signaux aléatoires. introduction définition signal bidimensionnel dépendant d'une variable...
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Signaux aléatoires
Introduction
• DéfinitionSignal bidimensionnel dépendant d'une variable d'espace (le temps) et d'une variable aléatoire.
• ObjectifsComment caractériser ce type de signaux.Notion de stationnarité et d'ergodicité
Fonction aléatoire
• Soit une fonction aléatoire X(t,)✔ Pour t=ti , X(ti,) = Xi ()
variable aléatoire
✔ Pour i , X(t,i) = Xi (t)fonction classique
Caractéristiques statistiquesEspérance Mathématique
• Pour une infinité de réalisations
Moment du 1er Ordre, moyenne statistique.
X t i E X t i , limn j 1
n x ti , j
n
X t i E X t i , x t i , p x , t i dx t i
Caractéristiques statistiquesMoments
• Moment d'ordre n
mn E X t i ,n x t i ,
n p x , t i dx t i
Caractéristiques statistiquesVariance
• Fluctuation autour de la moyenne
X X E X E X 0 2 X E X E X 2 E X 2 E X 2
Caractéristiques statistiquesCorrélation et Covariance • Mesure de la dépendance
R X , t1 , t 2 E X t1 , X t2R X , t1 , t 2 x t1 x t 2 p x t1 , x t 2 dx1 dx2
C X ,t1 , t 2 R X ,t1 , t 2
Caractéristiques statistiques
E[x]
E[x]+x)
E[x]-x)
Stationnarité
✔ Au sens strictLes densités de probabilité jointes de toutes les V.A sont indépendantes du temps
✔ Au 2éme ordreLes densités de probabilité jointes jusqu'à l'ordre 2 sont indépendants du temps
StationnaritéConséquences
✔ Conséquence 1
✔ Conséquence 2
t , E X t cteE X t 2 cte
, t2 t1
E X t1 X t2 C
Stationnaritépropriétés de la fonction de corrélation
✔
✔
✔
C E X t X t
C 0 E X t 2 0
C C 0
C C
Stationnaritépropriétés de la fonction de corrélation
• lim C 0
x t et x t tendent à se décorreler
ExemplesBruit d'un AOP
xn / x
n+5
C(x)
ErgodismeMoyennes d'ensemble = Moyennes temporelles
E X t limT
1 2T
T
T
x t dt
E X t X t limT
1 2T
T
T
x t x t dt
ExemplesCaractéristiques d'un AOP
Ergodique
Non ergodique
Bruit:après stabilisation thermique, le processus est stationnaire et ergodique
Offset:Offset (t,
i) =
i
i loi uniforme entre ± v
o
le processus est stationnaire et non ergodique
Densité Spectrale de Puissance
S xx f limT
1 2T
E X T f2
XT:TFde la restriction de la réalisation x t sur T,T
Densité Spectrale de Puissance
Théorème de Wiener-Kintchine
S xx f Rx e 2 i f d
Rx S xx f e2 i f d f
GénéralisationInteractions
Soit deux processus aléatoires X et Y
C XY E X YC XY TF
S XY f
CXY
et SXY
sont complexes
Bruit Blanc
•Un bruit blanc est un processus aléatoire dont la densité spectrale est constante.
S f aC S f e2 i f d f a
Bruit Blanc
Sxx
f
C
a a
Bruit Blancà spectre borné
•C'est un bruit blanc dont le spectre est constant sur une bande de fréquences.
S f a f v , v
C 2v asin 2 v
2 v
Bruit Blancà spectre borné
Sxx
f
C
2a a
v 1 2v