technique des plans d’expériences

Technique des Plans d’Expériences

1

Plans d’Expériences

2

Introduction

Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : • Comment sélectionner les expériences à faire ? • Quelle est la meilleure stratégie pour :

• conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ?• éviter des expériences inutiles ?• apporter une bonne précision ?• modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ?

Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple.

Introduction. ExempleConceptsPlan 2k

. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates

. ExempleStatistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. ExemplePlan Frac.. Principe. Exemple

Plans d’Expériences Le problème des pesées

Le Problème des Pesées

Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation. illustration par l’exemple de la pesée…

3

(Hotelling 1944)


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences La question et le matériel expérimental

• La questionDéterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision.

• Le matériel expérimentalUne balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids.

4


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Les hypothèses

• Chaque pesée est entachée d’une erreur : Y = +

• L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser :

Variance = ²

• Les pesées ne sont pas liées entre elles :Covariance (Yi, Yj) = 0

• En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ».

• Chaque pesée coûte 100€

5


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



On pèse un objet à la foisMatrice d’expérience

0 : l’objet n’est pas sur la balance1 : l’objet est sur le plateau de droite-1 : l’objet est sur le plateau de gauche

6

STRATEGIE 1


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Estimation des masses des objets

7

STRATEGIE 1


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Quelle est la précision des mesures ?

8

STRATEGIE 1


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Comment obtenir une meilleure précision ?

9


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience

10

STRATEGIE 2


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience

11

STRATEGIE 3


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



La première pesée est inversée Matrice d’expérience

12

STRATEGIE 4


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?

• Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais,

• On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai),

• La limite inférieure de la précision est ²/n où n désigne le nombre d’essais,

• On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice tXX où X est la matrice d’expérience,

• Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : tXX = nI où I est la matrice d’identité.

13


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



100010001000

110101011000

111111111111

111111111111

Stratégie 4Stratégie 3Stratégie 2Stratégie 1

• une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois,

• meilleure stratégie matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes,

• entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes le plan d’expérience est orthogonal

La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience14

Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



15

Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?

Stratégie 4Stratégie 3

Stratégie 2Stratégie 1


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Reformulation du problème des pesées

16

(Reformulation / transposition du problème des pesées)

Mauvaise Optimale


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Concept et Définitions

Constat :Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse.

La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs.

Y = f (X1, X2,…, Xn)

Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs.On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse.Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse.

17


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres

Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience

• diminution du nombre d’essais• étude d’un grand nombre de facteurs• détection des interactions entre facteurs• obtention de la meilleure précision possible• obtention d’un modèle du système • analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés

Les plans d’expériences

• Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, • souvent employée car l’analyse des résultats est simple.

18

Concept et Définitions


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Facteur : variable qui agit sur le système.

Réponse : grandeur que l’on mesure pourconnaître l’effet des facteurs sur le système.

Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie.

Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais.

ContinuDiscret

quantitatifqualitatif

Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience.

Plan Xk k facteurs à X niveaux

• Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23 23 = 8 expériences• Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet

comporte 23 42 = 128 expériences

Définition

Vocabulaire

Plan 2k plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux.19



. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2k

Le domaine expérimentalLe domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter :

• niveaux trop proches pas d’effet significatif sur les facteurs• niveaux trop éloignés mise en défaut de l’hypothèse de linéarité

20

Choix aux effets antagonistes


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2k

Stratégie de mise en place d’un plan :

1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système.

2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits).

3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience

(les autres seront figés au cours des essais).

4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs.

5 – Faire le plan.

6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous

les facteurs sont figés).

7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des

effets…).21


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



La matrice d’expérience tableau indiquant :

• le nombre d’expérience à réaliser,• la façon de faire varier les facteurs,• l’ordre de réalisation des expériences.

Exp X1 X2

1 -1 -12 +1 -13 -1 +14 +1 +1Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du

nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1.(notation de Yates)

La matrice d’expérience et des réponses

Exp X1 X2 Réponse : Yrep

1 -1 -1 y1

2 +1 -1 y2

3 -1 +1 y3

4 +1 +1 y4

22



. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Cas d’un seul facteur

• effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1.• effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1.

effet moyen = moitié de l'effet global.

Effet global de X1 : y2 - y1

Effet moyen de X1 :

Effet au centre : (moyenne des réponses)

212

1yya

212

0yy

a

0

X1

+1-1

Rép

a0

Exp X1 Rép : Yrep

1 -1 y1

2 +1 y2

23

Effets global et moyen d’un facteur


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Cas de deux facteurs

• L'effet moyen de X1 : demi-variation de la réponse lorsque X1 passe de -1 à +1.

Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences

travail à partir des réponses moyennes.

231 yyy

242 yyy

• Réponse moyenne quand X1 est au niveau –1 :

• Réponse moyenne quand X1 est au niveau +1 :

• Effet moyen de X1 4222 4321

3142

1yyyy

yyyy

a

Exp X1 X2 Rép : Yrep

1 -1 -1 y1

2 +1 -1 y2

3 -1 +1 y3

4 +1 +1 y4

24


yyEX1 21

yya Effet global de X1 : Effet moyen de X1 :


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



• Effet moyen de X2 4222 4321

2143

2yyyy

yyyy

a

• Réponse théorique pour X2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1

4222 4321

2143

0yyyy

yyyy

a

• Rép. moyenne quand X2 est au niveau –1 :

• Rép. moyenne quand X2 est au niveau +1 :

Exp X1 X2 Rép : Yrep

1 -1 -1 y1

2 +1 -1 y2

3 -1 +1 y3

4 +1 +1 y4

25

Cas de deux facteurs


243

2

yyyX

221

2

yyyX


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Plans d’Expériences Notion d’interaction entre facteurs

• Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre.

• Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande.

ouIl existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement.26


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Exp X1 X2 Réponse : Yrep

1 -1 -1 y1 = 60

2 +1 -1 y2 = 85

3 -1 +1 y3 = 75

4 +1 +1 y4 = 90

Calcul de l’interaction X1X2

5.22

85902

24

yy

5.72

60752

13

yy

4

222

4321

1324

12

yyyy

yyyy

a

• Effet moyen de X2 au niveau haut de X1 :

• Effet moyen de X2 au niveau bas de X1 :

• Effet moyen de l'interaction X1X2 :

L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de

l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau

bas au niveau haut

27

Notion d’interaction entre facteurs


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



28

On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple.

Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice Â telle que Â = X-1 Yrep = (1/n) tX Yrep où Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales.

La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient.

Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : tXX = n In

Calcul des effets avec la notation de Yates


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1.


29

Algorithme de Yates

Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2k lignes.On alterne les -1 et le +1

- toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne,- toutes les quatre lignes pour la troisième, etc.

Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2j-1 lignes pour la jème

colonne.

Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences.

On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° :Y = a0 +a1X1 + a2X2 + ... + akXk


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



30

Exemple numérique

Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. Les facteurs : X1 : la température de pressage,

X2 : la pression lors du pressage, X3 : le temps de pressage.

Niveau bas : -1

Niveau haut : +1

X1 80 °C 120 °C

X2 0,5 bars 2 bars

X3 1h 2h

Exp X1 X2 X3 Yexp

1 -1 -1 -1 18,1

2 +1 -1 -1 16,0

3 -1 +1 -1 17,1

4 +1 +1 -1 17,0

5 -1 -1 +1 17,8

6 +1 -1 +1 17,2

7 -1 +1 +1 18,1

8 +1 +1 +1 17,0

Matrice d’expérience et des réponses

11111111111111111111111111111111

X

Matrice des effets

J=1 J=2 J=3

2J-1=….

(plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences)Introduction. ExempleConceptsPlan 2k

. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



31

Exemple numérique

Exp Moy X1 X2 X3 Yexp

1 +1 -1 -1 -1 18,1

2 +1 +1 -1 -1 16,0

3 +1 -1 +1 -1 17,1

4 +1 +1 +1 -1 17,0

5 +1 -1 -1 +1 17,8

6 +1 +1 -1 +1 17,2

7 +1 -1 +1 +1 18,1

8 +1 +1 +1 +1 17,0

Diviseur

8 8 8 8

Effets a0=17,29 a1=-0,49 a2=0,01 a3=0,24

8;

887654321

287654321

0yyyyyyyyayyyyyyyya

321 24,001,049,029,17 X X XY Le modèle s’écrit :


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



32

Plan complet avec interactions

• Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise XiXj, et que

l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj.

• Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment.

Exemple numérique• Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction

chimique dont le rendement dépend de deux facteurs

Matrice d’expérience et des réponses

Niveau bas : -1

Niveau haut : +1

Température : T

60°C 80°C

Pression : P 1 bar 2 bars

Exp T P Y (%)1 -1 -1 602 +1 -1 653 -1 +1 754 +1 +1 85

Domaine expérimental


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



33

Exemple numérique

Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions.

Calcul des coefficients

Exp Moy T P TP Y (%)

1 +1 -1 -1 +1 60

2 +1 +1 -1 -1 65

3 +1 -1 +1 -1 75

4 +1 +1 +1 +1 85

Diviseur 4 4 4 4Effets a0=71,25 a1=3,75 a2=8,75 a12=1,25

75.34

85756560;25.714

8575656010

aa

25.14

85756560;75.84

85756560122

aa

( × × ) =

Le modèle s’écrit : 211222110 XXaXaXaaY

Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



34

Exemple numérique

Tableau des réponses moyennes

+1-1

Rép80

60

70

+1-1

PT

+1-1

Rép

80

60

70

TP55

75

85

65

P=-1

P=+1

Ec1

Ec2

5.672

7560

5.622

6560

752

8565

802

8575

T P

Niveau -1

Niveau +1

Graphe des effets

P P

-1 +1

T -1 60 75

T +1 65 85

Visualisation de l’interaction(Ec1Ec2) interaction


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs.

Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension.

Niveau bas : -1

Niveau haut : +1

X1 Faible Elevé

X2 Totale Nulle

1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Tracer le diagramme des effets4. Construire le modèle mathématique associé

N° des essais 1 2 3 4

Note obtenue 17.7 12.9 10.3 2.5


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


35


36

Exemple numérique

Exp Moy X1 X2 X1X2 Yexp

1 +1 -1 -1 +1 17,7

2 +1 +1 -1 -1 12,9

3 +1 -1 +1 -1 10,3

4 +1 +1 +1 +1 2,5

Diviseur 4 4 4 4

Effets 10,85 -3,15 -4,45 -0,75

4yyyya

4yyyya

4yyyya

4yyyya

432112

43212

43211

43210

2121 X X75.0 X45.4 X15.385.10Y

Le modèle s’écrit :


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


X1 X2

Niveau -1 14 15,3

Niveau +1 7,7 6,4

X1 X1

-1 +1X2 -1 17.7 12.9X2 +1 10.3 2.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

X1

X2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

X1=-1

X1=1

X2=-1

X2=1


Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs.

Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles, X3 : la charge appliquée.

Niveau bas : -1

Niveau haut : +1

X1 20 °C 120 °C

X2 1 200

X3 10 MPa 50 MPa

1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Tracer le diagramme des effets4. Déterminer une loi de comportement du matériau testé

N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8

Déformation (mm) 2 1 4 3 7 2 5 6


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


37


38

Exemple numérique

Exp Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 X1X2X3 Yexp

1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 2

2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 1

3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4

4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 3

5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 7

6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 2

7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 5

8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 6

Diviseur 8 8 8 8 8 8 8 8

Effets a0=3,75 a1=-0,75 a2=0,75 a3=1,25 a12=0,75 a13=-0,25 a23=-0,25 a123=0,75

8;

887654321

287654321

0yyyyyyyyayyyyyyyya

123231312321 75,025,025,075,025,175,075,075,3 XXXX X X XY Le modèle s’écrit :


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



39

Exemple numérique

Tableau des réponses moyennes

5,44

5742

X1 X2 X3

Niveau -1 3 2,5

Niveau +1 3 4,5 5

Graphe des effets Visualisation de l’interaction X1X2


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


-1 +1-1 +1 -1 +1

X1 X2 X3

X1=-1

X1=+1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0

1

2

3

4

5

6

-1 +1


40

Statistique & interprétation des résultats


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



41

Statistique - Rappels

• Moyenne

• Variance ² : moyenne des carrées des écarts à la moyennen

XX

n

ii

1

Rappels élémentaires

- Pour un échantillon variance vraie :

nXX i

e

2

2

où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl.

X

- Pour une population variance estimée :

1

22

n

MX ip

où M est la moyenne estimée de la population :N nombre d’échantillonsn-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne)

NX

M N


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



42

•Test de comparaison de deux variances


On cherche à comparer deux distributions statistiques normales (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?)

On observe n1 individus1ier échantillonVariance 1

2

On observe n2 individus2ième échantillon

Variance 22

On forme le rapport de Fisher-Snedecor : 22

21

calculéF

Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons 1 et 2 avec 1=n1-1 et 2=n2-1.

F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce , c’est-à-dire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie.Si on désire évaluer le risque à 5% table à 0,95

On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à Fcalculé.On accepte l’hypothèse d’identité des variances si :

21,, F

21,, FFcalculé


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



43


Agent A : 11 échantillonsA

2 = 3,02

Exemple :

Agent B : 22 échantillonsB

2 = 1,22

47.22

2

B

AcalculéF

Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées.Les agents travaillent ils de la même façon ?B est-il meilleur que A ?

Table de Snedecor pour un risque de 5%.

ddlA2) = 11-1 = 10 = 1

ddlB2) = 22-1 = 21 = 2

32.221,10%,5 F 21,10%,5FFcalculé

La différence des variances est significative (au seuil de 5%)On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



44

Test de signification des effets

Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle.

Les calculs statistiques permettent :- savoir si les effets sont significatifs,

- calculer les intervalles de confiance,- de valider la linéarité du modèle.Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit :

22 1

iepn

n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle

On peut montrer que tous les effets ont même varianceni

22

Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus ².Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer ².


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



45


On testera donc l'hypothèse : H0 = << ai = 0 >>contre l'hypothèse H1 = << ai ≠ 0 >>

Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0.

Pour cela on calcule : i

ii

at

Pour le test on utilise la table de Student à = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées,

p est le nombre d'effets y compris la constante.

Pour un risque de première espèce (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(, ), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle :

si ti > tcrit(, ), on rejette H0 au risque accepté. si ti < tcrit (, ), on accepte H0 au risque accepté.

H0 accepté l’effet en question n’est pas, au risque , significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



46


Exemple :On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P.

Exp Moy T P Y (%)1 +1 -1 -1 602 +1 +1 -1 653 +1 -1 +1 754 +1 +1 +1 85

Diviseur

4 4 4

Effets a0=71.25 a1=3.75 a2=8.75

Yest ei ei²

58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625

Le modèle : PTY 75.875.325.71

On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %.

25.634

1 22ie

5625.1425.62

2 ni

Variance des résidus :

Variance commune des estimateurs :

3 coefficients


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Yest ei ei²

58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625

Yest ei ei²

58.75 1.25 1.562566.25 -1.25 1.562576.25 -1.25 1.562583.75 1.25 1.5625


47


Les ti sont calculés avec la relation : 25.1i

i

ii

aat

La table de Student donne pour un risque de 5% avec = n - p = 4 - 3 = 1 :

71.121,05.0 critt

- Pour a1 = 3.75 (effet de T) on a t1 = 3 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif.

- Pour a2 = 8.75 (effet de P) on a t2 = 7 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif.

On peut donc considérer que les coefficients a1 et a2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ».

La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique.

Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



48

Intervalle de confiance des effetsa/ variance expérimentale connue

On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental . L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par :

risque 5% : [(ai - 1,96 i) ; (ai + 1,96 i)]risque 1% : [(ai - 2,58 i) ; (ai + 2,58 i)]

où i² est la variance commune des estimateurs des coefficients.

0m2

2

Intervallede confiance

0m

n


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



49

Intervalle de confiance des effetsb/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant)

La variance commune des résidus est estimée avec = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet.

et

Si l’on choisit un risque , on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(,) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par :

risque % : [(ai – t(,) i) ; (ai + t(,) i)]

22 1

iepn

ni

22


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



50

Exemple

Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3

Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant :Y = 5.0125 + 0.0125 X1 + 0.1625 X2 – 0.1125 X3 + 0.2125 X1X2 + 0.0375 X1X3 - 0,0125 X2X3

à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts.

X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Yobservé

-1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2

+1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7

-1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1

+1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5

-1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9

+1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6

-1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8

+1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3

Yi estimés ei e²i

5,1875 + 0,0125 0,000156

4,7125 - 0,0125 0,000156

5,1125 - 0,0125 0,000156

5,4875 + 0,0125 0,000156

4,9125 - 0,0125 0,000156

4,5875 + 0,0125 0,000156

4,7875 + 0,0125 0,000156

5,3125 - 0,0125 0,000156


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



51

Exemple

• Variance commune des résidus : 00125.0000156.0*878

11 22

iepn

• Variance commune de tous les effets : 000156.08

00125.022

ni

• Calcul du « t » de Student pour chaque effet :i

ii

at

• La table de Student t(;) = t(0,05;1)=12,71 pour un risque de 5%.

Variable effet t Résultat

Constante 5,0125 t0 = 401 > 12,71 significatif

X1 a1 = 0,125 t1 = 1 < 12,71 non significatif

X2 a2 = 0,1625 t2 = 13 > 12,71 significatif

X3 a3 = - 0,1125 t3 = 9 < 12,71 non significatif

X1X2 a12 = 0,2125 t12 = 17 > 12,71 significatif

X1X3 a13 = 0,0375 t13 = 3 < 12,71 non significatif

X2X3 a23 = - 0,0125 t23 = 1 < 12,71 non significatifModèle à retenir : Y = 5,0125 + 0,1625 X2 + 0,2125 X1X2


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



52

Analyse de la variance

• Lever le doute quant à la significativité des effets Introduction. ExempleConceptsPlan 2k

. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



53


• Validité du modèle linéaire ?

- Yi les réponses observées lors de la réalisation des expériences,- la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire,- Ymoy la moyenne des réponses.

estiY

2

moyest

i YYSCEL

2est

ii YYSCER

1 - La variation due à la liaison linéaire :

SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison".

2 - La variation résiduelle :

SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus".

3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCERSTCE se lit : " somme totale des carrés des écarts".

Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté.

SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle).SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées).SCET a (n-1) degrés de liberté.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



54


CMLp

SCEL

1 2CMLFobs

2σpn

SCER

n–1 SCETTotal

n–p SCERRésidus(intérieur échantillon)

p–1SCELLiaison(entre échantillons)

FCarré moyenddlSomme des carrésVariation due à

• Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le Fobs que l'on a calculé dans le tableau avec un F(critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté.

Le test est :H0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur » la régression n'est pas significative.H1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus » la régression est globalement significative.

La règle du test est alors pour un risque choisi :Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H0 .Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H1 avec la confiance 1-.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



55

Exemple

Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions :

Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Y

+1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 5.2

+1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 4.7

+1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 5.1

+1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 5.5

+1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 4.9

+1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 4.6

+1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 4.8

+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5.3

a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23

5,0125

0,0125

0,1625

-0,1125

0,2125

0,0375

-0,0125

CMLSCEL

1146.0

176667.912

CMLFobs

0012.078

2

SCEE

Variation due à

Somme des

carrés

DDL Carré moyen F

Liaison SCEL 7 – 1

Résidus SCER 8 – 7

Total SCET 8 – 1 0.0984

ici, p = 7n = 81 = 62 = 1

d’où Fcrit = 234 pour = 5%

(Fobs = 91,667) < (Fcrit = 234) on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle.

2

moyest

i YYSCEL

2est

ii YYSCER


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



56

Exemple

CMLSCEL

1146.0

176667.912

CMLFobs

0012.078

2

SCEE


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



57

Exemple

CMLSCEL

2863.0

133,122

CMLFobs

0232.038

2

SCEE

Variation due à

Somme des

carrés

DDL Carré moyen F

Liaison SCEL 3 – 1

Résidus SCER 8 – 3

Total SCET 8 – 1 0.0984

ici, p = 3n = 81 = 3-1 = 22 = 8-3 = 5

= 5%

Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a2 et a12.

(Fobs = 12,3) > (Fcrit = 5,79) on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle.

On évalue Fcrit avec la table de Fischer Snédecor pour 1=2 et 2=5, pour un risque =5%


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



58

Plans fractionnaires

Constatation :Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle.

Question :Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ?

En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients 4 essais et non 8 comme pour le plan complet 23. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle.

L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants :

- Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire,- Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



59


Condition sur le nombre de degrés de libertéLe nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle.D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences

La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



60


Condition d’orthogonalitéCondition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs.

Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences.

Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



61


Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences

1111

A

1111

B

1111

ABExemple dans IR4, si et alors

On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base

canonique sont les produits des composantes de même rang.

Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2k-p

2k-pnombre total de facteur à étudiernombre de fois où le plan complet est coupé en deux

• Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser.• Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser.

• Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



62

Plans fractionnaires 23-1

Plan fractionnaire 23-1 pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste).Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 23

nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences.

Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 22. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB

Exp Imoy A B AB

1 +1 -1 -1 +12 +1 +1 -1 -13 +1 -1 +1 -14 +1 +1 +1 +1

Exp A B C1 -1 -1 +12 +1 -1 -13 -1 +1 -14 +1 +1 +1

Matrice du plan complet 22

Matrice du plan fractionnaire 23-1

La matrice 23-1 servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions

AB = C

C = AB le facteur C est aliasé avec l’interaction AB.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



63

Nous avons : C = AB et donc CC = I = ABC

Soit : I = CAB d’où AI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CBBI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA

On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB.On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA.

Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs.

L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases


• Les interactions d’ordre supérieur (3ième ordre et +) sont négligeables.• si deux effets sont faibles, leur interaction est faible.

• si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être.• si un alias est nul - soit les effets aliasés sont tous nuls (++)

- soit les effets se compensent

Hypothèses d’interprétation retenues en général :


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



64

Exp I A B C Yexp

ABC CB CA AB1 +1 -1 -1 +1 y1

2 +1 +1 -1 -1 y2

3 +1 -1 +1 -1 y3

4 +1 +1 +1 +1 y4

effets

a0 a1 a2 a3Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp

1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1

2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2

3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3

4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4

5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1

6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6

7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7

8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4

effets

a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123

Plan fractionnaire 23-1

Plan complet 23

Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet.

4yy-yy-

a 43211



. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



65

Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp

1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 z1

2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y2

3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y3

4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 z4

5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y1

6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 z6

7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 z7

8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y4

effets

a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123

On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB :

8

yz-zy-zy-yz- a' 476143211 4

yy-yy- a 43211

8yzzy-zy-yz a' 47614321

23

on remarque alors que a1=a’1+a’23

a1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où :

A = CB a1 = a'1+a'23

B = CA a2 = a'2 + a'13

C = AB a3 = a'3 + a'12



. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



66


Utilisation de la matrice d’un plan 23 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ??

Les variables retenues sont :

Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 23.

La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 23, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC

Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases

Variables Niveau –1 Niveau +1 A : quantité de base utilisé normale en excès B : vitesse d'addition de la base

lente rapide

C : température de la filtration à chaud à froid D : lavage du précipité normal prolongé

Moy A B C ABC AB AC BC YD


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



67


I = DABC est un générateur d’aliases

..............................................

..............................................ADIACI

DIICDAABBCABDABCABIDABIDABCCCDABCCIDAICDABBCBDABCBIDIBCDAABCADABCAI

BCADDBACDCAB

DABCDACBDBCA

Moy A B C ABC AB AC BC YDBC DAC DAB D DC DB AD

Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux.


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



68


La matrice des effets et des réponses est la suivante :

En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux :

Moy A B C ABC AB AC BC YDBC DAC DAB D DC DB AD

+1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 3, 1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 4, 1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 2, 2 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 1, 3 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 4, 0 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 -1 4, 1 +1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 +1 -0, 1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 0, 6 a0 aA aB aC aD aab-dc aac-db abc-ad

2,41 0,11 -1,41

-0,26

0,31 -0,16 0,09 -0,49

A 0,11 B -1,41 C -0,26 D 0,31


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



69


Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : 07,00

L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : 025,00 ni

Un coefficient sera significatif au risque =5% ssi : > ttable(n-p+1, ) × i ia

Ici nous obtenons : et donc, 318,0ia

Moy A B C ABC AB AC BCDBC DAC DAB D DC DB AD

2,41 0,11 -1,41

-0,26

0,31 -0,16 0,09 -0,49

Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC,AD) sont significatifs.

La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ?


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates



0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

70


Étude de l’interaction BC B = -1 B = +1C = -1 P = (3,1 + 4,1) / 2 = 3,6 P = (2,2 + 1,3) / 2 = 1,7C = +1 P = (4 + 4,1) / 2 = 4,05 P = (0,6 - 0,1) / 2 = 0,35

A = -1 A = +1D = -1 P = (3,1 - 0,1) / 2 = 1,5 P = (1,3 + 4,1) / 2 = 2,7D = +1 P = (2,2 + 4) / 2 = 3,1 P = (4,1 + 0,6) / 2 =

2,35

Étude de l’interaction AD


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


-1 +1

A=+1

A=-1

-1 +1

B=-1

B=+11,95 1,8


71

Exercice


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection.

facteurs Niveau bas : -1 Niveau haut : +1A : température de fusion 260 °C 287.78 °CB : température du moule 26.67 °C 60°CC : temps de cuisson 150 s 200 sD : vitesse d'injection 1 s 2.25 s

N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8

Planéité 1,37 1,4 1,17 1,27 1,17 1,14 0,76 0,61

1. Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire2. Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions3. Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et 4. Construire le modèle mathématique associé5. Vérifier la linéarité du modèle

016,00


72

Exercice


. Concepts

. Effets

. Interaction

. Yates


I A B C ABC AB AC BC

Y ABCD BCD ACD ABD D DC BD AD

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1,37

2 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1,4

3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1,17

4 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1,27

5 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1,17

6 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1,14

7 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 0,76

8 1 1 1 1 1 1 1 1 0,61

1,11125

-0,00625

-0,15875

-0,19125

-0,02375

-0,00625

-0,03875

-0,07625

BC.07625,0C.19125,0B.15875,011125,1Y

07189862,000565685,0*%)5,1(ta

00565685,08

016,0n

016,0

i

0

0


73

FIN

technique des plans d’expériences

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