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P. Puzo (2010-2011) Montrouge II 1/84

Sources et références du cours #2 -« Electrostatique (suite) - Magnétostatique »

Faroux (Vol I)

Perez

(Halliday)

(Barrat)


Plan du chapitre «Electrostatique (suite) -Magnétostatique»I. Conducteurs en électrostatique

II. Energie électrostatique

III. Action d’un champ magnétique

IV. Magnétostatique du vide

V. Dipôles magnétiques


Un conducteur est un corps dans lequel les e- libres peuvent se déplacer(on ne considèrera que les métaux) Il faudrait en théorie considérer également des effets

thermoélectroniques et électrochimiques liés à des conducteursinhomogènes de température non uniforme

Il est en équilibre électrostatique lorsque ses porteurs de charges nesubissent pas de mouvement d’ensemble. Cet équilibre doit être évaluésur un volume « significatif » Les grandeurs physiques seront des grandeurs moyennées sur un

domaine mésoscopique (1003 à 10003 Angstrom3)


Un générateur permet de maintenir une ddp constante entre deuxpoints d’un même circuit. Le conducteur n’est plus alors en équilibreélectrostatique puisque les charges libres subissent un mouvementd’ensemble

En régime permanent, on a avec cette fois

!

r " .

r J = 0

!

r J "

r 0


Champ et potentiel dans un conducteur àl’équilibre (1/2) L’équilibre électrostatique entraîne que la force moyenne sur les

porteurs de charge est nulle Donc le champ E moyen y est nul et V constant

Gauss :

La densité ρint est la densité totale. Pour un conducteur métallique, ilfaut prendre en compte la densité électronique et la densité positivedue aux charges fixes du réseau

!

r E int =

r 0 Vint = Cste

!

r " .

r E =

#

$0% #int = 0


Champ et potentiel dans un conducteur àl’équilibre (2/2) Au voisinage immédiat de la surface d’un conducteur, le champ est

fortement inhomogène : E et ρ peuvent y être non nuls Attention : Eint et ρint concernent des quantités moyennées et

l’épaisseur de la couche superficielle chargée est inférieure aunanomètre

Le potentiel électrostatique est continu à la traversée d’une surfacechargée La surface d’un conducteur est donc une équipotentielle, au même

potentiel que l’intérieur du conducteur


Théorème de Coulomb

Relation de continuité :

D’où le champ près de la surface d’un conducteur à l’équilibre :

!

(r E 2 "

r E 1).

r n 1#2 =

$

%0

!

r E =

"

#0

r n Théorème de Coulomb


Pression électrostatique

On montre que la force dF à laquelle la chargedq est soumise est équivalente à une pression p :

Tout se passe comme si le conducteur avaittendance à gonfler sous l’effet de la pressioninterne

!

p =d

r F

dS=" 2

2 #0

Pressionélectrostatique

Barrat


Potentiel d’équilibre en présence deconducteurs (1/2) On considère un ensemble de conducteurs placés dans le vide. Dans

l’espace en dehors des conducteurs, le potentiel vérifie ΔV = 0. Lacondition d’équilibre de chaque conducteur est Vi = Cste

Le potentiel V est déterminé de manière unique dès que l’on connaît pourun ensemble de conducteurs en équilibre le potentiel de tous lesconducteurs, ou les charges totales de tous les conducteurs, ou lespotentiels de certains conducteurs et les charges totales des autres …(théorème d’unicité)

Si on connaît les potentiels V en tout point, on peut tout calculer surl’équilibre électrostatique (E puis σ). L’état électrostatique d’unsystème de conducteurs en équilibre est entièrement déterminé parle potentiel V


Potentiel d’équilibre en présence deconducteurs (2/2) En particulier, cela signifie que l’équilibre électrostatique d’un ensemble

de n conducteurs est entièrement déterminé par n paramètres imposésde l’extérieur Une fois ces paramètres fixés, les distributions superficielles de

charges s’ajustent d’elles-mêmes pour rendre les conducteurséquipotentiels


Loi d’Ohm (1/2)

Les métaux en particulier vérifient la loi d’Ohm microscopique :

Pour une substance homogène (γ = cste), on a :

Deux conséquences : La densité volumique de charge ρ reste nulle. L’intérieur d’un

conducteur qui vérifie la loi d’Ohm reste neutre en électrocinétique(courant continu) comme en électrostatique

Si un conducteur parcouru par un courant continu n’est pasglobalement neutre, sa charge totale ne peut être que superficielle

!

r J = "

r E

Conductivité

!

r " .

r E =

1

#

r " .

r J = 0 $ % = 0


Loi d’Ohm (2/2)

La loi d’Ohm n’est pas une loi fondamentale de l’électromagnétisme(idem Coulomb)

Attention : on lit parfois que « U = R I est la loi d’Ohm » Cette relation est en fait valable pour tout milieu conducteur et

définit R La loi d’Ohm signifie que R est indépendant de U

La relation J(E) n’est pas linéaire pour les semiconducteurs ou les gazionisés Composants électroniques Optique non linéaire


Interprétation de la loi d’Ohm (1/3)

On modélise de manière très simplifiée un conducteur par un cylindredont les 2 bases sont à des potentiels différents. La densité de courantJ à le même sens que E, mais la vitesse des e- est de sens opposé

On suppose qu’une des charges q du conducteur est soumise de la partdes autres charges (fixes ou mobiles) à des interactions globalementmodélisables par une force proportionnelle à sa vitesse (frottementvisqueux):

!

r J = "

r E

!

r v =

r J

n q

n : densitévolumique de

charges mobiles

!

r F = " #

r v = "

m

$

r v

Barrat



En régime permanent :

Après calculs :

Si le champ a été établi brusquement à t = 0 alors que les chargesétaient immobiles, on obtient :

La constante de temps τ caractérise l’établissement du régimepermanent. Les valeurs expérimentales de γ permettent de mesurer αpuis τ dans le cadre de ce modèle. On obtient par exemple τ ≈ 10-14 spour du cuivre à 0°C

!

r J = n q

r v = "

r E avec " =

n q2

#

!

r v =

n q2

"

r E 1# exp(#t /$)( ) puisque $ =

m

"

!

mdr v

dt= q

r E "#

r v =

r 0 $

r v =

q

#

r E



La vitesse v est la vitesse d’entraînement des e-. Pour une densité decourant typique de 1 A/mm2, on obtient v = J/nq ≈ 0,07 m/s. Il ne fautpas confondre cette vitesse moyenne avec la vitesse individuelle des e-dans le conducteur, ni avec la vitesse à laquelle se propage le champ EMdans le conducteur

Analogie thermodynamique : la vitesse des molécules dans un gaz ne doitpas être confondue avec leur vitesse d’entraînement ou avec la vitessede propagation du son dans le gaz

Un modèle réaliste de la conduction dans les solides doit faireintervenir la mécanique quantique


Mouvement d’un fluide de chargeslibres (1/2) La modélisation de l’interaction entre les charges mobiles et le réseau

par une force de frottement visqueux fait intervenir l’électron« moyen » (modèle de Drüde-Lorentz) :

Equation du mouvement des e- de conduction :

L’accélération d’un e- « moyen » est (Approximation des milieuxcontinus) :

Hprépa Ondes

!

r F = "

m

#

r v

!

mr a = q

r E +

r v "

r B ( )#

m

$

r v

!

r a (

r r , t) = lim

dt"0

r v (

r r + v dt, t + dt)#

r v (

r r , t)

dt

$

% &

'

( ) =

Dr v

Dt=*r v (

r r , t)

*t+

r v .

r + ( )

r v (

r r , t)

Dérivée particulaire

v : vitesse del’électron « moyen »


Mouvement d’un fluide de chargeslibres (2/2) Approximation linéaire : l’amplitude de E est faible pour que l’amplitude

du déplacement des charges soit << longueur d’onde : les variationsspatiales du champ sont négligeables à l’échelle de déplacement d’un e-.On a alors :

De plus pour une onde plane :

On obtient l’équation linéarisée du mouvement des e- de conduction :

!

r v .

r " ( )

r v

#r v

#t

<<1

!

m"r v

"t+

m

#

r v = q

r E

!

r v "

r B

r E

<<1


L’énergie potentielle en mécanique

Pour un ensemble de n points matériels, on montre que si la force(traduisant l’interaction entre les n-1 points et le point k) peut s’écrire :

alors le travail de la force lors d’un déplacement du point matériel nedépend que des positions initiales et finales

Le travail des forces internes et externes est donné par :

La fonction UI est alors l’énergie potentielle d’interaction des n pointsmatériels

!

r f k = "

r # r r k

UI (r r 1,L,

r r k"1,

r r k+1,L,

r r n )( )

!

r f k

!

dWint = " dUI et dWext = d Ec +UI( )

!

r f k


Ep d’interaction de charges ponctuelles:cas de n charges ponctuelles (1/2) La force Fk représentant l’action des n-1 autres charges sur la charge k

s’écrit :

On vérifie qu’il existe unerelation plus pratique nefaisant pas intervenir qk :

UI est l’énergie potentielle d’interaction des n charges dans E, oul’énergie d’interaction de la charge qk avec la distribution (D) quiengendre E et V

!

r F k = qk

r E (

r r k ) avec

r E (

r r k ) = "

r # r r k

(V ) et V =1

4 $ %0

qi

riki&k

'

!

"r F k = # qk

r $ r r k

1

4 % &0

qi

riki'k

()

* +

,

- .

!

r F k = "

r # r r k

(UI ) avec UI =1

2

1

4 $ %0

qi q j

rijj&i

'i

'

Expression peu pratiquecar elle fait jouer unrôle particulier à qk


Ep d’interaction de charges ponctuelles:cas de n charges ponctuelles (2/2) L’énergie UI ne dépend que des distances relatives entre les charges

Un déplacement ‘en bloc’ du système de n charges ne modifie pasl’énergie d’interaction

L’origine de UI correspond à une énergie d’interaction nulle lorsquetoutes les charges sont infiniment éloignées les unes des autres

UI peut également se mettre sous la forme :

où Vi est le potentiel créé au point où se trouve qi par les n-1 autrescharges

!

UI =1

2qi Vi

i

"


Travail d’un opérateur pour construire lesystème On suppose que l’opérateur construit la distribution précédente en

apportant toutes les charges depuis l’infini dans leur position finale Les charges sont supposées immobiles dans leurs positions initiales

et finales UI = 0 lorsque les charges sont infiniment éloignées les unes des

autres On doit donc avoir Wext = UI. Après calculs :

L’énergie d’interaction UI est parfois appelée énergie de constitution

!

" W =1

4 # $0

qi q j

rijj<i

%i

% =1

2

1

4 # $0

qi q j

rijj&i

%i

% =1

2qi Vi

i

%


Energie électrostatique d’une distributioncontinue (1/2) On considère une distribution de charges dans le vide, occupant un

volume (V), caractérisée par une densité volumique ρ et un potentiel V

On parle d’énergie d’interaction UI pour une distribution de chargesdiscrètes et d’énergie électrostatique Ue pour une distribution continue.Fondamentalement, rien ne nous oblige à parler ici de Ue, mais on feracomme tout le monde …

Le passage d’une distribution de charges ponctuelles à une distributionde charges continue n’est pas trivial pour l’énergie d’interaction UI


Energie électrostatique d’une distributioncontinue (2/2) On peut considérer la distribution comme la moyenne géométrique d’une

distribution de charges ponctuelles. L’énergie d’interaction UI de ncharges discrètes est :

Il n’est pas évident du tout que l’énergie de la distribution continue soitdonnée par la moyenne de l’expression discrète

Après calculs, on montre que l’énergie électrostatique s’écrit :

Ue est parfois appelée « énergie de constitution » (on a toujours Ue > 0)

!

qi" qi '= # qi $ UI '= #2UI

!

UI =1

2qi Vi

i

"Expression non linéaire :

!

Ue =1

2V " d#

(D)$$$


Energie d’interaction de deuxdistributions (1/2) Deux distributions ρ1 et ρ2 créent les potentiels V1 et V2. A la

distribution totale ρ = ρ1 + ρ2, on associe le potentiel V = V1 + V2 etl’énergie électrostatique Ue :

En développant :

!

Ue =1

2("1 +"2) (V1 +V2) d#(D)$$$

Energie électrostatique de chacune desdistributions prises séparément

Energie d’interaction entre lesdeux distributions!

Ue =1

2"1 V1 d#(D1)

$$$ +1

2" 2 V2 d#(D 2 )

$$$ +1

2("1 V2 +" 2 V1) d#(D)$$$


Energie d’interaction de deuxdistributions (2/2) On peut vérifier que :

L’énergie potentielle d’interaction de la distribution (1) dans le champcréé par (2) est égale à l’énergie potentielle d’interaction de ladistribution (2) dans le champ créé par (1) (identité de Gauss)!

Ue(1,2) =1

2("1 V2 +" 2 V1) d#(D)$$$ = "1 V2 d# = " 2 V1 d#(D)$$$(D)$$$


Aspect local de l’énergie électrostatique(1/3) Les équations locales permettent de donner une autre

formulation à Ue :

!

Ue =1

2V " d#(D)$$$ =

1

2V (%0

r & .

r E ) d#(D)$$$

!

r " . (V

r E ) = V

r " . (

r E )+

r " (V ) .

r E

!

" Vr # . (

r E ) =

r # . (V

r E )+ E

2

On utilise :

!

Ue ="02

r # . (V

r E ) d$(D)%%% +

"0 E2

2d$(D)%%% & Ue =

"02

Vr E dS(S

D)%% +

"0 E2

2d$(D)%%%

D’où :

(SD)


Aspect local de l’énergie électrostatique(2/3)

Ceci est valable pour toute surface (SD) qui englobe(D)

En particulier, on choisit de faire tendre (S) versl’infini - (V) est alors l’espace entier V décroît au moins comme 1/r et E comme 1/r2

La surface d’intégration varie en r2

V E décroît au moins comme 1/r

Il reste :

!

Ue =1

2"0 E

2d#Espace$$$

(SD)

!

Ue ="02

Vr E dS(S

D)## +

"0 E2

2d$(D)###


Aspect local de l’énergie électrostatique(3/3) Tout se passe comme si l’énergie électrostatique était répartie dans

l’espace entier avec la densité volumique :

Ue est toujours positive !

L’énergie d’un système de conducteurs en équilibre est donc répartiedans le vide : Une charge placée dans une région où le champ n’est pas nul est

soumis à une force Le travail de cette force lors d’un déplacement de la charge pourrait

fournir du travail, et il est ‘logique’ de localiser l’énergie là où on peutla recueillir

!

u ="0 E

2

2


Cas de la charge ponctuelle

On a alors :

On ne peut pas parler de localisation de l’énergie avec des chargesponctuelles. Cette expression est réservée aux milieux continus !

!

E =q

4 " #0

1

r2soit Ue =

#02

q

4 " #0

$

% &

'

( )

24 " r2

r4r=0r=*+ dr

!

" Ue = 2 # $0q

4 # $0

%

& '

(

) *

21

r

+

, - .

/ 0 r=0

r=1Diverge !


Certains effets magnétiques sont connus depuis l’Antiquité, enparticulier l’attraction exercée sur le fer par la magnétite (Aristote)

Le lien avec l’électricité date du 19ème siècle

Pour les mêmes raisons qu’en électrostatique, l’action à distancedécrivant les effets magnétostatiques a été progressivement remplacéepar une action locale, à l’aide du champ magnétique


Force de Lorentz

Sert de définition à B (E et B peuvent dépendre du temps) :

Quelques ordres de grandeur Etoile à neutron 108 T Bobine supraconductrice 10 – 50 T Electroaimant 2 T Petit barreau aimanté 10-2 T Espace interstellaire 10-10 T Blindage magnétique 10-14 T

On utilise souvent le Gauss : 1 G = 10-4 T En France, B terrestre vaut 20 mG (horizontal) et 40 mG (vertical)

!

r F = q (

r E +

r V "

r B )


Le champ électrostatique est le rapport entre la force électrostatiqueet la charge statique sur laquelle la force s’applique. On ne peut pasprocéder de la même façon pour B car on ne connaît pas de chargemagnétique libre

Le champ B dépend d’une convention d’orientation de l’espace. C’est unpseudo-vecteur, ou vecteur axial

Le champ E de la force de Lorentz est le champ électrique (et non plusélectrostatique) car cette loi expérimentale reste valable pour leschamps dépendants du temps

!

r F = q (

r E +

r V "

r B )


Application : effet Hall (1/3)

Hall a montré en 1879 que les e- de conduction dans un conducteurmétallique étaient déviés par un champ B

La séparation des charges + et - crée un champ E qui attire les e- vers ladroite : apparition d’une tension de Hall qui ramène les e- jusqu’à annulerl’effet de la force magnétique

Sans champ B, lesporteurs de charges

dérivent de bas en haut

A l’établissement de B, la Fmrepousse les e - vers la droite

En régime permanent,les e - de conductionse déplacent sanss’accumuler sur lesbords du conducteur

Halliday



Conducteur de section d x h

VH = E d de l’ordre du mV pour les semiconducteurs

On en déduit le signe de la charge des porteurs

!

n =B i

VH h e

Densité volumique deporteurs de charges Pour des

porteurs decharges > 0



Pour de l’Argent avec n ≈ 6,0 1022 cm-3, on a typiquement VH ≈ 10 µVpour d = 10 mm, h = 0,1 mm, I = 10 A et B = 1 T

Pour des semi-conducteurs avec n ≈ 1,0 1016 cm-3, on peut obtenir VH ≈ 1mV

L’effet Hall peut servir : à mesurer la vitesse de dérive des porteurs de charges (si on connaît

B) : en déplaçant la bande de métal dans B, la tension VH s’annulelorsque sa vitesse est égale (au signe près) à la vitesse des porteursde charges

à mesurer B (si on connaît n) : mesure directionnelle des sondes àeffet Hall !


Application : roue de Barlow

La roue de Barlow est le plus simple desmoteurs électriques. Un disque circulaireconducteur de rayon R est plongé dans unchamp B uniforme parallèle à l’axe derotation du disque. Un courant d’intensitéI traverse le disque depuis son axe vers unbain de mercure

On peut montrer que le disque est soumis àune force qui tend à le faire tourner etque le moment par rapport au centre dudisque vaut :

!

" =R2I B

2

Faroux


Application : Mesure de m/q à l’aided’un spectromètre de masse

On peut déduire de la force de Lorentz uneméthode de mesure de m / q pour desparticules de charges > 0

Spectromètre de masse

On peut montrer que :

!

x =8V

B

m

q

Halliday


Application : Visualisation de tracesdans une chambre à bulles (1/3)

T < TcLes trajets AB et GF sont sur des états stables.Les transitions BC et FE correspondent à desétats métastables dus à des retards auxtransitions de phase

• FE correspond à du liquide surchauffé : le liquide existe seul à unepression inférieure à la pression d’équilibre liquide-vapeur. Ce liquide estinstable et une très faible perturbation fait apparaître des bulles devapeur dans le liquide

! Principe des chambres à bulles (Glaser, 1952) où des particuleschargées provoquent la formation de bulles le long de leurs traces.Il n’y a plus qu’à prendre ensuite une photo !

Rappel : principe des chambres à bulles


Application : Visualisation de tracesdans une chambre à bulles (2/3)

T < TcLes trajets AB et GF sont sur des états stables.Les transitions BC et FE correspondent à desétats métastables dus à des retards auxtransitions de phase

• BC correspond à de la vapeur sursaturée : la vapeur existe seule à unepression supérieure à la pression d’équilibre liquide-vapeur. Cette vapeurest instable et une très faible perturbation fait apparaître des gouttesde liquide dans le gaz

Rappel : principe des chambres à brouillard

! Principe des chambres à brouillard (Wilson, 1912)


Application : Visualisation de tracesdans une chambre à bulles (3/3)Chambre à hydrogène liquideplacée dans un champ uniformede 1 T

Particuleneutre

Cible(e - d’un atomed’hydrogène)

e -éjecté

e - de basseénergie

e + de basseénergie

Traces observées jusqu’auseuil de détection(mesurable) : le rayon decourbure des traces diminue

Hallyday


Application : Découverte de l’électron

Principe de l’expériencede J.J. Thomson

(1877)

L : longueur de la zone de champs croisésy : déviation à la fin de la zone de champs croisés

On montre que :

!

m

q=B2L2

2 y E

Outre leur signe, J.J. Thomson a montré que ces particules chargéesétaient 1000 fois plus légères que l’atome d’hydrogène

en fait 1836

⇒ « découverte » de l’électron


Action de B sur une distributionvolumique de courant Pour une distribution volumique de charges ρ constituée d’une seule

espèce de charges de vitesse moyenne v, la force qui s’exerce sur unélément de volume dτ s’écrit:

Equation linéaire en fonction de ρ. Donc pour un milieu constitué deplusieurs charges

!

dr F =

r F v d" avec

r F v = #

r E +

r v $

r B ( )

Densité volumique de force

!

r F v = "

r E +

r J #

r B


Application : Pompeélectromagnétique La force magnétique s’exerce également sur

les liquides

On considère un tube isolant avec deuxélectrodes en regard

Les porteurs de charge sont soumis à la force magnétique qu’ilstransmettent au liquide, le mettant ainsi en mouvement

Les porteurs de charge sont soumis à la force magnétique qu’ilstransmettent au liquide, le mettant ainsi en mouvement

Ces méthodes sont à la base de la « propulsion MHD »

Faroux II


Action de B sur une distributionsurfacique de courant Un élément de surface dS de densité surfacique de courant JS est

soumis à la force :

!

dr F =

r F s dS avec

r F s =

dq

dS

r v "

r B =

r J s "

r B

Densité surfacique de force


Action de B sur une distributionlinéique de courant Un élément dl parcouru par un courant I est soumis à la force :

!

dr F = dq

r v "

r B = I d

r l "

r B

Force de Laplace

Action d’un champ magnétiquesur un fil parcouru par un

courant


Application : balance de Cotton

Dispositif permettant la mesure absoluede B

Utilise la force de Laplace pouréquilibrer par une masse la force crééepar le champ B dans un conducteur

On peut facilement montrer que lacondition d’équilibre permet d’obtenir :

!

B =m g

I a

ON

OO'

De nos jours, on utilise plutôt des fluxmètres pour mesurer un champabsolu


Action d’un champ magnétique sur uncircuit fermé On considère un circuit (C) filiforme fermé. Dans un champ magnétique

uniforme, la résultante F des forces vaut :

Le circuit n’est soumis qu’à un couple dont on peut montrer que lemoment par rapport à O s’écrit :

!

r F = I d

r l "

r B

(C)# = I dr l

(C)#( )"r B =

r 0

!

r " =

r M #

r B avec

r M = I

r S

Moment dipolaire magnétique du circuit


Modélisation d’un « champmagnétique » ? (1/2) On montre expérimentalement que dans toute région subissant

l’influence de courants, la force dF à laquelle un élément de circuitparcouru par I est soumis dépend linéairement de I dl :

On observe également que dF et I dl sont perpendiculaires :

La matrice des coefficients est donc antisymétrique. Il suffit de 3coefficients pour décrire l’action du champ magnétique

!

dFx

dFy

dFz

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

Bxx Bxy Bxz

Byx Byy Byz

Bzx Bzy Bzz

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

I dlx

I dly

I dlz

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!

dFx dlx +dFy dly +dFz dlz = 0

!

"I # Bxx = Byy = Bzz = 0 Byx = $ Bxy Bxz = $ Bzx Byz = $ Bzy


Modélisation d’un « champmagnétique » ? (2/2) On pose Bx = Byz, By = Bzx et Bz = Bxy. Il reste :

Les coordonnées Bx, By et Bz sont les 3 composantes d’un tenseurantisymétrie d’ordre 2 et de rang 3

Ecrire B sous forme vectorielle permet de le visualiser, mais lescomposantes de ce vecteur ne sont pas « normales »

B est un pseudo-vecteur

!

(B) =

0 Bz " By" Bz 0 Bx

By " Bx 0

#

$

% % %

&

'

( ( (

!

r B = Bx

r u x + By

r u y + Bz

r u z


La magnétostatique est l’étude des champs magnétiques constants,créés par des aimants permanents ou par des courants constants

Des charges électriques se déplaçant à vitesse constante créent descourants permanents dont les effets magnétiques entrent dans le cadrede la magnétostatique

On peut représenter les champs magnétiques par des lignes de champ,en utilisant le même formalisme qu’en électrostatique (champ tangent àla ligne de champ et espacement entre les lignes relié à la valeur duchamp)


Problème particulier des aimantspermanents Les lignes de champ traversent l’aimant et

forment des boucles fermées En dehors du matériau :

magnétostatique Au sein du matériau : milieux

magnétiques

!

dm = Ma d" avec Ma Aimantation

Hypothèse d’Ampère : on admet que tout élément devolume dτ d’un matériau aimanté se comporte commeune boucle de courant aussi bien du point de vue duchamp B qu’il créé que des actions mécaniques qu’ilsubit


Circuit filiforme parcouru par uncourant constant 1819 : Oersted observe qu’un courant dans un fil dévie l’aiguille d’une

boussole aux alentours 1820 : Biot et Savart établissent la loi expérimentale qui relie B au

courant

Pour une densité volumique de courant, Biot et Savart s’écrit :

!

r B =

µ04"

I dr l #

r u

r2(C)$

!

µ0

= 4"10#7

H/m ou N/A2

Perméabilitédu vide

!

r B (M ) =

µ04 "

r J (P)#

Pr

M

PM3

d$(V )%%%


Remarques sur la loi de Biot etSavart Ne pas donner de forme différentielle à cette loi : un élément de

courant isolé n’existe pas en magnétostatique (au contraire del’électrostatique où on peut imaginer une charge ponctuelle isolée) La loi de Biot et Savart est une loi intégrale

La loi de Biot et Savart ne dépend que du courant, et est valable quelquesoit la vitesse des particules qui créent le courant : très faible dans unconducteur ohmique, mais voisine de c pour le faisceau de protonsultrarelativistes du LHC Loi phénoménologique valable sur plus de 10 ordres de grandeur !


Interaction entre circuits filiformes

Biot et Savart permet de calculer lechamp créé en M2 par I1 dans (C1) :

!

r F 12 = "

µ04 #

I1 I2 dr l 1 .d

r l 2( )(C2 )

$(C1)$

r r 12

r123

!

"r F 12 = #

r F 21

En permutant les indices, on obtient l’expression de la force exercéepar (C2) sur (C1) :

Les forces totales s’exerçant entre deux circuits parcourus par descourants constants obéissent au principe de l’action et de la réaction

Cette loi est une loi intégrale et n’est pas valable si on considère desportions de circuit !


Interaction entre deux courantsparallèles Sur une longueur l :

La force est attractive si I1 et I2 sont de même signe, répulsive dans lecas contraire

Définition de l’ampère : Un ampère correspond à l’intensité nécessairepour que la force entre deux fils parallèles espacés de 1 m soit égale à2,0 10-7 N/m

!

r F =

µ02 "

I1 I2 l

d

r u

Hallyday


Lignes de champ d’un solénoïde oud’un aimant permanent Orientation du champ d’un solénoïde :

La règle de la main droite indique le pôleN

Une autre façon de procéder est de seplacer selon l’axe et d’observer le sensde rotation du courant

Orientées dans le sens N --> S pour unaimant permanent/solénoïde


Conservation du flux magnétique

La loi de Biot et Savart permet de montrer que le flux de B a traverstoute surface fermée est nul (B est à flux conservatif) :

Ceci implique qu’il n’existe pas de monopôles magnétiques

!

"r # .

r B = 0

!

r B .d

r S

(S)"" =r # .

r B d$

(V )""" = 0


Théorème d’Ampère

La circulation de B sur un contour ferméquelconque vérifie le théorème d’Ampère :

Loi reliant le courant total traversant unesurface à l’intégrale du champ B sur lecontour sur lequel s’appuie la surface

Permet dans la pratique de déterminer B sile système présente un degré de symétriesuffisant

!

r " #

r B = µ0

r J

Expression locale

1 2 4 3 4 ou

!

r B .d

r l

(C)" = µ0Ienlacé = µ0

r J .d

r S

(S)""

Expression intégrale

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4


Potentiel vecteur

On peut définir le potentiel vecteur A tel que :

Le flux de B ne dépend que de (C )

Le potentiel vecteur est un vrai vecteur (vecteur polaire)

!

Stokes "r # $

r A ( )(S)

%% .r n dS =

r B .d

r S

(S)%% =r A .d

r l

(C)%

!

r B =

r " #

r A


Jauge de Coulomb

En considérant un champ scalaire f, le rotationnel du champ vectoriel redonne le même champ magnétique

Le potentiel vecteur est défini à un gradient près

On admettra qu’il est possible de définir A par la condition de jauge :

On a alors :

!

r " .

r A = 0 Jauge de Coulomb

!

"r A +µ

0

r J =

r 0

Analogue à l’équation dePoisson !

!

r A '=

r A +

r " f


Cas général

!

r A (M ) =

µ0

4"

r J (P)

PMd

3P

(D)###

Courant réparti en volume

1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4

En imposant le potentiel vecteur nul à l’infini, en plus de la jauge deCoulomb, on obtient :

!

r B (M ) =

µ0

4"

r J (P)#

r P M

PM3

d3P

(D)$$$

Courant réparti en volume

1 2 4 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4

!

"r A +µ

0

r J =

r 0

!

r B =

r " #

r A

On retrouve la loi de Biot et Savart …

Cas d’un circuit filiforme

On néglige les variations de J sur la section s du conducteur :

!

I dr l =

r j s d

r l

!

r A (M ) =

µ04"

I(P)

PMdr l

(C)#

!

r B (M ) =

µ04"

I(P)dr l #P

r M

PM3(C)$


En résumé, la magnétostatique se traite à l’aide de : Formulation différentielle en champ

Formulation différentielle en potentiel

Formulation intégrée en champ

!

r " #

r B = µ

0

r J

!

r " .

r B = 0

!

"r A +µ

0

r J =

r 0

!

r B =

r " #

r A

!

r " .

r A = 0( )

!

r B .d

r l

(C)" = µ0 I

!

r B .d

r S

(S)"" = 0


Méthodes de calcul du champ B

Calcul direct :

Calcul indirect à l’aide du potentiel vecteur :

Calcul indirect à l’aide du potentiel scalaire magnétique (voir plus loin) :

Calcul à l’aide du théorème d’Ampère :

!

r B (M ) =

µ04 "

r J (P)#

r P M

PM3

d3P

(D)$$$

!

r A (M ) =

µ04 "

r J (P)

PMd3P

(D)### puisr B =

r $ %

r A

!

r B .d

r l

(C)" = µ0r J .d

r S

(S)""

!

V*=µ04 "

r M .

r r

r3

avec #V*= 0 etr B = $

r % (V*)


Un ordre de grandeur

Champ du fil infini

!

r B =

µ0 I

2 " R

r u #

En prenant I = 10 A et R = 10 cm, on obtient B = 2,0 10-5 T

⇒ Il faut réaliser des bobinages pour augmenter le champ


Changement de référentiel :approximation classique On suppose ρ et J dans (R). On considère (R’) en mru wrt (R) à la vitesse

u. Que valent ρ’ et J’ dans (R’) (traitement galiléen) ?

Invariance de la charge et du volume :

De plus :

La loi de composition galiléenne des vitesses donne :

D’où :

Un traitement exact nécessite la relativité

!

" # $ = $ = ni qii

%

!

r J = "i

r v i

i

# avec "i = ni qi

!

r v i =

r " v i +

r u

!

r " J = " # i

r " v i

i

$ = #i (r v i %

r u )

i

$ =r J % #

r u


Dipôle magnétique : boucle de courant de petite dimension, dont on étudieles effets à grande distance

Importance théorique justifiée car : A grande distance, un circuit localisé se comporte comme un dipôle Pas de monopôle magnétique. Les uniques sources du magnétisme de la

matière sont les électrons atomiques Electrons, protons et neutrons portent un moment magnétique :

description ponctuelle Modélisation champ magnétique terrestre (Gauss)

Quelques ordres de grandeur : Moment magnétique terrestre 8.0 1022 J/T (ou Am2) Petit barreau aimanté 5 J/T Electron 9.3 10-24 J/T Proton 1.4 10-26 J/T

Description utilisée sur près de 50 ordres de grandeur !


Champ et potentiel du dipôle (1/3)

A grande distance :

Dans le plan défini par m et OM, l’équation des lignes de champ s’obtientpar :

!

r A "

µ04 #

r m $

r u r

r2

%

& '

(

) *

!

r B =

r " #

r A $

r B =

µ04 %

3 (r m .

r u r )

r u r &

r m

r3

=µ0 m cos(')

2 % r3

r u r +

µ0 m sin(')

4 % r3

r u '

!

r m Moment dipolaire

magnétique de laspire

!

dr

µ0 m cos(")

2 # r3

=r d"

µ0 m sin(")

4 # r3

$dr

r=2 cos(")

sin(")d" $

r = C sin2(")

C > 0

% & '

!

r E (M ) "

1

4 # $0

3 (r p .

r u r )

r u r %

r p

r3

L’expression du champ à grande distance estanalogue à celle du champ E d’un dipôleélectrique en remplaçant 1/ε0 par µ0 et p parm :

La topographie des lignes de champ doit être identique à celle dudipôle électrostatique



Doublet de charges -q et +qdistantes de a d’axe (Oz) : Tout plan contenant (Oz) est

un plan de symétrie : E estcontenu dans ce plan

Spire circulaire de rayon a, d’axe(Oz) :

Tout plan contenant (Oz) estun plan d’antisymétrie : B estcontenu dans ce plan

!

r p = q a

r u z

!

r m = I " a

2 r u z = m

r u z

Lignes du champ E ou du champB à grande distance

≈ 100 a

Hprépa EM



Attention à ne pas pousser trop loin la comparaison : Le champ E diverge à partir des charges Le champ B tourbillonne autour des courants

Electrostatique

!

r " #

r E =

r 0

r " .

r E =

$

%0

Magnétostatique

!

r " #

r B = µ0

r J

r " .

r B = 0

≈ 10 a ≈ 10 a


Comparaison dipôles électriques etmagnétiques

Précis de physique - Queyel


Différence fondamentale entre undoublet de charges et une spire decourant (1/2) L’analogie entre les comportements des dipôles électrique et

magnétique est si forte qu’historiquement, on a cherché à mettre enévidence de causes similaires pour interpréter les champs Un dipôle électrique est caractérisé par son moment Une distribution de courant se comportant comme un dipôle

magnétique doit-elle son existence à un doublet de chargesmagnétiques ?

!

r p = q

r d

L’expérience a montré que NON. Il faut utiliser les boucles de courantpour retrouver les propriétés des dipôles magnétiques


Différence fondamentale entre undoublet de charges et une spire decourant (2/2) Différences profondes entre un champ E (dont les lignes de champ

partent de la charge + pour aller vers la charge -) et un champ B (dontles lignes de champ se referment sur elles-mêmes)

Visible dans l’étude des milieux : La polarisation se traduit par l’existence (à l’échelle macroscopique)

d’un moment dipolaire électrique volumique Correctement interprétée par le modèle du doublet de charges à

l’échelle microscopique L’aimantation se traduit par l’existence (à l’échelle macroscopique)

d’un moment dipolaire magnétique volumique Correctement interprétée par le modèle de la spire de courant à

l’échelle microscopique


Potentiel scalaire magnétique

Loin des courants, on aura :

V* est le potentiel scalaire magnétique Permet de pousser plus loin l’analogie avec l’électrostatique Pratique dans certains cas

NB : B dérive d’un potentiel donc son rotationnel est nul : on vérifienéanmoins le théorème d’Ampère !

!

r " #

r B = 0 $

r B = %

r " (V*) avec V*=

µ04 &

r m .

r r

r3


Effet mécanique subit par une bouclede courant On considère un circuit assimilable à une boucle de courant de moment

M, plongé dans un champ B

Si B est uniforme sur le circuit, l’action mécanique se ramène à uncouple de moment

qui tend à orienter le moment suivant les lignes du champ B

Si on tient compte de l’inhomogénéité du champ B, un calcul (délicat)montre que cette fois la résultante des forces n’est pas nulle et vaut

Analogie complète avec le dipôle électrostatique

!

r " =

r M #

r B

!

r F =

r M .

r " ( )

r B


Champ magnétique terrestre

Le pôle Nord géomagnétique estéquivalent, sur le plan du magnétisme, aupôle Sud d’un aimant

Gauss a montré que le champ magnétiqueterrestre pouvait être modélisé par undipôle placé au centre de la Terre, etincliné par rapport à l’axe géographique

A la surface de la Terre (RT grand) onutilise le champ du dipôle

On déduit le moment dipolairemagnétique MT de la Terre de lamesure du champ magnétique terrestre

!

B(RT ,") =µ04 #

MT

RT3

1+ 3 cos2($)

sin6($)

L’axe magnétique se déplace : la directionindiquée par une boussole s’est déplacéede 35° à Londres entre 1580 et 1820 !Actuellement, le pôle Sud magnétique setrouve vers les îles Reine-Elisabeth et serapproche du pôle Nord à 40 km/an


Pourquoi le fer au centre de la Terreest-il aimanté ? Le fer ne peut être aimanté de manière permanente qu’en dessous de T

= 540°C alors qu’au centre de la terre, on a plutôt T = 6700°C

La théorie dynamo suppose : que le fer est liquide, sauf au centre où il se solidifie sous l’effet de

la pression que des courants de convection circulent dans le fer liquide comme

dans les spires d’une dynamo et explique les variations (séculaires) du champ terrestre par le fait

que le noyau solide tourne moins vite que la partie liquide quil’entoure


Bouteilles magnétiques

Si la vitesse d’une particule chargée comporte une composante parallèleà la direction du champ magnétique, la particule est entraînée selon unetrajectoire hélicoïdale suivant la direction du champ

Si le champ B est plus fort sur les bords, on peut créer un piègemagnétique (bouteille magnétique) qui réfléchit les particules chargéesvers les zones de champ faible. Les seules particules qui peuvents’échapper sont celles qui ont une vitesse transverse nulle

Hallyday


Applications : Aurores boréales (1/2)

Des particules chargées (e-, p, ions) issues deséruptions solaires interagissent avec lesmolécules neutres de la haute atmosphère Ionisation et/ou excitation, puis retour à

l’état fondamental par émission d’unrayonnement dont la longueur d’onde estcaractéristique du l’atome (vert pour O2,rose pour N2)

Image numérisée deDynamic Explorer

(1981) de la lumièreUV émise par les

atomes d’O2

Portion de la Terreéclairée par le Soleil


Applications : Aurores boréales (2/2)

Pour l’essentiel, le champ B terrestrejoue le rôle d’un bouclier, mais unepetite fraction des particules estcanalisée par les lignes du champdipolaire terrestre (bouteillemagnétique)

Aurore photographiée par lelaboratoire de planétologie de

Grenoble

L’émission aurorale se produira lorsqueces particules rentrent en collision avecles atomes/molécules de l’atmosphèrevers 100-300 km Périmètre ovale centré sur les pôles

magnétiques Aurores boréales

Hallyday


Distribution quadrupolaire

Bobines de Helmholtz en inversant lesens du courant dans une des deuxspires de rayon a parcourue par I : Le moment magnétique total est nul

« Bobines de Holtzhelm »

!

r B 1(z) "

µ0 I

4 #

2 m1

z3

1+3 h

z

$

% &

'

( )

r u z

!

r B 2(z) "

µ0 I

4 #

2 m2

z3

1$3 h

z

%

& '

(

) *

r u z

!

r B (z) =

r B 1(z)+

r B 2(z) "

3µ0 I a2

h

4 # z4

r u z

!

r m 1 +

r m 2 =

r 0

Sur l’axe(z>>h)

Modélisation de Gemina :système de 2 étoiles à neutrons

2h

Gié

sources et références du cours #2 - electrostatique (suite ... · p. puzo (2010-2011) montrouge...

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