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7/21/2019 LA VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE.ppt

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LA VARIABLE ALEATOIRELA VARIABLE ALEATOIRE

CONTINUECONTINUE

Facult de Mdecine dOranFacult de Mdecine dOran

Laboratoire de BiostatistiqueLaboratoire de Biostatistique

BOUKERMA AMEURBOUKERMA AMEUR


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La variable alatoire continue :

I. a. Dfinition :

Une variable alatoire est dite continue si elle peut prendretoutes les valeurs dans un intervalle. En rgle gnrale,toutes les variables qui rsultent dune mesure sont de

type continu.Eemples :

!es variables alatoires,

" le masse corporelle des individus pour une espce animaledonne," tau de glucose dans le sang, " etc.#ont des variables

alatoires continues


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I. b. !a $onction densit de probabilit :

Dans le cas dune variable alatoire continue, laloi de probabilit associe une probabilit % c&aqueensemble de valeurs dfinies dans un intervalle donn.En effet, pour une variable alatoire continue, la

probabilit associe % lvnement 'X ( a) est nulle, car ilest impossible dobserver eactement cette valeur.*n considre alors la probabilit que la variable alatoireX

prenne des valeurs comprises dans un intervalle +a, b tel

que P-aXb/.!orsque cet intervalle tend vers 0, la valeur prise parXtend alors vers une fonction que lon appelle fonctiondensit de probabilit ou densit de probabilit
http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/stats/chap3/c3p2/c3p2.htmlhttp://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/stats/chap3/c3p2/c3p2.html


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*n appelle densit de probabilit toute application

continue :Telle que :

(P1) x R f (x) 0

(P2) f (x) dx= 1 (en supposant que f (x)dx e!"ste


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##

I.c. !a $onction de rpartition$

!a fonction de rpartition $-/ et la fonctiondensit de probabilitf-x/ est la suivante :

1 t 2Fx( t )=P-X


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%%

I.d. Esprance mat&matique et la variance :

1. Esprance mathmatique E(X)

Si X est une variable alatoire absolumentcontinuede densit f., on appelle esprance de X, le rel(X), dfini par !

E(X) ! "#

$#x %(x) &x

2.Variance V(x)

Si X est une variable alatoire continue donne par sadensit de probabilit alors la variance de X est le nombre relpositif tel "ue !

#(X) $ % &'&

(x' (X))f (x)dx $%4"4xf (x) dx ' (X)*


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&&

!e"ple

+a vie utile dune certaine composante dune pice

lectroni"ue est dcrite par le densit de probabilit suivante!

o- x est exprim en centaines deures. /'Prouver "ue lon a bien une fonction de densit0 '1onner la reprsentation 2rapi"ue de cette fonction0

3'4alculer ! P(x )0 P(x 5 6) et P ( x 6). 6'4alculer (x) et #(x). 7'1terminer la fonction de rpartition$-/.

=

ailleurs0

5067/-

xx

xf


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''

2ponse :

a) a on*t"on a une +ens"t, +e

P-o.a."/"t,

*) P (!2)=

P(!4)=

P (2 ! 4) =

+) E(!)=

=5

0

6

67

dxx

685

85

/0-/5-85

5

0

9

===

FF

x

85

:/0-/9-

8567/-

9

0

99

0

9

0

==

== FF

xdx

xdxxf

;

"/ aut que$

++

=++=

6 9

6 96/-/-/-6/- dxxfdxxfdxxfdxxf

==9

6

9

6

66/- dx8xdxxf

69

86

9

6

9

9+/6-/9-+6

9+

99

9

6

9

==== 88FF8x

8

Do k = 2/3

Exemple 2:


12/18

1212

++

++==

6 9

6 9

/-/-/-/-/- dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxx

[ ]960/-96/- == xsixfetxsi8xxfcar

;

6:

8

6

8

7

8

9

88

9

8

9

8

9/-

9

89

6

99

6

=

=

=== xdxxdxxxx

9. ? @alcul de la moyenne E-/

Or k = 2/3

=0


13/18

1313

99

6

:99

6

9

;

6:

:8

9

;

6:

8

9/-

=

= x

xxx#

9::

;

6:

:

6

:

9

8

9/-

=x#

DoA B-/ ( 9C8+65C 6C "+6C;9(

-80C69/ -6C;/9(0,89=

9. ? @alcul de la variance B-/

On sait que V(x) = E(x)2 [E(x)]2, par consquent on peut

crire:


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1414

36 on*t"on +e -,pa-t"t"on (!)


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1#1#

Reprsentation rap!ique "e la #onction "e rpartition

si x 2 : %(x) = $

0

5/12

1

1 3/2 2 X

F(x)


16/18

1%1%


17/18

1&1&


18/18

1'1'

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