probabilités géométriques. probabilité géométrique la probabilité géométrique est liée à...
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Probabilités géométriques
Probabilité géométrique
La probabilité géométrique est liée à la réalisation d’un résultat d’une expérience aléatoire dans un contexte géométrique.
On retrouve 3 probabilités géométriques :
- probabilité géométrique à une dimension;
- probabilité géométrique à deux dimensions;
- probabilité géométrique à trois dimensions.
Variables aléatoires discrètes et continues
Une variable est dite discrète si on peut en dénombrer les résultats.
Exemple: On lance un dé, on s’intéresse aux résultats pairs.
X : (obtenir un résultat pair) : { 2, 4, 6 }
X : (obtenir un résultat pair) est une variable discrète car on peut endénombrer les résultats.
On peut en calculer la probabilité :
P(X) =nombre de cas favorables
nombre de cas possibles 6
3=
2
1=
Variables aléatoires discrètes et continues
Une variable est dite continue si on ne peut pas en dénombrer les résultats.
Exemple:
est une variable continue car elle prend une infinité non dénombrable de valeurs.
Les probabilités géométriques le permettent.
On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous.
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ?
A B C D E F
Ici, on ne peut pas dénombrer le nombre de cas favorables car il y a une infinité de positions possibles pour un point sur le segment BC.
X : (un point sur BC) :
Comment calculer cette probabilité ?
Probabilité géométrique à une dimension
Ce calcul de probabilités utilise les mesures de longueurs.
Exemple :
On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous.
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le segment BC ?
A B C D E F
4 cm 5 cm 2 cm 3 cm 3 cm
P(point sur BC) = m BC
m AF =
517
5 cm17 cm
=
Il s’agit simplement de donner des mesures aux différents segments.
On reporte alors les mesures.
17 cm
≈ 0,294 ≈ 29,4 %
Exemple :
On choisit au hasard un point sur les côtés du rectangle ABCD ci-dessous.
A
D
B
C8 cm
5 cm
Quelle est la probabilité que ce point se situe sur le côté AD ?
P(point sur AD) =périmètre ABCD
=m AD
1) Calculer la mesure du périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 8 + 5 ) = 26 cm.
2) Calculer la probabilité que le point se situe sur le côté AD :
526
5 cm26 cm
= ≈ 0,192 ≈ 19,2 %
Exemple 1:
La formule : P =Aire du cercle
Aire de la surface totale
1) Calculer l’aire du cercle:
A = π r2 = π X 22 ≈ 12,5664 cm2
2) Calculer l’aire du carré:
Dans la figure suivante, quelle est la probabilité d’atteindre le cercle ?
8 cm
2 cm8 cm
A = C2 = 82 = 64 cm2
3) Poser le rapport:
64 cm2
12,5664 cm2
≈ 0,196
La probabilité d’atteindre le cercle est donc d’environ 19,6 %.
≈ 19,6 %
Probabilité géométrique à deux dimensions
Ce calcul de probabilités utilise les mesures de superficies.
=P =Aire du cercle
Aire de la surface totale
Exemple 2:
12 cm
6 cmQuelle est la probabilité d’atteindre un des carrés rouges ?
1) Calculer l’aire d’un carré:
A = C2 = 32 = 9 cm2
2) Calculer l’aire du rectangle:
A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2
3) Poser le rapport:
P =Aire des cibles
Aire de la surface totale=
9 cm2 + 9 cm2
72 cm2
=18 cm2
72 cm2= 0,25 = 25 %
La probabilité d’atteindre un des carrés rouges est de 25 %.
4
1=
Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ?
Exemple 2:
12 cm
6 cm
1) Calculer l’aire d’un carré:
A = C2 = 32 = 9 cm2
2) Calculer l’aire du rectangle:
A = L X l = 12 X 6 = 72 cm2
3) Poser le rapport:
P =Aire des cibles
Aire de la surface totale=
6 X 9 cm2
72 cm2
=54 cm2
72 cm2= 0,75 = 75 %
La probabilité d’atteindre un des carrés jaunes est de 75 %.
4
3=
Quelle est la probabilité d’atteindre un des carrés jaunes ?
Remarque :
12 cm
6 cmLa probabilité d’atteindre un carré rouge est de 0,25.
La probabilité d’atteindre un carré jaune ( soit le reste ) est de 0,75.
Les probabilités des deux évènements donnent une somme de 1.
Ce sont donc des évènements complémentaires.
Évènements complémentaires
Lorsque la somme des probabilités de deux évènements est égale à 1, ces deux évènements sont appelés complémentaires.
Dans l’exemple des carrés rouges et jaunes, sachant que la probabilité d’atteindre un carré rouge est de 0,25, on pourrait calculer la probabilité d’atteindre un carré jaune en effectuant le calcul suivant :
P( jaune ) = 1 – P( rouge ) = 1 – 0,25 = 0,75 ou 75 % .
Probabilité géométrique à trois dimensions
Ce calcul de probabilités utilise les mesures d’espaces.
Exemple :
8 cm
6 cm
5 cm
2 cm
On choisit au hasard un point dans le prisme droit ci-contre.
Quelle est la probabilité que ce point se situe dans le prisme rouge ?
La formule :Volume du prisme rouge
Volume du gros prismeP =
1) Calculer le volume du prisme rouge : L x l X h = 8 X 5 X 2 = 80 cm3
2) Calculer le volume du gros prisme : L x l X h = 8 X 5 X 6 = 240 cm3
3) Poser le rapport :
Volume du prisme rouge
Volume du gros prismeP = =
60 cm3
240 cm3=
1
3= 0,3 ≈ 33,3 %
La probabilité que le point se situe dans le prisme rouge est d’environ 33,3 %.