sommaire chapitre i- electrostatique · 2019-02-12 · sommaire chapitre i- electrostatique i.1-...

SOMMAIRE

CHAPITRE I- Electrostatique

I.1- INTRODUCTION

I.2- LOI DE COULOMB : INTERACTION ENTRE DEUX CHARGES PONCTUELLES qet q’

I.3- ACTION D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES SUR UNE CHARGEPONCTUELLE

I.3.1- DISTRIBUTION DISCONTINUE DE CHARGES

I.3.2- DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

I.4- CHAMP ELECTROSTATIQUEI.4.1- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE SEULE CHARGE PONCTUELLE

I.4.2- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DISCONTINUE DECHARGES

I.4.3- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DECHARGES

I.4.4- LIGNES DE CHAMP

I.4.4.1- Définition et propriétésI.4.4.2- Lignes de champ crées par une charge ponctuelleI.4.4.3- Lignes de champ crées par deux charges ponctuelles

I.4.5- TUBES DE CHAMP

I.5- POTENTIEL ELECTROSTATIQUEI.5.1- TRAVAIL DE LA FORCE ELECTROSTATIQUE

I.5.2- DIFFERENCE DE POTENTIEL ET POTENTIEL DUS A UNE SEULE CHARGEPONCTUELLE

I.5.2.1- Définition de la différence de potentiel électrostatiqueI.5.2.2- Définition du potentiel électrostatique en un point de l’espace

I.5.3- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DÛ A UNE DISTRIBUTION DISCONTINUE DECHARGES

I.5.4- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DÛ A UNE DISTRIBUTION CONTINUE DECHARGES

I.5.5- RELATION VECTORIELLE LIANT CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES

I.5.6- SURFACES EQUIPOTENTIELLES

I.5.6.1- DéfinitionI.5.6.2- PropriétésI.5.6.3- Cas particuliers de surfaces équipotentielles

a/ Surfaces équipotentielles dues à un champ électrostatique uniformeb/ Surfaces équipotentielles dues à un champ créé par une seule chargec/ Surfaces équipotentielles dues à un champ créé par deux charges

I.6- THEOREME DE GAUSSI.6.1- SURFACE ORIENTEE

I.6.2- ANGLE SOLIDE

I.6.2.1- Rappel angle planI.6.2.2- Angle solide

I.6.3- FLUX DU CHAMP ELECTROSTATIQUE

I.6.3.1- DéfinitionI.6.3.2- Flux du champ créé par une charge ponctuelle

I.6.4- THEOREME DE GAUSS

I.6.4.1- EnoncéI.6.4.2- Démonstration du théorème dans des cas simples

I.6.5- PRINCIPE DE CURIE, SYMETRIE ET ANTISYMETRIE-UTILISATION DU THEOREME DE GAUSS

I.6.5.1- Direction du champ électrostatiqueI.6.5.2- Dépendance du champ électrostatique des coordonnées utiliséesI.6.5.3- Application : plan infini

I.7- ENERGIE ELECTROSTATIQUEI.7.1- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’UNE CHARGE PONCTUELLE UNIQUEPLACEE DANS UN CHAMP POTENTIEL EXTERIEUR V(M)

I.7.2- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’INTERACTION D’UNE DISTRIBUTION DECHARGES PONCTUELLES

I.7.3- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION CONTINUE DECHARGES

I.8- DIPOLE ELECTROSTATIQUEI.8.1- DEFINITION

I.8.2- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DU DIPOLE

I.8.3- CHAMP ELECTROSTATIQUE DU DIPOLE

I.8.4- POSITIONS PRINCIPALES DE GAUSS

I.8.5- ACTION D’UN CHAMP ELECTRIQUE SUR UN DIPOLE

I.8.5.1- Expression du moment du couple de forcesI.8.5.2- Energie potentielle électrostatique du dipôle

ANNEXE : RAPPEL MATHEMATIQUE

CH. I- Electrostatique

Ecole Nationale Polytechnique de Constantine (ENPC)Pr. D. THABET-KHIREDDINE - 2018/2019 1

I- Electrostatique

I.1- INTRODUCTION

*Définition de l’électrostatique :

L’électrostatique est une partie de l’électricité générale qui s’intéresse aux phénomènes créés par des

charges électriques à l’état statique (immobile).

*Définition de la charge électrique :

- La charge électrique est une propriété fondamentale de la matière qui permet d'expliquer certains

phénomènes (électrostatique, électrocinétique, électromagnétisme,…).

- L’expérience montre qu’il n’existe que deux types de charges électriques, arbitrairement appelées

positives et négatives : deux charges de même signe se repoussent et deux charges de signes opposées

s'attirent.

*Principe fondamental : conservation de la charge électrique (Faraday, 1837) :

Lorsqu’un système matériel est isolé, la somme de toutes les charges positives plus la somme de toutes

les charges négatives se conservent (est constante).

*Structure atomique : Principe de non divisibilité infinie de la charge :

La matière n’est pas indéfiniment divisible. En électricité, l’électron est le quantum de charge électrique

négative noté ( e) tandis que le proton est le quantum de charge électrique positive noté ( e) . Par

conséquent, une charge électrique quelconque est quantifiée : Q ne , avec n un nombre entier. Dans

le système International, l’unité de la charge est le Coulomb (C).

*Phénomène d’électrisation :

Il est possible de faire apparaître des charges électriques par frottement à la surface de certains corps :

- Frottement d’un barreau d’ambre (résine produite par les conifères) par un tissu en coton. Des charges

négatives apparaissent à la surface du barreau car des électrons sont arrachés du tissu et transférés sur le

barreau (en grec, ambre se dit « elektron »).

- Frottement d’un barreau en verre par un tissu de soie. Des charges positives apparaissent à la surface

du barreau car des électrons sont arrachés au barreau de verre et transférés sur le tissu.

Dans les deux cas, il y a conservation des charges : la somme des charges sur le barreau et le tissu est nulle.

Remarques :

- La notion « positive/négative » est conventionnelle : les charges apparaissant sur du verre sont dites

positives, celles apparaissant sur l’ambre sont dites négatives.

- Les charges dites positives sont en fait un déficit en électrons du matériau.



*Conducteurs et isolants :

La matière est constituée d’atomes, c’est-à-dire de charges positives (les noyaux) entourées de charges

négatives (les électrons). Les électrons périphériques assurent les liaisons chimiques et donc la cohésion

des solides.

- Dans les conducteurs, ces électrons, appelés « électrons libres », peuvent se déplacer à l’intérieur du

matériau et peuvent donc conduire l’électricité.

- Par contre, dans les isolants, ces électrons se déplacent dans une petite région de l’espace autour des

noyaux et sont liés aux atomes de sorte que les isolants ne conduisent pas le courant électrique.

- Il faut citer aussi les semi-conducteurs, intermédiaires entre les conducteurs et les isolants.

*Exemple d’électrisation :

- Une sphère métallique, initialement neutre, est fixée sur un manchon isolant reposant sur le sol. En

approchant un barreau de verre préalablement chargé positivement, on observe des charges négatives

sur la surface de la sphère face au barreau et autant de charges positives sur la face opposée

(conservation des charges) (Figure 1). (Pour s’en convaincre, il suffit d’approcher un pendule témoin

chargé positivement ou négativement).

- Relions la sphère à la Terre par un fil conducteur du côté des charges positives, tout en maintenant le

barreau dans sa position. Les électrons de la Terre vont monter et neutraliser les charges positives

(Figure 2). Cette face n’est donc plus chargée.

-Supprimons le fil (le barreau étant toujours à sa place) : on observe que les charges négatives sont

retenues par les charges positives du barreau sur la surface de la sphère qui lui fait face (Figure 3).

- Si on éloigne le barreau, la sphère étant un conducteur, alors les charges vont se répartir uniformément

sur toute la surface de la sphère (Figure 4).



I.2- LOI DE COULOMB : INTERACTION ENTRE DEUX CHARGES PONCTUELLES q et q’

a/ Enoncé : « Deux charges ponctuelles interagissent l’une sur l’autre par des forces opposées, dont

les modules sont égaux, proportionnels aux produits des charges en valeurs absolues et inversement

proportionnels au carré de la distance séparant les deux charges, la droite d’action de ces forces

passant par les charges ponctuelles ».

2

qq'F = F' = k

r

9 2 21k 9.10 Nm C

4 o

: Constante caractérisant le milieu, ici le vide.

12 1 2 2o 8,85374.10 N m C est la permittivité du vide. (Autre unité : Farad/m).

b/ Représentation :

Lorsque qq ' 0 , les charges se repoussent et elles s’attirent lorsque qq ' 0 .

Vectoriellement, on a :

A B AB 32

qq' ABF = k u = kqq'

r AB, avec : AB

ABu

AB

Remarques :

1/ Cette loi n’est valable que pour des distances r très supérieures aux dimensions des charges.

2/ Pour un milieu autre que le vide, au lieu de o , il faut prendre o r où r est appelée la « permittivité

relative du milieu ». La constante k devient :o r

1k

4

.

Pour l’air et l’eau pure, par exemple, la permittivité relative r vaut respectivement 1,00058 et 80.

Application :

*Comparaison entre la force gravitationnelle et la force électrostatique pour le système Proton/Electron.

me = 9,1091.10-31 kg ; qe = -1,6.10-19 C ; mp = 1,6725.10-27 kg ; qp = 1,6.10-19 C

9 19 2 28

e 2 2

9.10 .(1,6.10 ) 2,3.10 NF

r r



11 -31 -27 67

g 2 2

6,67.10 .9,1091.10 .1,6725.10 1,01.10 NF

r r

39eg e

g

F2,3.10 F F

F : la force gravitationnelle est négligeable devant la force électrique.

*Pour le système Electron/Electron : 42e

g

F4,17.10

F .

*Pour le système Proton/Proton : 36e

g

F1, 24.10

F .

I.3- ACTION D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES SUR UNE CHARGE PONCTUELLE-

PRINCIPE DE SUPERPOSITION

I.3.1- DISTRIBUTION DISCONTINUE DE CHARGES PONCTUELLES

Soit une distribution de n charges ponctuelles réparties dans

l’espace : 1 nq ,...,q agissant sur une charge q’. Chaque charge

iq exerce sur q’ une force :

ii i2

o i

q 'q1F u

4 r

, avec i

i

i

ru

r

.

En appliquant le principe de superposition, la résultante de toutes les forces sur la charge q’ est donc :

n n

ii i2

i=1 i=1o i

qq'F = F = u

4πε r

I.3.2- DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

Une charge q est répartie de manière continue dans un

corps. Une charge élémentaire dq considérée comme

ponctuelle autour d’un point P crée une force dF

agissant sur la charge ponctuelle q’ située en M à une

distance r de dq:

2o

1 q '.dq(P)dF u

4 r

, avec

r PMu

r PM

.

La force globale exercée par le corps chargé sur q’ placée en M est donc :2

o

q ' dq(P)F(M) u

4 r

.

Cette distribution continue de charges peut être :



*volumique : dq d ( : densité volumique de charges en 3C/ m ) :

2(v)o

q' dτF(M) = ρ(P) u

4πε r

d est un élément de volume. L’intégration est effectuée sur le volume (v) du corps chargé.

Si ocste (répartition uniforme de charges), alors : o

2(v)o

q ' dF(M) u

4 r

*surfacique : dq dS ( densité surfacique de charges en 2C/ m ) :

2(S)o

q' dSF(M) = σ(P) u

4πε r

L’intégration est effectuée sur la surface (S) du corps chargé.

Si ocste , alors : o

2(S)o

q ' dSF(M) u

4 r

*linéique : dq d ( : densité linéique de charges en C / m ) :

2(L)o

q' dF(M) = λ(P) u

4πε r

L’intégration est effectuée sur la longueur ( L ) du fil chargé.


2(L)o

q ' dF(M) u

4 r

Remarque :

Pour calculer ces intégrales, il faut choisir un repère et y projeter ces relations vectorielles de manière à

procéder au calcul intégral de fonctions scalaires habituelles. Dans ce cas, on obtiendra les composantes

de F

par rapport aux axes du repère considéré.

I.4- CHAMP VECTORIEL ELECTROSTATIQUE

I.4.1- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE SEULE CHARGE PONCTUELLE

Soit une charge « source » oq située en un point

fixe O de l’espace. La présence de cette charge

crée une modification de l’espace environnant.

En effet, en ramenant une seconde charge q

distante de r de oq : celle-ci se trouve soumise à

une force F

donnée par la loi de Coulomb :

o

oq q 2 OM

o

q qF (M) u

4 r

avec

OM

OMu

r

.

Une troisième charge q’ distante de r’ de oq sera aussi soumise à une force donnée par la loi de



Coulomb :o

oq q ' 2 OM '

o

q q 'F (M ') u

4 r '

. Et ainsi de suite…

Si l’on considère la fonction vectorielle : o

2 OMo

qE(M) u

4 r (M)

, alors on peut écrire les relations ci-

dessus comme suit :oq qF (M) qE(M)

etoq q 'F (M ') q 'E(M ')

.

o

2 OMo

qE(M) = u

4πε rest appelé champ vectoriel électrostatique créé par la charge oq au point M de

l’espace. Et la loi de Coulomb devient : F(M) = qE(M) , force appliquée à la charge q situé au point M

où règne un champ électrostatique E(M)

.

Unité du champ électrostatique :

F N

E N / Cq C

(On verra plus loin que l’unité usuelle est plutôt V/m).

I.4.2- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION DISCONTINUE DE CHARGES

Soit une distribution de charges ponctuelles 1 nq ,...,q situées respectivement à des distances 1 nr ,..., r

d’un point M. Recherchons le champ électrique créé par cette distribution en ce point M. Pour ce faire,

plaçons une charge q en M. La force résultante appliquée à q est :

n n n ni i

i i i i2 2i 1 i 1 i 1 i 1o oi i

q qq 1F(M ) F (M ) u q u q E (M ) qE (M )

4 4r r

.

D’où : n

ii2

i=1 o i

q1E = u

4πε r

I.4.3- CHAMP ELECTROSTATIQUE CREE PAR UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

Dans le cas où la distribution de charges est continue, volumique, surfacique ou linéique, le champ

électrostatique créé par cette distribution en un point M de l’espace s’écrit :

*volumique : dq d ( : densité volumique de charges) :

2(v)o

1 ρdτE(M) = u

4πε r

L’intégration est effectuée sur le volume (v) du corps chargé.


2(v)o

dE(M) u

4 r



*surfacique : dq dS ( densité surfacique de charges) :

2(S)o

1 σdSE(M) = u

4πε r



2(S)o

dSE(M) u

4 r

*linéique : dq d ( : densité linéique de charges) :

2(L)o

1 λdlE(M) = u

4πε r

L’intégration est effectuée sur la longueur (L) du fil chargé.


2(L)o

dE(M) u

4 r

I.4.4- LIGNES DE CHAMP

I.4.4.1- Définition et propriétés

Définition :

Dans l’espace où règne un champ électrostatique E

créé par

une distribution de charges, on appelle ligne de champ, une

courbe ( ) pour laquelle le vecteur E(M)

est tangent à ses

points (M).

Propriétés :

*Deux lignes de champ ne peuvent se couper. Autrement dit, en chaque point de cet espace, ne passe

qu’une seule ligne de champ.

*La ligne de champ est une courbe orientée. Son orientation est celle du vecteur E(M)

au point M

I.4.4.2- Lignes de champ crées par une charge ponctuelle



Dans le cas d’une seule charge, positive ou négative, les lignes de champ sont des demi-droites. Celles-

ci divergent si la charge est positive et convergent si la charge est négative.

I.4.4.3- Lignes de champ crées par deux charges ponctuelles

On présente le cas de deux charges (-q) et (+q). Les lignes de champ créées par ces deux charges partent

de la charge positive et convergent vers la charge négative. Une charge oq en un point M de l’espace

sera soumise à une force oF(M) q E(M)

, avec E(M)

tangent à la ligne de champ passant par M.

Les lignes de champ sont symétriques par rapport au plan médiateur du segment séparant les 2 charges

(il faut imaginer cette représentation dans l’espace).

Si les charges ne sont pas égales, les lignes de champ ne sont symétriques que par rapport au plan

passant par les deux charges.

Exemple : deux charges, l’une positive (2q) et l’autre négative (-q) :



I.4.5- TUBES DE CHAMP

Définition : un tube de champ est représenté par la surface

constituée des lignes de champ s’appuyant sur un contour

fermé (C).

Les vecteurs E

sont donc tangents à cette surface et orientés

selon ces lignes de champ.

Si le champ électrostatique est uniforme, les tubes de champ se

présentent sous forme cylindrique.

I.5- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

I.5.1- TRAVAIL DE LA FORCE ELECTROSTATIQUE

Soit une charge q positive placée en un point O d’un repère sphérique r(u , u , u )

. Elle crée en tout

point de l’espace un champ électrostatique à symétrie sphérique radiale: r2o

1 qE u

4 r

, avec

r OM .

Une charge oq positive parcourt une trajectoire ( ) entre les points A et B sous l’effet de la force de

Coulomb : oF q E

.



Le travail de cette force est :

B B B

A B o o r2A A Ao

qW (F) F.dr q E.dr q u .dr

4 r

Le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques s’exprime par :

rdr dr u rd u r sin d u

D’où :B

A B o 2Ao

q drW (F) q

4 r

A B o

o A B

q 1 1W (F) = q -

4πε r r

Le travail de la force électrostatique est indépendant de la trajectoire. Il ne dépend que des

positions de départ et d’arrivée de la charge oq . Cette force est donc une force « conservative ».

I.5.2- DIFFERENCE DE POTENTIEL ET POTENTIEL DUS A UNE SEULE CHARGE PONCTUELLE

I.5.2.1- Définition de la différence de potentiel électrostatique

La force F

étant conservative, on peut définir un champ scalaire, noté V, appelé « potentiel

électrostatique », tel que :

A B o o

o A B

q 1 1W (F) q q V(A) V(B)

4 r r

V(A)-V(B) est la différence de potentiel électrostatique entre les points A et B et est égale à :

A B

o o A B

W q 1 1V(A) - V(B) = = -

q 4πε r r.

I.5.2.2- Définition du potentiel électrostatique en un point de l’espace

Nous avons exprimé le travail de la force électrostatique en fonction de la différence de potentiel de la

position de A et de la position de B dans le repère considéré. Définissons une fonction de point notée

V(M) égale à :

o

qV(M) = V(r) = + C

4πε r, C étant une constante.

Cette fonction dépend donc de la position M et de la charge q : on l’appelle potentiel électrostatique

créé par cette charge q au point M. De la même manière que la présence de la charge q crée en tout

point M de l’espace un champ électrostatique E(M)

qui est un champ vectoriel dépendant de q et de la

position M, on peut également caractérisé l’espace environnant la charge q par un champ scalaire V(M)

qui dépend également de q et de la position M.



r2o

o

qE(M) u

4 r

qV(M) C

4 r

Ce potentiel est défini à une constante près. On peut donc définir une origine des potentiels

électrostatiques, en posant, par exemple, que le potentiel est nul à l’infini.

A partir deo

qV(M) V(r) C

4 r

, si M est à l’infini, c’est-à-dire Mr ,où le potentiel

V( ) 0 , alors on peut déterminer la constante C : 0 0 C C 0 , et donc, le potentiel en M

est :o

qV(M) = V(r) =

4πε r.

Unité : Le potentiel s’exprime en Volt (V), c’est-à-dire en J/C. On déduit également l’unité usuelle du

champ E qui est V/m.

Remarques :

1/ On peut déduire une définition différentielle de V :

B B

Bo oA B A AA B

Ao o o

B

A BA

q Edr q EdrW (F)V V Edr

q q q

V V dV

dV = -E.dr

2/B

AE.dr

est ce qu’on appelle la circulation du champ E

le long de la trajectoire ( ) de A à B :

BA

BB

A A= E.dr = - VC .

La circulation de E

ne dépend pas de la trajectoire mais des position finale et initiale de la charge oq .

On dit que le champ E

est à circulation conservative et l’on a sur un contour ( ) fermé :

(Γ) ( )E.dr 0

C .



I.5.3- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DÛ A UNE DISTRIBUTION DISCONTINUE DE CHARGES

Considérons une distribution de n charges ponctuelles 1 nq ,...,q . Chacune des charges iq crée un

potentiel iV (M) en un point M. Par application du principe de superposition, le potentiel V(M) dû à

l’ensemble des charges est :

n n

ii

i=1 i=1o i

q1V(M) = V (M) = + C

4πε r

I.5.4- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DÛ A UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

Pour une distribution de charges continue, volumique, surfacique ou linéique, le potentiel électrostatique

en un point M de l’espace s’écrit :

*volumique : dq d ( : densité volumique de charges) : (v)o

1 ρdτV(M) = + C

4πε r

L’intégration est effectuée sur le volume (v) du corps chargé.


(v)o

dV(M) C

4 r

*surfacique : dq dS ( densité surfacique de charges) : (S)o

1 σdSV(M) = + C

4πε r



(S)o

dSV(M) C

4 r

*linéique : dq d ( : densité linéique de charges) : (L)o

1 λdlV(M) = + C

4πε r

L’intégration est effectuée sur la longueur (L) du corps chargé.


(L)o

dV(M) C

4 r

Si l’on peut supposer que le potentiel est nul à l’infini V = 0 , alors C = 0.

I.5.5- RELATION VECTORIELLE LIANT CHAMP ET POTENTIEL ELECTROSTATIQUES

Soit dans un repère cartésien (Oxyz), un point M de coordonnées (x,y,z). On suppose une distribution de

charges localisées dans l’espace dont résultent un champ électrostatique E(x, y, z)

et un potentiel

électrostatique V(x, y, z) en ce point.

D’après la définition différentielle du potentiel, on a :



dV E.d .

Avec x y zE E i E j E k

et d dxi dyj dzk

, on déduit : x y zdV (E dx E dy E dz)

La différentielle totale de V s’écrit en coordonnées cartésiennes :

V V VdV dx dy dz

x y z

Par conséquent, les composantes de E

sont : x y z

V V VE , E , E

x y z

Soit encore :V V V

E i j k V GradVx y z

E = -GradV : On dit que le champ électrostatique E

dérive d’un potentiel électrostatique V.

Remarque :

La circulation de E

sur un contour ( ) fermé donne :

(Γ) ( ) ( ) ( )GradV.dr E.dr dV 0

C : Le champ est à circulation conservative (voir §I.5.2).

I.5.6- SURFACES EQUIPOTENTIELLES

I.5.6.1- Définition

Soit une distribution de charges localisées dans l’espace, créant en un point M(x,y,z) un potentiel

V(x,y,z). L’ensemble des points pour lesquels le potentiel est constant constitue une « surface

équipotentielle » qui est caractérisée par l’équation V(x, y, z) = Cste .

Cette équation représente l’ensemble des surfaces qui ont des potentiels constants. Aussi, il ne peut y

avoir intersection de deux surfaces équipotentielles.

I.5.6.2- Propriétés

a/ La circulation du champ électrique est nulle sur une surface équipotentielle (S).

La circulation du champ électrostatique E

le long d’une

courbe entre deux points A et B appartenant à une surface

équipotentielle (S), s’écrit :

BB

A A= E.drC , dr

étant le déplacement élémentaire.

Le potentiel électrostatique est tel que : E.dr dV

,

d’où :B BB

A A AE.dr dV V(A) V(B) 0

C



car A et B appartenant à une surface équipotentielle (S), V(A) V(B) .

Donc, la circulation du champ E

est nulle sur une surface équipotentielle : BA = 0C .

b/ Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles

Nous venons de montrer queBB

A AE.d 0 C . On en déduit

que E.d 0 , c’est-à-dire que E

est perpendiculaire au

vecteur déplacement élémentaire d (ou dr)

en M et M’ pris

sur la surface équipotentielle. E

étant tangent aux lignes de

champ aux points de contact avec la surface, on conclut que ces

lignes traversent perpendiculairement la surface équipotentielle.

c/ Le champ électrostatique est orienté selon les

potentiels décroissants

Soit une distribution de charges localisées dans l’espace,

créant en tout point un champ E

et un potentiel V.

Considérons deux surfaces équipotentielles (S) et (S’)

ayant respectivement des potentiels V et V+dV avec dV>0

(potentiels croissants de V à V+dV).

Considérons la ligne de champ ( ) qui traverse perpendiculairement ces deux surfaces respectivement

en M et M’ avec MM ' d

.

Question : quelle est le sens d’orientation de la ligne de champ ?

L’orientation de la ligne de champ est donnée par le sens de E

qui lui est tangent. Puisque dV E.d

et que dV 0 , alors les vecteurs E

et d sont opposés et donc la ligne de champ ( ) est orientée de

M’ vers M.

Conclusion : Le champ électrostatique est orienté vers les potentiels décroissants.

d/ Intensité du champ électrostatique

Traçons sur la figure ci-dessus une seconde ligne de champ ( ') . Les surfaces (S) et (S’) étant

équipotentielles :



On a : dV E(M).d E(P).d ' .

d et d '

étant des quantités infinitésimales et E(M)

et

E(P)

étant respectivement tangents à ( ) et ( ') , alors :

dV E(M).d E(M)d et

dV E(P).d ' E(P)d ' .

D’où la relation :

E(M)d E(P)d ' E(P) d

E(M) d '

Comme, sur la figure,d

1d '

, alors :

E(P)1

E(M) et donc E(P) > E(M) .

On en conclut que l’intensité du champ électrique en un point de la surface équipotentielle est

d’autant plus grande que la distance entre deux surfaces équipotentielles contigües est petite.

I.5.6.3- Cas particuliers de surfaces équipotentielles

a/ Surfaces équipotentielles dues à un champ électrostatique uniforme.

Le champ électrostatique étant uniforme, en chaque point de l’espace,

les vecteurs E

sont équipollents et donc :

*Les lignes de champ sont des droites parallèles orientées dans le

sens du champE .

*Les surfaces équipotentielles sont des plans perpendiculaires aux

lignes de champ.

b/ Surfaces équipotentielles dues à un champ créé par une seule charge ponctuelle.



Le potentiel, créé par la charge ponctuelle q en un point M d’une surface équipotentielle, à la distance r

de q, est :

o

1 qV(M) = = cste r = cste

4πε r.

C’est le même pour tous les points appartenant à la surface d’une sphère de rayon r. Aussi :

* les surfaces équipotentielles sont des sphères centrées sur la charge q.

* Les lignes de champ sont des demi-droites perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

* Selon que la charge q est positive ou négative, les lignes de champ seront divergentes ou

convergentes.

c/ Surfaces équipotentielles dues à un champ créé par deux charges égales mais de signes opposés

On considère deux charges 1q q 0 et 2q q 0 . Nous avons déjà représenté les lignes de

champ. Les surfaces équipotentielles de valeurs oV , 1V , 2V ,… coupent chaque ligne

perpendiculairement comme représenté ci-dessus.

En un point M d’une surface équipotentielle, on a : ste

o 1 2

q 1 1V(M) C

4 r r

.

L’équation générale de l’ensemble de ces surfaces est : ste

1 2

1 1- = C

r r

Le champ étant orienté selon les potentiels décroissants, on en déduit que : o 1 2 3V V V V ...

La surface équipotentielle confondue avec le plan médiateur ( 1 2r r ) des deux charges a un potentiel

nul : oV 0 .



I.6- THEOREME DE GAUSS

I.6.1- SURFACE ORIENTEE

Soit une surface (S) quelconque et un point M de cette surface dans un repère donné. Dans le cas

général, cette surface présente une courbure : par convention, la face convexe est la face positive, la face

concave est la face négative.

Considérons un élément de surface élémentaire dS

autour de M. Définissons un vecteur unitaire n

perpendiculaire au plan tangent à la surface en M sortant

du côté de la face convexe. On appelle vecteur surface

élémentaire le vecteur dS dSn

.

Remarque :

Dans le cas d’une surface plane, une fois avoir choisi le vecteur n

perpendiculaire à la surface, la face

côté n

est dite positive (ou face Nord) et l’autre face est dite face négative (ou face Sud). On y

reviendra dans le chapitre sur l’électromagnétisme.

I.6.2- ANGLE SOLIDE

I.6.2.1- Rappel angle plan

L’angle plan est la portion de plan comprise entre deux demi-droites Oa et Ob issues d’un point O.

En dessinant un cercle de centre O et de rayon r quelconque, la valeur de , exprimée en radians, est le

rapport de la longueur de l’arc de cercle AB (compris entre les deux demi-droites) et le rayon r :

1 1 2 2θ = /r = /r = cste .

A la question « sous quel angle voit-on à partir du point

O, les courbes quelconques CD et EF comprises entre

les deux demi-droites Oa et Ob ? », la réponse est

évidemment . Pour calculer cet angle, il suffit donc de

tracer un cercle de centre O et de rayon r quelconque et

de faire le rapport / r .



I.6.2.2- Angle solide

a) Définition générale de l’angle solide

De la même manière, nous allons définir l’angle

solide qui est un « angle » dans l’espace. Au lieu

d’un cercle de centre O et de rayon r, considérons

une sphère de centre O et de rayon r quelconque.

On définit l’angle solide sous lequel on voit une

surface (S) à partir d’un point O, comme étant la

portion d’espace contenue dans un cône de sommet

O, interceptant cette surface. Comme le montre la

figure, les surfaces (S1), (S2) et (S3) sont vues de O

sous le même angle solide Ω. (S1) et (S2) sont deux

calottes sphériques prises sur les sphères de rayons respectifs 1r et 2r .

b) Calcul de l’angle solide interceptant les calottes sphériques (S1) et (S2)

Considérons dans un repère sphérique deux sphères

concentriques centrées en O, de rayons respectives 1r et 2r .

Calculons les surfaces des calottes sphériques ( 1S ) et ( 2S )

interceptées par le même cône d’angle au sommet 2 o.

L’élément de surface sphérique est : 2dS r sin d d . D’où

les expressions de 1S et 2S :

o 22 21 1 1 o0 0

S r sin d d 2 r (1 cos )

2

1 1 o ste1 2o2 22

1 22 2 o

S 2 r (1 cos ) S S2 (1 cos ) C

r rS 2 r (1 cos )

On défini l’angle solide comme le rapport de la surface interceptée par le cône et du carré du rayon

de la sphère :

1 2o2 2

1 2

S SΩ = = = 2π(1- cosθ )

r r

1S et 2S étant les surfaces « vues » à partir du point O.

-pour2

, 2 : du point O, on observe la surface de la demi-sphère (ou le demi-espace).



-pour , 4 : du point O, on observe la surface de la sphère en entier (ou tout l’espace).

c) Calcul de l’angle solide interceptant une surface quelconque (S)

Pour calculer l’angle solide sous lequel on

voit une surface quelconque (S) à partir d’un

point O, recherchons la relation qui lie

l’élément de surface dS pris sur la surface (S)

et l’élément de surface dSo pris sur la sphère,

vue tous deux du point O sous le même angle

solide dΩ. Notons n

et ru

les vecteurs

unitaires perpendiculaires respectivement à

(S) et (So). Notons α l’angle entre ces

vecteurs et projetons orthogonalement dS sur

dSo. La projection de dS sur la sphère est :

o rdS dSn.u dScos

.

L’angle solide élémentaire est défini à partir de la sphère par o

2

dSd

r , on a donc :

o r

2 2 2

dS dSn.udScosαdΩ = = =

r r r.

Remarque :

1/ d peut être positif ou négatif selon le signe de rn.u

(ou de cosα). dΩ est positif dans ce cas de la

figure car rn.u 0

, c’est-à-dire lorsque l’on observe la face négative de (S) à partir du point O.

2/ L’angle solide est exprimé en « stéradian » (sd).



I.6.3- FLUX DU CHAMP ELECTROSTATIQUE

I.6.3.1- Définition

Par définition, le flux S , à travers une surface (S) , du champ électrostatique E(M)

créé en un point M

de (S) par une distribution de charges quelconque, est :

S (S)= E(M).dS(M)

Si la surface est fermée, le flux s’écrit :

S (S)= E(M).dS(M)

Unité : Le flux s’exprime en V.m.

I.6.3.2- Flux du champ créé par une charge ponctuelle

Calcul du flux, à travers une surface (S) quelconque, du champ E(M)

créé par une charge ponctuelle

placée en un point O.

r2o

1 qE(M) u

4 r

r2o

qd E.dS dSn.u

4 r

2o o

q dScos qd d

4 r 4

S 2(S) ( )o o

q dScos qd

4 r 4

S

o

q= Ω

4πε

est l’angle solide sous lequel on voit toute la surface (S) à partir du point O.

A noter que Ω est positif mais que q pouvant être positif ou négatif, il en est de même du flux.

I.6.4- THEOREME DE GAUSS

I.6.4.1- Enoncé

Le flux du champ électrostatique, créé par une distribution de charges, à travers une surface

quelconque (S) fermée, est égal à la somme algébrique des charges présentes à l’intérieur de (S)

divisée par o :

S int(S) (S)o

1= E(M).dS(M) = E(M).ndS(M) = q

ε



E(M)

est le champ électrostatique aux points M de la surface (S), créé par toute la distribution de charges .

dS(M) est un élément de surface pris autour de M.

Remarques :

1/Si des charges qi se trouvent sur la surface fermée, le théorème de Gauss devient : S surf.

o

1= q

2ε

2/ Le flux à travers une surface donnée est proportionnel au

nombre de lignes de champ qui la traversent et alors le flux à

travers des surfaces fermées « concentriques » quelconques est le

même, car elles ont le même nombre de lignes de champ qui les

traversent. Par exemple, considérons une charge q à l’intérieur

d’une surface quelconque (S). On voit bien que les lignes de

champ qui traversent (S) traversent également la sphère o(S ) . Le

flux créé par la charge q est donc le même à travers (S) et o(S ) :

oS S

I.6.4.2- Démonstration du théorème dans des cas simples

Appliquons ce théorème aux cas suivants :

1/ Une charge ponctuelle q placée en O à l’intérieur d’une surface fermée (S) quelconque :

Nous avons montré que le flux à travers (S) est :

(S)

o

q

4

.

Pour trouver Ω, imaginons une sphère centrée en O.

La sphère G(S ) et la surface (S) ont le même angle

solide : du point O, on voit toute la sphère, donc

4 . Et on trouve bien, comme le stipule le théorème,GS S

o

q

.

Par le calcul direct :

S 2o o

q dScos qd E.dS EdScos d

4 r 4

4

S0

o o o

q q qd 4

4 4



2/ Une charge ponctuelle q placée en O sur une surface fermée (S) quelconque :

Imaginons un plan tangent à la surface (S) en O : de ce point, nous pouvons voir toute la surface (S) qui

est contenue dans un demi-espace (c’est-à-dire une demi-sphère de centre O). L’angle solide est donc

égal à 2. D’où, comme le montre le théorème de Gauss :

o o o

q q q2

4 4 2

3/ Une charge ponctuelle q placée en O à l’extérieur d’une surface fermée (S) quelconque :

Considérons deux éléments de surface 1dS et

2dS . A partir du point O, on voit la face

négative de dS2 et la face positive dS1 : donc,

2d 0 et 1d 0 .

Les éléments de surfaces 1dS et 2dS sont vues

sous le même angle solide élémentaire, donc :

1 2d d d

1 1 1 1

o o

q qd E .dS d d

4 4

1 1 1 1 1E .dS E .dS cos ,

1 1 1 1(E ,n ) / 2 cos 0



2 2 2 2

o o

q qd E .dS d d

4 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2E .dS E .dS cos , (E ,n ) / 2 cos 0

1 2 1 2d d d d d 0 : c’est-à-dire que le flux entrant est égal au flux sortant.

Le flux total est donc nul : 0 . En effet, d’après le théorème de Gauss, les charges à l’extérieur de la

surface (S) ne sont pas prises en compte pour le calcul du flux.

I.6.5- PRINCIPE DE CURIE, SYMETRIE ET ANTISYMETRIE- UTILISATION DU THEOREME DE GAUSS

L’utilité du théorème de Gauss réside dans la possibilité de déduire l’expression du champ

électrostatique E

à partir du calcul du flux . Ceci est valable si la distribution de charges présente une

symétrie spatiale (géométrique) et matérielle (densité de charges) tel qu’il est possible de choisir une

surface fermée (S) appelée dans ce cas surface de Gauss (SG) à travers laquelle on calcule le flux de E

d’une manière très simplifiée :

E

est constant sur cette surface (ou sur une partie de cette surface),

E

est parallèle ou perpendiculaire à cette surface (ou à une partie de cette surface).

La conséquence est que l’on peut faire sortir E de l’intégrale dans l’expression du flux. Il ne subsiste

qu’une intégrale sur la surface de Gauss.

I.6.5.1- Direction du champ électrostatique

La nécessité de déterminer la direction du champ électrostatique E

avant le choix de la surface de Gauss

fait souvent appel au Principe de Curie dont l’énoncé est le suivant :

« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie contenus dans les

causes doivent se retrouver dans les effets produits ».

Cela signifie que les éléments de symétrie contenus dans la distribution de charges (les CAUSES)

doivent se retrouver dans les propriétés du champ électrique (grandeur vectorielle et norme) produit par

cette distribution (les EFFETS).

Définitions :

*plan de symétrie : Une distribution de charges ρ possède un plan de symétrie Π si, pour tout point P

de cette distribution, son symétrique P’ par rapport à Π porte la même charge que P : ρ(P’)= ρ(P).

*plan d’antisymétrie : Une distribution de charges ρ possède un plan d’antisymétrie Π si, pour tout

point P de cette distribution, son symétrique P’ par rapport à Π porte la une charge opposée à celle de P :

ρ(P’)= -ρ(P).



*vecteurs symétriques par rapport à un plan : Deux vecteurs V

et V'

symétriques par rapport à un

plan Π sont tels que : V' sym(V) /

.

*vecteurs antisymétriques par rapport à un plan : Deux vecteurs V

et V'

antisymétriques par

rapport à un plan Π sont tels que : V' sym(V) /

.

1/ Cas des charges ponctuelles :

Considérons 2 charges ponctuelles A et B et Π un plan médian :

* Les deux charges ont le même signe :

- Le plan Π est un plan de symétrie pour les charges.

- Les champs dus à ces charges sont symétriques par rapport à Π.

- Le champ E(M)

résultant des deux charges est contenu dans le plan Π.

* Les deux charges ont leurs signes opposés et sont égales en valeur absolue :

- Le plan Π est un plan d’antisymétrie pour les charges .

- Les champs dus à ces charges sont antisymétriques par rapport à Π.

- Le champ E(M)

résultant des deux charges est orthogonal au le plan Π.

On déduit que :

* Pour une distribution de charges symétrique, la détermination de deux plans de symétrie pour les

charges, passant par un point M n’appartenant pas au domaine de la distribution, donne la direction de

E(M)

: c’est l’intersection de ces deux plans.

* Pour une distribution de charges antisymétrique, la détermination d’un plan d’antisymétrie pour les

charges, passant par un point M n’appartenant pas au domaine de la distribution, donne la direction de

E(M)

: c’est la droite orthogonale à ce plan.



2/ Cas des distributions continues de charges :

a/ Distributions de charges symétriques :

-Cylindre infini de densité de charges volumique (ou

surfacique) homogène :

Coordonnées cylindriques (r,θ,z).

Deux plans de symétrie de charges :

1 : perpendiculaire au cylindre, plan r(M,u ,u )

2 : passant par l’axe de révolution, plan r(M,u ,k)

L’intersection de ces deux plans donne la direction de E(M)

.

Donc E(M)

est radial : rE(M) E(M)u

Remarque : pour le fil infini, mêmes résultats (voir TD).

- Sphère de densité de charges volumique (ou surfacique)

homogène :

Coordonnées sphériques (r,θ,φ).

Deux plans de symétrie de charges :

1 : passant par un diamètre et contenant M, c’est le

plan r(M,u ,u )

.

2 : passant par un diamètre et contenant M, c’est le

plan r(M,u ,u )

.

L’intersection de ces deux plans donne la direction de E(M)

.

Donc E(M)

est radial : rE(M) E(M)u

b/ Distribution de charges antisymétrique :

Plan infini de densité de charges antisymétrique,

homogène sur les deux demi-plans (+σ, -σ).

Coordonnées cartésiennes (x,y,z).

Un plan d’antisymétrie de charges passant par M :

Plan ( i ,k)

divisant le plan chargé en deux.

Le champ E(M)

est orthogonal au plan :

M , E(M)



I.6.5.2- Dépendance du champ électrostatique des coordonnées utilisées :

Parmi les autres règles de symétrie, on a :

1/ Invariance par translation : Si une distribution de charges est invariante par translation le long de

l’axe Oz, alors le champ produit par cette distribution ne dépend pas de z.

2/ Invariance par rotation ou symétrie axiale ou symétrie de révolution : Si une distribution de

charges est invariante par rotation autour de l’axe Oz, alors le champ produit par cette distribution ne

dépend pas de θ (en coordonnées cylindriques (r,θ,z)) : E(M) E(r, ,z) E(r,z)

.

3/ Symétrie cylindrique : Si une distribution de charges est invariante par translation le long de l’axe

Oz et par rotation autour de l’axe Oz, alors le champ produit par cette distribution ne dépend que de r

(en coordonnées cylindriques (r,θ,z)) : E(M) E(r, ,z) E(r)

.

4/ Symétrie sphérique ou invariance de rotation autour d’un point : Si une distribution de charges

est invariante dans toute rotation autour d’un point O, alors le champ produit par cette distribution ne

dépend que de la distance r au centre de la sphère (en coordonnées sphériques (r,θ,φ)) :

E(M) E(r, , ) E(r)

.

I.6.5.3- Application : plan infini

Calcul du champ électrostatique créé par un plan (P) infini de densité de charges surfacique constante σ

positive par application du théorème de Gauss.

a/ Direction du champ E(M)

:

Pour obtenir la direction du champ électrostatique créée par cette distribution de charges, il suffit de

trouver deux plans de symétrie matérielle contenant le point M où l’on veut calculer le champ. On

travaille dans le repère cartésien (O, i , j,k)

:

Un premier plan, noté 1( i ,k)

, contenant M et perpendiculaire à la surface chargée : ce plan

constitue un plan de symétrie pour la distribution de charges qui est infinie.

Un second plan 2 ( j,k)

, contenant M et perpendiculaire à la surface chargée : ce plan constitue

un plan de symétrie pour la distribution de charges.

L’intersection des deux plans donne la direction du champ en M, soit Oz, perpendiculaire au

plan chargé : E(M) E(M)k

.

Par ailleurs, la distribution est invariante par rotation autour de Oz, donc E

ne dépend pas de x ni

de y.



Finalement, on a : E(M) E(x, y,z) E(z)k

. Les lignes de champ sont des demi-droites partant du

plan chargé et divergeant vers l’extérieur.

On a montré, simplement grâce à des considérations de symétrie, que le champ électrostatique, en tout

point M de l’espace, est perpendiculaire à la surface chargée (par contre, on ne sait pas si ce champ est

constant ou s’il dépend de la distance z au plan chargé).

Remarque : Deux points M et M’, symétriques par rapport au plan chargé (P), ont des champs égaux en

module mais opposés en sens.

b/ Choix de la surface de Gauss :

Ces considérations nous permettent de choisir judicieusement la surface de Gauss pour déterminer le

champ E

au point M. Soit un cylindre perpendiculaire à (P) de hauteur 2h et de section S. A noter que

tous les points M distants de h de (P) ont le même champ en module. La surface de Gauss, qui doit être

une surface fermée, est constituée de la surface latérale (S3) et des deux surfaces de base circulaires (S1)

et (S2). Puisque E

est perpendiculaire à (P) quel que soit le point M, on en déduit que ce champ E

est

perpendiculaire à (S1) et (S2) et tangent à la surface (S3).

Considérons deux points M et M’ symétriques par rapport au plan chargé (P).

La surface de Gauss est le cylindre : G(S ) (S) (S') (S") . Les points M et M' doivent appartenir à

cette surface. Considérons également un point M" appartenant à la surface latérale du cylindre.



c/ Calcul du flux de E

:

On a, d’après le théorème :G

G

intS

So

QE(M).dS

*Le flux à travers la surface de Gauss G(S ) est :

GS S S' S" (S) (S') (S")E(M).dS E(M ').dS' E(M").dS"

GS (S) (S')E(M).dS E(M ').dS'

car E(M").dS" 0

E(M ') E(M)

et dS' dS

GS (S) (S)2 E(M).dS 2 E(M)dS

car E(M) // dS

et dans le même sens.

*Mais comme E(M) est constant sur (S) , on peut le faire sortir de l’intégrale :

GS P(S) (S)2 E(M)dS 2E(M) dS 2E(M)S 2E(M)S

*D’après le théorème de Gauss, le flux à travers la surface G(S ) est égal à la charge intérieure de cette

surface fermée (ici, le cylindre de section (S) et de hauteur 2h) divisée par o . Cette charge n’est autre

que celle portée par la section SP, intersection du cylindre et du plan chargé, soit Pq S . En identifiant

les deux expressions deGS , on obtient :

G

PS P

o o

S2ES E(M) (S S S')

2

.

*Ce champ est indépendant de z : il est constant dans tout le demi-espace correspondant à z>0.

*En prenant k

le vecteur unitaire perpendiculaire à (P), on déduit que le champ électrostatique en tout



point M de l’espace s’écrit vectoriellement comme suit :

o

σE(M) = k

2ε.

4/ Calcul du potentiel V(M) créé par le plan infini chargé :

Pour le potentiel en M (z>0), on a :

o

dV E(M)dz dz2

o

σV(M) = - z + C

2ε

En un point M’ en-dessous de la surface chargée, on a :

o o

E(M ') ( k) k2 2

Le potentiel en M’ (z<0) s’écrit :

o o

dV E(M ')dz dz V(M') z C2 2

D’où, en regroupant les 2 résultats (z>0 ou z<0):

o

σV(M) = - z + C, M

2ε

I.7- ENERGIE ELECTROSTATIQUE

I.7.1- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’UNE CHARGE PONCTUELLE UNIQUE PLACEE DANS UN

CHAMP POTENTIEL EXTERIEUR V(M)

Définition : L’énergie électrostatique (ou énergie potentielle électrique) d’une charge électrique placée

dans un champ électrostatique extérieur (créé par une distribution quelconque de charges) est le travail

fourni par un opérateur pour amener cette charge de l’infini où le potentiel est nul jusqu’à sa position M

où le potentiel est V(M).

On suppose que le déplacement est effectué avec une vitesse telle que l’énergie cinétique est négligeable

devant l’énergie électrostatique de la charge. A chaque instant, le travail de la force électrostatique est

équilibré par le travail de l’opérateur.

Le travail de l’opérateur pour amener la charge d’un point de l’infini où V 0 à sa position M où le

potentiel est V(M) sachant que op. él.F F qE

est :

M M M M M

M op op él.W (F ) F .dr F .dr qE.dr q E.dr q dV q V(M) V( ) qV(M)



Donc, d’après la définition précédente, la charge électrique amenée de l’infini à sa position actuelle M

où le potentiel est V(M), possède l’énergie potentielle (d’origine électrique) : p (M) = qV(M)E .

On aurait pu directement calculer l’énergie électrostatique de la manière suivante :

élF qE(M)

est conservative.

M M

p,él él p,éld F .dr (M) q E(M)dr q dV qV(M) qV( ) qV(M)

E E

Remarque :

A noter que comme él.F qE

et que E GradV

, on a :

él. pF Grad(qV) Grad

E : la force électrostatique dérive de l’énergie électrostatique.

I.7.2- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’INTERACTION D’UNE DISTRIBUTION DE CHARGES

PONCTUELLES

Soient n charges ponctuelles 1 nq ,...,q placées aux points respectifs 1 nA ,..., A de l’espace. Chacune de

ces charges est soumise aux champs électrostatiques crées par les autres charges. Cet ensemble de

charges possède une énergie potentielle pE . Calculons-là.

Il s’agit de reconstituer le système tel qu’il est donné en faisant intervenir un opérateur qui amène les

charges de l’infini, successivement l’une après l’autre, conformément à la définition de l’énergie

potentielle de la charge électrique.

*Commençons par 1q : On l’amène de l’infini (où son potentiel est nul) à sa position A1. Comme toutes

les charges sont à l’infini et que l’on suppose que ce sont-là les seules charges existant dans l’espace,

au point A1, il n’y a pas de potentiel : 1V(A ) 0 et donc l’énergie potentielle de 1q est nulle :

p 1 1 1(q ) q V(A ) 0 E .

*Amenons la charge 2q de l’infini à sa position 2A . Cette fois-ci, du fait de la présence de 1q , il existe

un potentiel au point 2A : 11 2

0 12

q1V V(A )

4 r

et donc l’énergie potentielle de 2q est :

1 2p 2 2 1

o 12

q q1(q ) q V

4 r

E .

Il faut remarquer qu’il n’y a aucune raison de privilégier 1q par rapport à 2q : on aurait pu commencer

par amener de l’infini d’abord 2q et ensuite 1q . On aurait trouvé :

p 2(q ) 0E et 1 2p 1 1 2

o 21

q q1(q ) q V

4 r

E



En notant 2 2V V(A ) le potentiel au point A2.

Dans la pratique, au lieu de calculer l’énergie potentielle par adjonctions successives de charges, la

manière usuelle pour déterminer l’énergie totale d’un système de charges ponctuelles, c’est de calculer

les énergies potentielles de chacune des charges compte tenue des influences réciproques qu’elles ont

l’une sur l’autre, de les additionner puis de diviser par 2 :

1 2 2 1 2 1p 1 2 p 1 p 2 1 2 2 1

o 12 21 o 12

q q q q q q1 1 1 1 1(q ,q ) (q ) (q ) (q V q V )

2 2 2 4 r r 4 r

E E E .

En somme, le facteur1

2intervient parce que, par cette méthode, on compte deux fois l’influence

réciproque qu’ont deux charges l’une sur l’autre, autrement dit, pour ne pas compter 2 fois

l’interaction mutuelle des deux charges.

*On peut maintenant généraliser aux n charges :

1/ Pour l’une des charges iq placée dans le potentiel créé par toutes les autres charges j avec j i , on

fixe (i) et on somme sur (j).

Ce potentiel en iA est égal à :n n

j

jj 1 j 1 o ijj i j i

q1V

4 r

et l’énergie potentielle de iq est :n n

j

p i i j ij 1 j 1 o ijj i j i

q1(q ) q V q

4 r

E .

2/ Pour trouver l’énergie totale du système constitué de n charges, on somme sur (i) avec (i j) et on

multiplie par1

2:

n n n

j i j

p ii=1 j=1 i, j=1o ij o iji j j i i j

q q q1 1 1 1E = q =

2 4πε r 2 4πε r.

I.7.3- ENERGIE ELECTROSTATIQUE D’UNE DISTRIBUTION CONTINUE DE CHARGES

Soit un corps ayant une certaine densité de charges. Déterminons son énergie potentielle. Comme

précédemment, découpons par la pensée ce corps en éléments dq et reconstituons-le en amenant chaque

dq de l’infini à sa position actuelle. Cet élément dq est repéré par un point M de ce corps où le potentiel

est V(M). L’énergie potentielle infinitésimale de dq est donc : pd V(M)dqE . Le potentiel V(M) est

créé par tout le reste du corps chargé (q dq) au point M.



Selon que l’on considère une distribution de charges de densité volumique (ρ), surfacique (σ) ou

linéique (λ), les énergies potentielles du corps chargé sont respectivement :

p (V)

1= ρV(M)d

2E , p (S)

1= σV(M)dS

2E ou p (L)

1= λV(M)d

2E

I.8- DIPOLE ELECTROSTATIQUE

I.8.1- DEFINITION

Un dipôle est un ensemble de deux charges électriques

ponctuelles (+q) et (-q) séparées par une petite distance

constante d 2a .

On choisit un axe x’Ox, de vecteur unitaire i

, orienté de la

charge (-q) positionnée au point A vers la charge (+q)

positionnée au point B, O étant le milieu du segment AB

séparant les deux charges. Soit d AB 2a .

( 10d 10 m , r 1m : distance d’observation).

On caractérise le dipôle par son moment dipolaire

μ = qd i .

Unité : C.m ou le Debye : 2911D 10 C.m

3 .

I.8.2- POTENTIEL ELECTROSTATIQUE DU DIPOLE

Les charges en A et B créent respectivement en M les potentiels AV et BV :

A BA B

o A o B o B A o A B

r r1 ( q) 1 ( q) q 1 1 qV(M) V (M) V (M)

4 r 4 r 4 r r 4 r r

avec A Br , r d .

Notons OM = r et cherchons à exprimer V(M) V(r, ) :

2 22A B

A B A B A B

A B

r rr r , r r 2r, r r r

r r

22 2 2 2 2 2Ar AM (OM OA) r a 2ar cos( ) r a 2ar cos

22 2 2 2Br BM (OM OB) r a 2ar cos

2 2A B

A B

A B

r rr r 2a cos d cos

r r



D’où :2 2

o o

q 1 μcosθV(r, ) = dcosθ =

4πε r 4πε r Ou encore :

r

2 3o o

μ.u1 1 μ.rV(M) = =

4πε 4πεr r

Remarque : Avecx

cosr

, on a aussi :2 2 3

o

xV(M) V(x, y)

4 (x y )

I.8.3- CHAMP ELECTROSTATIQUE DU DIPOLE

Considérons le repère polaire d’axe polaire x’Ox, de pôle O et de

vecteurs de base r(u , u )

.

Le point M est repéré par son vecteur position rOM ru

.

Le vecteur champ électrostatique r rE(r) E u E u

a deux

composantes :

* rE suivant ru

et portée par OM

,

* E suivant u

et perpendiculaire à OM

.

r r r rdV E.d (E u E u ) (dru rd u ) E dr E rd (1)

V dépendant des variables r et , la différentielle totale de V en coordonnées polaires est :

V VdV dr d

r

(2)

Les relations (1) et (2) conduisent à : r

VE

r

et

1 VE

r

.

Nous avons déterminé précédemment V(M) :2

o

cosV(M) V(r, )

4 r

On en déduit les composantes de E

en M :

r 3o

θ 3o

V μcosθE = - =

r 2πε rE(M) = E(r,θ)

1 V μsinθE = - =

r θ 4πε r

son module : 2 2 2r θ 3

o

μE(r,θ) = E + E = 1 + 3cos θ

4πε r

ainsi que l’angle entre E

et OM

: θ

r

E tgθtgα = =

E 2



I.8.4- POSITIONS PRINCIPALES DE GAUSS

Les positions principales de Gauss correspondent au champ électrostatique E pour des positions

particulières du point M :

*Première position de Gauss : 0 E 0 . Le point M appartient à l’axe x’Ox et le champ

électrostatique est porté par cet axe. Son module est 1 3o

E (M)2 r

.

*Deuxième position de Gauss : rE 02

. Le point M appartient à l’axe y’Oy et le champ

électrostatique est perpendiculaire à cet axe. Son module est : 12 3

o

EE (M)

24 r

.

I.8.5- ACTION D’UN CHAMP ELECTRIQUE SUR UN DIPOLE

I.8.5.1- Expression du moment du couple de forces

Soit un dipôle A(-q)B(+q) de milieu O et de moment dipolaire

. Plaçons-le dans un domaine où règne un champ

électrostatique E

. La distance entre A et B étant très petite, on

admet que le champ est uniforme dans l’environnement proche

du dipôle. Chacune des charges va subir une force de Coulomb :

En A : AF qE

et en B : BF qE

.

La somme des forces est nulle mais il existe un moment de couple de forces noté C

non nul dû aux

forces opposées A B(F , F )

que l’on peut calculer par rapport à O :

O O A O B A B A B A BC (F ) (F ) OA F OB F AO F OB F AO ( F ) OB F

M M

O B B B BC AO F OB F (AO OB) F AB F AB qE qAB E

Soit finalement :

OC = μ E



Donc, l’action du champ électrostatique sur le dipôle est de lui faire subir une rotation jusqu’à ce qu’il

s’aligne avec la direction du champ.

Lorsque le dipôle est parallèle et de même sens que le champ électrique le couple s'annule :

OC = 0 si μ // E

Remarque :

Ce moment de couple est indépendant du point O choisi. Calculons le moment du couple par rapport à

un point O’ quelconque :

O' O ' A O' B A B A A B BC (F ) (F ) O 'A F O 'B F O 'O F OA F O 'O F OB F

M M

O' A B A B OC O 'O (F F ) OA F OB F 0 C

. Donc, O ' OC C

I.8.5.2- Energie potentielle électrostatique du dipôle

Un dipôle placé dans un champ électrostatique (donc placé dans un champ de potentiel V) possède une

énergie potentielle à cause de son orientation par rapport à la direction de ce champ. Abandonné à lui-

même, il tourne spontanément jusqu’à s’aligner avec le champ.

L’énergie du dipôle estB B

p B A B A A AqV qV q(V V ) q dV q E.dr

E

Nous l'avons déjà mentionné ci-dessus qu’à l'échelle du dipôle, le champ est pratiquement uniforme et

on peut donc le faire sortir de l’intégrale :

B B

p A Aq E.dr qE dr qE.AB qAB.E

E avec : B AAB r r

Finalement, l’énergie potentielle du dipôle est :

p = -μ.EE

p .E E cos

E



*Pour p,min E E ,

est dans le même sens que E

, le dipôle est dans un équilibre stable : déplacé de

cet état, il y retourne spontanément.

*Pour p,max E E ,

et E

sont opposés, le dipôle est dans un équilibre instable : déplacé de cet état, il

n’y retourne pas. Il tend à être dans le sens de E

afin de minimiser pE .



ANNEXERappel mathématique

1- Elément de longueur d , élément de volume dV

L’élément de longueur est d MM'

avec :

M(x, y, z) et M’(x+dx, y+dy, z+dz) en coordonnées cartésiennes : d dxi dyj dzk

,

M( , ,z) et M'( d , d ,z dz) en coordonnées cylindriques : d d u d u dzk

,

M(r, , ) et M'(r dr, d , d ) en coordonnées sphériques : rd dru rd u r sin d u .

Le volume élémentaire dV est le volume construit sur « les parallélépipèdes » de côtés :dx, dy et dz en coordonnées cartésiennes : dV dx dy dz dxdydz ,

d , d et dz en coordonnées cylindriques : dV d d dz d d dz ,

dr , rd et r sin d en coordonnées sphériques : 2dV dr rd r sin d r sin drd d .

Coordonnéescartésiennes

Coordonnéescylindriques

Coordonnéessphériques

d dxi dyj dzk

d d u d u dzk

rd dru rd u r sin d u

dV dxdydz dV d d dz 2dV r sin drd d

2- Circulation d’un champ de vecteurs

Soit un champ de vecteurs noté A

. Le point d’application P du vecteur A

décrit une courbe ( ) .

Si P se déplace de d sur ( ) , la quantité :

d A.d C

définit la circulation élémentaire du champ de vecteurs A

.

La circulation du champ de vecteur A

est alors :

( )( )

A.d

C

3- Flux d’un champ de vecteurs

Le flux élémentaire d du champ de vecteurs A

à travers l’élément de surface dS est définit par :

d A.dS



Le flux du champ de vecteurs A

à travers la surface (S) est alors :

(S)(S)

A.dS

4- Opérateurs1/ Opérateur gradient :Soit un champ scalaire U dont la valeur en M(x,y,z) est U(x,y,z) ; en un point infiniment voisin M(x+dx,y+dy, z+dz), le champ a la valeur U+dU telle que la différentielle totale dU est :

U U UdU dx dy dz

x y z

L’élément de longueur d en coordonnées cartésiennes est : d dxi dyj dzk

. On constate que dU

peut s’écrire :

U U UdU i j k .(dxi dyj dzk)

x y z

.

L’expressionU U U

i j kx y z

est appelée le « gradient de U » et se note : GradU

.

On a donc : dU GradU.d

On définit l’opérateur « nabla »

par : i j kx y z

et l’on écrit : dU U.d

.

Remarque :La circulation du gradient d’un champ scalaire U sur une courbe ( ) entre un point A et un point B est :

B B

(A B)A A

GradU.d dU U(B) U(A)

C .

On en conclut que :- La circulation de U est indépendant de l’allure de la courbe ( ) ,

- La circulation le long d’une courbe fermée est nulle.

2/ Opérateur divergence

Soit un champ de vecteurs A

dont les composantes X, Y et Z sont fonctions de x, y et z :

A X(x, y,z) i Y(x, y,z) j Z(x, y,z)k

La divergence du champ de vecteurs A

est le scalaire défini par :X Y Z

divA .Ax y z

Théorème de Green-Ostrogradsky :

Si l’on considère une surface fermée (S) délimitant un volume (V), le

théorème de Green-Ostrogradsky stipule que le flux total de A

sortant

de ce volume est égal à l’intégrale de la divergence de A

étendue à (V) :

(S)(S) (V)

A.dS DivAdV

Remarque :

Si le champ A

est uniforme (c’est-à-dire que ses composantes sont

indépendantes de x, y et z), alors sa divergence est nulle : DivA 0

. Sonflux à travers une surface fermée quelconque est nul.



3/ Opérateur laplacien

A partir deU U U

A GradU i j kx y z

, on peut calculer DivA

, soit :

2 2 2

2 2 2

U U UDivA Div(GradU) ( U)

x y z

On définit ainsi un nouvel opérateur :2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

U U U( U) U U

x y z x y z

: le laplacien.

4/ Opérateur rotationnel

Soit un champ de vecteurs A

dont les composantes X, Y et Z sont fonctions de x, y et z :

A X(x, y,z) i Y(x, y,z) j Z(x, y,z)k

Le rotationnel de A

, noté RotA

, est le vecteur donné par :

Z Y X Z Y XRotA i j k

y z z x x y

En utilisant l’opérateur nabla

, on a :

i j k

RotA Ax y z

X Y Z

Remarque :

S’il existe une fonction scalaire U telle que A GradU

, alors : RotA U ( )U 0

. Ainsi,

la condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ de vecteurs A

dérive d’une fonction scalaire (onutilise le terme potentiel) est que son rotationnel est nul.

Théorème de Stockes :

Le théorème de Stockes stipule que le flux de RotA

à travers unesurface (S) reposant sur un contour fermé ( ) est égal à la circulation

de A

le long de ce contour :

( )( ) (S)

A.d RotA.dS

C



5/ Expressions des opérateurs dans différents systèmes de coordonnées

Coordonnéescartésiennes

Coordonnéescylindriques

Coordonnéessphériques

GradU

U U Ui j k

x y z

U 1 U Uu u k

z

r

U 1 U 1 Uu u u

r r r sin

DivA

yx zAA A

x y z

zA A1 1( A )

z

2

r2

A1 1 1(r A ) (A sin )

r r sin r sinr

U2 2 2

2 2 2

U U U

x y z

2 2 2

2 2 2 2

U 1 U 1 U U

z

2 2

2 2 2 2

U 2 U 1 U

r rr r sin

2

1 Usin

r sin

RotA

yz

x z

y x

AAi

y z

A Aj

z x

A Ak

x y

z

z

AA1u

z

A Au

z

AA1A k

r

r

r

A1(A sin ) u

r sin

A1 1(rA ) u

r sin r

A1 1(rA ) u

r r r

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