8/10/2019 TD-4-ACF-2014-2015

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Universite Antonine Semestre 3

Annee 2014- 2015

Analyse complexe et de Fourier 1

Chapitre IV- Series de Fourier

Exercice 1. Trouver le developpement en serie de Fourier de la fonction en escalier 2 -periodique definie par :

f(x) =

1 si x [0, ]2 si x], 2]

En deduire les sommes suivantes :

+

n=0(1)n

2n + 1;

+

n=01

(2n + 1)2

Exercice 2. Soit fune fonction 2 - periodique definie sur lintervalle [; ] par :

f(x) =

0 si < x

21 si

2 < x

20 si

2 < x

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [3; 3].

2. Donner son developpement en serie de Fourier.

3. En deduire les valeurs des sommes suivantes :

A=+n=0

(1)n

2n + 1; B =

+n=0

1

(2n + 1)2; C=

+n=1

1

n2

Exercice 3. Soit fune fonction 2-periodique, definie sur [, [ par : f(x) =x2.

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [3; 3].

2. Donner le developpement en serie de Fourier de f(t).

3. Deduire les sommes suivantes :

+n=1

(1)n+1

n2

+n=1

1

n2

+n=0

1

(2n + 1)2

+n=1

1

n4

+n=0

1

(2n + 1)4

Exercice 4. Soit fune fonction 2-periodique, definie sur [0, 2[ par : f(x) =x2.

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [4; 4].

2. Donner le developpement en serie de Fourier de f(t).

1. Drs R. Akoury & C. Ghannam - 2014

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3. Deduire les sommes suivantes :

+n=1

(1)n+1

n2

+n=1

1

n2

+n=0

1

(2n + 1)2

+n=0

(1)n

2n + 1

+n=1

1

n4

+n=0

1

(2n + 1)4

Exercice 5. Soit fune fonction 2-periodique definie sur [; ] par :

f(x) =

2 |x|

2 sur[2;2]

0 sur] ; 2[]2, [

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [2; 2].

2. Donner le developpement en serie de Fourier de f.

3. Deduire les sommes suivantes :

A=+n=1

1 cos(2n)

n2 B =

+n=1

sin n

n

2C=

+n=1

(1)n

sin n

n

2D=

+n=1

sin n

n

4

Exercice 6. Soit f une fonction impaire 2-periodique, definie sur [0, ] par : f(t) =t( t).

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [3; 3].

2. Donner le developpement en serie de Fourier de f(t).

3. Calculer les sommes suivantes :

S1=+n=0

(1)n

(2n + 1)3 S2=

+n=0

1

(2n + 1)6 S3=

+n=1

1

n6

Exercice 7.Soitfune fonction 2 - periodique, paire, definie sur lintervalle [0; ] par :

f(x) = 1 2x

1. Tracer le graphe de f sur lintervalle [3; 3].

2. Donner le developpement de fen serie trigonometrique de Fourier.

3. En deduire les sommes suivantes :

A=+n=0

1

(2n + 1)2 B =

+n=1

1

n2 C=

+n=0

1

(2n + 1)4 D=

+n=1

1

n4

Exercice 8. Soit f la fonction 2 periodique definie par :

x] ; +], f(x) =

x2 si |x|

22

4 si |x|

2

1. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f.

2. Deduire la somme des series suivantes :

A=+n=1

(1)n+1

n2 B =

+n=0

(1)n

(2n + 1)3 C=

+n=1

1

n2