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Fonctions d’une variable réelle

1. Fonctions continues, monotones, réglées.

2. Fonctions dérivables.

3. Règles de dérivation.

4. Extrema d’une fonction.

5. Théorème de Rolle.

6. Théorème des accroissements finis.

7. Dérivées successives.

8. Convexité.

9. Etude des variations.

10. Formules de Taylor.

Pierre-Jean Hormière ____________

« De tous les progrès théoriques, aucun ne passe sans doute pour un triomphe aussi élevé de l’esprit humain que l’invention du calcul infinitésimal dans la deuxième moitié du XVIIème siècle. Plus que n’importe où, nous avons là un exploit pur et exclusif de l’esprit humain. Le mystère qui entoure, aujourd’hui encore, les grandeurs employées dans le calcul infinitésimal, différentielles et infinis de différents degrés, est la meilleure preuve de la persistance de cette illusion qu’on a ici affaire à de pures « créations et imaginations libres » de l’esprit humain, auxquelles rien ne répondrait dans le monde objectif. Et c’est pourtant le contraire qui est vrai. Pour toutes ces grandeurs imaginaires, la nature offre les modèles. »

Friedrich Engels, Dialectique de la nature.

Introduction

Les fonctions de variable réelle « usuelles », celles que l’on rencontre « généralement », sont composées de fonctions élémentaires. Elles sont donc continues, dérivables et même développables en série entière ; elles sont également monotones par morceaux, comme en témoigne l’étude de leurs variations. Par « fonctions élémentaires » on entend les monômes, les logarithmes et exponentielles, les puissances, les fonctions trigonométriques et leurs réciproques, ainsi que leurs composées. Mais l’évolution de l’analyse vers plus de rigueur et de généralité a conduit à considérer d’autres fonctions, et à classer leurs propriétés par généralité décroissante (Cauchy) et croissante (Baire). Si « la plupart » des fonctions usuelles sont dérivables, « la plupart » des fonctions ne sont nulle part dérivables : cela illustre les deux sens du mot « en général ». Il y a deux types de fonctions d’une variable réelle : les fonctions à valeurs réelles, et les fonctions à valeurs complexes ou vectorielles. Leurs propriétés sont légèrement différentes. Dans tout cet exposé, les intervalles sont non réduits à un point : nous ne le répéterons pas.

Stade olympique d’Athènes, par Santiago Calatrava

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1. Fonctions continues, monotones, réglées. 1.1. Fonctions continues.

Nous avons défini la continuité dans le chapitre sur les espaces métriques. Pour montrer qu’une fonction est continue, il suffit de montrer qu’elle est : • somme, produit, composée, sup ou inf d’un nombre fini de fonctions continues ; • lipschitzienne, ou uniformément continue ; • limite uniforme d’une suite, ou somme d’une série uniformément convergente, de fcts continues ;

• de la forme f(x) = ∫x

adttg ).( , où g est réglée sur un intervalle I ;

• intégrale à paramètre sur un segment ou un intervalle non compact, sous certaines hypothèses ; • en un point litigieux, on pourra utiliser le théorème de prolongement par continuité : Soient I un intervalle de R, a un point de I, f : I−{ a} → R une fonction continue. Pour que l’on puisse prolonger f en une fonction continue I → R, il faut et il suffit que f ait une limite quand x tend vers a en étant ≠ a. Cette condition est remplie si a est à distance finie et si f est uniformément continue sur I−{ a}. (cf. Espace métriques, § C.6 et D.4.)

Rappelons les résultats suivants :

Théorème des bornes : Soient K une partie compacte (≡ fermée bornée) de R, et f : K → R une fonction continue. f est bornée et atteint ses bornes.

Théorème des valeurs intermédiaires : Soient I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue. Si f prend deux valeurs, f prend toute valeur intermédiaire, autrement dit f(I) est un intervalle de R.

Corollaire : Si I est un segment (intervalle fermé borné) de R et f : I → R une fonction continue, alors f(I) est un segment.

Remarque sur le signe d’une fonction continue. Rappelons que si U est un ouvert non vide de R, il existe une et une seule famille d’intervalles

ouverts deux à deux disjoints In = ]an, bn[, telle que U = U ]an, bn[ ; cette famille est dénombrable,

et, pour chaque n les extrémités de In n’appartiennent pas à U (cf. Espaces métriques, F.1). Si f est une fonction continue de R dans R, la fonction g(x) = sgn f(x) peut être très compliquée. Les

ensembles U+ = { x ; f(x) > 0 }, U− = { x ; f(x) < 0 } et F = { x ; f(x) = 0 } forment une partition de R.

F est fermé, U+ et U− sont des ouverts, auxquels on peut appliquer le résultat précédent. Mais

attention, si U+ et U− sont réunions dénombrables d’intervalles ouverts disjoints, rien ne dit qu’on peut les ranger dans l’ordre croissant ou décroissant. Penser à f et surtout à f o f, où f(x) = x.sin(1/x) :

Cependant, g = sgn f est une fonction de Baire, c’est-à-dire limite simple d’une suite de fonctions

continues. En effet, g(x) = limn→+∞ th(n.f(x)), par exemple.

Exercice 1 : Existe-t-il une fonction continue f : R → R telle que f(Q) ⊂ R − Q et f(R − Q) ⊂ Q ?

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Exercice 2 : Soit f : [0, 1] → R une fonction continue telle que ∀x ∈ [0, 1] f(x +107 ) ≠ f(x).

1) Démontrer que l’équation f(x) = 0 a au moins 7 solutions dans [0, 1]. 2) Donner un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ; on pourra se contenter d’une repré-sentation graphique claire.

Exercice 3 : Soient f une fonction continue de R dans R, G = { (x, f(x)) ; x ∈ R } son graphe 1) Montrer que, si f est continue, G est une partie fermée de R×R. 2) Montrer que, si f est bornée et si G est une partie fermée de R×R, f est continue. 3) Le résultat précédent subsiste-t-il si f n’est pas bornée ?

Exercice 4 : Soit I = [a, b] un segment de R. 1) Soit f : I → I continue. Montrer que f admet au moins un point fixe. 2) Soit f : I → R continue, telle que I ⊂ f(I). Montrer que f admet au moins un point fixe. 3) Soient f et g : I → I continues telles que f o g = g o f. Montrer que (∃x ∈ I) f(x) = g(x).

Exercice 5 : Soit f : R+ → R uniformément continue telle que (∀x ≥ 0) limn→+∞ f(x + n) = 0.

Montrer que limx→+∞ f(x) = 0. 1.2. Fonctions monotones.

Théorème de la limite monotone : Soit I = (a, b) (a < b) un intervalle de R, borné ou non, f : I → R une fonction croissante. i) f a une limite à gauche et à droite en tout point x∈]a, b[ :

lim y→x−0 f(y) = supy∈I∩]−∞,x[ f(y) ≤ f(x) ≤ lim y→x+0 f(y) = infy∈I∩]x,+∞[ f(y).

ii) Si f est majorée, f a une limite en b−0 : lim x→b−0 f(x) = supx∈]a,b[ f(x).

Si f est non majorée (ce qui suppose b ∉ I), f tend vers +∞ quand x → b : lim x→b−0 f(x) = +∞.

iii) Résultats analogues au point a.

Autrement dit, si l’on considère f comme fonction de I dans R , lim x→b−0 f(x) = supx∈]a,b[ f(x).

Pour tout x ∈ ]a, b[ , on appelle saut de f en x : σ(x) = f(x + 0) − f(x − 0).

Traduction immédiate si f est décroissante.

Proposition : Soient I un intervalle de R, f : I → R monotone. L’ensemble des discontinuités de f est dénombrable.

Preuve : Supposons f croissante. Notons D l’ensemble de x en lesquels f est discontinue.

• Si f est bornée, disons (∀x) −1 < f(x) < 1. D = { x ; σ(x) > 0 } = U+∞

=1n

nD , où Dn = { x ; σ(x) ≥ n1 }.

Or chacun des ensembles Dn est fini, car si x1 < x2 < … < xk sont k points de Dn, or a nk ≤ 2, car les

intervalles de saut ne se chevauchent pas dans ]−1, 1[ ; d’où k ≤ 2n. Donc D est dénombrable.

• Si f est non bornée, ce qui suppose I ouvert ou semi-ouvert, on peut se ramener au cas précédent de deux façons : soit en observant que I est réunion d’une suite croissante de segments,

soit en composant f par th, arctan ou x

x+1

.

Exercice 6 : Soit f : R+ → R bornée. Pour tout x ≥ 0, on pose

M(x) = sup { f(t) ; t ≥ x } et m(x) = inf { f(t) ; t ≥ x }. Monotonie de M et m ? Montrer que si f est continue, resp. uniformément continue, lipschitzienne, il en est de même de M et m. A quelle condition f a-t-elle une limite en +∞?

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Exemple : Montrer que si f(t) = t

tsin, M(x) < 1 pour tout x > 0.

Exercice 7: Donner un exemple de fonction croissante (resp. strictement croissante) f : ]−1, 1[ → ]−1, 1[ ayant une infinité dénombrable de discontinuités.

Exercice 8 : Soit n → rn une bijection N → Q. Montrer que la fonction f(x) = )(1.21

0[,[x

mrm m∑

+∞

=+∞ est

croissante et bornée, et admet pour discontinuités tous les rationnels.

Théorème d’inversion des fonctions monotones. Soient I un intervalle de R, f une application continue de I dans R, J = f(I) l’intervalle image. Les propositions suivantes sont équivalentes : i) f est strictement monotone ; ii) f est un homéomorphisme de I sur J ; iii) f est injective.

Alors f−1

est strictement monotone, et les intervalles I et J sont de même nature (ouverts, semi-ouverts ou fermés).

Nous aurons besoin du lemme :

Lemme : Soit g une fonction monotone de l’intervalle J de R, à valeurs réelles ; g est continue si et seulement si g(J) est un intervalle de R.

Preuve : Tout d’abord, si g est continue, g(J) est un intervalle en vertu du TVI. Réciproquement, si g est croissante et discontinue en x ∈ Int(J), g(x − 0) < g(x + 0). g étant croissante, ne prendra jamais les valeurs y ∈ ]g(x − 0), g(x + 0)[ − {g(x)}, donc g(J) ne saurait être un intervalle. Idem si x est une extrémité de J.

Preuve du théorème : i) ⇒ ii) Il faut montrer que f est une bijection bicontinue de I sur J. Elle est injective car f est

strictement croissante, surjective car J = f(I). La continuité de f−1

découle du lemme précédent. ii) ⇒ iii) est évident. iii) ⇒ i) Supposons ∃ a < b f(a) < f(b), et montrons que f est strictement croissante par applications répétées du TVI. • Si x ∈ ]a, b[ f(a) < f(x) < f(b). En effet f(x) ≠ f(a) et f(b) par injectivité. Si f(x) < f(a), il existerait y ∈ ]x, b[ tel que f(y) = f(a) : impossible. Si f(x) > f(b), il existerait y ∈ ]a, x[ tel que f(y) = f(b) : impossible. Si a < x < y < b, en remplaçant a par x , on voit que f(x) < f(y). • Si b < x, f(b) < f(x), sinon il existerait ε > 0 tel que f(b − ε) = f(b + ε). Si b < x < y, f(x) < f(y) en remplaçant b par x. • Idem à gauche en a.

Applications :

1) Fonction racine n-ième d’un nombre réel.

Soit n un entier impair. La fonction xn est une bijection continue croissante de R dans R. C’est donc

un homéomorphisme. La bijection réciproque se note x1/n

= n x .

Soit n un entier pair. La fonction xn est une bijection continue croissante de R

+ dans R

+. C’est donc

un homéomorphisme. La bijection réciproque se note x1/n

= n x .

2) Fonctions circulaires réciproques.

♣ Le sinus induit une bijection continue strictement croissante I = [−2π ,

2π ] → J = [−1, +1].

On nomme Arcsinus la bijection réciproque de cette restriction : Arcsin = (sin|JI )−1.

y = Arcsin x ⇔ −2π ≤ y ≤

2π et x = sin y .

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♦ Le cosinus induit une bijection continue strictement décroissante I = [0,π ] → J = [−1, 1].

On nomme Arccosinus la bijection réciproque de cette restriction : Arccos = (cos|JI )−1

.

y = Arccos x ⇔ 0 ≤ y ≤ π et x = sin y .

♥ La tangente induit une bijection continue strictement croissante I = ]−2π ,

2π [ → J = R.

On nomme Arctangente la bijection réciproque de cette restriction : Arctan = (tan|JI )−1

.

y = Arctan x ⇔ −2π < y <

2π et x = tan y .

♠ La cotangente induit une bijection continue strictement décroissante I = ]0, π[ → J = R.

On nomme Arccotangente la bijection réciproque de cette restriction : Arccotan = (cotan|JI )−1

.

y = Arccotan x ⇔ 0 < y < π et x = cotan y .

Notons que Arccos x + Arcsin x = 2π et Arctan x + Arccotan x = π.

Arctan x + Arctanx1 =

2π si x > 0 , −

2π si x > 0.

π si ab > 1, a > 0, b > 0

Exercice 9 : Montrer que Arctan a + Arctan b − Arctan abba

−+

1 = 0 si ab < 1

−π si ab > 1, a < 0, b < 0

Exercice 10 : Simplifier et représenter les fonctions suivantes : f(x) = Arcsin (sin x) f(x) = Arccos (cos x) f(x) = Arctan (tan x) f(x) = Arccotan (cotan x) f(x) = Arcsin (cos x) f(x) = Arccos (sin x) f(x) = Arctan (cotan x) f(x) = Arccotan (tan x)

Exercice 11 : Simplifier les fonctions suivantes : f(x) = sin(Arccos x) f(x) = cos(Arcsin x) f(x) = sin(Arctan x) f(x) = cos(Arctan x) f(x) = sin(2Arctan x) f(x) = cos(2Arctan x) f(x) = sin( Arccotan (tan(Arccos x)))

Exercice 12 : Etudier les fonctions :

f(x) = Arctan)4sin(1)4sin(1

xx

−+ , f(x) = Arcsin(2x

2 − 1) , f(x) = Arcsin

1²2+xx .

1.3. Fonctions réglées.

Définition : Soient I un intervalle de R, f : I → R, x0 un point intérieur de I. On dit que f admet en x0

une discontinuité de première espèce si f admet une limite à droite et à gauche en x0. On dit que f est réglée si f admet une limite à gauche et à droite en tout point de I.

Définition : Soit I = [a, b] un segment. Une fonction f : I → R est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision σ = (x0 = a < x1 < … < xn = b) de I telle que, pour tout i, f|]xi, xi+1[ se prolonge

en une fonction continue sur [xi , xi+1] , autrement dit que f soit continue en chaque point x ∈ I−σ et

ait des limites à droite et à gauche en les xi .

Exemples : 1) Les fonctions continues, continues par morceaux, monotones, monotones par morceaux, sont réglées.

2) La fonction sinx1 est continue sur R*, mais n’est ni continue ni réglée sur R, de quelque façon

qu’on la prolonge en 0.

Nous reviendrons sur ce sujet dans le chapitre sur l’intégrale.

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Exercice 12 : fonction de Dirichlet. Elle est définie par : f(x) = 0 si x ∉ Q , f(x) = 1/q si x = p/q ( p ∈ Z, q ∈ N*, p ∧ q = 1). Montrer que cette fonction est 1-périodique, et réglée sur tout segment.

Exercice 13 : Montrer qu’une composée de fonctions réglées n’est pas toujours réglée.

[ Considérer f(x) = x.sin(1/x) et g(x) = sgn f(x) , ou bien 1R* o f , f fonction de Dirichlet. ]

2. Fonctions dérivables. 2.1. Fonctions réelles.

C’est l’idée d’approximation locale d’une fonction par une fonction affine qui est à la base de la notion de dérivée.

Définition 1 : Soient I un intervalle de R, x0 ∈ I. Les fonctions f et g : I → R sont dites tangentes en

x0 si (T) ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ I | x − x0 | ≤ α ⇒ | f(x) − g(x) | ≤ ε.| x − x0 |.

NB : cette condition s’écrit encore f(x) − g(x) = o(x − x0) au V(x0).

Proposition 1 : (T) équivaut à la conjonction de f(x0) = g(x0) et de limx→x0,x≠x0 0

)()(xx

xgxf−−

= 0.

Bien entendu, la condition f(x0) = g(x0) ne suffit pas à impliquer la tangence, comme le montrent les fonctions f(x) = x et g(x) = 0 en 0.

Proposition 2 : Dans FFFF(I, R), la relation « f est tangente à g en x0 » est une relation d’équivalence

compatible avec la structure vectorielle de FFFF(I, R). Parmi les fonctions tangentes à f en x0, il existe au plus une application linéaire affine.

Définition 2 : L’application f : I → R est dite dérivable, ou différentiable, en x0, s’il existe une

application linéaire affine g : x → f(x0) + a.(x − x0) tangente à f en x0. On appelle :

• dérivée, ou nombre dérivé, de f en x0, la pente de cette application, on la note a = f’(x0)

• différentielle, ou application dérivée, de f en x0 l’homothétie u = dfx0 : h → a.h de R de rapport a.

La dérivabilité de f en x0 peut se présenter de deux façons :

par développements limités : f est dérivable en x0 ssi f admet en ce point un développement limité à

l’ordre 1 f(x) = f(x0) + a.( x − x0 ) + o( x − x0 ) quand x → x0,

ou encore f(x0 + h) = f(x0) + a.h + o(h) quand h → 0.

par taux d’accroissement : f est dérivable en x0 ssi le taux d’accroissement 0

0)()(xx

xfxf−−

admet une

limite quand x → x0 par valeurs différentes, et cette limite est f’(x0).

Géométriquement, ce taux est la pente de la corde joignant les points M0 = (x0, f(x0)) et M = (x, f(x))

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Proposition 3 : Si f est dérivable en x0, f est continue en x0. La réciproque est fausse.

Exemples et contre-exemples. 1) La fonction f(x) = |x| est continue en 0, mais non dérivable.

2) La fonction g(x) = x.sinx1 si x ≠ 0, g(0) = 0 est continue en 0, car |g(x)| ≤ |x|, et non dérivable en

0 car la pente 0

)0()(−−

xgxg

= sinx1 est sans limite quand x → 0.

3) f(x) = xn est dérivable en tout point et f’(x) = n.x

n−1.

En effet 0

0

xx

xx nn

−−

= xn−1

+ xn−2

.x0 + … + x. 20

−nx + 10

−nx → n 10

−nx .

4) f(x) = sin x est dérivable en 0 et f’(0) = 1, car x

xsin → 1 quand x → 0.

5) sinus et cosinus sont dérivables sur R et sin’x = cos x , cos’x = − sin x.

En effet 0

0sinsinxx

xx−−

= 0

2xx−

.sin2

0xx−.cos

20xx+

→ cos x0 quand x → x0

0

0coscosxx

xx−−

= 0

2xx−

− .sin2

0xx−.sin

20xx+

→ − sin x0 quand x → x0.

N.B. : Les formules ci-dessus s’unifient ainsi : sin’x = sin(x + 2π ) , cos’ x = cos(x +

2π )

Elles se généralisent ainsi : sin(k)

(x) = sin(x + k2π ) , cos

(k)(x) = cos(x + k

2π ).

Exercice : Etudier la continuité, la dérivabilité et la continuité de la dérivée des fonctions suivantes :

♣ f(x) = x.sinxπ si x ≠ 0, f(0) = 0. ♦ g(x) = x

2.sin

xπ si x ≠ 0, g(0) = 0.

♥ h(x) = x.sinxπ .sin

)/sin( xππ si x ≠ 0 et

n1 , h(0) = h(

n1 ) = 0.

♠ k(x) = x2.sin

xπ .sin

)/sin( xππ si x ≠ 0 et

n1 , k(0) = k(

n1 ) = 0.

2.2. Extensions de la notion de dérivée.

La notion de dérivée peut s’étendre dans diverses directions :

f a pour dérivée ±±±± ∞∞∞∞ en x0 si 0

0)()(xx

xfxf−−

tend vers ± ∞ quand x → x0 ;

Cette idée correspond à une tangente verticale en M0(x0 , f(x0)).

Par exemple, x → x1/3

a une dérivée +∞ en 0.

f est dite dérivable à droite en x0 si 0

0)()(xx

xfxf−−

a une limite quand x → x0 + ; on la note f'd(x0).

f est dite dérivable à gauche en x0 si 0

0)()(xx

xfxf−−

a une limite quand x → x0 − ; on la note f'g(x0).

Géométriquement, ces notions correspondent aux tangentes à droite et à gauche en M0(x0 , f(x0)). Par exemple, x → |x| a pour dérivée à droite +1 et pour dérivée à gauche −1 en 0. Plus généralement, on montrera que toute fonction réelle convexe sur un intervalle I de R est dérivable à gauche et à droite en tout point intérieur de I.

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Enfin, dans des cas plus compliqués, on pourra introduire, si f est continue en x0, les plus grandes et

plus petites valeurs d’adhérences de 0

0)()(xx

xfxf−−

à droite et à gauche ; ce sont les quatre nombres

dérivés de f au V(x0) ( Du Bois-Reymond, Dini ).

Par exemple, f(x) = x.sinx1 a ±1 pour nombres dérivés à droite et à gauche en 0.

Voici enfin un important critère de non dérivabilité.

Proposition : Soient I un intervalle de R, a un point de I, f une fonction I → R. Pour que f soit dérivable en a,

il faut et il suffit que ∆(x, y) ≡ xy

xfyf−− )()(

ait une limite

quand (x, y) → (a, a) de façon que x ≤ a ≤ y et x ≠ y. Et alors f'(a) est égale à cette limite.

Preuve : La condition est suffisante : il suffit de faire tendre (x, y) vers (a, a) de façon que x = a < y , puis x < a = y . Montrons qu’elle est nécessaire. Posons x = a – h, y = a + k ( h et k ≥ 0). Soustrayons f(a + k) = f(a) + f’(a).k + o(k) et f(a − h) = f(a) − f’(a).h + o(h). Il vient f(a + k) − f(a − h) = f’(a).(h + k) + o(k) − o(h). Or comme h et k sont positifs, o(k) et o(h) sont tous deux des o(h + k). cqfd.

Corollaire : Sous les mêmes hypothèses, si ∆(x, y) ≡ xy

xfyf−− )()(

est sans limite quand (x, y) → (a, a)

de façon que x ≤ a ≤ y et x ≠ y, f est non dérivable en a.

C’est ainsi que l’on montre que les fonctions de Bolzano, van der Waerden, Weierstrass, etc. , ne sont nulle part dérivables. 2.3. Fonctions vectorielles.

Les concepts du § 1.1. s’étendent sans peine aux fonctions f : I → E, où E est un espace vectoriel normé. Nous ne les détaillons pas, et nous contentons de noter que : La dérivée d’une fonction constante étant nulle, la notion de dérivée est affine, et indépendante de

l’origine choisie : dxOMd =

dxAMd se note

dxMd .

La dérivée ne change pas si l’on remplace la norme de E par une norme équivalente.

Si E est de dimension finie rapporté à une base BBBB = ( 1e , …, ne ), f =∑=

n

iii ef

1

. est dérivable en x0 ssi

chacune des fonctions fi l’est, et alors f’(x0) =∑=

n

iii exf

10).'( .

2.4. Fonction dérivée.

Définition : L’application f : I → E est dite dérivable si elle est dérivable en tout point de I. La

fonction f’ : I → E est dite fonction dérivée de f. La fonction f est dite de classe C1 dans I si elle est

dérivable dans I et si sa dérivée est continue.

9

Définition : Soient I et J deux intervalles de R. L’application f : I → J est appelée difféomorphisme

si f est dérivable et bijective ainsi que sa réciproque. Elle est appelée C1-difféomorphisme si elle est

de classe C1 et bijective ainsi que sa réciproque.

Un difféomorphisme est un homéomorphisme, donc strictement monotone. La réciproque est fausse : x → x

3 est un homéomorphisme, pas un difféomorphisme.

Si f est une fonction réelle dérivable, la fonction dérivée f’ n’est pas quelconque : • c’est une fonction de Baire, c’est-à-dire une limite simple de fonctions continues.

En effet si f est définie sur R, f’(x) = limn→∞ n

xfnxf/1

)()/1( −+ ; si f est définie sur I, modifier légè-

rement cette idée.

• elle possède toujours la propriété des valeurs intermédiaires (cf. pb 1, fin de chapitre).

3. Règles de dérivation.

3.1. Fonctions réelles.

Proposition 1 : somme et produit. Soient f et g : I → R dérivables en x0 .

Pour tout couple (λ, µ) ∈ R×R, λf + µg est dérivable en x0 et (λf + µg)’(x0) = λf’(x0) + µg’(x0).

f.g est dérivable en x0 et ( f.g )’(x0) = f’(x0).g(x0) + f(x0).g’(x0).

Corollaire : Les fonctions dérivables forment une sous-algèbre DDDD(I, R) de CCCC(I, R).

Les fonctions de classe C1 forment une sous-algèbre CCCC

1(I, R) de DDDD(I, R).

Proposition 2 : inverse. Soit f : I → R dérivable en x0 et telle que f(x0) ≠ 0. Alors )(

1xf

est définie

dans un voisinage de x0 dans I, dérivable en x0 et (f1 )’(x0) = −

)²()'(

0

0

xfxf

.

Corollaire : Si u et v : I → R sont dérivables en x0 et si v(x0) ≠ 0, alors vu est définie dans un

voisinage de x0 dans I, dérivable en x0 et (vu )’(x0) =

)²()'().()().'(

0

0000

xvxvxuxvxu −

.

Application : dérivées de la tangente et la tangente hyperbolique.

tan’ x = 1 + tan2

x = )²(cos

1x

et th’ x = 1 − th2

x = )²(

1xch

.

cotan’ x = − 1 – cotan2 x =

)²(sin1x

− et coth’ x = 1 – coth2 x =

)²(1xsh

−

Proposition 3 : dérivée d’une fonction composée. Soient I et J deux intervalles de R, x0 ∈ I, f : I → J, g : J → R deux fonctions. Si f est dérivable en x0

et si g est dérivable en y0 = f(x0), alors g o f est dérivable en x0 et ( g o f )’(x0) = g’( f(x0) ).f’(x0).

La différentielle de g o f est la composée des différentielles : 0x

d ( g o f ) = 0y

d g o 0x

d f.

Preuve : 1) Par les taux d’accroissement, on a envie d’écrire :

0

0))(())((xx

xgofxgof−−

= )()(

))(())((

0

0

xfxfxgofxgof

−−

.0

0)()(xx

xfxf−−

Quand x → x0 avec x ≠ x0, le second membre tend vers g’( f(x0)).f’(x0).

Au fond, en posant y = f(x) et z = g(y), il vient xz

∆∆ =

yz

∆∆ .

xy

∆∆

, d’où, à la limite : dxdz =

dydz .

dxdy

.

10

Mais cette méthode est fausse, car f(x) – f(x0) peut s’annuler dans tout voisinage de x0.

Exemple : f(x) = x2.sin

x1 pour x ≠ 0 , f(0) = 0 et g(x) = x

2.

On ne peut écrire xxf )²(

= )()²(

xfxf

.xxf )(

car f(x) s’annule dans tout voisinage de 0.

Elle est valable si f(x) – f(x0) admet x0 comme racine isolée.

Dans le cas général, on peut éviter le piège des dénominateurs, en introduisant la fonction :

∆g : J → R définie par ∆g(y) = 0

0)()(yy

ygyg−−

si y ∈ J − {y0}, ∆g(y) = g’(y0) si y = y0 = f(x0).

Alors, pour tout x ∈ I − {x0}, 0

0))(())((xx

xgofxgof−−

= ( ∆g o f )(x).0

0)()(xx

xfxf−−

( Si f(x) = f(x0), cela donne 0 = 0 ).

Quand x → x0 avec x ≠ x0, le second membre tend vers g’(f(x0)).f’(x0). CQFD.

2) Par composition des développements limités, on évite les problèmes de dénominateurs.

f(x0 + h) = f(x0) + f’(x0).h + h.ε1(h) , où ε1(h) → 0 quand h → 0.

g(y0 + k) = g(y0) + g’(y0).k + k.ε2(k) , où ε2(k) → 0 quand k → 0 [ avec y0 = f(x0) ].

g(f(x0 + h)) = g(f(x0) + f’(x0).h + h.ε1(h)) = g(y0 + k) , avec k = f’(x0).h + h.ε1(h),

= g(f(x0)) + g’(y0).[ f’(x0).h + h.ε1(h) ] + [ f’(x0).h + h.ε1(h) ].ε2(k)

= g(f(x0)) + g’(y0).f’(x0).h + h.[ g’(y0).ε1(h) + f’(x0).ε2(k) + ε1(h).ε2(k) ]

= g(f(x0)) + g’(y0).f’(x0).h + h.ε(h) , où ε(h) → 0 quand h → 0. CQFD.

Corollaires :

1) Soit I un intervalle de centre 0. Si f est paire (resp. impaire) et dérivable en x0, alors f est

dérivable en – x0 et f’(x0) = − f(x0) [ resp. f’(− x0) = f’(x0) ]. 2) Si f est T-périodique, dérivable en x0, f est dérivable en x0 + nT et f’(x0 + nT) = f’(x0).

3) Si f est dérivable en x0 et si f(x0) ≠ 0, alors g(x) = ln | f(x) | est définie au V(x0), dérivable en x0 et

vérifie g’(x0) = )()'(

0

0

xfxf

.

4) La composée de deux fonctions de classe C1 est de classe C

1.

Les intervalles de R sont les objets de diverses catégories dont les flèches, ou morphismes, sont les fonctions continues, resp. dérivables, de classe C

1. Les isomorphismes correspondants sont alors les

homéomorphismes, resp. les difféomorphismes, les C1-difféomorphismes.

Proposition 4 : dérivabilité d’une bijection réciproque. Soient I un intervalle, f : I → R une fonction continue strictement monotone, J = f(I), et g la bijection réciproque de f. Si f est dérivable en

x0 ∈ I, g est dérivable en y0 = f(x0) si et seulement si f’(x0) ≠ 0, et alors g’(y0) = )('

10xf

.

Corollaire : Soient I et J deux intervalles de R. Pour que f soit un difféomorphisme de I sur J, il faut et il suffit que f soit dérivable, strictement monotone, telle que f(I) = J et que (∀x ∈ I) f’(x) ≠ 0. Pour que f soit un C

1-difféomorphisme de I sur J, il faut et il suffit que f soit de classe C

1, strictement

monotone, telle que f(I) = J et que (∀x ∈ I) f’(x) ≠ 0.

Application : dérivées des fonctions réciproques usuelles.

Dérivée de n x dxdy

= 11

.1 −nx

n

11

Dérivée de Arcsin dxdy

= ²1

1x−

Dérivée de Arccos dxdy

= ²1

1x−

−

Dérivée de Arctan dxdy

= 1²

1+x

Dérivée de Arcotan dxdy

= 1²

1+

−x

Dérivée de Argsh dxdy

= 1²

1+x

Dérivée de Argch dxdy

= 1²

1−x

Dérivée de Argth dxdy

= ²1

1x− Dérivée de Argcoth

dxdy

= ²1

1x−

Il découle de ce qui précède que :

• Arcsin x + Arccos x = cte , en fait 2π

• Arctan x + Arcotan x = cte , en fait 2π

• Argth et Argcoth sont des primitives sur |x| < 1 et |x| > 1 resp., d’une même fonction, ²1

1x− .

Règles de dérivation annexes.

1) Si f1, f2, …, fn sont dérivables en x, leur produit aussi, et

( f1.f2 … fn )’(x) = ∑=

+−

n

i

niii xfxfxfxfxf1

111 )()...()'()()...( .

En particulier, si f est dérivable en x, fn aussi et ( f

n )’(x) = n f

n−1(x).f’(x)

2) Si a, b, c et d sont quatre fonctions dérivables de x, ∆(x) = )()()()(

xdxcxbxa est dérivable en x et

∆’(x) = )()'()()'(

xdxcxbxa + )'()(

)'()(xdxcxbxa . Ceci s’étend sans peine aux déterminants n×n.

Exercice : On note A~

la comatrice transposée de A. Soit t → M(t) une fonction dérivable de R dans

Mn(C). Montrer que t → det M(t) est dérivable, sa dérivée étant t → tr( )(~

tM .M’(t)). 3.2. Fonctions vectorielles.

Les résultats précédents s’étendent aux fonctions vectorielles :

Somme. Si f et g : I → E sont dérivables en x0, pour tout couple (λ, µ) ∈ R×R, λf + µg est dérivable

en x0 et ( λf + µg )’(x0) = λ f’(x0) + µ g’(x0).

Produit. Soient E, F, G trois espaces normés, B : (x, y) ∈ E×F → x × y ∈ G une application

bilinéaire continue. Si f : I → E et g : I → F sont dérivables en x0, B(f , g) est dérivable en x0 et

B( f , g)’(x0) = B(f’(x0) , g(x0)) + B(f(x0) , g’(x0)).

Extension immédiate aux applications multilinéaires continues.

Exemples :

1) Si E est un espace euclidien, x → OM (x) et x → OP (x) sont dérivables, il en est de même de

f : x → OM (x).OP (x) (produit scalaire), et f’(x) = )(xdxMd .OP (x) + OM (x). )(x

dxPd .

2) Si E est euclidien orienté de dimension 3, x → OM (x) et x → OP (x) sont dérivables, il en est

de même de f : x → OM (x)∧OP (x) (produit vectoriel), et f’(x) = dxMd ∧OP (x) + OM (x) ∧

dxPd .

3) Produit de matrices. Soient t → A(t) et t → B(t) deux fonctions dérivables de I dans Mn(K ). Alors C(t) = A(t).B(t) est dérivable et C’(t) = A’(t).B(t) + A(t).B’(t).

12

4) Dérivation d’un déterminant.

Exercice : Soit A ∈ Mn(K ), λ → det(A − λ.I) = P(λ). Calculer P’(0).

Exercice : 1) Soit t → M(t) dérivable de I dans Mn(K ) telle que M(0) = I ; calculer (det M)’(0).

2) Plus généralement, soit t → M(t) une fonction dérivable de I dans Gln(K ). Montrer que :

( det M )’(t) = det M(t).tr(M’(t).M(t)−1

) .

Inverse. Soient A une algèbre normée, U le groupe multiplicatif des inversibles de A. Si f : I → E est

dérivable en x0 et telle que f(x0) ∈ U, alors x → f(x)−1

est définie au voisinage de x0, dérivable en x0

et ( f−1

)’(x0) = − f(x0)−1

.f’(x0).f(x0)−1

.

Exemple : Le plus souvent, A est une algèbre de matrices carrées ou d’endomorphismes continus.

Soient K = R ou C, et M : x → M(x) une application de I dans Mn(K ) telle que M(x0) ∈ Gln(K ).

Alors x → M(x)−1

est définie au voisinage de x0, dérivable en x0 et :

(M−1

)’(x0) = − M(x0)−1

.M’(x 0).M(x0)−1

.

4. Extrema d’une fonction. Définition : Soient I un intervalle de R, f une fonction I → R, x0 un point de I. On dit que f admet

• un maximum (global) en x0 si (∀x ∈ I) f(x) ≤ f(x0) .

• un maximum strict (global) en x0 si (∀x ∈ I) x ≠ x0 ⇒ f(x) < f(x0) .

• un maximum local en x0 s’il existe α > 0 tel que (∀x ∈ I) | x − x0 | ≤ α ⇒ f(x) ≤ f(x0) .

• un maximum local strict en x0 s’il existe α > 0 tel que (∀x ∈ I) 0 < | x − x0 | ≤ α ⇒ f(x) < f(x0) .

On définit de même les notions de minimum, strict, local, etc, et d’extremum, strict, local, etc.

Théorème : Soient I un intervalle de R, f une fonction I → R, x0 un point intérieur de I. On suppose que f est dérivable à gauche et à droite en ce point. • si x0 est un maximum local de f, alors f’d(x0) ≤ 0 ≤ f’g(x0) ;

• si x0 est un minimum local de f, alors f’g(x0) ≤ 0 ≤ f’d(x0).

Corollaire : Si x0 un point intérieur de I, s’il est un extremum local, et si f est dérivable en ce point,

alors f’(x0) = 0.

Définition : Soit I un intervalle de R, f une fonction réelle dérivable dans I. On appelle points critiques les x∈I tels que f’(x) = 0, et valeurs critiques les valeurs prises par f aux points critiques.

Principe de Fermat : Les extrema locaux, et a fortiori globaux, de f dans I sont à chercher parmi ses points critiques.

Conditions nécessaires du second ordre. Soient I un intervalle de R, a un point intérieur, f : I → R une fonction deux fois dérivable en a. • Si a est un minimum local, f’(a) = 0 et f’’( a) ≥ 0 ; • Si a est un maximum local, f’(a) = 0 et f’’( a) ≤ 0 .

Preuve : Supposons que f(x) ≥ f(a) pour x ∈ [a − α, a + α] (α > 0). Alors on a vu que f’(a) = 0.

De plus par Taylor-Young , f(x) – f(a) = )''(.!2)²(

afax−

+ o((x – a)2).

Donc )²(

)()(ax

afxf−−

→ !2)''(af

quand x tend vers a, avec x ≠ a. Or )²(

)()(ax

afxf−−

≥ 0 localement…

Variante : si f’’( a) < 0, on aurait f(x) – f(a) ∼ )''(.!2)²(

afax−

au V(a), donc, deux équivalents étant de

même signe, a serait un maximum local strict.

13

Conditions suffisantes du second ordre. Soient I un intervalle de R, a un point intérieur, f : I → R une fonction deux fois dérivable en a. • Si f’(a) = 0 et f’’( a) > 0, a est un minimum local strict ; • Si f’(a) = 0 et f’’( a) < 0, a est un maximum local strict ; • Si f’(a) = f’’( a) = 0, on ne peut conclure.

Preuve : déjà contenue dans la preuve précédente.

5. Théorème de Rolle.

« Rolle, l’unique objet de mon ressentiment ! »

Pierre Corneille

Théorème 1 (Rolle1, 1691) : Soit f : [a, b] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, b[, et telle que f(b) = f(a). Alors ∃ c ∈ ]a, b[ f’(c) = 0.

Preuve : • Si f est constante, f’(x) = 0 pour tout x : on a l’embarras du choix pour c…

• Si f est non constante, elle prend, par exemple, des valeurs > f(a) = f(b). D’après le théorème des bornes, f est majorée et atteint son sup en un point c ∈ [a, b]. Mais l’hypothèse faite sur f implique que c ∈ ]a, b[. Alors, f’(c) = 0. Si f prend des valeurs < f(a) = f(b), considérer un point c où f atteint son inf. cqfd.

Remarque : des exemples simples montrent le rôle des hypothèses.

Le théorème de Rolle admet deux extensions.

1) La première suppose que f admette en tout point de ]a, b[ une dérivée finie ou infinie.

2) La seconde concerne les intervalles non compacts :

Théorème 2 : Soit f : [a, +∞] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, +∞[, et telle que

f(a) = limx→+∞ f(x). Alors ∃c ∈ ]a, b[ f’(c) = 0.

Preuves : voici quelques idées : 1ère idée : montrer que f est bornée et atteint ses bornes, puis reprendre la preuve ci-dessus.

2ème idée : se ramener au th. de Rolle en considérant g = f o h, où h est une homographie de ]a, +∞[ sur ]0, 1[ telle que h(a) = 0 et h(+∞) = 1.

3ème idée : montrer que f ne peut être injective sur [a, +∞[, en distinguant selon que f prend des valeurs > f(a) et < f(a), ou que f prend des valeurs ≥ f(a)... Le théorème de Rolle sert à localiser les racines de fonctions dérivées.

Exercice : Théorèmes de Laguerre.

Soit P(X) = a0 + a1X + ... + an.Xn un polynôme réel de degré n.

1 Michel ROLLE (Ambert 1652 - Paris 1719) reçut une formation initiale réduite, et fut largement autodidacte. Il travailla comme assistant de plusieurs avocats près d’Ambert, avant de monter à Paris en 1675, où il travailla comme scribe et expert arithmétique. Élu à l’Académie royale des sciences en 1685, il obtint une pension de l’Académie en 1699. Rolle travailla en analyse diophantienne, en algèbre (utilisant les méthodes de Bachet basées sur l’algorithme d’Euclide) et en géométrie. Il publia un Traité d'algèbre sur la théorie des équations. En 1682, il devint célèbre pour avoir résolu un problème posé publiquement par Ozanam ; Colbert le récom-pensa pour cette découverte. Rolle décrivait le calcul infinitésimal comme «une collection d'ingénieux

sophismes», et nia d’abord son utilité. Il inventa la notation n x , et adopta la notation a > b ⇒ −b > −a, en opposition avec Descartes et d’autres. Mais Rolle est surtout connu pour le théorème sur le zéro de la dérivée. Ce théorème parut en 1691 dans un livre obscur, et pas sous cette forme. Rolle constatait qu’entre deux racines réelles consécutives d’un polynôme réel il y a toujours une racine de sa dérivée ; sa démonstration utilisait une méthode de Huddle. Selon Cajori, le terme «théorème de Rolle» fut utilisé pour la première fois en 1834 par Moritz Wilhelm Drobisch, et en 1846 par Giusto Bellavitis.

14

1) Si P est scindé dans R[X], il en est de même de P', et les racines multiples de P' sont parmi celles de P.

2) Si P n’a que des racines réelles et simples, il en est de même de ses dérivées successives P', P", etc., et les racines de P

(k) séparent celles de P

(k+1).

3) a) Si P est scindé dans R[X], pour tout réel a, a.P + P' est scindé dans R[X].

b) Si P est scindé dans R[X], ainsi que Q = b0 + b1X + ... + bh.Xh, il en est de même du poly-

nôme Q(D)(P). [ Factoriser Q. ]

c) Application : Montrer que an + an−1 !1X + ... + a1 )!1(

1

−−

nX n

+ a0 !nX n

est scindé dans R[X].

4) a) Si P est scindé dans R[X], pour tout réel a > 0 , a.P + X.P' est scindé dans R[X].

b) Application : Soit Q(X) = ( X + 1 )( X + 2 ) ... ( X + p ) .

Montrer que a0.Q(0) + a1.Q(1).X + ... + an.Q(n).Xn est scindé dans R[X]. [récurrence sur p.]

Exercice : Montrer que le polynôme Pn(x) = Dn((x

2 − 1)n) a toutes ses racines réelles simples, et

appartenant à ]−1, +1[. Exercice : Soient P ∈ R[X, Y], m le degré de P relatif à X, n le degré de P relatif à Y. Montrer que l’équation P(x, e

x) = 0 a au plus mn + m + n solutions.

6. Théorème des accroissements finis.

6.1. Fonctions à valeurs réelles.

Théorème : Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Alors ∃c ∈ ]a, b[ f(b) − f(a) = f’(c).(b − a)

Interprétation géométrique : Si Γ est le graphe de f, d’extrémités A(a, f(a)) et B(b, f(b)), le théorème dit qu’il existe un point M(c, f(c)) en lequel la tangente est parallèle à la corde AB. ci-contre, l’exemple de exp. sur [0, 1].

Interprétation cinématique : Si x est le temps et f(x) la distance parcourue, le théorème dit que, si le point mobile parcourt f(b) – f(a) pendant le temps b – a (c’est-à-dire roule à la vitesse moyenne

abafbf

−− )()(

), il y a au moins un instant en lequel sa vitesse instantanée f’(c) est égale à la vitesse

moyenne. Ainsi, si je parcours 15 km en 1 heure, il y a un instant en lequel je roule à 15 km/h.2

Preuve : Ce théorème est à la fois une généralisation et une conséquence du théorème de Rolle.

En effet, ϕ(x) = f(x) − ab

afbf−− )()(

(x − a) est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et telle que ϕ(a)

= f(a) = ϕ(b). En vertu du théorème de Rolle, ∃c∈]a, b[ ϕ’(c) = 0 , i.e. f’(c) = ab

afbf−− )()(

.

Corollaire 1 : inégalité des accroissements finis. Soit f : [a, b] → R une fonction continue, dérivable sur ]a, b[.

i) Si ∀x ∈ ]a, b[ m ≤ f’(x) ≤ M , alors m ≤ ab

afbf−− )()(

≤ M.

ii) Si ∀x ∈ ]a, b[ | f’(x) | ≤ M , alors | f(b) − f(a) | ≤ M (b − a).

2 A condition de rouler de manière dérivable, et non comme le lièvre de La Fontaine.

15

Remarque : Ce corollaire est presque plus important que le théorème lui-même, car on ignore où se trouve le fameux c. De plus, on verra qu’il s’étend aux fonctions vectorielles alors que le théorème ne s’y étend pas. Il illustre la nature profonde du théorème : c’est un théorème de passage du local au global. D’un encadrement de la dérivée, c’est-à-dire du taux d’accroissement infinitésimal, on déduit un encadrement du taux d’accroissement fini.

Corollaire 2 : caractérisation des fonctions monotones. Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue sur I, dérivable dans l’intérieur I° de I. f est croissante sur I ⇔ ∀x ∈ I° f’(x) ≥ 0. f est strictement croissante sur I ⇔ ∀x ∈ I° f’(x) ≥ 0 et { x ∈ I° ; f’(x) > 0 } est dense dans I°.

Exemples : 1) La fonction x → x3 est strictement croissante sur R. On le sait bien.

2) Les fonctions x → x ± sin x sont strictement croissantes sur R. En voici une :

Corollaire 3 : caractérisation des fonctions constantes. Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction continue sur I, dérivable sur I°. f est constante sur I ⇔ (∀x ∈ I°) f’(x) = 0.

Remarque : On prendra garde qu’une fonction ayant une dérivée nulle est constante sur chacun des intervalles où elle est définie. On considérera par exemple les fonctions

f(x) = Arctan x + Arctanx1 et g(x) = Arctan(x − 1) + Arctan(x + 1) + Arctan

²22

xx

− .

Corollaire 4 : extension à deux fonctions. Soient f , g : [a, b] → R continues, dérivables sur ]a, b[.

Si ∀x ∈ ]a, b[ m.g’(x) ≤ f’(x) ≤ M.g’(x) , alors m [g(b) − g(a)] ≤ f(b) − f(a) ≤ M [g(b) − g(a)] Il y a égalité ssi f = m.g + cte [ resp. f = M.g + cte ].

Corollaire 5 : caractérisation des fonctions lipschitziennes. Soit I un intervalle de R, f : I → R une fonction dérivable sur I. f est lipschitzienne sur I ⇔ f’ est bornée sur I . En particulier, toute fonction de classe C

1 sur un segment est lipschitzienne.

6.2. Théorème de la limite de la dérivée.

En général, une fonction est continue ou dérivable en un point en tant que somme, produit, inverse, composée ou réversée de fonctions continues ou dérivables. Pour montrer la continuité d’une fonction en un point litigieux, on dispose du théorème de prolongement par continuité. Pour montrer sa dérivabilité, on pourra utiliser le théorème suivant, corollaire du th. des accroissements finis.

16

Théorème de la limite de la dérivée : Soient I un intervalle, a un point de I, f : I → R une fonction

dérivable sur I−{ a} et continue en a. Si limx→a,x≠a f’(x) existe et vaut L, alors f est dérivable en a et f’(a) = L.

Remarques :

1) Ce théorème ne doit pas être confondu avec le théorème de prolongement par continuité.

2) Si f : I → R est dérivable sur I−{ a} et si lim x→a,x≠a f’(x) existe et vaut L, alors f peut être prolongée par continuité en a. En effet, f’ est bornée au V(a), donc uniformément continue au V(a), donc peut être prolongée par continuité (chap. Espaces métriques, § D. 4.)

3) Le théorème précédent s’étend sans peine au cas où limx→a,x≠a f’(x) = ± ∞.

4) Il fournit une condition suffisante, mais non nécessaire, de dérivabilité en un point litigieux.

Exemple 1 : Soit f(x) = x2

sinx1 pour x ≠ 0.

On a |f(x)| ≤ x2, donc f est prolongeable par continuité

f(0) = 0. f ainsi prolongée est dérivable en 0, et xxf )( → 0

quand x → 0, car |xxf )( | ≤ x ; donc f’(0) = 0.

Mais le théorème ci-dessus ne s’applique pas, car

f’(x) = 2x.sinx1 – cos

x1 n’a pas de limite quand x → 0.

Exemple 2 : Soit f(x) = x

xsin pour x ≠ 0.

f se nomme parfois « sinus cardinal ». Elle est prolongeable par continuité en 0 si l’on pose f(0) = 1. On peut montrer que f est dérivable en 0 par trois méthodes :

1) Méthode directe. Formons le taux d’accroissement

0)0()(

−−

xfxf

= ²

sinx

xx− = −6x + o(x) quand x → 0 ; donc f’(0) = 0.

2) Théorème de la limite de la dérivée. f est dérivable sur R* et un développement limité donne :

f’(x) = x

xcos − ²

sinx

x = −3x + o(x) → 0 quand x → 0 ; donc f’(0) = 0.

Donc f’ est continue en 0. f est même deux fois dérivable en 0 car xxf )'(

→ −31 quand x → 0.

3) f est de classe C∞

, pour deux raisons :

i) Pour tout x, f(x) = ∫1

0).cos( dtxt , et appliquer le théorème de dérivation des intégrales à paramètres.

ii) f est développable en série entière sur R.

Exercice : Etudier la convexité de f.

Exemple 3 : La fonction de Cauchy f(x) = exp²1

x− si x ≠ 0 , f(0) = 0 (1822).

17

Cette fonction est de classe C∞

sur R*, et sa dérivée nème s’écrit : f(n)

(x) = Pn(x).nx

x3

²)/1exp(−, où Pn

est un polynôme, comme le montre une récurrence facile. La fonction et toutes ses dérivées tendent vers 0 en 0. Par applications répétées du théorème de la limite de la dérivée, f est indéfiniment dérivable en 0 et ses dérivées sont toutes nulles. Et elles sont bien sûr continues en 0. Ainsi, f est de

classe C∞

sur R. Sa série de Taylor en 0 est la série nulle. Elle a un rayon infini, mais elle ne coïncide avec f qu’en 0.

Exercice : 1) Représenter sur un même graphe f(x) et ses 2 premières dérivées.

2) Montrer que Pn(X) est à coefficients dans Z, pair, de degré 2(n−1), de coefficient dominant

(−1)n+1

.(n + 1)!, et tel que Pn(0) = 2n.

3) Trouver une équation différentielle simple vérifiée par f. En déduire une relation de récurrence

entre Pn+3, Pn+2, Pn+1 et Pn.

Exercice : Montrer que g(x) = exp(−1/x) si x > 0 , g(x) = 0 si x ≤ 0 est également C∞

. 6.3. Compléments : Cauchy, l’Hôpital.

Les résultats suivants généralisent ce qui précède ; ils sont réservés à une seconde lecture.

Théorème des accroissements finis généralisés (Cauchy). Soient f et g : [a, b] → R continues, dérivables sur ]a, b[.

Il existe au moins un point c ∈ ]a, b[ tel que )'()()()'()()(

cgagbgcfafbf

−− = 0.

En particulier, si g’ ne s’annule pas dans ]a, b[, il existe c ∈ ]a, b[ tel que )()()()(

agbgafbf

−−

= )'()'(

cgcf

.

Preuve : Appliquer Rolle à ∆(x) = )()()()()()(

xgagbgxfafbf

−− .

Interprétation géométrique : considérons l’arc paramétré t ∈ [a, b] → M(t) = (f(t), g(t)).

Le théorème de Cauchy dit qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que et )(cdt

dM sont colinéaires.

• Si M(a) = M(b) (lacet), c’est évident. • Si M(a) ≠ M(b), le théorème dit qu’il existe c tel que M(c) soit point critique, ou que M(c) ait une tangente parallèle à la corde M(a)M(b).

Exercice : Soient f, g, h : [a, b] → R, continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ .

18

Montrer que ∃c ∈ ]a, b[ )(')()()(')()()(')()(

chbhahcgbgagcfbfaf

= 0. Interprétation géométrique.

Les règles de l’Hôpital 3 permettent dans certains cas de calculer des limites, à condition d’en faire un usage pertinent. Elles faisaient jadis les délices des cours de taupe ; elles sont maintenant tombées en désuétude et on leur préfère les développements limités.

Première règle de l’Hospital : Soient I un intervalle de R, a ∈ I, f et g : I → R deux fonctions

continues sur I, dérivables sur I−{ a}. Si g’(x) ≠ 0 dans un voisinage de a, et si limx→a,x≠a )'()'(

xgxf

= L

∈ R , alors limx→a,x≠a )()()()(

agxgafxf

−−

= L.

Deuxième règle de l’Hospital : Soient I = ]a, b] un intervalle de R, a ∈ R, f et g : I → R deux fonctions dérivables dans I. Si f et g tendent vers ±∞ quand x tend vers a, si g’(x) ≠ 0 dans un

voisinage de a, et si limx→a,x≠a )'()'(

xgxf

= L ∈ R , alors limx→a,x≠a )()(

xgxf

= L.

6.4. Fonctions à valeurs vectorielles.

Pour des fonctions à valeurs vectorielles, impossible d’obtenir des formules avec le « petit c », comme le montrent les deux exemples suivants, laissé en exercice :

Exemple 1 : I = [0, 1], f(x) = (x2, x

3). Exemple 2 : I = [a, b] ( a < b ), f(x) = e

ix.

Cependant les inégalités des accroissement finis vont rester vraies.

Théorème : Soient I = [a, b] un segment de R, E un espace vectoriel normé, f : I → E une fonction vectorielle et g : I → R une fonction numérique dérivables et telles que (∀x ∈ I) || f'(x) || ≤ g'(x). Alors : || f(b) − f(a) || ≤ g(b) − g(a). En particulier, (∀x ∈ I) || f'(x) || ≤ M ⇒ || f(b) − f(a) || ≤ M(b − a) et f' = 0 ⇒ f est constante.

Indication : Pour tout ε > 0, montrer que Jε = { x ∈ I ; ∀t ∈ [a, x] || f(t) − f(a) || ≤ g(t) − g(a) + ε.(t − a) } est un ouvert-et-fermé ≠ ∅ de I, ou montrer que Kε = { x ∈ I ; || f(x) − f(a) || ≤ g(x) − g(a) + ε.(x − a) } a pour borne supérieure b.

3 Guillaume François Antoine de L’Hôpital (Paris 1661, Paris 1704), marquis de Saint-Mesme et comte d’Autremont, débuta comme officier de cavalerie, mais dut renoncer à la carrière des armes en raison de sa mauvaise vue. Johann Bernoulli vint en France en 1691, et l’Hôpital l’invita sur ses terres pendant quatre mois pour apprendre de lui le calcul infinitésimal. Johann Bernoulli rédigea à l’intention du marquis le premier traité de calcul différentiel et intégral (1691-92). La partie de ce traité relative au calcul intégral parut en 1742 seulement ; celle ayant trait au calcul différentiel n’a été retrouvée et publiée qu’en 1924. Nommé l’année suivante à l’Académie des sciences, l’Hôpital rivalisa bientôt, dans la solution des problèmes que les mathématiciens s’envoyaient les uns aux autres, avec Newton, Leibniz, les Bernoulli et Huyghens. Il laissa deux ouvrages Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696), qui n’était qu’une version remaniée du traité encore inédit de Bernoulli, et eut un grand succès, et Le traité analytique des sections coniques, publié après sa mort en 1707. En 1693, l’Hôpital résolut concuremment avec Huyghens, Leibniz et Jacques Bernoulli le problème proposé par Johann Bernoulli de trouver la courbe dont les tangentes, terminées à un axe, sont proportionnelles aux parties de cet axe comprises entre la courbe et ces mêmes tangentes. En 1695, il donna avec Leibniz, Johann et Jacques Bernoulli, la solution du problème de la courbe d’équilibration dans les ponts-levis. En 1697 il résolut avec Newton, Leibniz et Jacques Bernoulli le problème de la brachistochrone posé par Johann Bernoulli. La règle dite de l’Hôpital est mentionnée en 1696 dans L'analyse des infiniment petits. Quelques mois après la mort du marquis, Johann Bernoulli la revendiqua, et en marqua quelque amertume dans ses lettres à Leibniz.

19

7. Dérivées successives.

Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R ou E est dite n fois dérivable en x0 si sa dérivée (n−1)-ème est dérivable. Cela signifie que le taux d’accroissement de la dérivée (n−1)-ème a une

limite en x0 ; en d’autres termes, f est (n−1) fois dérivable dans un voisinage de x0, autrement dit f, f’,

f’’, …, f(n−1)

sont définies dans un intervalle I contenant x0, et de plus f(n−1)

est dérivable en x0.

f : I → R ou E est dite n fois dérivable sur I si f , f’, … , f(n)

sont définies dans I.

Elle est dit de classe Cn si de plus f

(n) est continue.

Rappelons pour mémoire les propriétés de linéarité, composition des dérivées n-ièmes, et la formule

de Leibniz sur la dérivée n-ième d’un produit : ( f.g )(n)

(a) = ∑=

−n

k

knkkn agafC0

)()( )().(

Notons CCCCk(I, E) l’espace vectoriel des fonctions de classe C

k, i.e. k fois dérivables et à dérivées

continues, DDDDk(I, E) l’espace vectoriel des fonctions k fois dérivables de I dans E.

On alors la chaîne d’inclusions strictes :

CCCC0(I, E) ⊃ DDDD

1(I, E) ⊃ CCCC

1(I, E) ⊃ ... ⊃ CCCC

k(I, E) ⊃ DDDD

k+1(I, E) ⊃ CCCC

k+1(I, E) ⊃ ... ⊃ CCCC

∞(I, E)

où CCCC∞

(I, E) = INk∈

CCCCk(I, E) = I

Nk∈ DDDD

k(I, E) est l’espace des fonctions CCCC

∞ sur I.

CCCC∞

(I, E) contient strictement l’espace des fonctions dse, lequel contient à son tour les exponentielles-polynômes, les polynômes, etc.

L’application f → f' est linéaire de CCCCk+1

(I, E) dans CCCCk(I, E) et de DDDD

k+1(I, E) dans DDDD

k(I, E), et elle

induit un endomorphisme de CCCC∞

(I, E).

8. Convexité.

8.1. Définitions.

Définition : Soit I un intervalle de R. Une fonction f : I → R est dite convexe si : ∀(x, y) ∈ I×I ∀λ ∈ [0, 1] f(λx + (1 − λ)y ) ≤ λ.f(x) + (1 − λ).f(y) . f est dite strictement convexe si : ∀(x, y) ∈ I×I x ≠ y ∀λ ∈ ]0, 1[ f(λx + (1− λ)y) < λ f(x) + (1 − λ) f(y) . f est dite concave (resp. strictement concave) si − f l’est, et affine si elle est convexe et concave.

Proposition 1 : Si f est convexe, on a les inégalités de convexité :

∀(x1, ..., xp) ∈ Ip ∀(λ1, ..., λp) ∈ Σp f( ∑

=

p

iii x

1

.λ ) ≤ )(.1∑

=

p

iii xfλ .

De plus, si f est strictement convexe et si les λi sont tous > 0, alors :

f( ∑=

p

iii x

1

.λ ) = )(.1∑

=

p

iii xfλ ⇒ x1 = ... = xp .

Géométriquement, f est convexe ssi son graphe se trouve sous chacune de ses cordes. Plus précisément, si x < y, entre x et y, le graphe de f est au-dessous de la corde [M(x, f(x)) M(y, f(y))], et il est au-dessus de cette corde à l’extérieur de [x, y], en vertu de la propriété suivante laissée en exercice : ∀(x, y)∈I×I ∀λ ∈ ] −∞, 0] ∪ [1, +∞[ λ.x + (1−λ).y ∈ A ⇒ f(λ.x + (1−λ).y) ≥ λ.f(x) + (1−λ).f(y) .

Exemples.

1) La fonction x → x2 est strictement convexe sur R.

2) La fonction x → |x| est convexe, non strictement, sur R.

20

8.2. Propriétés topologiques et différentielles.

Une fonction convexe f : I → R n’est pas toujours continue, ni dérivable, comme le montre l’exemple de f(x) = |x| si |x| < 1, f(±1) = 2. Toutefois elle possède de nombreuses propriétés topologiques et différentielles, qui découlent de la :

Proposition 1 : Soit f une fonction : I → R. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est convexe ;

ii) xy

xfyf−− )()(

≤ xz

xfzf−− )()(

≤ yz

yfzf−− )()(

pour tous x < y < z dans I ;

iii) Pour tout a ∈ I, la fonction pa : x → ax

afxf−− )()(

est croissante dans I − {a} ;

Remarque : Une fonction convexe est non strictement convexe ssi elle est affine sur un certain sous-intervalle de I non réduit à un point.

Théorème 2 : Soit f une fonction convexe : I → R. i) En tout point a intérieur à I, f est continue, admet une dérivée à droite et à gauche finies, et :

f'g(a) ≤ f'd(a) ;

ii) Si a et b sont intérieurs à I, a < b, on a f'g(a) ≤ f'd(a) ≤ ab

afbf−− )()( ≤ f'g(b) ≤ f'd(b) ;

De plus, f est lispchtzienne sur [a, b] .

iii) Si a est intérieur à I, on a (∀x∈I) f(x) ≥ f(a) + (x − a).f'g(a) et f(x) ≥ f(a) + (x − a).f'd(a) , autrement dit le graphe de f se trouve au-dessus des tangentes à gauche et à droite de f en a.

iv) Les fonctions f'g et f'd sont croissantes dans Int(I). L’ensemble des points où f n’est pas dérivable est au plus dénombrable.

Preuve : i) Soit a un point intérieur à I. La fonction pa : x → ax

afxf−− )()(

est croissante dans I − {a}.

En vertu du théorème de la limite monotone, elle admet des limites à droite et à gauche en a, telles que pa(a − 0) ≤ pa(a + 0). Cela signifie que f est dérivable à droite et à gauche en a, et que :

f'g(a) = supx<a axafxf

−− )()(

≤ infx>a axafxf

−− )()(

= f'd(a) (*)

La continuité de f en a découle de ses dérivabilités à droite et à gauche.

ii) Si a < b, f'd (a) = infx>a axafxf

−− )()(

≤ pa(b) = ab

afbf−− )()(

= pb(a) ≤ supx<b bxbfxf

−− )()(

= f'g(b) .

iii) Si x > a , f(x) ≥ f(a) + (x − a) f’d(a) ≥ f(a) + (x − a) f’g(a)

Si x < a , f(x) ≥ f(a) + (x − a) ’g(a) ≥ f(a) + (x − a) f’d(a) , en vertu de (*). iv) La croissance des dérivées à gauche et à droite est laissée en exercice. Soit D l’ensemble des points de I où f est non dérivable, i.e. f’g(x) < f’d(x).

Pour tout x∈D, notons Jx l’intervalle ] f’g(x) , f’d(x) [. Il découle de ce qui précède que : ∀(x, y)∈D

2 x < y , u∈Jx , v∈Jy ⇒ u < v.

Les intervalles Jx sont deux à deux disjoints. Choisissons un rationnel rx dans chaque intervalle Jx.

L’application x∈D → rx ∈Q est injective, donc D est dénombrable. Cqfd. Théorème 3 : Soit f une fonction dérivable I → R. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) f est convexe (resp. strictement convexe) ; ii) f' est croissante (resp. strictement croissante) ; iii) ∀(a, x)∈I

2 f(x) ≥ f(a) + (x − a).f'(a), autrement dit le graphe de f est au-dessus de ses tangentes

(resp. ∀(a, x)∈I2 a ≠ x ⇒ f(x) > f(a) + (x − a).f'(a) ).

Sous ces hypothèses, f' est continue dans I.

21

Preuve : i) ⇒ ii) découle du théorème précédent.

ii) ⇒ iii) g(x) = f(x) − f(a) − (x − a) f'(a) vérifie g'(x) = f'(x) − f'(a). L’étude des variations conclut.

iii) ⇒ i) Si a < b < c, on a f(a) − f(b) ≥ (a − b) f'(b) et f(c) − f(b) ≥ (c − b) f'(b) ,

d’où : ab

afbf−− )()(

≤ f'(b) ≤ bc

bfcf−− )()(

, et on conclut via prop1 iv)

Montrons que f’ est continue. Tout d’abord, f’ est croissante dans I, donc a une limite à droite et à

gauche en tout x ∈ Int(I). Si limy→x−0 f’(y) = p et limy→x+0 f’(y) = q, le théorème de prolongement

des fonctions dérivées montre que f’g(x) = p et f’d(x) = q. Comme f est dérivable en x, p = q, et f’ est continue en x. Le cas strict est laissé en exercice.

Théorème 4 : Soit f une fonction deux fois dérivable I → R. i) f est convexe ssi (∀x ∈ I) f"(x) ≥ 0 ; ii) f est strictement convexe ssi (∀x ∈ I) f"(x) ≥ 0 et { x ∈ I ; f"(x) > 0 } est dense dans I.

Preuve directe de i) : Il découle de Taylor-Young que f"(x) = limh→0 ²)()(2)2(

hxfhxfhxf ++−+

.

On en déduit aussitôt que si f est convexe, f"(x) ≥ 0. Réciproquement, pour a < b < c, on a, par croissance de f' :

ab

afbf−− )()(

= f'(α) ≤ f'(b) ≤ f'(β) = bc

bfcf−− )()(

,

où, par le TAF, a < α < b < β < c. Le ii) découle de i) et d’une remarque déjà faite. 8.3. Concavité, points d’inflexion : courbes y = f(x).

Soit f une fonction réelle de variable réelle, deux fois dérivable ; on appelle point d’inflexion tout x tel que f"(x) = 0. Cette situation recouvre deux situations génériques :

si f" s’annule en changeant de signe, il y a changement de concavité, la courbe traverse sa tangente en ce point ; on dit qu’il y a inflexion géométrique. Exemple : x

3 en 0.

si f" s’annule sans changer de signe, on dit qu’il y a point méplat. Exemple : x4 en 0.

Ce sont là les situations génériques, c’est-à-dire généralement rencontrées ; il peut arriver aussi que

f" n’ait pas de signe constant au V(x). Penser au cas où f"(x) = x.sinx1 , f"(0) = 0.

9. Etude des variations.

9.1. Plan d’étude des variations d’une fonction usuelle y = f(x).

1. Domaine de définition, domaine d’étude. Des considérations de parité, périodicité, antipério-dicité permettent de réduire le domaine d’étude. 2. Limites aux bornes, prolongement par continuité, tangentes aux points d’arrêt. Il est conseillé de mener cette étude avant celle des variations pour éviter les erreurs en cascade. 3. Etude des variations. Il n’est pas toujours nécessaire de calculer f’(x) : ainsi, f(x) = Arctan x + Arctan(2x) est croissante comme somme de fonctions croissantes. Cependant, le plus souvent, les variations se déduisent du signe de f’(x) ; on factorisera f’(x) ou on introduira autant de fonctions auxiliaires que nécessaire pour déterminer son signe : f’’(x), f’’’(x), etc., mais aussi des fonctions ayant même signe que f’(x). Par exemple, f’(x) = ln A(x) − ln B(x) ou

si f’(x) = )(xA − )(xB , f’(x) aura même signe que A(x) − B(x), etc.

4. Tableau de variations.

22

Il résume les informations précédentes, et nécessite une règle et un peu d’humilité : les élèves de terminale savent faire un tableau de variations, ceux de math sup jugent cela indigne de leur grand talent...

5. Branches infinies.

− Les asymptotes horizontales et verticales sont faciles à détecter.

− Lorsque f(x) → ±∞ lorsque x → ±∞, former le rapport xxf )(

.

• S’il tend vers ±∞, il y a une direction asymptotique Oy.

• S’il tend vers a, former la différence f(x) − ax. Si f(x) − ax → ±∞, on dit que y = a est une direction asymptotique. Si f(x) − ax → b, y = ax + b est asymptote, et le signe de f(x) − ax − b au voisinage de ±∞ donne la position locale par rapport à l’asymptote.

Exemple : y = sin x , y = ln x ont une direction asymptotique y = 0, sans asymptote.

6. Concavité. Elle est en général dictée par le signe de f’’(x).

7. Graphe. 9.2. Calcul de limites.

Rappelons les formes indéterminées usuelles : +∞ − ∞ , 0×∞ , 1∞

, 00 , ∞

∞ .

Il existe des méthodes élémentaires pour lever ces indéterminations, après les avoir détectées :

a) Mise en facteur du terme prépondérant.

Exemples : limx→1+ 3)1(1−x

− 2/3)1(1

−x limx→0+ 2/5

1x

− 31x

limx→+∞ x3 −x

2.ln x

limx→+∞ 2/12/32/5

2/12/32/5

223

xxxxxx

++++ limx→0+ 2/12/32/5

2/12/32/5

223

xxxxxx

++++ limx→+∞ 22/32

2 ln.xeexxee

xx

xx

++++

limx→+∞ 1

ln+xx limx→+∞

xx )1ln( + limx→+∞

xx

ln)1ln( + limx→+∞

xx

lnln)1ln(ln +

limx→0+ )ln(

)sin.ln(3xx

xxx+

+ limx→+∞ )ln()ln(32

4

xxxx

++ limx→0+ )²ln().( xxxx ++

b) Introduction de quantités auxiliaires.

Exemples : limx→0 )2sin()3sin(

xx limx→0

xx

sin)1ln( + limx→0+

xxx 1− limx→0

)tan(1tan

thxArce x−

c) Multiplication par la quantité conjuguée.

Exemples : limx→+∞ xx −+1 limx→+∞ xxx −+

limx→+∞ xxxx −++ limx→+∞ 33 1 xx −+ .

d) Passage au logarithme.

Exemples : limx→0+ x(x²)

limx→+∞ (1 + x1 )

x limx→0+ (sinx)

x

e) Changement de variable.

Exemples : limx→0+ )(

)(xxxx

limx→0+ x

x

xx ++

1)1(

limx→1 3

ln

)(ln)²(ln1

xxx x

+−

f) Encadrement.

Exemples : limx→0 x.E(x1 )

limx→0 (sinx).(x − E(

x1 ))

Enfin, il existe des méthodes plus puissantes : le calcul asymptotique ; cf. chapitre ad hoc.

23

Exercices

Exercice : Pour quelle valeur de x la fonction x x est-elle maximum ? Etudier la suite (n n ).

Exercice : Etudier les variations des fonctions (1 + x1 )

x et (1 +

x1 )

x+1.

En déduire que les suites ( 1+n1 )

n et ( 1+

n1 )

n+1 sont adjacentes.

Exercice : Montrer que ∀x > −1 1+x

x ≤ ln(1+ x) ≤ x

et que ∀x ∈ [0, 1[ − x − )1(2

²x

x− ≤ ln(1 − x) ≤ − x.

Exercice : On considère la fonction f(x) = lnx

ex 1−.

1) Domaine de définition ? Prolongement par continuité ? Développement limité à l’ordre 3 en ? Conséquences ?

2) Etude des variations de f. Montrer que f est C1 sur R. Graphe.

3) Exprimer f’’( x) à l’aide de sh2

2x − (

2x )2

. Montrer que f est C2 sur R, et convexe.

En déduire les variations de g(x) = xxf )(

.

4) Pour x ∈ R, on définit la suite u1(x) = x , un+1(x) = f(un(x)).

a) Etudier la convergence simple et uniforme sur R de cette suite de fonctions.

b) Etablir le développement en série (∀x) exp x = ∑+∞

=121 )()...()(

n

n xuxuxu .

Exercice : Etudier les variations de la fonction f(θ) = sin(θ) + 21 sin(2θ) +

31 sin(3θ) .

Exercice : Etudier les variations des fonctions

f(x) = 3 3 23 +− xx , f(x) = x3 3 1−x , f(x) = ln | x

4 − 4x + 1 | , f(x) = (x

x)x , f(x) =

)( xxx .

Exercice : Etudier la famille de fonctions fλ(x) = λ.ex + x

2 + 2x + 2.

10. Formules de Taylor.

Soit f une fonction n fois dérivable en x0 (cf. § 7). On appelle

polynôme de Taylor d’ordre n de f en x0 le polynôme Pn(x) = kn

k

k

xxk

xf)(

!)(

00

0)(

−∑=

reste de Taylor d’ordre n de f en x0 la différence Rn(x) = f(x) − Pn(x).

Il est clair que, pour tout 0 ≤ k ≤ n, )( 0)( xP k

n = f(k)

(x0) et )( 0)( xR k

n = 0. Quelles relations entretiennent f et son polynôme de Taylor ?

• La correspondance est linéaire ; c’est même un projecteur. • Le polynôme de Taylor d’ordre n−1 de f’ est la dérivée du polynôme de Taylor d’ordre n de f. 10.1. Taylor-Lagrange.

Théorème : Soit f : [a, b] → R une fonction de classe Cn sur [a, b], admettant une dérivée d’ordre

n+1 sur ]a, b[. Alors ∃c ∈ ]a, b[ f(b) = ∑=

−n

k

k

k

abk

af

0

)(

)(!

)( + )(.

)!1()( )1(

1

cfn

ab nn

++

+−

.

24

Autre forme : posant h = b − a , c = a + θ.h,

∃θ ∈ ]0, 1[ f(a + h) = ∑=

n

k

k

k

hk

af

0

)(

.!

)( + ).(.

)!1()( )1(

1

hafn

ab nn

θ++− +

+

.

Lorsque n = 0, on retrouve le théorème des accroissements finis.

Preuve : elle repose sur l’emploi d’une fonction auxiliaire.

1ère méthode : Soit ϕ(x) = f(x) − Pn(x) + K(x − a)n+1

, où la constante K est choisie telle que ϕ(b) = 0.

Alors ϕ possède les mêmes propriétés que f, et ϕ(a) = ϕ’(a) = … = ϕ(n)(a) = ϕ(b) = 0.

Appliquons Rolle à ϕ sur [a, b] : ∃c1 ∈ ]a, b[ ϕ’(c1) = 0 ;

Appliquons Rolle à ϕ’ sur [a, c1] : ∃c2 ∈ ]a, c1[ ϕ’’(c 2) = 0 ; etc.

Appliquons Rolle à ϕ(n) sur [a, cn] : ∃c ∈ ]a, cn[ ϕ(n+1)

(c) = 0 .

Or ϕ(n+1)(c) = 0 ⇒ f

(n+1)(c) + K.( n + 1 )! = 0

ϕ(b) = 0 s’écrit alors : f(b) = ∑=

−n

k

k

k

abk

af

0

)(

)(!

)( + )(.

)!1()( )1(

1

cfn

ab nn

++

+−

.

2ème méthode, due à Ampère.

Soit ψ(t) = f(b) − f(t) − )(.!)( )(

1

tfktb k

n

k

k

∑=

− − A.

)!1()( 1

+− +

ntb n

, où A est choisie telle que ψ(a) = 0.

ψ est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Comme ψ(a) = ψ(b) = 0, par Rolle appliqué une fois, ∃c ∈ ]a, b[ ψ’(c) = 0. Un instant de réflexion montrer que c’est fini.

Remarque : Si a est à droite de b, tout reste vrai, preuve et conclusion.

Exercice Montrer que cos 1 ∉ Q ; en déduire que tan(1/2) ∉ Q. 10.2. Taylor-Laplace.

Formule de Taylor avec reste intégral : Soient I un intervalle de R, f ∈ Cn+1

(I, E) ; alors, pour tout

couple (a, x) ∈ I2 on a : f(x) = ∑

=−

n

k

k

k

axk

af

0

)(

)(!

)( + ∫ +−x

a

nn

dttfntx

).(.!)( )1(

Remarques : 1) Cette formule est parfois dite formule de Taylor-Laplace. On la trouve en effet dans la Théorie analytique des probabilités de Laplace. Celui-ci insistait à juste titre sur l’intérêt de présenter sous forme intégrale les expressions de l’analyse : suites, restes ou sommes partielles de séries, etc. Il avait compris que cette représentation intégrale permettait d’obtenir des encadrements, des équivalents, etc. 2) Cette forme intégrale du reste est plus compliquée que celle de Taylor-Lagrange avec le c ∈ ]a, b[, mais elle est souvent plus maniable. D’abord, elle est vectorielle.

3) Le changement de variable t = a + u.(x − a) ramène aussitôt le reste intégral à :

∫ −+−− +

+ 1

0

)1(1

))..((.)1(.!)(

duaxuafunax nn

n

,

forme souvent plus propice à son étude, car on peut avoir x < a, tandis que 0 < 1.

Théorème de division des fonctions dérivables : Soient f : I → E une fonction C∞

, a un point de I.

La fonction g(x) = ax

afxf−− )()(

pour x ≠ a , g(a) = f’(a) est de classe C∞

dans I.

Elle vérifie (∀k) g(k)

(a) = 1

)()1(

+

+

kaf k

.

Preuve : Il suffit de noter que f(x) – f(a) = ∫x

adttf ).'( = (x − a) ∫ −+

1

0).).('( duuaxaf pour x ≠ a.

D’où g(x) = ∫ −+1

0).).('( duuaxaf , formule encore vraie si x = a.

25

Le théorème de dérivation sous ∫ montre alors que g est de classe C∞

. En effet (x, u) → f’(a + (x − a).u) est continue et a des dérivées partielles en x à tous ordres

continues. Les valeurs de g(k)

(a) s’obtiennent par Taylor-Young, par exemple.

Corollaire : Dans l’anneau C∞

(I, R), l’ensemble des fonctions f nulles en a est un idéal principal, engendré par x – a.

Théorème de division des fonctions dérivables : Soient f : I → E une fonction C∞

, a un point de I,

Pn le polynôme de Taylor de f en a à l’ordre n.

La fonction g(x) = 1)()()(

+−−

n

n

axxPxf

pour x ≠ a , g(a) = )!1(

)()1(

+

+

naf n

, est de classe C∞

dans I.

Elle vérifie (∀k) g(k)

(a) = )1)...(1(

)()1(

+++

++

knkaf kn

.

Preuve : identique.

Corollaire : Dans l’anneau C∞

(I, R), les fonctions f telles que f(a) = f’(a) = … = f(n−1)

(a) = 0

forment un idéal principal, l’idéal engendré par (x – a)n.

Exemples :

1) Les fonctions x

xsin , xsin

1 −x1 ,

1−xex ,

xx)1ln( +

, x

xtan , cotan x −x1 ,

²1cos

xx− sont C

∞ au

voisinage de 0 (En réalité, elles sont C∞

au voisinage de 0 pour une autre raison : elles sont développables en série entière au voisinage de 0).

2) Soit f une fonction C∞

: I → R. Si f’ est un C∞

-difféomorphisme, le « c » de la formule des

accroissements finis est fonction C∞

des deux variables x et y : c(x, y) = f’(−1)

(xy

xfyf−− )()(

).

Si f = exp, c(x, y) = lnxyee xy

−−

, avec c(x, x) = x ; si f = ln, c(x, y) = xy

xylnln −

−, c(x, x) = x.

10.3. Encadrements tayloriens.

Il arrive souvent que l’on puisse comparer f et ses polynômes de Taylor.

Exponentielle.

(1) ∀x ≥ 0 1 + !1

x + !2²x + ... +

!nxn

≤ exp x

Sur R+, exp x est supérieur à tous ses polynômes de Taylor.

(2) ∀x ≤ 0 1 + !1

x + !2²x + ... +

)!12(

12

−−

nx n

≤ exp x ≤ 1 + !1

x + !2²x + ... +

)!2(

2

nx n

.

Sur R−, exp x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.

26

Logarithme.

(3) ∀x ≥ 0 x − 2²x ≤ ln(1 + x) ≤ x

Plus généralement, sur R+, ln(1 + x) est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.

(4) ∀x ∈ ]−1, 0] ln(1 + x) ≤ x − 2

2x

Plus généralement, sur ]−1, 0], ln(1 + x) est inférieur à tous ses polynômes de Taylor.

Trigonométrie.

(5) ∀x ≥ 0 x − !3

3x ≤ sin x ≤ x .

Plus généralement, sin x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.

(6) ∀x ∈ R 1 − 2

2x ≤ cos x ≤ x

Plus généralement, cos x est compris entre deux polynômes de Taylor consécutifs.

Encadrements tayloriens du sinus et du cosinus

De même pour l’arctangente.

Inégalité de Bernoulli.

(9) ∀x > −1 ∀n ∈ N* ( 1 + x )n ≥ 1+ n.x

Ces inégalités peuvent parfois se déduire de Taylor-Lagrange ou Laplace, mais parfois ne peuvent s’établir que par récurrence et étude des variations de la différence. 10.4. Taylor-Young.

Proposition 1 : Primitivation des développements limités. Soit I un intervalle de R, f une fonction dérivable de I dans R. Si f’ admet un DL(n) en x0 ∈ I, f admet en ce point un DL(n+1) qui s’obtient en primitivant terme à terme celui de f’.

Autrement dit f’ (x) = a0 + a1.(x − x0) + … + an.(x − x0)n + o((x − x0)

n) au V(x0) , implique :

f(x) = f(x0) + a0.(x − x0) + 21a

.(x − x0)2 + … +

11

++

nan .(x − x0)

n+1 + o((x − x0)

n+1) .

Preuve : Par soustraction et linéarité de la dérivation, tout revient à montrer que

f’ (x) = o((x − x0)n) implique f(x) − f(x0) = o((x − x0)

n+1).

On a : ∀ ε > 0 ∃ α > 0 ∀x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α] | f’(x) | ≤ ε.|x − x0|n

.

Soit x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α]. En vertu du théorème des accroissements finis appliqué à f sur le

segment [x0, x] ou le segment [x, x0], il vient | f(x) − f(x0) | ≤ ε.| x − x0 |n+1

. cqfd.

27

Théorème : Soit f une fonction n fois dérivable en x0. Alors f admet un DL(n) en x0 qui est donné par son polynôme de Taylor :

f(x) = f(x0) + !1

)'( 0xf.(x − x0) +

!2)''( 0xf

.(x − x0)2 + … +

!)( 0

)(

nxf n

.(x − x0)n + o((x − x0)

n)

f(x0 + h) = f(x0) + !1

)'( 0xf.h +

!2)''( 0xf

.h2 + … +

!)( 0

)(

nxf n

.hn + o(h

n)

Preuve : par récurrence sur n à partir de la prop. précédente.

Corollaire : Soit f une fonction indéfiniment dérivable en x0. Alors f admet un DL à tous ordres en

x0 qui taylorien. 10.5. Fonctions développables en série entière.

Voir cours sur les séries entières.

___________

Exercices Exercice : Parallèlement au mur BD d’une maison se dresse un mur EC de 3 m de hauteur. On sait que CD = 1m. Quelle est la longueur minimale des traverses AB qui touchent le sol et la maison et s’appuient en E sur le mur ?

Exercice : Parmi les cylindres de révolution ayant la même aire totale, quels sont ceux qui ont le volume maximal ?

Exercice : Dans le plan, on considère deux droites D et D’ orthogonales, et un couple (A, B) de points de D situés d’un même côté de D’. Déterminer les points M de D’ tels que l’angle AMB soit maximal. Application en publicité.

Exercice : Soit EEEE un plan affine euclidien, SSSS = (Mi, mi)1≤i≤N un nuage de points Mi pondérés par des

masses mi > 0. Si DDDD est une droite de EEEE, on appelle moment d’inertie de par rapport à DDDD :

IIII (SSSS , DDDD) = ∑=

N

iim

1

.d(Mi , DDDD)2.

1) Soient G le barycentre de SSSS , DDDD une droite affine de EEEE, D la droite parallèle à DDDD passant par G.

Montrer que IIII(SSSS, DDDD) = IIII(SSSS , D) + M.d(D, DDDD2 , où M = ∑

=

N

iim

1

(formule d'Huygens).

En déduire que la droite minimisant le moment d’inertie est à chercher parmi les droites passant par G.

2) On prend G = O comme origine du repère orthonormé et on note D(θ) la droite d’équation : x.cos θ + y.sin θ = 0.

Montrer que IIII(SSSS , D(θ)) se met sous la forme A.cos2θ + 2Bcosθ.sinθ + C.sin

2θ. ; calculer A, B et C.

Montrer l’existence de la droite cherchée, et discuter son unicité. __________

28

Problème 1 : Contre-exemples

1) Montrer qu’une fois prolongée par continuité en 0 la fonction f(x) = x2 sin

x1 est dérivable sur R,

mais que sa dérivée est sans limite en 0 ±.

2) Montrer qu’une fois prolongée par continuité en 0 la fonction f(x) = x2 sin 3/4

1x

est dérivable

sur R, mais que sa dérivée n’est bornée sur aucun voisinage de 0.

3) Montrer qu’une fois prolongée par continuité en 0 la fonction f(x) = x

xln

cosx1 est dérivable sur

]−1, 1[, mais que sa dérivée n’est bornée sur aucun voisinage de 0.

4) On considère la fonction f de la 1ère question. Soit n → rn une bijection de N sur Q ∩ ]−1, +1[.

Montre que la fonction F(x) = ∑+∞

=−

0

)(21

n

nn rxf est dérivable sur ]−1, 1[, mais que sa dérivée n’est

continue qu’en les points irrationnels.

5) Montrer qu’une fois prolongée par continuité en 0 la fonction f(x) = x2 sin

x1 +

4x est dérivable

sur R, telle que f’(0) > 0, mais n’est croissante sur aucun voisinage de 0.

6) Montrer qu’une fois prolongée par continuité en 0 la fonction f(x) = x2 ( 2 + sin

x1 ) est dérivable

sur R, admet en 0 un minimum strict, mais que sa dérivée n’est croissante sur aucun intervalle [0, a], a > 0. Problème 2 : théorème de Bonnet-Darboux 1) On définit les trois fonctions suivantes :

f(x) = x2.sin

x1 si x ≠ 0 , g(x) = x

2.sin

²1x

si x ≠ 0 , h(x) = x3.(1 − x).sin

²1x

si x ≠ 0,

Après les avoir prolongées convenablement en 0, montrer qu’elles sont dérivables sur [0, 1], que f’ n’est pas continue, g’ n’est pas bornée et h’ est bornée mais n’atteint pas ses bornes.

2) Soit I un intervalle de R, f une fonction réelle dérivable sur I. Prouver que l’image de I par f’ est un intervalle, c’est à dire que pour tout couple (α, β) d’éléments de f’(I) tel que α < β, tout élément γ de ]α, β[ appartient à f’(I). On pourra se ramener au cas où γ = 0 en introduisant la fonction g(x) = f(x) − γx, et on montrera que g n’est pas injective.

3) Applications : a) Résoudre l’équation différentielle y’.( y − 1 ) = 0

b) Montrer qu’une fonction convexe dérivable sur I est de classe C1.

__________ Problème 3 Soient I un intervalle de R non réduit à un point, a un point de I, f une fonction I → R.

1) Montrer que, pour que f soit dérivable en a, il faut et il suffit que ∆(x, y) ≡ xy

xfyf−− )()(

ait une

limite quand (x, y) → (a, a) de façon que x ≤ a ≤ y et x ≠ y. Et alors f'(a) est égale à cette limite.

En déduire une condition suffisante de non-dérivabilité en a.

29

2) f est dite strictement dérivable en a si ∆(x, y) ≡ xy

xfyf−− )()(

a une limite quand (x, y) → (a, a)

de façon que x ≠ y.

a) Montrer que si f est strictement dérivable en a, f est dérivable en a et sa dérivée stricte est sa dérivée.

b) Montrer que la réciproque est fausse, en considérant f(x) = x2

sinx1 si x ≠ 0, f(0) = 0.

c) On suppose f dérivable dans I. Montrer que f est strictement dérivable en a si et seulement si f’ est continue en a.

N B : Le résultat du 1) s’applique aux fonctions pathologiques classiques : Bolzano, Weierstrass, van der Waerden, etc. Pour ces fonctions en effet, le calcul de f(x) n’est simple qu’en certains points, on connaît donc les pentes de nombreuses cordes de son graphe. ____________ Problème 4 : changement de base

1) À tout réel x ∈ [0, 1] on associe son développement décimal propre x = ∑+∞

=1 10)(

nn

n xd. On convient

que dn(1) ≡ 0. Soit σ une permutation quelconque de N*, et f la fonction x → ∑+∞

=1

)( .10

)(

nn

n xdσ

Montrer que f est définie, réglée sur [0, 1], continue en tout réel non décimal, et continue à gauche en

tout point. Calculer ∫1

0).( dxxf ; interprétation probabiliste.

2) On considère la fonction g : x = ∑+∞

=1 10)(

nn

n xd ∈ [0, 1[ → ∑

+∞

=12 .

10)(

nn

n xd

a) Montrer que g est définie et strictement croissante. b) Montrer que g est continue à droite en tout point, continue à gauche en tout x non décimal. Calculer le saut de g en un point décimal. Quelle est la somme des sauts de g sur [0, 1[ ? La comparer à g(1 − 0) − g(0) ; conséquence ? c) Montrer que g a une dérivée à droite nulle en tout décimal. Etudier sa dérivabilité en un point non décimal.

d) Relation entre g(1 − x) et g(x). Calculer ∫1

0).( dxxg .

e) Généraliser. __________ Problème 5 : dérivée symétrique Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, a un point intérieur de I.

On dit que f admet en a une dérivée symétrique si f est continue en a et si h → h

hafhaf2

)()( −−+

admet une limite quand h tend vers 0 par valeurs ≠ 0. On note alors :

f’s(a) = lim h→0, h≠0 h

hafhaf2

)()( −−+.

1) a) Montrer que si f est dérivable en a, f admet en a une dérivée symétrique. b) Montrer plus généralement que, si f est dérivable à droite et à gauche en a, f admet en a une dérivée symétrique. c) Montrer que les réciproques sont fausses.

2) a) Si f est paire et continue en 0, que dire de f’s(0) ?

30

b) Si f est impaire, montrer que f’s(a) existe ssi f est dérivable en 0.

3) a) Que dire de la somme, du produit de fonctions ayant une dérivée symétrique en a ?

b) Que dire de l’inverse d’une fonction ayant une dérivée symétrique en a et telle que f(a) ≠ 0.

4) On suppose f continue sur [a, b] et ayant une dérivée symétrique en tout point de ]a, b[. Montrer que si ∀t ∈ ]a, b[ m ≤ f’(t) ≤ M , alors ∀(x, y) ∈ [a, b]

2 x ≤ y ⇒ m.(y − x) ≤ f(y) − f(x) ≤ M.(y − x) .

[ Indication : Si x, y ∈ ]a, b[, poser z = 2

yx+, étudier

J = { h ∈ [0,2

xy− ] ; 2( m − ε ).h ≤ f(z + h) − f(z − h) ≤ 2( M + ε ).h } ]

5) En déduire que si f est continue sur [a, b] et a une dérivée symétrique ≥ 0 en tout point de ]a, b[, alors elle est croissante. ___________ Problème 6 : Inégalités de Kolmogoroff Pour tout entier n ≥ 1, on note En l’espace vectoriel des fonctions f de classe C

n de R dans R telles

que f et f(n)

soient bornées sur R. Si f ∈ En, on note

M0(f) = supx∈R | f(x) | et Mn(f) = supx∈R | f(n)

(x) |.

Le but du problème est d’établir que En ⊂ Ek pour tout k ∈ {1, …, n}, et d’obtenir une majoration

de Mk(f) en fonction de M0(f) et Mn(f).

1) Dans cette question on suppose n = 2 ; soit f ∈ E2.

a) Appliquant une formule de Taylor sur [x, x+h], établir (∀x) (∀h > 0) |f’(x)| ≤hM02 +

22hM

En déduire que E2 ⊂ E1 et que M1 ≤ 2 20MM .

b) Appliquant une formule de Taylor sur [x, x+h] et [x−h, x], h > 0, montrer que (∀x) (∀h > 0)

|f’(x)| ≤ h

M0 +22hM . En déduire une nouvelle majoration de M1 plus précise que celle de a).

2) Dans cette question on suppose n ≥ 2 ; soit f ∈ En.

Soient h1, …, hn−1 n−1 réels non nuls et deux à deux distincts.

On définit

− )(...

)()(

1

2

1

xF

xFxF

n

= Hn−1.

− )(...

)('')('

)1( xf

xfxf

n

où Hn−1 =

−

−−

−−−−

−

−

)!1/(...!2/!1/............

)!1/(...!2/!1/)!1/(...!2/!1/

11

211

12

222

11

211

nhhh

nhhhnhhh

nnnn

n

n

a) Calculer det Hn−1. Montrer que ∀k ∈ [1, n−1] | Fk(x) | ≤ 2M0 + n

n

kM

n

h.

!.

b) Montrer les inclusions En ⊂ Ek pour tout k ∈ {1, …, n}.

3) Dans cette question on suppose n = 3 ; soit f ∈ E3.

a) Déduire de 1b) des majorations de M1 et M2 en fonction de M0 et M3.

b) Appliquant Taylor comme en 1b), montrer que :

(∀x) (∀h > 0) | f’(x) | ≤ h

M0 +6

²3hM et | f’’( x) | ≤ ²

4 0

hM +

33hM .

En déduire de nouvelles majorations de M1 et M2 en fonction de M0 et M3.

31

4) Soient n ≥ 2 et f ∈ En.

a) Majorer Mn−1 en fonction de Mn−2 et Mn.

b) En déduire par récurrence l’existence d’une suite (an) de réels > 0, indépendants de f, tels que

Mn−1 ≤ an. nM1

0 . nnM11−

.

c) Montrer que Mn−1 ≤ 21

2−n

. nM1

0 . nnM11−

.

5) Soient n ≥ 2, et f ∈ En. Déduire de 4c) que ∀k ∈ [0, n] Mk ≤ 2)(

2knk −

. nkn

M−

0 . nk

nM .

6) On se propose de redémontrer les inégalités de 5) par une méthode plus géométrique.

Soit f ∈ En. On sait que Mk ≤ 112 +− kk MM . Déterminer une suite (βk) telle que yk = lnk

kMβ vérifie

∀k ∈ [1, n−1] yk ≤ 21 [yk−1 + yk+1]. Que dire de la fonction affine par morceaux telle que ϕ(k) = yk

pour 0 ≤ k ≤ n ? En déduire yk ≤ ( 1 − nk ) y0 +

nk yn , et conclure.

7) En vue d’établir l’optimalité des majorations établies en 1b) et 3b), on introduit la suite de fonctions (wp) définies par :

• wp(x) = 2 si 0 ≤ x ≤ 1 − p21 • wp(x) = 2.sin(pπ(1 − x)) si 1 −

p21 ≤ x ≤ 1

• wp(−x) = wp(x) et wp(x + 2) = − wp(x) pour tout x.

Soient vp la primitive de wp nulle en 0, up la primitive de vp nulle en 1 et Up la primitive de up nulle en 0. a) Calculer vp, up et Up sur [0, 1]. Etudier la parité et la 2-antipériodicité de ces fonctions. Graphes lorsque p = 1.

b) Calculer M0(up), M1(up) et M2(up) ; en déduire l’optimalité de 1b).

c) En considérant Up, établir l’optimalité des majorations de 3b).

____________