NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS 4 I. Arithmétique 4

1. Divisibilité 4 2. Nombres premiers 5 3. PGCD de deux nombres entiers 5 4. Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres entiers 6 5. Nombres premiers entre eux 8

II. Nombres rationnels 8 1. fraction irréductible 8 2. Règles de calcul sur les fractions 8

TRIGONOMETRIE 9 I. Rappels (Pythagore / cosinus) 9

1. Théorème de Pythagore et sa réciproque 9 2. Cosinus d’un angle aigu 9

II. Sinus et tangente d’un angle aigu 9 III. Quart de cercle trigonométrique ; valeurs particulières 11

1. Quart de cercle trigonométrique 11 2. Deux valeurs particulières à connaître 12

IV. Pente 12 V. Relations entre sinus, cosinus et tangente 13

EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 1ER DEGRE. PROBLEMES 16 I. Equations du premier degré à une inconnue 16

1. Différents types d’équations 16 2. Des équations pour résoudre des problèmes concrets 17

II. Inéquations 18 1. Ordre et opérations (rappel de 4ème) 18 2. Inéquations 19

NOTION DE FONCTION 21 I. Définitions 21 II. Trois façons de définir une fonction 21

1. Une formule 21 2. Un tableau 21 3. Un graphique 22

THEOREME DE THALES ET SA RECIPROQUE 23 I. Ce que tout honnête homme doit savoir 23 II. Rappels : égalité de quotients 23 III. Le théorème de Thales 24 IV. Réciproque du théorème de Thales 25 V. Agrandissements et réductions 26

PROBABILITES 28 I. Notion de probabilité 28

1. Expérience aléatoire 28 2. Arbre des possibles 28 3. Probabilité d’un évènement 29

II. Exemple d’expérience aléatoire à 2 épreuves 30

Programme de 3ème en mathématiques

DEVELOPPEMENTS ET IDENTITES REMARQUABLES 31 I. Révisions les puissances 31 II. Distributivité (5ème) et double distributivité (4ème) 31

1. Développer et réduire 31 2. Vrai ou faux ? 32

III. Les identités remarquables 33 1. Carré d’une somme 33 2. Carré d’une différence 34 3. Produit d’une somme par une différence 34 4. Application au calcul mental 34 5. Complément méthode : savoir démontrer une égalité 35

SPHERES ET BOULES 36 I. La sphère ; la boule 36

1. Définitions 36 2. Aire et volume 37 3. Intersection d’une sphère et d’un plan 38

FONCTIONS LINEAIRES ET AFFINES ; PROPORTIONNALITE 41 I. Fonctions linéaires 42

1. Définition d’une fonction linéaire 42 2. Proportionnalité et fonction linéaire 43 3. Représentation graphique d’une fonction linéaire 44 4. Coefficient directeur 44

II. Fonctions affines 45 1. Définition d’une fonction affine 45 2. Représentation graphique d’une fonction affine 45 3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine 46

III. Application : augmentation et diminution en pourcentage 47

RACINES CARREES 49 I. Définition de √a , a étant un nombre positif ou nul 49 II. Les ensembles de nombres* 51 III. Propriétés 52 IV. 1ère application : écrire un quotient sans radical au dénominateur 54

1. Cas où le dénominateur est de la forme a b (a≠0 et b>0) 54 2. Autres cas (hors programme)* 54

V. Equations du type x² = a 54 VI. 2ème application : un peu de géométrie 55

1. Hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle 55 2. Hauteur d’un triangle équilatéral 56

VII. De retour en trigonométrie 58 1. Utiliser la relation cos²x+sin²x=1 58 2. Des valeurs exactes 58

ANGLES INSCRITS, ANGLES AU CENTRE, ROTATIONS 61 I. …… 61

FACTORISATIONS ; EQUATIONS PRODUIT 62 I. Factorisations 62

1. Première façon : en utilisant la distributivité 62 2. Deuxième façon : en utilisant les identités remarquables 63

II. Les équations produit 63 III. Complément méthode : le problème de Brevet type 64

SECTION D’UN SOLIDE 66 I. Quelques notions de géométrie dans l’espace (facultatif) 66

1. Plans parallèles ; plans sécants 66 2. Droite orthogonale à un plan 67

II. Agrandissements et réduction 67 1. Rappel 67 2. Effet sur les angles 68 3. Effet sur les aires 68 4. Effet sur les volumes 69

III. Sections de solides usuels par un plan 70 1. Le parallélépipède rectangle ou pavé droit 70 2. Le cylindre 71 3. La pyramide et le cône 71

SYSTEMES DE 2 EQUATIONS A 2 INCONNUES 74

STATISTIQUES 77 I. …… 77

Chapitre

111 NNNooommmbbbrrreeesss eeennnttt iiieeerrrsss eeettt rrraaattt iiiooonnnnnneeelllsss

I. Arithmétique Le mot vient du grec « arithmos » = nombre. En effet, l’arithmétique est la science des nombres entiers naturels. L’ensemble des nombres

entiers naturels est noté V Citons la célèbre conjecture de Goldbach énoncée en 1742 et à ce jour jamais démontrée : « Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers »

1. Divisibilité

Par exemple, 5 est un diviseur de 30 signifie qu’il existe un nombre entier k (ce nombre, c’est 6), tel que 30=5×k Rappels de 6eme Un nombre entier est divisible : - par 2, si son chiffre des unités est pair, - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, - par 10, si son chiffre des unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9

- par 4, si le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4. Exercice1

Définition : Soit n un nombre entier naturel Dire qu’un nombre d est un diviseur de n signifie qu’il existe un nombre ENTIER k tel que n = d ×××× k

Exercice2 Déterminer tous les diviseurs de 36 Pour cela, j’écris de toutes les façons possibles le nombre 36 sous forme d’un produit de 2 entiers naturels :

36 = 1 × 36 36 = 2 × 18 36 = 3 × 12 36 = 4 × 9 36 = 6 × 6

Présentation pratique : Exercice3 Déterminer tous les diviseurs de 60 ; 61 ; 75 ; 175 ; 245

2. Nombres premiers

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.

3. PGCD de deux nombres entiers Exemple : Quel est le PGCD de 12 et de 40 ? Pour le savoir, je cherche tous les Diviseurs de 12 puis ceux de 40 : Cela signifie que 4 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 40

J’en déduis que 36 possède 9 diviseurs qui sont :1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36

Définition : Un nombre est premier s’il possède deux diviseurs uniques qui sont 1 et lui-même

Définition : Le PGCD de deux nombres entiers est le Plus Grand Commun Diviseur à ces deux entiers.

1 12 2 6 3 4

1 40 2 20 4 10 5 8

Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ;4 ;6 ;12

Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40

Nos deux nombres ont trois Diviseurs

Communs : 1 ; 2 et 4 .

Le Plus Grand est 4

Le PGCD de 12 et 40 est donc 4. On écrit pour aller plus vite : PGCD (12 ; 40) = 4

4. Algorithmes de calcul du PGCD de deux nombres entiers

Le mot « algorithme » vient d’une déformation du nom du mathématicien perse al Khwarizmi (IXème siècle). Un algorithme est une succession de manipulations sur les nombres qui s’exécutent toujours de la même façon. Méthode 1: Soustractions successives Application 1 : calculer le PGCD de 189 et 693 PGCD (189 ; 693) = PGCD (189 ; 504) = PGCD (189 ; 315) = PGCD (189 ; 126) = PGCD (126 ; 63) = PGCD (63 ; 63) = 63 application 2 : calculer le PGCD de 2208 et 216 PGCD (2208 ; 216) = PGCD (216 ; 1992) = PGCD (216 ; 1776) = PGCD (216 ; 1560) = PGCD (216 ; 1344) = PGCD (216 ; 1128) = PGCD (216 ; 912) = PGCD (216 ; 696) = PGCD (216 ; 480) = PGCD (216 ; 264) = PGCD (216 ; 48) = PGCD (48 ; 168) = PGCD (48 ; 120) = PGCD (48 ; 72) = PGCD (48 ; 24) = PGCD (24 ; 24) = 24

Propriété (admise) Soient a et b deux entiers naturels avec a>b. Alors le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de b et de a–b PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a–b)

CALCULS 1992–216 = 1776 1776–216 = 1560 1560–216 = 1344 1344–216 = 1128 1128–216 = 912 912–216 = 696 696–216 = 480 480–216 = 264 264–216 = 48 216–48 = 168 168–48 = 120 120–48 = 72 72–48 = 24 48 – 24 = 24

CALCULS 693 – 189 = 504 504 – 189 = 315 315–189 = 126 189–126 = 63

Le PGCD de 2208 et 216 est 24. On remarque que la méthode est un peu ..longue Méthode 2: L’algorithme d’Euclide

Application 1 : calculer le PGCD de 189 et 693 PGCD (189 ; 693) = PGCD (189 ; 126) = PGCD (126 ; 63) = 63 dernier reste non nul

application 2 : calculer le PGCD de 2208 et 216 PGCD (2208 ; 216) = PGCD (216 ; 48) = PGCD (48 ; 24) = 24 dernier reste non nul Utilisation du tableur.

Rappel sur la division euclidienne (cours de 6ème) : Soient a et b deux entiers naturels. Alors il existe deux nombres entiers naturels uniques q et r tels que a = b×q + r

a b

r q

Propriété (admise) Soient a et b deux entiers naturels avec a > b. Alors le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de b et de r, où r est le reste de la division euclidienne de a par b PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

CALCULS

3 9 6 9 8 1

3 6 2 1

9 8 1 6 2 1

1 3 6

6 2 1 3 6

2 0

CALCULS

8 0 2 2 6 1 2

0 1 8 4

8 4

6 1 2 8 4

4 4 2

8 4 4 2

2 0

5. Nombres premiers entre eux

Exemple : 14 et 9 sont premiers entre eux

II. Nombres rationnels

Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire ab où a et b

sont des nombres entiers relatifs.

L’ensemble des nombres rationnels se note X.

1. fraction irréductible Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux

Exemple : comme PGCD(14 ; 9) = 1, alors 14 et 9 sont premiers entre eux donc 149

est

une fraction irréductible.

2. Règles de calcul sur les fractions Voir la fiche de révisions

Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible :

21 25 16 35 3 5 4 4 75 75

153 45 8 7 7 5 5 5149

J K L M

− −= − × = − × − = = −

−

réponses dans le désordre : 9 56 35 50 1 7 1 1 10 7 1 18

; ; ; 2 ; ; ; ; ; ; ; ; ;25 55 3 9 9 12 2 5 13 10 12 7

−− − − −

définition Deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1

( )2

1 3 13 1 11 4 4 11 7 7 55 2 54 8 2 4 5 3 3 2 5 11 3

4 1 2 7 12 10 5 3 8 1 2 2 31 5 23 2 3 2 16 15 4 4 9 2 3 3 2

A B C D

E F G H I

= − × + × − = − ÷ − = − − × = − ÷

= + × = − × − = − = − × = − ÷ −

TTTrrriiigggooonnnooommmééétttrrr iiieee

I. Rappels (Pythagore / cosinus)

1. Théorème de Pythagore et sa réciproque Voir la fiche de révisions vacances

2. Cosinus d’un angle aigu Fiche de révisions Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des 2 angles aigus est

le nombre égal à :longueur du coté adjacent

longueur de l'hypoténuse.

Remarque : le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1. Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs ou des mesures d’angles (voir fiche précédente)

II. Sinus et tangente d’un angle aigu Activité (avec Géoplan) : Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B’ sont deux points de [Ax) ; C et C’ deux points de [Ay) tels que (BC) et (B’C’) sont perpendiculaires à [Ax)

B C

A

cos�BC

CAC

=

cos�AB

AAC

=

x

y

A B B’

C

C’

Chapitre

222

� Une conjecture :

Mesurer, puis calculer les rapports BC

AC et B'C'

AC'

Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.

Mesurer, puis calculer les rapports BC

AB et B'C'

AB'

Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.

� La preuve : Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A

o B et B’ sont deux points de (Ax) o C et C’ deux points de (Ay) o (CB) // (C’B’) car elles sont toutes les deux perpendiculaires à

(Ax)

Donc d’après le théorème de Thales : AB AC BC

AB' AC' B'C'= =

D’une part : AC BC

AC' B'C'=

AC×B’C’=BC×AC’ BC AC'

B'C'=AC

×

B'C' BC

AC' AC=

D’autre part : AB BC

AB' B'C'=

AB×B’C’=BC×AB’ BC AB'

B'C'=AB

×

B'C' BC

AB' AB=

Synthèse : Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu �A . Alors les

rapports coté opposé

hypoténuse et coté opposé

coté adjacent ne dépendent pas de ces triangles

rectangles. On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l’angle �A .

Produits en croix

Je divise les 2 membres par AC

Je divise les 2 membres par AC’

Produits en croix

Je divise les 2 membres par AC

Je divise les 2 membres par AC’

En résumé :

sin �A = coté opposé

hypoténuse= BC

AC

tan �A = coté opposé

coté adjacent= BC

AB

Remarques :

o Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1 o La tangente d’un angle aigu est un nombre positif (pas forcément

< 1) Application :

III. Quart de cercle trigonométrique ; valeurs particulières

1. Quart de cercle trigonométrique Soient O, I et J trois points tels que (OI)⊥ (OJ) et OI = OJ = 1

A

C

B

1) Calculer AC (arrondir au mm)

2) Calculer CD (arrondir au mm)

I

J

M

C

S

O

α

1

1 On appelle quart de cercle trigonométrique, le quart de cercle de centre , de rayon 1 délimité par les points I et J

Utiliser le logiciel de géométrie (fichier créé) pour faire deviner des valeurs er confirmer à la calculatrice.

Nous allons prouver que la longueur OC vaut cosα et que OS vaut sinα. En effet, dans le triangle OMC rectangle en C, on a :

cosα = OC

OM soit cosα = OC / 1 cosα= OC

et sinα = MC

OM soit sinα = MC / 1 sinα= MC=OS

Application : Distribuer un quart de cercle trigonométrique ; lire cos 37° ; sin 37° ; cos75° ; sin 75° puis vérifier à la calculatrice

2. Deux valeurs particulières à connaître

� A la calculatrice : cos 60° = ………. Et sin 30° = …………..

� Prouvons le :

On retiendra cos 60° = 1

2De même : sin30°= 1

2

Nous apprendrons d’autres valeurs particulières au chapitre « Racines carrées ».

IV. Pente Que signifie le panneau ?

I

J

M

C

S

O

60°

1

1

aIOM=60° et IO =OM =1 Donc le triangle OIM est équilatéral (isocèle + 1 angle de 60°) (MC) est la hauteur issue de M, comme le triangle est équilatéral, c’est aussi une médiane. Don C est le milieu de [OI]. Donc OC=cos 60°=0,5

10 % α 10 m

100 m

Cela signifie que l’on s’élève de 10 m pour une avancée horizontale de 100 m. A quoi correspond géométriquement ce 10 % (=10/100) ? Réponse : c’est la tangente de l’angle α. Autre exemple : pente de 40% … Faire la figure

V. Relations entre sinus, cosinus et tangente

� Montrons que si αααα est un angle aigu, on a sintan

cos

ααα

=

On a : BC

sinAC

α = ABcos

ACα = BC

tanAB

α =

Donc :

BCsin BC AC BCAC tan

ABcos AC AB ABAC

α αα

= = × = =

Retenons : Applications : 1. α est la mesure d’un angle aigu. On donne cosα = 0,6 et sinα = 0,8.

Calcule tanα.

tanα= sin 0,8 4

cos 0,6 3

αα

= =

2. Calcule sinβ sachant que 4

tan3

β = et

3cos

5β =

. sin

tancos

4 sin335

sin 0,8

βββ

β

β

=

=

=

A

B C

α

Définition : la pente d’une route est la tangente de l’angle que fait cette route avec l’horizontale. L’angle α s’appelle l’inclinaison de la route.

sintan

cos

ααα

=

� Montrons que ( ) ( )2 2sin cos 1α α+ = pour tout angle αααα aigu

BC

sinAC

α = ABcos

ACα =

( ) ( )2 2

2 2

2 2

2

BC ABsin cos

AC AC

BC AC

AC

α α + = +

+=

2

2

AC

AC1

=

= (th de Pythagore)

Retenons : Applications :

a) α étant la mesure d’ un angle aigu avec cosα= 2

3, calculer

sinα puis tanα sans chercher à calculer α. ( ) ( )2 2

sin cos 1α α+ =

( )2

22cos 1

3α + =

( )2 4sin 1

9α = −

( )2 5sin

9α =

5sin

9α =

Calcul de tanα :

5sin 59tan

2cos 23

ααα

= = =

b) α étant la mesure d’ un angle aigu avec sinα= 5

5, calculer

cosα puis tanα sans chercher à calculer α.

On trouve cosα=0,6 et tanα= 4

3

c) Démontrer la relation 22

11 tan

cosα

α+ =

A

B C

α

( ) ( )2 2sin cos 1α α+ =

2 2 2 22

2 2 2

sin sin cos sin 11 tan 1 1

cos cos cos cos

α α α ααα α α α

+ + = + = + = =

d) Développer ( )2

cos sinα α+

( )2 2 2cos sin cos 2cos sin sin 1 2cos sinα α α α α α α α+ = + + = +

EEEqqquuuaaattt iiiooonnnsss eeettt iiinnnéééqqquuuaaattt iiiooonnnsss ddduuu 111eeerrr dddeeegggrrrééé... PPPrrrooobbblllèèèmmmeeesss

I. Equations du premier degré à une inconnue

1. Différents types d’équations Résoudre une équation à une inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut donner à x pour que l’égalité soit vraie. L’équation est du premier degré lorsque l’exposant de x est 1. Savoir tester si un nombre est solution d’une équation : Le nombre –2 est t-il solution de l’équation : 23 5 1 0x x− + = ? (non)

Le nombre 23

est t-il solution de l’équation : 23 5 2 6x x x− = + ? (oui)

Pour résoudre une équation, on applique la règle suivante : Résoudre les équations :

� 4 3 7x − = � 7 2 2 1x x− = +

� 1 2

25 3

x + =

� 4( 2) 2(3 7)x x+ = + (solution : –3) � ( ) ( )3 2 1 3 4x x x+ − − = − (solution : 4)

Quelques types d’équations classiques :

1. avec des dénominateurs

Chapitre

333

Une égalité est conservée quand : � On ajoute (ou on retranche) un même nombre aux deux membres de

l’égalité. � On multiplie (ou on divise) par un même nombre NON NUL, les deux

membres de l’égalité

3 5 22

4 6 2

x x x− −− + on met tout au même dénominateur

3 9 10 4 6 24

12 12 12 12

x x x− −− = − On multiplie les 2 membres par 12

(10 4 )3 9 6 24x x x− = +−− x=43 La solution est 43

une fausse équation du 2nd degré ( )( ) 22 3 25x x x− + = +

2 26 25x x x+ − = + 31x =

La solution est 31. Du type 0x=m

( ) ( )2 3 5 1 7 2

0 21

x x x

x

− + = + +=

Il n’y a pas de solutions.

( )2 4 1 2 7

0 0

x x

x

− + = −=

Tous les nombres sont solutions

2. Des équations pour résoudre des problèmes concrets Pour mettre un problème en équation, on présentera toujours les 5 étapes suivantes :

1) choix de l’inconnue 2) mise en équation 3) résolution de l’équation 4) phrase de conclusion 5) vérification

Exemple : Eva dépense 3

5 de ses économies puis 2

3 du reste. Finalement, il

lui reste 39€. Quel était le montant de ses économies ?

1. choix de l’inconnue Soit x le montant de ses économies

2. mise en équation 3 2 2

395 3 5

x x x− − × =

3. résolution de l’équation

3 439

5 1515 9 4 585

292,5

x x x

x x x

x

− − =

− − ==

4. phrase de conclusion Eva avait 292,5€

5. vérification …..

Exemple à support géométrique : A UTILISER AVEC LOGICIEL GEOMETRIE

II. Inéquations

1. Ordre et opérations (rappel de 4 ème)

RAPPEl : = égalité

<>≤≥

Partons de l’inégalité 4 < 6.

� Change t-on le sens de l’inégalité en ajoutant (ou retranchant) un même

nombre aux deux membres ? 4+1 < 6+1 4 +14,5 < 6+14,5 4–10< 6–10

A M B

C D

E

x

4

2

6 cm

ABCD est un carré de 6 cm de côté. M est un point variable du segment [AB] tel que AM = x.

1. Donne un encadrement de x. 2. Détermine la valeur de x pour laquelle les triangles EMC et MBC ont même aire.

Réponse : x = 1,5 cm

Règle 1 : On ne change pas le sens d’une inégalité en ajoutant (ou retranchant) le même nombre aux deux membres de cette égalité

inégalité

4 –2 < 6–2

� Change t-on le sens de l’inégalité en multipliant (ou divisant) par un même nombre non nul les deux membres ?

4×2 < 6×2 4×3,5 < 6×3,5 4 ×(–3)> 6×(–3) 4×(–2,4) > 6×(–2,4) 4:2 < 6:2 4:(–1) > 6:(–1)

2. Inéquations Exemple : Résoudre l’inéquation 2x – 3 < 7x , c’est trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles cette inégalité est vraie.

Y a t-il une seule solution ou plusieurs ?

Par exemple, 1 est – il solution ?

OUI, car 2×1–3 = –1 ; 7×1 = 7 et –1 est bien inférieur à 7 2 est –il solution ?

OUI, car 2×2–3 = 1 ; 7×2 = 14 et 1 est bien inférieur à 14 –5 est –il solution ?

NON, car 2×(–5)–3 = –13 ; 7×(–5) = –35 et 1 est SUPERIEUR à 14 On voit qu’il n’y a pas qu’une seule solution … Trouvons tous les nombres solution :

Règle 3 : On DOIT CHANGER le sens d’une inégalité en multipliant (ou divisant) les deux membres de cette égalité par un même nombre NEGATIF

Règle 2 : On ne change pas le sens d’une inégalité en multipliant (ou divisant) les deux membres de cette égalité par un même nombre POSITIF

?

Résoudre une inéquation à une inconnue x, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut donner à x pour que l’ INEGALITE soit vraie.

2 3 72 7 32 7 35 3

35

x xx xx xx

x

− << +− <

− <

−>

Les solutions sont donc tous les nombres strictement supérieurs à 35

−

On représente graphiquement les solutions : Légende : je hachure les solutions

� Résoudre l’inéquation : ( )5 2 1 3 2x x− ≥ +

� Résoudre l’inéquation : ( )4 3 2 3 5x x− ≤ − −

On ajoute 3 aux 2 membres : règle 1

On retranche 7x aux 2 membres : règle 1

On divise les 2 membres par –5 : règle 3

–3/5 0

NNNooottt iiiooonnn dddeee fffooonnncccttt iiiooonnn

I. Définitions Activités 1 ; 2 et 3 Exemple :

f : x ïx2 – 3x On note aussi f(x) = x2 – 3x Exemple : Avec la fonction f définie par f(x) = x2 – 3x f(5) = 52 – 3×5 = 25– 15 = 10

10 est l’image de 5 par la fonction f 5 est un antécédent de 10 par la fonction f

II. Trois façons de définir une fonction Une fonction peut être définie par :

1. Une formule Par exemple, la fonction f définie par la formule : f(x) = 3(x – 1)2

2. Un tableau Par exemple :

x –3 –2 0 1 f(x) 5 2 –4 2

Chapitre

444

Définition Une fonction numérique f est un procédé qui à tout nombre x fait correspondre au plus un nombre que l’on note f(x).

Définition • Le nombre f(x) s’appelle l’image de x par la fonction f • x est un antécédent de f(x) par la fonction f

3. Un graphique

Définition Le graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (a ; f(a) ) où a désigne un nombre et f(a) son image par la fonction f

TTThhhéééooorrrèèèmmmeee dddeee TTTHHHAAALLLEEESSS eeettt sssaaa rrréééccciiippprrroooqqquuueee

I. Ce que tout honnête homme doit savoir fiche de révisions à coller

II. Rappels : égalité de quotients

Soient a, b, et d quatre nombres avec b≠0 et d≠0 tels que a c

b d= (penser à

2 4

3 6= ).

Multiplions les 2 membres par bd : a c

bbd bd

d× = × d’où da = cb

� Exemple d’application : déterminer le nombre x vérifiant chaque

égalité :

a) 35

3 21

x =

b) 4 3

5 x= réponses

c) 3 5

4 1x=

−

d) 3 2

5 3x x=

− +

CCChhh aaappp iii ttt rrr eee

555

CONCLUSION : Si deux quotients sont égaux, alors les produits en croix sont égaux :

Si a c

b d= alors bc

ad

= b = … etc..

III. Le théorème de Thales activité du 5/5 page 154 + utiliser Logiciel géométrie (fichier créé)

Synthèse : le théorème de Thalès Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A. Sur la droite (d) : soient deux points B et M distincts de A, Sur la droite (d’) : soient deux points C et N distincts de A,

SI les droites (BC) et (MN) sont parallèles, ALORS AM AN MN= =

AB AC BC

Deux configurations possibles :

ALORS : AM AN MN= =

AB AC BC ou …..

Exo 1 :

réponse rédigée

Exo 2 : Sachant que (JI) // (GK), calcule x. réponse rédigée

A

M

N

B

C

A M

N B

C

Avec (MN) // (BC)

?

4cm

3 cm

8 cm

B

C

E

A

D

Sachant que (CE) // (AD), calcule BE.

J I

H

G K

x

4

7

x+8

Synthèse : réciproque du théorème de Thales : Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A. Sur la droite (d) : soient deux points B et M distincts de A, Sur la droite (d’) : soient deux points C et N distincts de A,

Si AM AN=

AB AC et si la place de M par rapport à A et B est la même que la

place de N par rapport à A et C, Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

Application du théorème de Thales : partage d’un segment en un rapport donné

Fiche photocopiée ?? Un segment [AB] étant donné, construire :

� le point M de [AB] tel que AM 4

AB 5=

� les point M de (AB)tel que AM 4

AB 5=

� les points M de [AB] tel que MA 3

MB 5= réponse

Décrire la méthode.

IV. Réciproque du théorème de Thales Activité sur ordinateur (fichier créé : dans Atelier de géométrie, dans le dossier Thales « réciproque ») + fiche à remplir Exo 1

� Les points A, B, R d’une part et A, C, S d’autre part sont alignés dans le même ordre.

9 3

4

5,5

A

B

C

R

S

Les droites (BC) et (RS) sont elles parallèles ?

�

AB 9 3

AR 12 4= = (irréductible) et AC 4 40

AS 5,3 33= = (irréductible)

AB AC

AR AS≠ donc les droites (BC) et (RS) ne sont pas parallèles

Exo 2

� Les points A, B, R d’une part et A, C, S d’autre part sont alignés dans le même ordre.

�

AB 10,5 21 7

AR 16,5 33 11= = = et AC 7

AS 11= (irréductibles)

AB AC=

AR AS

donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (RS) sont parallèles.

V. Agrandissements et réductions fiche d'activité ou activité géoplan crée

Définition : Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un

agrandissement) du triangle ABC, dont le coefficient (ou rapport) est AM

ABk = .

� Si k > 1 : AMN un agrandissement de ABC � Si 0 < k < 1 : AMN est une réduction de ABC � Si k = 1, on ne modifie pas la taille de ABC

Cela signifie que si l’on multiplie les longueurs des côtés de ABC par k, on obtient les longueurs des côtés de AMN.

A

B

C

S

R

11

7

10,5

16,5

Les droites (BC) et (RS) sont elles parallèles ?

propriété (admise) : Effectuer un agrandissement (ou une réduction) de rapport k agit sur les aires en les multipliant par k².

Rapport k

A A’

A’ = k² ×××× A

PPPrrrooobbbaaabbbiii lll iii tttééésss

I. Notion de probabilité Activité 1

1. Expérience aléatoire Exemple : on tourne la roue bien équilibrée ci-contre et on note la couleur du secteur qui s’arête en face du repère.

2. Arbre des possibles 2 secteurs sur 8 portent la couleur bleue.

On dit que la probabilité de sortie du bleu est 28 soit

14

De même la probabilité de sortie du vert est 28 soit

14

la probabilité de sortie du jaune est 38

la probabilité de sortie du rouge est 18

Chapitre

666

Définition Une expérience est dite ALEATOIRE lorsqu’elle a plusieurs ISSUES (résultats) possibles, et que l’on ne peut pas prévoir à l’avance quel résultat se produira.

bleu

vert

jaune

rouge

L’arbre des possibles permet de représenter toutes les issues d’une expérience

On peut alors tracer l’arbre pondéré par les probabilités :

On remarque que 14 +

14 +

38 +

18 =

88 = 1

3. Probabilité d’un évènement Avec l’exemple de la roue précédent, on peut par exemple considérer les évènements : A : « obtenir du rouge » composée d’une seule issue B : « obtenir du bleu ou du vert » composée de 2 issues C : « ne pas obtenir de jaune » composée de 3 issues, puisque cela revient à obtenir du bleu ou du rouge ou du vert Exemples :

p(A) = p(obtenir du rouge ) = 18

p(B) = p(obtenir du bleu ) + p(obtenir du vert )= 14 +

14 =

24 =

12

bleu

vert

jaune

rouge

14

14

38 18

• La probabilité d’une issue est toujours un nombre compris entre 0 et 1 • La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est

toujours égale à 1

Définition Un événement est constitué par une ou plusieurs issues d’une expérience aléatoire

Propriété La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des différentes issues qui le composent. On se sert de l’arbre

bleu

vert

jaune

rouge

14

14

38 18

p(C) = p(obtenir du bleu ) + p(obtenir du rouge ) + p(obtenir du vert )

p(C) = 14 +

18 +

14

p(C) = 28 +

18 +

28

p(C) = 58

II. Exemple d’expérience aléatoire à 2 épreuves Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »

(P ; P)

Sur un même chemin, on multiplie les probabilités.

P(E) = 14 +

14 +

14 =

34

La probabilité que l’évènement E se réalise est de 34.

Il y a donc trois chances sur quatre d’obtenir au moins une fois la face PILE lorsqu’on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.

• La probabilité d’un événement A est toujours un nombre compris entre 0 et 1

0 <<<< p(A) <<<< 1 • Un événement est IMPOSSIBLE si il ne peut pas se produire ; sa probabilité

est égale à 0 • Un événement est CERTAIN si il se produit à coup sûr ; sa probabilité est

égale à 1

F

P

F

P

F

P 12 1

2

12

12

12

12

12 x

12 =

14

12 x

12 =

14

12 x

12 =

14 (F ; F)

(F ; P)

(P ; F)

12 x

12 =

14

Probabilité d’obtenir 2 piles

Probabilité d’obtenir pile puis face

Probabilité d’obtenir face puis pile

Probabilité d’obtenir 2 faces

DDDééévvveeellloooppppppeeemmmeeennntttsss eeettt iiidddeeennnttt iii tttééésss

rrreeemmmaaarrrqqquuuaaabbbllleeesss

I. Révisions les puissances fiche de révisions (puissances)

Synthèse : soit a un nombre non nul et n un entier naturel (positif), alors

an = a×a×….×a 1nna

a− = a0 = 1

Si n et m sont deux entiers (positifs ou négatifs), alors :

n m n ma a a +× = n

n mm

a aa

−= ( )mn n ma a ×=

Avec les puissances de 10 : 10 100....0 10 0,0.........01n n−= = Ecriture scientifique : �,������ × 10n

Exemples :

Ecrire en écriture scientifique : A = ( ) 47 20,0025 10 10−

× ×

B= ( )

14 6

73

13 10 10

2 10

× ×

×

Exprimer plus simplement : ( ) ( )2 33 5 3 2x x a× ×

II. Distributivité ( 5ème) et double distributivité ( 4ème)

1. Développer et réduire

Chapitre

777

Activités 1 page 14

Un seul chiffre sauf 0

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2

3 4 1 16 1

2 7 6 5

4 2

4 3 3 2 4 5

x x

x x

x x x

x x

+ − −

− − + +

− − +

− − −

Réponses :

4 2

4 2

4 2

4 2

x

x

x

x

− ++

− −−

2. Vrai ou faux ? Le développement du produit ( )( )4 5a b− + est 5 4 20ab a b+ − +

Le développement du produit ( )12 6

2x x − +

est 22 5 3x x+ +

Quel que soit n, on peut écrire ( ) ( ) 21 2 2n n n n+ + − + =

Si A= ( )6 1 2x y+ − , B= ( )3 2x y z− − − et C=( )( )2 3x z+ − , alors

A+B+C = xz

Synthèse : � Développer un produit, c’est l’écrire sous forme d’une somme

algébrique ( ) ( ) 2 22 1 2 3 4 6 2 3 4 4 3x x x x x x x+ − = − + − = − −

� Soient k, a, b, c et d des nombres quelconques, alors

( )

( ) ( )k a b ka kb

a b c d ac ad bc bd

+ = +

+ + = + + +

� Rappel : lorsqu’une parenthèse est précédée du signe +, on peut supprimer la parenthèse sans changer les signes, lorsqu’une parenthèse est précédée du signe – on peut supprimer la parenthèse en changeant les signes

( )3 2 3 1x y− + − = 7 2 (3 1)a a− + − =

2 22 5 1 (2 3 2)x x x x− + − − + =

Exercices : Développer et réduire : A = ( ) ( ) ( )2 1 3 2 4 3 2x x x+ − − −

Puis calculer A si x=0 puis si x=–2

On factorise

On développe

produit Somme algébrique

développer réduire

Distributivité Double distributivité

Développer et réduire :

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

2 5 2 3 7 3 2

5 2 3 1 2 5 2 4

7 3 3 3 3

B x x x x

C a a a a

D x x x x

= − − − + + −

= + − + + − −

= − + − +

ATTENTION : Développer et réduire : ( )( ) ( )( )6 2 1 6 2E x x x x−= − + − +

( )( )24 2 3 1 2 3

5 ( 2)( 2)

F x x x

G x x

= − − − −= − + −

III. Les identités remarquables

1. Carré d’une somme Développer ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

3 4 5 2 3 6 7x y a x x+ + + + +

Etablir une conjecture pour le développement rapide de ( )2a b+

Première identité remarquable : ( )2 2 22a b a ab b+ = + +

� Preuve : pour tous nombres a et b :

( ) ( )( )2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b+ = + + = + + + = + +

� Illustration géométrique (où a et b sont positifs) (livre page 15)

Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 227 12 3 1 2 4 5 2 2 9x a x t x y+ + + + + +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22

2 2

2

2 1 3 2

1 2

5 3 5

3 2 7 2 7

A x x

B x x x

C x x

D x x

= + + +

= + + + +

= + − +

= − + − +

Methode : laisser le –, ouvrir une parenthèse et développer

( ) ( )6 2x x− +

Ensuite, enlever la parenthèse en changeant les signes.

2. Carré d’une différence Développer

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 223 4 5 2 3 6 7x y a x x− − − − −

Etablir une conjecture pour le développement rapide de ( )2a b−

Deuxième identité remarquable : ( )2 2 22a b a ab b− = − +

� Preuve : pour tous nombres a et b :

( ) ( )( )2 2 2 2 22a b a b a b a ab ab b a ab b− = − − = − − + = − +

� Illustration géométrique (où a et b sont positifs) (livre page 15)

Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 227 12 3 1 3 2 2 11 3 9x a x t x y− − − − − −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

2

2 3 2

1 3 2

7 3 2 5

3 2 7 2 7

A x x

B x x

C x x

D x x

= − + −

= − + +

= − − −

= − + − −

3. Produit d’une somme par une différence Développer : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 3 5 5 2 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x a a+ − − + − + + −

Etablir une conjecture pour le développement rapide de ( )( )a b a b− +

Troisième identité remarquable : ( )( ) 2 2a b a b a b− + = −

� Preuve : pour tous nombres a et b :

( )( ) 2 2 2 2a b a b a ab ab b a b− + = + − − = −

Exemples : Développer et réduire les expressions suivantes : ( )( ) ( )( ) ( )( )3 1 3 1 2 3 2 3 7 5 7 5a a y y x x− + + − − + etc…

4. Application au calcul mental Calculer mentalement : 21² ; 39² ; 19² ; 19×21 ; 49×51 ; 101² ; 88×92

5. Complément méthode : savoir démontrer une égalité

Exemple : prouver que ( )22 2 2 2 2 2a b c ab ac bc a b c+ + + + + = + +

Méthode : on part d’un des 2 membres, on développe et on vérifie que l’on trouve bien l’autre membre.

( ) ( )( )2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

a b c a b c a b c

a ab ac ab b bc ac bc c

a b c ab ac bc

+ + = + + + +

= + + + + + + + += + + + + +

OU

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2

......

2 2 2

a b c a b a b c c

a b c ab ac bc

+ + = + + + +== + + + + +

SSSppphhhèèèrrreeesss eeettt bbbooouuullleeesss

I. La sphère ; la boule

1. Définitions Si on fait tourner le demi-cercle autour de l’axe (∆) : Une sphère est donc un solide de révolution (comme le cylindre et le cône)

Remarque : la SPHERE est la peau de l’orange … c’est une surface.

On obtient une sphère

(∆) (∆)

Définition : Soit O un point de l’espace et R un nombre positif ou nul. La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O vaut R. (cela signifie que tous les points de la sphère sont à la même distance du point O).

Définition : La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance au point O est inférieure ou égale à R. (c’est la sphère et tout son intérieur).

O R

Chapitre

888

Toute droite passant par le centre O coupe la sphère en 2 points diamétralement opposés. On appelle grand cercle tout cercle de centre O (ex pour la Terre : l’équateur)

2. Aire et volume Formules à connaître : Exercice : Une tente igloo a la forme d’une demi sphère de 2 m de diamètre.

1) Quelle surface de tissus a t-on utilisé pour la fabriquer ? (tapis de sol compris)

2) Quel volume d’air y a t-il sous la tente (en litres) ?

1) 2

24 1 1 2 32

S π π π π π×= + × = + = m²

2) 34 1 23

2 3V

π π×= = m3

Soit V= 2 200010003 3π π× = litres

RAPPEL : 1 litre = 1 dm3

O

A

B

[AB] est un diamètre

Volume de la boule : 343

V Rπ=

Aire de la sphère : 24A Rπ=

TTTaaabbblll eeeaaauuu dddeee cccooonnnvvveeerrrsssiii ooonnn :

m3 dm3 cm3 mm3

l

3. Intersection d’une sphère et d’un plan Voici les positions relatives possibles d’une sphère et d’un plan :

� � �

Le plan ne coupe pas la sphère

Le plan est tangent à la sphère en un point

Le plan coupe la sphère. L’intersection est un cercle. Chaque morceau s’appelle une calotte sphérique

O

M I C’est surtout le dernier

cas qui est source d’exercices . En effet, dans le triangle OIM rectangle en I, on pourra utiliser Pythagore, la trigonométrie…

Exercice : la salle de cinéma La Géode (à La Villette) On a BH = 29 et OB = 18 donc OH = BH – OB = 29 – 18 = 11 m Dans OAH rectangle en H, on applique le th. de Pythagore : OA² = OH² + r² D’où 203r =

Périmètre : 2 203 .....P π= ≈ m Aire = 2 203 .....A rπ π= = ≈ m²

Application en Géographie : Latitude et Longitude

Rayon sphérique : 18 m Hauteur totale : 29 m

Calculer le périmètre et l’aire du plancher

29 m

18

18

B

O

A H r

30°

50°

C’est le 50ème parallèle Nord. Tous les points situés sur ce cercle ont une latitude de 50°

Méridien 0 (de Greenwich)

C’est le 30ème méridien Ouest. Tous les points situés sur ce demi-cercle ont pour longitude 30°

Attention : un méridien est un demi-cercle (et pas un cercle !) Exercice : Calculer la longueur du 40ème parallèle Nord. On a �IOM =90–40=50°

Dans le triangle OIM rectangle en I, sin�IOM = IM

OM

IM

sin 506370

IM=6370 sin50°

° =

×

D’où la longueur du 40ème parallèle est : 2 6370 sin 50 .......L π= × × ° ≈

Informations pour les exercices : � Diamètre Terre : 12 740 km � Diamètre Soleil : 1 392 000km � Distance Terre-Soleil : 149 597 910 km � Distance Terre-Lune : 384 400 km

40°

O

I M

FFFooonnncccttt iiiooonnnsss lll iiinnnéééaaaiiirrreeesss eeettt aaaffffff iiinnneeesss ;;;

ppprrrooopppooorrrttt iiiooonnnnnnaaalll iii tttééé Activité :

1. a) Compléter le tableau ci-dessous :

5 heures de vol 10 heures de vol 20 heures de vol

Coût avec le tarif A Coût avec le tarif B Coût avec le tarif C

b) Lequel de ces trois tarifs est le plus avantageux pour 5 heures de vol ?

et pour 10 heures de vol ? et pour 20 heures de vol ?

2. Soit x le nombre d’heures de vol effectuées durant la journée. Exprimer en

fonction de x, le coût total en euros de la location avec le tarif A, puis avec le tarif B, puis avec le tarif C.

Coût avec le tarif A : ………………………….. Coût avec le tarif B : ………………………….. Coût avec le tarif C : …………………………..

3. Sur la feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal dont l’origine sera

placée en bas à gauche Dans ce repère : 1 cm représente 2 heures sur l’axe des abscisses ; 1 cm représente 500 euros sur l’axe des ordonnées.

Construire dans ce repère les représentations graphiques (limitées aux points dont l’abscisse est positive) :

� de la fonction f : x ֏ 300x ; � de la fonction g : x ֏ 175x + 1000 ; � de la fonction h : x ֏ 4150.

Quelle est la nature de la fonction f ? Quelle est la nature de la fonction g ? . Quelle est la nature de la fonction h ?

4. Répondre aux questions suivantes par simple lecture graphique. Laisser apparents les pointillés.

a. Pour 15 heures de vol, quel est le prix à payer avec le tarif B ?

Chapitre

999

b. Pour 15 heures de vol, quel est le tarif le plus intéressant ? c. Je dispose de 2700 €. Combien d’heures de vol puis-je payer avec le tarif

A ? …………………. d. Toujours avec 2700 €, quel tarif est le plus avantageux pour moi ?

Pourquoi ?

e. A partir de combien d’heures de vol dans la journée, le tarif B est-il plus avantageux que le tarif A ?

f. A partir de combien d’heures de vol dans la journée, le tarif C est-il le plus

avantageux ?

Répondre aux questions suivantes par le calcul :

5. Pour 15 heures de vol, quel est le prix à payer avec le tarif B ?

6. Je dispose de 2700 €. Combien d’heures de vol puis-je payer avec le tarif A ? 7. Je dispose de 2700 €. Combien d’heures de vol puis-je payer avec le tarif B ? 8. a) Résoudre l’inéquation : 41501000175 ≥+x .

b) En déduire à partir de combien d’heures de vol dans la journée le tarif C est plus avantageux que le tarif B ?

c) Comment cela se traduit-il sur le graphique ?

9. a) Résoudre le système :

+==

1000175

300

xy

xy.

b) Que représente sur le graphique la solution de ce système ?

I. Fonctions linéaires (remarque : I et II sont traités en parallèle)

1. Définition d’une fonction linéaire

Définition : Soit a un nombre réel. Le procédé qui à tout nombre x fait correspondre le nombre a× x s’appelle la fonction linéaire de coefficient a. On note : :f x ax֏ ou ( )f x ax= Nom de la fonction On dit que ax est l’image de x par la fonction f .

Exemple : Soit g la fonction linéaire de coefficient 3,5

a) Exprime g(x) en fonction de x

b)Calcule les images de –2 ; 5,4 ; 102 par g

c) Détermine le nombre qui a pour image 38,85 par g

réponses Rappel :

2. Proportionnalité et fonction linéaire Activité 2 page 94 Exemples :

Situation de proportionnalité

Tableau de proportionnalité Fonction linéaire associée

Le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté. Le coefficient de proportionnalité est 4.

Si p désigne la fonction, on note :

4:p x x֏ L’image de x est p(x)=4x

La longueur d’un cercle est proportionnelle à son rayon. Le coefficient de proportionnalité est 2π

Si L désigne la fonction, on note :

2:L x xπ֏ L’image de x est L(x)= 2π x

Autres exemples … (distance proportionnelle au temps à vitesse constante etc.)

: 2 7g − −֏ ( 2) 7g − = − L’image par g de –2 est –7

Ces notations et la phrase sont synonymes

Toute situation de proportionnalité peut se traduire par une fonction linéaire dont le coefficient est le coefficient de proportionnalité

Côté x cm

Périmètre p(x) cm

5 3,5 1

20 14 4 ×4

3. Représentation graphique d’une fonction linéaire Puisque l’on obtient un tableau de proportionnalité, les points obtenus sont alignés avec l’origine du repère (vu en 5ème).

4. Coefficient directeur Dans l’équation de la droite qui est y = ax, le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite . le coefficient directeur de la droite indique la pente de la droite :

• Si 0a > :

• Si 0a < : Plus précisément :

Synthèse :

• La représentation graphique d’une fonction linéaire :f x ax֏ est toujours une droite passant par l’origine du repère.

• On dit que cette droite a pour équation y = ax. Cela veut dire que

tous les points de la droite ont pour coordonnées (x ; ax).

y=ax

y=ax

Quand on avance de 1, on monte de 3. Donc pour (d) : a = 3

Quand on avance de 1, on descend de 2. Donc pour (d’) : a = – 2

(d) (d’)

II. Fonctions affines

1. Définition d’une fonction affine Exemples :

: 5 4,8f x x−֏ (ici, a = …. et b = …..)

( ) 37,4

7g x x= − − (ici, a = …. et b = …..)

: 11,98 4,8h x x− +֏ (ici, a = …. et b = …..)

Remarques :

• Si b = 0, alors f(x) = ax, donc f est une fonction linéaire

• Si a = 0, alors f(x) = b ; f s’appelle dans ce cas une fonction

constante

2. Représentation graphique d’une fonction affine

Activité 3 p 113

Définition : Soient a et b deux nombres réels. Le procédé qui à tout nombre x fait correspondre le nombre a x+ b s’appelle une fonction affine (de coefficient a). On note : :f x ax b+֏ ou ( )f x ax b= + Nom de la fonction On dit que ax + b est l’image de x par la fonction f .

3. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine Dans l’équation de la droite qui est y = ax + b :

• Le nombre a s’appelle le coefficient directeur de la droite . • Le nombre b s’appelle le l’ordonnée à l’origine .

Plus précisément :

Synthèse :

• La représentation graphique d’une fonction affine :f x ax b+֏ est toujours une droite .

• On dit que cette droite a pour équation y = ax+ b. Cela veut dire

que tous les points de la droite ont pour coordonnées (x ; ax + b).

b

y=ax+b b

y=ax+ b

• Si 0a < : • Si 0a > :

Quand on avance de 1, on monte de 3. Donc pour (d) : a = 3

Quand on avance de 1, on descend de 2. Donc pour (d’) : a = – 2

pour (d’) : b = 1

pour (d) : b = – 4

(d’) (d)

Remarque : Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points de la droite (d) d’équation y = ax + b alors

a = AB

AB

xx

yy

−−

.

III. Application : augmentation et diminution en pourcentage

Activité Exemples : Augmentation de 13% : on multiplie par 1,13 Augmentation de 29% : on multiplie par 1,29 Diminution de 13% : on multiplie par 0,87 Diminution de 54% : on multiplie par 0,46 Augmentation de 18,6% : on multiplie par 1,186 Diminution de 18,6% : on multiplie par 0,814 Exercice 1 : Le débit de la Garonne a baissé de 12 % au mois de Juillet, atteignant 74,8 m3 / s. Quel était le débit avant ?

réponse

Synthèse : Une augmentation ou une diminution en pourcentage peut se traduire par une fonction linéaire :

Augmentation de t % : 110

×0

x xt +

֏

Diminution de t % : 110

×0

x xt −

֏

Prix initial Prix final

Exercice 2 : Le prix d’un sèche-linge baisse de 20% pendant les soldes d’été, et en septembre, le prix sodé est augmenté de 20%. Que pouvez vous dire du prix en septembre ?

réponse

RRRaaaccciiinnneeesss cccaaarrrrrréééeeesss

I. Définition de √√√√a , a étant un nombre positif ou nul Activité : 1)

2 2 2

2 2 2

2

BD AB AD

BD 4 3

BD 25

= +

= +=

BD 25 5= = 2) Même exercice avec AB = 2 et AD = 1.

2 2 2

2

2

BD AB AD

BD 4 1

BD 5

= +

= +=

BD 5= valeur exacte BD 2,236067977≈ Question : 2,236067977 est-elle la valeur exacte de BD ? Pour le savoir, calculons 2,236067977² :

Chapitre

111000

A B

C D

Calculer BD. Dans ABD rectangle en A, on applique le th. de Pythagore :

Ce sont deux valeurs exactes

7 7 9 7 6 0 6 3 2 2, × 7 7 9 7 6 0 6 3 2 2,

9 3 8 5 7 4 2 5 6 5 1 . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 . . . .

Inutile de poser la multiplication en entier … on n’obtient pas 5 puisque le dernier chiffre est un 9. Donc 2,236067977 n’est pas une valeur exacte, c’est une valeur approchée.

Donc BD= 5

Donc :

� a est toujours un nombre positif ou nul Bien que 3²=9 et (–3)²=9 également, 9 3= (le nombre positif) et

pas –3

� ( )2a a=

Exemple : les carrés parfaits à connaître : 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 …

20 0 car 0 0= = 21 1 car 1 1= = 24 2 car 2 4= = 29 3 car 3 9= =

216 4 car 4 16= = 225 5 car 5 25= = 236 6 car 6 36= = 249 7 car 7 49= = 264 8 car 8 64= = 281 9 car 9 81= =

2100 10 car 10 100= = 2121 11 car 11 121= = 2144 12 car 12 144= = 2169 13 car 13 169= =

Remarque : 9− n’a pas de sens, car il n’existe pas de nombre, qui élevé au carré, donne

–9 Si a est un nombre négatif, alors a n’a pas de sens.

Définition : Soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a, c’est le nombre POSITIF

qui élevé au carré donne a. On note ce nombre a

Exercices � Calculer si possible :

( )

( )

( ) ( )( )( )

2

2

2

2

2

2

7 7

7 49 7

7 49 7

7 49 impossible

7 7 7 7

7 7

=

= =

− = =

− = −

− = − − =

− = −

� Simplifier :

( )( )( )( )

2 22

2

2

2

2 3 2 3 4 3 12

5 2 25 2 50

7 5 49 5 245

2 7 4×7 28

= × = × =

= × =

= × =

= =

� Avec les identités remarquables:

( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22

2 22

22

2 2

2

2 3 2 2×2 3 3 7 4 3

5 2 5 2×5× 2 2 27 10 2

5 3 5 3 5 3 5 3 2

3 7 2 7 1 9 6 7 7 2 7 2 7 1 10 7

2 2 3 4 2 2 3 2 1 8 12 2 9 12 2 4 12 2 2 25 22 2

+ = + + = +

− = − + = −

− + = − = − =

+ − − = + + − − + =

− − − + = − + − + − − = −

II. Les ensembles de nombres*

Activité : classer les nombres suivants par familles : 2 9 3 7 8 3; ; ; ; ;

3 3 5 4 4 7

� Famille des nombres entiers : 9 83 ; 2

3 4= =

� Famille des nombres décimaux : 3 70,6 ; 1,75

5 4= =

� Famille des nombres rationnels : 3 2;

7 3 attention : ce ne sont pas des

nombres décimaux, car il y a une infinité de décimales … Exercice : démontrer l’irrationalité de 2

III. Propriétés Activité 4 p 47 (A, C et D) :

Synthèse : � Les entiers naturels, ensemble noté { }0;1;2;3;4;5;6.......=ℕ

� Les entiers relatifs, { }...... 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4.......= − − − −ℤ

ℤ comme « zahl », « nombre » en allemand. Remarque : ℤ contient ℕ

� Les décimaux relatifs, ensemble noté . (avec signe + ou –, et un nombre fini de chiffres après la virgule)

Exemple : 2,75 ; –6 ; –15,3698 ; 0 ; 2 ; 2

5

Remarque : contientℤ , qui contient lui mêmeℕ

� Les nombres rationnels ℚ (comme quotient) : ce sont tous les nombres

qui peuvent s’écrire ab

, ( 0b ≠ ), a et b étant des entiers relatifs.

Exemple : 4 5 4 7; ; 4 ; 7

3 2 1 1

−− = − = ; 2

Remarque : ℚ contient (et tous les précédents)

Les nombres ; 2; 5π etc… font-ils partie de ces familles ? NON !! Il faut créer une famille qui accepte tous ces nombres :

� Les nombres réels, ℝ . En plus de tous les nombres précédents, on

ajoute des nombres comme ; 2; 5π qui ne peuvent pas s’écrire sous la

forme ab

, a et b étant des entiers relatifs.

Propriété : Soient a et b deux nombres réels positifs ou nuls. Alors :

× ×a b a b

a a

b b

=

=

Attention : a b a b+ ≠ +

Démonstration : Nous allons avoir besoin de la règle suivante :

×a b est un nombre positif ou nul et ( )2× ×a b a b=

×a b est un nombre positif ou nul et ( )2× ×a b a b=

Conclusion : Comme ×a b et ×a b sont 2 nombres positifs dont les carrés sont égaux, alors d’après la règle, ces 2 nombres sont égaux : ×a b = ×a b

: a a

b b=

Applications :

1.

121 121 11 1 1 149 7 9 349 916 4 2 225 5 81 9

= = = =

= =

2. Ecrire avec le plus petit entier sous le radical : 18 9×2 9× 2 3 2

28 4×7 2 7

48 16×3 4 3 (ou 4×12 ...)

= = == == = =

3. Ecrire sous forme a b avec b entier le plus petit possible, et a entier :

32 18 72 16×2 9×2 36×2 4 2 3 2 6 2 2A= + − = + − = + − =

27 48 2 300 3 3 4 3 2×10 3 19 3B = − + = − + =

Si deux nombres sont positifs ont leurs carrés qui sont égaux, alors ces deux nombres sont égaux

positif positif

Long mais correct

2 5 3 125 7 45 2 5 3×5 5 7×3 5 4 5C = + − = + − = −

IV. 1ère application : écrire un quotient sans radical au dénominateur

1. Cas où le dénominateur est de la forme a b (a≠≠≠≠0 et b>0)

Ecrire 35

sans radical au dénominateur :

Méthode : on multiplie le numérateur et le dénominateur par 5 .

3 3× 5 3 555 5× 5

= =

Autres exemples :

( )

2 3 2 3× 7 2 2177 7× 7

5 1 × 55 1 5 5102 5 2 5× 5

2 3 10 15153 5

− −− = =

++ += =

− −=

2. Autres cas (hors programme)* Faire de même avec :

( )( )( )

( )2 5 1 2 5 12 5 14 25 1 5 1 5 1

+ + += = =− − +

Méthode : on multiplie le numérateur et le dénominateur par 5 1+ . Donner d’autres exemples …

V. Equations du type x² = a Activité : résoudre l’équation 2 9x = C’est une équation du 2nd degré ; il faut donc factoriser :

( ) ( )2 9 0

3 3 0

x

x x

− =− + =

Quantité conjuguée de 5 1−

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = –3

Il y a 2 solutions : 3 et –3 Idem avec l’équation 2 7x =

( ) ( )2 7 0

7 7 0

x

x x

− =

− + =

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc 7 0x − = ou 7 0x + = x = 7 ou x = – 7

Il y a 2 solutions : 7 et – 7 Exemples : Résoudre les équations :

( )

2

2

2

2

2

2

16

3

0

2 11

3 1 0

3 1 25

x

x

x

x

x

x

== −=

=+ =

+ =

VI. 2ème application : un peu de géométrie

1. Hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle

a

a

B

C

A

Exprimer AC en fonction de a : Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :

2 2 2

2 2 2

2 2

2

AC BC BA

AC

AC 2

AC 2×

AC 2

a a

a

a

a

= += +=

=

=

Synthèse : Soit a un nombre réel quelconque. Alors :

Si 0a > : l’équation 2x a= admet 2 solutions : a et – a Si a = 0 : l’équation 2 0x = admet une solution : 0 Si 0a < : l’équation 2x a= n’admet pas de solutions réelles

2. Hauteur d’un triangle équilatéral Exercice 1 : Calcule l’aire d’un triangle équilatéral de côté 4 cm.

4 34×base×hauteur 4×2 32 4 32 2 2

A= = = = cm²

Exercice 2 : ABC est un triangle équilatéral de côté 6 cm, et [AH] une hauteur. Soit M un point de [AH]. On note AM=x. La perpendiculaire à [AH] passant par M coupe (AC) en N.

1) Exprime MN en fonction de x.

2) Détermine x pour que l’aire du triangle AMN soit égale à 13

de l’aire

du triangle ABC.

3) Montre que l’aire du trapèze MNCH vaut 213

2 6x

−

L’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté a mesure 2a

a a

B C

A

H

Exprimer AH en fonction de a Dans le triangle ACH rectangle en H, j’applique le théorème de Pythagore :

2 2 2

22 2

22 2

22

2

AC AH HC

AH2

AH4

3AH4

3 3AH=4 2

aa

aa

a

a a

= +

= +

= −

=

=

La hauteur d’un triangle équilatéral de côté a mesure 32

a

…D’où : 3

MN3

x=

2) Aire de AMN :

2

AMN

3×AM×MN 33

2 2 6

xx

xA = = =

Aire de ABC :

ABC

BC×AH 6×3 39 3

2 2A = = =

D’où l’équation :

2

2

2

2

3 1×9 3

6 3

33 3

6

3 18 3

6 6

18

18 3 2

x

x

x

x

x

=

=

=

=

= =

3) ( ) ( )

MNHC

33 × 3 3 33HC+MN × MH

2 2

xx x

A

+ −

= = =

2 39 3 3

9

xx− + −

2

2 29 3 3 9

32 6 2 6

x x = − = −

x

M N

6 6

C B

A

H

1) Dans AHC : o M∈(AH) o N∈(AC) o (MN)//(HC)

Donc d’après le th. de Thalès : AM AN MN

= =AH AC HC

MN6 362

x

=

VII. De retour en trigonométrie

1. Utiliser la relation cos² x+sin² x=1

Exemple : α est la mesure d’un angle aigu tel que cosα= 1

2. Calculer sinα et

tanα sans chercher à calculer α.

On a : ( ) ( )22cos sin 1α α+ = , donc

( )

( )

22

2

1sin 12

3sin4

α

α

= −

=

donc 3 3sin ou sin2 2

α α= = − car α est un angle aigu, donc sinα>0

3sin 3 22tan × 3

1cos 2 12

αα α= = = =

2. Des valeurs exactes

On a déjà démontré que

1sin 30

2° = et

1cos60

2° = .

Démontrons ces résultats d’une autre façon et voyons en d’autres…

30° I

J

M

C

S

O

60°

1

1

Soit ABC un triangle équilatéral de côté a.

BH 1 12cos60 ×AB 2 2

aa

a a° = = = =

3AH 3 1 32sin60 ×AB 2 2

aa

a a° = = = =

3

AH 3 22tan60 × 3BH 2

2

aa

a a° = = = =

//

Maintenant, soit ABC triangle rectangle isocèle en B :

Dans le triangle AHB rectangle en H,

BH 1 12sin30 ×AB 2 2

aa

a a° = = = =

3AH 3 1 32cos30 ×AB 2 2

aa

a a° = = = =

BH 2 1 32tan30 ×AH 2 33 3 3

2

aa

a a° = = = = =

3

2

a

60°

30°

a a

B C

A

H

a/2

2a

45°

a

a

B

C

A

AB 1 2cos45AC 22 2

aa

° = = = =

BC 1 2sin 45AC 22 2

aa

° = = = =

BCtan 45 1AB

aa

° = = =

En résumé (retenir) :

x 0° 30° 45° 60° 90° sinx 0 1

2 2

2 3

2

1

cosx 1 3

2

2

2

1

2

0

tanx 0 3

3

1 3

AAAnnngggllleeesss iiinnnssscccrrriii tttsss,,, aaannngggllleeesss aaauuu ccceeennntttrrreee,,,

rrroootttaaattt iiiooonnnsss

I. ……

Chapitre

111111

ka+kb=k(a+b) et ka–kb=k(a–b)

FFFaaaccctttooorrriiisssaaattt iiiooonnnsss ;;; EEEqqquuuaaattt iiiooonnnsss ppprrroooddduuuiii ttt

I. Factorisations ……. + …….– ……. – …… + …….. = (…….)(……..)(…….)(…….)

1. Première façon : en utilisant la distributivité On utilise les règles de distributivité (voir ch. VII) « à l’envers » : Exemples : factoriser

2.

2

2

2

12 34 2

7 14

3 6

12 4 6

5

A x xB xy y

C x x

D x x

E ab a a b

F y xy

= −= −= −= += − += −

Plus difficile :

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

2

2

2 1 2 1 3

4 2 3 4

2 1 3 4 7 2 1

5 1 1

G x x x

H x x x

I x x x x

J x x x

= + − + −

= + − + +

= + + − + +

= + − +

A présent, essayons de factoriser 2 9x − … problème : il n’y a pas de facteur commun !!!

Chapitre

111222

FACTORISER , c’est transformer une somme algébrique en produit

2. Deuxième façon : en utilisant les identités remarqu ables Pour factoriser 2 9x − , on écrit :

( ) ( )2 2 29 3

3 3

x x

x x

− = −= − +

On utilise les identités remarquables (voir Ch I) « à l’envers » :

( ) ( )( )( )

2 2

22 2

22 2

2

2

a b a b a b

a ab b a b

a ab b a b

− = + −

+ + = +

− + = −

Exemples : Factoriser

2

2

2

2

2

2

2

2

25

6 9

4 4 1

4 9

16 49

9 30 25

64 81

4 12 9

A y

B x x

C a a

D x

E x

F x x

G t

H a a

= −= − += + += −= −= − += −= + +

Plus difficile (avec l’identité n°3)

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2

2 2

2

2 36

2 1

81 7

3 1 5 2

5 3 5

I x

J a a

K y

L x x

M a a

= + −

= + −

= − +

= + − −

= − − −

II. Les équations produit Devinette : J’ai deux nombres a et b. Je sais seulement que a×b =0. Que puis-je dire de a et de b ? Discussion …… soit a est nul, soit b est nul.

Troisième identité remarquable

Propriété : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Applications :

� Résoudre l’équation : ( )( )2 3 0x x− + =

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc x – 2 = 0 ou x + 3 = 0 x = 2 ou x = –3

Les solutions sont 2 et –3

� Résoudre l’équation : 2 9 0x − = On factorise : ( )( )3 3 0x x+ − =

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc x – 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = –3

Les solutions sont 3 et –3

III. Complément méthode : le problème de Brevet type

Soit A = ( ) ( )2 23 1 2 3x x− − +

1. Développer et réduire A.

( ) ( )( )

2 2

2 2

3 1 2 3

9 6 1 4 12 9

A x x

A x x x x

= − − +

= − + − + +

25 18 8A x x= − −

2. Factoriser A

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 23 1 2 3

3 1 2 3 3 1 2 3

A x x

A x x x x

= − − +

= − − + − + +

( )( )4 5 2A x x= − +

3. Résoudre l’équation A = 0 ( )( )4 5 2 0x x− + =

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc x – 4= 0 ou 5x + 2 = 0

Nous disposons à présent de 3 expressions différentes de A. Pour les questions suivantes, il faut à chaque fois réfléchir à laquelle des 3 est la mieux adaptée pour répondre.

x = 4 ou x = –25

Les solutions sont 4 et –2/5

4. Calculer A pour x = 0 2

2

5 18 8

5 0 18 0 88

A x x

AA

= − −= × × −= −

−

5. Calculer A pour 32

x = −

2

2

5 18 8

3 35 18 82 2

45 24

3 ,25

7

0

8

A

A x x

A

A

= − −

= × − − ×

=

− −

= − −

6. Résoudre l’équation A = –8 On utilise la forme développée … qui se termine par –8 :

2

2

5 18 8 8

5 18 0(5 18) 0

x x

x xx x

− − = −− =− =

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs est nul.

Donc x = 0 ou 5x – 18 = 0

x = 0 ou x = 185

Les solutions sont 0 et 185

.

SSSeeecccttt iiiooonnn ddd’’’uuunnn sssooolll iiidddeee

I. Quelques notions de géométrie dans l’espace (facultatif)

1. Plans parallèles ; plans sécants Propriété 1 : si deux plans non confondus sont sécants, leur intersection est une droite Définition : Deux plans sont parallèles si ils ne se coupent pas Propriété 2 : si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l’un coupe l’autre.

Les droites d’intersection obtenues sont parallèles.

Chapitre

111333

P1

P2

(d)

P1

P2

P1

P2

(d1)

(d2)

Si (P1) // (P2), alors (d1) // (d2)

2. Droite orthogonale à un plan Définition : on dit qu’une droite est orthogonale à un plan si elle est perpendiculaire à 2 droites sécantes de ce plan.

II. Agrandissements et réduction

1. Rappel Exemples :

A

B C

D E

F G

(AB)⊥(EA) et (AB)⊥(AD) Donc (AB) est orthogonale au plan AEHD

A

d

P

Théorème « de la porte » : Si une droite d est orthogonale à un plan P en un point A, alors la droite d est perpendiculaire à TOUTES les droites du plan P passant par A

Définition : Lorsqu’on multiplie toutes les longueurs d’une figure par un même nombre k positif :

� Si k > 1 : on réalise un agrandissement de la figure � Si 0 < k < 1 : on réalise une réduction de la figure � Si k = 1, on ne modifie pas la taille de la figure (invariante). �

Le nombre k s’appelle le RAPPORT (ou le COEFFICIENT) de l’agrandissement ou de la réduction.

k = 2

k = 1/3

Anecdote : Mesure de la hauteur de la pyramide de Kheops par Thales

2. Effet sur les angles On a : A’B’ = 2×2 = 4 A’C’ = 2×2 = 4 B’C’ = 2×2 2 = 4 2 Le triangle A’B’C’ est-il aussi rectangle ? Dans le triangle A’B’C’ : B’C’²=( 4 2 )² = 32 et A’B’² + A’C’²=16+16 = 32 Comme B’C’²=A’B’² + A’C’², alors d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A’

3. Effet sur les aires Exemple 1 Reprenons l’exemple du 2.

� Aire du triangle initial : A=2 2

2

× =2 cm²

� Aire du triangle agrandi : A’=4 4

2

× =8 cm²

24 2× =

2

2

2 2

A

B

C

A’

B’

C’

Agrandissement de rapport 2

?

Synthèse (admise) : Effectuer un agrandissement (ou une réduction) conserve la mesure des angles (dans le plan et dans l’espace)

Exemple 2

Soit un disque de rayon 53

cm. On le réduit à l’échelle 3

5k = .

On a : 2

5 25

3 9A

ππ = × =

Et 2' 1A π π= × =

4. Effet sur les volumes

5

3

r ’ Réduction 3

5k =

A

A ‘ r’ = 5 3

3 5× =1

29 3

25 5 × =

Synthèse (admise) : Effectuer un agrandissement (ou une réduction) de rapport k agit sur les aires en les multipliant par k².

Rapport k

A A’

A’ = k² ×××× A

Hauteur :2

3 23

× =

4 cm

4 cm

Réduction 2

3k =

Côté : 2 8

43 3

× = cm

3 cm

3

1

31

16 33

16

V B h

cm

= × ×

= × ×

=

? = 3

128 128 1 8 216 ...

27 27 16 27 3 ÷ = × = = =

III. Sections de solides usuels par un plan

1. Le parallélépipède rectangle ou pavé droit

3

1' ' '

31 64

23 9128

27

V B h

cm

= × ×

= × ×

=

×××× ?

Synthèse (admise) : Effectuer un agrandissement (ou une réduction) de rapport k agit sur les volumes en les multipliant par k3.

Rapport k

V

V’

V’ = k3 ×××× V

2. Le cylindre

3. La pyramide et le cône

On coupe une pyramide par un plan parallèle à la base avec 1SO'= SO

3.

� Pourquoi (A’B’) est-il parallèle à (AB) ? Le plan contenant la base et le plan par lequel on coupe sont parallèles. Le plan SAB coupe ces 2 plans en 2 droites (A’B’) et (AB) qui sont donc parallèles (voir la propriété 2 du I.)

Synthèse (admise) : � LA SECTION DU PAVE DROIT PAR UN PLAN PARALLELE A UNE FACE EST

UN RECTANGLE SUPERPOSABLE A CETTE FACE. � LA SECTION DU PAVE DROIT PAR UN PLAN PARALLELE A UNE ARETE

EST UN RECTANGLE (DONT UNE DIMENSION EST LA LONGUEUR DE

CETTE ARETE).

Synthèse (admise) : � LA SECTION DU CYLINDRE DE REVOLUTION PAR UN PLAN PARALLELE A

LA BASE EST UN DISQUE SUPERPOSABLE A CETTE BASE. � LA SECTION DU CYLINDRE PAR UN PLAN PARALLELE A SON AXE EST UN

RECTANGLE (DONT UNE DIMENSION EST LA HAUTEUR DU CYLINDRE).

� On peut appliquer le th. de Thalès dans plusieurs triangles.

Par exemple dans SAB :

SA' SB' A'B'

SA SB AB= =

Par exemple dans SAO :

SA' SO' A'O'

SA SO AO= =

etc…

1

3

O

O’

S

A B

C D

A’ B’

C’ D’

Dénouement : Avec toutes ces relations, on obtient : SA' SB' A'B' A'O' SC' SD' B'C'

...SA SB AB AO

SO' 1

SO SC SD B3 C= = = = = = = == La petite

pyramide est donc une réduction de la grande pyramide de rapport 1

3

Conséquences pratiques pour les exercices : 1) On peut calculer très vite le volume du petit solide si on connaît le volume du grand solide :

( )3' rapportV V= ×

2) On peut calculer très vite l’aire de la petite base si on connaît l’aire de la grande base :

( )2' rapportA A= ×

Exercice : le socle à éléphants

Synthèse : Lorsqu’on coupe une pyramide (ou un cône) par un plan parallèle à la base, on obtient une petite pyramide (ou un petit cône) qui est une réduction de la grande pyramide. Le rapport de cette réduction est entre autres

'h

h,

où h’ est la hauteur du petit cône et h la hauteur du grand cône

h’

h

2 m

80 cm

h’

1 m

Les deux disques sont parallèles.

1) Calcule l’aire du petit disque 2) Calcule le volume du tronc de cône

TRONC DE CONE

1) Le cône enlevé est une réduction du grand cône (d’après le cours) de rapport

' 2 0,8 0,62

hh

−= = .

Donc le petit disque est une réduction du grand disque à l’échelle 0,6. Son aire vaut donc :

( )2

2 2

2

' 0,6

' 1 0,6

' 0,36

A A

A

A cm

π

π

= ×= × ×

=

2' 1,1A m≈

2)

21 1( 1 ) 2 ( 0,36) 1,23 32 0,4323 3

petit conegrand coneV V V

V

V

π π

π π

= −

= × × × − × × ×

= −

31,5683

V mπ=

SSSyyyssstttèèèmmmeeesss dddeee 222 éééqqquuuaaattt iiiooonnnsss ààà 222 iiinnncccooonnnnnnuuueeesss

« 2 cocas et 3 cafés pour 6,60 € ;

1 coca et 4 cafés pour 6,30 € »

Quel est le prix d’un coca ? et d’un café ?

• Choix des inconnues J’appelle x le prix d’un coca et y le prix d’un café.

• Mise en équations

• Résolution (méthode par combinaison) Je multiplie les 2 membres de la 2ème équation par 2 :

puis je soustrais les 2 équations membre à membre (pour éliminer les x) :

2x + 3y = 6,6 x + 4y = 6,3

2x + 3y = 6,6 x + 4y = 6,3 ×2

2x + 3y = 6,6 2x + 8y = 12,6

2x + 3y – (2x + 8y ) = 6,6 – 12,6 x + 4y = 6,3 On conserve une des 2 équations, de

préférence la plus simple !

2x + 3y –2x – 8y = – 6 x + 4y = 6,3

– 5y = – 6 x + 4y = 6,3

y = 6

5

−−

=1,2

x + 4×1,2 = 6,3

On vient de trouver la valeur de y !!!

Chapitre

111444

• Conclusion Un coca coûte 1,5 € et un café coûte 1,2 €

Cette méthode de résolution est la plus pratique, elle s’appelle « méthode par combinaison ». Exemple : résoudre le système : Puis :

Voici une autre méthode pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues : la « méthode par substitution » . Cette méthode est très pratique lorsqu’il y a un x ou un y « tout seul » dans l’une des 2 équations.

Reprenons le premier système :

On la remplace dans la 2ème équation pour trouver x

y = 1,2 x = 6,3 – 4,8 = 1,5

2x + 3y = 6,6 x + 4y = 6,3

2x + 3y = 6,6 x = 6,3 – 4y

2(6,3 – 4y) + 3y = 6,6 x = 6,3 – 4y

On exprime x en fonction de y …

… et on le remplace dans l’autre équation

12,6 – 8 y + 3y = 6,6 x = 6,3 – 4y

12,6 – 5 y = 6,6 x = 6,3 – 4y

– 5 y = – 6 x = 6,3 – 4y

4x – 5y = – 2 3x + y = 8

S = { (2 ; 2) }

3a + 2b = 432 2a + 3b= 398

Exemple : résoudre le système : Puis Interprétation géométrique (exemple)

y = 1,2 x = 6,3 – 4×1,2 = 1,5

4x – 5y = – 2 3x + y = 8

S = { (2 ; 2) }

Synthèse : Soient a, b, c, trois nombres réels quelconques L’équation ax + by = c s’appelle une équation à 2 inconnues (x et y !) du 1er degré

Une telle équation a une infinité de couples solutions Ex : 2x + 3y =7 : trouvez plusieurs couples solutions : ……….

Soient a, b, c, d, e et f six nombres réels quelconques

Résoudre ce système, c’est trouver tous les couples (x, y) de solutions communes aux deux équations.

Pour cela, nous avons vu 2 méthodes : par combinaison ou par substitution !

ax + by = c dx + ey = f

s’appelle un système de 2 équations à 2 inconnues du 1er degré

x + y = 680 12x – 5y = 0

SSStttaaattt iiisssttt iiiqqquuueeesss

I. ……

Chapitre

111555