exercices 1.quel est le nombre de diviseurs positifs de 2880 ? 2.ecrire l’ensemble des entiers...

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Page 1: Exercices 1.Quel est le nombre de diviseurs positifs de 2880 ? 2.Ecrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6. 3.Déterminer les entiers
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Cela signifie encore que n divise toute expression de la forme ka + k’b où k et k’ sont des entiers.

Exemple: 7 divise 14 et 21 donc il divise ,par exemple , 168.

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Exercices1. Quel est le nombre de diviseurs positifs de 2880 ?

2. Ecrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de 6.3. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise

6.4. Déterminer les entiers relatifs n tels que n-4 divise

n+2.5. Déterminer les entiers relatifs n tels que n+1 divise

3n-4.

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Exercice

Dans une division euclidienne entre entiers naturels quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ?Réponse: On a c’est-à-dire Cherchons les diviseurs de 281: 1 et 281. Ce sont les seules valeurs possibles de q et b.

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Exercices

Exercice 1: Les nombres suivants sont ils premiers ?

714 ; 1021 ; 753 ; 1 ; 10 729

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Exercice 2 :VRAI ou FAUX – Justifier la réponse.

a) 119 est un nombre premier.b) Le produit de deux nombres premiers est

un nombre premier.c) La somme de deux nombres premiers est

un nombre premier.

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a) 119 est un nombre premier.

FAUX

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Justifications

• 119 = 17 × 7.

• L’ensemble des diviseurs dans IN de 119 est donc { 1 , 7 , 17 , 119} donc 119

n’est pas premier.

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b) Le produit de deux nombres premiers est un nombre premier.

FAUX

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Justifications

• Soient n et m deux nombres premiers.

• L’ensemble des diviseurs dans IN de m × n est donc { 1 , n , m , m × n } donc

m × n n’est pas premier.

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c) La somme de deux nombres premiers est un nombre premier.

FAUX

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Justifications

• 3 et 7 sont premiers cependant leur somme 10 ne l’est pas.

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VRAI ou FAUX

1. 4347 est divisible par 3 et par 9.2. 7422 est divisible par 2 et par 3.

3. 789100 est divisible par 100 et par 9.4. Si un nombre est divisible par 3 et par 9, alors

il est divisible par 27.

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1) 4347 est divisible par 3 et par 9.

VRAI

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Critère de divisibilité par 3 (par 9): un nombre est divisible par 3 (par 9) si la somme des chiffres qui le compose est

divisible par 3 (par 9).

Justifications

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2) 7422 est divisible par 2 et par 3.

VRAI

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7422 est un nombre pair donc divisible par 2 de plus 7 + 4 + 2 + 2 = 15, la somme des chiffres est divisible par 3 donc 7422 est divisible par 3.

Conclusion 7422 est divisible par 2 et par 3.

Justifications

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3) 789100 est divisible par 100 et par 9.

FAUX

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789100 = 7891 × 100 donc il est divisible par 100 mais pas par 9 car la somme des chiffres vaut 25 et n’est pas divisible par 9.

Justifications

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4) Si un nombre est divisible par 3 et par 9, alors il est divisible par 27.

FAUX

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Un contre exemple:

18 est divisible par 3 et par 9 mais n’est pas divisible par 27.

Justifications

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Exercice

Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants:

37 ; 46 ; 1258 ; 8451 ; 14765

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d. Nombre des diviseurs d’un entier naturel

Si N a pour décomposition en produit de facteurs premiers:

Alors N possède diviseurs.

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Exemples

• donc 26 admet = 4 diviseurs positifs.

donc 60 admet = 12 diviseurs positifs.

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Exercice

Combien les nombres suivants admettent-ils de diviseurs ?

57 ; 158 ; 1024

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a) En cherchant les listes de diviseurs.

Pour 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30, 60.Pour 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.Donc, le pgcd de 60 et 32 est 4.

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b) Avec la décomposition en produit de facteurs premiers.

On prend tous les facteurs communs avec leur plus petit exposant:Le pgdc de 1500 et 8750 est donc

ppmc(a,b) doncppmc(a,b) = 52500

Formule:ppmc(a,b)pgdc(a,b)

=ab

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c) Avec l’algorithme d’Euclide

On effectue une suite de divisions euclidiennes.Par exemple pour 120 et 35:

Le dernier reste non nul, ici 5, fournit le pgdc.Cette méthode se programme bien et est souvent la plus rapide.

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Exercices

Calculer le pgdc et le ppmc en utilisant la décomposition en produits de facteurs premiers d’une part et l’algorithme d’Euclide d’autre part.

• 1800 et 580

• 57 et 94

• 15821 et 1587

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