cours electrostatique
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Module d’Electricité
2ème partie : Electrostatique© Fabrice Sincère (version 3.0.1)
http://pagesperso-orange.fr/fabrice.sincere
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Introduction
• Principaux constituants de la matière :
- protons : charge électrique + e ≈ +1,6 10 -19 coulomb
- neutrons : pas de charge (= neutre)- électrons : - e
• Un atome a autant d’électrons que de protons : il estglobalement neutre.
• Un corps électrisé (+ ou -) est un corps qui n’est pas neutre.
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Conducteurs et isolants électriques
Un conducteur métallique possède des électrons libres.
• mouvement d’ensemble d’électrons libres = courant électrique• l’électrocinétique est l’étude des courants électriques
Un isolant ne possède pas d’électron libre.
L’électrostatique est l’étude de l’électricité statique des corpsélectrisés (conducteur ou isolant).
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Electrisation d’un corps
• Excès d’électrons (-): corps électrisé négativement• Carence en électrons (+) : ‘ ‘ positivement
- électrisation des isolants : par frottement
Les charges sont immobiles (= statiques)
- électrisation des conducteurs : par influence
Les charges se déplacent jusqu’à atteindre un étatd’équilibre (fig. 1) :
boule en métal(initialement neutre)
+ + +
On approche une règle enverre (électrisée par
frottement avec un chiffon)
+
+
+
-
-
-
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• Application : Machine de Whimshurst (100 kV)
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Décharge électrostatique
Un courant apparaît quand un corps électrisé se déchargedans un autre.
Remarque : courant très intense (mais très bref)
tension très élevée >> kV
spectaculaire : foudre >> MV
Exemple : décharge électrostatique d’un corps humain :
• 10 A• 10 kV
• < 1 µs
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Chapitre 1 Champ électrostatique
Force électrostatique
• Soit deux corps ponctuels de charges q1 et q2 (fig. 2) :
• Sens
- charges de même signe : répulsion- signe opposé : attraction
1/2Fr
2/1Fr
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• Intensité : Loi de Coulomb
²r
qq109
²r
4
1FFF 21921
0
1 / 22 / 1 ⋅≈πε
===
ε0 ≈ 8,85⋅10-12 F/m : permittivité diélectrique du vide
r : distance (m)F en newton (N)
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Champ électrostatique E
Un corps ponctuel de charge q crée un champ électrostatiqueradial (fig.3) :
E
r
q < 0 : sens du champ inverséIntensité (en V/m) :
²rq109E 9⋅≈
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Relation entre E et F
Un corps chargé soumis à un champ électrostatique est l’objetd’une force électrostatique (fig. 4) :
Champ électrostatique crée par un ensemble de charges (fig.5)
EqFr r
= E
r
F
r
2Er
1
Er
Er
∑=i
i )M(E)M(Er r
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Lignes de champ
Une ligne de champ est tangente en tous points au champ(fig. 6) :
L’ensemble des lignes de champ forme le spectre.
Exemple : spectre d’une charge ponctuelle (fig. 7) :
Er
Er
q>0
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Chapitre 2 Théorème de Gauss
Flux d’un champ à travers une surfaceCas particulier (fig. 8) :
• champ uniforme (lignes de champ parallèles)• surface plane
Remarques : Φ = ES quand E ⊥ surface
Φ = 0 quand E // surface
S
r
S
r
Sr
ESSE =⋅=Φr r
°=
⋅=Φ
45cosES
SEr r
0SE =⋅=Φ
r r
Er
Er
E
r
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Théorème de Gauss
Soit une surface fermée (S) contenant une charge électrique totaleqint (fig. 9) :
ΦΦΦΦ = qint / εεεε0
+
++++++
++
++++++ +
+
+
++
(S)
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Application : champ crée par un plan uniformément chargé (fig. 10)
Densité surfacique de charge : σ (C/m²)Champ ⊥ plan
On choisit une surface cylindrique fermée de section S :
qint = σS
Φ = ES + ES + 0 = 2ES
Φ = qint / ε0
02E
ε
σ=
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
+ + + + + + ++ + + + + + + +
Sr
Er
Sr
Er
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Chapitre 3 Potentiel électrique
A tout point M de l’espace, on peut associer un potentiel électriqueV(M).
Relation entre champ E et différence de potentiel électrique (fig. 11)
Remarques :
dans un circuit électrique : d.d.p. = tensionE est dirigé dans le sens des potentiels décroissants
E ⊥ surface équipotentielle (V=cte)
E = 0 dans un volume équipotentiel
Er
rdr
rdEVVdV 12
r
r
⋅−=−=
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Cas particulier : champ uniforme
Considérons deux plaques métalliques parallèles, soumises àune tension U (fig. 12) :
Application : accélération du faisceau d’électrons d’untéléviseur à tube cathodique (25 kV)
Er
E = U/d
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Origine du courant électrique (fig. 13)
fem (tension)
⇒champ électrique
⇒ force électrostatique
⇒ mise en mouvement des électrons libres
⇒ courant électrique
Er
Fr
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Chapitre 4
Conducteur en équilibre électrostatiqueSoit un conducteur plein chargé négativement (fig. 14) :
Charges uniquement en surface.
Champ nul à l’intérieur(application : cage de Faraday).
Conducteur équipotentiel (V=cte).
A l’extérieur :
lignes de champ ⊥ surface
--
--
-
-
- -
-
0E
cteVr r
=
=
Er
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Chapitre 5 Le condensateur
Un condensateur est constitué de deux conducteurs (= armatures)séparés par un isolant (= diélectrique).
Symbole :
U⇒ champ E⇒ charges électriques sur les armatures
Q = QA = - QB : charge du condensateur
Capacité électrique (en farad) :
Appliquons une tension U
aux bornes d’un condensateur (fig. 15) :Er
C = Q/U
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εr
: permittivité diélectrique relative
≈ 1 pour l’air sec
jusqu’à 10 000 pour les céramiques
S : aire de chaque armature (m²)
d : épaisseur du diélectrique (m)
Capacité d’un condensateur plan
C = εεεε0 εεεεr S/d
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Champ disruptif (ou rigidité diélectrique)
Au delà d’une certaine intensité (Ed), un isolant devient conducteur.Exemples :
• Condensateur : U > tension de “claquage”
⇒ destruction du diélectrique
• Air : Ed ≈ 3⋅106 V/m
d = 1 mm : U >> kV⇒ décharge électrostatique(bougies d’automobile, briquet piézo-électrique …)
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d >> m : U >> MV : foudre
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Chapitre 6 Compléments sur le condensateur
∑=i
iéq CC
Association de condensateurs
♦ en parallèle
Q1 = C1UQ2 = C2U
Q = CéqUConservation de la charge : Q = Q1 + Q2Donc : Céq = C1 + C2En parallèle, les capacités s’additionnent :
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♦ association en série
∑=i iéq C
1C1
Energie emmagasinée par un condensateur
Un condensateur contient de l’énergie sous forme électromagnétique :
²CU21W =
avec :
W : énergie en joule (J)C : capacité (F)U : tension aux bornes (V)
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dt
dqi +=
Relation entre courant et tension dans un condensateur
q = +Cu
d’où :dt
duCi += (en convention récepteur)
Rappel :
L’intensité du courant électrique i (en A) est définie par :
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Charge et décharge d’un condensateur
♦ Charge d’un condensateur à travers une résistance
Loi des branches : E = Ri + u
On obtient une équation différentielle : EdtduRCu =+
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Supposons le condensateur initialement déchargé (u = 0 V).On ferme K à l’instant t = 0.
Solution : )e1(E)t(u RC
t−
−=
τ = RC est la constante de temps du circuit.Remarque : après une durée de 3τ, le condensateur est chargé à 95 %
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dt
duCi −=
♦ Décharge d’un condensateur à travers une résistance
Loi d’Ohm : u = +Ri
0dt
duRCu :où'd =+
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Supposons le condensateur initialement chargé (u = E).
On ferme K à t = 0.
τ−
⋅=t
eE)t(u :Solution
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dt
duCI +=
♦ Charge à courant constant
La charge est linéaire (tension en forme de rampe) :
C
I
t
u :pente =
∆
∆
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Condensateur en régime sinusoïdal
Alimentons un condensateur avec une tension sinusoïdalealternative de pulsation ω.
)2
tsin(ÛC
)tcos(ÛC
)tsin(Ûdt
dC
dt
)t(du
C)t(i
u
u
u
π+ϕ+ωω=
ϕ+ωω=
ϕ+ω=
=
Déphasage : ϕu/i = ϕu - ϕi = -90°
Impédance :ω== C
1
I
U
Z