UEC1 - HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES UNE HISTOIRE DES NOMBRES DE L’ANTIQUITÉ AU XXE S.

M 2 Histoire des sciences et des techniques

jenny.boucard@univ-nantes.frAnnée universitaire 2015-2016

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Séance 1 HISTORIOGRAPHIE DES MATHÉMATIQUES

ET CHRONOLOGIE GÉNÉRALE

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Une histoire des nombres de l’Antiquité au XXe s.

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Une histoire des nombres de l’Antiquité au XXe s.

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« L’arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n’a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n’a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu’elle n’ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l’injure du temps nous a privés) ; les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. » [Pierre de Fermat, 1657]

Une histoire des nombres de l’Antiquité au XXe s.

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« L’arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n’a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n’a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu’elle n’ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l’injure du temps nous a privés) ; les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. » [Pierre de Fermat, 1657]

« Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriété des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines. » [Itard 1963]

1 - QUE FAIT-ON QUAND ON FAIT DE L’HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES ?

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XVIIIe siècle : les premières histoires des mathématiques

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« On a fait de l’histoire de la Peinture, de la Musique, de la Médecine etc. Une bonne Histoire des Mathématiques, & en particulier de la Géométrie, seroit un Ouvrage beaucoup plus curieux & utile […]. Il me semble qu’un tel Ouvrage bien fait pourrait être en quelque sorte regardé comme l’histoire de l’esprit humain.

[de Montmort 1713, p. 399]

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XVIIIe & XIXe siècles

‣Un leitmotiv : la notion de progrès

‣Au XIXe s. : A. Comte et le positivisme ➞ «Ordre et progrès»

‣Une vision linéaire, cumulative de l’histoire

➠ « Miracle grec », « Moyen Âge », « Renaissance », …

➠ Anachronisme & ethnocentrisme

« Loin de dessiner une suite alignée d'acquis continus et croissants ou une même séquence de soudaines coupures, découvertes, inventions ou révolutions précipitant dans l'oubli un passé tout à coup révolu, l'histoire des sciences court et fluctue sur un réseau multiple et complexe de chemins qui se chevauchent et s'entrecroisent en des noeuds, sommets ou carrefours, échangeurs où bifurquent deux ou plusieurs voies. Une multiplicité de temps différents, de disciplines diverses, d'idée de la science, de groupes, d'institutions, de capitaux, d'hommes en accord ou en conflit, de machines et d'objets, de prévisions et de hasards imprévus composent ensemble un tissu fluctuant qui figure de façon fidèle l'histoire multiple des sciences. »

Michel Serres, 1997. « Préface » in Éléments d'histoire des sciences, Larousse.

La démarche de l’historien (des sciences)

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«Recomposer par la pensée, pour chacune des époques, le matériel mental des hommes de cette époque; reconstituer par un puissant effort d'érudition à la fois et d'imagination, l'univers, tout l'univers : physique, intellectuel et moral de chacune des générations qui l'ont précédé; concevoir un sentiment très fort et très assuré de ce que l'insuffisance des notions de fait et la pauvreté corrélative des théories devaient produire de lacunes et de déformations dans les représentations de toute nature que se forgeait du monde, de la vie, de la religion, de la politique telle collectivité historique; se prémunir ainsi contre ces redoutables anachronismes.»

Lucien Febvre, 1927. « Un chapitre d'histoire de l'esprit humain. De Linné à Lamarck et à Georges Cuvier», Revue de synthèse historique, 43

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La démarche de l’historien (des sciences)

Quelques objets d’étude…

‣ Des hommes et des femmes : individus, enquêtes prosopographiques, ...

‣ Des idées : un théorème, un objet mathématique, ...

‣ Circulation matérielle des mathématiques : lettres, journaux, ...

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L’objet de l’histoire des sciences

‣Histoire ➞ historia en grec ≈ «enquête»

‣De la diversité historiographique

‣Histoire des idées : les sciences comme ensemble de théorie et de concepts (vision dite internaliste)

‣Histoire sociale et culturelle : sciences comme pratiques culturelles et organisations sociales (vision dite externaliste)

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«  Quels sont, à une époque donnée, les réseaux et les groupes sociaux, les institutions, les organisations dans lesquels se pratiquent les mathématiques ? Qui sont les mathématiciens ? Dans quelles conditions vivent-ils et travaillent-ils en mathématiques ? Pourquoi font-ils des mathématiques, pourquoi s’intéressent-ils à un domaine particulier ? Que signifie pour eux ce domaine ? Comment et où ont-ils été éduqués, entraînés ? Où ont-ils appris les mathématiques de base qui leur sont nécessaires ? Quelles sont-elles ? En quoi consiste par exemple la théorie des nombres de base à cette époque, dans ce réseau, dans cette institution ? Comment le sujet est-il présenté, son histoire comprise, décrite, transmise? Où ces mathématiciens trouvent-ils les problèmes à résoudre ? Quelle est la forme et l’origine d’un problème ? Quand un résultat est-il considéré comme important, ou au moins intéressant ? Selon quels critères ? »

Quelques questions ou la remise en cause du débat internaliste / externaliste (1)

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« Qu’est-ce qu’une solution à un problème ? Qu’est-ce qui est prouvé, admis, tacitement ou non? Qui en décide ? Quand une preuve est-elle acceptée ou rejetée? Quand une construction explicite est-elle considérée comme indispensable, superflue ou parasite? Quand, où, comment les mathématiques sont-elles écrites ? Qu’est- ce qui est écrit ? Pour qui ? Les résultats nouveaux, par exemple, sont-ils imprimés, appliqués, enseignés? Qu'est-ce qui est transmis  ? À qui, comment, dans quelles conditions matérielles et intellectuelles  ? Qu'est-ce qui change  ; qu'est-ce qui reste fixe, quand, sur quelle échelle  ?  »

Catherine Goldstein, 1999. «  Sur la question des méthodes quantitatives en histoire des mathématiques  : le cas de la théorie des nombres en France (1870-1914)  », Acta historiae rerum naturalium technicarum, vol. 3, p. 187-214.

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Quelques questions ou la remise en cause du débat internaliste / externaliste (2)

2 - PÉRIODISATION HISTORIQUE ET CHRONOLOGIE GÉNÉRALE

«À un premier niveau, [la périodisation] est une nécessité pratique : on ne peut embrasser la totalité sans la diviser. […] [L’historien] doit trouver les articulations pertinentes pour découper l’histoire en périodes, c’est-à-dire substituer à la continuité insaisissable du temps une structure signifiante.»

A. Prost, 1996. Douze leçons sur l’histoire, Paris, Éditions du Seuil, p. 114-115

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ANTIQUITÉ MOYEN ÂGEÉPOQUE

MODERNEÉPOQUE

CONTEMPORAINE

476 1492 1789

‣XVe - XVIe s. : Renaissance ‣XVIIe s. : Âge classique ‣XVIIIe s. : Siècle des Lumières

Une périodisation historique

‣ Civilisation mésopotamienne (4000 av. JC - début de notre ère) ‣ Civilisation égyptienne (3000 av. JC - IIIe s. av. JC) ‣ Civilisation grecque (2000 av. JC - 640 ap. JC) ‣ Civilisation arabe (VIIe s. - XVe s.) ‣ ...

Chute Emp. romain occ.

Découverte Amériques

Révolution française

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Civilisation mésopotamienne

‣≈ 3350 av. JC au début de notre ère

‣ > 500 000 tablettes en argile ≈ 0,02 % production écrite

‣Pour les tablettes mathématiques : ‣ contexte scolaire pour la plupart ‣ Références presque systématiques aux activités

sociales pratiques, administratives ‣ exercices simples, recueils de problèmes résolus,

tables

‣ Système de numération : positionnel, base 60

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Civilisation égyptienne

‣≈ 3300 av. JC à 300 av.JC

‣Moins de dix documents mathématiques conservés

‣ Système de numération : non positionnel, base 10 Papyrus de Moscou

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Civilisation grecque

‣≈ -600 à 600

‣Des sources très fragmentaires MAIS des copies (de copies), des traductions (de traductions), des commentaires...

‣Des «écoles», des noms propres (Euclide, Platon, Proclus, ...)

‣Calculs, problèmes, axiomes, démonstrations, ...

‣ Système additif en base 10

Le plus ancien fragment des Éléments d’Euclide (75-125 ap. JC)

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‣ IXe s. au XVIe s.

‣Mécénat, Maison de la sagesse

‣Appropriation des textes anciens, traductions Production d’écrits en arabe puis traductions latines

‣Algèbre, combinatoire, astronomie, quadratures, ...

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Civilisation arabe

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Occident médiéval

Léonard de Pise, Liber abaci (1202)Université de Paris

‣1500 à 1800

‣ Éditions de textes antérieurs, livres, recueils originaux

‣Nouveaux lieux d’enseignement, Académies, premiers journaux, correspondances

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Europe moderne

‣À partir du XIXe s.

‣ Journaux spécialisés, manuels, correspondances, séminaires...

‣Nouvelles institutions, sociétés savantes, ...

‣Congrès internationaux, traductions, ...

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Monde contemporain

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3 - LES SOURCES EN HISTOIRE (DES SCIENCES, DES MATHÉMATIQUES)

«  Les sources sont l’ensemble des traces laissées par les acteurs du passé sur lesquelles le chercheur fonde son travail. Pour l’historien, tout type de document ou d’objet peut devenir source, à condition d’être correctement critiqué : restes alimentaires, toponymes, inscriptions, images, textes… L’historien travaille en rassemblant le corpus (l’ensemble) de sources qui correspond le mieux à ses objectifs de recherche. […] Un corpus de sources n’est jamais bon ou mauvais en soi, ce qui compte ce sont les questions qu’on lui pose, les articulations qu’on lui donne et la capacité à en expliquer la constitution. » N. Offenstadt, 2009. « Source », in N. Offenstadt (dir.), Les mots de l’historien, Toulouse, Presses universitaires du Mirail.

Les sources en histoire des sciences‣ Une étude en histoire des sciences repose sur un corpus de « textes » (au sens large)

clairement délimité.

‣ La nature et la statut des sources varient en fonction du lieu et de l'époque (tablettes mésopotamiennes, papyrus égyptiens, manuscrits, imprimés, etc.)

‣ Les conclusions d'un travail de recherche historique sont toujours relatives à l'état des sources qui nous sont parvenues.

‣ « Toute lecture est contextualisée, ne serait-ce que, de manière implicite, par les acquis préalables du lecteur ou de la lectrice » (C. Goldstein, 1995. Un théorème de Fermat et ses lecteurs, Saint-Denis, Presses Universitaires de Vincennes)

Une page typique du palimpseste d’Archimède

http://fr.wikipedia.org/wiki/Palimpseste_d'Archimède

Archimède et « son » palimpseste

«Un segment quelconque compris par une droite et par une parabole, est égal à quatre fois le tiers d'un triangle qui a la même base et la même hauteur que ce segment ».

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L’histoire ou la « science des hommes dans le temps et qui sans cesse a besoin d'unir l'étude des morts à celle des vivants »

[Bloch 1949]

Tablette BM 13901 www.britishmuseum.org

1930’ : interprétation de BM 13901 en termes d’algèbre élémentaire

[Traduction François Thureau-Dangin] J'ai additionné la surface et (le côté de) mon carré : 45'.Tu poseras 1°, l'unité. Tu fractionneras en deux 1° : 30'. Tu multiplieras (entre eux) [30'] et 30' :15'. Tu ajouteras 15' à 45' : 1°. 1° est le carré de 1°.30', que tu as multiplié (avec lui-même), de 1° tu soustrairas : 30' est le (côté du) carré.

➞ résolution de l’équation x

2 + x =3

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L’histoire ou la « science des hommes dans le temps et qui sans cesse a besoin d'unir l'étude des morts à celle des vivants »

[Bloch 1949]

Tablette BM 13901 www.britishmuseum.org

1980’ : interprétation algorithmique de BM 13901 [Traduction Jim Ritter] J'ai ajouté la surface à mon côté : 45.Tu poseras 1, la wasitum.Tu fractionaliseras la moitié de 1 (:30). Tu multiplieras 30 par 30 (:15). Tu ajouteras 15 à 45 : 1.1 (en) sera la racine carrée.Le 30 que tu avais multiplié, tu (le) soustrairas de 1 (:30). 30 était le côté du carré.

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L’histoire ou la « science des hommes dans le temps et qui sans cesse a besoin d'unir l'étude des morts à celle des vivants »

[Bloch 1949]

Tablette BM 13901 www.britishmuseum.org

2000’ : interprétation géométrique de BM 13901 [Traduction de Jens Høyrup] La surface et ma confrontation j'ai empilées : 45'. 1, le forjet, tu poses. La demi-part de 1 tu brises, 30' et 30' fais tenir. 15' à 45' tu ajoutes : auprès de 1, 1 est égal. 30' que tu as fait tenir de l'intérieur de 1 tu arraches : 30' est la confrontation.

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L’histoire ou la « science des hommes dans le temps et qui sans cesse a besoin d'unir l'étude des morts à celle des vivants »

[Bloch 1949]

Tablette BM 13901 www.britishmuseum.org

2000’ : interprétation géométrique de BM 13901 [Traduction de Jens Høyrup] La surface et ma confrontation j'ai empilées : 45'. 1, le forjet, tu poses. La demi-part de 1 tu brises, 30' et 30' fais tenir. 15' à 45' tu ajoutes : auprès de 1, 1 est égal. 30' que tu as fait tenir de l'intérieur de 1 tu arraches : 30' est la confrontation.

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Contexte(s) de lecture

«  No text exists in isolation; the reading of a given text depends, among other things, on the set of texts with which—against which—it is read. Such a set is not uniquely defined […] » [Ritter 2004, p. 178]

Strasbourg 368, [Ritter 2004, p. 179]

• Contexte 1 : tablettes mathématiques, époque paléobabylonienne ➞ lecture algorithmique ➞ méthodes et organisations canoniques

• Contexte 2 : textes mathématiques égyptiens du Moyen Empire ➞ organisation algorithmique / des différences

• Contexte 3 : autres textes mésopotamiens, contemporains, relevant de la médecine, de la divination et de la jurisprudence

‣ 21 septembre : Pratiques mathématiques en Égypte ancienne

‣ 29 septembre, Gregory Chambon (Université de Bretagne occidentale) : Pratiques mathématiques en Mésopotamie

‣ 6 octobre : Nombres et grandeurs chez Euclide

‣ 13 octobre : Les Arithmétiques de Diophante d'Alexandrie : une œuvre et quelques lectures historiques

‣ 2 novembre : Intersection des sciences mathématiques, linguistiques et juridiques : Al-Khwarizmi et la naissance de l'al-jabr

‣ 10 novembre : Arithmétique pratique et arithmétique spéculative dans l’Occident médiéval

‣ 17 novembre : Défis et controverses autour des nombres dans la correspondance de Mersenne au XVIIe siècle

‣ 24 novembre : Les tables de nombres au siècle des Lumières

‣ 1er décembre : Transmission et circulation de la théorie des nombres dans la première moitié du XIXe siècle

‣ 8 décembre : La théorie des nombres entre nations et internationalisation, entre mathématiques "pures" et industrie (1860-1914)

‣ 15 décembre : Cryptologie, machines et théorie des nombres : le crible d'Ératosthène du XVIIe au XXe siècle.

Une histoire des nombres de l’Antiquité au XXe siècle

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