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PARIS V : RENE DESCARTES

Semestre 1- 2019-2020 – N.Dahmane

UE 3

PHYSIQUE-BIOPHYSIQUE

FICHE DE COURS 1 : MECANIQUE DES FLUIDES

CPCM – 106 Bd Saint Germain 75006 PARIS – Tel : 01.46.34.52.25 [email protected] / www.prepa-cpcm.com

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Mécanique des fluides

Table des matières

I. Hydrostatique p3

II. Fluides parfaits p6

III. Fluides réels p11


HYDROSTATIQUE

I. Introduction

● Hydrostatique : étude des fluides en équilibre sous l’action de leur poids.

● Fluide : système physique sans forme propre qui épouse la forme du récipient qui le contient (ex :

gaz, liquide, plasma).

● Notion de pression : à l’échelle microscopique (atomique ou moléculaire), les éléments d’un fluide

sont soumis au mouvement d’agitation thermique (mouvement Brownien). Ils effectuent des

collisions entre eux et avec les parois du récipient qui les contient. Ces collisions génèrent des forces

dites forces de pression perpendiculaires aux parois.

On définit la pression comme le rapport de la force de pression sur la surface sur laquelle s’exerce la

collision.

Equation aux dimensions :

-1 -2 F

P ML TS

et unité SI : Pascal (Pa), 1Pa = 1 kg/m/s2.

● Objectif : déterminer l’expression de la pression au sein d’un fluide en fonction de sa position et

de sa nature.

II. Relations entre pression et dénivellation

1. Cas général

Considérons un récipient parallélépipédique

rectangle de surface de base S (= section

droite), rempli d’un fluide de masse

volumique ( -3ML , unité SI : kg/m3).

On isole par la pensée une tranche de fluide

d’épaisseur infinitésimale dz de section S.

Bilan des forces appliquées :

● Poids : p mg V g Sdzg

● Forces de pression à l’altitude z : ( ) ( ) zF z P z Su résultant des collisions des molécules de fluide

en dessous de la tranche.

● Forces de pression à l’altitude z + dz : ( ) ( ) zF z dz P z dz Su résultant des collisions des

molécules de fluide au dessus de la tranche.

Equilibre de la tranche : ( ) ( ) 0F z F z dz p projeté sur l’axe vertical :

( ) ( ) 0P z P z dz S gSdz

Soit :

zu

z

z+d

z

( )F z

p

( )F z dz

S

P(z+dz)-P(z)=dP=-ρgdz


Pour résoudre cette équation différentielle et connaître la loi P(z), il convient de connaître la nature

du fluide considéré via l’expression de sa masse volumique.

2. Cas d’un fluide incompressible : cte

Soit PA la pression du fluide à la cote zA et PB celle à la cote zB (B au-dessus de A):

B B B

A A A

P z z

B BA AP z z

hdP gdz g dz P P g z z g

Principe de l’hydrostatique :

ou encore

Rqs : (1) Plus un point est à une profondeur importante dans un fluide incompressible, plus sa

pression est élevée.

(2) Tout point d’un fluide au contact de l’air atmosphérique est à pression atmosphérique 5

0 10P Pa .

(3) Unités de pression alternatives : 5 51 760 1,013.10 10atm mmHg Pa Pa

510 400

1 133 760 3

mmHg Pa Pa Pa

(4) Deux point d’un même fluide incompressible au repos à la même profondeur sont à la

même pression.

3 Cas d’un fluide compressible : le gaz parfait

● Expression de : équation d’état du gaz parfait : PV nRT avec m

V

et m

nM

où m est la

masse du gaz et M sa masse molaire. On déduit : m m

P RTM

PM

RT .

●Équation de pression :

PM

dP gdz gdzRT

ln ln B B

A A

P z

B BA AP z

Mg MgdP dz P P z z

RT RT

Loi barométrique :

BAP -P =ρgh

BA+P = P ρgh

B AMg Mg- (z -z ) - hRT RT

B A AP =P e =P e


III. Principe d’Archimède

● Enoncé : tout corps immergé dans un fluide est soumis de la part de celui-ci à une poussée verticale

vers le haut égale au poids du volume de fluide déplacé :

où désigne la masse volumique du fluide (celle du corps et Vi son volume immergé (V le

volume total).

● Interprétation physique : la poussée d’Archimède correspond à la résultante des forces de pression

qui s’exercent sur le volume immergé du corps.

● Equilibre d’un corps dans un fluide : 0p V g (poids) et . .A iF V g (Archimède) sont en jeu.

Equilibre : 00A A ip F p F Vg V g 0iV V

.

L’équilibre ne peut être réalisé que si iV V ce qui impose

0 . Si 0 le corps coule.

A iF =-ρ.V .g


HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

I. Introduction

● Cadre de l’étude : hydrodynamique des fluides parfaits incompressibles en régime laminaire et

permanent.

Hydrodynamique : étude des fluides en mouvement

Fluides parfaits : fluides non visqueux ( = viscosité = 0)

Incompressible : cte

Régime laminaire : les éléments du fluide sont animés de trajectoires (= lignes de courant) en

translation les unes par rapport aux autres, qui ne se croisent jamais.

Exemple :

Dans le rétrécissement de la

canalisation, les lignes de

courant ne se croisent pas et

restent parallèles les unes par

rapport aux autres dans chaque

tronçon de section constante.

Rq : la vitesse d’un élément du fluide est tangente à la ligne de courant car la vitesse est tangente

à la trajectoire.

Régime permanent (ou stationnaire) : la vitesse de déplacement du fluide en un point d’une

ligne de courant est indépendante du temps.

Exemple : dans l’exemple ci-dessus la vitesse du fluide au point de rétrécissement de la

canalisation est la même au cours du temps.

II. Équations de conservation

1. Conservation du débit

● Débit (ou débit volumique) : JV (ou Q)= produit de la section droite S de la canalisation avec la

vitesse v d’écoulement du fluide.

● Conservation du débit : Q Sv cte ou encore entre 2 points A et B : A A B BQ S v S v .

La conservation du débit est valable pour tout fluide incompressible en régime permanent et

traduit la conservation de la matière au cours du temps.

Exemple :

AvBv

ASBS

car AB A A A B

B

Sv v v S S

S

V

dV=

dtJ = Sv


Rqs : (1) La vitesse est toujours la plus élevée dans le tronçon de canalisation de plus faible section.

(2) Si une surface est très supérieure à une autre, la vitesse dans le tronçon de grande section

sera négligeable devant celle dans le tronçon de petite section.

Si A BS S BA B

A

Sv v

S or 1B

A

S

S

A Bv v .

(3) La conservation du débit est valable pour un fluide visqueux.

2 Conservation de l’énergie. Théorème de Bernoulli

Ou encore entre deux points A et B :

Rqs : (1) Le théorème de Bernoulli n’est valable qu’avec un axe vertical orienté vers le haut

d’origine arbitraire.

(2) Tout point d’un écoulement au contact de l’air atmosphérique est à pression

atmosphérique 5

0 10P Pa .

(3) Le théorème de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie volumique du fluide.

● 21

2v représente l’énergie cinétique volumique du fluide

● gz son énergie potentielle (de pesanteur) volumique

● P son énergie interne volumique

Av

Bv

AS

BS

AP

BP

Az

Bz

O

21P+ ρv +ρgz=cte2

2 2B B BA A A

1 1P + ρv +ρgz =P + ρv +ρgz

2 2


III. Applications

1. Écoulement de Torricelli

Objectif : mesure de vitesse d’écoulement en sortie de cuve.

Une cuve de grande section S remplie de fluide

sur une hauteur h se vidange par un petit orifice

à sa base de section s.

Hypothèse : S >> s A B

sv v

S

A Bv v v

Bernoulli (AB) : 2 21 1

2 2A A A B B BP v gz P v gz avec

0A BP P P (points au contact de

l’air) ;

2 21 1

2 2A Bv v ; 0Bz et

Az h

2. Tubes de Pitôt

Objectif : mesure de vitesse d’écoulement

dans une canalisation.

Dès lors que le régime laminaire et

permanent est établi, on constate que le

niveau se stabilise à une hauteur constante

dans chaque tube (= fluide en statique dans

les tubes).

Position des points A et B :

● A : à l’interface tube droit – écoulement ; Av v vitesse de l’écoulement.

● B : à l’interface tube coudé – écoulement ; 0Bv car dans le cas contraire la vitesse en C serait

non nulle, ce qui est contraire au fait que la hauteur hB est constante.

Bernoulli (AB) : on choisit un axe (Oz) dont l’origine est sur la ligne de courant 0A Bz z

2 21 1

2 2A A B B BP v P v P 21

2B Av P P .

Hydrostatique dans chaque tube (car fluide en équilibre) :

(AD) : 0A D A A AP P gh P P gh

(BC) : 0B C B B BP P gh P P gh

Vitesse de l’écoulement : 21

2

B Av P P g h

( ) B A B AP P g h h g h

S

s

A

B

v

O

h

Bv = v= 2gh

A

B

C

D

hA

hB

Δh

vO

v = 2g Δh


3. Écoulement de Venturi

Objectif : mesure de débit

d’écoulement dans une canalisation.

Dès lors que le régime laminaire et

permanent est établi, on constate que

le niveau se stabilise à une hauteur

constante dans chaque tube (= fluide

en statique dans les tubes).

Bernoulli (AB) : on choisit un axe (Oz) dont l’origine est sur la ligne de courant 0A Bz z

2 21 1

2 2A A B BP v P v or A

A

Qv

S et B

B

Qv

S

2

2 2

1 1 1

2A B

B A

Q P PS S

.

Hydrostatique dans chaque tube (car fluide en équilibre) :

(AD) : 0A D A A AP P gh P P gh

(BC) : 0B C B B BP P gh P P gh

Débit de l’écoulement : 2

2 2

1 1 1

2A B

B A

Q P P ghS S

4. Clepsydre (= horloge à fluide)

Objectif : trouver une relation qui lie la

hauteur z du fluide dans un récipient en

fonction du temps t mesuré à partir de

l’instant où l’on crée une fuite.

Hypothèse : à chaque instant, la surface libre

du fluide dans le récipient S(z) est très

supérieure à s la surface du trou à la base :

S(z) >> s ( )

A B

sv v

S z

A Bv v v .

Bernoulli (AB) : on choisit un axe (Oz) dont l’origine est à la hauteur du point B :Az z et 0Bz ;

0A BP P P 2Bv v gz

Débit (AB) : A A B BS v S v ( ) 2

dzS z s gz

dt

; A

dzv

dt car z(t) est une fonction

décroissante du temps, sa dérivée est donc négative or vA est une norme donc toujours positive !

On reconnaît une équation différentielle du premier ordre que l’on peut résoudre en z(t) ou en t(z)

moyennant la connaissance de la surface S(z).

Exemple : pour ( )S z A z avec A = cte.

( )A B A BP P g h h gh

Av Bv

ASBS

O

A

D

B

C

hA

hB

h

O

t = 0, h

t, z(t)

A

B

v

S(z)

s

2 2

2

1 1

B A

ghQ

S S


( ) 2dz

S z s gzdt

2 .dz

A z s g zdt

2dz s

gdt A

Résolution en z(t) :

( )

0

2 . ( ) 2 .

z t t

h

s sdz g dt z t h g t

A A

Dans cet exemple la hauteur z est proportionnelle au temps écoulé t et on réalise un dispositif qui

mesure de façon simple le temps qui « s’écoule » donc un chronomètre (ou horloge) au sens

étymologique du terme. Cependant cette propriété de linéarité n’est valable que pour cette

clepsydre (et donc cette surface). Tout autre récipient de géométrie différente ne vérifiera pas cette

propriété !

( ) 2 .s

z t h g tA


HYDRODYNAMIQUE DES FLUIDES REELS

I. Introduction

● Cadre de l’étude : hydrodynamique des fluides réels incompressibles en régime laminaire et

permanent.

Fluides réels : fluides visqueux ( = viscosité ≠ 0)

● Effet de viscosité : en régime laminaire, les lames de fluide au contact les unes des autres génèrent

des forces de viscosité = forces de frottements entres elles.

Le fluide va donc perdre de l’énergie par frottements, donc l’énergie ne sera plus conservée. En

conséquence, le théorème de Bernoulli ne sera plus applicable.

Par contre, le fluide étant incompressible en régime permanent, on pourra appliquer la conservation

du débit.

● Force de viscosité :

Exemple : Modèle théorique de l’écoulement d’une rivière.

En régime laminaire, les lames de fluide

« glissent » et frottent les unes contres les

autres.

Si l’on considère 3 lames jointives (1), (2) et

(3), ces trois lames ne se déplacent pas à la

même vitesse en raison des frottements. Pour

comparer les vitesses de ces lames entre elles,

il faut remarquer que la vitesse augmente à

mesure que l’on s’éloigne du lit de la rivière.

En effet, la lame de fluide au contact du lit

« frotte » contre le lit qui est immobile. Sa

vitesse est donc nulle (condition

d’adhérence en hydrodynamique). Par

contre, la lame de fluide en surface ne

« frotte » que contre la lame qui lui est

immédiatement inférieure et contre l’air

(négligeable) c’est donc celle qui est la moins

ralentie et donc de plus grande vitesse.

Ainsi, si l’on classe les vitesses de nos trois lames, on a : v(1) > v(2) > v(3). La lame (1) entraine la

lame (2) par frottement 1 2F tandis que celle-ci est freinée par la lame (3) par frottement 3 2F . Les

forces exercées 1 2F et 3 2F se compensent en régime permanent et réalisent la force de viscosité F

donnée en norme par : 1 2 3 2F F F avec :

où S est la surface de contact des lames de fluides, la viscosité ( , SI : Poiseuille ou

Pa.s) et dv

dz la norme du gradient de vitesse.

1 1ML T

O

h

(1)

(2)

(3)

lit de la

rivière

1 2F3 2F

z

dvF =ηSdz


Rq : retenir de cet exemple que la vitesse est nulle au contact d’une paroi (condition d’adhérence)

et qu’elle est maximale à l’endroit le plus éloigné de la paroi.

II. Écoulement d’un fluide visqueux dans une canalisation cylindrique

horizontale : loi de Poiseuille

On considère une

canalisation cylindrique

de rayon R dont on isole

par la pensée un cylindre

de fluide concentrique de

rayon r < R.

● Bilan des forces exercées sur le petit cylindre :

Forces de pressions en A et B de résultante :

2

A BR P P r avec R orienté de A vers B (force motrice).

Force de viscosité exercée par la lame de fluide au contact du cylindre de rayon r :

. .L

dvF S

dr où LS désigne la surface latérale du cylindre donnée par 2LS rL . En outre,

0dv

dr car si r

augmente la vitesse diminue pour être nulle en r = R (condition d’adhérence).

Soit .2 .dv

F rLdr

avec F orienté de B vers A (force résistante car frottement).

● Equation du mouvement :

Seconde loi de Newton : 0dv

R F mdt

car en régime permanent la vitesse ne dépend pas du

temps.

Projection sur (Ox) : 2 .2 . 0A B

dvP P r rL

dr

2

A BP Pdvr

dr L

équation différentielle du

premier ordre a coefficients constants.

● Profil parabolique des vitesses :

La résolution de l’équation différentielle, en tenant compte de la condition d’adhérence (vitesse nulle

en R), donne :

2( )

0

( )2 2 2

A B A B

rv r r

R R

P P P P rdv rdr v r

L L

A B

R

r

-R

-r

L

BA 2 2P -P

v(r)= R -r4ηL


● Représentation graphique du profil des vitesses :

2

max (0)4

A BP Pv v R

L

min ( ) 0v v R

2max min

2 8

A BP Pv vv R

L

vitesse moyenne du

fluide dans la canalisation.

Compte tenu des variations de vitesse

dans la canalisation, on raisonne sur la

vitesse moyenne de l’écoulement v .

● Détermination du débit, loi de Poiseuille horizontale :

2 4.

8

A BP PQ R v R

L

que l’on peut encore écrire :

avec

la résistance hydraulique ou hydrodynamique de la canalisation.

Rqs : (1) Pour un écoulement de A vers B, on a . .A B A BP P Q P P Q R +R A BP P .

La pression en amont de l’écoulement est supérieure à la pression en aval de l’écoulement.

(2)

1 2

3 1

.

P ML TP Q

Q L T

R R 4 1

ML TR ; SI : Pa.s.m-3.

(3) A BP P P s’appelle la perte de charge entre A et B.

4

8PQ

L R

désigne la perte de charge linéique entre A et B.

III. Analogies hydrodynamique-électrocinétique (= électricité)

Hydrodynamique

Electrocinétique

Canalisation cylindrique horizontale :

Conducteur Ohmique :

-R

R

O

( )v r

r

L

Q R PA PB

L

I R VA VB

BA 4

8ηLP -P = Q

πR

4

8ηL=πR

R

.ΔP= QR


Pression : AP Potentiel : AV

Débit : Q Intensité du courant électrique : I

Résistance hydraulique : 4

8 L

R

R Résistance électrique :

2

L

R

R

Loi de Poiseuille : .P Q R Loi d’Ohm : .V I R

Puissance hydraulique : P R . 2Q Puissance électrique : P R . 2I

● Association de canalisations :

En raison de l’analogie hydrodynamique-électrocinétique, l’association de deux canalisations se

ramènera à l’association de deux résistances électriques.

1. Association série :

A C A B B CP P P P P P P Q 1 2R R

A CP P P Q eqR

2. Association dérivation :

1 2A BP P P Q Q 1 2R R

A BP P P Q eqR

1 2 ; P P

Q Q

1 2R R

1 2

1 1 Q Q Q P

1 2R R

IV. Nombre de Reynolds

Un écoulement visqueux ne s’établit en régime laminaire que dans des conditions bien spécifiques.

On définit un nombre sans dimension, le nombre de Reynolds Re , qui permet de discuter de la

nature des régimes d’écoulement. Pour une canalisation de rayon R de longueur L dans laquelle

s’écoule un fluide de viscosité à la vitesse moyenne v on a :

2v R

Re avec cette définition on introduit un nombre de Reynolds critique : 2000Re, c .

Si Re Re,c : le régime d’écoulement est laminaire et la loi de Poiseuille est applicable.

Q Q

1R

2R

A B C

Q

eqR

A

C

Q

eqR

A

B

A

B

Q1

Q

Q

Q2

1R

2R

eq 1 2R R R

eq 1 2

1 1 1R R R


Si Re>Re,c : le régime d’écoulement est turbulent (enchevêtrement des lignes de courant et

formation de tourbillons) et la loi de Poiseuille n’est plus applicable.

V. Sédimentation

Lorsqu’un corps chute dans un fluide visqueux celui-ci exerce une force de frottement tendant à la

freiner. Dans l’hypothèse où la vitesse de chute reste limitée, la force de frottement peut être

donnée par la force de Stokes SF donnée par :

SF kv dans le cas général, où k désigne une constante.

6SF Rv dans le cas d’un objet sphérique de rayon R.

● Sédimentation d’un objet sphérique :

On considère une sphère de rayon R de masse volumique 0 sédimentant (= coulant) sous l’action

de son poids dans un fluide de masse volumique et de viscosité .

Bilan des forces exercées sur la sphère :

Poids : 3

0 0

4

3p V g R g

Poussée d’Archimède : 34

3AF V g R g

Force de Stokes : 6SF Rv

Equation du mouvement : 0A S

dv dvp F F m V

dt dt

Projection sur (Oz) : 3 3

0 0

4 46

3 3

dvR g Rv R

dt 0 02

9

2

dvv g

dt R

On reconnaît une équation différentielle du premier ordre à coefficients constants dont la

solution générale s’écrit : 2

0

9 2 02

2

9

tR

gRv e

.

Si l’on suppose la vitesse nulle à t = 0 on détermine: 2

020

9

gR

2

02

9

gR

D’où :

20

92 20

21 1

9

t tR

s

gRv e v e

avec

z

d

pv

AF

SF

d

t 0

20

s

2 ρ -ρ gRv =

9η


la vitesse de sédimentation et 2

02

9

R

le temps caractéristique de la sédimentation.

Temps de sédimentation : T

0

0 0 0 0

1

Td T T t tT

s s

dxv dx vdt d v e dt d v t e

dt

1t

sd v T e

Si T >> : la sphère atteint très vite sa vitesse de sédimentation,

0t

e

donc le temps de

sédimentation peut s’écrire : 1s s sd v T v T v T svT

d.

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