Chapitre 2 : PGCD - Bézout - Gauss

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I. PGCD de deux entiers Activité 1 Soit a et b des entiers non nuls. On note D a;b( ) l’ensemble des diviseurs communs positifs de a et de b. Ainsi D a;b( ) = D a( )∩ D b( ) . 1. Définitions et propriétés Le plus grand événement de D a;b( ) est le plus grand commun diviseur de a et b.

On le note pgcd a;b( ) . Remarques

• 1 divise a et b donc D a;b( ) est un ensemble non vide.

• pgcd a;b( ) ≤ a et pgcd a;b( ) ≤ b donc D a;b( ) contient un nombre fini d’éléments donc il admet un plus grand élément.

Exemple

D 30( ) = 1;2;3;5;6;10;15;30{ } et D 45( ) = 1;3;5;9;15;45{ } .

D’où pgcd 30;45( ) = 15 . Conséquence

pgcd a;0( ) = a pgcd a;1( ) = a

pgcd a;b( ) = pgcd a ; b( ) Si b divise a, alors pgcd a;b( ) = b . Propriété Soient k ∈!* .

pgcd ka;kb( ) = k × pgcd a;b( ) . Définition On dit que les entiers a et b sont premiers entre eux ssi pgcd a;b( ) = 1. Propriété

pgcd a;b( ) = d ssi ils existent deux entiers relatifs non nuls a ' et b ' tels que a = da ' et

b = db ' avec a ' et b ' premiers entre eux.

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Démonstration Supposons que pgcd a;b( ) = d . Alors il existe deux entiers a ' et b ' tels que a = da ' et b = db ' . On a donc pgcd a;b( ) = d ⇔ d × pgcd a ';b '( ) = d ⇔ pgcd a ';b '( ) = 1 Donc a ' et b ' premiers entre eux. Réciproquement, Supposons a ' et b ' premiers entre eux, cad pgcd a ';b '( ) = 1.

Alors pgcd a;b( ) = d × pgcd a ';b '( ) = d . 2. Algorithme d’Euclide Propriété Soient a, b, q et r des entiers relatifs non nuls. Si a = bq + r alors pgcd a;b( ) = pgcd b;r( ) . Démonstration

• soit d ∈D a;b( ) : d divise a et b donc toute combinaison linéaire de a et b en

particulier a − b× q cad d divise r, donc d ∈D b;r( ) ce qui implique que

D a;b( )⊂ D b;r( ) .

• soit d ∈D b;r( ) : d divise b et r donc toute combinaison linéaire de b et r en particulier

b× q + r cad d divise a, donc d ∈D a;b( ) ce qui implique que D a;r( )⊂ D b;a( ) .

Donc D a;b( ) = D b;r( ) par suite pgcd a;b( ) = pgcd b;r( ) . Exercice 1 : Recherche de pgcd par l’algorithme d’Euclide Déterminer le PGCD de 4539 et 1958. Réponse : On applique l'algorithme d'Euclide :

4539 = 1958× 2+ 6231958 = 623× 3+89623= 89× 7 + 0

Le dernier reste non nul est 36 donc pgcd 4539;1958( ) = 89 .

En effet, d'après la propriété précédente :

pgcd 4539;1958( ) = pgcd 1958;623( ) = pgcd 623;89( ) = pgcd 89;0( ) = 89

A l’aide de la calculatrice on retrouve le résultat.

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Exercice 2 Déterminer selon les valeurs de l’entier n le pgcd de a = 2n+1et b = n− 6 . Réponse :

pgcd 2n+1;n+ 6( ) = pgcd 2n+1− 2 n+ 6( );n− 6( ) = pgcd 13;n− 6( ) .

Donc pgcd a;b( ) est 1 ou 13. Conclusion :

pgcd a;b( ) = 13 lorsque n− 6 divise 13 cad n− 6 ≡ 0 13⎡⎣ ⎤⎦ soit n ≡ 6 13⎡⎣ ⎤⎦ .

pgcd a;b( ) = 1 dans les autres cas. Exercice 3 1. Démontrer que pour tout entier naturel n >1 , n et n2 −1 sont premiers entre eux. 2. En déduire le pgcd de n3 + n et n4 −1 . Réponse : 1. tout diviseur de n et n2 −1 divise

n× n− n2 −1( ) = 1 .

2. a = n3 + n = n n2 +1( ) et

b = n4 −1= n2 −1( ) n2 +1( ) .

Or n et n2 −1 sont premiers entre eux, donc pgcd n3 + n;n4 −1( ) = n2 +1.

II. Théorème de Bézout Activité 2 1. Identité de Bézout Si d = pgcd a;b( ) , alors il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = d ». Démonstration

• Soit E l'ensemble des entiers naturels non nuls de la forme ax + by où x et y sont des entiers relatifs. E est une partie non vide de ! . En effet, en prenant u = 1et v = 0 , on a a ∈E . E étant une partie non vide de ! , E admet un plus petit élément n. Par définition de E, il existe donc des entiers relatifs u et v tels que n = au + bv . Or d divise a et b, donc d divise n, d'où : d ≤ n .

• On montre que n divise a en écrivant la division euclidienne de a par n :

a = nq + r avec 0 ≤ r < n et q entier relatif. Donc : r = a − nq = a − au + bv( )q = a 1− qu( ) + b −vq( ) . Ainsi r est de la forme ax + by avec x et y entiers relatifs. De plus r < n , donc, par définition de n, r ∉E . Alors nécessairement : r = 0 et donc n divise a.

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• On montre de même que n divise b. D'où, par définition de d, n ≤ d Finalement, on

obtient : d = n = au + bv . Application Soient a = 155 et b = 65 . 1. À l’aide de l’algorithme d’Euclide, déterminer le pgcd a;b( ) .

2. En déduire un couple d’entiers relatifs u;v( ) tel que pgcd a;b( ) = au + bv . Réponse : 1. 155= 65× 2+ 25 ,

2. 25= 155− 65× 2 = a − 2b ,

65= 25× 2+15 , 15= 65− 25× 2 = b− 2 a − 2b( ) = −2a +5b ,

25= 15×1+10 , 10 = 25−15= a − 2b− −2a +5b( ) = 3a − 7b ,

15= 10×1+5 , 5= 15−10 = −2a +5b− 3a − 7b( ) = −5a +12b ,

10 = 5× 2+ 0 ,

d’où 155× −5( ) + 65× 7 = 5 .

d’où pgcd 155;65( ) = 5 .

2. Théorème de Bézout a et b sont deux entiers naturels. Dire que « a et b sont premiers entre eux » équivaut à dire « il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1 ». Application Montrer que a = 88  et b = 63 sont premiers entre eux et déterminer deux entiers relatifs tels que 88u + 63v = 1 . Réponse : 1. 88 = 63+ 25 ,

2. 25= 88− 63= a − b ,

63= 25× 2+13 , 13= 63− 25× 2 = b− 2 a − b( ) = −2a + 3b ,

25= 13+12 , 12 = 25−13= a − b− −2a + 3b( ) = 3a − 4b ,

13= 12+1 , 1= 13−12 = −2a + 3b− 3a − 4b( ) = −5a + 7b ,

12 = 12×1+ 0  

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Donc on a trouvé un couple d’entiers relatifs −5;7( ) tels que −5a + 7b = 1. D’après le théorème de Bézout, 88 et 63 sont donc premiers entre eux. Exercice 4 Soit n∈! . Montrer que 2n+1 et 3n+ 2 sont premiers entre eux Réponse :

−3 2n+1( ) + 2 3n+ 2( ) = 1 . Exercice 5 Déterminer tous les couples d’entiers naturels a2 − b2 = 7695 tels que a;b( ) et pgcd a;b( ) = 9 . Réponse :

432;423( ) et 108;63( ) . 3. Corollaire de Bézout L’équation ax + by = c admet des solutions entières ssi c est un multiple du pgcd a;b( ) . Exemple

• L’équation 4x + 9y = 2 admet des solutions car pgcd 4;9( ) = 1 et 2 est multiple de 1.

• L’équation 9x −15y = 2 n’admet pas de solution car pgcd 9;15( ) = 3 et 2 n’est pas multiple de 3.

III. Théorème de Gauss 1. Le théorème Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux alors a divise c. Démonstration Si a divise le produit bc, alors il existe un entier k tel que : bc = ka . Si a et b sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels que : au + bv = 1 . En multipliant par c, on a : Or bc = ka , donc : cau + kav = c cad a cu + kv( ) = c . Donc a divise c.

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Exemple Trouver les solutions dans !2 de l’équation : 5 x −1( ) = 7 y . Réponse : 5 divise 7 y , or pgcd 5;7( ) = 1 , donc d’après le théorème de Gauss 5 divise y. donc y = 5k . On a alors :

5 x −1( ) = 35k cad x = 7k +1. 2. Corollaire du théorème de Gauss Si un entier naturel n est divisible par deux entiers naturels a et b premiers entre eux, alors il est divisible par leur produit. Démonstration Par hypothèse, n = aq et n = bq ' avec q et q ' deux entiers naturels. Donc aq = bq ' . Puisque b divise aq et que a et b sont premiers entre eux, alors b divise q. donc q = bp cad

n = abp , autrement dit le produit ab divise n. Exemple

• Soit n un entier naturel divisible par 3 et 7, alors il est divisible par 21 car

pgcd 3;7( ) = 1 . • Plus généralement si n est divisible par 3, 7 et 11, alors il est divisible par

231 = 3× 7 ×11( ) , car 3, 7 et 11 sont premiers entre eux deux à deux. Exercice 6 Dans un repère orthonormé, on donne les points   A −3;28( ) et B −24;10( ) .

1. Trouver une équation cartésienne de la droite   AB( ) .

2. Démontrer que l’équation de la droite   AB( ) s’écrit 2x = 3 26− y( ) .

3. En déduire les points du segment AB⎡⎣ ⎤⎦  dont les coordonnées sont entières. Réponse 1. AB! "!

27;−18( ) vecteur directeur de AB( ) donc l’équation est de la forme 18x + 27 y + c = 0 .

A −3;28( ) est un point de AB( ) donc c = −18× −3( )− 27 × 28 = −702 et donc l’équation est

2x + 3y − 78 = 0 . 2. Evident. 3. 3 divise 2x et 3 est premier avec 2 donc 3 divise x, cad x = 3k , k ∈! . En remplaçant on a y = 26− 2k , k ∈! . On sait que −3≤ x ≤ 24 , donc −1≤ k ≤ 8 , (de même pour y).

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On remplace ensuite k par les valeurs possibles pour trouver les 10 points du segment. Exercice 7 On considère l'équation E( ) : 2x +5y = 3 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Montrer que E( ) admet des solutions.

2. Déterminer une solution particulière de E( ) en utilisant l'algorithme d'Euclide.

3. Déterminer l'ensemble des solutions de E( ) .

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O;i!, j!( ) , on considère la droite D( )

d'équation 2x +5y = 3 . On note C( ) l'ensemble des points M x; y( ) du plan tels que

−10 ≤ x ≤10 et 0 ≤ y ≤ 20 . Déterminer les points de la droite D( ) appartenant à l'ensemble C( ) et dont les coordonnées sont des nombres entiers. Réponse 1. pgcd 2;5( ) = 1 et 3 est un multiple de 1, donc E( ) admet des solutions.  

2. 1= 5− 2× 2 donc −2;1( ) est une solution de l’équation 2x +5y = 1 . Donc −6;3( ) est une

solution de E( ) .  

3. On a

2x +5y = 32 −6( ) +5 3( ) = 3

⎧⎨⎪

⎩⎪ . 1( )− 2( ) donne : E '( ) : 2 x + 6( ) +5 y − 3( ) = 0 cad 2 x + 6( ) = −5 y − 3( ) .

5 divise 2 x + 6( ) . Or pgcd 5;2( ) = 1 , donc 5 divise x + 6( ) . Donc ∃k ∈! tel que x + 6 = 5k .

En remplaçant dans E '( ) on a y = 3− 2k .

Réciproquement 2 −6+5k( ) +5 3− 2k( ) = ...= 3

Conclusion : S = −6+5k;3− 2k( ),k ∈!{ } .  

4. −10 ≤ x ≤10 donc −10 ≤ −6+5k ≤10 cad −0,8 ≤ k ≤ 3,2 .

0 ≤ y ≤ 20 donc 0 ≤ 3− 2k ≤ 20 cad −8,5≤ k ≤1,5 . Soit k = 0 ou k = 1. Donc deux points appartiennent à C( ) : −6;3( ) et −1;1( ) .