Quantificateurs généralisées

A. LECOMTE

SNs quantifiés

Tous les écrivains ont aimé les œuvres de Stendhal Un romancier russe est passé hier à la télévision Aucun étudiant sérieux ne mange pendant les cours La plupart des linguistes sont bilingues Plus d’étudiants que de professeurs viennent sur le campus

par le tram Il n’y a pas autant de garçons que de filles à réussir l’examen

de langue Ni Pierre ni Marie ne se sont réveillés

Expressions quantifiantes

tous sauf un, tous sauf cinq, quatre (et n’importe quel nombre évidemment), au moins quatre, au plus quatre, exactement un, moins de la moitié de, une quantité finie de, une foule de, quelques, certains, peu, beaucoup, trop, pas assez de…

Les quantificateurs frégéens

Begriffschrift, 1879 tous les chats sont gris

))()(( xgrisxchatx

)(xgrisCHATx

)))()((( xgrisxchatx

Un prédicat du second ordre

la propriété « être tel que si on est un chat, alors on est gris » possède la propriété d’être vraie de tous les individus

Interprétation : [[ . ]] [[]] =

– la propriété d’être une propriété que tous les individus possèdent

– La fonction qui associe 1 à toute propriété que tous les individus possèdent, 0 aux autres (fonction caractéristique)

– L’ensemble de toutes les propriétés que tous les individus possèdent

sémantique

[[(x. P(x))]] = 1 ssi – [[x. P(x)]] [[]]– [[x. P(x)]] est une propriété que tous les individus

possèdent

propriété = ensemble

[[x. P(x)]] :– La fonction qui à tout x tel que P(x) associe 1– La fonction caractéristique de l’ensemble des x

tels que P(x)– L’ensemble des x tels que P(x)

[[]] : une famille d’ensembles

[[(x. P(x))]] = 1 ssi– L’ensemble des x tels que P(x) appartient à [[]]

[[]] est un ensemble d’ensembles E [[]] si et seulement si

– tous les éléments de l’univers possèdent la propriété qui définit E

– Tous les éléments de l’univers sont éléments de E– D E– D = E

[[]] = {D}

Donc [[]] est l’ensemble des ensembles qui contiennent l’univers D

Il n’y a qu’un seul tel ensemble: c’est D lui-même

Donc [[]] est un ensemble d’ensembles qui ne contient qu’un seul élément: D

[[]] = {D}

?

Quelqu’un admire Cassiopée

est la propriété, pour une propriété, d’être vraie d’au moins un individu de l’univers

),( Cassiopéexadmirex

)),(( Cassiopéexadmirex

[[]]

[[]] est l’ensemble des ensembles qui ont une intersection non vide avec D

[[]] = {X D ; X }

évaluation

[[(x (x admire Cassiopée))]] = 1 ssi– [[(x (x admire Cassiopée))]] [[]] – [[(x (x admire Cassiopée))]] {X D ; X }– [[(x (x admire Cassiopée))]]

Typage de ,

Quantificateur : à une propriété ( <e, t>) associe une valeur de vérité, donc de type <<e, t>, t>

Tout, au moins un…

Tout homme, chaque homme

(au moins) un homme aucun homme au moins trois hommes

trois hommes

{A D ; HOMME A}

{A D ; HOMME A } {A D ; HOMME A = } {A D ; Card(HOMME A)

3} {A D ; Card(HOMME A)

= 3}

Tout homme siffle…

[[tout homme siffle]]M = 1 si et seulement si [[siffle]]M [[tout homme]]M si et seulement si [[siffle]]M {A D ; HOMME A} si et

seulement si HOMME [[siffle]]M

Au moins trois hommes…

[[au moins trois hommes marchent dans la rue]]M = 1 si et seulement si

[[marchent dans la rue]] M {A D ; Card(HOMME A) 3} si et seulement si

Card(HOMME [[marchent dans la rue]] M) 3

Les types

SN N Vt Vi SV A S Det

<<e, t>, t> <e, t> <e, <e, t>> <e, t> <e, t> <<e, t>, <e, t>> T <<e, t>, <<e, t>, t>>

Point de vue relationnel

TOUT : à deux ensembles associe une valeur de vérité

[[TOUT]] = {(A, B) ; A, B D tels que A B} [[AU MOINS UN]] = {(A, B) ; A, B D tels

que A B }

= un ensemble de couples d’ensembles= une relation binaire sur (D)

Restrictions

Toutes les relations sur (D) sont des déterminants?

Extension

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit satisfaire la propriété d’extension si pour tous A, B E E’, QE(A, B) QE’(A, B), où QE désigne la restriction de Q aux intersections des parties de D avec E

On n’a besoin de connaître que AB

Conservativité

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit satisfaire la propriété de conservativité si pour tous A, B E, QE(A, B) QE(A, AB).

Intersectivité

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit intersectif ssi pour tous A, B, A’, B’ inclus dans le domaine D, si A B = A’ B’, alors Q(A)(B) = Q(A’)(B’),

autrement dit si et seulement si Q(A)(B) ne dépend que de l’intersection de A et de B.

n, quelques, au moins n, au plus n, …

Co-Intersectivité

Q(A)(B) ne dépend que de la différence A – B

tous, tous sauf n, …

Théorème de Keenan

Théorème : pour tout domaine D, CONSD est la fermeture booléenne complète de INTD CO-INTD

Monotonie

tout Girondin aime les huîtres les Bordelais sont des Girondins donc : tout Bordelais aime les huîtres

– TOUT : décroissant à gauche certains Girondins cultivent de la vigne les Bordelais sont des Girondins donc : certains Bordelais cultivent de la vigne

– CERTAINS : croissant à gauche

Monotonie

tout Bordelais est un Girondin les Girondins sont des amateurs de vin donc : tout Bordelais est amateur de vin

– TOUT : croissant à droite certains Girondins sont Bordelais les Bordelais aiment le ski donc : certains Girondins aiment le ski

– CERTAINS : croissant à droite

Monotonie

TOUT : MON CERTAINS : MON

Monotonie à droite

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone croissant à droite (MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et B B’ Q(A, B’). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON.

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone décroissant à droite (MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et B’ B Q(A, B’). On dit aussi dans ce cas que le groupe nominal A est MON.

Monotonie à gauche

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone croissant à gauche (MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et A A’ Q(A’, B).

Définition : Un déterminant représenté par une relation binaire Q sur les parties d’un univers D est dit monotone décroissant à gauche (MON) si pour tous A, B E, Q(A, B) et A’ A Q(A’, B).

NPI

tout pêcheur qui ramène le moindre poisson est acclamé

aucun enfant qui fait la moindre faute à sa dictée n’est récompensé

*certains connaisseurs qui écoutent le moindre disque de cette chanteuse sont éblouis