intégrales généralisées · 2019. 9. 8. · sommaire des objets nouveaux? fonctions continues...

SommaireDes objets nouveaux ?

Fonctions continues par morceauxIntégrales généralisées

Etude pratique de convergenceTransformation d'intégrale

Intégrales généralisées

DL - PC*

Lycée Corneille, Rouen

7 - 14 septembre 2016

DL - PC* Intégrales généralisées




1 Des objets nouveaux ?

2 Fonctions continues par morceaux

3 Intégrales généralisées

4 Etude pratique de convergence

5 Transformation d'intégrale





Dé�nis par morceauxDé�nis par une "intégrale"

Quelle di�érence entre

1 f (x) =1

xet

2 g(x) =1

bxc?





Dé�nis par morceauxDé�nis par une "intégrale"

Intégrales ordinaires ou généralisées ?

1

∫ 10

1

1+ t2dt

2

∫ 1−1

1√1− t2

dt

3

∫ 10

t2

t + 1dt

4

∫ 10

ln t dt

5

∫ +∞0

1

1+ t2dt

6

∫ +∞0

sin2 t

t2dt

7

∫ +∞0

exp(−t) dt

8

∫ +∞0

exp(−t2) dt





Sur un segmentSur un intervalle

1 subdivision

2 fonction en escalier (ou

constante par morceaux)

3 fonction continue par

morceaux

4 intégrale





Sur un segmentSur un intervalle

Dé�nition : Une fonction est continue par morceaux sur un

intervalle I si sa restriction à tout segment estcontinue par morceaux.

Intégrale : Cela permet d'intégrer sur tout segment inclus dans

l'intervalle, donc de considérer pour a �xé dans

l'intervalle I , x ∈ I 7−→∫ xa

f (t) dt.

Propriété : Cette fonction est continue sur I .





Sur [a,+∞[Sur [a, b[Généralisation aux deux bornesAnalyse d'une notation d'intégraleExtension des propriétés

Convergence, divergence quand x → +∞ de∫ xa

f (t) dt.

Limite notée

∫ +∞a

f (t) dt ou

∫[a,+∞[

f (t) dt.

De même sur ]−∞, b] avec

limx→−∞

∫ bx

f (t) dt =

∫ b−∞

f (t) dt =

∫]−∞,b]

f (t) dt.

Intégrales de référence :

1

∫ +∞1

1

tαdt converge si et seulement si α > 1.

2

∫ +∞0

exp(−ax) dx converge si et seulement si a > 0.







f (t) dt.

Limite notée

∫ +∞a

f (t) dt ou

∫[a,+∞[

f (t) dt.

De même sur ]−∞, b]

avec

limx→−∞

∫ bx

f (t) dt =

∫ b−∞

f (t) dt =

∫]−∞,b]

f (t) dt.


1

∫ +∞1

1


2

∫ +∞0








f (t) dt.

Limite notée

∫ +∞a

f (t) dt ou

∫[a,+∞[

f (t) dt.


limx→−∞

∫ bx

f (t) dt =

∫ b−∞

f (t) dt =

∫]−∞,b]

f (t) dt.


1

∫ +∞1

1


2

∫ +∞0








f (t) dt.

Limite notée

∫ +∞a

f (t) dt ou

∫[a,+∞[

f (t) dt.


limx→−∞

∫ bx

f (t) dt =

∫ b−∞

f (t) dt =

∫]−∞,b]

f (t) dt.


1

∫ +∞1

1

tαdt converge si et seulement si

α > 1.

2

∫ +∞0








f (t) dt.

Limite notée

∫ +∞a

f (t) dt ou

∫[a,+∞[

f (t) dt.


limx→−∞

∫ bx

f (t) dt =

∫ b−∞

f (t) dt =

∫]−∞,b]

f (t) dt.


1

∫ +∞1

1


2

∫ +∞0







Convergence, divergence quand x → b de∫ xa

f (t) dt.

De même sur ]a, b] avec x → a et∫ bx

f (t) dt.


1

∫1

0

1

tαdt converge si et seulement si α < 1.

2

∫1

0

ln t dt converge.







f (t) dt.


f (t) dt.


1

∫1

0

1

tαdt converge si et seulement si

α < 1.

2

∫1

0

ln t dt converge.







f (t) dt.


f (t) dt.


1

∫1

0

1

tαdt converge si et seulement si α < 1.

2

∫1

0

ln t dt converge.






Permanence des notations : si f est continue sur [a, b], alors∫ ba

f (t) dt = limx→b

∫ xa

f (t) dt = limx→a

∫ bx

f (t) dt

Convergence si f est prolongeable par continuité.

Relation de Chasles : si f est continue par morceaux sur

I = [a,+∞[ et c ∈ I , alors∫If (t) dt converge si et seulement

si

∫[c,+∞[

f (t) dt converge.

Dans ce cas

∫If (t) dt =

∫ ca

f (t) dt +

∫[c,+∞[

f (t) dt.






Si f est continue par morceaux sur un intervalle I =]α, ω[ ouvert,c'est à dire ]a,+∞[ ou ]−∞, b[ ou ]a, b[ ou R, on dit que∫If (t) dt converge si pour une borne c �xée 1 dans I , les deux

intégrales généralisées 2∫]α,c]

f (t) dt et

∫[c,ω[

f (t) dt convergent.

Dans ce cas,

∫]α,ω[

f (t) dt =

∫]α,c]

f (t) dt +

∫[c,ω[

f (t) dt.

1. d'après la relation de Chasles, le choix de c n'a aucune incidence sur laconvergence

2. α = a ou −∞, ω = b ou +∞DL - PC* Intégrales généralisées





Que faire face à

∫ ba

f (t) dt ?

Analyser l'intervalle de continuité 3 de f :

si c'est [a, b], l'intégrale est ordinaire.

si c'est [a, b[ ou ]a, b], l'intégrale est simplement généralisée etil faut étudier la convergence à une borne.

si c'est ]a, b[, l'intégrale est doublement généralisée et il fautmener deux études indépendantes aux bornes.

une intégrale est toujours généralisée à une borne in�nie.

3. au moins par morceauxDL - PC* Intégrales généralisées





Les propriétés de l'intégrale ordinaire s'étendent aux intégrales

généralisées convergentes.

Chasles :

Linéarité :

Positivité :

Croissance :

Analyse de nullité :





PrimitivesFonctions positivesAbsolue convergenceInégalité de Cauchy-Schwarz

Dans les rares cas où une primitive usuelle est aisément

accessible, elle permet d'étudier directement la convergence.

Par exemple les références, ou

∫ +∞2

1

x lnβ xdx mais...

La plupart des primitives des fonctions usuelles ne s'expriment

pas à l'aide des fonctions usuelles !

Exemples : exp(−t2), exp(t)t

, ln(t) exp(−t), sin tt

.






f est continue par morceaux et positive sur I .Méthodes globales :

1 x 7−→∫ xc

f (t) dt est croissante sur I .

2

∫If (t) dt converge si et seulement si

∃M ∈ R, ∀[c, d ] ⊂ I ,∫ dc

f (t) dt ≤ M.

3 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t) ≤ g(t), alors la convergence de∫Ig(t) dt

entraîne celle de

∫If (t) dt.






Méthodes locales : pour une intégrale simplement généralisée à la

borne α de I .

1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors

les intégrales

∫If (t) dt et

∫Ig(t) dt sont de même

nature.

2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors la convergence de

∫Ig(t) dt entraîne celle de

∫If (t) dt.







borne α de I .

1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors les intégrales

∫If (t) dt et


nature.

2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors

la convergence de


∫If (t) dt.







borne α de I .

1 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) ∼ g(t) quand t → αalors les intégrales

∫If (t) dt et


nature.

2 si ∀t ∈ I , 0 ≤ f (t), 0 ≤ g(t) et f (t) = o(g(t)) quand t → αalors la convergence de


∫If (t) dt.






Une fonction f continue par morceaux sur I telle que∫I|f (t)| dt converge est dite intégrable. On dit aussi que

l'intégrale

∫If (t) dt converge

absolument.

Cv absolue =⇒ cv

Si

∫I|f (t)| dt converge, alors

∫If (t) dt converge et∣∣∣∣∫

If (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫I|f (t)| dt

Espace vectoriel L1

L'ensemble L1(I ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel.






Une fonction f continue par morceaux sur I telle que∫I|f (t)| dt converge est dite intégrable. On dit aussi que

l'intégrale

∫If (t) dt converge absolument.

Cv absolue =⇒ cv

Si

∫I|f (t)| dt converge, alors

∫If (t) dt converge et∣∣∣∣∫

If (t) dt

∣∣∣∣ ≤ ∫I|f (t)| dt

Espace vectoriel L1

L'ensemble L1(I ) des fonctions intégrables est un espace vectoriel.






L'intégrale

∫ +∞0

sin t

tdt converge mais

∫ +∞0

| sin t|t

dt diverge.






L'ensemble L2(I ) des fonctions de carré intégrable.

Espace vectoriel L2

L2(I ) est un espace vectoriel.Si f , g ∈ L2(I ) alors le produit f .g est intégrable sur I et∫I|f (t)g(t)| dt ≤

√∫I|f (t)|2 dt

∫I|g(t)|2 dt





Changement de variableIntégration par parties

Changement de variable

Si φ : ]α, ω[ 7−→]a, b[ est une bijection strictement croissante a declasse C1 et si f : ]a, b[7−→ C est continue par morceaux alors les

intégrales

∫ ωα

(f ◦ φ) (u)φ′(u) du et∫ ba

f (t) dt sont de même

nature.

En cas de convergence, elles sont égales.

a. si f est décroissante, remplacer φ′(t) par |φ′(t)|





Changement de variableIntégration par parties

IPP

Si f et g sont de classe C1 sur ]α, ω[ et le produit f .g converge aux

deux bornes, alors les intégrales

∫ ωα

f ′(t)g(t) dt et

∫ ωα

f (t)g ′(t) dt

sont de même nature. En cas de convergence∫ ωα

f (t)g ′(t) dt = [f (t)g(t)]ωα −∫ ωα

f ′(t)g(t) dt


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