chapitre ii – les objets elÉmentaires en maple

Faculté des Sciences de GabesDépartement d’informatique

13/10/2016

Cours Maple 1

13/10/2016 1Khaled Hassine

[email protected]

Par :

Khaled Hassine

CCHAPITREHAPITRE IIII –– LLESESOOBJETSBJETS EELÉMENTAIRESLÉMENTAIRES ENEN

MMAPLEAPLE

13/10/2016 2Khaled Hassine

Evaluation des expressions

Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN

13/10/2016 Khaled Hassine 3

Les Types des données en Maple


Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN




13/10/2016

Cours Maple 2

Identificateur

Une variable Maple est, comme dans tous les langagesde programmation, identifiée par un nom (appeléidentificateur).

Cependant, à la différence des langages traditionnels,un identificateur de variable peut exister par soi mêmesans qu'il ne lui soit affecté une valeur numérique. Elleest alors une variable de type symbole mathématique.

Ces symboles sont utilisés pour représenter lesinconnues des équations, les variables d'un polynômeou d'une fonction quelconque, les indices, etc.


L’identificateur

L'identificateur d'une variable Maple commence par unelettre suivie des lettres, chiffres ou soulignés (underscore).

Maple distingue les majuscules des minuscules. Le nombremaximum de caractères significatifs diffère d'une version àune autre.

On peut aussi identifier une variable Maple entre deuxaccents graves ' ' (left quote). Ceci permet en particulier demettre entre ces accents n'importe quel caractère.

On peut aussi utiliser la concaténation pour définir desidentificateurs.

Pour les lettres grecques : α, β, γ, ... il suffit de les écrirecomme ça se prononce en minuscule.


Exemple

a.b := 10; # le . est l’opérateur de concaténationab := 10

'a.b' := 10;

a.b := 10

alpha := 10;

α := 10;


Remarque

Aussi bien en mathématique qu'en informatique, on esttoujours amené à manipuler des variables. Si elles sonttoujours désignées et reconnues par leur nom(identificateur), le sens qu'on leur donne n'est pas tout à faitle même : Une variable mathématique, "une inconnue" peut prendre n'importe

quel objet appartenant à un ensemble de références. Une variable informatique est l'adresse dans la mémoire de

l'ordinateur d'un emplacement permettant de stocker un objet d'untype donné.

En Maple, une variable peut être : mathématique : non assigné (affectée) ou informatique : assignée.



13/10/2016

Cours Maple 3

Exemple

P:= x^2 + 4 * x + 4;P:= x2+ 4 x + 4

P;x2+ 4 x + 4

x ;x

x := 3 ;x := 3

P;25


Variable libre

Pour calculer l'intégrale de P par rapport à x, l'instructionMaple est la suivante :

int (p, x);Error (in int) wrong number or type of arguments

Pourquoi une telle erreur ? En fait, pour pouvoir intégrerpar rapport à x, il faut que x soit une variable libre(mathématique, symbole). Or, x contient déjà une valeur,c'est donc une variable affectée. Afin de pouvoir réalisercette affectation, il faut libérer la variable x (désassigner).

x:='x': int (p, x);x3+ 2 x2 + 4 x


Constantes prédéfinies

Identificateur Description

Pi 3.14159...

I Racine de -1

infinity

gamma la constante d'Euler (physique)

false Faux (booléen)

true Vrai (booléen)

FAIL Je ne sais pas


Variables prédéfinies

Identificateur Description Valeur par défaut

Digits Nombre de chiffres significatifs

après la virgule (précision)

10

printlevel niveau d'impression 1

args les arguments d'une procédure

nargs Le nombre d'arguments

transmis à un sous-programme.



13/10/2016

Cours Maple 4


Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN



Les types des données en Maple

Le calcul formel passe par la manipulationd'expressions.

Toute opération est considérée comme uneexpression.

Chaque expression a un type qui peut être connupar la fonction :

whattype(<expression>) Il existe plusieurs types connus de Maple (environ

80).


Types en Maple

Classe de type Type Description

Arithmétiques * Produit

+ Somme

^ ou ** Puissance

Relationnels = égalité

<> différence ()

< inférieur

<= inférieur ou égal ()

Logiques and Et logique

or ou logique

not négation logique


Types en Maple

Classe de type Type Description

Nombre et variables numeric entier, rationnel et flottant

integer entier

fraction rationnel

float réel

complex nombre complexe

string chaîne de caractères

types complexes exprseq séquence

indexed indexé

list liste

set ensemble

table table

function fonction



13/10/2016

Cours Maple 5

Principales fonctions sur lesexpressions

Fonction Description

type (<exp>, <t>) Teste si l'expression <exp> est d'un type <t>

hastype (<exp>, <t>)

nops (<exp>) retourne le nombre d'opérandes de l'expression <exp>

op(n, <exp> retourne l'opérande de rang n dans <exp>.

op (<exp>) retourne tous les opérandes de <exp>

op(n1..n2, <exp> retourne les opérandes de rang n1 à n2 dans <exp>


Exemples

Expression

<Exp)

Type

whattype(<Exp>)

Opérandes

op(<Exp>)

Op. principal

op(0,<Exp>)

4 integer 4 integer

2.3 float 23,-1 float

2/3 fraction 2,3 fraction

x string x string

x+2 + x,2 +

x*y * x, y *

x/y * x, 1/y *

sin(x) function x sin


Exemple

type(a+b, '+'); hastype(a+b, fraction);true

False whattype(x+y+z); op (x+y+z); op(0, x+y+z);

nops(x+y+z);+

x, y, z+3



Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN




13/10/2016

Cours Maple 6

Les types de base

Booléen Entier Réel et complexe

Les types de base


Le type Booléen

Mot réservé : boolean

Constantes : false : Faux,

true : Vrai,

FAIL : lorsque Maple ne peut répondre ni avec true niavec false).

Les opérateurs : not, or, and

Les fonctions : evalb(<exp>).


Le type Booléen

Une expression booléenne ne contenant pasd'opérateurs booléen (not or, and)) n'est pasautomatiquement évaluée par Maple. Il faut le caséchéant en faire la demande explicite.

Exemple : x:=1: evalb(x=1);

true

true and FAIL, false or FAIL, not FAIL, FAIL or true;

FAIL, FAIL, FAIL, true



13/10/2016

Cours Maple 7

Les types de base


Les entiers

Mot réservé : integer

Ce sont les entiers composés de 1 à 500 000 digits(chiffres).

Opérateurs : Arithmétiques : +, -, *

Puissance : ^ ou **,

Fonctions : ! ou factorial


Principales fonctions

Fonction Valeur retournée

abs(a) Valeur absolue de a.

factorial(a) a!

ifactor(a) factorisation de a en facteurs premiers.

ifactors(a) la liste des facteurs premiers de a

igcd(a) PGCD(a). peut être appelé avec plus qu'un entier

ilcm(a) PPCM(a). peut être appelé avec plus qu'un entier

iquo(a,b) quotient de la division euclidienne de a par b.

iquo(a,b, 'q') quotient de la division euclidienne de a par b et retourne le

quotient dans q.




irem(a,b) reste de la division euclidienne de a par b.

irem(a,b, 'r') reste de la division euclidienne de a par b et retourne le

reste dans r.

isprime (a) retourne vrai si l'entier a est premier.

iroot(a, n); retourne l'entier le plus proche de la racine nème de a

(nécessite readlib(iroot))

isqrt(a) partie entière de la racine carrée de a.

ithprime (n) nème nombre premier.

max(a1, a2, ..an) le plus grand des entiers a1, a2, ..., an.



13/10/2016

Cours Maple 8



min(a1, a2, ..an) le plus petit des entiers a1, a2, ..., an.

nextprime(a) plus petit nombre premier strictement supérieur à a.

nprevprime(a) le plus grand nombre premier strictement inférieur à a.

rand retourne un entier positif aléatoire de 12 chiffres.

rand(a..b) un entier positif aléatoire entre a et b.

rand (b) un entier positif aléatoire entre 0 et b-1.

sign(a) signe de a (+1 si a≥0 et -1 sinon)


Exemple : quotient et reste de ladivision euclidienne

a:= 23:

b:=5:

iquo(a,b, 'r'):

irem(a,b,'q'):

q;r;

4

3


Les relationnels

Mots réservés : fraction, rationnal

Les fonctions : abs(a) : valeur absolue de a.

ifactor(a) : factorisation du numérateur et du dénominateur enfacteurs premiers.

max(a1, a2, ..an) : le plus grand des rationnels a1, a2, ..., an.

min(a1, a2, ..an) : le plus petit des rationnels a1, a2, ..., an.

denom(a) : dénominateur de a c'est un entier.

numer(a) : numérateur de a c'est un entier.


Exemple

numer(1/3);1

denom(1/3);3

ifactor(4/11);(2)2

(11) ifactor(64);

(2)2 (3) (5)



13/10/2016

Cours Maple 9

Les types de base


Les réels

type : Float (Mantisse et exposant). La mantisse est un réel

L'exposant est un entier représenté sur 32 bits.

Attention : Une expression numérique n'est pasforcement évaluée.


Exemple


Le type complex

type complex (partie réelle, partie imaginaire).

Le nombre complexe i est représenté par laconstante prédéfinie I.

(-1)^(1/2) et sqrt(-1) sont des synonymes de I.

Les fonctions : Re(Z) : partie réelle du complexe Z

Im(Z) : partie imaginaire du complexe Z.



13/10/2016

Cours Maple 10

Exemple

Z := (1+2*I)^2/(3-I); Re(Z); Im(Z);


Fonctions usuelles sur les réels et lescomplexes

ceil(Z) : Si Z est un réel pur, retourne le plus petit entier ≥ Z sinonceil(Re(Z))+I ceil(Im(Z)).

floor(Z) : Si Z est un réel pur, retourne le plus grand entier ≤ Zsinon floor(Re(Z))+I floor(Im(Z)).

round(Z) : Si Z est un réel pur, retourne l'entier le plus proche de Zsinon round(Re(Z))+I round(Im(Z)).

trunc(Z) : Si Z est un réel pur, retourne troncature de Z sinontrunc(Re(Z))+trunc(Im(Z)).

csign(Z) : = 1 si Z= 0 ou Re(Z)>0 ou Re(Z)=0 et Im(Z)>0 = -1 si Re(Z)<0 ou Re(Z)=0 et Im(Z)<0 abs(Z) : valeur absolue d'un réel ou module d'un nombre complexe. argument (Z) : argument d'un nombre complexe entre ]-∞..+∞ [. conjugate(Z) : conjugué d'un nombre complexe.


Les fonctions logarithmiques etexponentielles

exp(Z) : E^Z exponentielle de Z.

ln(Z) : logarithme népérien de Z.

log10(Z) : logarithme décimal de Z.

log[b](Z) : logarithme en base b de Z.


Les fonctions trigonométriques ethyperboliques directes et inverses

directes : sin, cos, tan, sinh, cosh, tanh, ...

Inverses : arcsin, arccos, ...()



13/10/2016

Cours Maple 11

Résolution des équations

Pour résoudre les équations, on dispose de lafonction solve (<équation>, <variables>[,<option>]); Option peut être complex. solve(2*x^2-3*x-5); #2*x^2-3*x-5=0

solve(0<2*x^2-3*x-5); #inéquation

assign(solve({3*x-2*y=-1; 2*x+y=4},{x,y})); x; y;

Pour avoir des valeurs approchées, on utilise lafonction fsolve (<équation>, <variables>);



Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN



Exemple

Soit l’exemple suivant :> P:= x^2 + x + 1;

P:= x2+ x + 1> x := 1 ;

x := 1> P;

3> x := 2 : P;

7 Pour retrouver l'expression de P par rapport à x : transformer x en

une variable libre.> x := 'x' ; P;

x := xx2+ x + 1


Règle d'évaluation complète (fullevaluation)

Soit l’exemple suivant : restart # initialisation du contexte P:= x^2 + x + 1; # évaluation au premier niveau

P:= x2+ x + 1 x := y^2 ;

x := y2

P; # évaluation au deuxième niveau.P:= y4+ y2 + 1

y:= 2; P; # évaluation au troisième niveau.y:= 2

21



13/10/2016

Cours Maple 12

Interprétation du résultat

Quelque soit le niveau d'évaluation, P pointe toujours sur l'expressioninitiale (x2+ x + 1).

Si on affecte à x une valeur, on casse la relationentre x et y et on aura une évaluation de P pour la valeur de x.

x:= 3; P;x:= 3

13


P x^2 + x + 1

y^2

2

Attention aux références circulaires

> t := 1; t := t+1; t;

t:= 1

t:= 2

2

> t := 't'; t := t+1; t;

t:= t

Error : recursive assignment

t := t+1


Évaluation différée

Les apostrophes permet une évaluation différée (retardée, delayed evaluation). x := 1; Q := 'x^3+1';

x := 1Q := x3+1

Les apostrophes (les cotes) empêchent l'évaluation totale du membre de droite de ladernière affectation. x := 2: Q ; x:=3: Q;

928

Exemple : x:= 1; y := '''x'+1''; %; %; %;

x:= 1y := ''x'+1'

'x'+1x+1

2


La fonction eval

eval(<exp>, n) donne l'évaluation de <exp> au nème niveau, 1 pour le plus bas. Exemple :

restart # initialisation du contexte P:= x^2 + x + 1;

P:= x2+ x + 1 x := y^2 ;

x := y2

y:= 1;y:= 1

eval(P,1);x2+ x + 1

eval(P,2);y4+ y2+ 1

eval(P,3);3



13/10/2016

Cours Maple 13

La simplification dans Maple

Il y a une table de simplification dans laquelle toutes les expressions et sous-expressions sont stockées. En conséquence, chaque expression simplifiée a uneunique instance en mémoire.

Chaque expression Maple est simplifiée puis comparée avec celle de la table : Si elle n'est pas dans la table, une nouvelle entrée est créée sinon cette nouvelle

expression est supprimée et c’est celle de la table qui est utilisée. Ce processus est réalisé avec un "hash table".

Chaque expression simplifiée a une signature et ce sont les signatures qu'oncompare. Si elles sont égales, on fait une comparaison complète.

Ainsi, on ne donne pas de l'importance à l'ordre des opérandes (commutativité)comme le montre l'exemple suivant : a+b+c;

a+b+c b+a+c;

a+b+c



Les types de base

Variables Maple

Récapitulatif

PLAN



13/10/2016 Khaled Hassine 51 13/10/2016 52Khaled Hassine

chapitre ii – les objets elÉmentaires en maple

Documents