les intÉgrales gÉnÉralisÉes

Lycée Sainte GenevièvePT-PT*MATHÉMATIQUES

2020-2021Chap 10

LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Objectifs :

� Savoir montrer l'existence d'une intégrale généralisée.

� Savoir étudier l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle.

� Savoir calculer une intégrale généralisée une fois l'existence prouvée.

� Savoir étudier des suites ou des fonctions dé�nies par une intégrale généralisée.

� Connaître et savoir utiliser les liens séries-intégrales.

Table des matières

1 Dé�nition de la convergence des intégrales généralisées 21.1 Dé�nition sur un intervalle de type [a; b[ ou ]a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Quand b est une borne �nie : Intégrale faussement impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Quand b = +1 : Divergence grossière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Dé�nition sur un intervalle de type ]a; b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Propriétés des intégrales généralisées 172.1 Structure algébrique de l'ensemble des intégrales convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Propriétés liées à l'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 La convergence en pratique : cas des fonctions positives 243.1 Lemme fondamental : théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Les théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Rappel sur le théorème de comparaison séries-intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Fonctions intégrables sur un intervalle I 344.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Propriétés des fonctions intégrables sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Étude pratique de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Fonctions de carré intégrable sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Un exemple d'intégrale semi-convergente (Hors-Programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Calcul intégral : procédés d'intégration 445.1 Primitives usuelles et exemples classiques à connaître : rappels de PTSI . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Synthèse : tableau récapitulatif 51

Lycée Sainte Geneviève, PT-PT* /52 2020-2021

Dans tout le chapitre, les intervalles considérés sont non vide et non réduit à un singleton. De plus K est égal àR ou C.

Vous avez dé�ni, en PTSI, la notion d'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Il s'agit ici d'étendrecette notion à des fonctions continues sur un intervalle quelconque.

1 Dé�nition de la convergence des intégrales généralisées

Comme vous l'avez déjà vu l'année dernière, la notion d'intégrale est intimement liée à la notion d'aire. Ayanttoujours pour objectif de � mesurer �l'aire d'un domaine délimité par l'axe des abscisses et une courbe donnée,nous pouvons nous interroger sur la possibilité d'étendre les résultats vus en première année sur les fonctionscontinues sur un segment à deux autres cas :

� Cas d'un intervalle non borné : bien que le domaine ne soit pas borné, l'aire de ce domaine n'est pasnécessairement in�nie :

Exemple :

x

y

y = 1x2

y = 1x

Pour tout a > 1 :

?

Z a

1

dx

x= : : : : : : : : : et ainsi lim

a!+1

�Z a

1

dx

x

�= : : : : : : : : :

?

Z a

1

dx

x2= : : : : : : : : : et ainsi lim

a!+1

�Z a

1

dx

x2

�= : : : : : : : : :

� Cas d'une fonction non bornée sur un intervalle borné :

Exemple :

x

y

y = ln (x)

Pour tout a 2]0; 1[ :Z 1

aln (x)dx = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et ainsi lima!0+

�Z 1

aln (x)dx

�= : : : : : : : : :


1.1 Dé�nition sur un intervalle de type [a; b[ ou ]a; b]

Dé�nition de la convergence sur un intervalle de type [a; b[

Dé�nition 1. Intégrale impropre pour une fonction dé�nie sur [a;b[.Soient a < b avec b 2 R (c'est-à-dire b �ni) ou b = +1.

Soit f une fonction continue sur [a;b[ (non dé�nie en b) à valeurs dans K.

� On dit que l'intégrale

bZa

f est impropre en b.


bZa

f impropre en b converge lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note dans ce cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cette limite.

� Sinon on dit que l'intégrale

bZa

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarques :

� Contrairement aux séries numériques, on utilise la même notation dans l'expressionZ +1

af converge

(ou diverge) que pour désigner la valeur de l'intégrale lorsque celle-ci converge.

� Il existe donc essentiellement deux grands types d'intégrales généralisées :

? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Méthode une pour étudier la nature d'une intégrale généralisée

bZa

f(t)dt et obtenir sa valeur :

Par la dé�nition en utilisant une primitive.

� Poser clairement la fonction f et calculer Df .

� Justi�er la continuité de f sur l'intervalle considéré et identi�er le point à problème.

� Calculer une primitive F de f sur I.

� Étudier la limite de F au point à problème.

� Conclure en utilisant la dé�nition et le fait que :Z x

af(t)dt = F (x)� F (a).

Exemples :


� Déterminer la nature et la valeur éventuelle de l'intégrale

+1Z0

dt

3 + t2


+1Z1

ln (t)

tdt


+1Z2

dt

t ln (t)



+1Z0

dx

ch(x)


+1Z4

dx

(3� x)5


+1Z1

dx

x(x+ 1)



+1Z0

cos (e�t)e�tdt

Dé�nition de la convergence sur un intervalle de type ]a; b]

On peut étendre la dé�nition précédente au cas ]a; b] avec a 2 R ou a = �1.

Dé�nition 2. Intégrale impropre pour une fonction dé�nie sur ]a; b].Soient a < b avec a 2 R (c'est-à-dire a �ni) ou a = �1.

Soit f une fonction continue sur ]a; b] (non dé�nie en a) à valeurs dans K.


bZa

f est impropre en a.


bZa

f impropre en a converge lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note dans ce cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cette limite.

� Sinon on dit que l'intégrale

bZa

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple : Déterminer la nature et la valeur éventuelle de l'intégrale :

0Z�1

x4

1 + x10dx.


1.2 Quand b est une borne �nie : Intégrale faussement impropre

Propriété 1. Fausse impropreté en une borne �nie.

Soit f : [a;b[! R une fonction continue sur [a;b[. Si on a :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors l'intégrale

bZa

f(t)dt converge et est égal à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On parle alors d'intégrale faussement impropre.

Preuve :

Exemples :

� Déterminer la nature deZ 1

0

sin (t)

tdt.


� Déterminer la nature et la valeur éventuelle de l'intégrale suivante :

1Z0

t ln (t)dt.

Méthode lorsque le point à problème est un point FINI :

Étude d'une éventuelle fausse impropretéCalculer la limite de la fonction en ce point pour étudier un éventuel prolongement par continuité.


� Justi�er la continuité de f sur l'intervalle considéré et identi�er le point à problème (FINI ici).

� Étudier la limite de f au point à problème.Si la limite existe et est �nie, poser ~f le prolongement par continuité de f .

� Conclure : l'intégrale généralisée converge, c'est une intégrale faussement impropre.

1.3 Quand b = +1 : Divergence grossière

On peut noter un parallèle entre l'étude des intégrales généralisées sur un intervalle [a;+1[ et celle des sériesnumériques. Dans ce parallèle, l'analogue du terme général de la série est la fonction f et l'analogue des sommes

partielles est la fonction : x 7!xZ

a

f .

D'après le chapitre sur les séries numériques, siXn�0

un converge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ceci devient faux pour les intégrales généralisées :

La convergence deZ +1

af n'entraîne PAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Illustrons cela par deux exemples et un résultat à savoir redémontrer.

Exemple : Une intégraleZ +1

0f qui converge pour une fonction f qui n'admet pas de limite en +1

Les petits chapeaux

L'intégrale impropreZ +1

0f peut très bien converger sans que f admette une limite en +1 (ni même que f soit

bornée au voisinage de +1).


On dé�nit la fonction f continue sur R+ dont le graphe est :

x

y

|1

|n

n

� �n� 1

n2n n+ 1n2n

2n2n

An =1

2n

Montrer que l'intégraleZ +1

0f converge.

Condition su�sante de divergence : Cas où f admet une limite non nulle en +1Par contre, si la fonction f admet une limite en +1, alors on a le résultat suivant de divergence grossière :Soit f : [a;+1[! R continue.


Montrer que si f admet une limite non nulle en +1 (c'est-à-dire appartenant à R? [f�1g), alors+1Za

f diverge.

Contre-exemple : Une réciproque fausse

En�n, comme pour les séries numériques, on peut très bien avoir lim+1

f = 0 et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Déterminer la nature de l'intégrale impropre

+1Z1

dx

x.

1.4 Intégrales de référence

Les exemples suivants sont à connaître par coeur, les intégrales en question sont quali�ées d'intégrales de réfé-rence. En e�et, comme pour les séries, ces exemples de référence permettront, par les théorèmes de comparaison,de déterminer la nature de nombreuses autres intégrales.

Intégrales de Riemann en +1

Propriété 2. Soit � 2 R �xé. On a :

+1Z1

dt

t�converge ()


Preuve :

Intégrales de Riemann en 0 et en a


Z 1

0

dt

t�converge ()


Preuve :

Propriété 4. Riemann translaté.

� Soit � 2 R �xé et soit (a; c) 2 R2 �xé avec a < c. On a :

cZa

dt

(t� a)�converge ()

� Soit � 2 R �xé et soit (a; c) 2 R2 �xé avec c < a. On a :

aZc

dt

(a� t)�converge ()

Preuve :


Exponentielle


Z +1

0e��tdt converge ()

Dans ce cas, la valeur de l'intégrale

Z +1

0e��tdt est . . .. . .. . .

Preuve :

Logarithme

Propriété 6. On a :

L'intégrale généralisée

Z 1

0ln (t)dt est

Preuve :


1.5 Dé�nition sur un intervalle de type ]a; b[

Dé�nition 3. Double impropreté.

Soient a < b avec a et b des bornes �nies ou in�nies.

Soit f une fonction continue sur ]a; b[ à valeurs dans K.

On dit que l'intégrale généralisée

bZa

f(t)dt est convergente lorsque les deux intégrales :

convergent, où c est une borne quelconque dans ]a; b[.

En cas de convergence, sa valeur, notée

bZa

f(t)dt, est alors égale à : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sinon on dit qu'elle diverge.

Preuve : Pour que la dé�nition ci-dessus ait du sens, il faut prouver l'équivalence suivante :

9c 2]a; b[;cZ

a

f(t)dt et

bZc

f(t)dt convergent() 8c 2]a; b[;cZ

a

f(t)dt et

bZc

f(t)dt convergent


Puis prouver que dans ce cas, la somme

cZa

f(t)dt+

bZc

f(t)dt est bien indépendante du choix de c.


Il s'agit ainsi d'étudier séparément limx!a+

Z c

xf et lim

y!b�

Z y

cf pour un c 2]a; b[.

Méthode pour étudier la nature d'une intégrale généralisée

bZa

f(t)dt ayant une double impropreté :

On coupe et on étudie localement chaque point à problème

� On pose clairement la fonction f et on calcule Df .

� On étudie la continuité de f sur l'intervalle considéré a�n de connaître les points à problème.

� On coupe et on étudie chaque point à problème séparément pour un c 2]a; b[ au choix.

? Si les deux intégrales généralisées convergent, alors

bZa

f(t)dt est convergente.

? Dès que l'une diverge, alors

bZa

f(t)dt est divergente.

Exemples :

� Déterminer la nature de l'intégrale

+1Z0

ln (t)dt


+1Z0

1

t2dt



+1Z0

1

t�dt avec � 2 R �xé :

Remarque : Pour prouver queZ +1

�1f converge, il ne su�t PAS de calculer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple :

x

y

y = t3

On a, par imparité de t 7! t3,

� pour tout x 2 R :Z x

�xt3dt = : : : : : : puis

limx!+1

�Z x

�xt3dt

�= : : : : : :

� alors que :Z x

0t3dt = : : : : : : et donc

limx!+1

�Z x

0t3dt

�= : : : : : :

d'où la divergence de . . .. . .

2 Propriétés des intégrales généralisées

Par souci de simplicité, nous travaillerons par la suite uniquement sur des intervalles de la forme [a; b[ avec a < bet b 2 R ou b = +1. Le même type d'énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a; b], sur ]a; b[.

Les propriétés suivantes sont des propriétés connues pour des intégrales de fonctions continues sur un segment,propriétés vues en PTSI. On les étend ici aux intégrales généralisées.

2.1 Structure algébrique de l'ensemble des intégrales convergentes

Linéarité de l'intégrale

Propriété 7. Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b[ à valeurs dans K.

Si

Z b

af et

Z b

ag convergent, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z b

a(�f + g) =


Preuve :

Remarques :

� Reformulation : On pose E =

(f 2 C([a; b[;K)=

Z b

af converge

). On vient donc de démontrer que :

? E est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .CONV+CONV=CONV

? L'applicationE ! K

f 7!Z b

af

est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b[.

SiZ b

af converge et

Z b

ag diverge, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONV+DIV=DIV

� On ne peut rien dire lorsque les deux intégralesZ b

af et

Z b

ag divergent :

DIV+DIV=RIEN

Par exempleZ +1

1

dt

tetZ +1

1

�dtt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MaisZ +1

1

dt

tetZ +1

1

2dt

t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On NE coupe PAS sans précaution. Il faut donc d'abord s'assurer que les deux intégralesZ b

af et

Z b

ag


convergent AVANT de couper en écrivantZ b

a(f + g) =

Z b

af +

Z b

ag :

Exemple : Déterminer la nature deZ +1

6

dt

t2 � 8t+ 15:

� SiZ b

af et

Z b

ag convergent, on ne peut pas conclure que

Z b

afg converge :

Exemple : Étude deZ 1

0

dxpxavec f = g :

Cas des fonctions à valeurs complexes

Propriété 8. Soit f : [a; b[! C une fonction continue à valeurs complexes. On a :

Z b

af converge()

8>>>>><>>>>>:

Dans ce cas, on a alors :

Z b

af =


Preuve :

Exemple : Déterminer la nature et donner la valeur deZ +1

0e�t sin (t)dt.

2.2 Relation de Chasles

Propriété 9. Soit f une fonction continue sur [a; b[ à valeurs dans K.

Si

bZa

f converge, alors, pour tout c 2 [a; b[ :


Preuve :

Exercice 1 : Soit f la fonction dé�nie par f(x) =

(xe�x

2

si x � 110e

3 + x2si x < 1:

Calculer

+1Z�1

f(t)dt.

2.3 Propriétés liées à l'ordre

Toutes les propriétés suivantes, liées à l'ordre, ne concernent donc que les fonctions à valeurs réelles.

Positivité

Propriété 10. L'intégrale-dans-le-bon-sens d'une fonction positive est un nombre positif :8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

�f 2 C ([a; b[;R)

�bZ

a

f(t)dt converge

� . . . . . . . . . . . .� . . . . . . . . . . . .

=)

Preuve :

Remarque : On a un résultat similaire pour les fonctions négative : le théorème de négativité.


� Y penser dès que l'on veut montrer qu'une expression avec une intégrale est positive :Étude du signe d'une intégrale = étude du signe de la fonction à l'intérieur.� Application classique : monotonie de suite dé�nie par une intégrale :Étude du signe de In+1 � In.

Croissance

Propriété 11. L'intégrale-dans-le-bon-sens conserve les inégalités :8>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>:

�f 2 C ([a; b[;R) et g 2 C ([a; b[;R)

�Z b

af(t)dt et

Z b

ag(t)dt convergent

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

=)

Preuve :

� Encadrer une intégrale = encadrer la fonction à l'intérieur.� Application classique : suite ou fonction dé�nie par une intégrale.

Aspect dé�ni-positif de l'intégrale ou théorème de séparation

Propriété 12. Une fonction continue, positive, d'intégrale nulle est nulle sur l'intervalle d'intégration.8>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>:

�f est continue sur [a; b[

�Z b

af(t)dt converge

� . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . .

=)


Preuve :

Remarque : Les deux hypothèses continuité et positivité sont indispensables :

� L'intégrale d'une fonction continue peut être nullesans que la fonction soit nulle.

� L'intégrale d'une fonction positive présentant des dis-continuités peut être nulle sans que la fonction soitidentiquement nulle.

Stricte positivité

Propriété 13. L'intégrale-dans-le-bon-sens d'une fonction continue positive non nulle est un réel

strictement positif.8>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>:

�f est continue sur [a; b[

�Z b

af(t)dt converge

� . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . .

=)


Preuve :

3 La convergence en pratique : cas des fonctions positives

Par souci de simplicité, nous travaillerons par la suite uniquement sur des intervalles de la forme [a; b[ avec a < bet b 2 R ou b = +1. Le même type d'énoncé existe pour des fonctions continues sur ]a; b], sur ]a; b[.

On ne peut pas toujours calculerZ x

af(t)dt explicitement, le calcul explicite d'une primitive étant rarement pos-

sible. Mais, lorsque f est positive, certaines règles permettent d'étudier la nature de l'intégrale. Si f est négative,on travaillera avec �f . De plus, quitte à utiliser comme ci-dessus une borne c quelconque dans [a; b[, on peut seramener à une étude locale au voisinage de b. Ainsi tous les théorèmes de comparaison qui suivent s'appliquent

pour f de signe constant au voisinage de b.

L'étude deZ b

af est semblable à celle des séries du type

Xn�0

un avec un � 0.

3.1 Lemme fondamental : théorème de la limite monotone

Lemme 1. Soit f : [a; b[! R continue et positive.

� La fonction F : x 7!Z x

af(t)dt est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� L'intégrale

Z b

af(t)dt converge si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� L'intégrale

Z b

af(t)dt diverge si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Preuve :

Remarque : Les résultats subsistent si f n'est positive qu'au voisinage de b car F est alors croissante au voisinagede b.

3.2 Les théorèmes de comparaison

Théorème de comparaison avec des inégalités

Propriété 14. Soient f; g : [a;b[! R deux fonctions continues sur [a;b[.

On suppose que : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si

Z b

ag converge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Si

Z b

af diverge alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Preuve :

Remarque : Là encore les résultats subsistent si les inégalités ne sont vraies qu'au voisinage de b.

Exemples :

� Déterminer la nature deZ +1

0

sin2 (t)

1 + t2dt.

Pourquoi cette technique ne serait-elle pas valable telle quelle pourZ +1

0

sin (t)

1 + t2dt ?

� Déterminer la nature deZ 1

0

1

sin (t)dt.



1

arctan (x)

x3dx.


0e�t

2

dt.

Y penser lorsque la fonction comporte des cos , sin , arctan , b c, un dénominateur avec une somme....


� Justi�er la continuité de f sur l'intervalle considéré et identi�er le(s) point(s) à problème.

� Faire une étude en chaque point à problème :Étudier le signe de f ainsi qu'une inégalité faisant apparaître des fonctions de référence

t 7! 1

t�; t 7! emt ou t 7! ln (t)

� Poser clairement les hypothèses et appliquer le théorème en chaque point à problème :On a donc :

? Les fonctions f et g sont continues sur . . .. . .

? Pour tout t 2 : : : : : : : 0 � f(t) � g(t)

? L'intégrale : : : : : : : : : converge (ou diverge) comme intégrale de référence.

Donc d'après le théorème de comparaison avec les inégalités, l'intégrale : : : : : : : : : converge (ou diverge).

� Conclure

Règle des équivalents


Propriété 15. Soient f; g : [a;b[! R deux fonctions continues sur [a;b[.

On suppose que :

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors les intégrales

Z b

af et

Z b

ag sont de même nature.

Preuve :

On prendra bien soin de toujours bien véri�er que la fonction est bien de signe constant au voisinage dupoint considéré.


Bien connaître ses équivalents usuels et DL usuels a�n de reconnaître les formes usuelles :

? DL usuels et opérations sur les DL.

? Équivalents usuels et propriétés de produit, quotient, mise à une puissance constante, substitution.

? f =x0g + �(g)() f ∼

x0g

? limx0

f = `, ` �nie NON NULLE , f ∼x0`

Rédaction type :



� Faire une étude en chaque point à problème :Obtenir un équivalent de f au voisinage de b utilisant les fonctions de référence

t 7! 1

t�; t 7! emt ou t 7! ln (t)

et véri�er que le signe est constant.

� Poser clairement les hypothèses et appliquer le théorème en chaque point à problème :On a donc :

? Les fonctions f et g sont continues sur . . .. . .

? Les fonctions f et g sont de signe constant au voisinage de b

? f(t) ∼bg(t)

? L'intégrale : : : : : : : : : converge (ou diverge) comme intégrale de référence.

Donc d'après le théorème de comparaison avec les équivalents, l'intégrale : : : : : : : : : converge (ou diverge).

� Conclure.

Exemples :

� Déterminer la nature de l'intégraleZ 1

0

ln (x)

x3 + 1dx :


0

sinpt

t2dt :



0

expx(1� x)

dx :

� Déterminer la nature de l'intégraleZ +1

0ln

�1 +

1

t2

�dt :


Comparaison avec des o et des O

Propriété 16. Soient f; g : [a;b[! R deux fonctions continues sur [a;b[.8>>>><>>>>:

f et g sont positives au voisinage de b

f(t) = ot!b

�g(t)

�. . . . . . . . . . . . . . . . . .

=)

8>>>><>>>>:


f(t) = ot!b

�g(t)

�. . . . . . . . . . . . . . . . . .

=)

8>>>><>>>>:


f(t) = Ot!b

�g(t)

�. . . . . . . . . . . . . . . . . .

=)

8>>>><>>>>:


f(t) = Ot!b

�g(t)

�. . . . . . . . . . . . . . . . . .

=)

Preuve :

Exemple : Fonction � d'Euler : (à connaître mais à refaire à chaque fois) soit � 2 R �xé. Déterminer la nature

de l'intégraleZ +1

0t��1e�tdt


Règle de x�f(x)


Corollaire 1. Règle des x�f(x) en +1 :

Soit f : [a;+1[! R une fonction continue sur [a;+1[.

8>>><>>>:

f est positive au voisinage de +1� > 1

limx!+1

x�f(x) = 0

=)

8>>><>>>:

f est positive au voisinage de +1� < 1

limx!+1

x�f(x) = +1=)

Preuve :

� Y penser lorsque f(x) n'admet pas apparement d'équivalent simple.En particulier y penser lorsque f(x) comporte des produits, quotients de termes de type (ln (x)) , x� , ex

�

...

� On pourra mixer d'abord un équivalent a�n de simpli�er l'expression de f puis la règle des x�f(x).

� Très souvent le calcul de la limite de x�f(x) fait intervenir des croissances comparées.

Exemples :


0e�t

2

dt (Méthode 2)

� Intégrales de Bertrand : (à connaître mais à refaire à chaque fois) soit (�; �) 2 R2, � 6= 1 (pour l'instant).

Déterminer la nature deZ +1

2

dt

t�(ln (t))�


3.3 Rappel sur le théorème de comparaison séries-intégrales

C'est le moment de revoir cette partie du cours du chapitre 1 sur les séries numériques.

4 Fonctions intégrables sur un intervalle I

On rappelle que tous les intervalles considérés ici sont non vide et non réduit à un singleton.


4.1 Dé�nition

Dé�nition 4. Fonction intégrable sur un intervalle I :

Soit f : I ! K une fonction continue sur un intervalle I.

On dit que f est intégrable sur I lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note L1(I;K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Remarques :

� Il s'agit au �nal d'une notion d'absolue convergence et on aurait pu dé�nir :Soit f : [a; b[! K une fonction continue sur [a; b[.

On dit que l'intégraleZ b

af converge absolument lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mais le programme de PT stipule : a�n de ne pas alourdir le vocabulaire, la locution � intégrale absolumentconvergente � ne �gure pas au programme.

� De même, comme on le verra au paragraphe 4.5, on peut dé�nir la notion de semi-convergence.

� Pour une fonction réelle positive ou négative sur [a; b[ ou même seulement de signe constant au voisinage dupoint à problème b, il n'y a aucune di�érence entre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ainsi on a, par exemple, les résultats suivants pour les intégrales de référence, les fonctions considérées étantalors toutes de signe constant :

? Intégrale de Riemann sur [1;+1[ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? Intégrale de Riemann sur ]0; 1] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? Intégrale exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

? Intégrale logarithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La notion de convergence absolue est intéressante uniquement pour les fonctions à valeurs complexes et pourles fonctions à valeurs réelles qui changent sans cesse de signe au voisinage du point à problème, par exemplepour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� Étudier l'intégrabilité de f sur un intervalle I revient donc à étudier une intégrale classique sur un segmentou bien à étudier la convergence absolue d'une intégrale généralisée.

Comment démontrer l'intégrabilité d'une fonction f sur un intervalle I :

� Cas 1 : une fonction continue sur un segment I = [a; b] (PTSI) :La fonction f est alors intégrable sur I = [a; b].

� Cas 2 : une fonction continue sur un intervalle I avec f réelle de signe constant (ou constant localement auvoisinage des points d'impropreté) :

f intégrable sur I () l'intégrale généraliséeZI

f converge.

� Cas 3 : une fonction continue sur un intervalle I avec f complexe non réelle ou réelle de signe non constant(ou non constant localement au voisinage des points d'impropreté) :

f est intégrable sur I () l'intégrale généraliséeZI

jf j converge.

4.2 Propriétés des fonctions intégrables sur un intervalle I

Une intégrale absolument convergente converge


Théorème 1. Soit f : I ! K une fonction continue sur un intervalle I = [a; b[ (par exemple).

Si f est intégrable sur I alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note alors souvent

ZIf cette intégrale.

Dans ce cas, on a l'inégalité triangulaire :

Preuve :

Utilisation de l'inégalité triangulaire lors de l'étude de suites dé�nies par des intégrales


Application de l'inégalité triangulaire et du théorème de croissance au calcul d'une limite et/ou d'un équi-valent d'une suite (In)n2N dé�nie par une intégrale :

� On conjecture la limite (ou l'équivalent) qui est, le plus souvent, l'intégrale de la limite (ou de l'équivalent)lorsque n tend vers +1 de la fonction à l'intérieur.

� On calcule la valeur absolue ou le module de la di�érence.

� Par l'inégalité triangulaire, un théorème de croissance puis un théorème des gendarmes, on véri�e quecette di�érence tend bien vers 0.

Exemple : Déterminer la limite de In =

Z +1

1

nx+ 1

nx3 + 1dx lorsque l'entier n tend vers +1.

Structure algébrique de l'ensemble des fonctions continues intégrables sur un intervalle

Propriété 17. L1(I;K), ensemble des fonctions continues et intégrable sur l'intervalle I, est . . . . . . . . . . .


Preuve :

4.3 Étude pratique de l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle I

Il s'agit d'appliquer àZIjf j les théorèmes sur les intégrales généralisées de fonctions positives.

On les reformule en les adaptant au vocabulaire des fonctions intégrables sur un intervalle I.


Propriété 18. Soient f; g : I ! K.1. Théorème de comparaison avec les inégalités :

8>><>>:

f et g sont continues sur I

jf j � jgjg intégrable sur I

=)

2. Théorème de comparaison avec les équivalents :

On suppose par exemple I = [a; b[.

8><>:


f �bg =)

3. Théorème de comparaison avec les o et O :

On suppose par exemple I = [a; b[.

8>>><>>>:


f =bo(g)

g intégrable sur I

=)

8>>><>>>:


f =bO(g)

g intégrable sur I

=)

Preuve :




� Faire une étude en chaque point à problème.Si la fonction est complexe non réelle ou non de signe constant au voisinage des points à problème,étudier l'intégrabilité de la fonction en utilisant un des théorèmes de comparaison.

� Conclure

Exemples :


1

cos (t)

t2dt :


0

eitpch(t)

dt :

4.4 Fonctions de carré intégrable sur un intervalle I

Dé�nition

Dé�nition 5. Soit f : I ! K une fonction continue sur l'intervalle I.

On dit que f est de carré intégrable sur I lorsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On note L2(I;K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exemple : Donner un exemple de fonction continue sur I = [1;+1[ non intégrable sur I mais de carréintégrable sur I.

Structure algébrique des fonctions de carré intégrable sur un intervalle


Propriété 19. Produit de fonctions de carré intégrable :

Le produit de deux fonctions continues de carré intégrable sur I est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Propriété 20. L'ensemble L2(I;K) des fonctions continues de carré intégrable sur I est . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Une structure d'espace préhilbertien réel pour L2(I;R)


Propriété 21. Un produit scalaire sur L2(I;R)L'application dé�nie sur L2(I;R) par :

L2(I;R)� L2(I;R) ! R

(f; g) 7!ZI

fg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

Corollaire 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz

Soient f et g deux fonctions réelles, continues et de carré intégrable sur I, c'est-à-dire (f; g) 2 L2(I;R).On a alors :

Cette inégalité est une égalité si et seulement si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Preuve :

4.5 Un exemple d'intégrale semi-convergente (Hors-Programme)

Dé�nition 6. Soit f une fonction continue sur [a; b[.

Si

Z b

af converge et

Z b

ajf j diverge, on dit que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Exemple : Intégrale de Dirichlet : Montrons queZ +1

1

sin (x)

xdx est semi-convergente :


5 Calcul intégral : procédés d'intégration

5.1 Primitives usuelles et exemples classiques à connaître : rappels de PTSI

Revoir le formulaire ainsi que les techniques usuelles (voir la �che méthode sur le calcul intégral et le TD derévision sur le calcul intégral).

5.2 Intégration par parties

On suppose f; g : [a; b[! R de classe C1 sur [a; b[. Par intégration par parties, on a donc :

8x 2 [a; b[;

xZa

f(t)g0(t)dt =

Ainsi, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Par précaution, on commencera toujours par intégrer entre a et x a�n d'e�ectuer l'intégration par partiessur un segment PUIS on passera à la limite.

Rédaction type d'une intégration par parties :

� On pose :(u(t) = :::: u0(t) = ::::v0(t) = :::: v(t) = ::::

� Les fonctions u et v sont de classe C1 sur le segment [a; x], donc par intégration par partie, on a :

xZa

u(t)v0(t)dt = [u(t)v(t)]xa �xZa

u0(t)v(t)dt

� On passe alors à la limite lorsque x tend vers b�.

Quand utiliser une intégration par parties ?

� Pour le calcul, si la fonction est de type

Polynôme �

cosinus, sinusexponentielle, lnarctangente, arcsin, arccos

� Pour le calcul, si la fonction est de type

1

Polynôme�

cosinus, sinuslnarctangente, arcsin, arccos

� Pour obtenir des relations de récurrence pour l'étude des suites dé�nies par des intégrales.

� Pour étudier la nature d'une intégrale (comme pour l'intégrale de Dirichlet).

Exemples :


� Calcul de �(3) : Montrer que l'intégraleZ +1

0t2e�tdt converge et déterminer sa valeur.

� Montrer que l'intégraleZ +1

1

arctan (x)

x3dx converge et déterminer sa valeur.

5.3 Changement de variables

Rappel : théorème de changement de variable sur un segment

Théorème 2. Soit f : I ! R. Si� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :


� On pose u = '(x).

� On calcule du en fonction de x.

� On calcule la nouvelle fonction à intégrer.

� On calcule les nouvelles bornes de l'intégrale.

� On a : u = '(x)du = '0(x)dx

f(u)du = f('(x))� '0(x)dx

� Comme(' : x 7! '(x) est de classe C1 sur [�; �]f : u 7! f(u) est continue sur ['(�); '(�)];

� on a, d'après le théorème de changement de variable,�Z

�

f('(x))� '0(x)dx =

'(�)Z'(�)

f(u)du:

Exemples :

� Calculer I =

1Z0

e2x

ex + 1dx :

� Calculer J =

2Z1

1

1 +pxdx :

� Calculer K =

1Z0

p1� u2du :


Théorème de changement de variable sur un intervalle quelconque

Les choses deviennent un peu di�érentes lorsque l'on se place sur un intervalle quelconque. La bijectivité del'application ' est alors requise !

Théorème 3. Cas d'une bijection strictement croissante :

On suppose que :

� f est une fonction continue sur ]a; b[

� ' : ]�; �[!]a; b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Alors :

� Les intégrales

Z b

af(t)dt et

Z �

�f ('(u))'0(u)du sont. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� En cas de convergence, on a alors :


Preuve :

Remarque : Dans le cas d'une bijection strictement décroissante, la formule s'écrit :

Ainsi, peu importe la monotonie de ' du moment où l'on prend garde à bien respecter l'ordre des bornes lors descalculs.

Exemples :

� Un changement de variable peut transformer une intégrale impropre en une intégrale sur un segment etréciproquement et permet ainsi parfois de démontrer une convergence et/ou de calculer une valeur :

Déterminer l'existence et la valeur de I =

Z �

2

0

sin (x)

sin (x) + cos (x)dx. On pourra poser le changement de variable

' : x 7! tan (x).


� Un changement de variable permet, parfois, de montrer une convergence en se ramenant à une intégraleconnue :

Intégrale de Bertrand, cas � = 1 : Déterminer la nature de l'intégrale impropreZ +1

2

dx

x(ln (x))�, avec � 2 R.

� Un changement de variable qui échange les bornes permet parfois de calculer une intégrale :

Justi�er l'existence de J =

Z +1

0

ln (t)

1 + t2dt

puis la calculer à l'aide du changement de variable (classique avec du ln ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


� On pose : u = '(x)du = '0(x)dx

f(u)du = f('(x))� '0(x)dx

� Comme(' : x 7! '(x) est une bijection strictement croissante de classe C1 de ]�; �[ dans ]a; b[f : u 7! f(u) est continue sur ]a; b[;

� on a, d'après le théorème de changement de variable,

? les intégrales généralisées

�Z�

f('(x))� '0(x)dx et

bZa

f(u)du ont même nature

? elles sont égales en cas de convergence.

Utilité :

� Montrer une convergence,

� Calculer une valeur.

Application à la parité

Propriété 22. Soit f : R! R continue.

� Si f est paire ou impaire, alors les intégrales

Z +1

0f(t)dt et

Z 0

�1f(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

� En cas de convergence de l'une des deux intégrales, l'intégrale doublement impropre

Z +1

�1f(t)dt

converge et vaut

Z +1

�1f(t)t. =

8>><>>:


Preuve :

6 Synthèse : tableau récapitulatif

Intégrales de référence :

� Riemann en +1 :Z +1

1

dt

t�converge si et seulement si � > 1.

� Riemann en 0 :Z 1

0

dt

t�converge si et seulement si � < 1.

� Riemann translaté :Z c

a

dt

jt� aj� converge si et seulement si � < 1.

� Exponentielle :Z +1

0e��tdt converge si et seulement si � > 0.

� Logarithme :Z 1

0ln (t)dt converge.


f continue sur......=donne les pts à pb.Étude séparée des points à pb :Z c

af et

Z b

cf

Calcul de F (x) =

Z x

cf . Calcul de lim

b�F

Prim

itivesusuelles

IPP

Changem

entdevariab

le

Astu

cesclassiqu

es

b �nib in�ni

limb�

f �nie ?signe cst localement en b ?

Fausse impropretéFonction positive f intégrable ?

SCV?

Règle

des

équivalents

Théorèm

edes

inégalités

Règles

deo,

Oet

x�f(x)

Par la def

(rare)

Typ

edeborn

e?

Oui

Non

Oui Non

Non

Oui


les intÉgrales gÉnÉralisÉes

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