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Thème Fiche Titre de la leçon Niveau PageEnchainementEnchainement d'opérationsd'opérations

N1 Calculer une expression SANS parenthèses 5e 4e 3e 3-4N2 Calculer une expression AVEC parenthèses 5e 4e 3e 5-6

NombresNombres relatifsrelatifs

N3 Utiliser et comparer des nombres relatifs 5e 4e 3e 8-9N4 Additionner des nombres relatifs 5e 4e 3e 10N5 Soustraire des nombres relatifs 5e 4e 3e 11N6 Multiplier des nombres relatifs 4e 3e 12-13N7 Diviser des nombres relatifs 4e 3e 14

N8 Repérer et placer des nombres relatifs dans un repère

5e 4e 3e 15-16

FractionsFractions

N9 Diverses représentations d'une fraction 5e 4e 3e 18N10 Plusieurs écritures d'une fraction 5e 4e 3e 19-20

N11 Utiliser l'égalité des produits en croix pour déterminer si des fractions sont égales ou non

5e 4e 3e 21

N12 Additionner et soustraire des fractions 4e 3e 22N13 Multiplier des fractions 4e 3e 23N14 Diviser des fractions 4e 3e 24

DivisibilitéDivisibilité

N15 Décomposer en facteurs de nombres premiers 3e 26N16 Rendre une fraction irréductible 3e 27N17 Critères de divisibilité 5e 4e 3e 28

N18 Déterminer si un entier est divisible ou non par un autre entier

5e 4e 3e 29

RacinesRacines carréescarrées N19 Carrés parfaits et notion de racine carrée 4e 3e 30

PuissancesPuissancesN20 Puissance d'un nombre 4e 3e 31N21 Calculer avec des puissances de 10 4e 3e 32N22 Utiliser la notation scientifique 4e 3e 33

Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 1

NNCCYCLEYCLE 4 - S 4 - SOMMAIRE

Calcul littéralCalcul littéral

N23 Appliquer une formule 5e 4e 3e 34N24 Tester une égalité 5e 4e 3e 35-36N25 Réduire une expression littérale 5e 4e 3e 37

N26 Factoriser une expression en utilisant la distributivité simple 4e 3e 38

N27 Développer une expression en utilisant la distributivité simple 4e 3e 39

N28 Développer une expression en utilisant la double distributivité 4e 3e 40

N29 Développer en utilisant les identités remarquables *Hors programme 41N30 Factoriser en utilisant les identités remarquables *Hors programme 42

Equations Equations

N31 Modéliser un problème par une équation 4e 3e 43-44

N32 Résoudre des problèmes du 1er degré de façon exacte ou approchée

4e 3e 45

N33 Résoudre une équation du premier degré 3e 46N34 Résoudre une équation produit nul *Hors programme 47-48

InéquationsInéquations N35 Résoudre une inéquation du premier degré 3e 49

*Hors-programme : cela signifie que la capacité n'est pas attendue en fin de cycle mais peut être abordée avec certains élèves ou dans le cadre d'une activité découverte.



2- Méthode : Calculer une expression sans parenthèses (exercice résolu)Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !

1- Règles pour calculer une expression sans parenthèses

Règle n°1 : En l’absence de parenthèses, on effectue les additions et les soustractions de la gauche vers la droite.

Règle n°2 : En l’absence de parenthèses, on effectue les multiplications et les divisions de la gauche vers la droite.

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral !

ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONSCalculer une expression SANS parenthèses

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N15e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Effectue les calculs suivants en ligne et en respectant les priorités des opérations.

As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances À LA


3- Méthode : calculer une expression avec des priorités (exercice résolu)

Ce qu'il faut savoir refaire dans les exercices !

4- Règles pour calculer une expression sans parenthèses avec des prioritésRègle n°3 : La multiplication est effectuée avant l’addition et la soustraction !

Règle n°4 : La division aussi !

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'écrit et à l'oral !




1- Exemples

La place des parenthèses a une importance, elles indiquent une priorité.

Règle n°5 : On commence par effectuer les calculs entre parenthèses.

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !

2-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses (exercice résolu)


ENCHAINEMENT D'OPÉRATIONSCalculer une expression avec parenthèses


NOMBRES et CALCULS




3- Parenthèses doubles

Règle n°6 : On commence par effectuer les parenthèses les plus intérieures.


4-Méthode : calculer une expression avec des parenthèses doubles (exercice résolu)

Calculer 3 ×(8−(4+1))



J=(13−(7−2))×5−2 K=37 – [3×(5+2)– 4 ]


Moyen mnémotechnique pour retenirl'ordre des opérations

Méthode en entonnoir pour organiser les calculs



1- Qu'est ce qu'un nombre relatif ?

1) Exemples de nombres positifs :14 ans ; 25 mètres ; …

2) Exemples de nombres négatifs :–287 : naissance d’Archimède : 287 ans avant la naissance de J.C.–3° : température de 3° en dessous de 0

Remarque : Le signe + n’est pas toujours noté : (+14) s’écrit 14 ou (+25) s’écrit 25

3) On appelle nombre relatif, tout nombre négatif ou positif.


2- Représentation des nombres relatifs sur une droite graduée

Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !

3- Opposé d'un nombre

On obtient l’opposé d’un nombre en changeant son signe.

Exemples :

Remarque : Deux points dont les abscisses sont opposées sont situés à égale distance de l’origine.


NOMBRES REALTIFSUtiliser et comparer des nombres relatifs


NOMBRES et CALCULS


A- Compléter avec les symboles <, > ou =

B- Droite-graduée

1. Donner l'abscisses des points A et B2. Placer les points G et H d'abscisses respectives -3,5 et 4.

As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances

4- Comparaison des nombres relatifsRappel : Ordre croissant (comme croître) : du plus petit au plus grand.Ordre décroissant: du plus grand au plus petit.

Méthode : comparer des nombres relatifs (exercice résolu)

1) Comparer : a) 2,5 et 5,5 b) 1,8 et (-3,2) c) (-1) et (-2,5)

2) Ranger les nombres suivants dans l’ordre croissant : (-4,03) ; 2,5 ; (-4,3) ; (-3,4) ; 2,9

1)

a) 2,5 < 5,5 b) 1,8 > -3,2 c) -1 > -2,5

Pour des nombres négatifs, la plus grande partie numérique donne le nombre le plus petit !

2) -4,3 < -4,03 < -3,4 < 2,5 < 2,9


À LA


NOMBRES RELATIFSAdditionner des nombres relatifs

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes

NOMBRES et CALCULS

5e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

Pour ADDITIONNER deux nombres relatifs:


Les nombres ont le MÊME SIGNE LES NOMBRES SONT DE SIGNES CONTRAIRES


http://mathix.org/linux/archives/4469

Effectue les calculs ci-dessous :

As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissancesÀ LA

N4


NOMBRES RELATIFSSoustraire des nombres relatifs


NOMBRES et CALCULS

1- Opposé d'un nombreDeux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0.Exemple : 3 et (- 3) sont opposés car 3 + (-3) = 0


2- Soustraire des nombres relatifs

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT!

Effectue les calculs ci-dessous en détaillant les étapes :


3- Méthode : Soustraire des nombres relatifs

(+ 5) −¿ (+6) (-7) −¿ (-1)

= (+5) + opposé de (+6) = (-7) + opposé de (-1)

= (+5) + (-6) = (-7) + (+1)= (-1) = (-6)


À LA


NOMBRES RELATIFSMultiplier des nombres relatifs

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N6| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Multiplier deux nombres relatifsRègle des signes : Le produit de deux nombres relatifs est :

POSITIF NÉGATIFsi ces deux nombres si ces deux nombressont de même signe sont de signes contraires.

Exemples : 8 × 7 = 56 (-8) × (-7) = 56 1 × 5,9 = 5,9

8 × (-7) = - 56 (-8) × 7 = - 56 -4,6 × 1 = - 4,6


Calculer :A = 4 x (- 6) B = (- 2) x (- 8) C = (+ 2) x (- 5) D = (- 3) x (+ 8)E = 100 x (- 0,1) F = (- 0,1) x (- 5,5) G = 4 x (- 0,01)

Compléter les égalités ci-dessous :7 x ___ = - 56 (- 8) x ___ = 64 (- 5) x ___ = 35 6 x ___ = - 2,4



2- Multiplier plusieurs nombres relatifsRègle des signes : Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

POSITIF NÉGATIFsi le nombre de facteurs NÉGATIFS si le nombre de facteurs NEGATIFS

est PAIR est IMPAIR

Exemples :


Donner le signe des expressions suivantes :

A = (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1) x (- 1)B = (- 8,4) x 7,8 x 3,2 x (- 2,9) x (- 4,9) x (- 9,9) x (- 2,5)



NOMBRES RELATIFSDiviser des nombres relatifs

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N1-Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes N7| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Règle des signes : Le quotient de deux nombres relatifs est :

POSITIF NÉGATIFsi ces deux nombres si ces deux nombressont de même signe sont de signes contraires.


Parmi les nombres suivants, entoure les nombres négatifs :

Calculer les expressions suivantes en détaillant toutes les étapes:



NOMBRES RELATIFSRepérer et placer un point dans un repère

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)G1- Se repérer dans l'espace N85e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Un repère orthogonal


2- Se repérer

Pour le point A : Sur l’axe des abscisses, on lit : 3Sur l’axe des ordonnées, on lit : 2

L’abscisse de A est : 3L’ordonnée de A est : 2

Les coordonnées de A sont : 3 et 2

On écrit : A ( 3 ; 2 ) On note d’abord l’abscisse ensuite l’ordonnée.



Donner les coordonnées des points A; B; C; D et E.


Joan MAGNIER (RIGUET), enseignantE de mathématiques dans l'académie de Poitiers page 17source : http://www.chrismath.fr


FRACTIONSDifférentes représentations d'une fraction


NOMBRES et CALCULS

1- Comme expression d'une proportion

a) Ce gâteau est partagé en 4 parts EGALES. Je mange 3 parts sur 4

les 3 quartsles 34 du gâteau

b) Pour représenter la fraction 54 il vaut mieux passer à une représentation linéaire sur une droite graduée :


2- Comme quotient



FRACTIONSPlusieurs écritures d'une fraction


N105e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Fractions égales

Les trois parts bleu, verte et rouge représentent des surfaces égales.

On ne change pas une fraction quand on MULTIPLIE son numérateur et son dénominateur PAR UN MEME NOMBRE non nul.


2- Méthode : trouver des fractions égales (exercice résolu)



3- Comment simplifier une fraction ?

On ne change pas une fraction quand on DIVISE son numérateur et son dénominateur PAR UN MÊME NOMBRE.



3- Méthode : simplifier une fraction (exercice résolu)


À LA


FRACTIONSUtiliser l'égalité des produits en croix pour vérifier si des fractions sont égales ou non


N115e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Propriété :

Dire que ab= c

d revient à dire que a d = b c

Remarque : Cette propriété porte le nom de produit en croix car elle consiste à faire des produits en croix sur les deux fractions égales.

Exemple :


Méthode : appliquer les produits en croix (exercice résolu)




FRACTIONSAdditionner et soustraire des fractions


N12 | 4e | 3e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Pour ajouter (ou soustraire) deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur.

Exemples :




FRACTIONSMultiplier des fractions


N13 | 4e | 3e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Pour multiplier deux fractions, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Exemples :




FRACTIONSDiviser deux fractions


N14| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Pour diviser deux fractions revient à multiplier la première par l'inverse de la deuxième.

Exemple :

Ce qu'il savoir refaire dans les exercices !


source : http://mathelot.blogspot.fr/2013



DIVISIBILITÉDécomposer un nombre en produit de facteurs

premiersCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

N15| 3e| 3e

NOMBRES et CALCULS

1- DéfinitionUn nombre est premier s’il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même.

Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … Cette liste est infinie.

Remarque : Le nombre 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur.


2- Méthode : décomposer un nombre en produit de facteurs premiers (exercice résolu)

Décomposer 300 en produits de facteurs premiers.Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

On commence pas tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est « oui » car 300 se termine par un chiffre pair. Et on a : 300 : 2 = 150

On recommence, en testant si 150 est divisible par 2. La réponse est « oui » et 150 : 2 = 75

On recommence, en testant si 75 est divisible par 2. La réponse est « non » ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 75 est divisible par 3. La réponse est « oui » car 7+5=12 est divisible par 3.Et on a : 75 : 3 = 25

On recommence, en testant si 25 est divisible par 3. La réponse est « non » ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 25 est divisible par 5. La réponse est « oui » et on a 25 : 5 = 5.

On recommence, en testant si 5 est divisible par 5. La réponse est « oui » et on a 5 : 5 = 1. C’est fini, on trouve 1 !

La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite.

Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice CASIO collège

écrire le nombre puis

Décomposer en facteurs premiers avec la calculatrice TI collège

écrire le nombre puis



DIVISIBILITÉRendre une fraction irréductible

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

N16| 3e| 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Définition

On dit qu’une fraction est irréductible, lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.


2- Méthode : rendre une fraction irréductible (exercice résolu)


Rendre une fraction irréductible avec la calculatrice CASIO collège

puis

Rendre une fraction irréductibleavec la calculatrice TI collège

puis


DIVISIBILITÉCritères de divisibilité

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

N175e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS


Il n'est pas toujours nécessaire de faire une division pour savoir si un nombre est divisible par un autre.

On peut utiliser des techniques simples appelés "critères de divisibilité".

Compléter les cases du tableau suivant avec « oui » ou « non », sans poser d’opération (et sans calculatrice):



DIVISIBILITEDéterminer si un nombre entier est divisible ou

non Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N2-Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers

N185e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Division euclidiennea et b désignent deux nombres entiers positifs avec b≠0.Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r tels que : a = b × q +¿ r et r < b

q s’appelle le quotient entier et r s’appelle le reste.

EXEMPLEOn a : 155 = 4 x 38 + 3 et 3 < 4Dans la division euclidienne de 155 par 4, le quotient entier est 38 et le reste est 3.


Déterminer le quotient et le reste d'une division

avec la calculatrice CASIO collège

écrire le dividende

puis puis écrire le diviseur

Déterminer le quotient et le reste d'une division avec la calculatrice TI collège

écrire le dividende

puis puis écrire le diviseur

2- Diviseurs d'un nombre

a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b≠0.On dit que b est un diviseur de a ou que a est divisible par b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul. b est un diviseur de a signifie qu’il existe un entier k tel que a = b × k (a est dans la table de multiplication de k et de b)

EXEMPLE 2 est un diviseur de 18 car 18 est dans la table de 2 (18 = 2 x 9) 5 n’est pas un diviseur de 48 car 48 n’est pas dans la table de 5 car 5 x 9 = 45 et 5 x 10 = 50

13 est il un diviseur de 8021 ?Le reste de la division euclidienne est nul donc 13 est un diviseur de 80218021 = 13 x 617

REMARQUES : Tous les nombres entiers admettent au moins deux diviseurs évidents : 1 et le nombre lui-même.


Déterminer le reste d'une division avec SCRATCH

Déterminer le reste d'une division avec le tableur

= MOD ( ; )


RACINE CARREERacines Carrées et Carrés Parfaits


N19| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Exemples


2- Définition

Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de a le nombre dont le carré est égal à a. On le note √a.

Ce qu'il faut apprendre par cœur !

3- Méthode : calculer la racine carré d'un nombre (exercice résolu)Dans chaque cas, trouver le nombre positif qui vérifie l'égalité:


Calculer la racine carré d'un nombre

avec la calculatrice CASIO collège


avec la calculatrice TI collège


avec SCRATCH


PUISSANCESPuissances d'un nombre


N20| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Définition

a4=a× a × a× aDe façon générale : an=a × a×a× a ×…× a avec n facteurs a

Cas particuliers a1 = a pour tout nombre a a0 = 1 pour tout nombre a 0n = 0 pour tout nombre entier n 1n = 1 pour tout nombre entier n

Attention aux signes !Ne pas confondre : (-3)4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81et - 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = - 81


Ecrire une puissance avec la calculatrice

CASIO

Ecrire une puissance avec la calculatrice TI

2- Puissance d'exposant négatif

On dit que : a−1=1aest l’inverse de a.

De façon générale : a−n= 1an

Méthode : Utiliser les puissances d’exposant négatifEcrire les quotients sous la forme a−n



PUISSANCESCalculer avec les puissances de 10


N21| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Quelques formules


2- Méthode : Appliquer les formules sur les puissances de 10 (exercice résolu) Ecrire sous la forme 10n ou 10-n :


3- Méthode : Appliquer les formules et donner le résultat sous forme scientifique (exercice résolu)

Donner l’écriture scientifique des nombres :



PUISSANCESUtiliser la notation scientifique


N22| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Définition


2- Méthode : écrire un nombre sous sa forme scientifique (exercice résolu) Donner la notation scientifique des nombres suivants :A = 8 300 000 B = 0, 000 000 456 C = 0,002 31D = 147,3 x 105 E = 0,0125 x 10-2

Compter le nombre de déplacements de la virgule

A = 8 300 000 = 8,3 x 106

B = 0, 000 000 456 = 4,56 x 10-7

C = 0,002 31 = 2,31 x 10-3

D = 147,3 x 105 = 1,473 x 107

E = 0,0125 x 10-2 = 1,25 x 10-4


Compléter le tableau en donnant l'écriture scientifique de chaque nombre ci-dessous.


Ecrire un nombre sous forme sientifique avec la calculatrice CASIO collège

Ecrire un nombre sous forme sientifique avec la calculatrice TI collège


CALCUL LITTERALAppliquer une formule

Compétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N235e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Méthode : appliquer une formule (exercice résolu)

On considère les deux frises L1et L2

On a: L1 = 6 x a et L2= 2 x a + 9

Calculer L1 et L2 lorsque a = 4 cm.

Ici, a est connu, on peut donc remplacer a par 4 dans les deux formules : L1= 6 x a = 6 x 4 = 24 cmL2= 2 x a + 9 = 2 x 4 + 9 = 8 + 9 = 17 cm


Calculer les expressions ci-dessous pour x=0,5; y=3; a=5 et b=1



CALCUL LITTERALTester une égalité


N245e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Définition Une égalité est une expression composée de deux membres séparés par le signe d’égalité. Les deux membres d’une égalité doivent être de valeurs équivalentes.

Exemples : 3 + 5 = 4 x 2 2x + 4 = x - 1


2- Méthode : tester une égalité (exercice résolu) On écrit séparément les deux membres. On remplace chaque lettre par sa valeur numérique. On calcule chaque membre puis on compare leurs résultats.

S’ils sont égaux, l’égalité est vraie S’ils sont différents, l’égalité est fausse.

Exemple 1 (5ème)

Exemple 2 (4ème, 3ème)



3- Méthode : tester une égalité avec la calculatrice CASIO (exercice résolu) EXEMPLE : 5 est-il solution de l'inéquation 3x + 4 = 5x + 3 ?

Tester l'égalité 7 x+4=2 x+12 pour x=4

Tester l'égalité 4 x+3 y=3x+4 y pour x=−1et y=2



CALCUL LITTERALRéduire une expression


N255e | 4e | 3e5e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Simplification d'écriture

On peut supprimer le symbole "x" entre un nombre et une lettre ou entre deux lettres.Exemples : 3× a s’écrit 3 a

a× b s’écrit ab4 ×(a –2) s’écrit 4 (a– 2)15+4 ×a s’écrit 15+4a

Attention : - 2 x 3 ne s’écrit pas 23 !- on écrit 2a, on n’écrit pas a2

Par convention, on place le nombre avant la lettre.

Nombres au carré, nombres au cube :Exemples : 3 ×3 s’écrit 3²

6 ×6 s’écrit 6²5 ×5 ×5 s’écrit 53

x× x s’écrit x² et se lit « x au carré ».x× x× x s’écrit x3 et se lit « x au cube ».


2- Réduire une expression

Pour réduire une expression on rassemble et on calcule : les termes constants (nombres sans lettre à côté) puis les termes en x puis les termes en puis x ² puis les termes en x3

Exemple:



CALCUL LITTERALFactoriser une expression en utilisant la

distributivité simpleCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N26| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Factoriser une expression, c’est transformer une somme ou une différence en produit.

Ce qu'il faut comprendre !

Méthode : FACTORISER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu)Factoriser les expressions suivantes puis les simplifier le plus possible :1¿131×13+131× 872¿37×13−37 ×3 3¿4 x+4×54 ¿24 –8 x 5¿7 x+42 6¿3 x – 3

1¿131×13+131× 87=131 ×(13+87)=131 ×100=13100 2¿37 ×13−37× 3=37 ×(13 –3)=37 ×10=370 3¿4 x+4 ×5=4 (x+5)

4 ¿24 –8 x=8× 3 – 8 ×1 x=8(3 – 1 x )

5¿7 x+42=7 x+7 ×6=7(x+6) 6¿3 x – 3=3 x – 3 ×1=3 (x – 1)



CALCUL LITTERALDévelopper une expression en utilisant la

distributivité simpleCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N271

| 4e | 3e | 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Développer une expression, c’est transformer un produit en somme ou différence.


Méthode : DEVELOPPER en utilisant la distributivité simple (exercice résolu)Développer les expressions suivantes :a¿2(3+ y)b¿−5(x – y)c ¿−3 (−2x+ y )d ¿ x (−4 – y ) e¿2 x (x – y+4) f ¿(−4+x)×5

a¿2 (3+ y ) b¿−5 ( x – y ) c¿−3 (−2 x+ y )× y¿2 ×3+2 × y=−5 × x−(−5 ) × y=−3 × (−2 x )+(−3)¿6+2 y=−5 x+5 y=6 x –3 y

d ¿ x (−4 – y ) e¿2 x (x – y+4) f ¿ (−4+x)×5¿ x× (−4 )−x × y=2 x× x−2 x× y+2 x× 4=(−4 ) ×5+x ×5¿−4 x – xy=2x2 – 2 xy+8 x=−20+5 x



CALCUL LITTERALDévelopper une expression en utilisant la

double distributivitéCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N28| 3e| 3e

NOMBRES et CALCULS

1- Double distributivité


2- Méthode : développer en utilisant la double distributivité (exercice résolu)

Exemples:

(5 x+1)(2+3 x )¿5 x× 2+5 x ×3 x+1× 2+1 ×3 x¿10 x+15 x2+2+3 x¿+15 x2+10 x+3 x+2¿15 x ²+13 x+2

(−t−3 )( t−4)¿−t ×t−t × (−4 )−3× t−3 × (−4 )¿−t2+4 t−3 t+12¿−t ²+1 t +12¿−t ²+ t+12



CALCUL LITTERALDévelopper une expression en utilisant les

identités remarquablesCompétenceHors programme

N29HorsHors ProgrammeProgramme

NOMBRES et CALCULS

1- Les 3 identités remarquablesCe qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !

2- Méthode : développer en utilisant les identités remarquables (exercice résolu)Exemples: Développer chaque expression en utilisant la bonne identité remarquablea¿ (x+3) ² b¿(x−4) ² c ¿(x+5)(x−5)d ¿(2 x+5) ² e ¿(4−3 x )² f ¿(6 x+7)(6 x−7)

a¿ (x+3) ² b¿(x−4) ² c ¿(x+5)(x−5)¿ x ²+2× x× 3+3²=x ²−2× x× 4+4²=x ²−5² ¿ x ²+6 x+9=x ²−8 x+16=x ²−25

d ¿(2 x+5) ² e ¿(4−3 x )² f ¿(6 x+7)(6 x−7)¿ (2 x )2+2 ×2 x× 5+52=42−2× 4 ×3 x+(3 x )2=(6 x ) ²−7² ¿4 x ²+20 x+25=16−24 x+9 x ²=36 x ²−49



CALCUL LITTERALFactoriser en utilisant les identités

remarquablesCompétenceHors programme

N30HorsHors programmeprogramme

NOMBRES et CALCULS

1- Les 3 identités remarquables


2- Méthode : Factoriser en utilisant les identités remarquables (exercice résolu)Exemples: Factoriser les expressions ci-dessous en utilisant les identités remarquablesa) 16 x ²−36b) x ²+6 x+9c) 9b ²−24 b+16

a) 16 x ²−36=(4 x )²−6²=(4 x−6)(4 x+6)

b) x ²+6 x+9=x ²+2 ×3 × x+3²=(x+3) ²

c) 9 b ²−24 b+16= (3 b )2−2 ×3 b× 4+4²=(3 b−4) ²



EQUATIONSModéliser un problème par une équation


N31| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Les étapes à suivre pour résoudre un problème avec une équation

1. Vérifier que l'on comprend le texte.2. Faire un schéma correspondant au problème, SI BESOIN3. Choisir les inconnues, en général le nombre correspondant à ce qui est demandé dans la

question fait l'affaire. 4. Traduire le texte par des écritures mathématiques.5. Résoudre la ou les équations obtenues6. Vérifier que le résultat est vraisemblable7. Répondre à la question posée.

Exemple : Le collège Picasso a acheté 25 exemplaires d'un livre. Pour le même montant, le collège Renoir achète le même livre 1,20 € de moins, ce qui lui permet d'en acheter 5 de plus. Quel est le prix d'un livre acheté par le collège Picasso ?

Choix de l'inconnue :soit p le prix d'un livre acheté par le collège Picasso

Mise en équation (traduction du texte par des écritures mathématiques)le collège Picasso paie 25ple collège Renoir paie 30 (p-1,2)les deux collèges dépensent la même somme, donc 25p = 30 (p-1,2)

Résolution de l'équation :25p = 30p - 3625p -30p = 30p -36 -30p-5p = -36p = -36÷(-5)p = 7,2

Vérification :25 x 7,2 = 18030 x 7,2 - 36 = 216 - 36 = 180donc 7,2 est la solution de l'équation

Conclusion : Le collège Picasso paie les livres 7,2 €.


Petit Guide pour la mise en équation Étape 1 : quel nombre dois je trouver pour répondre à la question ? Étape 2 : Quelle égalité le texte fournit-il et quels sont les nombres inconnus qui

interviennent dans cette égalité Étape 3 : Je choisis parmi ces nombres celui que je vais prendre comme inconnue Étape 4 : Je traduis les deux membres de l'égalité par une expression algébrique (des chiffres

et des lettres) utilisant l'inconnue.


Paul calcule que s'il achète deux croissants et une brioche à 1,83€, il dépense 0,47€ de plus que s'il achète quatre croissants.

Choix de l'inconnue

Mise en équation

Résolution de l'équation

Vérification

Conclusion



EQUATIONSRésoudre des problèmes du 1er degré de façon

exacte ou approchéeCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N32| 4e | 3e| 4e | 3e

NOMBRES et CALCULS

Problème :Une carte d’abonnement pour le cinéma coûte 10 €.Avec cette carte, le prix d’une entrée est de 4 €.

Question : Avec la carte d’abonnement, un client du cinéma a payé 42 € en tout. Combien d’entrées a-t-il achetées ?

Méthode n°1 : par essais successifsOn calcule le prix en fonction du nombre d'entrées1 entrée : 10 + 1 x 4 =14€2 entrées : 10 + 2 x 4 =18€3 entrées : 10 + 3 x 4 =22€4 entrées : 10 + 4 x 4 =26€5 entrées : 10 + 5 x 4 =30€6 entrées : 10 + 6 x 4 =34€7 entrées : 10 + 7 x 4 =38€8 entrées : 10 + 8 x 4 =42€ Il a donc acheté 8 entrées


Méthode n°2 : avec le tableur

dans la case B1, on entre la formule de calcul =10+ 4*A2puis on étire la formule



EQUATIONSRésoudre une équation du premier degré


N33| 3e| 3e

NOMBRES et CALCULS

2- Méthode : résoudre une équation (exercice résolu)


Résoudre l'équation 3 x+14=5 x+10


But : Trouver x !C'est-à-dire : isoler x dans l’équation pour arriver à :x=¿ nombre

Pour obtenir « x= nombre », on considèrera que la famille des x habite à gauche de la « barrière = » et la famille des nombres habite à droite.Résoudre une équation, c’est clore deux petites réceptions où se sont réunis des xet des nombres. Une se passe chez les xet l’autre chez les nombres. La fête est finie, chacun rentre chez soi.On sera ainsi menés à effectuer des mouvements d’un côté à l’autre de la « barrière = »

On peut additionner et soustraire de chaque côté de la « barrière = » .On peut multiplier et diviser de chaque côté de la « barrière = »



CALCUL LITTERALRésoudre des équations produits nuls

CompétenceHors Programme

N34HorsHors ProgrammeProgramme

NOMBRES et CALCULS

1- Vocabulaire

Les équations produits nuls sont des équations du type : (Expression 1)(Expression 2) = 0

Exemples :(3 x+4)×(2 x –5)=0 est une équation produit nul.3 x×(2 x – 1)=0 sont des équations produits nuls.

Contre- exemples :(2 x+7) – (x – 3)=0 n’est pas une équation produit nul (à cause du moins).(x+2)×(x+3)=6 n’est pas une équation produit nul (à cause du 6).

2- Règles Un produit est nul si, et seulement si, un des facteurs au moins est égal à zéro ».Autrement dit, a b = 0 si, et seulement si, a =0 ou b = 0.



3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu) Exemples : Résoudre les équations suivantesa¿ (3 x+4 )× (2 x –5 )=0 b¿3 x× (2 x – 1 )=0 c ¿(2 x – 3) ²=0

Solutions :a) (3 x+4)×(2 x –5)=0

3 x+4=0ou 2 x – 5=03 x=−4 ou 2 x=5

x=−43

ou x=52=2,5

L’équation a deux solutions : −43 et 2,5



3- Méthode : Résoudre une équation produit nul (exercice résolu suite) Exemples : Résoudre les équations suivantesa¿ (3 x+4 )× (2 x – 5 )=0 b¿3 x× (2 x – 1 )=0 c ¿(2 x – 3) ²=0

Solutions :b) 3 x× (2x – 1 )=0

3 x=0 ou 2 x – 1=0x=0ou 2 x=1

x=0ou x=12=0,5

L’équation a deux solutions : 0 et 0,5

c) (2 x−3) ² 02 x−3=0(ou 2 x−3=0inutile de l ' écrire deux fois)2 x=3

x=32

L’équation a une solution : 32


Résoudre les équations produits nuls suivantes :

a¿ 4 x (x+13)=0b¿(2 x−1)(x−12)=0

c ¿(x− 12)

2

=0



INEQUATIONSRésoudre une inéquation du premier degréCompétence (NIVEAU 1 et NIVEAU 2)N3-Utiliser le calcul littéral

N35| 3e| 3e

NOMBRES et CALCULS

1- DéfinitionUne inéquation est une inégalité qui contient une inconnue x.Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui vérifient cette inégalité.Il s’agit d’un ensemble de valeurs.


2- Méthode : résoudre une inéquation (exercice résolu)



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