. Il se
poursuit évidemment dans la classe mais nous n’aborderons pas cet aspect dans notre
étude.
Nous allons maintenant préciser le cadre théorique qui nous servira à mener cette
analyse.
V. Cadre théorique
L’apparition récente des programmes de calcul dans les manuels et les sujets
d’examens nous incite à prendre en compte l’approche écologique.
D’autre part, nous étudierons les programmes de calcul à travers les types de tâches
proposés.
Le modèle praxéologique dans le cadre de la Théorie Anthropologique de la Didactique
(TAD) parait alors tout à fait adapté à cette étude.
Nous disposons de notions comme celles de transposition didactique, de rapport
institutionnel et personnel à un objet (ici programme de calcul) et de praxéologies.
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
23
Voici quelques mots sur les notions de transposition didactique, de praxéologie et plus
généralement sur la TAD.
A. Notion de transposition didactique.
La transposition didactique est un processus de transformation d’un savoir de
référence (établi dans la noosphère) en un savoir à enseigner (visible dans les
programmes et les manuels) puis en un savoir enseigné (proposé dans la classe) pour
finir par le savoir effectivement appris par l’élève.
Pour éviter de paraphraser des choses déjà bien écrites, nous invitons le lecteur à se
référer par exemple au texte fondateur (Arsac, Develay, Tiberghien, 1989).
B. Notion de praxéologie
La détermination d’une praxéologie permet la modélisation de l’activité humaine à
l’aide d’un quadruplet [T/τ/θ/Θ], ou T désigne un type de tache, τ une technique
permettant d’accomplir les taches t du type T. Le couple [T/τ] constitue le bloc pratico-
technique ou praxis, qui est elle-même justifiée par une technologie θ qui s’inscrit dans
un cadre théorique Θ. Le couple [θ/Θ] constitue le bloc technologico-théorique ou
logos.
Là encore, cet aspect étant explicité dans de nombreux travaux, nous invitons le
lecteur à se référer par exemple à (Chevallard ,1999a).
C. Au sujet de la TAD
Signalons que pour approfondir la question et explorer d’autres aspects de la TAD, on
pourra se référer aux textes du fondateur de la TAD et notamment à (Chevallard,
1992), ainsi qu’a (Chevallard, 1998) qui reprend dans les pages 2 à 5 les différentes
définitions autour de la notion de praxéologie. Mais on pourra aussi parcourir par
exemple les pages 54 à 62 de (Romo-Vazquez, 2009) pour une présentation de la
question du rapport aux institutions et des moments, ainsi que les pages 5 à 7 de
(Chaachoua, 2010) pour la question de la modélisation des connaissances ou encore
les pages 35 à 38 de (Pilet, 2012) avec notamment une première présentation de la
question des ostensifs et des non-ostensifs qui est développée dans (Bosch &
Chevallard, 1999).
Pour terminer cette présentation de notre cadre théorique, nous revenons un peu plus
en détails sur les notions d’organisation mathématique et de modèle praxéologique de
référence qui seront centrales pour la construction de notre modèle.
V. Cadre théorique
24
D. Précisions sur OMP ; OML ; OMR ; OMG
Nous introduisons donc rapidement les notions d’organisation mathématique :
ponctuelle, OMP (resp. complexe ou simple), locale, régionale et globale. Nous
noterons ces notions OMP (resp. OMPC ou OMPS) ; OML ; OMR ; OMG. Nous
signalerons aussi (Chevallard, 1998) qui présente ces notions et (Matheron, 2000) qui
explore au travers de divers exemples les différents niveaux d’organisations
mathématiques ponctuelles, locale, régionale et globale. La notion complémentaire de
≪ complexe ≫ pour une organisation mathématique ponctuelle est introduite dans
(Castela, 2008) et reprise dans (Chaachoua 2010).
Pour résumer rapidement nous dirons que le quadruplet [T/τ/θ/Θ] est une OMP
associée à un type de tache donne T. S’il existe plusieurs techniques τk permettant de
réaliser T (éventuellement justifiées par plusieurs technologies θk), k prenant plusieurs
valeurs, mais toutes situées au sein d’une même théorie ΘT alors on parlera d’une
OMPC [T/(τk/θk)k/ΘT] associée au type de tache T. Si k=1 on parlera d’une OMPS.
Si maintenant on se centre sur une technologie θ elle justifie généralement plusieurs
techniques τi associées à des types de taches Ti ; l’agrégation des OMP [Ti/τi/θ/Θ]i va
former ce que l’on appellera OML autour de la technique θ. Dans (Matheron, 2000) on
peut trouver un exemple autour de la technologie ≪ Théorème de Thales ≫ ou encore
dans (Bosch, Fonseca, & Gascon, 2004) un exemple autour de la notion de limite.
Si maintenant on regarde une théorie Θ commune a plusieurs technologies θ j qui
définissent pour chaque valeur de j des OML [Tij/τij/θj/Θ] on parlera alors d’une OMR
[Tij/τij/θj/Θ]j ; j prenant plusieurs valeurs.
Enfin on parlera d’OMG en agrégeant plusieurs OMR liées à diverses théories Θk.
E. Notion de portée d’une technique.
Nous trouvons dans les travaux de (Chevallard, 1999) l’explicitation de la notion de
portée d’une technique.
Un type de tâche peut être réalisé par plusieurs techniques mais certaines techniques
ne réussissent que sur une partie P(τ) des tâches du type T auxquelles elles se
rapportent. On nomme cette partie « portée de la technique ». La technique tend à
échouer sur T\ P(τ), de sorte qu’on peut dire que « l’on ne sait pas, en général,
accomplir les tâches du type T».
F. Types de tâches intrinsèques et extrinsèques.
Une technique est décrite par un ensemble de type de tâches {(Ti)I} qui peuvent être
de deux sortes :
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
25
- Types de tâches qui n’existent qu’à travers la mise en œuvre des techniques de
certains autres types de tâches et sont appelés types de tâches intrinsèques.
- Des types de tâches qui peuvent être prescrits aux élèves indépendamment des
techniques et sont qualifiés de types de tâches extrinsèques.
G. La notion de modèle praxéologique de référence
Nous envisageons d’étudier les différentes praxéologies présentes dans les manuels et
le curriculum.
Pour cela, il est nécessaire de disposer d’une organisation de référence de l’ensemble
des praxéologies que nous pourrons être amenés à rencontrer lors de cette analyse.
Nous allons utiliser la notion de Modèle Praxéologique de Reference (MPR). Pour la
définir au mieux nous citerons CHAACHOUA & al :
≪ Comme le précisent Marianna Bosch et Joseph Gascón (2005), une OM à enseigner
constitue un modèle praxéologique du curriculum mathématique obtenu à partir d’une
analyse des programmes et des manuels. L’identification de ces OM à enseigner passe
donc par la caractérisation des types de tâches institutionnels et peut être vue comme
une « reconstruction » du chercheur. Notons que ce dernier, pour des raisons liées à sa
problématique, peut bien entendu procéder à un autre découpage que celui de
l’institution voire le compléter ; il construit alors un modèle praxéologique de référence
(MPR) regroupant les praxéologies à enseigner, enseignées mais également
enseignables. Le modèle rend ainsi possible l’analyse de ce qui a cours dans différentes
instances d’un système d’enseignement (comme les manuels ou le cours d’un
enseignant), permet de rendre compte de la variété des OM à enseigner, de repérer et
donc de pallier les manques éventuels. Il sert aussi de référence pour analyser les
praxéologies apprises et en particulier pour les situer au regard des praxéologies
enseignées. Selon M. Bosch et J. Gascón (2005), la description de cette praxéologie de
référence se fait généralement à partir des OM savantes qui légitiment le processus
d’enseignement. Mais, comme le précisent les auteurs, le MPR ne coïncide pas
nécessairement avec les OM savantes ; cependant, il se formule dans des termes
proches et nous pensons que, d’un point de vue méthodologique, l’institution
d’enseignement constitue le point de départ de sa construction ne serait-ce que par
réalisation d’une enquête sur les types de tâches explicitées dans les programmes.
Ainsi, l’élaboration d’un MPR se compose de plusieurs étapes : identification d’une OM
à enseigner à partir des programmes et des manuels, complétion du modèle en
s’appuyant sur une enquête épistémologique, cognitive et didactique, description du
MPR et reconstruction, enfin validation par confrontation à des données empiriques
éventuellement suivie d’un retour sur le modèle. ≫ (CHAACHOUA et al., 2013)
VI. Méthodologie
26
Nous disposons maintenant de tous les éléments nous permettant de construire le
début de notre modèle praxéologique qui, comme nous l’expliquons dans le
paragraphe suivant, nous permettra d’établir le rapport institutionnel à l’objet
« programme de calcul ».
VI. Méthodologie
Le cœur de notre étude se situe au niveau de la transposition didactique, à la première
étape du schéma suivant (Bosch et Gascon, 2005), c’est-à-dire entre la production du
savoir de référence et le savoir à enseigner.
Ce schéma, qui décrit les différentes étapes du processus de transposition, inclut le
modèle praxéologique de référence. Ce dernier constitue le modèle théorique du
chercheur avec lequel il analyse chaque institution : celle de production du savoir, celle
du savoir à enseigner et celle du savoir effectivement enseigné en classe. Ce modèle
de référence permettra de mesurer les écarts à chaque étape de la transposition.
Figure 2 : The process of didactic transposition. D’après Bosch et Gascon (2005, p4)
Nous pouvons approcher la première étape de ce processus de transposition et
caractériser le rapport institutionnel à l’objet qui nous intéresse, ici les programmes
de calcul, par l’étude du curriculum et des manuels.
C’est ce que montrent par exemple les travaux de Chaachoua § Comiti (2007) qui
précisent le rôle dans la transposition didactique, des programmes et des manuels :
« Dans les programmes, l'institution définit les objets à enseigner, les attentes en
termes d'exigences et de recommandations, ainsi que les finalités et les enjeux
d'enseignement. Mais les programmes seuls ne permettent pas de définir
complètement le rapport institutionnel à un objet. Mensouri (1994, p.44) en avance
deux raisons:
« La première est que les programmes ne constituent pas un texte de savoir, mais
seulement un discours sur un hypothétique texte de savoir. La deuxième raison est que,
PARTIE 1 : Problématique et cadre théorique
27
même en disposant d'un certain texte de savoir, toutes les pratiques à propos des
objets de savoir figurant dans ce texte ne peuvent pas être citées. »
Pour accéder à ce rapport institutionnel, l'analyse des manuels est nécessaire, et
complémentaire de l'analyse des programmes. (p 3)»
« Ils (les manuels) sont la traduction d'une directive institutionnelle, exprimée souvent
sous forme de programme, selon une interprétation des auteurs.
Ils sont donc le résultat d'une transposition didactique (Chevallard, 1985, 1992) des
textes des programmes. Comme Neyret (1995), nous considérons les livres scolaires
comme des produits d'institutions transpositives (p2)» (Chaachoua § Comiti, 2007)
Afin d’analyser les pratiques institutionnelles à travers l’étude du curriculum et des
manuels, et ainsi de répondre aux questions soulevées dans le cadre de notre
problématique, nous établirons un modèle praxéologique de référence. Ce sera l’objet
de la deuxième partie de notre travail.
Dans une troisième partie, nous adopterons une approche écologique et
praxéologique pour interpréter l’OM à enseigner relative aux programmes de calcul.
Notre étude s’organisera en trois parties :
- L’analyse de curriculum (programmes et documents d’accompagnement): nous
l’avons déjà évoquée dans la première partie lors d’une recherche
épistémologique sur les programmes de calcul. Nous avions observé la prise en
compte du savoir de référence dans le curriculum par le biais des documents
d’accompagnement. Nous reprendrons cette analyse au regard du modèle
construit.
- L’analyse des manuels.
- Une synthèse des caractéristiques dominantes de l’OM à enseigner.
Dans un premier temps, nous adopterons une approche écologique :
- Quel est l’habitat de l’objet « programme de calcul » ?
- A quelle fin sont-ils introduits ? Est-ce visible (des élèves et des enseignants) ?
- Avec quels objets sont-ils mis en relation ?
Dans un deuxième temps nous analyserons plus finement les praxéologies
rencontrées : les types de tâches convoqués, leur fréquence, les techniques
développées et le discours technologico-théorique qui les justifie.
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
29
PARTIE 2 : Construction d’un modé lé praxé ologiqué dé ré fé réncé
I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre.
Nous nous appuierons sur les travaux de Julia Pilet (2012) qui a établi une praxéologie
de référence en algèbre élémentaire.
Les programmes de calcul interviennent dans le système initial et la première étape du
processus d’algébrisation de Ruiz- Munzon. Julia Pilet en propose une spécification en
termes d’OM locales et régionales. Dans l’OM globale du domaine algébrique, elle
distingue au moins trois OM régionales :
« une première relative aux expressions algébriques, une seconde relative aux formules
et une troisième relative aux équations (cf. figure 3.1). Nous situons les praxéologies
constitutives de la première étape du processus d’algébrisation dans l’OM régionale
relative aux expressions algébriques. »
Ces trois OML répondent à la référence épistémologique établie
précédemment.
La première OM locale, OM1, vise à donner des raisons d’être à la génération des
expressions algébriques. Celles-ci apparaissent nécessaires pour étudier les
programmes de calcul et leur équivalence, ce qui conduit à solliciter les dialectiques
numérique-algébrique et procédural-structural. OM1 est une OM locale autour de la
génération des expressions algébriques dans la résolution de problèmes de
généralisation et de preuve mais aussi de mise en équation et de modélisation. Elle
permet de dégager une technologie justifiant la génération et la simplification des
expressions algébriques. La généralisation s’appuie sur des processus de modélisation
Figure 3: OM globale du domaine algébrique. D'après PILET 2012, p 81
I. Un modèle praxéologique de référence pour l’algèbre.
30
et donc de traduction de relations mathématiques entre un registre sémiotique et
celui des écritures algébriques.
La deuxième OM locale, OM2, concerne la dénotation et le sens des
expressions algébriques.
Elle est motivée par l’étude de l’équivalence de programmes de calcul. Cette dernière
conduit à l’écriture d’expressions algébriques équivalentes dont l’étude amène à
l’émergence des propriétés du calcul algébrique et à la hiérarchie des opérateurs. Elle
est gérée par une technologie qui prend en compte l’interprétation des expressions
algébriques pour les transformer et les mettre en lien avec d’autres registres de
représentation.
OM1 et OM2 permettent de définir une technologie, basée sur les propriétés du calcul
algébrique, pour justifier les transformations d’une expression algébrique en
expressions équivalentes.
Cette technologie fait l’objet de la troisième OM locale, OM3, appelée algèbre des
polynômes.
Un type de tâche se décompose en plusieurs types de tâches de la même OM locale ou
d’une autre. Ces trois OML sont donc en lien.
Les programmes de calcul étant directement liés aux expressions algébriques, nous
reprendrons cette organisation pour établir notre praxéologie de référence.
Figure 4 : Les Trois OM locales de l’OM régionale de référence relative aux expressions algébriques.
D'après PILET 2012, p 82
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
31
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence
concernant les programmes de calcul.
A. Dans OML1
Cette OML concerne la génération des expressions algébriques dans les problèmes de
généralisation, de preuve et de mise en équation. Elle traite des processus de
modélisation et c’est-à-dire la traduction des relations mathématiques entre le registre
sémiotique des programmes de calcul et celui des expressions algébriques. Elle permet
de dégager une technologie justifiant la génération des expressions algébriques.
On y détaillera les types de tâche suivants :
Ttraduire : Traduire un programme de calcul donné sous forme rhétorique ou d’une suite
d’opération à la calculatrice en une expression algébrique et inversement.
Tassocier : Associer un programme de calcul à une expression algébrique déjà donnée et
inversement.
Le type de tâche Tintroduire qui consiste à introduire une lettre est également constitutif
de cette OML. Nous le considérerons comme un type de tâche élémentaire et n’en
décrirons donc pas les praxéologies.
Ttraduire : Traduire un programme de calcul donné sous forme rhétorique ou d’une
suite d’opération à la calculatrice en une expression algébrique et inversement.
Dans ce type de tâche, la lettre est donnée.
τtraduire : - Tinterpréter : interpréter la relation mathématique.
- Técrire EA : Ecrire une expression algébrique en appliquant les règles de
conversion entre le registre sémiotique en jeu et celui des expressions algébriques.
traduire : règle_form : Règles de formation des expressions algébriques (conventions
d’écriture).
règle_conv : Règles de conversion d’un registre de représentation sémiotique
à un autre.
priorité : Priorités opératoires.
Θ : Propriétés du corps (R, +, )
Algèbre
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
32
Remarque :
La traduction PC vers EA permet de travailler le passage du procédural au structural.
La traduction EA vers PC permet de travailler le passage du structural au procédural.
Exemple :
Je choisis un nombre , j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.
Ecrire le résultat obtenu.
Tassocier : Associer un programme de calcul à une expression algébrique déjà donnée et
inversement.
τassocier,1 : - Ttraduire PC vers EA : Traduction du programme de calcul en une l’expression
algébrique.
- Tcomparer : Comparer l’expression obtenue avec celles proposées.
associer,1 = traduire
Θ : Propriétés du corps (R, +, )
Algèbre
τassocier,2 : - Ttraduire EA vers PC : Traduction de l’expression algébrique en un programme de
calcul.
- Tcomparer : Comparer le programme obtenu avec ceux proposés.
associer,2 : traduire
Θ : Propriétés du corps (R, +, )
Algèbre
Exemple :
Je choisis un nombre, j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.
Quelle expression algébrique correspond à ce PC parmi celles proposées?
(
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
33
B. Dans OML2
Cette OML concerne la dénotation et le sens des expressions algébriques.
Elle est motivée par l’étude de l’équivalence des programmes de calcul et permet
l’utilisation des propriétés du calcul algébrique.
Les types de tâches décrites dans ce paragraphe sont de deux natures :
- Des types de tâches extrinsèques propres aux programmes de calculs :
Ttrouve x : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une
valeur donnée.
Ttrouve x_2PC : Trouver les valeurs pour lesquelles deux programmes de calcul renvoient
la même valeur.
T trouve x_inéq : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une
valeur plus petite (respectivement plus grande) qu’un deuxième programme de calcul.
Tconjecturer : Conjecturer un résultat.
Tprouver_équiv : Prouver que deux programmes de calcul donnés sont équivalents.
T étude_equiv : Déterminer si deux programmes de calcul sont équivalents (c’est-à-dire si
pour toutes les valeurs, les deux programmes renvoient la même valeur ou pas).
Tprod_PCsimple : Produire un programme de calcul équivalent à un autre plus simple.
Rappelons à ce niveau qu’un programme « plus simple » qu’un programme initial est
un programme équivalent comportant moins d’opérations.
Les praxéologies du type de tâche Tconjecturer ne seront pas détaillées, ce type de tâche
étant considéré comme élémentaire pour notre étude.
- Des types de tâches liés à l’utilisation des expressions algébriques :
Tstructure : Analyse symbolique des expressions algébriques (type de tâche intrinsèque).
Ttester : Tester l’égalité de deux expressions algébriques (type de tâche élémentaire).
Ces deux types de tâche interviendront dans les techniques des types de tâches
précédents mais ne seront pas décrits dans notre travail.
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
34
Ttrouve x : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une
valeur donnée.
τ trouve x,1 : Mise en équation
P(τtrouvex,1) = Ttrouve x où P désigne la portée de la technique.
- Tintroduire : Introduire une lettre.
- Ttraduire : Traduire un PC vers EA.
- Tec-eq : Ecrire une équation à une inconnue de d° n (n entier).
- Tres_eq : Résoudre une équation de d° n à une inconnue.
En pratique, au collège n ≤ 2
trouve x,1 : traduire
équation : notion d’équation et résolution d’équations.
Θ : Algèbre
Exemple :
je choisis un nombre, j’ajoute 2, je multiplie par 6, je soustrais le nombre de départ.
Quel nombre choisir pour obtenir 15 ?
τ trouvex,2 : Utilisation de la réversibilité des opérations (« remonter » le programme)
P( τtrouvex,2) = PC du type [kP1(x)]n avec P1 un polynôme du premier degré, ; k et n
deux entiers.
-Tchoisir : Choisir la dernière opération.
-Tappli : Appliquer sa réciproque.
-Tréitérer : Passer à l’opération suivante et recommencer.
En pratique n ≤ 2 car si l’élève connait les racines n-ième alors il a une pensée
algébrique et cette technique n’a pas lieu d’être.
touvex ,2 : priorité : Priorités opératoires
op_réciproque : Connaitre les opérations réciproques
Θ : Arithmétique
Exemple :
Je choisis un nombre, j’ajoute 2 et je multiplie le résultat par 6.
Quelle valeur choisir pour trouver 36 ?
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
35
τ trouvex,3 : tâtonnement sans stratégie
-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée (type de tache décrit dans OML3).
-Tcomparer : Comparer le résultat au nombre donné.
-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie
aléatoirement.
P( τtrouvex,3)= Ttrouve x pour tous les types de programmes mais efficace seulement
lorsque la valeur à trouver est positive, entière ou décimale avec un petit nombre de
décimales . Stratégie peu, voir non applicable à des nombres rationnels.
trouve x ,3 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée (technologie décrite dans OML3)
priorité : Priorités opératoires.
comparer : Comparer deux nombres
Θ : Arithmétique
τ trouvex,4 : tâtonnement avec stratégie
P( τtrouvex,4) = P( τ trouvex,3) avec certainement un gain de temps
-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée (type de tache décrit dans OML3).
-Tcomparer : Comparer le résultat au nombre donné.
-Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat
souhaité.
-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.
trouve x,4 : calculer , priorité , comparer
ordre de grandeur : déterminer un ordre de grandeur
Θ : Arithmétique
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
36
Ttrouvex_2PC : Trouver les valeurs pour lesquelles deux programmes de calcul renvoient
la même valeur.
τ trouvex_2PC,1 : Résoudre une équation
P(τtrouvex_2PC,1) = Ttrouve x_2PC où P désigne la portée de la technique.
- Tintroduire : Introduire une lettre.
- Ttraduire : Traduire un PC vers EA
- T ec-eq : Ecrire une équation à une inconnue de d° n (n entier)
- Tres_eq : Résoudre une équation de d° n à une inconnue.
En pratique, au collège n ≤ 2
trouvex_2PC,1 = trouvex,1
Θ : Algèbre
τ trouvex_2PC,2 : tâtonnement sans stratégie:
P( τ trouvex_2PC,2 ) = Ttrouve x_2PC,2 mais efficace seulement pour des solutions positives
entières ou décimales simples. Pas d’exhaustivité du résultat.
-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée (type de tache décrit dans OML3) pour les deux programmes.
-Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.
-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie
aléatoirement.
trouvex_2PC, 2 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée.
comparer : Comparer deux nombres.
Θ : Arithmétique
τ trouvex_2PC,3 : : tâtonnement avec stratégie
P( τ trouvex_2PC,3 )= P( τ trouvex_2PC,2 ) avec certainement un gain de temps.
- Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée (type de tache décrit dans OML3) pour les deux programmes.
- Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.
- Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat
souhaité.
- Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
37
trouvex_2PC,3 : calculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur
donnée.
comparer : Comparer deux nombres.
ordre de grandeur : Déterminer un ordre de grandeur.
Θ : Arithmétique
Exemple :
PA : Choisir un nombre. Ajouter 5. Multiplier le résultat par 3.
PB : Choisir un nombre. Multiplier par 5. Ajouter 3.
Quelle valeur choisir pour que PA et PB renvoient le même résultat ?
T trouvex_ineq : Trouver les valeurs pour lesquelles un programme de calcul renvoie une
valeur plus petite (respectivement plus grande) qu’un deuxième programme de calcul.
τtrouvex_ ineq,1 : Résoudre une inéquation.
P(τ ineq,1) = T trouve x_ineq
- Tintroduire : Introduire une lettre.
- Ttraduire : Traduire PC vers EA.
- Tec_ineq : Ecrire une inéquation du premier degré à une inconnue.
- Tres_ineq : Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue.
inéquation : traduire
inéquation
Θ : Algèbre
τ trouvex_inéq,2 : tâtonnement sans stratégie:
P(τ inéq,2 ) = solutions du type ]- avec un
nombre entier.
- Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée
pour les deux programmes.
- Tcomparer : comparer les résultats obtenus.
- Tréitérer : réitérer les étapes précédentes avec une autre valeur choisie
aléatoirement.
ineq,2 : calculer
comparer : comparer deux nombres
Θ : Arithmétique
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
38
τ inéq,3 : tâtonnement avec stratégie:
P(τ inéq,3) = P(τ inéq,2 ) avec certainement un gain de temps.
-Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée
pour les deux programmes.
-Tcomparer : Comparer les résultats obtenus.
-Tchoisir : Choisir une nouvelle valeur permettant de s’approcher du résultat
souhaité.
-Tréitérer : Réitérer les étapes précédentes avec la valeur choisie.
ineq,3 : calculer : Calcul du résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée.
comparer : Comparer deux nombres.
ordre de grandeur : Déterminer un ordre de grandeur.
Θ : Arithmétique
Exemple :
PA : Choisir un nombre. Ajouter 5. Multiplier par 3
PB : Choisir un nombre. Multiplier par 5. Ajouter 3
Quelles valeurs choisir pour que PA renvoie un résultat inférieur à PB ?
Tprouver_équiv : Prouver que deux programmes de calcul donnés sont équivalents.
τ prouver_équiv : -Tintroduire : Introduire une lettre.
-Ttraduire : Ecrire une expression algébrique pour chacun des deux
programmes.
-Tstructure : Analyse symbolique de la structure des expressions algébriques.
-Ttransformer : Transformer l’écriture d’une expression (pour obtenir l’autre)
ou des deux expressions.
-Tcomparer : Comparer les deux expressions.
prouver_equiv : traduire : Ecrire une expression algébrique.
structure : Analyse symbolique des expressions.
égalité_poly : Propriétés d’égalités des polynômes.
calc_alg : Distributivité simple ou double et identités remarquables.
(factorisation/développement)
Θ : algèbre
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
39
Exemple :
PA : Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier par 3 .Soustraire 6.
PB : Choisir un nombre. Prendre son triple.
Montrer que PA et PB donnent le même résultat quelle que soit la valeur choisie au
départ.
T étude_equiv : Déterminer si deux programmes de calcul sont équivalents (c’est-à-dire si
pour toutes les valeurs, les deux programmes renvoient la même valeur ou pas).
τ étude_équiv,1 : Méthode algébrique
- -Tprouver_equiv
- -Tconclure
étude_equiv ,1 : prouver_equiv
Θ : algèbre
τ étude_équiv,2 : Méthode algébrique
-Tintroduire : Introduire une lettre.
-Ttraduire : Ecrire une expression algébrique pour chacun des deux
programmes.
-Ttester : Tester l’égalité de deux expressions algébriques.
La forme de la preuve dépend ensuite de l’équivalence ou non des expressions :
S’il n’y a pas l’équivalence, recherche d’un contre- exemple.
S’il y a équivalence : - Tstructure
- Ttransformer : Transformer l’écriture d’une expression pour obtenir
l’autre ou des deux expressions.
- Tcomparer : Comparer les deux expressions.
étude_equiv : prouver_equiv
tester
Θ : algèbre
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
40
τ étude_équiv, 3 : Conjecture puis preuve
-Tconjecturer : conjecturer
- La forme de la preuve dépend ensuite de l’équivalence ou non des expressions :
S’il n’y a pas l’équivalence, recherche d’un contre- exemple.
S’il y a équivalence : Tprouver_équiv
étude_equiv : prouver_equiv
conjecturer
CE : Notion de contre- exemple.
Θ : algèbre
Exemple :
PA : Choisir un nombre. Ajouter 2. Multiplier par 3. Soustraire 6.
PB : Choisir un nombre. Prendre son triple.
Est-il vrai que PA et PB donnent le même résultat quelle que soit la valeur choisie au
départ ?
Tprod_PCsimple : Produire un programme de calcul équivalent à un autre plus simple.
τprod_PCsimple,1 : preuve algébrique
- Tconjecturer : Conjecturer la nature du programme plus simple.
- Tprouver_equiv : Prouver l’équivalence des deux programmes de calcul.
τprod_PCsimple,1 : conjecturer
prouver_equiv
Θ : algèbre.
Exemple :
Choisir un nombre. Ajouter 6. Multiplier le résultat par le nombre de départ. Ajouter 9.
Montrer que le résultat est toujours un carré, quel que soit le nombre choisi au départ.
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
41
C. Dans OML3
Cette OML concerne l’algèbre des polynômes. Dans le cadre des programmes de
calcul, le type de tâche qui s’y rattache est Tcalculer. Il s’agit de calculer le résultat d’un
programme de calcul pour une valeur donnée.
On peut noter dans cette OML également le type de tâche Ttransformer : transformer une
expression algébrique (développer, factoriser, réecrire un monôme…) qui est
nécessaire pour résoudre les types de tâche autour de la preuve de OML2 sans qu’elle
soit nécessairement prescrite. Nous ne détaillerons pas ce type de tâche dans notre
travail.
τprod_PCsimple ,2 : preuve arithmétique.
-Tconjecturer : Conjecturer un résultat.
-Trègles_calc : Appliquer les règles de calcul pour transformer le programme en un
programme équivalent plus simple.
P(τprod_PCsimple,2) : programmes permettant l’utilisation des propriétés arithmétiques.
prod_PCsimple,2 : conjecturer
règles_calc_num : propriétés d’associativité, de commutativité pour le
calcul numérique.
Θ : arithmétique
Exemple :
Choisir un nombre. Lui ajouter 17,2 puis 5,3. Soustraire 13,8 au résultat. Retrancher
2,4 puis enlever 6,3 au résultat obtenu. Appliquer ce programme à un nombre. Que
constate –t-on ? Pourquoi ?
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
42
Tcalculer : Calculer le résultat d’un programme de calcul pour une valeur donnée.
τ calc,1 : - Tintroduire : Introduire une lettre.
- Ttraduire : Ecrire une expression algébrique.
- T substituer : Remplacer la lettre par une valeur numérique.
calculer,1 : traduire
substituer : Substitution d’une valeur numérique dans une expression
algébrique.
priorité : Priorité des opérations
Θ : algèbre.
Cette technique convoque la dialectique numérique/algébrique.
τ calc,2 : Tcalc_étapes : Calcul pas à pas des différentes étapes.
calculer,2 : op : Opérations usuelles( +, x, - :, ² ; …)
égalité : Notion d’égalité
Θ : arithmétique.
τ calc,3 : -Tec_ligne : Ecriture en une ligne du programme avec la valeur numérique
choisie.
-Tcalc_num : Calcul de l’expression numérique obtenue.
calculer,3 : traduire PC vers EN : Traduire un programme de calcul en une expression
numérique :
priorité : Priorité des opérations.
règle_conv :Règles de conversion d’un registre de représentation
sémiotique à un autre.
règle_form : Règles de formation des expressions numériques. (conventions
d’écriture)
Θ : arithmétique.
Exemple :
Je choisis un nombre, j’ajoute 2, je multiplie le résultat par 6.
Quel résultat obtient-on lorsque l’on choisit 5 ?
PARTIE 2 : Construction d’un modèle praxéologique de référence
43
D. Tableau récapitulatif
Voici un tableau présentant les praxéologies de référence décrites précédemment
pour les différents types de tâche présents dans chacune des OML.
Tableau 1 : Tableau récapitulatif des praxéologies de L'OM de référence
Les flèches indiquent les types de tâches intervenant dans les techniques des autres
types de tâche. Par exemple Tintroduire intervient dans une des techniques de Ttrouve x
(τtrouvex,1).
Ce tableau montre que Tintroduire et Ttraduire sont très présentes dans les techniques des
autres types de tâche ce qui confirme le lien étroit entre les programmes de calcul et la
motivation de l’activité algébrique.
II. Détermination d’un modèle praxéologique de référence concernant les programmes de calcul.
44
Il en est de même pour Tcalculer puisque c’est une activité indispensable à la conjecture
et qu’il est nécessaire dans les techniques arithmétiques (sauf celle utilisant la
réciprocité des opérations).
Ttransformer intervient dans la technique de Tprouver_equiv qui intervient à son tour dans les
techniques de Tétude_equiv et Tprod_PCsimple. Ce type de tâche est donc également très
présent et montre que les types de tâche précédents permettent de motiver le calcul
algébrique. L’algèbre est alors considéré comme un outil dans des situations de
preuve.
L’activité de conjecture est également très présente dans les types de tâche autour de
la preuve.
E. Lien entre ces différentes OML
Ces trois OML ne sont pas isolées. La réalisation de certains types de tâche d’une OML
implique la convocation d’autres types de tâche de cette OML ou des autres.
Par exemple : Tétude_équiv (OML2), réalisée avec τ étude_équiv,3 convoque :
Tintroduire et T traduire (OML1) ou encore Tconjecturer (OML2) qui lui-même convoque Tcalculer
(OML3).
Cette OM de référence nous donne des critères pour l’analyse praxéologique des
programmes, des documents d’accompagnement et des manuels de collège.
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
45
PARTIE 3 : Analysé praxé ologiqué du curriculum ét dés manuéls
I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum
Nous étudierons dans ce paragraphe comment se déclinent, dans le curriculum, les
différents types de tâches ainsi que les techniques et les technologies répertoriés dans
l’OM de référence. Nous nous placerons pour cela dans chacune des OM locale.
A. OM1 - Génération des expressions algébriques
Au collège, les types de tâches Ttraduire, Tintroduire et Tassocier sont présents à travers
l’intitulé : « Produire une expression algébrique » explicité pour la première fois en
2008, dans le programme de 5ème.
Cette présence offre la possibilité d’introduire les expressions algébriques en amenant
à considérer les programmes de calcul non plus uniquement comme des processus
mais comme des résultats. Cependant, comme le souligne Julia Pilet (2012) : « les
programmes sont silencieux sur le rôle joué par la production d’expression relativement
à l’introduction des expressions. » Seul le document d’accompagnement, dont on peut
s’interroger sur l’usage qu’en font les enseignants et les auteurs de manuels, apporte
des éléments.
L’étude de programmes de calcul équivalents, à partir de leur modélisation
symbolique, permet d’amener les élèves à un travail sur les expressions au niveau
structural et plus seulement au niveau procédural.
« La prise en compte de l’aspect « structural » d’une expression dans l’enseignement
est moins « visible » pour les élèves que l’aspect « procédural ». Pour rééquilibrer
l’enseignement des deux aspects, l’étude du type de problèmes « Les programmes de
calcul que traduisent deux expressions algébriques sont-ils équivalents ? » permet de
motiver le travail « structural » sur les expressions algébriques, qui nécessite
l’identification de la forme d’une expression et souvent le changement de cette forme
(trans-formation), selon le but poursuivi. On est alors conduit à apprendre aux élèves à
déterminer la forme d’une expression, selon des catégories qui évoluent au cours de
l’enseignement. Savoir si une expression est une somme ou un produit est une tâche
incontournable, que l’élève doit à terme savoir faire seul, sans indication de la part du
professeur ou de l’énoncé de l’exercice. » (Document d’accompagnement «Du
numérique au littéral » 2008, p.5)
I. Représentativité des différents types de tâche dans le curriculum
46
B. OM2 - Équivalence des expressions algébriques
Les questions relatives à l’équivalence et la structure des expressions ne figurent pas
dans les programmes du collège.
Le seul type de tâches constitutif de OM2 qui apparaît dans les programmes du collège
est Ttester :
« Tester l’égalité de deux expressions en leur attribuant des valeurs numériques ». Il est
présent en cinquième sous la forme « Tester si une égalité comportant un ou deux
nombres indéterminés est vraie lorsqu’on lui attribue des valeurs numériques. »
Il est rattaché à la notion d’équation, pas à celle des expressions algébriques. La lettre
prend alors davantage le statut d’inconnue que celui de variable. Il permet de
travailler le statut d’équivalence dans le contexte d’équation et non dans le contexte
d’identité qui nécessiterait une quantification.
Par contre, on trouve dans le document d’accompagnement, des éléments des
techniques des types de tâches Ttester, Tprouver_equiv, et Tétude_équiv :
La technique qui consiste à tester deux expressions pour contrôler l’exactitude d’une
transformation dans la preuve de l’équivalence est mise en avant :
«Après qu’une transformation d’expression algébrique (factorisation, développement,
réduction, … ) a été faite, un type de tâches doit faire l’objet d’une meilleure visibilité
pour les élèves : comment contrôler qu’elle a été faite sans erreur ? Il est souhaitable
d’aider les élèves à se doter de moyens de contrôles économiques du développement
ou de la factorisation d’une expression auxquels l’expert recourt constamment, comme
par exemple, la vérification du coefficient de plus haut degré ou du terme constant. Il
faut aussi en montrer les limites qui justifient le recours à des tests sur un nombre
restreint de valeurs bien choisies. Le recours à une calculatrice pour effectuer des tests
sur des valeurs numériques en facilite la validation. En classe, le professeur peut
montrer l’usage du tableur pour contrôler l’exactitude de l’égalité (3x-1)(2x+5) = 6x²+
+13x-5.[...]. Si le développement est exact, en faisant varier la valeur attribuée à x [...]
les valeurs numériques qui s’affichent [...] varient également, mais restent égales. Il est
important que les élèves soient conscients que ce type de contrôle conduit à penser que
deux expressions sont effectivement égales sans toutefois en avoir la certitude (des
critères permettant de l’obtenir seront étudiés plus tard). En revanche, le fait que, pour
une valeur attribuée à x, il n’y ait pas égalité des valeurs des deux expressions, suffit à
prouver qu’elles ne sont pas égales. » (Document d’accompagnement, p. 6)
Le type de tâche Tstructure, peu souligné dans les programmes, apparait lui aussi dans le
paragraphe du document d’accompagnement intitulé « Les deux aspects d’une
expression algébrique : « procédural » et « structural » ».
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
47
Il est souligné que : « La prise en compte de l’aspect « structural » d’une expression
dans l’enseignement est moins « visible » pour les élèves que l’aspect « procédural ».
[...] On est alors conduit à apprendre aux élèves à déterminer la forme d’une
expression, selon des catégories qui évoluent au cours de l’enseignement. Savoir si une
expression est une somme ou un produit est une tâche incontournable, que l’élève doit
à terme savoir faire seul, sans indication de la part du professeur ou de l’énoncé de
l’exercice. » (Document d’accompagnement, p.5)
Les types de tâche Ttrouvex et T trouve x _2PC sont abordés dans ce même document à partir
d’un exemple. Il y est mis en évidence la nécessité d’infirmer la technique par
réciprocité des opérations pour permettre d’accéder à une méthode algébrique. La
praxéologie mise en avant est celle de nature algébrique.
Nous en avons exposé un exemple lors de notre étude épistémologique.
Les praxéologies rattachées à ces types de tâche apparaissent également dans le vade-
mecum sur le socle commun. Elles sont en concordance avec celles décrites dans l’OM
de référence. Il est précisé de valoriser les aptitudes qui relèvent du socle (ici,
effectuer des calculs simples et élaborer une stratégie par essais-erreur) tout en
montrant les limites de l’empirique et en plaidant plus honnêtement et plus
efficacement pour des méthodes mathématiques rigoureuses.
Tétude_equiv et Tprouver_equiv figurent explicitement dans le document d’accompagnement :
« On veut savoir si deux programmes de calcul relatifs à une même variable sont
équivalents, c’est-à-dire s’ils « retournent » toujours les même valeurs quand on
« rentre » n’importe qu’elle valeur. Si la réponse est négative elle est facile à justifier.
Mais quelle justification fournir dans le cas où la réponse est affirmative ? On peut-y
arriver en utilisant les règles de calcul qui garantissent l’équivalence des programmes
de calcul que les expressions traduisent, au rang desquelles figure la distributivité de la
multiplication par rapport à l’addition. »
On notera que c’est la technique de conjecture-preuve qui est retenue (et qui
correspond à τétude_equiv,3). La technologie proposée est l’utilisation des règles du calcul
algébrique (distributivité).
Tprod_PCsimple n’apparait pas dans le document d’accompagnement mais dans un
exemple du Vade Mecum concernant le socle commun.
On ne rencontre pas Ttrouvex_ineq.
II. Choix des manuels à analyser.
48
On peut donc constater que la plupart des types de tâches relatifs à OML2
apparaissent, bien que disséminés dans plusieurs documents et avec des objectifs
parfois différents. Les praxéologies attendues sont d’ordre algébrique.
C. OM3 : Algèbre des polynômes
Les travaux de Julia Pilet (2012) montrent que OML3 est l’OM locale la plus présente et
que la trace de OM3 dans les programmes coïncide avec l’ensemble des types de
tâches techniques (développer, factoriser…). La transformation des expressions est
principalement guidée par un travail syntaxique qui s’appuie sur des ostensifs. Il y a
très peu de traces sur les liens étroits entre OM3 et OM2 et entre OM3 et OM1.
Dans le cadre des programmes de calcul, Tcalculer est absente des programmes et des
documents d’accompagnement. On trouve par contre la description de Ttransformer
comme élément de la technique permettant de prouver l’équivalence de deux
programmes de calcul (cf citation précédente).
II. Choix des manuels à analyser.
Nous avons choisi quatre manuels sur les quatre niveaux du collège afin d’avoir une
vision globale de l’OM à enseigner relative aux programmes de calcul. Les collections
retenues pour l’analyse praxéologique et écologique sont :
- Les manuels Phare chez Nathan en raison de leur grande utilisation par les
enseignants.
- Les manuels triangles chez Hatier qui ont été parmi les premiers à développer
la production d’expression dans des activités de généralisation ou de preuve. C’est
aussi une collection qui propose un chapitre spécifique sur la démonstration par le
calcul algébrique dans le manuel de 4ème que l’on peut interpréter comme une la
volonté des auteurs de mettre en avant l’algèbre comme outil.
- Les manuels Zenius chez Magnard qui sont ceux ayant déclenché cette étude
avec la présence de programmes de calcul dès le niveau 6ème (dans l’édition 2013).
- Les manuels Sesamath diffusés par Génération 5. Ils sont issus d’un travail
collaboratif au sein de l’association Sésamath et sont téléchargeables gratuitement sur
internet.
Nous étudierons les éditions disponibles les plus récentes pour chaque manuel :
En 6ème : Sesamath en ligne, Phare 2014, Zenius 2013, Triangle 2009,
En 5ème : Sesamath en ligne, Phare 2010, Zenius 2010, Triangle 2010.
En 4ème : Sesamath en ligne, Phare 2011, Zenius 2011, Triangle 2011.
En 3ème : Sesamath en ligne, Phare 2012, Zenius 2012, Triangle 2012.
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
49
III. Analyse écologique
L’analyse écologique consiste à situer les habitats (lieux de vie et environnement
conceptuel de l’objet de savoir) et les niches (fonctions de cet objet dans le système
des objets avec lesquels il interagit) attribués aux programmes de calcul en regard des
propositions du curriculum.
Les programmes sont découpés en quatre domaines :
Nombres et calculs
Organisation et gestion de données/Fonctions
Travaux géométriques
Grandeurs et mesures
Une lecture exhaustive des manuels nous a permis de constater que l’on rencontre
essentiellement les programmes de calcul dans le domaine numérique. Ils apparaissent
également en classe de 5ème dans le domaine « organisation et gestion de données ».
Cela correspond à l’apparition de l’algèbre en classe de 5ème dans le domaine
« organisation et gestion de données » à travers « utiliser et produire une expression
littérale » qui selon Julia Pilet (2012) :
«marque un tournant dans la fonction donnée à l’algèbre dès son introduction. La
production d’expressions algébriques apparaît pour la première fois explicitement pour
résoudre des problèmes de généralisation, de modélisation et de mise en équation au
collège. Or, comme nous l’avons déjà souligné dans l’OM de référence, c’est à travers
ces problèmes que les expressions algébriques trouvent leur raison d’être. Cette
évolution marque une volonté d’introduire l’algèbre non plus comme une arithmétique
généralisée (Chevallard, 1985b ; Gascón, 1994) mais comme un outil au service de la
résolution de problèmes de généralisation ou de preuve. Cela offre l’occasion de
motiver l’introduction de l’algèbre, par exemple en lien avec l’étude de l’équivalence
des programmes de calcul et de faire les liens entre les trois OM locales, comme nous
l’avons souligné dans l’OM de référence (cf. §3.1). »
A. Répartition des exercices type « programmes de calcul » dans les
manuels
Pour les niveaux 4ème et 3ème les programmes de calcul sont concentrés dans le
domaine numérique à l’intérieur des chapitres concernant le calcul littéral, les
équations et inéquations. Ces derniers sont plus ou moins morcelés selon les manuels.
Ils apparaissent également dans d’autres chapitres (racines carrées en 3ème par
exemple) ce qui peut traduire la volonté d’une rencontre plus fréquente avec les types
de tâche relatifs aux programmes de calcul (cf tableau en annexe).
Deux manuels de 3ème (Zenius et Sesamath) font le lien avec le cadre fonctionnel où
l’algèbre est employé comme outil. Le programme de calcul est alors considéré sous
III. Analyse écologique
50
un aspect dynamique et l’inconnue devient une variable. Cet aspect relevant
davantage du programme de 2nde que de celui de 3ème, les exercices proposés sont à la
marge.
Pour le niveau 5ème le point de vue des auteurs diffère sensiblement selon les
collections : le manuel Phare intègre les programmes de calcul dans un unique chapitre
(calcul numérique) alors que le manuel Sesamath les répartit dans quatre chapitres. La
volonté d’une rencontre plus fréquente avec ce type d’exercice et d’une utilisation de
l’algèbre comme outil est visible.
On peut noter aussi que les exercices rencontrés sont essentiellement situés dans la
partie « exercices ». Seules deux collections, Sesamath (3ème, 4ème) et Triangle (4ème)
les intègrent dans la partie « activités » des chapitres « calcul littéral » et « équations-
inégalités ». Ces dernières peuvent être considérées comme un moment de première
rencontre (au sens de Chevallard). Cela traduit la volonté des auteurs de se conformer
aux prescriptions des documents d’accompagnement en utilisant les programmes de
calcul pour motiver la production d’expressions algébrique.
B. Sujets de brevet
Nous pouvons compléter l’analyse écologique précédente par l’apparition
relativement récente (2007) et régulière des programmes de calcul dans les sujets de
brevet. Cela traduit une volonté institutionnelle forte de les introduire dans l’OM à
enseigner.
Les manuels de 4ème et de 3ème reprennent d’ailleurs bon nombre d’exercices proposés
à cet examen.
On peut alors se demander si les élèves possèdent les outils pour traiter ces exercices.
Trouve –t-on sur la présence d’un environnement technologique dans les manuels?
Les techniques des différents types de tâche en jeu sont-elles décrites ? Ou encore, les
types de tâches intrinsèques sont-ils mis en évidence ?
C. Environnement technologique
Au niveau 5ème, Seul le manuel interactif Sesamath propose pour un exercice (dont le
type de tâche est Tprouver) un lien vers des exercices interactifs, un simulateur de
tableur et des exercices de mathenpoche dont la démarche est détaillée.
Les exercices proposés mettent en œuvre la technique relative à Tprouver_equiv en
travaillant plus particulièrement les types de tâche Ttraduire, Tassocier et Ttransformer qui ne
sont pas directement prescrites aux élèves.
Pour le niveau 4ème, il n’est pas étonnant de retrouver le manuel Sesamath qui propose
encore une fois des liens vers des corrections, des aides animées et des exercices
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
51
interactifs (issus de Sesamath et de matoumatheux1). Ces derniers mettent en avant
Ttraduire ainsi que la conversion du registre algébrique vers celui des schémas de calcul,
ce qui permet le travail de la dialectique structural/procédural comme le préconise le
document d’accompagnement.
Le manuel Triangle 4ème propose également un exercice corrigé pour le type de tâche
Tprod_PCsimple avec le détail de toutes les étapes de la preuve de l’équivalence. Ce dernier
étant présent dans la partie « cours et méthodes » institutionnalise la méthode de
résolution. On peut noter que ce type d’exercice occupe une place importante dans la
mesure où il apparait aussi dans la partie « pour réviser le contrôle », en lien sans
doute avec la présence régulière des programmes de calcul au brevet des collèges
(depuis la session 2007).
Pour le niveau 3ème trois manuels proposent des éléments technologiques :
Le manuel Sesamath propose un lien vers un exercice résolu lors d’un exercice
mettant en œuvre Ttrouve x et Tprod_PCsimple.
Le manuel Phare propose une solution rédigée sur son site élève à propos des
types de tâche Ttrouve x et Ttrouvex_2PC.
On peut cependant noter que cet élément technologique est proposé sur un site
annexe au manuel dont nous ne savons pas s’il est réellement utilisé par les
enseignants et les élèves.
Le manuel Zenius propose un exercice de brevet qui met en œuvre Ttrouve x et
Tétude_equiv avec solution rédigée dans la partie exercice et plus précisément dans un
paragraphe intitulé « Je m’entraine au brevet ». Les auteurs ont pris en compte
l’entrée de ce type d’exercices au brevet des collèges et détaillent une technique de
résolution (algébrique). Dans les commentaires liés à cette résolution, d’autres
techniques possibles sont décrites mais sans exemple. Elles ne sont pas valorisées.
D. Conclusion
On trouve très peu d’éléments technologiques dans les manuels papiers, davantage
dans les manuels numériques mais cela reste confidentiel. Le travail est
essentiellement mené sur les niveaux 5ème et 4ème.
Les manuels Sesamath et Triangle s’efforcent de créer un environnement
technologique autour des programmes de calcul.
Le manuel Triangle concentre son discours sur le niveau 4ème.
Le manuel Sesamath propose dès la 5ème et les deux années suivantes des
éléments pour traiter le Type de tâche Tprouver_equiv mais uniquement dans le manuel
numérique.
1 Matoumatheux est un didacticiel disponible gratuitement en ligne. Il propose des exercices du primaire à la fin du collège en mathématiques.
IV. Analyse praxéologique des manuels
52
En 3ème, les manuels Zenius et Phare (dans le site élève) proposent un exercice corrigé.
La motivation des auteurs du manuel Zénius semble être la présence de ce type
d’exercice dans les sujets de brevet.
Il n y a pas de mise en évidence des liens entre les trois OML.
Les auteurs du manuel Phare n’ont pas pris en compte le travail algébrique proposé
par le curriculum et n’ont pas développé d’environnement technologique autour des
programmes de calcul.
Aucune de ces collections ne propose une progression concernant les praxéologies à
mettre en œuvre sur les quatre années du collège.
IV. Analyse praxéologique des manuels
A. Représentativité des différents types de tâche
Commençons par quelques précisions au sujet de l’analyse des exercices :
- Un exercice peut convoquer plusieurs types de tâche.
- Une cellule vide signifie que le type de tâche n’est pas convoqué.
- Le tableau ne comptabilise pas les types de tâche qui interviennent dans les
techniques des types de tâches proposés par l’énoncé. C’est-à-dire qu’il comptabilise
uniquement les types de tâche dans leur fonction d’objet.
On appellera MS : manuel Sesamath
MP : manuel Phare
MZ : manuel Zénius
MT : manuel triangle
On dénombre 114 convocations de type de tâche pour 99 exercices.
Tableau 2 : Représentativité des différents types de tâche en tant qu'objet.
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
53
Ttraduire et Tassocier 1.
On ne rencontre pas ces types de tâche en 6ème pour des raisons écologiques, l’algèbre
n’étant pas au programme.
Les types de tâche Ttraduire et Tassocier sont présents 12 fois (soit environ 10 % des cas)
dans ce tableau essentiellement au niveau 5ème. Prescrits en tant qu’objet, ils
répondent à la demande des programmes de « Produire une expression
littérale (5ème)» et ont pour fonction le travail de la syntaxe des expressions
algébriques. La majorité des exercices proposés consistent en une traduction du
registre programme de calcul vers celui des expressions algébriques, ce qui fait
intervenir l’aspect procédural des expressions.
Seuls trois exercices (dans les manuels Sesamath, Phare et Triangle) proposent une
traduction de l’expression algébrique vers le programme de calcul, qui elle permet le
travail de l’aspect structural.
Nous notons là un manque du travail de la dialectique procédurale/structurale déjà
constaté par Chevallard (1989) et pourtant proposé par le document
d’accompagnement.
Le manuel Zénius 5ème a pris le parti de travailler la syntaxe des expressions dans le
cadre numérique en proposant une traduction du programme de calcul en une
expression numérique :
Pour les niveaux 4ème et 3ème ces types de tâches apparaissent très peu en tant
qu’objet mais interviennent en tant qu’outil dans un grand nombre de techniques des
autres types de tâches décrits dans ce travail.
Dans les exercices proposant une activité de preuve (à partir du niveau 5ème), le
recours à Ttraduire est en général indispensable. Cela représente environ un tiers des
types de tâche proposés.
Excepté en 6ème où l’algèbre n’intervient pas, Ttraduire (et par conséquent Tintroduire) est
induit dans environ la moitié des cas. Pour l’autre moitié, c’est à l’élève de prendre
l’initiative d’introduire l’algèbre.
Figure 5: Manuel TRIANGLE 5éme
IV. Analyse praxéologique des manuels
54
Ces résultats généraux sont cependant très variables selon les manuels.
Par exemple, dans la collection Phare, ces deux types de tâche sont la plupart du
temps (8 exercices sur 11 en 3ème) prescrits par l’énoncé qui propose d’introduire
une lettre et de traduire le programme. Les auteurs du manuel semblent avoir pris en
compte les programmes officiels et les documents d’accompagnement en proposant
un grand nombre d’exercices autour des programmes de calculs pour introduire
l’algèbre. Pourtant, la plupart d’entre eux sont redondants et peuvent être résolus
autrement que par une méthode algébrique (9 fois sur 11). Les types de programmes
proposés et les valeurs choisies ne sont pas pertinents pour motiver l’algèbre.
C’est ce que l’on peut observer dans cet exemple qui introduit une technique
algébrique alors que la simple réversibilité des opérations permet de conclure. Le
nombre à choisir (2,25) est aussi suffisamment simple pour être trouvé par une
méthode d’essais/erreur.
On observe ce même profil dans la collection Zénius : la technique algébrique est
largement induite et le recours à l’algèbre rarement indispensable.
Par contre, le manuel Triangle 3ème propose un grand nombre de type de tâche de
preuve ( Tprouver_equiv, Tétude_equiv et Tprouver) pour lesquels le recours à l’algèbre s’avère
indispensable et la technique algébrique n’est pas induite. Pour les types de tâche
Ttrouve_x et Ttrouvex _2PC la technique algébrique n’est pas induite non plus. Cela répond
bien davantage aux attentes du curriculum pour motiver l’entrée dans la pensée
algébrique.
De plus, ce manuel propose une évolution cohérente de la 5ème à la 3ème. En 5ème les
auteurs ont mis l’accent sur le travail de la technique de Ttraduire (prescrite comme
objet) puis Ttraduire devient outil pour les niveaux 4ème et 3ème.
On retrouve ces caractéristiques chez Sesamath.
Figure 6 : Manuel PHARE 3ème.
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
55
Ttrouve x 2.
C’est le type de tâche le plus fréquent : il représente 35 % des types de tâche
proposés.
Les techniques possibles sont de nature arithmétique ou algébrique.
Dans 40% des cas, la technique algébrique est induite. Pourtant cette dernière est
rarement indispensable pour trouver la valeur de départ. Les techniques de
réversibilité des opérations et d’essais-erreur sont la plupart du temps suffisamment
performantes pour trouver la valeur de départ. L’introduction de l’algèbre n’est
vraiment nécessaire (les autres méthodes n’étant pas utilisables ou trop couteuses)
que dans 8 % des cas.
L’élève peut ne pas être incité à rentrer dans une démarche algébrique.
La proposition quasi systématique de faire fonctionner le programme sur quelques
valeurs peut induire chez les élèves les techniques de calcul par tâtonnement qui ne
sont pas des techniques algébriques.
La praxéologie permettant d’aborder la technique de réciprocité des opérations est
quasiment absente : quatre exercices seulement (un en 6ème, un en 5ème et deux en
4ème). Les manuels donnent presque toujours les programmes de calcul par leur
description langagière. On ne rencontre pas de schémas de calcul qui permettraient
pourtant de visualiser les opérations réciproques.
Seul le manuel Sesamath 4ème utilise cette technique dans ses activités pour mettre en
évidence la nécessité du recours à l’algèbre en proposant une situation qui la met en
échec et qui l’explicite. De plus, le choix des valeurs proposées rend trop couteuse
l’utilisation des techniques par tâtonnement ce qui motive donc l’introduction d’une
expression algébrique.
On peut penser que la fréquence importante de ce type de tâche est motivée par les
exigences du socle commun. Les résolutions d’équation ne sont pas une compétence
du socle. Les procédures relevant à la fois de l’arithmétique et de l’algébrique, chaque
élève confronté à ce type de tâche produire un raisonnement et aboutir à une
solution.
IV. Analyse praxéologique des manuels
56
Ttrouve x_2PC 3.
Ce type ne tâche n’apparait pas au niveau 6ème et une seule fois au niveau 5ème pour
des raisons écologiques.Il conduit en effet à la résolution d’équations qui n’est pas au
programme de 6ème et qui n’est pas au centre du travail sur les équations en 5ème.
Il apparait dans 15% des cas sur les autres niveaux, davantage en 3ème qu’en 4ème. C’est
pourtant à ce niveau que l’on traite des résolutions d’équations. Les programmes de
calcul, en permettant l’obtention d’équations dans lesquelles l’inconnue figure dans
les deux membres, constituent une situation propice à justifier l’introduction de
l’algèbre.
Les manuels Triangle et Sesamath l’exploitent dans leurs activités d’introduction du
chapitre traitant des équations. Le manuel Sesamath montre de plus les limites d’une
recherche par tâtonnement (à l’aide d’un tableur) en proposant une solution non
décimale.
La technique algébrique est induite dans deux tiers des cas.
Ttrouvex_ineq 4.
Ce type de tâche est marginal par rapport à l’ensemble des types de tâche proposés (3
exercices seulement). Le calcul littéral n’étant plus un objectif du socle, la notion
Figure 7 : Manuel SESAMATH 4ème
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
57
d’inégalité n’est plus une priorité et les exercices relatifs aux inéquations bien moins
nombreux que ceux sur les équations. Ils sont utilisés aux mêmes fins que Ttrouve x et
Ttrouve x_2PC.
Tconjecturer 5.
Ce type de tâche intervient essentiellement en tant qu’outil dans les techniques des
types de tâche Tétude_equiv, et Tprod_PCsimple.
Les élèves sont alors susceptibles de le mettre en œuvre dans 30 % des types de tâche
proposés.
La conjecture est induite par l’énoncé dans environ 75 % des cas. Cela confirme que la
praxéologie dominante est celle de la technique conjecture puis preuve pour les deux
types de tâches concernés. C’est en effet ce qui est préconisé par le curriculum en lien
avec la démarche d’investigation (document d’accompagnement « raisonnement et
démonstration », 2009).
En 6ème deux exercices proposent ce type de tâche en tant qu’objet : dans le manuel
Phare 2014, l’exercice propose de conjecturer la propriété d’associativité et de
commutativité. La présentation sous forme de programme de calcul est nouvelle
(présente dans l’édition 2014 mais pas 2009). Elle offre la possibilité de travailler la
structure d’une expression numérique par l’utilisation du vocabulaire et des
procédures de calcul proposées, travail transférable aux expressions algébriques
ultérieurement.
On peut y voir la volonté d’une familiarisation précoce des élèves avec le registre
« programme de calcul » et d’aborder dès la 6ème la production d’expressions
numériques et l’étude de leur structure.
Dans l’autre manuel (Zénius), l’idée sous- jacente est plutôt de produire un
programme équivalent plus simple (sans preuve d’équivalence) et donc de familiariser
les élèves avec le type de tâche Tprod_PCsimple.
Tprouver_equiv 6.
Ce type de tâche est très peu présent en tant qu’objet mais il intervient un grand
nombre de fois en tant qu’outil dans la technique algébrique de Tprod_PCsimple et dans les
techniques de Tétude _equiv. . A l’exception du niveau 6ème, il intervient dans environ 30 %
des types de tâche proposés. C’est un type de tâche central dans l’activité de preuve
qui nécessite le recours au calcul algébrique.
Tétude_equiv 7.
Ce type de tâche, prescrit en tant qu’objet, est très peu rencontré (8% des cas). C’est
pourtant le grand type de tâche proposé par Chevallard pour motiver le calcul
IV. Analyse praxéologique des manuels
58
algébrique. Le manuel Sésamath 3ème suit d’ailleurs ses recommandations en
proposant ce type de tâche dans les activités d’introduction du chapitre « calcul
littéral ». La technique retenue est celle de conjecture-preuve.
Figure 8 : Manuel SESAMATH 3
ème
On constate un certain conformisme dans les exercices proposant ce type de tâche : un
même exercice (issu d’un sujet de brevet) est présent cinq fois sur huit dans les
différents manuels.
La technique de résolution induite pour cet exercice est celle de τétude_equiv,1 c’est-à-dire
une méthode complétement algébrique. L’énoncé n’incite pas à effectuer une
conjecture mais plutôt à traduire directement le programme sous forme d’une
expression algébrique. C’est d’ailleurs ce que l’on peut observer dans le Manuel Zenius
3ème qui propose et commente la correction de cet exercice. Il préconise le test pour
quelques valeurs numériques mais ne le met pas en œuvre.
Les autres manuels n’abordent pas le sujet.
La technique proposée pour les autres exercices est celle de la conjecture puis preuve,
ce que l’on a déjà observé lors de l’étude du type de tâche Tconjecturer. En général le
recours à l’algèbre n’est pas induit.
On constate cependant que l’on est toujours dans une situation d’équivalence ce qui
ne motive pas forcément l’activité de conjecture et ne permet pas un travail par
rapport au raisonnement comme le préconise le document sur le socle. Finalement, le
type de tâche réellement proposé est plutôt Tprouver_equiv.
Tprod_PCsimple 8.
Ce type de tâche est proposé en tant qu’objet dans 20 % des cas.
Il est accessible dès le niveau 6ème pour certains programmes de calcul avec une
méthode arithmétique et fait son apparition dans certaines collections (éditions 2013).
Il repose sur la technique de conjecture –preuve.
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
59
On trouve également ce type de tâche dans le nouveau manuel Phare 6ème (2014)
alors qu’il n’existait pas dans la version précédente.
Il faut ensuite attendre les niveaux 4ème et 3ème pour le retrouver.
Le recours à l’algèbre est majoritairement induit pour le niveau 4ème alors que ce n’est
pas le cas en 3ème, l’initiative en est laissée à l’élève.
a) Tcalculer
Ce type de tâche représente, en tant qu’objet 7 % de l’ensemble des types de tâche
proposés. Les programmes de calculs ne servent donc manifestement pas à « faire »
des calculs.
On le rencontre majoritairement au niveau 5ème.
Figure 9 : manuel ZENIUS 6ème
Figure 10 : Manuel TRIANGLE 3ème
.
IV. Analyse praxéologique des manuels
60
On peut alors s’interroger sur le rôle qu’il y joue à ce niveau.
Les techniques possibles sont de trois ordres : la première est algébrique, elle consiste
à traduire le programme par une expression algébrique puis à substituer une valeur.
On la trouve explicitée une unique fois dans le manuel Zénius 5ème :
Cette praxéologie est quasi absente alors qu’elle permet l’entretien de la dialectique
numérique /algébrique.
La deuxième est son effectuation pas à pas. C’est la plus couramment rencontrée et
celle que les élèves utilisent spontanément puisqu’elle relève de l’aspect procédural,
plus simple à identifier.
La troisième consiste en l’écriture en une ligne du calcul puis le calcul de l’expression
obtenue. Cette troisième technique, moins naturelle en raison de l’aspect procédural
du programme de calcul, apparait une unique fois dans le manuel Sésamath.
Elle permet pourtant un travail syntaxique sur les expressions numériques qui serait
transférable ensuite sur les expressions algébriques. Cela pourrait être une manière
d’aborder le passage de l’aspect procédural à l’aspect structural des expressions.
Deux exercices du manuel Zenius semblent toutefois prendre en charge cette
question en proposant un calcul pas à pas du programme puis son écriture en une
expression (sans exiger le calcul de l’expression)
Cette collection poursuit ce travail en 3ème en proposant un exercice analogue.
On constate donc que cette praxéologie, qui parait pourtant favoriser l’accès à l’aspect
procédural des expressions est très peu rencontrée.
Les autres exercices existants ont uniquement pour fonction le calcul avec des
nombres relatifs ou des fractions.
Figure 11 : Manuel ZENIUS 5ème
Figure 12 : Manuel ZENIUS 5ème
PARTIE 3 : Analyse praxéologique du curriculum et des manuels
61
Ce type de tâche en tant qu’outil est présent dans tous les autres types de tâche
décrits précédemment (mise à part Ttraduire et Tassocier).
Il est indispensable à l’activité de conjecture et intervient dans les techniques
arithmétiques. En général la technique n’est pas imposée mais la forme procédural des
programmes de calcul induit l’effectuation pas à pas.
Lorsque l’utilisation d’un tableur est proposée, l’écriture d’une formule induit la
technique d’écriture en une expression. Cela reste toutefois marginal (1 exercice en
5ème, 2 exercices en 4ème).
Dans un cas (Sesamath 5ème) le tableur est proposé avec une effectuation pas à pas des
calculs. Bien que préconisé par le document d’accompagnement, l’outil tableurs est
quasiment inutilisé. Il favorise pourtant l’entrée dans le calcul littéral grâce au travail
syntaxique et sémantique autour de l’écriture d’une formule et l’usage des cellules
permettant de travailler l’évolution de la lettre du statut d’inconnue à celui de
variable.
b) Ttransformer
En général, ce type de tâche n’est pas directement prescrit aux élèves. On le trouve
une unique fois dans les manuels Phare et Triangle en 3ème. Il s’agit du même exercice
de brevet (Nouvelle Calédonie, 2009). Proposer ce type de tâche implique que la
méthode algébrique ait été introduite. On peut penser que les auteurs des sujets de
brevet souhaitaient davantage évaluer la maitrise du calcul algébrique que le
raisonnement à travers cet exercice.
B. Bilan
D’une manière générale, peu d’exercices traitent des programmes de calcul dans les
manuels et l’on trouve peu d’éléments technologiques accessibles les concernant.
Tous les types de tâches proposés dans le modèle praxéologique de référence
apparaissent mais sans lien clairement établi avec l’algèbre. Deux collections se
distinguent cependant en proposant des praxéologies permettant une entrée dans la
pensée algébrique ainsi qu’un travail sur le calcul algébrique. Il s’agit de Sesamath et
de Triangle. Ce travail est essentiellement mené à partir du niveau 4ème alors qu’il
pourrait l’être dès le niveau 5ème : Le programme de calcul permet de produire une
expression littérale qui peut être transformée grâce à la distributivité simple.
La consultation de manuels plus récents (2014) qui viennent de paraitre montrent une
prise en compte plus grande des praxéologies décrites dans l’OM de référence et ce
dès le niveau 6ème.
62
Conclusion
Nous nous sommes intéressés dans ce travail à l’objet « programme de calcul ».
Nous avons tout d’abord fait le point des documents officiels et travaux de recherche
existants sur le sujet.
Nous nous sommes ensuite interrogés sur la manière dont ces programmes étaient
utilisés dans les manuels et dans quel but.
Nous avons pour cela construit un modèle praxéologique de référence afin d’analyser
le curriculum et les manuels, reflets du rapport institutionnel à cet objet.
Il apparait une prise en compte des travaux de recherche dans les documents
d’accompagnement. L’institution souhaite réhabiliter l’enseignement de l’algèbre en
utilisant, entre autre, les programmes de calcul pour motiver l’entrée dans l’algèbre et
le calcul algébrique (cela correspondait à notre deuxième question de recherche).
On peut toutefois noter une certaine lenteur dans le processus de transposition. Les
premiers travaux de Chevallard autour de l’algèbre datent de 1985 et le document
d’accompagnement « du numérique au littéral » a été rédigé en 2008, soit 23 ans plus
tard !
L’institution accorde également une place importante aux programmes de calcul en
termes de différenciation dans la classe dans le cadre du socle commun de
connaissances et de compétences.
Cependant, la lecture seule des programmes ne permet pas de comprendre la
présence des programmes de calculs dans les manuels. Il ressort de notre étude que
les auteurs de manuels eux-mêmes abordent peu cette question. On peut noter la
présence, en petit nombre, de tous les types de tâches proposés par le modèle
praxéologique de référence mais leur utilisation comme entrée dans la pensée
algébrique et motivation du calcul algébrique n’apparait pas clairement.
On peut alors imaginer que la majorité des professeurs, qui consultent essentiellement
les programmes officiels et les manuels pour construire leur enseignement, n’auront
pas recours aux programmes de calcul tel que le préconise le document
d’accompagnement. Les types de tâches proposés n’auront donc qu’une faible
influence dans l’apprentissage de l’algèbre et le rapport institutionnel à cet objet en fin
de collège ne sera pas celui prévu par ce document.
Ce serait une hypothèse à vérifier dans le prolongement de notre travail. Il faudrait
pour cela étudier la deuxième étape du processus de transposition (de l’objet à
enseigner vers l’objet effectivement enseigné) en s’adressant directement aux
professeurs et aux élèves.
La lecture des différents exercices proposés en 3ème montre qu’un grand nombre
d’entre eux sont issus des sujets de brevet. Ces derniers sont le reflet de la volonté
Conclusion
63
institutionnelle. Une prolongation de notre travail serait alors d’étudier les
praxéologies présentes dans les exercices de brevet depuis 2007(apparition du premier
programme de calcul).
On pourrait également s’interroger sur le lien possible à effectuer avec la classe de 2nde
pour aborder les programmes de calculs d’un point de vue dynamique et
algorithmique.
J’ai testé cette année, en classe de 5ème, l’introduction de l’algèbre à partir des
programmes de calcul. J’avais en effet toujours ressenti un manque dans la motivation
du calcul algébrique à ce niveau (la distributivité simple y était le plus souvent traitée
comme objet). Je souhaitais remédier à cette situation et comme nous l’avons décrit
dans ce travail motiver l’entrée dans l’algèbre et le calcul algébrique. Je me suis
inspirée des travaux de Sylvie Coppe (repère IREM, 2013) pour établir une progression
autour de cet objet. Il me paraissait important également, au regard des réflexions
menées dans ce travail de ne pas induire de méthode et donc de ne pas proposer
l’introduction d’une lettre. En 5ème, les élèves peuvent dans un premier temps utiliser
d’autres symboles, comme une case vide ou tout autre signe, qui permettront ensuite
l’introduction de la lettre.
Voici la progression proposée au niveau 5ème :
Programme 1 : Prendre un nombre, le multiplier par 8 puis ajouter 3. Quel est le résultat si on choisit 8, si on choisit 9 ? (59 et 75) Quel nombre ai- je choisi si je trouve 19 ? Si je trouve 91 ? (3 et 11) Programme 2 : Prendre un nombre, ajouter 7 et multiplier le résultat par 3 Quel est le résultat si on choisit 0, si on choisit 8 ? (21 et 45) Quel nombre ai- je choisi si je trouve 72 ? (17) Programme 3 : Prendre un nombre, le multiplier par 8 puis ajouter 3 Quel nombre ai- je choisi si je trouve 43, si je trouve 57 ? 20 ? (5 ; 6,75 ; 2,125) Programme 3bis : Je cherche le nombre qui lorsque je le multiplie par 6 et que j’ajoute 10 au résultat donne 18. (4/3) Programme 4 : Je choisis un nombre Je le multiplie par 8 J'ajoute au résultat le double du nombre choisi Je trouve 60. A quel nombre ai-je pensé ?
64
Programme 4 bis: Je choisis un nombre Je lui ajoute 3
Je multiplie le résultat par 5
Je soustrais le nombre choisi.
Quel nombre ai-je choisi si j’obtiens 35 ? 25 ? 28 ? ( 5 ; 2,5 ; 3,25)
Programme 5
Voici deux programmes de calcul : Compare ces deux programmes. Que remarques-tu ? Ta remarque est-elle vraie pour n'importe quel nombre ?
Programme 6 Choisir un nombre. Ajouter 7 Multiplier le résultat par 5 Soustraire 35 Appliquer ce programme à plusieurs nombres de votre choix. Que remarquez – vous? Justifier le résultat obtenu.
Programme 7 Choisir un nombre Le multiplier par 2 Ajouter 1 au nombre obtenu Multiplier le résultat par 5 Comment peux-tu trouver rapidement chaque résultat sans faire tous les calculs demandés ? Expliquer. Je n’ai pas analysé finement les productions d’élèves et je ne peux donc donner que
mes impressions globales.
Les élèves ont bien adhéré à l’activité, quel que soit leur niveau. Comme le souligne le
Vade-Mecum sur le socle commun, c’est effectivement un bon moyen de
différenciation dans la classe. J’ai pu constater qu’un bon nombre d’élèves ont intégré
l’idée d’introduire une lettre lorsque le programme ne se remonte pas. La plupart
d’entre eux ont donné du sens à l’introduction d’une lettre et à la nécessité d’écrire
une expression algébrique. Par contre, peu d’entre eux se sont montrés autonomes
dans l’étape de production de l’expression algébrique (traitement des priorités,
parenthèses…) et la transformation de celle-ci. Une étude plus fine permettrait
Conclusion
65
d’évaluer les performances des élèves et de repérer les nœuds à travailler plus
spécifiquement.
J’ai apprécié cette entrée dans la pensée algébrique, avec un travail réparti
progressivement tout au long de l’année. Les objectifs d’apprentissages fixés ont été
atteints. Je renouvellerai très certainement l’expérience l’année prochaine !
J’ai également construit une progression au niveau 3ème.
Mon objectif était, d’une part, dans le cadre du socle commun de faire émerger les
différentes techniques pour traiter ces exercices (et montrer l’apport de l’algèbre) et
d’autre part de proposer des programmes faisant fonctionner les différentes
techniques et propriétés de calcul algébrique (associativité, commutativité,
distributivité simple, double, égalités remarquables). Il est alors important de jouer sur
les variables didactiques pour décourager les procédures par tâtonnement.
Je souhaitais également proposer des exemples de programmes non équivalents afin
mettre en évidence la distinction égalité/identité. Si certains manuels traitent cette
question en 4ème (comme le manuel triangle) aucun programme de ce type n’est
proposé.
J’avais également prévu d’une part, d’introduire les égalités remarquables dans le sens
de la factorisation (le développement étant peu pertinent pour les élèves car
accessible à partir de la double distributivité) et d’autre part de prouver des propriétés
arithmétiques à l’aide de cet outil mais cela n’a pu être réalisé faute de temps.
Progression niveau 3ème
Programmes permettant l’utilisation de la réversibilité des opérations :
Programme 1 Je choisis un nombre
Je le multiplie par 3
J’ajoute 5 au résultat.
Quel est le résultat final si je choisis 8 ?
Quel nombre est choisi si j’obtiens 17 ? 16 ?
Programme 2 Choisir un nombre
Le multiplier par -3
Ajouter 7 au résultat
Multiplier le résultat obtenu par 2
a) Qu’obtient-on lorsque l’on choisit 10 puis -2 au départ ?
b) Quel nombre fallait-il choisir pour obtenir 36 ? 20 ? 30 ?
66
Programme que l’on ne peut pas « remonter» :
Programme 3 Je choisis un nombre
Je lui ajoute 3
Je multiplie le résultat par 5
Je soustrais le nombre choisi
Qu’obtient-on lorsqu’on choisit 6 ? – 2 ?
Quel nombre ai-je choisi si j’obtiens 35 ? 25 ? 28 ?
Programmes pour résoudre des équations :
Programme 4
Je cherche un nombre tel que si je le multiplie par 3 et que j’ajoute 8, je trouve le
même résultat que si je multiplie par 7 et que j’ajoute 5.
Programmes pour prouver :
Des programmes non équivalents
Programme 5
L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse :
« Si on choisit le même nombre pour les deux programmes,
le programme A donnera toujours un résultat supérieur au programme B »
PA : Choisis un nombre. Ajoute 3 et multiplie le résultat par 9.
PB : Choisis un nombre. Prends son carré. Multiplie le résultat par le nombre choisi.
Programme 6
Voici un programme de calcul. Fais plusieurs essais. Le résultat est-il toujours négatif
ou positif ?
Choisis un nombre. Soustrais 1. Calcule le carré du résultat. Soustrais 2. Ajoute le
double du nombre choisi.
Cas de programmes équivalents : recours à la preuve algébrique
sans distributivité
Programme 7 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ?
Ta remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?
Programme 1 : choisis un nombre. Ajoute 7 et ajoute le nombre choisi.
Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 2. Ajoute 3 et ajoute 4.
avec distributivité simple
Programme 8 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ?
Ta remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?
Programme 1 : choisis un nombre. Ajoute 7 et multiplie le résultat par 8.
Programme 2 : Choisis un nombre. Multiplie le par 8 et ajoute 56.
Conclusion
67
Avec double distributivité :
Programme 9 : Voici deux programmes de calcul. Que remarques-tu ? Ta
remarque est-elle vraie pour n’importe quel nombre ?
Programme 1 : Choisir un nombre. Ajoute 2. Calcule le carré du nombre obtenu.
Programme 2 : Choisir un nombre. Multiplie le par 4. Ajoute au nombre obtenu le
carré du nombre choisi. Ajoute 4 au résultat.
Avec les égalités remarquables :
Programme 10 : Brevet France métropolitaine 2007 (cf p 7 de ce document)
Pour introduire les égalités remarquables :
Programme 11 :
Choisis deux nombres quelconques. Calcul le carré de chacun. Additionne les carrés.
Puis ajoute deux fois leur produit.
Pour prouver des propriétés arithmétiques :
Programme 12
L’affirmation « ce programme donnera toujours un résultat impair » est –elle vrai ou
fausse ?
Programme : Choisis un nombre entier. Ajoute son suivant.
Là encore, tous les élèves se sont impliqués dans la recherche. Lors des premiers
contacts avec cet objet, les procédures algébriques ne sont pas apparues. Il a fallu mon
intervention pour les mettre en place. Ce type d’exercice n’avait pas été travaillé dans
les classes précédentes.
En phase de bilan de fin d’année, il ressort que, si certains élèves (qui ne constituent
pas la majorité) ont automatisé l’introduction d’une lettre, la formation des
expressions et leur traitement n’est pas acquis, particulièrement lorsque les
programmes conduisent à des expressions algébriques complexes.
Il ressort également que de nombreux élèves n’éprouvent pas la nécessité de prouver
un résultat dans un cas général. Deux ou trois exemples suffisent pour affirmer un
résultat. Au mieux ont-ils proposé l’utilisation d’un tableur.
On peut donc constater des difficultés persistantes, de natures différentes:
Celles liée à l’introduction d’une lettre et à la problématique de
généralisation.
Celles liées aux techniques algébriques comme :
- L’écriture de l’expression algébrique : gestion des priorités et du parenthésage.
- L’identification de la structure des expressions dès qu’elles sont plus complexes
que les formes usuelles de simple ou double distributivité: cela occasionne des
erreurs pour développer, simplifier ou encore factoriser.
68
- L’identification des égalités remarquables.
- Le choix d’une transformation adéquate pour répondre au problème posé.
(factoriser une égalité remarquable pour mettre sous forme d’un carré par
exemple).
Il semblerait que les élèves ne gèrent pas correctement l’articulation entre les
différents registres et ne réinvestissent pas leurs connaissances en calcul littéral.
Ce travail mériterait d’être poursuivi et complété afin de dégager une progression
cohérente de la 6ème à la 3ème permettant de résoudre ces difficultés.
Il serait également pertinent de réfléchir à l’intégration d’un environnement
technologique dans les manuels qui mette en avant les praxéologies concernant les
programmes de calcul.
Bibliographie
69
Bibliographié
ALVES C., COPPE S., DUVAL V., GOISLARD A., KUHMAN H., MARTIN
DAMETTO S., ROUBIN S. (2013). Utilisation des programmes de calcul pour
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modelización funcional. Université Autonome de Barcelone.
Manuels scolaires:
Math 6ème : Sesamath en ligne (2013). Génération 5.
Collection Phare (2014). Hachette.
Collection Zenius (2013). Magnard.
Collection Triangle (2009), Hatier.
Math 5ème : Sesamath en ligne (2013) Génération 5.
Collection Phare (2010). Hachette.
Collection Zenius (2010). Magnard.
Collection Triangle (2010), Hatier.
Math 4ème : Sesamath en ligne (2013) Génération 5.
Collection Phare (2011). Hachette.
Collection Zenius (2011). Magnard.
Collection Triangle (2011), Hatier.
Math 3ème : Sesamath en ligne (2013) Génération 5.
Collection Phare (2012). Hachette.
Collection Zenius (2012). Magnard.
Collection Triangle (2012), Hatier.
Programmes et documents d’accompagnement :
Programmes du collège. BO spécial n°6 du 28 août 2008.
Document d’accompagnement : « du numérique au littéral ». Février 2008
Document ressource pour le socle : Vade -mecum "principaux éléments de
mathématiques. Septembre 2009
74
Manuel SESAMATH 2013
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
69 p 32 Tprod_PCsimple toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés
Concerne des divisions dans les entiers
Manuel PHARE 2009 : Aucun exercice.
Manuel PHARE 2014 :
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
Activité 2 p 44 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,2
Tcalculer et Tconjecturer proposés
Chapitre additions/soustractions Pas de choix d’un nombre au départ. Mise en évidence de la propriété d’associativité et de commutativité
100 p 71 Tprod_PCsimple toutes Chapitre multiplication
Manuel ZENIUS 2013
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
91 p 34 Tprod_PCsimple toutes
Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. τprod_PCsimple,2
Chapitre : addition et soustraction. Utilisation vocabulaire : ajouter, soustraire, retrancher, enlever. Propriété d’associativité
56 p 4 8 Tconjecturer Tcalculer proposé par l’énoncé.
Chapitre multiplication Pas de preuve
75
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
95 p 68 Ttrouve x
τtrouvex,1, τtrouvex,3 et τtrouvex,4 avec le programme de départ. Toutes avec le programme plus simple.
Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. Pas de technique induite.
Chapitre division Sol : 7 et 108 Proposition de conjecture d’un programme équivalent plus simple mais sans preuve exigée.
Manuel TRIANGLE 2009 : Aucun exercice et pas d’édition plus récente.
77
Manuel SESAMATH 2013
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
39 p 22 Tcalculer
toutes τ calc,3 imposée Chapitre : priorité/distributivité
41 p 22 Ttrouve x
toutes τ trouvex,2 induite par l’énoncé dans la mesure où cet exercice est un dans un chapitre numérique et l’énoncé demande l’écriture d’une expression .
L’écriture d’une expression n’est pas indispensable : schémas de calculs.
73 p 26 Tprouver_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé
Sol : 28 et 256
61 p 39 Tcalculer toutes Aucune Chapitre fractions
70 p 58 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé ce qui peut induire τtrouve x,3 et τtrouve x,4
Chapitre nombres relatifs
35 p 71 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tintoduire proposé. Tconjecturer et Tprouver_equiv à la charge de l’élève. τ prod_PCsimple,1 induite
Chapitre calcul littéral Liens vers : Des exercices interactifs Un simulateur de tableur Des exercices de mathenpoche dont la démarche est détaillée. Exercice interactif met en œuvre Tassocier et Ttransformer
L’exercice dont la démarche est détaillée propose une technique algébrique. On y trouve une aide animée qui détaille les techniques de Ttraduire et Ttransformer.
36 p 71 Ttraduire EA vers PC Ttrouvex
τ trouve x, 1 et τ trouve x, 3
τ trouve x, 4
Tcalculer proposée avec τcalc,3 induite par la présence d’un tableur ( écriture d’une formule) τtrouve x,1 induite réalisée avec le tableur
Utilisation d’un tableur
78
Manuel PHARE 2010 :
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
37 p 36 Ttrouve x_2PC toutes
Tintroduire et Ttraduire proposés. Τtrouve x _ 2PC,1 induite avec technique de résolution de 5ème ( tester une égalité)
Chapitre calcul littéral Sol : 4
50 p 37 Tassocier
51 p 37 Tcalculer Ttraduire
toutes Q1 : pas de méthode induite Q2 :T introduire proposée et τcalc,1 induite
52 p 37 Ttraduire EA vers PC Exercice de traduction d’une EA en PC.
82 p 40 Tprouver_equiv toutes Tcalculer proposé par l’énoncé.
Exercice motivant le passage à l’algèbre. Dans la partie « j’approfondis »
101 p 42 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé Tintroduire et Ttraduire proposés τ trouvex, 1 induite.
Sol : 15
Manuel ZENIUS 2010
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
85 p 23 Tcalculer
T écrire : écrire une expression numérique
Tcalc,2 et Tcalc,,3 Aucun Chapitre : enchainement d’opération. L’objectif est d’écrire une expression numérique.
86 p 23 Tcalculer
T écrire : écrire une expression numérique
Tcalc,2 et Tcalc,,3 Aucun Même exercice que le précédent
79
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
106 p 38 Tcalculer Ttraduire
toutes Q2 : Tintroduire et Ttraduire proposés τ calc,1 induite
71 p 104 Tcalculer
toutes
Chapitre : nombres relatifs Objectif : calculer avec des relatifs
79 p 106 Ttrouve x toutes Tcalculer proposée Tintroduire et Ttraduire proposés τ trouvex,1 induite
Sol : 14 Algèbre pas forcément pertinent.
80 p 106 T prouver_equiv
Ttrouve x
toutes
Tcalculer proposée Pas de méthode induite.
Q1 : Algèbre non indispensable. Q2: sol négative : -63 Algèbre non indispensable avec le programme équivalent plus simple proposé par l’énoncé.
Manuel TRIANGLE 2010
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
77 p 83 Ttrouve x
toutes
Aucun Chapitre : relatifs Addition et soustractions à trou : algèbre non indispensable.
10 c) p 125 Ttrouvex
τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 Titre de l’exercice induit τ trouvex,1
Chapitre : initiation au calcul littéral et aux équations. La solution est 10,5
24 p 130 Tassocier
25 p 130 Ttraduire Tintroduire proposé
80
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
26 p 130 Ttraduire Tintroduire proposé
27 p 130 Ttraduire EA vers PC EA vers PC
28 p 130 Ttraduire Tintroduire proposé
71 p 133 Ttrouve x τ trouvex,1 ;τ trouvex,3
Aucun Idem exo 10c) p 125
Sol : 20
72 p 133 Ttrouve x toutes Aucun Sol : 15
82
Manuel SESAMATH 2013
Type de tâche Techniques possibles Elements induisant une technique Remarques
Activité 3 p 77 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1
Tcalculer proposé avec τcalc,2 induite Tconjecturer, Tintroduire, et Ttraduire
sont proposées
Chapitre : Calcul littéral Lien vers une aide animée et un tableur qui propose la correction de la première partie.
37 p 86 Tétude_equiv toutes Tconjecturer proposée Tintroduire et Ttraduire proposée Τetude_equiv,3 induite
Lien vers : aide animée, exercice interactif de production d’EA, exercice de matoumatheux (conversion du registre algébrique vers schéma de calcul ).
1 p 89 Ttrouve x toutes pour Q1 Q2 : τtrouvex,1 ou Tprod_PCsimple puis τtrouve x,2
Tcalculer proposée. Q1 : τtrouve x,2 induite Q2 : τtrouve x,1 induite
Q1 : sol :7 Q2 : Il faut écrire une EA et la simplifier. On trouve alors un PC plus simple.
Activité 1 p 92 Ttrouve x_2PC
Ttrouve x_2PC toutes Q1 : τtrouve x_2PC,3 ou 4 imposée.
Q2 : τtrouve x_2PC,3 imposée avec tableur
Chapitre : Equations et ordre Utilisation tableur (écriture formule) Exemple d’une solution non décimale. Technique de tâtonnement réfléchi explicité
Activité 5 p 94 Ttrouve x_2PC toutes
τtrouve x_2PC, 1 induite Sol : 3 ; 4,6 ; 9
31 p 101 Ttrouve x_2PC toutes aucune Sol : 3
32 p 101 Ttrouve x aucune Sol : 7
Manuel PHARE 2011
Type de tâche Techniques possibles Elements induisant une technique Remarques
51 p 24 Ttrouve x toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposés τtrouve x,1 induite Tcalculer proposée
Chapitre : relatifs
46 p 37 Tconjecturer Tcalculer proposé
Chapitre : relatifs
76 p 39 Ttrouve x toutes Tcalculer proposée ce qui peut induire τcalc, 3 et τcalc, 4
Sol : 2
83
Type de tâche Techniques possibles Elements induisant une technique Remarques
23 p 68 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1
Tcalculer et Tconjecturer proposés Tintroduire et Ttraduire sont proposés
Chapitre calcul littéral
82 p 74 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1
Tintroduire et Ttraduire sont proposés Tcalculer et Tconjecturer proposés ( la conjecture est même donnée)
Manuel TRIANGLE 2011
Type de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique
Remarques
106 p 23 Ttrouve x toutes Tcalculer proposé après écriture formule dans tableur : τcalc,1 induite. La présence du tableur induit τtrouve x, 3 ou τtrouve x, 4
Chapitre : Opération sur les nombres relatifs. Tableur pour résoudre l’équation
Méthode p 34 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 τprod_PCsimple,1 induite Chapitre : calcul littéral et opérations Exercice corrigé avec le détail de toutes les étapes de la technique.
9 p 34 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 τprod_PCsimple,1 induite Technique induite par la structure du manuel
99 p 42 Ttrouve x
Tétude_equiv
toutes
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3
et τtrouvex,4 La méthode algébrique
Brevet
84
Type de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique
Remarques
n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence
100 p 42 Tétude_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève.
109 p 43 Tétude_equiv toutes Tcalculer proposé après écriture formule tableur induit τcalc,1 Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève mais l’écriture de formules dans le tableur induit l’utilisation de l’algèbre.
tableur
111 p 44 Tprouver_equiv
Ttraduire EA verc PC
Aucune indication
138 p 46 Tprod_PCsimple τprod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposé Tprouver_equiv à la charge de l’élève.
Exercice dans la partie : « préparer le contrôle »
Activité 3 p 69 Ttrouve x_2PC Q1 : toutes τtouve x, 1 induite par le titre du Chapitre équation/inégalités
85
Type de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique
Remarques
Q2 : τtouve x, 1 paragraphe mais pas par l’énoncé.
Sol : 1 et 16/3
30 p 76 Ttrouve x_2PC toutes T introduire proposée par l’image et τtrouve x, 1 induite
Sol : 4,25
94 p 82 Ttrouve x
τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ trouvex,4
avec le programme initial τtrouvex,1 ou 2 avec le programme plus simple équivalent.
Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Ttransformer prescrite
Brevet Sol : 7
87
SESAMATH 2013
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
1 p 34 Tétude_equiv toutes - Tconjecturer et Ttester proposés par l’énoncé - La technique de Tprouver_equi est à la charge de l’élève.
chapitre calcul littéral Activité d’introduction Recours à l’algèbre indispensable.
38 p 45 Ttrouve x toutes
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4
Sol : -1/2
39 p 45 Ttrouve x τ trouvex,1 Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas induite.
Solutions 1/2 et 5/3 Recours à l’algèbre indispensable
45 p 46
Tprod_PCsimple Ttrouve x
τprod_PCsimple,1 τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ
trouvex,4
-Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture est donnée. -La technique de Tprouver_equiv est à la charge de l’élève -Aucune technique induite pour Ttrouve x
Brevet Sol :-1 et -3 Lien dans le manuel interactif vers un exercice avec résolution détaillée
57 p 46 Tprod_PCsimple Ttrouve x
τprod_PCsimple,1 τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ
trouvex,4
-Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture est donnée. -La technique de Tprouver_equiv à la charge de l’élève -L’écriture de calculs intermédiaires, induit τcalc,2 pour Tcalculer - Aucune technique induite pour Ttrouve x
Le calcul pas à pas ne favorise pas le passage à l’algèbre. Cet exercice est le même que le précédent : Sol : 1 et -7
88
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
Même lien dans le manuel interactif.
62 p 46 Ttrouve x
toutes les techniques de Tcalculer
τ trouvex,1
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4
Sol : 2 et -2/3
43 p 96 Ttrouvex_ineq toutes Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τ ineq,3 et τineq,,4
Chapitre: Inégalités et inéquations Sol : x>14
29 p 124 Tprod_PCsimple
Ttrouve x
τprod_PCsimple,1
toutes sauf τ trouvex,2 avec le programme initial. Toutes avec le programme plus simple.
Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées. τ prod_PCsimple,1 induite
Chapitre : Notion de fonction. Changement de cadre Algèbre/fonctions
Manuel PHARE 2012
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
67 p 41 Ttrouvex_2pc toutes
Tcalculer proposé par l’énoncé. Tintroduire et Ttraduire sont proposées. τtrouvex_2PC, 1 induite
Chapitre : Calcul littéral Sol : 3,5
68 p 41 Ttrouvex_2pc
toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées.
τtrouvex_2PC, 1 induite Sol : 15
69 p 41 Ttrouvex_2pc
toutes
Aucun Sol : 3
Problème sans indication mais recours à l’algèbre n’est pas indispensable.
89
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
75 p 42 Ttrouve x
Ttrouvex_2pc
toutes pour Ttrouve x
τ trouvex_2PC,1
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas induite
brevet sol Q3 : -3 Sol Q5: 15/7. Oblige à produire une EA
86 p 44 Ttrouve x
Ttrouvex_2pc
toutes toutes
Tintroduire et Ttraduire sont proposés τtrouvex_2PC, 1 induite τtrouve x,1 induite
Q2 : -1/2 Q3 : 7,5 Q4 : -15 Solution rédigée sur le site élève
QCM p 45 Tassocier ou Ttraduire
107 p 46 Ttrouve x
toutes
Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouvex_2PC, 1 induite
Coefficient rationnel. Calcul avec des fractions. brevet
108 p 46
Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée.
Brevet C’est à l’élève d’introduire l’algèbre (indispensable)
109 p 94 Ttrouve x
Toutes
Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite
Chapitre: Egalités remarquables Sol :-12
131 p 96 Ttrouve x
Τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ
trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Transformation de l’expression indiquée (développer puis réduire)
Brevet Sol : 7
41 p 108 Tinéquation toutes Ecriture de l’inéquation proposée. Chapitre : Inéquations
90
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
Τineq,1 induite
Manuel ZENIUS 2012
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
32 p 18 Tcalculer
toutes Le calcul mental induit τ calc,2
L’énoncé impose ensuite τ calc,3
Chapitre : Outil de calcul et puissance
59 p 59 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1
Tintroduire (ce qui induit Ttraduire ) et Ttransformer sont prescrits. τ prod_PCsimple,1 induite
Chapitre : Calcul littéral.
p 62 Ttrouve x
T étude_equiv
toutes
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence
Exercice avec solution rédigée : la trace écrite passe par l’algèbre même s’il est dit que l’élève peut-utiliser une méthode de son choix. Pas de test sur des valeurs. Dans la technologie on a plutôt Tprouver- équiv. Brevet
102 p 62 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée.
Présenté comme exercice avec prise d’initiatives. Brevet
66 p 97 Ttrouvex_2PC toutes Aucune Chapitre : Equations-inéquations Doc ressource socle commun Sol : 1,5
91
Types de tâche Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
67 p 97 Ttrouvex_2PC toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x_2PC,1 induite
Sol : 1,5
68 p 97
Ttrouve x
Ttrouvex_2PC
Ttrouvex,1 ; Ttrouvex,2
toutes
Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouvex,1 et τtrouve x_2PC,1 induites
Q1 : 8/3 Q2 : 1/6 Q3 : 18
95 p 99 Ttrouve x
toutes Tintroduire et Ttraduire sont proposées
τtrouvex,1 induite
Sol : 2,25 Brevet
101 p 159 Ttraduire
Tcalculer proposé par l’énoncé Chapitre : fonctions linéaires et affines
Changement de cadre : algèbre / fonctions.
Manuel TRIANGLE 2012
Types de tâche
Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
120 p 66 Ttrouve x
Ttrouve x_2PC
toutes pour Ttrouve x
toutes pour Ttrouve x_2PC
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 Pas de méthode algébrique induite
Chapitre Racines carrées Q1 : Sol : -5 pour PA ; 10 et 4 pour PB Q2 : Sol: 1 Brevet
4a) p 68 Ttraduire Chapitre : Calcul littéral et égalités
remarquables.
35 p 75 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. Tintroduire proposée par l’énoncé mais pas Ttraduire. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.
τ prod_PCsimple,1 induite
.
87 p 79 Tetude_equiv toutes Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé.
92
Types de tâche
Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
La conjecture n’est pas donnée. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.
102 p 81 Tprod_PCsimple τ prod_PCsimple,1 Tcalculer et Tconjecturer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée. Tprouver_equiv à la charge de l’élève.
τ prod_PCsimple,1 induite
126 p 84 = 102 p 62
Zenius
Tprod_PCsimple
τ prod_PCsimple,1
Tconjecturer et Tcalculer proposés par l’énoncé. La conjecture n’est pas donnée. La technique de Tprouver_equi est à la charge de l’élève.
Présenté comme exercice avec prise d’initiatives. Brevet
138 p 86 = 131 p 96
Phare
Ttrouve x
Τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ
trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé Tintroduire et Ttraduire sont proposées τtrouve x,1 induite Ttransformer prescrite
Brevet Sol : 7
73 p 100 Ttrouve x_ineq toutes Pas de méthode induite Chapitre : Equation et inéquations
97 p 104 Ttrouve x
Τ trouvex,1 ; τ trouvex,3 ; τ
trouvex,4 Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 Pas de méthode algébrique induite
Brevet Sol 0 et -3.
114 p 106 = p 62 Zenius
Ttrouve x
T étude_equiv
toutes pour Ttrouve x
Tcalculer proposé par l’énoncé. Cela peut induire τtrouve x,3 et τtrouvex,4 La méthode algébrique n’est pas introduite dans Q2. Expression algébrique d’un autre PC donnée en
Exercice avec solution rédigée : la trace écrite passe par l’algèbre même s’il est dit que l’élève peut-utiliser une méthode de son choix. Pas de test sur des valeurs.
93
Types de tâche
Techniques possibles Eléments induisant une technique Remarques
question 3 peut induire la production d’une expression algébrique pour étudier l’équivalence
Dans la technologie on a plutôt Tprouver- équiv.
Brevet métropole 2010