séance du 3 octobre 2014 beta, sml, droite...

Cours de gestion financière (M1)

Séance du 3 octobre 2014Beta, SML, droite caractéristique

1

S&P500 vs high betastocks

Plan de la séance du 3 octobre 2014 (3)Beta, Security Market Line (SML), droite caractéristique

Espérance de rentabilité et risque (introduction) Beta d’un titre, droite caractéristique d’un titre Estimation des Betas : approches de Bloomberg, Blume et Vasicek Beta ex-ante

Beta d’un portefeuille de titres

Risque systématique (ou de marché) et risque spécifique (ou idiosyncratique), décomposition du risque total

Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) De la capital market line à la security market line (SML)

Démonstration intuitive du MEDAF : diversification du risque idiosyncratique

Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques Estimation des écart-types des rentabilités

2

Décomposition d’un risque d’un titre

Dans le graphique ci-dessous, on compare les résultats d’un investissement de 1 $ dans l’action McDonald’s et dans le portefeuille S&P 500 Dividendes réinvestis

3

1 $ investi en 1980 dans l’action McDovaut 150 $ en 2012

Si l’on investit dans le portefeuille diversifié S&P 500, on n’obtient que 30 $

Comment expliquer cet écart de rentabilité ?

« chance », « risque » ?


4

Traders sur le marché des options de Chicago CBOE

Évolution comparée des rentabilités cumulées de Pier Import et de MacDo

Il semble que le cours de Pier Import soit plus volatile que celui

de MacDoEst‐ce que la rentabilité du

premier titre est significativement plus élevée ?


Variabilité des rentabilités d’Apple supérieure à celle de Clorox Qu’en déduire à propos des rentabilités attendues ?

5

Rentabilités quotidiennes des actions Apple et Clorox de mai 2012 à mai 2013

Droite caractéristique d’un titre

, représente la rentabilité du titre i à la date t Il peut aussi s’agir de la rentabilité d’un portefeuille de titres

, représente la rentabilité d’un indice boursier à la date t, représentant l’évolution du marché boursier

Typiquement CAC40, indice S&P 500 aux États-Unis Pondération par la capitalisation boursière

Décomposition du risque du titre i en risque lié au marché , et un terme résiduel , , , ,

constantes, :beta du titre i Ceci signifie que si le marché augmente de 1%, le titre i

augmente en moyenne de 6


, , , :beta du titre i déterminé à partir des rentabilités passées

On parle aussi de beta ex-post

, , ,

et sont les rentabilités moyenne du titre i et du marché sur la période d’estimation, ici de longueur

Propriétés complémentaires , 0 le terme résiduel a une moyenne nulle

, , 0 pas de corrélation entre résidu et rentabilité du portefeuille de marché

équation d’une droite dite caractéristique7


Navellier Fundamental A (NFMAX, fonds géré par Navellier) contre Russell 3000 Index

8

Données hebdomadaires

Mai 2005 Juillet 2009

Russell 3000 Indice large98% de la

capitalisation boursière US


Quelles données pour déterminer la droite caractéristique ? De nombreux points à préciser concernant les rentabilités

utilisées Prise en compte des dividendes (réinvestis) Opérations sur titres (OST) : division, distribution d’actions gratuites,

augmentation de capital avec droits préférentiels de souscription Périodicité : quotidienne, hebdomadaire, mensuelle Composition des rentabilités : moyenne arithmétique, géométrique Périmètre : choix des marchés sur lesquels les actions sont cotées,

retraits de la côte, différence entre les dates de clôture des différents marchés

Pondérations : par la valeur boursière, par la valeur boursière flottante Période d’observation : date de début, date de fin, prise en compte des

données manquantes (la non cotation

9

Droite caractéristique du titre i : , ,

Ordonnée de la droite caractéristique à l’origine

Droite caractéristique d’un titre, méthode des moindres carrés

10

À chaque point est associé une date tEn abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ,En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : , Pente de la droite

caractéristique




11 , , ,i t i t i i M tR R

À chaque point est associé une date tEn abscisse, la rentabilité du portefeuille de marché à cette date t : ,En ordonnée, la rentabilité du titre i à cette date t : ,La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés

Pente de la droite caractéristique

Distance verticale entre un point et la droite caractéristique




12 , , ,i t i t i i M tR R

La droite caractéristique du titre est obtenu par un ajustement linéaire au nuage de points selon la méthode des moindres carrés :

et minimisent la somme des carrés des écarts , :

∑ , ,

Pente de la droite caractéristique

Distance verticale entre un point et la droite caractéristique

Droite caractéristique d’un titre et beta / la pratique

Beta de l’action Disney (source Bloomberg)

13

Indice S&P 500 retenu pour approcher le portefeuille de

marchéRentabilités

mensuelles sur une période de 5 ans« raw beta »

correspond au Beta historique

« adjusted beta » = 2/3 raw beta + 1/3 x 1

Estimation des betas / retour à la moyenne

Raw beta / beta brut : déterminé comme indiqué précédemment Bloomberg s’appuie sur les travaux de Blume et de Vasicke Blume part de la constatation d’un retour à la moyenne des

betas estimés sur des périodes consécutives

Blume, M. E. (1975). Betas and their regression tendencies. The Journal of Finance, 30(3), 785-795.

Blume, M. E. (1979). Betas and their regression tendencies: some further evidence. Journal of Finance, 265-267. 14

Estimation des betas / retour à la moyenne

Le tableau ci-dessous considère des betas estimés sur une période de 7 ans (1926-1933) et regroupés en 4 groupes Le groupe 1 est constitué des actions avec le Beta le plus faible

et ainsi de suite La dernière colonne représente les betas pour ces titres sur la

période de 7 ans qui suit

On constate un retour à la moyenne (sauf pour la catégorie 3)15

Estimation des betas / biais de sélection

Une partie de l’effet observé est due au biais de sélection Illusion statistique, plus spécifiquement ici de biais de classement

Prenons une série de grandeurs tirées de manière aléatoire, par exemple des tirages de dés

L’observation d’une valeur extrême, disons 6, est (nécessairement) suivie d’une valeur plus proche de la moyenne

Si l’on raisonne en termes de causalité, on dira que les fils des hommes grands ne sont pas aussi grands (relativement à la moyenne de leur génération) que leur père … Ce qui parait d’une logique « évidente » …

En sens inverse, une valeur moyenne, disons 3 ou 4, va être suivie d’une valeur extrême 1,2 ou 5,6 avec une probabilité de 2/3 et on n’a ainsi qu’une probabilité de 1/3 de rester dans la moyenne

On ne va bien sûr pas en déduire que les hommes moyens engendrent souvent des géants ou des nains …

Le sophisme est d’autant plus apparent que la numérotation des faces du dé est arbitraire …

16


Concept de retour à la moyenne attribué à Francis Galton Regression to the mean

Selon les observations de Galton, si les parents mesurent 6 cm de plus que la moyenne, les enfants ne mesurent plus que 2/3 x 6 cm de plus que la moyenne …

Galton, F. (1886). "Regression towards mediocrity in hereditary stature". The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland 15: 246–263.

D’où l’origine du terme “regression” Galton, inventeur des concepts d’écart-type et ayant retrouvé celui

de corrélation (une invention française) … Indispensable pour corriger du biais de sélection précédent

L’artéfact précédent survient dès que le coefficient de corrélation est inférieur à 1

Pour en revenir aux betas estimés, ils ne sont déterminés qu’avec un bruit statistique et donc imparfaitement corrélés

17

Pour aller plus loin, voir Kahneman, p. 219‐225

Galton


Revenons maintenant aux betas ajustés et à l’étude de Blume Le beta moyen étant de 1, la formule du beta ajustée: 2/3 betaestimé sur la période précédente + 1/3 x 1

On pourrait penser qu’il y a un problème statistique de même nature dans le phénomène de retour à la moyenne des Betas

Blume avait heureusement conscience de ce phénomène Il s’agit en fait de ce qu’on appelle un problème d’erreur sur la

variable explicative Qui tend à biaiser le coefficient reliant le beta d’une période au

beta de la période précédente Selon Blume, le phénomène subsiste même après les correctifs

adaptés Il n’y a bien sûr aucune raison pour que le coefficient 2/3 ne

dépende pas de la période d’estimation et du titre considéré

18

Estimation des betas / approche de Vasicek

« Adjusted Beta » (Vasicek) Vasicek, O. A. (1973). A NOTE ON USING

CROSS‐SECTIONAL INFORMATION IN BAYESIAN ESTIMATION OF SECURITY BETAS. The Journal of Finance, 28(5), 1233-1239.

L’idée est différente de celle de Blume Vasicek propose une approche bayésienne, selon laquelle, en

l’absence d’information, on suppose que le beta est égal à un L’estimateur du beta à partir de données historiques va être une

moyenne pondérée du beta estimé et du beta déterminé a priori Poids dépendant du degré de précision des beta estimé et a priori Comme dans le cas de Blume, on ne voit pas pourquoi, on en resterait

à des poids de 2/3 et 1/3 dans tous les cas de figure … http://www.stat.ucla.edu/~nchristo/statistics_c183_c283/vasicek_betas.pdf

http://guides.lib.byu.edu/content.php?pid=53518&sid=401576

19

O. Vasicek

Beta (ex-ante) d’un titre, d’un portefeuille

On s’intéresse maintenant aux rentabilités à venir et

, Beta (ex-ante) du titre i

Si augmente de %, augmente en moyenne de % Cov , covariance entre et variance de la rentabilité du portefeuille de marché : espérance de rentabilité du titre i et sont des variables aléatoires : on ne connaît pas les

rentabilités à venir

risque spécifique ou risque idiosyncratique du titre i De moyenne nulle Non corrélé avec

20

La théorie du marché du capital Risque de marché et risque idiosyncratique

Décomposition du risque associé à la rentabilité du titre i

D’où :

On a utilisé Var Var si a est constant.

risque spécifique ou idiosyncratique dû à des événements propres au titre 21

i i i M M iR E R E

Var Var Vari i i M M i i M iR E R E R

2 Cov , 0Var

Var Var 2Cov , Vari M ii M

i M i i M i M i i

RR

R R R

2 2 2

risque total risque de marché risque spécifique

Vari i M i ,Cov , 0 ?i ji j

Beta d’un actif sans risque, du portefeuille de marché, d’un portefeuille de deux titres

Actif sans risque ,

Portefeuille de marché ,

Beta d’un portefeuille de titres ,

, ,

22

1 21P X X Beta d’un portefeuille : moyenne pondérée des betas des titres le

constituant.Coefficients de pondération : fraction de la richesse investie dans chaque titre

Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Relation entre l’espérance de rentabilité d’un titre i et son Beta MEDAF : modèle d’évaluation des actifs financiers

: espérance de rentabilité (ou « rentabilité attendue ») du titre i

taux d’intérêt sans risque D’un placement dont l’écart-type du taux de rentabilité = 0

: espérance de rentabilité du portefeuille de marché : prime de risque (positive)

Le MEDAF établit une relation affine entre les betas des titres et leur espérance de rentabilité

23


Équation fondamentale du MEDAF MEDAF : Modèle d’Évaluation Des Actifs Financiers

Concerne tous les titres i Relie espérance de rentabilité, beta du titre, taux sans

risque et espérance de rentabilité du portefeuille de marché

24

i f i M fE R E R

prime de risque

i f i M fE R E R

risque de marché

prix de marché du risque

M fi f i M

M

E RE R

Seul le risque de marché est rémunéré


MEDAF : Modèle d’Évaluation Des Actifs Financiers CAPM : Capital Asset Pricing Model

Prime de risque :écart entre la rentabilité du portefeuille de marché et le taux sans risque

Dans l’équation , est le seul terme qui dépend du titre i.

25

du titre taux sans risque prime de risque

i f i M f

i

E R E R

i f i M fE R E R


Rappel : décomposition du risque d’un titre

Implications pour la stratégie des entreprises Le MEDAF donne la rentabilité attendue par les investisseurs Le risque spécifique non pris en compte par les investisseurs

Conglomérats, assurance de la part des entreprises, de la gestion des risques par les banques ?

26

risque de marché

prix de marché du risque

M fi f i M

M

E RE R

2 2 2

risque total risque de marché risque spécifique

Vari i M i

Pente de la CML

Seul le risque de marché est rémunéré

Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) /Security Market Line (SML) On se place dans un plan où le beta des portefeuilles

est porté en abscisse Pour la CML, c’est l’écart-type des rentabilités

L’espérance des rentabilités en ordonnées

27

Security Market Line

Beta des portefeuilles de titres

Espérance de rentabilité

Portefeuille de marchéActif sans

risque

Pente de la SML=

i f i M fE R E R


Relation entre l’espérance de rentabilité d’un titre i et son niveau de risque MEDAF : modèle d’évaluation des actifs financiers

Précise le risque à prendre en compte Uniquement le risque de marché Relation affine entre espérance de rentabilité et beta

Le Médaf va servir de critère pour l’évaluation : De la performance d’un titre De la performance d’un portefeuille de titres De la performance de projets d’investissement

28

Le modèle d’évaluation des actifs financiers

On va d’abord donner l’intuition du résultat fondamental,

En cherchant au préalable à indiquer pourquoi le risque spécifique n’est pas rémunéré Il « disparaît » dans les portefeuilles détenus par les investisseurs

Une démonstration rigoureuse est donnée en annexe Elle fait intervenir des raisonnements financiers et des résultats sur

les dérivées des fonctions La démonstration ne présente pas de difficulté particulière mais est

trop longue pour être présentée en amphi. Elle est recommandée pour ceux qui veulent poursuivre des études

en finance Elle ne fera pas l’objet de question au partiel

29

La théorie du marché du capital : de la CML à la SML (Security Market Line)

La démonstration intuitive part de la décomposition des rentabilités

Où est associé au risque de marché et est le risque spécifique

Une première approche consiste à supposer que le risque spécifique est « diversifiable »

Si les ne sont pas corrélés entre eux, si leur variance est constante et si les différents titres sont équipondérés, la variance du risque spécifique du portefeuille tend vers 0 Quand le nombre de titres tend vers l’infini

Ce risque pouvant être éliminé par les investisseurs, il n’est demandé aucune prime de rentabilité pour ce risque

30


Démonstration intuitive (suite) L’espérance de rentabilité du portefeuille

Est donc identique à celle du portefeuille

Ce second portefeuille est colinéaire au portefeuille de marché

Comme tous les portefeuilles situés sur la CML et combinant portefeuille de marché et actif sans risque Voir transparent suivant

On sait que pour un portefeuille sur la CML :

31


Démonstration intuitive (suite)

Comme , Ce qui donne la relation annoncée

On notera que seul le beta du titre, et pas la volatilité de la rentabilité détermine l’espérance de rentabilité

Le raisonnement précédent a deux faiblesses Il suppose que les risques spécifiques sont peu corrélés entre eux Prenons l’exemple de Peugeot et de Renault : ce n’est pas le cas Même en l’absence de corrélation, les risques spécifiques ne

disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d’actifs

32


Démonstration intuitive (suite) Le raisonnement précédent a deux faiblesses … Même en l’absence de corrélation, les risques spécifiques

ne disparaissent que pour des portefeuilles comportant une infinité d’actifs

Or le MEDAF vaut même pour un petit nombre d’actifs On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à

l’équilibre des marchés financiers À l’équilibre les investisseurs ne demandent que de l’actif

sans risque et du portefeuille de marché La demande de risque spécifique est nulle Par ailleurs, l’offre agrégée de risques spécifiques est nulle

33


On peut améliorer le raisonnement intuitif en revenant à l’équilibre des marchés financiers Par ailleurs, l’offre agrégé de risques spécifiques est nulle En effet (aux constantes près), ,

D’où Comme , et L’offre de risque spécifique est également nulle On peut donc « oublier » la présence de ce risque On remarque que l’équation montre que le

risque spécifique est plus que « diversifié » au niveau agrégé, il n’existe tout simplement pas.

34


Rappel : portefeuilles sur la CML

35

P

PE

M

Titre i

Portefeuilles combinant i et M

Frontière efficiente des actifs risqués

ME

iE

fR

Mi

La CML représentée à droite est dans un plan (écart‐type, espérance)

Idée de la démonstration rigoureuse :

La courbe bleue représente les portefeuilles combinant le titre i et le portefeuille de

marché

Les courbes bleues et rouges sont tangentes en M

Voir transparents complémentaires en annexe


Rentabilité d’un portefeuille de titres

Linéarité de l’espérance

MEDAF appliqué aux titres 1 et 2 :

D’où :

Ceci est cohérent avec Voir transparents sur la décomposition du risque

36

1 1 2 2,f M f f M fE R E R E R E R

1 21P f M f f M fE X R E R X R E R

1 21P f M fE R X X E R

Capital Market Line et Security Market Line

Les portefeuilles sur la CML sont constitués d’actif sans risque et de portefeuille de marché en quantité positive.

Remarques : Le risque spécifique au portefeuille RP est nul : Beta du portefeuille :

Lien entre espérance et écart-type des rentabilités pour les portefeuilles sur la CML

On retrouve directement la relation entre espérance et beta (SML)37

M FP F P

M

E RE R

1 , 1 0P F MR XR X R X

22 2=Var Var 1 1 1P P M M P MR X R X X

1P F M F F P M FE R X E R R E R

Security Market Line (SML) À l’équilibre, tous les titres et tous les portefeuilles de

titres devraient être situés sur la SML Les betas sont représentés sur l’axe des abscisses

38

Beta des portefeuilles de titres

Espérance de rentabilité

Portefeuille de marché

Actif sans risque

Security MarketLine

i

CML et SML : Récapitulatif et notations

Pour les portefeuilles situés sur la CML uniquement C’est-à-dire ceux qui combinent actif sans risque et portefeuille de

marché

Poly d’exercices

Pour tous les titres et tous les portefeuilles

Comme ,

est le risque de marché ( )

Poly d’exercices

39

La théorie du marché du capital mesures de performance

Alpha de Jensen À l’équilibre, tous les alpha devraient être nuls

40

Ji i f i M fE R E R

Alpha de Jensen négatif

Alpha de Jensen positif

L’alpha de Jensen est une mesure de la distance à la SML

Si , titre isous‐évalué.

Devrait être acheté

Michael Jensen

La théorie du marché du capitalmesures de performance

Indice de Treynor maximal pour les portefeuilles efficients

41

BEAE

A f

A

E R

B f

B

E R

Jack L. Treynor

Beta d’un titre, d’un portefeuille, aspects mathématiques

Rappel des notations i : titre de rentabilité

ou dans l’ouvrage de référence M : portefeuille de marché de rentabilité (ou ) : espérances de rentabilité du titre

i et du portefeuille de marché Variances et covariances

On rappelle que la rentabilité d’un portefeuille constitué d’actif sans risque et de portefeuille de marché dans les proportions et est égale à

42

2 2Var ,Var ,Cov ,i i M M i M iM i M iMR R R R C

Notation du livre


Les portefeuilles efficients sont composés du placement sans risque et de portefeuille de marché : : constante (quantité non aléatoire), notée : constante noté

Considérons un titre de rentabilité Il est naturel de s’intéresser à l’écart entre la rentabilité de ce titre et

les portefeuilles sur la frontière d’efficience

Si le titre est sur la frontière efficiente, cet écart est nul Le titre est sur ou en-dessous de la frontière efficiente Comment mesurer cette « distance » ?

43


Comment mesurer la « distance » entre et On considère l’écart entre les valeurs prises par les rentabilités

Pour différentes dates ou différentes valeurs possibles des rentabilités Comme on s’intéresse à la distance, il est logique de considérer la valeur

absolue | | La distance entre 2 et 3 est 1 et pas -1

Pour des raisons de simplicité mathématique, on choisit souvent des écarts quadratiques

→ est dérivable en 0, ce qui n’est pas le cas de → | |

On va ensuite pondérer ces écarts Par les probabilités d’occurrence des écarts

Approche prospective / utilisation de l’espérance / régression linéaire Par le nombre de dates où on observe un écart donné

Approche historique / écart quadratique moyen / moindre carrés ordinaires

44


Régression linéaire : modalités et résultats

Utilisation du critère rentabilité du titre i, rentabilité du portefeuille de marché Quantité toujours positive ou nulle Nulle si

On va chercher de manière à réduire au maximum l’écart entre et ,

On trouve :

, Beta du titre

par rapport au portefeuille

On notera 45


, ∈

Ajustement de par une fonction affine de Conditions du premier ordre les dérivées du critère par rapport à et sont nulles

Dérivée par rapport à : Ce qui donne

46


Combinons les résultats précédents :

Permet d’écrire

Il reste donc à minimiser en b :

On obtient un polynôme de degré 2 en b

Cov47

2 22i i M M i i M ME R E b E R E R E b E R E


Valeur du coefficient de régression minimise

Le minimum s’obtient en dérivant par rapport à Cov

, ou avec les notations du livre

coefficient de régression de par rapport à

En finance, on parle de Beta du titre i et on le note

,

La référence au portefeuille de marché est implicite 48


Avec : ,

« erreur », « résidu » En finance, risque spécifique ou risque

idiosyncratique. L’espérance du risque spécifique est nulle :

Démonstration : Partons de la première équation. égalité des variables aléatoires implique égalité des espérances

linéarité de l’espérance :

D’où la nullité de l’espérance du risque spécifique49


Le coefficient de corrélation linéaire entre le risque idiosyncratique et la rentabilité du portefeuille de marché

est égal à 0. En d’autres termes, le risque spécifique est non corrélé avec et

d’espérance nulle C’est un « bruit »

Vérifions cette propriété à titre d’exercice D’après la définition du coefficient de corrélation

Il suffit de montrer que: ,

Ou, en revenant à la définition du risque spécifique, que :

50

constante

Cov , 0i i M i i M MR R E E R


Cov Cov Cov

bilinéarité de la covariance covariance entre une variable aléatoire et une constante est

nulle Cov Cov car :

51

2

Cov , Cov ,Cov ,

i M i Mi

M M M

R R R RR R

constante

Cov , 0?i i M i i M MR R E E R


La régression linéaire fait intervenir des espérances mathématiques Au niveau de la fonction objectif

Au niveau des résultats

Comment déterminer des espérances mathématiques ?

52

2

,mina b i ME R a bR

22 2

Cov , i M i Mi Mi

M M M

i i i M

E R R E R E RR Rb

E R E R

a E R E R

Calcul des espérances de rentabilité de titres ? Rentabilité entre t et t+1 du titre i ,

, , ,

,

, variable aléatoire

Notations du livre : , ,

On cherche à évaluer

Mais aussi ,

Il faut calculer pour déterminer Utilisation d’observations passées des rentabilités


53


Rentabilités courante et passées du titre i , , , ,

, rentabilités moyenne ou glissante

Calculée entre la date courante et la date

Intervalle de temps de longueur

Pour simplifier les notations, il n’est fait référence dans ni à la date courante, ni au nombre d’observations

De même, on peut calculer la rentabilité moyenne du portefeuille de marché

54

Rentabilité passées indice S&P500


La moyenne des rentabilités passées est une bonne approximation de l’espérance de la rentabilité sur la période à venir…

Quand la moyenne des rentabilités historiques est prise sur une « longue période » Plus précisément quand → ∞

Formellement → ,

Une des variantes de la loi des grands nombres Nombreuses hypothèses, pas forcément vérifiées!

55

1

, , 10

1 T

i i t n i tn

R R E RT

Logiciel R


Sous certaines hypothèses sur les rentabilités , , , , ont la même loi de probabilité

Les lois de probabilité ne changent pas au cours du temps Rentabilités future, courante et passées non corrélées

Coefficients de corrélation entre rentabilités égaux à 0 Il s’agit des rentabilités du titre i à différentes périodes

Hypothèses facilement compréhensibles Quelques points de statistique sont laissés de côté

56

, 1 , 1Cov , 0, , 0, , 1, i t n i t mR R n m T n m

1

, , 10

1 T

i i t n i tn

R R E RT

Approximation de l’espérance par la

moyenne historique


Revenons au problème de la régression linéaire

Approximation de l’espérance par la moyenne :

Estimation d’un modèle linéaire par la méthode des moindres carrés Les critères de l’espérance et de la moyenne historique étant

proches Les valeurs obtenues pour et seront proches Pour des grandes valeurs de

57

2

,mini i i i i ME R R

1 2

, , ,0

1minT

a b i t n M t nn

R a bRT


Deux approches complémentaires Droite caractéristique, moindres carrés

Ex-post, rentabilités historiques ou réalisées, rétrospectif (tourné vers le passé)

Données disponibles : calculs faciles, moyennes historiques

Régression linéaire Ex-ante, prospectif (tourné vers le futur) Ce qu’il faut pour la prise de décision Données non disponibles, espérance mathématique

Approche statistique « classique » universitaire Stationnarité : le futur reproduit le passé On peut alors utiliser les données passées pour estimer les données

ex-ante Statistique inférentielle

58

Validation empirique du MEDAF

Dans notre approche, les rentabilités des investissements sont aléatoires

Leurs lois de probabilités ne changent pas au cours du temps

“I, at any rate, am convinced that Hedoes not throw dice.” Albert Einstein, 1926

59

A. Einstein (1921)

Niels Bohr

Einstein, stop telling God what to do!”

Niels Bohr

Estimation des écart-types des rentabilités

Bloomberg fournit d’autres informations sur les titres notamment des mesures de l’écart-type des taux de rentabilité Approches historiques, basées sur des moyennes glissantes

Comme pour les espérances de rentabilité

Approches prospectives Utilisant les prix des options financières qui dépendent de la

volatilité future telle que perçue par les opérateurs de marché

On donnera également un aperçu d’autres méthodes couramment utilisées pour évaluer ces écart-types Bourses : calcul de dépôts de garantie ou marges initiales Banques : mise à l’échelle des données pour l’évaluation des

risques de marché (Value at Risk)

On donne alors plus de poids aux observations récentes

60


Volatilité de l’action Disney

61

Périodicité hebdomadaireVolatilités glissantesPlusieurs longueurs de

fenêtres10, 30, 50, 100 semainesPlus grande stabilité

temporelle avec des longues fenêtres

Ici, écart‐type des rentabilités de l’ordre de 28% À droite, volatilités

déterminés à partir des marchés d’options

Source Bloomberg


Volatilité ou écart-type de la rentabilité d’un titre rentabilité aléatoire espérance de rentabilité écart-type (ou volatilité) de la rentabilité

Utilisation de données historiques pour déterminer Comme pour la détermination des Beta Ou de l’espérance de rentabilité (rappel)

∑ → rentabilité observée à la date moyenne empirique (ou historique) des volatilités

62


On peut définir une volatilité historique

Avec les mêmes hypothèses que précédemment

Plusieurs périodicités peuvent être envisagées pour Quotidienne, hebdomadaire, mensuelle, … Fenêtres glissantes, …

Moyennes pondérées (Lissage exponentiel, filtrage) EWMA : Exponential Weighted Moving Average

Couramment utilisé pour la prévision de la volatilité (JP Morgan)

: facteur d’amortissement (decay factor)

Estimation ponctuelle : 63


L’approche EWMA a pour effet de donner plus de poids aux observations récentes

Elle va de pair avec l’idée que les volatilités fluctuent au cours de temps La volatilité n’est plus alors un paramètre (constant) L’approche EWMA va avoir pour objet de déterminer la

volatilité aujourd’hui Dans ce cas comme quand on utilise des périodes

d’estimation glissantes pour les betas, on ne pense pas que les « paramètres » du modèle restent constants au cours du temps

Le futur ne reproduit pas nécessairement le passé qui est « mouvant »

64

séance du 3 octobre 2014 beta, sml, droite...

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